Studie av en funksjon for monotonisitet og ekstremumpunkter. Leksjon "studere en funksjon for monotonisitet"

Ekstrem og konveksitet.

Asymptoter av grafen til en funksjon

Definisjon.Kritisk punkt funksjoner på = f(X) er punktet der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Teorem. Hvis i intervallet (a; b) den deriverte positiv/negativ, så øker/minker funksjonen i dette intervallet.

Teorem. Hvis, ved passering gjennom det kritiske punktet, den deriverte endrer fortegn fra “+” til “−” (fra “−” til “+”), så er − maksimumspunktet (minimum) for funksjonen

Definisjon. Funksjon kalt konveks opp (ned) i intervallet (a; b), hvis punktene på grafen i dette intervallet ligger under (over) tangentene som er konstruert i disse punktene. Bøyningspunkt er et punkt i grafen til en funksjon som deler den inn i deler med forskjellige konveksitetsretninger.

Eksempel 2.3.

Utforsk funksjon for monotoni og ekstrema, konveksitet.

1. Vi undersøker funksjonen for monotonisitet og ekstrema.

La oss lage en tegning ( ris. 2.1).

y′′

x

−

−

+

y

utgave ned

utgave opp

utgave ned

Ris. 2.2. Studie av en funksjon for konveksitet

La oss beregne ordinatene til infleksjonspunktene til grafen:

Koordinater til bøyningspunkter: (0; 0), (1; −1).

2,32. Undersøk funksjonen for monotonisitet og ekstrema:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2,33. Finn de minste og største verdiene for funksjonen:

1) på intervallet;

2) på intervallet [−1; 1];

3) på intervallet [−4; 4];

4) på intervallet [−2; 1].

2,34. Produksjonskostnadene C (cu) avhenger av produksjonsvolumet X(enheter): Finn de høyeste produksjonskostnadene hvis X endringer over intervallet. Finn verdi X, hvor fortjenesten vil være maksimal dersom inntekten fra salg av en produksjonsenhet er lik 15 c.u. e.

2,35. Det er nødvendig å tildele en rektangulær tomt på 512 m2, gjerde den og dele den med et gjerde i tre like deler parallelt med en av sidene på stedet. Hva bør størrelsen på tomten være slik at minst mulig materiale brukes til gjerdet?

2,36. Gitt omkretsen til et rektangulært vindu, finn dimensjonene slik at det slipper inn mest mulig lys.

2,37. Finn maksimal fortjeneste hvis inntekt R og kostnader C bestemmes av formlene: hvor X− mengde solgte varer.

2,38. Avhengighet av produksjonsvolum W fra kapitalkostnader TIL bestemt av funksjonen
Finn endringsintervallet TIL, der økende kapitalkostnader er ineffektivt.

2,39. Kostnadsfunksjonen har formen Inntekt fra salg av en produksjonsenhet er lik 200. Finn den optimale verdien av produksjon for produsenten.

2,40. Avhengigheten av produksjonsvolumet (i monetære enheter) av kapitalkostnader bestemmes av funksjonen Finn verdiområdet der økende kapitalkostnader er ineffektivt.

2,41. Det antas at økningen i salget fra reklamekostnader (millioner rubler) bestemmes av forholdet Inntekt fra salg av en produksjonsenhet er lik 20 tusen rubler. Finn nivået på annonseringskostnadene der selskapet vil få maksimal fortjeneste.

2,42. Inntekten fra produksjon av produkter ved bruk av ressursenheter er lik Kostnaden for en ressursenhet er 10 den. enheter Hvor mye av en ressurs bør kjøpes inn for at overskuddet skal bli størst?

2,43. Kostnadsfunksjonen har formen Inntekten fra salg av en produksjonsenhet er 50. Finn den maksimale fortjenesteverdien som produsenten kan motta.

2,44. Avhengigheten av monopolets inntekt av produksjonsmengden er definert som: Kostnadsfunksjonen i dette intervallet har formen Finn den optimale utgangsverdien for monopolet.

2,45. Prisen for produktene til en monopolprodusent settes i samsvar med forholdet identifisert som . Med hvilken verdi av produktproduksjonen vil inntekten fra salget være størst?

2,46. Kostnadsfunksjonen har følgende form på på . Foreløpig nivået på produksjonen Under hvilken tilstand på parameteren s Er det lønnsomt for et selskap å redusere produksjonen hvis inntekten fra salg av en produksjonsenhet er 50?

Leksjon og presentasjon i algebra i 10. klasse over temaet: "Undersøkelse av en funksjon for monotonisitet. Forskningsalgoritme"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:
1. Reduserende og økende funksjoner.
2. Forholdet mellom derivert og monotonisitet av en funksjon.
3. To viktige teoremer om monotonisitet.
4. Eksempler.

