Den enkleste typen gammafordeling er en fordeling med tetthet

Hvor - skiftparameter, - gammafunksjon, dvs.

(2)

Hver distribusjon kan "utvides" til en skalaskiftefamilie. Faktisk, for en tilfeldig variabel som har en distribusjonsfunksjon, bør du vurdere en familie av tilfeldige variabler , hvor er skalaparameteren, og er skiftparameteren. Da er fordelingsfunksjonen .

Inkludert hver fordeling med en tetthet på formen (1) i skalaforskyvningsfamilien, får vi gammafordelingene som er akseptert i parameteriseringen av familien:

Her - formparameter, - skalaparameter, - skiftparameter, gammafunksjon er gitt av formel (2).

Det er andre parameteriseringer i litteraturen. Så i stedet for en parameter, brukes parameteren ofte . Noen ganger vurderes en familie med to parametere, utelater skiftparameteren, men beholder skalaparameteren eller dens analoge - parameteren . For noen anvendte problemer (for eksempel når man studerer påliteligheten til tekniske enheter), er dette berettiget, siden det fra materielle hensyn virker naturlig å akseptere at ser positiv for positive verdier av argumentet og bare for dem. Denne antakelsen er assosiert med en langsiktig diskusjon på 80-tallet om "foreskrevne pålitelighetsindikatorer", som vi ikke skal dvele ved.

Spesielle tilfeller av gammafordelingen for visse parameterverdier har spesielle navn. Når vi har en eksponentiell fordeling. Den naturlige gammafordelingen er en Erlang-fordeling som spesielt brukes i teorien i kø. Hvis en tilfeldig variabel har en gammafordeling med en formparameter slik at - heltall, og, har en kjikvadratfordeling av frihetsgrader.

Anvendelser av gammafordelingen

Gammadistribusjon har brede bruksområder innen ulike felt tekniske vitenskaper(spesielt innen pålitelighet og testteori), i meteorologi, medisin, økonomi. Spesielt kan gammafordelingen være underlagt produktets totale levetid, lengden på kjeden av ledende støvpartikler, tiden produktet når grensetilstanden under korrosjon, tiden til den kth feilen, etc. . Forventet levealder for pasienter med kroniske sykdommer og tiden for å oppnå en viss effekt under behandlingen har i noen tilfeller en gammafordeling. Denne fordelingen viste seg å være den mest passende for å beskrive etterspørselen i en rekke økonomiske og matematiske modeller for lagerstyring.

Muligheten for å bruke gammafordelingen i en rekke anvendte problemer kan noen ganger rettferdiggjøres av reproduserbarhetsegenskapen: summen av uavhengige eksponentielt distribuerte tilfeldige variabler med samme parameter har en gammafordeling med parametere for form og skala og skifte. Derfor brukes gammafordelingen ofte i de bruksområdene som bruker eksponentialfordelingen.

Hundrevis av publikasjoner er viet ulike spørsmål om statistisk teori knyttet til gammafordelingen (se sammendrag). Denne artikkelen, som ikke hevder å være omfattende, undersøker bare noen matematiske og statistiske problemer knyttet til utviklingen av en statlig standard.

La oss vurdere gamma-fordelingen, beregne dens matematiske forventning, spredning og modus. Ved å bruke funksjonen MS EXCEL GAMMA.DIST() vil vi konstruere grafer over fordelingsfunksjonen og sannsynlighetstettheten. La oss generere en rekke tilfeldige tall og estimere fordelingsparametrene.

Gammadistribusjon(Engelsk) Gammafordeling) avhenger av 2 parametere: r(bestemmer formen på fordelingen) og λ (bestemmer skalaen). denne fordelingen er gitt av følgende formel:

hvor Г(r) er gammafunksjonen:

hvis r er et positivt heltall, så er Г(r)=(r-1)!

Påmeldingsskjemaet ovenfor distribusjonstetthet viser tydelig sin sammenheng med. Når r=1 Gammadistribusjon kommer ned til Eksponentiell fordeling med parameter λ.

