Har harmoniske vibrasjoner c. Oscillerende bevegelse. Harmoniske vibrasjoner. Hvis oscillasjonen er beskrevet av cosinusloven

Dette er en periodisk svingning der koordinaten, hastigheten, akselerasjonen som karakteriserer bevegelsen endres i henhold til sinus- eller cosinusloven. Ligningen for harmonisk oscillasjon etablerer avhengigheten av kroppens koordinater på tid

Cosinusgrafen i startøyeblikket har en maksimumsverdi, og sinusgrafen har nullverdi i startøyeblikket. Hvis vi begynner å undersøke oscillasjonen fra likevektsposisjonen, vil oscillasjonen gjenta en sinusoid. Hvis vi begynner å vurdere oscillasjonen fra posisjonen til maksimalt avvik, vil oscillasjonen bli beskrevet med en cosinus. Eller en slik oscillasjon kan beskrives med sinusformelen med en startfase.

Matematikkpendel

Tilstandsligning for en ideell gass. Gasslover.

Antall frihetsgrader: Dette er antallet uavhengige variabler (koordinater) som helt bestemmer posisjonen til systemet i rommet. I noen problemer betraktes et molekyl av en monoatomisk gass (fig. 1, a) som et materiell punkt, som gis tre frihetsgrader for translasjonsbevegelse. I dette tilfellet blir ikke energien til rotasjonsbevegelse tatt i betraktning. I mekanikk anses et molekyl av en diatomisk gass, til en første tilnærming, å være et sett av to materialpunkter som er stivt forbundet med en ikke-deformerbar binding (fig. 1, b). I tillegg til tre grader av frihet for translasjonsbevegelse, har dette systemet ytterligere to grader av frihet for rotasjonsbevegelse. Rotasjon rundt en tredje akse som går gjennom begge atomene er meningsløs. Dette betyr at en diatomisk gass har fem frihetsgrader ( Jeg= 5). Et triatomisk (fig. 1c) og polyatomisk ikke-lineært molekyl har seks frihetsgrader: tre translasjonsgrader og tre rotasjonsgrader. Det er naturlig å anta at det ikke er noen stiv forbindelse mellom atomer. Derfor, for ekte molekyler, er det også nødvendig å ta hensyn til graden av frihet for vibrasjonsbevegelse.

For et hvilket som helst antall frihetsgrader for et gitt molekyl, er tre frihetsgrader alltid translasjonelle. Ingen av de translasjonelle frihetsgradene har en fordel fremfor de andre, noe som betyr at hver av dem står for i gjennomsnitt samme energi, lik 1/3 av verdien<ε 0 >(energi av translasjonsbevegelse av molekyler): I statistisk fysikk er det avledet Boltzmanns lov om enhetlig fordeling av energi over molekylers frihetsgrader: for et statistisk system som er i en tilstand av termodynamisk likevekt, har hver translasjons- og rotasjonsfrihetsgrad en gjennomsnittlig kinetisk energi lik kT/2, og hver vibrasjonsfrihetsgrad har en gjennomsnittlig energi lik kT. Vibrasjonsgraden har dobbelt så mye energi, fordi den står for både kinetisk energi (som i tilfellet med translasjons- og rotasjonsbevegelser) og potensial, og gjennomsnittsverdiene for potensiell og kinetisk energi er de samme. Dette betyr at den gjennomsnittlige energien til et molekyl Hvor Jeg- summen av antall translasjons-, antall rotasjons- og to ganger antall vibrasjonsgrader av frihet for molekylet: Jeg=Jeg post + Jeg roter +2 Jeg vibrasjoner I den klassiske teorien vurderes molekyler med stive bindinger mellom atomer; for dem Jeg sammenfaller med antall frihetsgrader til molekylet. Siden i en ideell gass den gjensidige potensielle energien for interaksjon mellom molekyler er null (molekylene interagerer ikke med hverandre), vil den indre energien for ett mol gass være lik summen av kinetiske energiene N A til molekylene: (1 ) Intern energi for en vilkårlig masse m gass. hvor M er molar masse, ν - mengde stoff.

