Integraler og deres egenskaper. Grunnleggende egenskaper til det ubestemte integralet. Grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet

La funksjonen y = f(x) er definert på intervallet [ en, b ], en < b. La oss utføre følgende operasjoner:

1) la oss dele [ en, b] prikker en = x 0 < x 1 < ... < x Jeg- 1 < x Jeg < ... < x n = b på n delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) i hvert av delsegmentene [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n, velg et vilkårlig punkt og beregn verdien av funksjonen på dette punktet: f(z i ) ;

3) finn verkene f(z i ) · Δ x Jeg , hvor er lengden på delsegmentet [ x Jeg- 1 , x Jeg ], Jeg = 1, 2, ... n;

4) la oss gjøre opp integrert sum funksjoner y = f(x) på segmentet [ en, b ]:

MED geometrisk punkt Fra et visuelt perspektiv er denne summen σ summen av arealene av rektangler hvis baser er delsegmenter [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x Jeg- 1 , x Jeg ], ..., [x n- 1 , x n ], og høydene er like f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) tilsvarende (fig. 1). La oss betegne med λ lengden på det lengste delsegmentet:

5) finn grensen for integralsummen når λ → 0.

Definisjon. Hvis det er en endelig grense for integralsummen (1) og den ikke er avhengig av metoden for å partisjonere segmentet [ en, b] til delsegmenter, og heller ikke fra utvalget av punkter z i i dem, så kalles denne grensen bestemt integral fra funksjon y = f(x) på segmentet [ en, b] og er betegnet

Dermed,

I dette tilfellet funksjonen f(x) er kalt integrerbar på [ en, b]. Tall en Og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, f(x) – integrand funksjon, f(x ) dx– integrert uttrykk, x– integrasjonsvariabel; linjestykke [ en, b] kalles integrasjonsintervallet.

Teorem 1. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b], så er den integrerbar på dette intervallet.

Det bestemte integralet med de samme grensene for integrasjon er lik null:

Hvis en > b, da, per definisjon, antar vi

2. Geometrisk betydning av det bestemte integralet

La på segmentet [ en, b] en kontinuerlig ikke-negativ funksjon er spesifisert y = f(x ) . Krumlinjeformet trapes er en figur avgrenset ovenfor av grafen til en funksjon y = f(x), fra under - langs Ox-aksen, til venstre og høyre - rette linjer x = a Og x = b(Fig. 2).

Definitivt integral av en ikke-negativ funksjon y = f(x) fra et geometrisk synspunkt lik areal krumlinjet trapes avgrenset ovenfor av grafen til funksjonen y = f(x), venstre og høyre – linjestykker x = a Og x = b, fra under - et segment av okseaksen.

3. Grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet

1. Betydning bestemt integral er ikke avhengig av betegnelsen på integrasjonsvariabelen:

2. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet:

3. Det bestemte integralet av den algebraiske summen av to funksjoner er lik den algebraiske summen av de bestemte integralene til disse funksjonene:

4.Hvis funksjon y = f(x) er integrerbar på [ en, b] Og en < b < c, Det

5. (middelverditeorem). Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b], så på dette segmentet er det et punkt slik at

4. Newton–Leibniz formel

Teorem 2. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] Og F(x) er noen av dets antiderivater på dette segmentet, er følgende formel gyldig:

som kalles Newton–Leibniz formel. Forskjell F(b) - F(en) skrives vanligvis som følger:

hvor symbolet kalles et dobbelt jokertegn.

Dermed kan formel (2) skrives som:

Eksempel 1. Beregn integral

Løsning. For integranden f(x ) = x 2 har et vilkårlig antiderivat formen

Siden et hvilket som helst antiderivat kan brukes i Newton-Leibniz-formelen, for å beregne integralet tar vi antiderivatet som har den enkleste formen:

5. Endring av variabel i et bestemt integral

Teorem 3. La funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b]. Hvis:

1) funksjon x = φ ( t) og dens deriverte φ "( t) er kontinuerlige for ;

2) et sett med funksjonsverdier x = φ ( t) for er segmentet [ en, b ];

3) φ ( en) = en, φ ( b) = b, da er formelen gyldig

som kalles formel for å endre en variabel i et bestemt integral .

I motsetning til ubestemt integral, V i dette tilfellet ikke nødvendig for å gå tilbake til den opprinnelige integrasjonsvariabelen - det er nok bare å finne nye grenser for integrasjon α og β (for dette må du løse for variabelen t ligninger φ ( t) = en og φ ( t) = b).

