Integraler for dummies: hvordan løses, regneregler, forklaring. Grunnleggende egenskaper til ubestemt integral Egenskaper til ubestemte integraler av multiplikasjon

I denne artikkelen vil vi liste opp hovedegenskapene til det bestemte integralet. De fleste av disse egenskapene er bevist basert på konseptene til Riemann og Darboux definitive integral.

Beregningen av det bestemte integralet gjøres veldig ofte ved å bruke de fem første egenskapene, så vi vil referere til dem når det er nødvendig. De resterende egenskapene til det bestemte integralet brukes hovedsakelig til å evaluere ulike uttrykk.

Før du går videre grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet, la oss bli enige om at a ikke overstiger b.

For funksjonen y = f(x) definert ved x = a, er likheten sann.

Det vil si at verdien av et bestemt integral med samme grenser for integrasjon er lik null. Denne egenskapen er en konsekvens av definisjonen av Riemann-integralet, siden i dette tilfellet er hver integral sum for enhver partisjon av intervallet og ethvert valg av punkter lik null, siden derfor grensen for integralsummer er null.

For en funksjon som kan integreres på et intervall, .

Med andre ord, når de øvre og nedre grensene for integrasjon bytter plass, endres verdien av det bestemte integralet til det motsatte. Denne egenskapen til et bestemt integral følger også av konseptet med Riemann-integralet, bare nummereringen av partisjonen til segmentet skal begynne fra punktet x = b.

for funksjoner som kan integreres på et intervall y = f(x) og y = g(x) .

Bevis.

La oss skrive ned integralsummen av funksjonen for en gitt partisjon av et segment og et gitt valg av punkter:

hvor og er integral summene av funksjonene y = f(x) og y = g(x) for henholdsvis en gitt partisjon av segmentet.

Går til grensen kl vi oppnår at, ved definisjonen av Riemann-integralet, tilsvarer erklæringen om eiendommen som bevises.

Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet. Det vil si at for en funksjon y = f(x) som er integrerbar på et intervall og et vilkårlig tall k, gjelder følgende likhet: .

Beviset for denne egenskapen til det bestemte integralet er helt lik den forrige:


La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet X, og og så .

Denne egenskapen gjelder både , og eller .

Beviset kan utføres basert på de tidligere egenskapene til det bestemte integralet.

Hvis en funksjon er integrerbar på et intervall, så er den integrerbar på et hvilket som helst internt intervall.

Beviset er basert på egenskapen til Darboux-summer: hvis nye poeng legges til en eksisterende partisjon av et segment, vil ikke den nedre Darboux-summen reduseres, og den øvre vil ikke øke.

Hvis funksjonen y = f(x) er integrerbar på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, da .

Denne egenskapen er bevist gjennom definisjonen av Riemann-integralet: enhver integral sum for ethvert valg av partisjonspunkter for segmentet og punkter ved vil være ikke-negative (ikke positive).

Konsekvens.

For funksjonene y = f(x) og y = g(x) som kan integreres på et intervall, gjelder følgende ulikheter:


Denne uttalelsen betyr at integrering av ulikheter er tillatt. Vi vil bruke denne konsekvensen for å bevise følgende egenskaper.

La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet, så holder ulikheten .

Bevis.

Det er åpenbart det . I den forrige egenskapen fant vi ut at ulikheten kan integreres begrep for begrep, derfor er det sant . Denne doble ulikheten kan skrives som .

La funksjonene y = f(x) og y = g(x) være integrerbare på intervallet og for en hvilken som helst verdi av argumentet, så , Hvor Og .

Beviset utføres på samme måte. Siden m og M er de minste og høyeste verdi funksjon y = f(x) på segmentet , da . Å multiplisere den doble ulikheten med en ikke-negativ funksjon y = g(x) fører oss til følgende dobbel ulikhet. Ved å integrere det på intervallet kommer vi til utsagnet som blir bevist.

Konsekvens.

Hvis vi tar g(x) = 1, tar ulikheten formen .

Første gjennomsnittsformel.

La funksjonen y = f(x) være integrerbar på intervallet, Og , så er det et tall slik at .

Konsekvens.

Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på intervallet, så er det et tall slik at .

Den første gjennomsnittsverdiformelen i generalisert form.

La funksjonene y = f(x) og y = g(x) være integrerbare på intervallet, Og , og g(x) > 0 for en hvilken som helst verdi av argumentet. Så er det et tall slikt .

Andre gjennomsnittsformel.

Hvis funksjonen y = f(x) på et intervall er integrerbar, og y = g(x) er monoton, så eksisterer det et tall slik at likheten .