Hvis parameteren λ er et heltall, da Gammadistribusjon er summen r uavhengig og identisk fordelt over eksponentiell lov med parameter λ av tilfeldige variabler x. Altså den tilfeldige variabelen y= x 1 + x 2 +… x r Det har gammafordeling med parametere r og λ.

, på sin side er nært beslektet med diskret. Hvis Giftfordeling beskriver antall tilfeldige hendelser som skjedde i løpet av et visst tidsintervall, da Eksponentiell fordeling, i dette tilfellet, beskriver lengden på tidsintervallet mellom to påfølgende hendelser.

Det følger av dette at for eksempel om tiden før inntreffet av den første hendelsen er beskrevet eksponentiell fordeling med parameteren λ, så beskrives tiden før utbruddet av den andre hendelsen gammafordeling med r = 2 og samme parameter λ.

Gammadistribusjon i MS EXCEL

MS EXCEL bruker en ekvivalent, men forskjellig i parametere, form for opptak tetthet gammafordeling.

Parameter α ( alfa) tilsvarer parameteren r, og parameteren b (beta) - parameter 1/λ. Nedenfor vil vi holde oss til akkurat denne notasjonen, fordi dette vil gjøre det lettere å skrive formler.

I MS EXCEL, fra og med versjon 2010, for Gammadistribusjon det er en funksjon GAMMA.DIST(), det engelske navnet er GAMMA.DIST(), som lar deg beregne sannsynlighetstetthet(se formel ovenfor) og (sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X har gammafordeling, vil ta en verdi mindre enn eller lik x).

Merk: Før MS EXCEL 2010 hadde EXCEL funksjonen GAMMADIST() som lar deg beregne kumulativ distribusjons funksjon Og sannsynlighetstetthet. GAMMADIST() er igjen i MS EXCEL 2010 for kompatibilitet.

Funksjonsgrafer

Eksempelfilen inneholder grafer sannsynlighetstetthetsfordeling Og kumulativ distribusjons funksjon.

Gammadistribusjon har betegnelsen Gamma (alfa; beta).

Merk: For enkelhets skyld å skrive formler i eksempelfilen for distribusjonsparametere alfa og beta tilsvarende er opprettet.

Merk: Avhengighet av 2 parametere gjør det mulig å konstruere distribusjoner av ulike former, noe som utvider anvendelsen av denne fordelingen. Gammadistribusjon, i tillegg til Eksponentiell fordeling ofte brukt til å beregne ventetiden mellom tilfeldige hendelser. I tillegg er det mulig å bruke denne fordelingen til å modellere nedbørsnivåer og ved prosjektering av veier.

Som vist ovenfor, hvis parameteren alfa= 1, så returnerer funksjonen GAMMA.DIST() med parameteren 1/beta. Hvis parameteren beta= 1, GAMMA.DIST()-funksjonen returnerer standarden gammafordeling.

Merk: Fordi er et spesielt tilfelle gammafordeling, deretter formelen =GAMMA.FORDELING(x;n/2;2;SANN) for positivt heltall returnerer n samme resultat som formelen =CHI2.FORDELING(x;n; SANN) eller =1-CHI2.DIST.PH(x;n) . Og formelen =GAMMA.FORDELING(x;n/2;2;USANN) returnerer samme resultat som formelen =CHI2.FORDELING(x;n; FALSE), dvs. sannsynlighetstetthet CH2 fordelinger.

I eksempelfil på diagramarket beregning er gitt gammafordeling lik alfa*beta Og

En ikke-negativ tilfeldig variabel har gammafordeling, hvis distribusjonstettheten er uttrykt med formelen

hvor og , er gammafunksjonen:

Dermed, gammafordeling er en to-parameter fordeling, inntar den en viktig plass i matematisk statistikk og pålitelighetsteorier. Denne fordelingen har en begrensning på den ene siden.