I stedet for substitusjon x = φ ( t) kan du bruke substitusjon t = g(x). I dette tilfellet finne nye grenser for integrasjon over en variabel t forenkler: α = g(en) , β = g(b) .

Eksempel 2. Beregn integral

Løsning. La oss introdusere en ny variabel ved å bruke formelen. Ved å kvadrere begge sider av likheten får vi 1 + x = t 2 , hvor x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Vi finner nye grenser for integrering. For å gjøre dette, la oss erstatte de gamle grensene i formelen x = 3 og x = 8. Vi får: , hvorfra t= 2 og a = 2; , hvor t= 3 og β = 3. Så,

Eksempel 3. Regne ut

Løsning. La u= logg x, Deretter , v = x. I henhold til formel (4)

Antiderivativ og ubestemt integral.

En antiderivert av en funksjon f(x) på intervallet (a; b) er en funksjon F(x) slik at likheten gjelder for enhver x fra det gitte intervallet.

Hvis vi tar i betraktning det faktum at den deriverte av konstanten C er lik null, så er likheten sann . Dermed har funksjonen f(x) et sett med antiderivater F(x)+C, for en vilkårlig konstant C, og disse antiderivatene skiller seg fra hverandre med en vilkårlig konstant verdi.

Hele settet med antiderivater av funksjonen f(x) kalles det ubestemte integralet til denne funksjonen og betegnes .

Uttrykket kalles integranden, og f(x) kalles integranden. Integranden representerer differensialen til funksjonen f(x).

Handlingen med å finne en ukjent funksjon gitt dens differensial kalles ubestemt integrasjon, fordi resultatet av integrasjon ikke er én funksjon F(x), men et sett av dens antideriverte F(x)+C.

Tabellintegraler

De enkleste egenskapene til integraler

1. Den deriverte av integrasjonsresultatet er lik integranden.

2. Ubestemt integral av differensialfunksjonen lik summen funksjonen i seg selv og en vilkårlig konstant.

3. Koeffisienten kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet.

4. Det ubestemte integralet av summen/forskjellen av funksjoner er lik summen/forskjellen av de ubestemte integralene av funksjoner.

Intermediære likheter for den første og andre egenskapen til det ubestemte integralet er gitt for avklaring.

For å bevise den tredje og fjerde egenskapen, er det nok å finne derivatene til høyresiden av likhetene:

Disse derivatene er lik integrandene, som er et bevis på grunn av den første egenskapen. Den brukes også i de siste overgangene.

Dermed er integreringsproblemet det motsatte av problemet med differensiering, og det er en veldig nær sammenheng mellom disse problemene:

den første egenskapen lar en sjekke integrasjon. For å kontrollere riktigheten av integrasjonen som er utført, er det nok å beregne derivatet av resultatet som er oppnådd. Hvis funksjonen oppnådd som følge av differensiering viser seg å være lik integranden, vil dette bety at integrasjonen ble utført korrekt;

den andre egenskapen til det ubestemte integralet lar en finne dens antideriverte fra en kjent differensial av en funksjon. Den direkte beregningen av ubestemte integraler er basert på denne egenskapen.

1.4.Invarians av integrasjonsformer.

Invariant integrasjon er en type integrasjon for funksjoner hvis argumenter er elementer i en gruppe eller punkter i et homogent rom (hvilket som helst punkt i et slikt rom kan overføres til et annet ved en gitt handling av gruppen).

funksjonen f(x) reduserer til å beregne integralet til differensialformen f.w, hvor

En eksplisitt formel for r(x) er gitt nedenfor. Avtalebetingelsen har formen .

her betyr Tg skiftoperatoren på X ved å bruke gОG: Tgf(x)=f(g-1x). La X=G være en topologi, en gruppe som virker på seg selv ved venstreskift. Jeg og. eksisterer hvis og bare hvis G er lokalt kompakt (spesielt på uendelig dimensjonale grupper I.I. ikke eksisterer). For en undergruppe av I. og. karakteristisk funksjon cA (lik 1 på A og 0 utenfor A) spesifiserer venstre Xaar-mål m(A). Den definerende egenskapen til dette målet er dets invarians under venstreskift: m(g-1A)=m(A) for alle gОG. Det venstre Haar-målet på en gruppe er unikt definert opp til en positiv skalarfaktor. Hvis Haar-målet m er kjent, så I. og. funksjon f er gitt av formelen . Høyre Haar-mål har lignende egenskaper. Det er en kontinuerlig homomorfisme (kart som bevarer gruppeegenskapen) DG av gruppen G inn i gruppen (med hensyn til multiplikasjon) positur. tall for hvilke

