De metodisk materiale er kun for referanse og gjelder for et bredt spekter av emner. Artikkelen gir en oversikt over grafer over grunnleggende elementære funksjoner og tar for seg det viktigste problemet - hvordan bygge en graf riktig og RASK. Under studiet høyere matematikk uten kjennskap til hovedplanene elementære funksjoner Det blir vanskelig, så det er veldig viktig å huske hvordan grafene til en parabel, hyperbel, sinus, cosinus osv. ser ut, og huske noen av funksjonsverdiene. Vi vil også snakke om noen egenskaper til hovedfunksjonene.

Jeg påstår ikke at materialene er fullstendige og vitenskapelige; vekten vil først og fremst bli lagt på praksis - de tingene som man møter bokstavelig talt på hvert trinn, i ethvert emne av høyere matematikk. Diagrammer for dummies? Man kan si det.

På grunn av mange forespørsler fra lesere klikkbar innholdsfortegnelse:

I tillegg er det en ultrakort synopsis om temaet
– mestre 16 typer diagrammer ved å studere SEX sider!

Seriøst, seks, selv jeg ble overrasket. Dette sammendraget inneholder forbedret grafikk og er tilgjengelig for en nominell avgift; en demoversjon kan sees. Det er praktisk å skrive ut filen slik at grafene alltid er for hånden. Takk for at du støtter prosjektet!

Og la oss starte med en gang:

Hvordan konstruere koordinatakser riktig?

I praksis gjennomføres prøver nesten alltid av elever i separate notatbøker, lined i en firkant. Hvorfor trenger du rutete markeringer? Tross alt kan arbeidet i prinsippet gjøres på A4-ark. Og buret er nødvendig bare for høy kvalitet og nøyaktig design av tegninger.

Enhver tegning av en funksjonsgraf begynner med koordinatakser .

Tegninger kan være todimensjonale eller tredimensjonale.

La oss først vurdere det todimensjonale tilfellet Kartesisk rektangulært koordinatsystem:

1) Tegn koordinatakser. Aksen kalles x-aksen , og aksen er y-aksen . Vi prøver alltid å tegne dem ryddig og ikke skjevt. Pilene skal heller ikke ligne Papa Carlos skjegg.

2) Vi signerer aksene med store bokstaver "X" og "Y". Ikke glem å merke aksene.

3) Sett skalaen langs aksene: tegne en null og to enere. Når du lager en tegning, er den mest praktiske og mest brukte skalaen: 1 enhet = 2 celler (tegning til venstre) - hvis mulig, hold deg til den. Men fra tid til annen hender det at tegningen ikke passer på notatbokarket - da reduserer vi skalaen: 1 enhet = 1 celle (tegning til høyre). Det er sjeldent, men det hender at målestokken på tegningen må reduseres (eller økes) enda mer

Det er IKKE NØDVENDIG å "maskingevær" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Til koordinatplan er ikke et monument over Descartes, og studenten er ikke en due. Vi putter null Og to enheter langs aksene. Noen ganger i stedet for enheter, er det praktisk å "merke" andre verdier, for eksempel "to" på abscisseaksen og "tre" på ordinataksen - og dette systemet (0, 2 og 3) vil også unikt definere koordinatrutenettet.

Det er bedre å estimere de estimerte dimensjonene til tegningen FØR du konstruerer tegningen. Så, for eksempel, hvis oppgaven krever å tegne en trekant med toppunkter , , , så er det helt klart at den populære skalaen på 1 enhet = 2 celler ikke vil fungere. Hvorfor? La oss se på poenget - her må du måle femten centimeter ned, og tegningen vil åpenbart ikke passe (eller knapt passe) på et notatbokark. Derfor velger vi umiddelbart en mindre skala: 1 enhet = 1 celle.

Forresten, ca centimeter og notatbokceller. Er det sant at 30 bærbare celler inneholder 15 centimeter? For moro skyld måler du 15 centimeter i notatboken med en linjal. I USSR kan dette ha vært sant... Det er interessant å merke seg at hvis du måler de samme centimeterne horisontalt og vertikalt, vil resultatene (i cellene) være annerledes! Moderne notatbøker er strengt tatt ikke rutete, men rektangulære. Dette kan virke tull, men å tegne for eksempel en sirkel med et kompass i slike situasjoner er veldig upraktisk. For å være ærlig, i slike øyeblikk begynner du å tenke på riktigheten til kamerat Stalin, som ble sendt til leire for hackarbeid i produksjonen, for ikke å nevne den innenlandske bilindustrien, fallende fly eller eksploderende kraftverk.