Svingninger bevegelser eller prosesser som er preget av en viss repeterbarhet over tid kalles. Oscillasjoner er utbredt i verden rundt og kan ha en helt annen karakter. Disse kan være mekaniske (pendel), elektromagnetiske (oscillerende kretser) og andre typer vibrasjoner.
Gratis, eller egen svingninger kalles svingninger som oppstår i et system som er overlatt til seg selv, etter at det er brakt ut av likevekt av en ytre påvirkning. Et eksempel er svingningen av en ball hengt i en streng.

Spesiell rolle i oscillerende prosesser har den enkleste formen for oscillasjoner - harmoniske vibrasjoner. Harmoniske svingninger danner grunnlaget for en enhetlig tilnærming til studiet av svingninger av forskjellig natur, siden svingninger som finnes i natur og teknologi ofte er nær harmoniske, og periodiske prosesser av en annen form kan representeres som en superposisjon av harmoniske svingninger.

Harmoniske vibrasjoner kalles slike svingninger der den oscillerende størrelsen endres med tiden i henhold til loven sinus eller kosinus.

Harmonisk ligninghar formen:

hvor en - vibrasjonsamplitude (størrelsen på det største avviket til systemet fra likevektsposisjonen); -sirkulær (syklisk) frekvens. Det periodisk skiftende argumentet til cosinus kalles oscillasjonsfase . Oscillasjonsfasen bestemmer forskyvningen av den oscillerende størrelsen fra likevektsposisjonen på et gitt tidspunkt t. Konstanten φ representerer faseverdien på tidspunktet t = 0 og kalles innledende oscillasjonsfase . Verdien av startfasen bestemmes av valget av referansepunktet. x-verdien kan ha verdier fra -A til +A.

Tidsintervallet T gjennom hvilket visse tilstander i oscillerende systemet gjentas, kalt svingeperioden . Cosinus er en periodisk funksjon med en periode på 2π, og i løpet av tidsperioden T, hvoretter oscillasjonsfasen vil motta en økning lik 2π, vil tilstanden til systemet som utfører harmoniske oscillasjoner gjenta seg. Denne tidsperioden T kalles perioden med harmoniske svingninger.

Perioden med harmoniske oscillasjoner er lik : T = 2π/ .

Antall oscillasjoner per tidsenhet kalles vibrasjonsfrekvens ν.
Harmonisk frekvens er lik: ν = 1/T. Frekvensenhet hertz(Hz) - en svingning per sekund.

Sirkulær frekvens = 2π/T = 2πν gir antall oscillasjoner i 2π sekunder.

Grafisk kan harmoniske svingninger avbildes som en avhengighet av x på t (fig. 1.1.A), og roterende amplitudemetode (vektordiagrammetode)(Fig.1.1.B) .

Den roterende amplitudemetoden lar deg visualisere alle parameterne som er inkludert i den harmoniske vibrasjonsligningen. Faktisk, hvis amplitudevektoren EN plassert i en vinkel φ til x-aksen (se figur 1.1. B), vil projeksjonen på x-aksen være lik: x = Acos(φ). Vinkelen φ er startfasen. Hvis vektoren EN bringe i rotasjon med en vinkelhastighet lik den sirkulære frekvensen av svingninger, så vil projeksjonen av enden av vektoren bevege seg langs x-aksen og ta verdier fra -A til +A, og koordinaten til denne projeksjonen vil endres over tid i henhold til loven:
.

Dermed er lengden på vektoren lik amplituden til den harmoniske oscillasjonen, retningen til vektoren i det innledende øyeblikket danner en vinkel med x-aksen lik startfasen av svingningene φ, og endringen i retningsvinkelen med tiden er lik fasen av de harmoniske svingningene. Tiden som amplitudevektoren gjør en hel omdreining er lik perioden T for harmoniske svingninger. Antall vektoromdreininger per sekund er lik oscillasjonsfrekvensen ν.