hvor dmr og dmi er høyre og venstre Haar-mål. Funksjonen DG(g) kalles modul av gruppen G. Hvis , så kalles gruppen G. unimodulær; i dette tilfellet faller høyre og venstre Haar-mål sammen. Kompakte, semisimple og nilpotente (spesielt kommutative) grupper er unimodulære. Hvis G er en n-dimensjonal Lie-gruppe og q1,...,qn er en basis i rommet til venstre-invariante 1-former på G, så er venstre Haar-mål på G gitt av n-formen. I lokale koordinater for beregning

danner qi, kan du bruke hvilken som helst matriserealisering av gruppen G: matrisen 1-form g-1dg forblir invariant, og dens koeffisient. er venstre-invariante skalar 1-former som det nødvendige grunnlaget er valgt fra. For eksempel er den komplette matrisegruppen GL(n, R) unimodulær og Haar-målet på den er gitt av skjemaet. La X=G/H er et homogent rom der den lokalt kompakte gruppen G er en transformasjonsgruppe, og den lukkede undergruppen H er stabilisatoren til et bestemt punkt. For at en i.i. skal eksistere på X, er det nødvendig og tilstrekkelig at likheten DG(h)=DH(h) gjelder for alle hОH. Spesielt gjelder dette i tilfellet når H er kompakt eller halvenkel. Komplett teori om I. og. eksisterer ikke på uendelig dimensjonale manifolder.

Bytte ut variabler.

Å løse integraler er en enkel oppgave, men bare for noen få utvalgte. Denne artikkelen er for de som ønsker å lære å forstå integraler, men vet ingenting eller nesten ingenting om dem. Integral... Hvorfor er det nødvendig? Hvordan beregne det? Hva er bestemte og ubestemte integraler?

Hvis den eneste bruken du vet om for en integral er å bruke en heklenål formet som et integrert ikon for å få noe nyttig ut av vanskelig tilgjengelige steder, så velkommen! Finn ut hvordan du løser de enkleste og andre integralene og hvorfor du ikke kan klare deg uten det i matematikk.

Vi studerer konseptet « integrert »

Integrasjon var kjent tilbake i Det gamle Egypt. Selvfølgelig ikke i sin moderne form, men likevel. Siden den gang har matematikere skrevet mange bøker om dette emnet. Spesielt utmerket seg Newton Og Leibniz , men essensen av ting har ikke endret seg.

Hvordan forstå integraler fra bunnen av? Aldri! For å forstå dette emnet trenger du fortsatt en grunnleggende forståelse av det grunnleggende. matematisk analyse. Vi har allerede informasjon om , nødvendig for å forstå integraler, på bloggen vår.

Ubestemt integral

La oss ha en funksjon f(x) .

Ubestemt integrert funksjon f(x) denne funksjonen kalles F(x) , hvis deriverte er lik funksjonen f(x) .

Med andre ord, en integral er en derivat i revers eller en antiderivat. Les forresten om hvordan i artikkelen vår.

En antiderivativ eksisterer for alle kontinuerlige funksjoner. Også et konstant tegn legges ofte til antiderivatet, siden derivatene av funksjoner som avviker med en konstant sammenfaller. Prosessen med å finne integralet kalles integrasjon.

Enkelt eksempel:

For ikke å hele tiden beregne antiderivater elementære funksjoner, er det praktisk å oppsummere dem i en tabell og bruke ferdige verdier.

Komplett tabell over integraler for studenter

Sikker integral

Når vi har å gjøre med begrepet et integral, har vi å gjøre med uendelig små mengder. Integralet vil bidra til å beregne arealet til en figur, massen til en ujevn kropp, avstanden tilbakelagt under ujevn bevegelse og mye mer. Det bør huskes at et integral er summen av et uendelig stort antall infinitesimale ledd.

Som et eksempel, se for deg en graf for en funksjon.

Hvordan finne arealet til en figur avgrenset av grafen til en funksjon? Ved hjelp av en integral! La oss dele den kurvelinjeformede trapesen, begrenset av koordinataksene og grafen til funksjonen, i uendelig små segmenter. På denne måten vil figuren deles inn i tynne kolonner. Summen av arealene til kolonnene vil være arealet av trapesen. Men husk at en slik beregning vil gi et omtrentlig resultat. Men jo mindre og smalere segmentene er, jo mer nøyaktig blir beregningen. Hvis vi reduserer dem i en slik grad at lengden har en tendens til null, vil summen av arealene til segmentene tendere til området til figuren. Dette er en bestemt integral, som er skrevet slik:

Punktene a og b kalles integrasjonsgrenser.