Apropos kvalitet, eller en kort anbefaling om skrivesaker. I dag er de fleste notatbøkene som selges mildt sagt fullstendig dritt. Av den grunn at de blir våte, og ikke bare fra gelpenner, men også fra kulepenner! De sparer penger på papiret. For registrering tester Jeg anbefaler å bruke notatbøker fra Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, rutenett) eller "Pyaterochka", selv om det er dyrere. Det er tilrådelig å velge en gelpenn; selv den billigste kinesiske gelpåfyllingen er mye bedre enn en kulepenn, som enten flekker eller river papiret. Den eneste "konkurransedyktige" kulepennen jeg kan huske er Erich Krause. Hun skriver tydelig, vakkert og konsekvent – ​​enten med en full kjerne eller med en nesten tom en.

I tillegg: Synet av et rektangulært koordinatsystem gjennom øynene til analytisk geometri er dekket i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer, detaljert informasjon om koordinatkvartaler finnes i andre ledd i leksjonen Lineære ulikheter.

3D etui

Det er nesten det samme her.

1) Tegn koordinatakser. Standard: akseapplikasjon – rettet oppover, akse – rettet mot høyre, akse – rettet nedover til venstre strengt tatt i en vinkel på 45 grader.

2) Merk aksene.

3) Sett skalaen langs aksene. Skalaen langs aksen er to ganger mindre enn skalaen langs de andre aksene. Merk også at i den høyre tegningen brukte jeg et ikke-standard "hakk" langs aksen (denne muligheten er allerede nevnt ovenfor). Fra mitt synspunkt er dette mer nøyaktig, raskere og mer estetisk tiltalende - det er ikke nødvendig å se etter midten av cellen under et mikroskop og "skulpturere" en enhet nær opprinnelsen til koordinatene.

Når du lager en 3D-tegning, igjen, prioriter skala
1 enhet = 2 celler (tegning til venstre).

Hva er alle disse reglene for? Regler er til for å brytes. Det er det jeg skal gjøre nå. Faktum er at påfølgende tegninger av artikkelen vil bli laget av meg i Excel, og koordinataksene vil se feil ut fra synspunktet riktig design. Jeg kunne tegne alle grafene for hånd, men det er faktisk skummelt å tegne dem ettersom Excel er motvillige til å tegne dem mye mer nøyaktig.

Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner

En lineær funksjon er gitt av ligningen. Grafen for lineære funksjoner er direkte. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne to punkter.

Eksempel 1

Lag en graf av funksjonen. La oss finne to punkter. Det er fordelaktig å velge null som ett av punktene.

Hvis da

La oss ta et annet punkt, for eksempel 1.

Hvis da

Når du fullfører oppgaver, er koordinatene til punktene vanligvis oppsummert i en tabell:

Og verdiene i seg selv beregnes muntlig eller på et utkast, en kalkulator.

To punkter er funnet, la oss lage tegningen:

Når vi utarbeider en tegning signerer vi alltid grafikken.

Det ville være nyttig å huske spesielle tilfeller av en lineær funksjon:

Legg merke til hvordan jeg plasserte signaturene, signaturer bør ikke tillate avvik når man studerer tegningen. I i dette tilfellet Det var ekstremt uønsket å sette en signatur ved siden av skjæringspunktet mellom linjene, eller nederst til høyre mellom grafene.

1) En lineær funksjon av formen () kalles direkte proporsjonalitet. For eksempel, . En direkte proporsjonalitetsgraf går alltid gjennom origo. Dermed er det forenklet å konstruere en rett linje - det er nok å finne bare ett punkt.

2) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen konstrueres umiddelbart, uten å finne noen punkter. Det vil si at oppføringen skal forstås som følger: "y er alltid lik -4, for enhver verdi av x."

3) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen plottes også umiddelbart. Oppføringen skal forstås som følger: "x er alltid, for enhver verdi av y, lik 1."

Noen vil spørre, hvorfor huske 6. klasse?! Det er slik det er, kanskje det er slik, men i løpet av årene med praksis har jeg møtt et godt dusin studenter som ble forvirret over oppgaven med å konstruere en graf som eller.

