Hvordan finne kvadratroten av et tall manuelt. Hva er en kvadratrot? Hva er kvadratroten av hundre?

Når man skal løse ulike oppgaver fra et matematikk- og fysikkkurs, blir elever og studenter ofte møtt med behovet for å trekke ut røtter fra andre, tredje eller n. grad. Selvfølgelig, i århundret informasjonsteknologier Det vil ikke være vanskelig å løse dette problemet ved hjelp av en kalkulator. Det oppstår imidlertid situasjoner når det er umulig å bruke den elektroniske assistenten.

For eksempel lar mange eksamener ikke ta med elektronikk. I tillegg kan det hende du ikke har en kalkulator for hånden. I slike tilfeller er det nyttig å kjenne til i det minste noen metoder for å beregne radikaler manuelt.

Finne kvadratrøtter ved hjelp av en tabell med kvadrater

En av de enkleste måtene å beregne røtter på er å ved hjelp av et spesielt bord. Hva er det og hvordan bruker du det riktig?

Ved å bruke tabellen kan du finne kvadratet til et hvilket som helst tall fra 10 til 99. Radene i tabellen inneholder verdiene til tiere, og kolonnene inneholder verdiene til enhetene. Cellen i skjæringspunktet mellom en rad og en kolonne inneholder kvadratet til et tosifret tall. For å regne ut kvadratet på 63 må du finne en rad med verdien 6 og en kolonne med verdien 3. I skjæringspunktet finner vi en celle med tallet 3969.

Siden å trekke ut roten er den omvendte operasjonen av kvadrering, for å utføre denne handlingen må du gjøre det motsatte: først finn cellen med tallet hvis radikal du vil beregne, og bruk deretter verdiene til kolonnen og raden for å bestemme svaret . Som et eksempel, vurder beregningen kvadratrot 169.

Vi finner en celle med dette tallet i tabellen, horisontalt bestemmer vi tiere - 1, vertikalt finner vi enheter - 3. Svar: √169 = 13.

På samme måte kan du beregne terning- og n-te røtter ved å bruke de riktige tabellene.

Fordelen med metoden er dens enkelhet og fraværet av ytterligere beregninger. Ulempene er åpenbare: Metoden kan bare brukes for et begrenset tallområde (tallet som roten finnes for må være i området fra 100 til 9801). I tillegg vil det ikke fungere hvis det gitte tallet ikke er i tabellen.

primtallsfaktorisering

Hvis tabellen med kvadrater ikke er for hånden eller det viste seg å være umulig å finne roten med dens hjelp, kan du prøve faktor tallet under roten inn i primfaktorer. Primære faktorer er de som kan være fullstendig (uten resten) delbare bare med seg selv eller med en. Eksempler kan være 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv.

La oss se på å beregne roten ved å bruke √576 som eksempel. La oss dele det ned i hovedfaktorer. Vi får følgende resultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Ved å bruke den grunnleggende egenskapen til røttene √a² = a, vil vi bli kvitt røtter og kvadrater, og deretter beregne svaret: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Hva skal jeg gjøre hvis noen av multiplikatorene ikke har sitt eget par? Tenk for eksempel på beregningen av √54. Etter faktorisering får vi resultatet på følgende form: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Den ikke-avtakbare delen kan stå under roten. For de fleste geometri- og algebraoppgaver vil dette svaret bli regnet som det endelige svaret. Men hvis det er behov for å beregne omtrentlige verdier, kan du bruke metoder som vil bli diskutert nedenfor.

Herons metode

Hva skal du gjøre når du i det minste trenger å vite omtrentlig hva den ekstraherte roten er lik (hvis det er umulig å få en heltallsverdi)? Et raskt og ganske nøyaktig resultat oppnås ved å bruke Heron-metoden. Essensen er å bruke en omtrentlig formel:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

der R er tallet hvis rot må beregnes, a er det nærmeste tallet hvis rotverdi er kjent.

La oss se på hvordan metoden fungerer i praksis og vurdere hvor nøyaktig den er. La oss regne ut hva √111 er lik. Tallet nærmest 111, hvis rot er kjent, er 121. Dermed er R = 111, a = 121. Bytt ut verdiene i formelen:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

La oss nå sjekke nøyaktigheten til metoden:

10,55² = 111,3025.

Metodens feil var omtrent 0,3. Hvis nøyaktigheten til metoden må forbedres, kan du gjenta de tidligere beskrevne trinnene:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

La oss sjekke nøyaktigheten av beregningen:

10,536² = 111,0073.

Etter å ha brukt formelen på nytt, ble feilen helt ubetydelig.

Beregning av roten ved lang divisjon

Denne metoden for å finne kvadratrotverdien er litt mer kompleks enn de forrige. Det er imidlertid den mest nøyaktige blant andre beregningsmetoder uten kalkulator.

La oss si at du må finne kvadratroten nøyaktig til 4 desimaler. La oss analysere beregningsalgoritmen ved å bruke eksemplet på et vilkårlig tall 1308.1912.