« Integral »

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på

Regler for beregning av integraler for dummies

Egenskaper til det ubestemte integralet

Hvordan løser man et ubestemt integral? Her skal vi se på egenskapene til det ubestemte integralet, noe som vil være nyttig når du skal løse eksempler.

• Den deriverte av integralet er lik integranden:

• Konstanten kan tas ut under integrertegnet:

• Integralet av summen er lik summen av integralene. Dette gjelder også for forskjellen:

Egenskaper til en bestemt integral

• Linearitet:

• Tegnet på integralet endres hvis grensene for integrasjon byttes:

• På noen poeng en, b Og Med:

Vi har allerede funnet ut at et bestemt integral er grensen for en sum. Men hvordan få en bestemt verdi når man løser et eksempel? For dette er det Newton-Leibniz-formelen:

Eksempler på løsning av integraler

Nedenfor vil vi vurdere den ubestemte integralen og eksempler med løsninger. Vi foreslår at du finner ut vanskelighetene med løsningen selv, og hvis noe er uklart, still spørsmål i kommentarene.

For å forsterke materialet, se en video om hvordan integraler løses i praksis. Fortvil ikke hvis integralen ikke gis med en gang. Kontakt en profesjonell tjeneste for studenter, og enhver trippel eller buet integral over en lukket overflate vil være innenfor din makt.

Denne artikkelen snakker i detalj om hovedegenskapene til det bestemte integralet. De er bevist ved å bruke konseptet med Riemann og Darboux-integralen. Beregningen av en bestemt integral skjer takket være 5 egenskaper. De resterende brukes til å vurdere ulike uttrykk.

Før du går videre til hovedegenskapene til det bestemte integralet, er det nødvendig å sørge for at a ikke overstiger b.

Grunnleggende egenskaper til det bestemte integralet

Funksjonen y = f (x) definert ved x = a er lik den rettferdige likheten ∫ a a f (x) d x = 0.

Bevis 1

Av dette ser vi at verdien av integralet med sammenfallende grenser er lik null. Dette er en konsekvens av Riemann-integralet, fordi hver integralsum σ for enhver partisjon på intervallet [ a ; a ] og ethvert valg av punkter ζ i er lik null, fordi x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , som betyr at vi finner at grensen for integralfunksjoner er null.

Definisjon 2

For en funksjon som er integrerbar på intervallet [a; b ] , betingelsen ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x er oppfylt.

Bevis 2

Med andre ord, hvis du bytter de øvre og nedre grensene for integrasjon, vil verdien av integralet endres til motsatt verdi. Denne egenskapen er hentet fra Riemann-integralet. Imidlertid starter nummereringen av partisjonen til segmentet fra punktet x = b.

Definisjon 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x gjelder integrerbare funksjoner av typen y = f (x) og y = g (x) definert på intervallet [ a ; b].

Bevis 3

Skriv ned integralsummen av funksjonen y = f (x) ± g (x) for partisjonering i segmenter med et gitt valg av punkter ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

hvor σ f og σ g er integral summene av funksjonene y = f (x) og y = g (x) for partisjonering av segmentet. Etter passering til grensen ved λ = m a x i = 1, 2,. . . , n (x i - x i - 1) → 0 får vi at lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Fra Riemanns definisjon er dette uttrykket ekvivalent.

Definisjon 4

Utvide konstantfaktoren utover tegnet til det bestemte integralet. Integrert funksjon fra intervallet [a; b ] med en vilkårlig verdi k har en rimelig ulikhet av formen ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Bevis 4

Beviset for den bestemte integralegenskapen er lik den forrige:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Definisjon 5

Hvis en funksjon av formen y = f (x) er integrerbar på et intervall x med a ∈ x, b ∈ x, får vi at ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Bevis 5

Eiendommen anses gjeldende for c ∈ a; b, for c ≤ a og c ≥ b. Beviset ligner de tidligere egenskapene.

Definisjon 6

Når en funksjon kan integreres fra segmentet [a; b ], så er dette mulig for ethvert internt segment c; d ∈ a; b.

Bevis 6

Beviset er basert på Darboux-egenskapen: hvis poeng legges til en eksisterende partisjon av et segment, vil ikke den nedre Darboux-summen reduseres, og den øvre vil ikke øke.