Harmoniske vibrasjoner

Funksjonsgrafer f(x) = synd( x) Og g(x) = cos( x) på det kartesiske flyet.

Harmonisk svingning- oscillasjoner der en fysisk (eller annen) størrelse endres over tid i henhold til en sinusformet eller cosinus-lov. Den kinematiske ligningen for harmoniske oscillasjoner har formen

Hvor X- forskyvning (avvik) av svingepunktet fra likevektsposisjonen på tidspunktet t; EN- amplitude av oscillasjoner, dette er verdien som bestemmer det maksimale avviket til svingepunktet fra likevektsposisjonen; ω - syklisk frekvens, en verdi som angir antall komplette svingninger som skjer innen 2π sekunder - full fase av svingninger, - startfase av svingninger.

Generalisert harmonisk oscillasjon i differensialform

(Enhver ikke-triviell løsning på denne differensialligningen er en harmonisk oscillasjon med en syklisk frekvens)

Typer vibrasjoner

Tidsutvikling av forskyvning, hastighet og akselerasjon i harmonisk bevegelse

• Gratis vibrasjoner utføres under påvirkning av interne krefter i systemet etter at systemet har blitt fjernet fra sin likevektsposisjon. For at frie oscillasjoner skal være harmoniske, er det nødvendig at det oscillerende systemet er lineært (beskrevet av lineære bevegelsesligninger), og det er ingen energispredning i det (sistnevnte vil forårsake dempning).
• Tvungede vibrasjoner utføres under påvirkning av en ekstern periodisk kraft. For at de skal være harmoniske, er det nok at det oscillerende systemet er lineært (beskrevet av lineære bevegelsesligninger), og selve den ytre kraften endres over tid som en harmonisk svingning (det vil si at tidsavhengigheten til denne kraften er sinusformet) .

applikasjon

Harmoniske vibrasjoner skiller seg ut fra alle andre typer vibrasjoner av følgende grunner:

se også

Notater

Litteratur

• Fysikk. Elementær lærebok i fysikk / Ed. G. S. Lansberg. - 3. utg. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Fysisk grunnlag for mekanikk. - M., 1963.
• A.M. Afonin. Fysisk grunnlag for mekanikk. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G.S. Svingninger og bølger. Innføring i akustikk, radiofysikk og optikk. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 s.

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "harmoniske svingninger" er i andre ordbøker:

Moderne leksikon

Harmoniske vibrasjoner- HARMONISKE VIBRASJONER, periodiske endringer i en fysisk mengde som skjer i henhold til sinusloven. Grafisk er harmoniske oscillasjoner representert av en sinusformet kurve. Harmoniske svingninger er den enkleste typen periodiske bevegelser, preget av... Illustrert encyklopedisk ordbok

Oscillasjoner der en fysisk størrelse endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus. Grafisk er GK-er representert av en buet sinusbølge eller cosinusbølge (se figur); de kan skrives på formen: x = Asin (ωt + φ) eller x... Stor sovjetisk leksikon

HARMONISKE VIBRASJONER, periodiske bevegelser som bevegelse av en PENDEL, atomvibrasjoner eller svingninger i en elektrisk krets. Et legeme utfører udempede harmoniske svingninger når det svinger langs en linje og beveger seg den samme... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Svingninger, med hvilke fysiske (eller en hvilken som helst annen) mengde endres over tid i henhold til en sinusformet lov: x=Asin(wt+j), hvor x er verdien av den fluktuerende mengden på et gitt tidspunkt. tidspunkt t (for mekanisk G.K., for eksempel forskyvning eller hastighet, for ... ... Fysisk leksikon

harmoniske vibrasjoner- Mekaniske svingninger, der generalisert koordinat og (eller) generalisert hastighet endres proporsjonalt med sinus med et argument lineært avhengig av tid. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 106. Mekaniske vibrasjoner. Vitenskapsakademiet … Teknisk oversetterveiledning