Hovedoppgaven til differensialregning er å finne den deriverte f'(x) eller differensial df=f'(x)dx funksjoner f(x). I integralregning er det inverse problemet løst. Av gitt funksjon f(x) må du finne en slik funksjon F(x), Hva F'(x)=f(x) eller dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Dermed, hovedoppgaven til integralregning er gjenoppretting av funksjon F(x) ved den kjente deriverte (differensial) av denne funksjonen. Integralregning har mange bruksområder innen geometri, mekanikk, fysikk og teknologi. Den gir en generell metode for å finne områder, volumer, tyngdepunkter osv.

Definisjon. FunksjonF(x), , kalles antiderivatet av funksjonenf(x) på settet X hvis det er differensierbart for noen ogF'(x)=f(x) ellerdF(x)=f(x)dx.

Teorem. Enhver sammenhengende linje i intervallet [en;b] funksjonf(x) har et antiderivat på dette segmentetF(x).

Teorem. HvisF 1 (x) ogF 2 (x) – to forskjellige antiderivater med samme funksjonf(x) på settet x, så skiller de seg fra hverandre med et konstant ledd, dvs.F 2 (x)=F 1x)+C, hvor C er en konstant.

Ikke bestemt integral, dens egenskaper.

Definisjon. TotalitetF(x)+Fra alle antideriverte funksjonerf(x) på settet kalles X et ubestemt integral og betegnes:

- (1)

I formel (1) f(x)dx kalt integrant uttrykk,f(x) – integrand funksjon, x – integrasjonsvariabel, EN C – integrasjonskonstant.

La oss se på egenskapene ubestemt integral, som følger av dens definisjon.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden, differensialen til det ubestemte integralet er lik integraden:

Og .

2. Ubestemt integral av differensialen til en funksjon lik summen denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

3. Konstantfaktoren a (a≠0) kan tas ut som tegnet på det ubestemte integralet:

4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til disse funksjonene:

5. HvisF(x) – antiderivat av funksjonenf(x), så:

6 (invarians av integrasjonsformler). Enhver integrasjonsformel beholder sin form hvis integrasjonsvariabelen erstattes av en hvilken som helst differensierbar funksjon av denne variabelen:

Hvoru er en differensierbar funksjon.

Tabell over ubestemte integraler.

La oss gi grunnleggende regler for integrering av funksjoner.

La oss gi tabell over grunnleggende ubestemte integraler.(Merk at her, som i differensialregning, bokstaven u kan betegnes som en uavhengig variabel (u=x), og en funksjon av den uavhengige variabelen (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integraler 1 – 17 kalles tabell.

Noen av formlene ovenfor i tabellen over integraler, som ikke har en analog i tabellen over derivater, verifiseres ved å differensiere deres høyre side.

Endring av variabel og integrasjon med deler i det ubestemte integralet.

Integrasjon ved substitusjon (variabel erstatning). La det være nødvendig å beregne integralet

, som ikke er tabellformet. Essensen av substitusjonsmetoden er at variabelen i integralet X erstatte med en variabel t i henhold til formelen x=φ(t), hvor dx=φ’(t)dt.

Teorem. La funksjonenx=φ(t) er definert og differensierbar på et bestemt sett T og la X være settet med verdier til denne funksjonen som funksjonen er definert påf(x). Så hvis på settet X funksjonenf(

Antiderivativ og ubestemt integral.

En antiderivert av en funksjon f(x) på intervallet (a; b) er en funksjon F(x) slik at likheten gjelder for enhver x fra det gitte intervallet.

Hvis vi tar i betraktning det faktum at den deriverte av konstanten C er lik null, så er likheten sann . Dermed har funksjonen f(x) et sett med antiderivater F(x)+C, for en vilkårlig konstant C, og disse antiderivatene skiller seg fra hverandre med en vilkårlig konstant verdi.

Hele settet med antiderivater av funksjonen f(x) kalles det ubestemte integralet til denne funksjonen og betegnes .

Uttrykket kalles integranden, og f(x) kalles integranden. Integranden representerer differensialen til funksjonen f(x).

Handlingen med å finne en ukjent funksjon gitt dens differensial kalles ubestemt integrasjon, fordi resultatet av integrasjon ikke er én funksjon F(x), men et sett av dens antideriverte F(x)+C.

Tabellintegraler

De enkleste egenskapene til integraler

1. Den deriverte av integrasjonsresultatet er lik integranden.

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon er lik summen av selve funksjonen og en vilkårlig konstant.

3. Koeffisienten kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet.

4. Det ubestemte integralet av summen/forskjellen av funksjoner er lik summen/forskjellen av de ubestemte integralene av funksjoner.