Definisjon 7

Når en funksjon er integrerbar på [a; b ] fra f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 for enhver verdi x ∈ a ; b , da får vi at ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Egenskapen kan bevises ved å bruke definisjonen av Riemann-integralet: enhver integral sum for ethvert valg av partisjonspunkter for segmentet og punktene ζ i med betingelsen at f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 er ikke-negativ .

Bevis 7

Hvis funksjonene y = f (x) og y = g (x) er integrerbare på intervallet [ a ; b ], så anses følgende ulikheter som gyldige:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Takket være uttalelsen vet vi at integrering er tillatt. Denne konsekvensen vil bli brukt i beviset for andre egenskaper.

Definisjon 8

For en integrerbar funksjon y = f (x) fra intervallet [ a ; b ] vi har en rimelig ulikhet på formen ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Bevis 8

Vi har at - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Fra den forrige egenskapen fant vi at ulikheten kan integreres ledd for ledd og den tilsvarer en ulikhet på formen - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Denne doble ulikheten kan skrives på en annen form: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definisjon 9

Når funksjonene y = f (x) og y = g (x) er integrert fra intervallet [ a ; b ] for g (x) ≥ 0 for enhver x ∈ a ; b , får vi en ulikhet på formen m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , hvor m = m i n x ∈ a ; b f (x) og M = m a x x ∈ a; b f (x).

Bevis 9

Beviset utføres på lignende måte. M og m anses å være de største og minste verdiene av funksjonen y = f (x) definert fra segmentet [a; b ] , deretter m ≤ f (x) ≤ M . Det er nødvendig å multiplisere den doble ulikheten med funksjonen y = g (x), som gir verdien dobbel ulikhet av formen m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Det er nødvendig å integrere det på intervallet [a; b ] , så får vi påstanden bevist.

Konsekvens: For g (x) = 1, har ulikheten formen m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Første gjennomsnittsformel

For y = f (x) integrerbar på intervallet [ a ; b ] med m = m i n x ∈ a ; b f (x) og M = m a x x ∈ a; b f (x) det er et tall μ ∈ m; M , som passer ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Konsekvens: Når funksjonen y = f (x) er kontinuerlig fra intervallet [ a ; b ], så er det et tall c ∈ a; b, som tilfredsstiller likheten ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Den første gjennomsnittsformelen i generalisert form

Når funksjonene y = f (x) og y = g (x) er integrerbare fra intervallet [ a ; b ] med m = m i n x ∈ a ; b f (x) og M = m a x x ∈ a; b f (x) , og g (x) > 0 for en hvilken som helst verdi x ∈ a ; b. Herfra har vi at det er et tall μ ∈ m; M , som tilfredsstiller likheten ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Andre gjennomsnittsformel

Når funksjonen y = f (x) er integrerbar fra intervallet [ a ; b ], og y = g (x) er monotont, så er det et tall som c ∈ a; b , hvor vi oppnår en rettferdig likhet av formen ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I differensialregning løses problemet: under denne funksjonen finner ƒ(x) dens deriverte(eller differensial). Integralregning løser det inverse problemet: finn funksjonen F(x), og kjenn dens deriverte F "(x)=ƒ(x) (eller differensial). Den søkte funksjonen F(x) kalles antideriverten til funksjonen ƒ(x ).

Funksjonen F(x) kalles antiderivat funksjon ƒ(x) på intervallet (a; b), hvis for noen x є (a; b) likheten

F " (x)=ƒ(x) (eller dF(x)=ƒ(x)dx).

For eksempel, antideriverten til funksjonen y = x 2, x є R, er funksjonen, siden

Selvfølgelig vil alle funksjoner også være antiderivater

hvor C er en konstant, siden

Teorem 29. 1. Hvis funksjonen F(x) er en antiderivert av funksjonen ƒ(x) på (a;b), så er mengden av alle antideriverte for ƒ(x) gitt av formelen F(x)+ C, hvor C er et konstant tall.

▲ Funksjonen F(x)+C er en antiderivert av ƒ(x).

Faktisk, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

La Ф(x) være en annen, forskjellig fra F(x), antiderivert av funksjonen ƒ(x), dvs. Ф "(x)=ƒ(х). Så for enhver x є (а;b) har vi

Og dette betyr (se konsekvens 25.1) det

hvor C er et konstant tall. Derfor er Ф(x)=F(x)+С.▼

Settet med alle antideriverte funksjoner F(x)+С for ƒ(x) kalles ubestemt integral av funksjonen ƒ(x) og er angitt med symbolet ∫ ƒ(x) dx.