Hvis fordelingskurveformparameteren er et heltall, beskriver gammafordelingen tiden som kreves for forekomsten av hendelser (feil), forutsatt at de er uavhengige og oppstår med konstant intensitet.

I de fleste tilfeller beskriver denne fordelingen driftstiden til systemet med redundans for feil på aldrende elementer, gjenopprettingstiden til systemet med redundans for feil på aldrende elementer, gjenopprettingstiden til systemet, etc. For forskjellige kvantitative verdier av parametrene antar gammadistribusjonen en lang rekke former, noe som forklarer den utbredte bruken .

Sannsynlighetstettheten til gammafordelingen bestemmes av likheten if

Distribusjonsfunksjon. (9)

Merk at pålitelighetsfunksjonen uttrykkes med formelen:

Gammafunksjonen har følgende egenskaper: , , (11)

hvorfra det følger at hvis er et ikke-negativt heltall, da

I tillegg vil vi senere trenge en egenskap til for gammafunksjonen: ; . (1. 3)

Eksempel. Restaurering av elektronisk utstyr følger loven om gammadistribusjon med parametere og . Bestem sannsynligheten for gjenoppretting av utstyr om en time.

Løsning. For å bestemme sannsynligheten for utvinning bruker vi formel (9).

For positive heltall funksjoner og kl.

Hvis vi går videre til nye variabler hvis verdier vil bli uttrykt; , så får vi tabellintegralen:

I dette uttrykket kan løsningen til integralet på høyre side bestemmes ved hjelp av samme formel:

og når det vil være

Når og de nye variablene vil være lik og , og selve integralet vil være lik

Funksjonsverdien vil være lik

La oss finne de numeriske egenskapene til en tilfeldig variabel som er underlagt gammafordelingen

I samsvar med likestilling (13) får vi . (14)

Vi finner det andre startmomentet ved å bruke formelen

hvor . (15)

Merk at ved , synker feilraten monotont, noe som tilsvarer innkjøringsperioden til produktet. Når feilraten øker, noe som kjennetegner perioden med slitasje og aldring av elementene.

Når gammafordelingen faller sammen med eksponentialfordelingen, når gammafordelingen nærmer seg normalloven. If tar verdier av vilkårlige heltall positive tall, da kalles en slik gammafordeling bestille Erlang distribusjon:

Her er det nok bare å påpeke at Erlang-loven Summen av uavhengige tilfeldige variabler er underordnet den th orden, som hver er fordelt i henhold til en eksponentiell lov med en parameter. Erlangs lov orden er nært knyttet til en stasjonær Poisson (enkleste) strømning med intensitet .

Faktisk, la det være en slik flyt av hendelser i tid (fig. 6).

Ris. 6. Grafisk representasjon av en Poisson-flyt av hendelser over tid

Tenk på et tidsintervall som består av summen intervaller mellom hendelser i en slik flyt. Det kan bevises at den tilfeldige variabelen vil følge Erlangs lov -te orden.

Distribusjonstetthet av en tilfeldig variabel fordelt i henhold til Erlangs lov orden, kan uttrykkes gjennom den tabellformede Poisson-fordelingsfunksjonen:

Hvis verdien er et multiplum av og , da faller gammafordelingen sammen med kjikvadratfordelingen.

Merk at fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel kan beregnes ved hjelp av følgende formel:

hvor bestemmes av uttrykk (12) og (13).

Følgelig har vi likheter som vil være nyttige for oss senere:

Eksempel. Flyten av produkter produsert på transportøren er den enkleste med parameteren. Alle produserte produkter er kontrollert, defekte er plassert i en spesiell boks som ikke kan inneholde mer enn produkter, er sannsynligheten for feil lik . Bestem loven om tidsfordeling for å fylle en boks med defekte produkter og mengden , basert på det faktum at boksen neppe renner over under skiftet.