Å konstruere en rett linje er den vanligste handlingen når du lager tegninger.

Den rette linjen diskuteres i detalj i løpet av analytisk geometri, og interesserte kan henvise til artikkelen Ligning av en rett linje på et plan.

Graf av en kvadratisk, kubisk funksjon, graf for et polynom

Parabel. Rute kvadratisk funksjon () representerer en parabel. Tenk på den berømte saken:

La oss huske noen egenskaper ved funksjonen.

Så, løsningen på ligningen vår: – det er på dette punktet at toppunktet til parablen befinner seg. Hvorfor det er slik kan man lære av den teoretiske artikkelen om den deriverte og leksjonen om funksjonens ekstremer. I mellomtiden, la oss beregne den tilsvarende "Y"-verdien:

Dermed er toppunktet ved punktet

Nå finner vi andre punkter, mens vi frekt bruker parabelens symmetri. Det skal bemerkes at funksjonen – er ikke engang, men likevel, ingen opphevet symmetrien til parablen.

I hvilken rekkefølge for å finne de resterende poengene, tror jeg det vil være klart fra finalebordet:

Denne konstruksjonsalgoritmen kan i overført betydning kalles en "shuttle" eller "frem og tilbake"-prinsippet med Anfisa Chekhova.

La oss lage tegningen:

Fra de undersøkte grafene dukker det opp en annen nyttig funksjon:

For en kvadratisk funksjon () følgende er sant:

Hvis , så er grenene til parabelen rettet oppover.

Hvis , så er grenene til parablen rettet nedover.

Inngående kunnskap om kurven kan fås i leksjonen Hyperbel og parabel.

En kubisk parabel er gitt av funksjonen. Her er en tegning kjent fra skolen:

La oss liste hovedegenskapene til funksjonen

Graf av en funksjon

Den representerer en av grenene til en parabel. La oss lage tegningen:

Hovedegenskapene til funksjonen:

I dette tilfellet er aksen vertikal asymptote for grafen til en hyperbel ved .

Det ville være en GROV feil hvis du, når du tegner en tegning, uforsiktig lar grafen krysse en asymptote.

Også ensidige grenser forteller oss at hyperbelen ikke begrenset ovenfra Og ikke begrenset nedenfra.

La oss undersøke funksjonen ved uendelig: , det vil si hvis vi begynner å bevege oss langs aksen til venstre (eller høyre) til uendelig, så vil "spillene" være i et ryddig trinn uendelig nær nærmer seg null, og følgelig grenene til hyperbelen uendelig nær nærme seg aksen.

Så aksen er horisontal asymptote for grafen til en funksjon, hvis "x" har en tendens til pluss eller minus uendelig.

Funksjonen er merkelig, og derfor er hyperbelen symmetrisk om opprinnelsen. Dette faktum er åpenbart fra tegningen, i tillegg kan det enkelt verifiseres analytisk: .

Grafen til en funksjon av formen () representerer to grener av en hyperbel.

Hvis , er hyperbelen lokalisert i første og tredje koordinatkvartal(se bildet over).

Hvis , så er hyperbelen lokalisert i andre og fjerde koordinatkvartal.

Det indikerte mønsteret av hyperbelbolig er lett å analysere fra synspunktet om geometriske transformasjoner av grafer.

Eksempel 3

Konstruer høyre gren av hyperbelen

Vi bruker den punktvise konstruksjonsmetoden, og det er en fordel å velge verdiene slik at de er delbare med en helhet:

La oss lage tegningen:

Det vil ikke være vanskelig å konstruere den venstre grenen av hyperbelen; rariteten til funksjonen vil hjelpe her. Grovt sett, i tabellen med punktvis konstruksjon, legger vi mentalt til et minus til hvert tall, setter de tilsvarende punktene og tegner den andre grenen.

Detaljert geometrisk informasjon om linjen som vurderes finnes i artikkelen Hyperbel og parabel.

Graf av en eksponentiell funksjon

I denne paragrafen Jeg vil umiddelbart vurdere den eksponentielle funksjonen, siden i problemer med høyere matematikk i 95% av tilfellene er det eksponentialen som dukker opp.