Gutter, tidligere så vi på mange forskjellige funksjoner og plottet dem. La oss nå introdusere nye regler som fungerer for alle funksjonene som vi har vurdert og vil fortsette å vurdere.

Redusere og øke funksjoner

La oss se på konseptet med å øke og redusere funksjoner. Gutter, hva er en funksjon?

En funksjon er en korrespondanse y= f(x), der hver verdi av x er assosiert med en enkelt verdi av y.

La oss se på grafen til en funksjon:

Grafen vår viser: jo større x, jo mindre y. Så la oss definere en avtagende funksjon. En funksjon kalles avtagende hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

Hvis x2 > x1, så f(x2) La oss nå se på grafen til denne funksjonen:
Denne grafen viser at jo større x, jo større y. Så la oss definere en økende funksjon. En funksjon kalles økende hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen.
Hvis x2 > x1, så f(x2 > f(x1) eller: jo større x, jo større y.

Hvis en funksjon øker eller minker over et visst intervall, så sies det det det er monotont på dette intervallet.

Forholdet mellom derivert og monotonisitet av en funksjon

Gutter, la oss nå tenke på hvordan du kan bruke konseptet avledet når du studerer funksjonsgrafer. La oss tegne en graf med en økende differensierbar funksjon og tegne et par tangenter til grafen vår.

Hvis du ser på tangentene våre eller visuelt tegner en hvilken som helst annen tangent, vil du legge merke til at vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til x-aksen vil være spiss. Dette betyr at tangenten har en positiv helning. Tangent skråning lik verdien derivat i abscissen til tangenspunktet. Dermed er verdien av den deriverte positiv på alle punkter i grafen vår. For en økende funksjon gjelder følgende ulikhet: f"(x) ≥ 0, for et hvilket som helst punkt x.

Gutter, la oss nå se på grafen til en avtagende funksjon og konstruere tangenter til grafen til funksjonen.

La oss se på tangentene og visuelt tegne en hvilken som helst annen tangent. Vi vil legge merke til at vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til x-aksen er stump, noe som betyr at tangenten har en negativ helning. Dermed er verdien av den deriverte negativ på alle punkter i grafen vår. For en avtagende funksjon gjelder følgende ulikhet: f"(x) ≤ 0, for et hvilket som helst punkt x.

Så monotoniteten til en funksjon avhenger av tegnet til den deriverte:

Hvis en funksjon øker på et intervall og har en derivert på dette intervallet, vil ikke denne deriverte være negativ.

Hvis en funksjon avtar på et intervall og har en derivert på dette intervallet, vil ikke denne deriverte være positiv.

Viktig, slik at intervallene som vi vurderer funksjonen på er åpne!

To viktige teoremer om monotonisitet

Teorem 1. Hvis ulikheten f'(x) ≥ 0 gjelder ved alle punkter i et åpent intervall X (og likheten til den deriverte til null enten ikke gjelder eller gjelder, men bare ved et begrenset sett med punkter), vil funksjonen y= f(x) øker med intervallet X.

Teorem 2. Hvis ulikheten f'(x) ≤ 0 gjelder ved alle punkter i et åpent intervall X (og likheten til den deriverte til null enten ikke gjelder eller gjelder, men bare ved et begrenset sett med punkter), vil funksjonen y= f(x) avtar på intervallet X.

Teorem 3. Hvis på alle punkter av det åpne intervallet X er likheten
f’(x)= 0, da er funksjonen y= f(x) konstant på dette intervallet.

Eksempler på å studere en funksjon for monotonisitet

1) Bevis at funksjonen y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 øker på hele tallinjen.

Løsning: La oss finne den deriverte av funksjonen vår: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Siden graden ved x er partall, tar potensfunksjonen bare positive verdier. Så y" > 0 for enhver x, som betyr ved teorem 1, øker funksjonen vår langs hele tallinjen.

2) Bevis at funksjonen er avtagende: y= sin(2x) - 3x.

La oss finne den deriverte av funksjonen vår: y"= 2cos(2x) - 3.
La oss løse ulikheten:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Fordi -1 ≤ cos(x) ≤ 1, som betyr at ulikheten vår er tilfredsstilt for enhver x, så avtar ved setning 2 funksjonen y= sin(2x) - 3x.

3) Undersøk monotonisiteten til funksjonen: y= x 2 + 3x - 1.

Løsning: La oss finne den deriverte av funksjonen vår: y"= 2x + 3.
La oss løse ulikheten:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Da øker funksjonen vår for x ≥ -3/2, og avtar for x ≤ -3/2.
Svar: For x ≥ -3/2 øker funksjonen, for x ≤ -3/2 reduseres funksjonen.

4) Undersøk monotonisiteten til funksjonen: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Løsning: La oss finne den deriverte av funksjonen vår: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
La oss løse ulikheten: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Vår ulikhet er større enn eller lik null:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
La oss løse ulikheten:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Men dette er umulig, fordi... Kvadratrot er definert kun for positive uttrykk, noe som betyr at funksjonen vår ikke har avtagende intervaller.
Svar: for x ≥ 1/3 øker funksjonen.