Løsning. Intensiteten til den enkleste strømmen av defekte produkter vil være . Det er klart at tiden det tar å fylle en boks med defekte produkter distribueres i henhold til Erlangs lov

med parametere og:

derav (18) og (19): ; .

Antallet defekte produkter over tid vil bli fordelt i henhold til Poissons lov med parameteren . Derfor det nødvendige antallet må finnes fra tilstanden. (20)

For eksempel ved [produkt/h]; ; [h]

fra ligningen kl

En tilfeldig variabel med en Erlang-fordeling har følgende numeriske egenskaper (tabell 6).

Tabell 6

Merk at en tilfeldig variabel som har en normalisert Erlang-fordeling av th orden har følgende numeriske egenskaper (tabell 7).

Tabell 7

Uniform distribusjon. Kontinuerlig verdi X er jevnt fordelt på intervallet ( en, b), hvis alle mulige verdier er på dette intervallet og ser konstant:

For en tilfeldig variabel X, jevnt fordelt i intervallet ( en, b) (fig. 4), sannsynligheten for å falle inn i et hvilket som helst intervall ( x 1 , x 2), liggende innenfor intervallet ( en, b), er lik:

(30)


Ris. 4. Tetthetsplott med jevn fordeling

Eksempler på jevnt fordelte mengder er avrundingsfeil. Så hvis alle tabellverdier for en bestemt funksjon er avrundet til samme siffer, og ved å velge en tabellverdi tilfeldig, anser vi at avrundingsfeilen til det valgte tallet er en tilfeldig variabel jevnt fordelt i intervallet

Eksponentiell fordeling. Kontinuerlig tilfeldig variabel X Det har eksponentiell fordeling

(31)

Sannsynlighetstetthetsplottet (31) er presentert i fig. 5.

Ris. 5. Tetthetsplott av eksponentialfordeling

Tid T feilfri drift av et datasystem er en tilfeldig variabel som har en eksponentiell fordeling med parameteren λ , hvis fysiske betydning er gjennomsnittlig antall feil per tidsenhet, ikke medregnet systemets nedetid for reparasjoner.

Normal (gaussisk) fordeling. Tilfeldig verdi X Det har normal (Gaussisk) distribusjon, hvis sbestemmes av avhengigheten:

(32)

Hvor m = M(X) , .

På normalfordeling kalles standard.

Normalfordelingstetthetsgrafen (32) er presentert i fig. 6.

Ris. 6. Tetthetsplott av normalfordeling

Normalfordelingen er den vanligste fordelingen i ulike tilfeldige naturfenomener. Dermed feil ved utføring av kommandoer av en automatisert enhet, feil ved oppskyting av et romfartøy gitt poeng plass, feil i datasystemparametere, etc. i de fleste tilfeller har de normal eller nær normal distribusjon. Dessuten er tilfeldige variabler dannet ved å summere et stort antall tilfeldige ledd fordelt nesten etter en normal lov.

Gammadistribusjon. Tilfeldig verdi X Det har gammafordeling, hvis ser uttrykt med formelen:

(33)

Hvor – Eulers gammafunksjon.

Gammadistribusjon

Gammafordelingen er en to-parameterfordeling. Det inntar en ganske viktig plass i teorien og praksisen om pålitelighet. Fordelingstettheten er begrenset på den ene siden (). Hvis parameter a for distribusjonskurveformen har en heltallsverdi, indikerer dette sannsynligheten for at samme antall hendelser skal inntreffe (for eksempel feil)

forutsatt at de er uavhengige og vises med konstant intensitet λ (se fig. 4.4).

Gammafordelingen er mye brukt for å beskrive forekomsten av feil i aldrende elementer, gjenopprettingstid og tid mellom feil i redundante systemer. For ulike parametere antar gammafordelingen ulike former, noe som forklarer dens utbredte bruk.

Sannsynlighetstettheten til gammafordelingen bestemmes av likheten

hvor λ > 0, α > 0.