La meg minne deg på at dette er et irrasjonelt tall: , dette vil være nødvendig når du konstruerer en graf, som jeg faktisk vil bygge uten seremoni. Tre poeng er nok nok:

La oss la grafen til funksjonen være i fred for nå, mer om den senere.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Funksjonsgrafer osv. ser fundamentalt like ut.

Jeg må si at det andre tilfellet forekommer sjeldnere i praksis, men det forekommer, så jeg anså det som nødvendig å inkludere det i denne artikkelen.

Graf over en logaritmisk funksjon

Tenk på en funksjon med en naturlig logaritme.
La oss lage en punkt-for-punkt-tegning:

Hvis du har glemt hva en logaritme er, vennligst se skolebøkene dine.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Domene:

Verdiområde: .

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra: , om enn sakte, men grenen til logaritmen går opp til uendelig.
La oss undersøke oppførselen til funksjonen nær null til høyre: . Så aksen er vertikal asymptote for grafen til en funksjon som "x" har en tendens til null fra høyre.

Det er viktig å kjenne og huske den typiske verdien av logaritmen: .

I prinsippet ser grafen for logaritmen til grunntall lik ut: , , (desimallogaritme til grunntallet 10), etc. Dessuten, jo større basen er, jo flatere vil grafen være.

Vi vil ikke vurdere saken, jeg husker ikke sist jeg bygde en graf med et slikt grunnlag. Og logaritmen ser ut til å være en svært sjelden gjest i problemer med høyere matematikk.

På slutten av dette avsnittet vil jeg si enda et faktum: Eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon– dette er to omvendte funksjoner. Hvis du ser nøye på grafen til logaritmen, kan du se at dette er den samme eksponenten, den er bare plassert litt annerledes.

Grafer over trigonometriske funksjoner

Hvor begynner trigonometrisk pine på skolen? Ikke sant. Fra sinus

La oss plotte funksjonen

Denne linjen kalles sinusformet.

La meg minne deg på at "pi" er et irrasjonelt tall: , og i trigonometri får det øynene til å blende.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Denne funksjonen er periodisk med periode. Hva betyr det? La oss se på segmentet. Til venstre og høyre for den gjentas nøyaktig den samme delen av grafen i det uendelige.

Domene: , det vil si at for enhver verdi av "x" er det en sinusverdi.

Verdiområde: . Funksjonen er begrenset: , det vil si at alle "spillene" sitter strengt tatt i segmentet .
Dette skjer ikke: eller mer presist, det skjer, men disse ligningene har ingen løsning.

1. Fraksjonell lineær funksjon og dens graf

En funksjon av formen y = P(x) / Q(x), hvor P(x) og Q(x) er polynomer, kalles en rasjonell brøkfunksjon.

Du er sikkert allerede kjent med begrepet rasjonelle tall. like måte rasjonelle funksjoner er funksjoner som kan representeres som kvotienten av to polynomer.

Hvis en rasjonell brøkfunksjon er kvotienten av to lineære funksjoner - polynomer av første grad, dvs. funksjonen til skjemaet

y = (ax + b) / (cx + d), da kalles det brøk lineær.

Merk at i funksjonen y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (ellers blir funksjonen lineær y = ax/d + b/d) og at a/c ≠ b/d (ellers funksjonen er konstant). Den lineære brøkfunksjonen er definert for alle reelle tall unntatt x = -d/c. Grafer av lineære brøkfunksjoner skiller seg ikke i form fra grafen y = 1/x du kjenner. En kurve som er en graf for funksjonen y = 1/x kalles overdrivelse. Med en ubegrenset økning i x i absolutt verdi, synker funksjonen y = 1/x ubegrenset i absolutt verdi og begge grenene av grafen nærmer seg abscissen: den høyre nærmer seg ovenfra, og den venstre nedenfra. Linjene som grenene til en hyperbel nærmer seg kalles dens asymptoter.

Eksempel 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Løsning.

La oss velge hele delen: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nå er det lett å se at grafen til denne funksjonen er hentet fra grafen til funksjonen y = 1/x ved følgende transformasjoner: forskyvning med 3 enhetssegmenter til høyre, strekker seg langs Oy-aksen 7 ganger og forskyvning med 2 enhetssegmenter oppover.

Enhver brøk y = (ax + b) / (cx + d) kan skrives på lignende måte, og fremhever "heltallsdelen". Følgelig er grafene til alle lineære brøkfunksjoner hyperbler, forskjøvet på forskjellige måter langs koordinataksene og strukket langs Oy-aksen.