Altså per definisjon

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Her kalles ƒ(x). integrand funksjon, ƒ(x)dx — integrant uttrykk, X - integrasjonsvariabel, ∫ -tegn på det ubestemte integralet.

Operasjonen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere denne funksjonen.

Geometrisk er det ubestemte integralet en familie av "parallelle" kurver y=F(x)+C (hver numerisk verdi av C tilsvarer en spesifikk kurve i familien) (se fig. 166). Grafen til hvert antiderivat (kurve) kalles integrert kurve.

Har hver funksjon en ubestemt integral?

Det er et teorem som sier at "hver funksjon som er kontinuerlig på (a;b) har en antiderivert på dette intervallet," og følgelig et ubestemt integral.

La oss merke oss en rekke egenskaper til det ubestemte integralet som følger av dets definisjon.

1. Differensialet til det ubestemte integralet er lik integraden, og den deriverte av det ubestemte integralet er lik integraden:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Faktisk, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Takket være denne egenskapen kontrolleres integreringens korrekthet ved differensiering. For eksempel likestilling

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

sant, siden (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Det ubestemte integralet av differensialen til en viss funksjon er lik summen av denne funksjonen og en vilkårlig konstant:

∫dF(x)= F(x)+C.

Egentlig,

3. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:

α ≠ 0 er en konstant.

Egentlig,

(sett C 1 / a = C.)

4. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av et endelig antall kontinuerlige funksjoner er lik den algebraiske summen av integralene til summene av funksjonene:

La F"(x)=ƒ(x) og G"(x)=g(x). Deretter

hvor C1±C2=C.

5. (Invarians av integrasjonsformelen).

Hvis , hvor u=φ(x) er en vilkårlig funksjon med en kontinuerlig derivert.

▲ La x være en uavhengig variabel, ƒ(x) - kontinuerlig funksjon og F(x) er dets antigen. Deretter

La oss nå sette u=φ(x), hvor φ(x) er en kontinuerlig differensierbar funksjon. Tenk på den komplekse funksjonen F(u)=F(φ(x)). På grunn av invariansen av formen til funksjonens første differensial (se s. 160), har vi

Herfra▼

Dermed forblir formelen for det ubestemte integralet gyldig uavhengig av om integrasjonsvariabelen er den uavhengige variabelen eller en hvilken som helst funksjon av den som har en kontinuerlig derivert.

Så fra formelen ved å erstatte x med u (u=φ(x)) får vi

Spesielt,

Eksempel 29.1. Finn integralet

hvor C=C1+C2+C3+C4.

Eksempel 29.2. Finn den integrerte løsningen:

• 29.3. Tabell over grunnleggende ubestemte integraler

Ved å dra nytte av det faktum at integrasjon er den inverse virkningen av differensiering, kan man få en tabell med grunnleggende integraler ved å invertere de tilsvarende formlene for differensialregning (tabell over differensialer) og bruke egenskapene til det ubestemte integralet.

For eksempel, fordi

d(sin u)=cos u . du

Utledningen av en rekke formler i tabellen vil bli gitt når man vurderer de grunnleggende metodene for integrasjon.

Integralene i tabellen nedenfor kalles tabellformede. De bør være kjent utenat. I integralregning er det ingen enkle og universelle regler for å finne antiderivater av elementære funksjoner, som i differensialregning. Metoder for å finne antiderivater (dvs. integrere en funksjon) reduseres til å indikere teknikker som bringer en gitt (søkt) integral til en tabell. Derfor er det nødvendig å kjenne til tabellintegraler og kunne gjenkjenne dem.

Merk at i tabellen over grunnleggende integraler kan integrasjonsvariabelen betegne både en uavhengig variabel og en funksjon av den uavhengige variabelen (i henhold til invariansegenskapen til integrasjonsformelen).

Gyldigheten av formlene nedenfor kan verifiseres ved å ta differensialen på høyre side, som vil være lik integranden på venstre side av formelen.

La oss bevise for eksempel gyldigheten av formel 2. Funksjonen 1/u er definert og kontinuerlig for alle verdier av og annet enn null.

Hvis u > 0, så ln|u|=lnu, da Derfor

Hvis du<0, то ln|u|=ln(-u). НоMidler

Så formel 2 er riktig. På samme måte, la oss sjekke formel 15:

Tabell over hovedintegraler

Venner! Vi inviterer deg til å diskutere. Hvis du har din egen mening, skriv til oss i kommentarfeltet.