Fordelingstetthetskurvene er vist i fig. 4.5.

Ris. 4.5.

Distribusjonsfunksjon

Forventning og varians er lik henholdsvis

Ved α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1 – øker, noe som er typisk for perioden med slitasje og aldring av elementer.

Ved α = 1 faller gammafordelingen sammen med eksponentialfordelingen; ved α > 10 nærmer gammafordelingen seg normalloven. Hvis a tar verdiene til vilkårlige positive heltall, kalles en slik gammafordeling Erlang distribusjon. Hvis λ = 1/2, og verdien av a er et multiplum av 1/2, så faller gammafordelingen sammen med fordelingen χ2 ( chi-kvadrat).

Etablering av distribusjonsfunksjonen til pålitelighetsindikatorer basert på resultatene av behandling av statistisk informasjonsdata

Den mest komplette egenskapen til påliteligheten til et komplekst system er distribusjonsloven, uttrykt som distribusjonsfunksjon, distribusjonstetthet eller pålitelighetsfunksjoner.

Formen til den teoretiske fordelingsfunksjonen kan bedømmes ut fra den empiriske fordelingsfunksjonen (fig. 4.6), som bestemmes ut fra relasjonen

Hvor T, - antall feil per tidsintervall t; N – omfanget av testing; t Jeg < t < t i+1 – tidsintervallet som den empiriske funksjonen bestemmes over.

Ris. 4.6.

Den empiriske funksjonen er konstruert ved å summere inkrementene oppnådd ved hvert tidsintervall:

Hvor k – antall intervaller.

Den empiriske pålitelighetsfunksjonen er det motsatte av fordelingsfunksjonen; det bestemmes av formelen

Sannsynlighetstetthetsestimatet er funnet fra histogrammet. Konstruksjonen av et histogram kommer ned til følgende. Hele tidsrommet t delt inn i intervaller t 1,t 2, ..., t i og for hver av dem estimeres sannsynlighetstettheten ved å bruke formelen

Hvor T Jeg – antall feil pr Jeg-th intervall, Jeg = 1, 2,..., k; (t i+1 – t i) – tidsperiode Jeg-th intervall; N– omfanget av tester; k– antall intervaller.

Et eksempel på et histogram er vist i fig. 4.7.

Ris. 4.7.

Utjevning av et trinnhistogram til en jevn kurve, men utseendet kan bedømmes ut fra fordelingsloven til en tilfeldig variabel. I praksis, for å jevne ut kurven, bruker de for eksempel ofte metoden minste kvadrater. For mer nøyaktig å etablere distribusjonsloven, er det nødvendig at antall intervaller er minst fem, og antall realisasjoner som faller inn i hvert intervall er minst ti.

Uoverensstemmelser i forståelsen av pålitelighetsterminologi

Problemet med terminologi er ganske komplekst innen ulike felt av vitenskap og menneskelig aktivitet generelt. Det er kjent at uenighet om vilkår har pågått i mange århundrer. Hvis du ser på oversettelsene av diktene, kan du se en klar bekreftelse på denne ideen. For eksempel oversettelser av et så verdensberømt mesterverk som "Hamlet" av B. L. Pasternak og P. P. Gnedich er veldig forskjellige. I den første av dem veier tragedien mer enn musikken i verset, i motsetning til den andre. Og den originale "Hamlet", skrevet på 1500-tallets språk, er vanskelig å forstå for ikke-engelske mennesker, og for engelskmennene også, siden språket i seg selv har utviklet seg sterkt over flere århundrer, som faktisk alle andre språk i samsvar med loven om synkronisme-desynkronisme.