For å konstruere en graf av en hvilken som helst vilkårlig brøk-lineær funksjon, er det slett ikke nødvendig å transformere brøken som definerer denne funksjonen. Siden vi vet at grafen er en hyperbel, vil det være nok å finne de rette linjene som dens grener nærmer seg - asymptotene til hyperbelen x = -d/c og y = a/c.

Eksempel 2.

Finn asymptotene til grafen til funksjonen y = (3x + 5)/(2x + 2).

Løsning.

Funksjonen er ikke definert, ved x = -1. Dette betyr at den rette linjen x = -1 fungerer som en vertikal asymptote. For å finne den horisontale asymptoten, la oss finne ut hva verdiene til funksjonen y(x) nærmer seg når argumentet x øker i absolutt verdi.

For å gjøre dette, del telleren og nevneren for brøken med x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Som x → ∞ vil brøken ha en tendens til 3/2. Dette betyr at den horisontale asymptoten er den rette linjen y = 3/2.

Eksempel 3.

Tegn grafen for funksjonen y = (2x + 1)/(x + 1).

Løsning.

La oss velge "hele delen" av brøken:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nå er det lett å se at grafen til denne funksjonen er hentet fra grafen til funksjonen y = 1/x ved følgende transformasjoner: en forskyvning med 1 enhet til venstre, en symmetrisk visning med hensyn til Ox og en forskyvning av 2 enhetssegmenter opp langs Oy-aksen.

Domene D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Verdiområde E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Skjæringspunkter med akser: c Oy: (0; 1); c Oks: (-1/2; 0). Funksjonen øker for hvert intervall i definisjonsdomenet.

Svar: Figur 1.

2. Fraksjonell rasjonell funksjon

Tenk på en rasjonell brøkfunksjon av formen y = P(x) / Q(x), der P(x) og Q(x) er polynomer med høyere grad enn først.

Eksempler på slike rasjonelle funksjoner:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) eller y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Hvis funksjonen y = P(x) / Q(x) representerer kvotienten av to polynomer med høyere grad enn den første, vil grafen som regel være mer kompleks, og det kan noen ganger være vanskelig å konstruere den nøyaktig , med alle detaljer. Imidlertid er det ofte nok å bruke teknikker som ligner på de vi allerede har introdusert ovenfor.

La brøken være en egen brøk (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Åpenbart kan grafen til en rasjonell brøkfunksjon fås som summen av grafer av elementære brøker.

Plotte grafer for rasjonelle brøkfunksjoner

La oss vurdere flere måter å konstruere grafer for en rasjonell brøkfunksjon.

Eksempel 4.

Tegn en graf av funksjonen y = 1/x 2 .

Løsning.

Vi bruker grafen til funksjonen y = x 2 for å konstruere en graf av y = 1/x 2 og bruker teknikken med å "dele" grafene.

Domene D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Verdiområde E(y) = (0; +∞).

Det er ingen skjæringspunkter med aksene. Funksjonen er jevn. Øker for alle x fra intervallet (-∞; 0), reduseres for x fra 0 til +∞.

Svar: Figur 2.

Eksempel 5.

Tegn grafen for funksjonen y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Løsning.

Domene D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Her brukte vi teknikken med faktorisering, reduksjon og reduksjon til en lineær funksjon.

Svar: Figur 3.

Eksempel 6.

Tegn grafen til funksjonen y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Løsning.

Definisjonsdomenet er D(y) = R. Siden funksjonen er partall, er grafen symmetrisk om ordinaten. Før du bygger en graf, la oss transformere uttrykket igjen, og fremheve hele delen:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Merk at isolering av heltallsdelen i formelen til en rasjonell brøkfunksjon er en av de viktigste når du konstruerer grafer.

Hvis x → ±∞, så y → 1, dvs. den rette linjen y = 1 er en horisontal asymptote.

Svar: Figur 4.

Eksempel 7.