Svingninger, med hvilke fysiske (eller en hvilken som helst annen) mengde endres over tid i henhold til en sinusformet lov, der x er verdien av den oscillerende størrelsen på tidspunktet t (for mekaniske hydrauliske systemer, for eksempel forskyvning og hastighet, for elektrisk spenning og strømstyrke) ... Fysisk leksikon

HARMONISKE VIBRASJONER- (se), hvor fysisk. en mengde endres over tid i henhold til loven om sinus eller cosinus (for eksempel endringer (se) og hastighet under oscillasjon (se) eller endringer (se) og strømstyrke under elektriske kretser) ... Big Polytechnic Encyclopedia

De er karakterisert ved en endring i oscillerende verdien x (for eksempel pendelens avvik fra likevektsposisjonen, spenningen i vekselstrømkretsen osv.) i tid t i henhold til loven: x = Asin (?t) + ?), hvor A er amplituden til harmoniske oscillasjoner, ? hjørne ... ... Stor encyklopedisk ordbok

Harmoniske vibrasjoner- 19. Harmoniske svingninger Oscillasjoner der verdiene til den oscillerende mengden endres over tid i henhold til loven Kilde ... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon

Periodisk fluktuasjoner, der endringer i tid fysiske. størrelser oppstår i henhold til sinus- eller cosinusloven (se figur): s = Аsin(wt+ф0), hvor s er avviket til den oscillerende størrelsen fra gjennomsnittet. (likevekt) verdi, A=konst amplitude, w=konst sirkulær... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

Harmoniske oscillasjoner er svingninger utført i henhold til lovene for sinus og cosinus. Følgende figur viser en graf over endringer i koordinatene til et punkt over tid i henhold til cosinusloven.

bilde

Oscillasjonsamplitude

Amplituden til en harmonisk vibrasjon er den største verdien av forskyvningen av et legeme fra dets likevektsposisjon. Amplituden kan ha forskjellige verdier. Det vil avhenge av hvor mye vi forskyver kroppen i det første øyeblikket fra likevektsposisjonen.

Amplituden bestemmes av startforholdene, det vil si energien som tildeles kroppen i det første øyeblikket. Siden sinus og cosinus kan ta verdier i området fra -1 til 1, må ligningen inneholde en faktor Xm, som uttrykker amplituden til svingningene. Bevegelsesligning for harmoniske vibrasjoner:

x = Xm*cos(ω0*t).

Oscillasjonsperiode

Oscillasjonsperioden er tiden det tar å fullføre en komplett svingning. Svingningsperioden er betegnet med bokstaven T. Måleenhetene for perioden tilsvarer tidsenhetene. Det vil si at i SI er dette sekunder.

Oscillasjonsfrekvens er antall svingninger utført per tidsenhet. Oscillasjonsfrekvensen er angitt med bokstaven ν. Svingningsfrekvensen kan uttrykkes i form av oscillasjonsperioden.

ν = 1/T.

Frekvensenheter er i SI 1/sek. Denne måleenheten kalles Hertz. Antall oscillasjoner i løpet av en tid på 2*pi sekunder vil være lik:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Oscillasjonsfrekvens

Denne størrelsen kalles den sykliske frekvensen av svingninger. I noen litteratur vises navnet sirkulær frekvens. Den naturlige frekvensen til et oscillerende system er frekvensen av frie oscillasjoner.

Frekvensen av naturlige oscillasjoner beregnes ved å bruke formelen:

Hyppigheten av naturlige vibrasjoner avhenger av egenskapene til materialet og massen til lasten. Jo større fjærstivhet, jo større er frekvensen av dens egne vibrasjoner. Jo større massen på lasten er, desto lavere er frekvensen av naturlige svingninger.

Disse to konklusjonene er åpenbare. Jo stivere fjæren er, desto større akselerasjon vil den gi kroppen når systemet blir kastet ut av balanse. Jo større masse en kropp har, desto langsommere vil hastigheten til denne kroppen endres.