Problemer å løse selvstendig

a) Bevis at funksjonen y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 øker langs hele tallinjen.
b) Bevis at funksjonen er avtagende: y= cos(5x) - 7x.
c) Undersøk monotoniteten til funksjonen: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Undersøk monotonisiteten til funksjonen: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Vi møttes første gang på et algebrakurs i 7. klasse. Når vi så på grafen til funksjonen, tok vi ned den tilsvarende informasjonen: hvis vi beveger oss langs grafen fra venstre til høyre, samtidig beveger oss fra bunn til topp (som om vi klatrer en bakke), så erklærte vi funksjonen til være økende (fig. 124); hvis vi beveger oss fra topp til bunn (gå ned en bakke), så erklærte vi funksjonen som avtagende (fig. 125).

Matematikere er imidlertid ikke veldig glad i denne metoden for å studere egenskapene til en funksjon. De mener at definisjoner av begreper ikke bør være basert på en tegning - tegningen skal bare illustrere en eller annen egenskap ved en funksjon på dens grafikk. La oss gi strenge definisjoner av begrepene økende og minkende funksjoner.

Definisjon 1. Funksjonen y = f(x) sies å være økende på intervallet X hvis, fra ulikheten x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definisjon 2. Funksjonen y = f(x) sies å være avtagende på intervallet X hvis ulikheten x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ulikhet f(x 1) > f(x 2).

I praksis er det mer praktisk å bruke følgende formuleringer:

en funksjon øker hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen;
en funksjon reduseres hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.

Ved å bruke disse definisjonene og egenskapene til numeriske ulikheter fastsatt i § 33, vil vi kunne underbygge konklusjoner om økning eller reduksjon av tidligere studerte funksjoner.

1. Lineær funksjon y = kx +m

Hvis k > 0, så øker funksjonen hele veien (fig. 126); hvis k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Bevis. La f(x) = kx +m. Hvis x 1< х 2 и k >Å, da, i henhold til egenskapen til 3 numeriske ulikheter (se § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineær funksjoner y = kx+ m.

Hvis x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2, og ifølge egenskap 2, fra kx 1 > kx 2 følger det at kx 1 + m> kx 2 + dvs.

Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Dette betyr en nedgang i funksjonen y = f(x), dvs. lineær funksjon y = kx + m.

Hvis en funksjon øker (minker) gjennom hele definisjonsdomenet, kan den kalles økende (minkende) uten å angi intervallet. For eksempel, om funksjonen y = 2x - 3 kan vi si at den øker langs hele tallinjen, men vi kan også si den kortere: y = 2x - 3 - økende
funksjon.

2. Funksjon y = x2

1. Tenk på funksjonen y = x 2 på strålen. La oss ta to ikke-positive tall x 1 og x 2 slik at x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Siden tallene - x 1 og - x 2 er ikke-negative, får vi ved å kvadrere begge sider av den siste ulikheten en ulikhet med samme betydning (-x 1) 2 > (-x 2) 2, dvs. Dette betyr at f(x 1) > f(x 2).

Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Derfor avtar funksjonen y = x 2 på strålen (- 00, 0] (fig. 128).

1. Betrakt en funksjon på intervallet (0, + 00).
La x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Dette betyr at funksjonen avtar på den åpne strålen (0, + 00) (fig. 129).

2. Betrakt en funksjon på intervallet (-oo, 0). La x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negative tall. Deretter - x 1 > - x 2, og begge sider av den siste ulikheten - positive tall, og derfor (vi brukte igjen ulikheten påvist i eksempel 1 fra § 33). Neste har vi, hvor vi kommer fra.

Så fra ulikheten x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) dvs. funksjonen reduseres på den åpne strålen (- 00 , 0)

Vanligvis kombineres begrepene "økende funksjon" og "avtagende funksjon" under det generelle navnet monoton funksjon, og studiet av en funksjon for å øke og redusere kalles studiet av en funksjon for monotonisitet.

Løsning.

1) La oss plotte funksjonen y = 2x2 og ta grenen til denne parabelen ved x< 0 (рис. 130).

2) Konstruer og velg dens del på segmentet (fig. 131).

3) La oss konstruere en hyperbel og velge dens del på den åpne strålen (4, + 00) (Fig. 132).
4) La oss avbilde alle tre "stykkene" i ett koordinatsystem - dette er grafen til funksjonen y = f(x) (fig. 133).

La oss lese grafen til funksjonen y = f(x).

1. Definisjonsdomenet til funksjonen er hele tallinjen.

2. y = 0 ved x = 0; y > 0 for x > 0.

3. Funksjonen avtar på strålen (-oo, 0], øker på segmentet, avtar på strålen, er konveks oppover på segmentet, konveks nedover på strålen)