La oss vurdere funksjonen y = x/(x 2 + 1) og prøve å nøyaktig finne dens største verdi, dvs. det høyeste punktet på høyre halvdel av grafen. For å konstruere denne grafen nøyaktig, er dagens kunnskap ikke nok. Selvfølgelig kan kurven vår ikke "stige" veldig høyt, fordi nevneren begynner raskt å "overhale" telleren. La oss se om verdien av funksjonen kan være lik 1. For å gjøre dette må vi løse ligningen x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Denne ligningen har ingen reelle røtter. Dette betyr at vår antagelse er feil. For å finne den største verdien av funksjonen, må du finne ut ved hvilken største A ligningen A = x/(x 2 + 1) vil ha en løsning. La oss erstatte den opprinnelige ligningen med en andregradslikning: Ax 2 – x + A = 0. Denne ligningen har en løsning når 1 – 4A 2 ≥ 0. Herfra finner vi den største verdien A = 1/2.

Svar: Figur 5, maks y(x) = ½.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du grafer funksjoner?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

En av de mest kjente eksponentielle funksjonene i matematikk er eksponenten. Det representerer Euler-tallet hevet til den angitte potensen. I Excel er det en egen operatør som lar deg beregne den. La oss se hvordan det kan brukes i praksis.

Eksponenten er Euler-tallet hevet til en gitt potens. Selve Euler-nummeret er omtrent 2,718281828. Noen ganger kalles det også Napier-nummeret. Eksponentfunksjonen ser slik ut:

der e er Euler-tallet og n er graden av heving.

For å beregne denne indikatoren i Excel, brukes en egen operatør - EXP. I tillegg kan denne funksjonen vises som en graf. Vi vil snakke om arbeidet med disse verktøyene videre.

Metode 1: Beregn eksponenten ved å legge inn funksjonen manuelt

EXP(tall)

Det vil si at denne formelen bare inneholder ett argument. Det er nettopp kraften som Euler-tallet må heves til. Dette argumentet kan være av formen numerisk verdi, og ta form av en referanse til en celle som inneholder en eksponent.

Metode 2: Bruke funksjonsveiviseren

Selv om syntaksen for å beregne eksponenten er ekstremt enkel, foretrekker noen brukere å bruke Funksjonsveiviser. La oss se på hvordan dette gjøres med et eksempel.

Hvis en cellereferanse som inneholder en eksponent brukes som argument, må du plassere markøren i feltet "Antall" og bare velg den cellen på arket. Koordinatene vil umiddelbart vises i feltet. Etter dette, for å beregne resultatet, klikk på knappen "OK".

Metode 3: plotting

I tillegg er det i Excel mulig å konstruere en graf ved å bruke resultatene som er oppnådd ved å beregne eksponenten som grunnlag. For å konstruere en graf, må arket allerede ha beregnede verdier av eksponenten for forskjellige potenser. De kan beregnes ved hjelp av en av metodene beskrevet ovenfor.

y (x) = e x, hvis deriverte er lik selve funksjonen.

Eksponenten er betegnet som , eller .

Nummer e

Grunnlaget for eksponentgraden er nummer e. Dette er et irrasjonelt tall. Det er omtrent likt
e ≈ 2,718281828459045...

Tallet e bestemmes gjennom sekvensens grense. Dette er den såkalte andre fantastiske grensen:
.

Tallet e kan også representeres som en serie:
.

Eksponentiell graf

Eksponentiell graf, y = e x .

Grafen viser eksponentialen e til en grad X.
y (x) = e x
Grafen viser at eksponenten øker monotont.

Formler

Grunnformlene er de samme som for eksponentiell funksjon med maktbase e.

;
;
;

Uttrykk for en eksponentiell funksjon med en vilkårlig base av grad a til en eksponentiell:
.

Private verdier

La y (x) = e x. Deretter
.

Eksponentegenskaper

Eksponenten har egenskapene til en eksponentiell funksjon med potensbase e > 1 .

Domene, sett med verdier

Eksponent y (x) = e x definert for alle x.
Dets definisjonsdomene:
- ∞ < x + ∞ .
Dens mange betydninger:
0 < y < + ∞ .

Ekstremer, økende, avtagende

Eksponentialen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene er presentert i tabellen.

Invers funksjon

Den inverse av eksponenten er den naturlige logaritmen.
;
.

Derivert av eksponenten

Derivat e til en grad X lik e til en grad X :
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Komplekse tall

Handlinger med komplekse tall utført ved hjelp av Eulers formler:
,
hvor er den imaginære enheten:
.

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

; ;
.

Uttrykk som bruker trigonometriske funksjoner

; ;
;
.

Utvidelse av Power-serien

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.