Fri oscillasjonsperiode:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Det er bemerkelsesverdig at ved små avbøyningsvinkler vil perioden med oscillasjon av kroppen på fjæren og oscillasjonsperioden for pendelen ikke avhenge av amplituden til oscillasjonene.

La oss skrive ned formlene for perioden og frekvensen av frie oscillasjoner for en matematisk pendel.

da blir perioden lik

T = 2*pi*√(l/g).

Denne formelen vil bare være gyldig for små avbøyningsvinkler. Fra formelen ser vi at oscillasjonsperioden øker med økende lengde på pendeltråden. Jo lengre lengde, jo langsommere vil kroppen vibrere.

Svingningsperioden avhenger ikke i det hele tatt av lastens masse. Men det avhenger av akselerasjonen av fritt fall. Når g avtar, vil oscillasjonsperioden øke. Denne egenskapen er mye brukt i praksis. For eksempel for å måle den nøyaktige verdien av fri akselerasjon.

Bevegelser som har ulik grad av repetisjon kalles svingninger.

Hvis verdiene av fysiske mengder som endres under bevegelse gjentas med like intervaller, kalles en slik bevegelse periodisk. Avhengig av den fysiske karakteren til den oscillerende prosessen, skilles mekaniske og elektromagnetiske oscillasjoner. I henhold til eksitasjonsmetoden er vibrasjoner delt inn i: gratis(egen), som forekommer i et system som presenteres for seg selv nær likevektsposisjonen etter en innledende innvirkning; tvunget– oppstår under periodisk ytre påvirkning.

Betingelser for forekomsten av frie oscillasjoner: a) når et legeme fjernes fra en likevektsposisjon, må det oppstå en kraft i systemet som har en tendens til å returnere det til likevektsposisjonen; b) friksjonskreftene i systemet må være tilstrekkelig små.

EN amplitude A er modulen for det maksimale avviket til svingepunktet fra likevektsposisjonen.

Oscillasjoner av et punkt som oppstår med konstant amplitude kalles udempet, og oscillasjoner med gradvis avtagende amplitude – falmer.

Tiden som en fullstendig oscillasjon oppstår kalles periode(T).

Frekvens periodiske oscillasjoner er antall komplette oscillasjoner utført per tidsenhet:

Enhet for vibrasjonsfrekvens - hertz(Hz). Hertz er frekvensen av svingninger hvis periode er lik 1 s: 1 Hz = 1 s –1.

Sykliskeller sirkulær frekvens periodiske oscillasjoner er antall komplette svingninger utført i løpet av tiden 2p med: . =rad/s.

Harmonisk- Dette er svingninger som er beskrevet av en periodisk lov:

eller (1)

hvor er en periodisk skiftende størrelse (forskyvning, hastighet, kraft, etc.), A er amplituden.

Et system hvis bevegelseslov har formen (1) kalles harmonisk oscillator . Sinus- eller kosinusargument kalt oscillasjonsfase. Svingningsfasen bestemmer forskyvningen på tidspunktet t. Den innledende fasen bestemmer forskyvningen av kroppen i det øyeblikket tidspunktet begynner.

Vurder forskyvningen x et oscillerende legeme i forhold til sin likevektsposisjon. Harmonisk vibrasjonsligning:

Den første avledet av tid gir uttrykket for kroppens bevegelseshastighet: ; (2)

Hastigheten når sin maksimale verdi på tidspunktet når =1: . Forskyvningen av punktet i dette øyeblikket er tidlig til null =0 (fig. 17.1, b).

Akselerasjon endres også med tiden i henhold til den harmoniske loven:

hvor er maksimal akselerasjonsverdi. Minustegnet betyr at akselerasjonen er rettet i motsatt retning av forskyvningen, dvs. akselerasjon og forskyvningsendring i motfase (fig. 17.1 V). Det kan sees at hastigheten når sin maksimale verdi når svingepunktet passerer likevektsposisjonen. I dette øyeblikket er forskyvningen og akselerasjonen null.