Intermediære likheter for den første og andre egenskapen til det ubestemte integralet er gitt for avklaring.

For å bevise den tredje og fjerde egenskapen, er det nok å finne derivatene til høyresiden av likhetene:

Disse derivatene er lik integrandene, som er et bevis på grunn av den første egenskapen. Den brukes også i de siste overgangene.

Dermed er integreringsproblemet det motsatte av problemet med differensiering, og det er en veldig nær sammenheng mellom disse problemene:

den første egenskapen lar en sjekke integrasjon. For å kontrollere riktigheten av integrasjonen som er utført, er det nok å beregne derivatet av resultatet som er oppnådd. Hvis funksjonen oppnådd som følge av differensiering viser seg å være lik integranden, vil dette bety at integrasjonen ble utført korrekt;

den andre egenskapen til det ubestemte integralet lar en finne dens antideriverte fra en kjent differensial av en funksjon. Den direkte beregningen av ubestemte integraler er basert på denne egenskapen.

1.4.Invarians av integrasjonsformer.

Invariant integrasjon er en type integrasjon for funksjoner hvis argumenter er elementer i en gruppe eller punkter i et homogent rom (hvilket som helst punkt i et slikt rom kan overføres til et annet ved en gitt handling av gruppen).

funksjonen f(x) reduserer til å beregne integralet til differensialformen f.w, hvor

En eksplisitt formel for r(x) er gitt nedenfor. Avtalebetingelsen har formen .

her betyr Tg skiftoperatoren på X ved å bruke gОG: Tgf(x)=f(g-1x). La X=G være en topologi, en gruppe som virker på seg selv ved venstreskift. Jeg og. eksisterer hvis og bare hvis G er lokalt kompakt (spesielt på uendelig dimensjonale grupper I.I. ikke eksisterer). For en undergruppe av I. og. karakteristisk funksjon cA (lik 1 på A og 0 utenfor A) spesifiserer venstre Xaar-mål m(A). Den definerende egenskapen til dette målet er dets invarians under venstreskift: m(g-1A)=m(A) for alle gОG. Det venstre Haar-målet på en gruppe er unikt definert opp til en positiv skalarfaktor. Hvis Haar-målet m er kjent, så I. og. funksjon f er gitt av formelen . Høyre Haar-mål har lignende egenskaper. Det er en kontinuerlig homomorfisme (kart som bevarer gruppeegenskapen) DG av gruppen G inn i gruppen (med hensyn til multiplikasjon) positur. tall for hvilke

hvor dmr og dmi er høyre og venstre Haar-mål. Funksjonen DG(g) kalles modul av gruppen G. Hvis , så kalles gruppen G. unimodulær; i dette tilfellet faller høyre og venstre Haar-mål sammen. Kompakte, semisimple og nilpotente (spesielt kommutative) grupper er unimodulære. Hvis G er en n-dimensjonal Lie-gruppe og q1,...,qn er en basis i rommet til venstre-invariante 1-former på G, så er venstre Haar-mål på G gitt av n-formen. I lokale koordinater for beregning

danner qi, kan du bruke hvilken som helst matriserealisering av gruppen G: matrisen 1-form g-1dg forblir invariant, og dens koeffisient. er venstre-invariante skalar 1-former som det nødvendige grunnlaget er valgt fra. For eksempel er den komplette matrisegruppen GL(n, R) unimodulær og Haar-målet på den er gitt av skjemaet. La X=G/H er et homogent rom der den lokalt kompakte gruppen G er en transformasjonsgruppe, og den lukkede undergruppen H er stabilisatoren til et bestemt punkt. For at en i.i. skal eksistere på X, er det nødvendig og tilstrekkelig at likheten DG(h)=DH(h) gjelder for alle hОH. Spesielt gjelder dette i tilfellet når H er kompakt eller halvenkel. Komplett teori om I. og. eksisterer ikke på uendelig dimensjonale manifolder.

Bytte ut variabler.

Disse egenskapene brukes til å utføre transformasjoner av integralet for å redusere det til en av de elementære integralene og videre beregning.

1. Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden:

2. Differensialen til det ubestemte integralet er lik integranden:

3. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

4. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

Dessuten er a ≠ 0

5. Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene:

6. Eiendom er en kombinasjon av eiendom 4 og 5:

Dessuten, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariansegenskapen til det ubestemte integralet:

Hvis da

8. Eiendom:

Hvis da

Faktisk er denne egenskapen et spesielt tilfelle av integrasjon ved bruk av variabel endringsmetoden, som diskuteres mer detaljert i neste avsnitt.