Et lignende bilde er observert i verdensreligioner. Oversettelsen av Bibelen fra kirkeslavisk til russisk, som varte i 25 år, ble "skilt" (til det punktet å stoppe oversettelsen) St. Philaret av Moskva (Drozdov) og den største kirkeskribenten - St. Theophan the Recluse (publikasjonen av hans samlede verk i 42 bind er planlagt i nær fremtid). Oversettelser og forklaringer av "boken med bøker" i Bibelen "overfører" mennesker til leirene til uforsonlige fiender i livet i vår verden. Sekter, kjettere og helter blir født, noen ganger blir det til og med blod utgytt. Og tallrike oversettelser til russisk av Immanuel Kants grunnleggende arbeid innen filosofifeltet "Kritikk av den rene fornuft" styrker bare gyldigheten av avhandlingen vår om kompleksiteten til problemet med terminologi (superstort system) innen ulike felt av vitenskap og menneskelig aktivitet generelt.

Antinomiske fenomener finner sted innen vitenskap og teknologi. En av løsningene på problemet med å sikre riktigheten og tilstrekkeligheten av terminologien ble skissert av G. Leibniz. Han er når det gjelder utviklingen av vitenskap og teknologi på 1600-tallet. foreslått å avslutte tvister ved å definere begreper ved å bruke et universelt språk i digital form (0011...).

Merk at i vitenskapen om pålitelighet, er måten å definere begreper tradisjonelt bestemt på statsnivå ved å bruke statlige standarder(GOST). Fremveksten av stadig mer intelligente tekniske systemer, samspillet og tilnærmingen av levende og livløse gjenstander som opererer i dem, stiller imidlertid nye, svært vanskelige oppgaver for undervisning i pedagogikk og psykologi, og tvinger oss til å se etter kreative kompromissløsninger.

For noen som er modne og har jobbet i en bestemt vitenskapelig felt, og spesielt når det gjelder ansattes pålitelighet, er relevansen av terminologispørsmål hevet over tvil. Som Gottfried Wilhelm Leibniz skrev (i sitt arbeid med å skape et universelt språk), ville det være mindre kontrovers hvis begrepene ble definert.

Vi vil prøve å utjevne uoverensstemmelser i forståelsen av pålitelighetsterminologi med følgende kommentarer.

Vi sier "fordelingsfunksjon" (DF), og utelater ordet "operasjon" eller "feil". Driftstid forstås oftest som en tidskategori. For ikke-reparerbare systemer er det mer riktig å si - integrert FR-tid til feil, og for utvinnbare systemer - tid til feil. Og siden driftstid oftest forstås som en tilfeldig variabel, brukes identifiseringen av sannsynligheten for feilfri drift (FBO) og (1 – FR), kalt i dette tilfellet pålitelighetsfunksjonen (RF). Integriteten til denne tilnærmingen oppnås gjennom en komplett gruppe arrangementer. Deretter

FBG = FN = 1 – FR.

Det samme gjelder for distribusjonstettheten (DP), som er den første deriverte av DF, spesielt med hensyn til tid, og figurativt sett karakteriserer "hastigheten" av forekomsten av feil.

Fullstendigheten av beskrivelsen av påliteligheten til et produkt (spesielt for engangsprodukter), inkludert dynamikken i atferdsstabilitet, er preget av feilraten gjennom forholdet PR til FBG og er fysisk forstått som en endring i produktets tilstand, og matematisk introduseres den i køteori gjennom begrepet feilflyt og en rekke antagelser i forhold til selve feilene (stasjonaritet, ordinærhet, etc.).

De som er interessert i disse problemene som oppstår når de velger pålitelighetsindikatorer på stadiet av produktdesign, kan henvises til verkene til så fremtredende forfattere som A. M. Polovko, B. V. Gnedenko, B. R. Levin - innfødte fra pålitelighetslaboratoriet ved Moskva-universitetet, ledet av A. N. Kolmogorov , samt A. Ya. Khinchin, E. S. Ventsel, I. A. Ushakova, G. V. Druzhinina, A. D. Solovyova, F. Bayhelt, F. Proshan - grunnleggerne av den statistiske teorien om pålitelighet .

• cm.: Kolmogorov A.N. Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori. M.: Mir, 1974.