La oss se på et eksempel:

Først brukte vi egenskap 5, deretter egenskap 4, så brukte vi tabellen over antiderivater og fikk resultatet.

Algoritmen til vår online integrerte kalkulator støtter alle egenskapene som er oppført ovenfor og kan enkelt finne detaljert løsning for din integral.

Å løse integraler er en enkel oppgave, men bare for noen få utvalgte. Denne artikkelen er for de som ønsker å lære å forstå integraler, men vet ingenting eller nesten ingenting om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendig? Hvordan beregne det? Hva er bestemte og ubestemte integraler?

Hvis den eneste bruken du vet om for en integral er å bruke en heklenål formet som et integrert ikon for å få noe nyttig ut av vanskelig tilgjengelige steder, så velkommen! Finn ut hvordan du løser de enkleste og andre integralene og hvorfor du ikke kan klare deg uten det i matematikk.

Vi studerer konseptet « integrert »

Integrasjon var kjent tilbake i Det gamle Egypt. Selvfølgelig ikke i sin moderne form, men likevel. Siden den gang har matematikere skrevet mange bøker om dette emnet. Spesielt utmerket seg Newton Og Leibniz , men essensen av ting har ikke endret seg.

Hvordan forstå integraler fra bunnen av? Aldri! For å forstå dette emnet trenger du fortsatt en grunnleggende forståelse av det grunnleggende. matematisk analyse. Vi har allerede informasjon om grenser og derivater, nødvendig for å forstå integraler, på bloggen vår.

Ubestemt integral

La oss ha en funksjon f(x) .

Ubestemt integrert funksjon f(x) denne funksjonen kalles F(x) , hvis deriverte er lik funksjonen f(x) .

Med andre ord, en integral er en derivat i revers eller en antiderivat. Les forresten vår artikkel om hvordan du beregner derivater.

Antiderivatet finnes for alle kontinuerlige funksjoner. Også et konstant tegn legges ofte til antiderivatet, siden derivatene av funksjoner som avviker med en konstant sammenfaller. Prosessen med å finne integralet kalles integrasjon.

Enkelt eksempel:

For ikke å hele tiden beregne antiderivater elementære funksjoner, er det praktisk å oppsummere dem i en tabell og bruke ferdige verdier.

Komplett tabell over integraler for studenter

Sikker integral

Når vi har å gjøre med begrepet et integral, har vi å gjøre med uendelig små mengder. Integralet vil bidra til å beregne arealet til en figur, massen til en ujevn kropp, avstanden tilbakelagt under ujevn bevegelse og mye mer. Det bør huskes at et integral er summen av et uendelig stort antall infinitesimale ledd.

Som et eksempel, se for deg en graf for en funksjon.

Hvordan finne arealet til en figur avgrenset av grafen til en funksjon? Ved hjelp av en integral! La oss dele den kurvelinjeformede trapesen, begrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen, i uendelig små segmenter. På denne måten vil figuren deles inn i tynne kolonner. Summen av arealene til kolonnene vil være arealet av trapesen. Men husk at en slik beregning vil gi et omtrentlig resultat. Men jo mindre og smalere segmentene er, jo mer nøyaktig blir beregningen. Hvis vi reduserer dem i en slik grad at lengden har en tendens til null, vil summen av arealene til segmentene tendere til området til figuren. Dette er en bestemt integral, som er skrevet slik:

Punktene a og b kalles integrasjonsgrenser.

« Integral »

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på alle typer arbeid

Regler for beregning av integraler for dummies

Egenskaper til det ubestemte integralet

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her skal vi se på egenskapene til det ubestemte integralet, noe som vil være nyttig når du skal løse eksempler.

• Den deriverte av integralet er lik integranden:

• Konstanten kan tas ut under integrertegnet:

• Integralet av summen er lik summen av integralene. Dette gjelder også for forskjellen:

Egenskaper til en bestemt integral

• Linearitet:

• Tegnet på integralet endres hvis grensene for integrasjon byttes:

• På noen poeng en, b Og Med:

Vi har allerede funnet ut at et bestemt integral er grensen for en sum. Men hvordan få en bestemt verdi når man løser et eksempel? For dette er det Newton-Leibniz-formelen:

Eksempler på løsning av integraler

Nedenfor vil vi vurdere den ubestemte integralen og eksempler med løsninger. Vi foreslår at du finner ut vanskelighetene med løsningen selv, og hvis noe er uklart, still spørsmål i kommentarene.

For å forsterke materialet, se en video om hvordan integraler løses i praksis. Fortvil ikke hvis integralen ikke gis med en gang. Kontakt en profesjonell tjeneste for studenter, og enhver trippel eller buet integral over en lukket overflate vil være innenfor din makt.