1. Del papirarket i 2 deler med en vertikal linje, og trekk deretter en annen linje fra det til høyre, litt under den øvre kanten. La oss skrive tallet på venstre side, dele det inn i grupper med 2 sifre, flytte til høyre og venstre side fra komma. Det aller første sifferet til venstre kan være uten et par. Hvis tegnet mangler på høyre side av tallet, bør du legge til 0. I vårt tilfelle vil resultatet være 13 08.19 12.
2. La oss velge det beste stort antall, hvis kvadrat vil være mindre enn eller lik den første gruppen med sifre. I vårt tilfelle er det 3. La oss skrive det øverst til høyre; 3 er det første sifferet i resultatet. Nederst til høyre angir vi 3×3 = 9; dette vil være nødvendig for senere beregninger. Fra 13 i kolonnen trekker vi 9, vi får resten av 4.
3. La oss tilordne det neste tallparet til resten 4; vi får 408.
4. Multipliser tallet øverst til høyre med 2 og skriv det nede til høyre, legg til _ x _ = til det. Vi får 6_ x _ =.
5. I stedet for bindestreker må du erstatte det samme tallet, mindre enn eller lik 408. Vi får 66 × 6 = 396. Vi skriver 6 fra øverst til høyre, siden dette er det andre sifferet i resultatet. Trekk 396 fra 408, vi får 12.
6. La oss gjenta trinn 3-6. Siden sifrene flyttet ned er i brøkdelen av tallet, er det nødvendig å sette et desimaltegn øverst til høyre etter 6. La oss skrive ned dobbeltresultatet med bindestreker: 72_ x _ =. Et passende tall vil være 1: 721×1 = 721. La oss skrive det ned som svaret. La oss trekke fra 1219 - 721 = 498.
7. La oss utføre sekvensen av handlinger gitt i forrige avsnitt tre ganger til for å få det nødvendige antallet desimaler. Hvis det ikke er nok tegn for videre beregninger, må du legge til to nuller til gjeldende tall til venstre.

Som et resultat får vi svaret: √1308.1912 ≈ 36.1689. Hvis du sjekker handlingen ved hjelp av en kalkulator, kan du forsikre deg om at alle tegn ble identifisert riktig.

Bitvis kvadratrotberegning

Metoden er svært nøyaktig. I tillegg er det ganske forståelig og krever ikke å huske formler eller en kompleks handlingsalgoritme, siden essensen av metoden er å velge riktig resultat.

La oss trekke ut roten til tallet 781. La oss se på rekkefølgen av handlinger i detalj.

1. La oss finne ut hvilket siffer i kvadratrotverdien som vil være mest signifikant. For å gjøre dette, la oss kvadrat 0, 10, 100, 1000, etc. og finne ut mellom hvilke av dem det radikale tallet er plassert. Vi får de 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. La oss velge verdien av tiere. For å gjøre dette bytter vi på å heve til potensen 10, 20, ..., 90 til vi får et tall som er større enn 781. For vårt tilfelle får vi 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. verdien av resultatet n vil være innenfor 20< n <30.
3. I likhet med forrige trinn velges verdien av enhetssifferet. La oss kvadrat 21,22, ..., 29 én etter én: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 8,2 Vi får = 7< n < 28.
4. Hvert påfølgende siffer (tideler, hundredeler osv.) beregnes på samme måte som vist ovenfor. Beregninger utføres til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd.

Video

Denne videoen viser deg hvordan du finner kvadratrøtter uten å bruke en kalkulator.

Ganske ofte, når vi løser problemer, står vi overfor store tall som vi trenger å trekke ut fra Kvadratrot. Mange elever bestemmer seg for at dette er en feil og begynner å løse hele eksemplet på nytt. Under ingen omstendigheter bør du gjøre dette! Det er to grunner til dette:

1. Røtter av store tall dukker opp i problemer. Spesielt i tekst;
2. Det er en algoritme der disse røttene beregnes nesten muntlig.

Vi vil vurdere denne algoritmen i dag. Kanskje noen ting vil virke uforståelige for deg. Men hvis du tar hensyn til denne leksjonen, vil du motta et kraftig våpen mot kvadratrøtter.

Så, algoritmen:

1. Begrens den nødvendige roten over og under til tall som er multipler av 10. Dermed vil vi redusere søkeområdet til 10 tall;
2. Fra disse 10 tallene, luk ut de som definitivt ikke kan være røtter. Som et resultat vil 1-2 tall gjenstå;
3. Kvaddra disse 1-2 tallene. Den hvis kvadrat er lik det opprinnelige tallet vil være roten.

Før vi setter denne algoritmen i praksis, la oss se på hvert enkelt trinn.

Rotbegrensning

Først av alt må vi finne ut mellom hvilke tall roten vår ligger. Det er svært ønskelig at tallene er multipler av ti:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Vi får en rekke tall:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Hva forteller disse tallene oss? Det er enkelt: vi får grenser. Ta for eksempel tallet 1296. Det ligger mellom 900 og 1600. Derfor kan roten ikke være mindre enn 30 og større enn 40:

[Tekst til bildet]

Det samme gjelder for alle andre tall som du kan finne kvadratroten fra. For eksempel, 3364:

[Tekst til bildet]

I stedet for et uforståelig tall får vi altså et helt spesifikt område der den opprinnelige roten ligger. For å begrense søkeområdet ytterligere, gå videre til det andre trinnet.

Eliminerer åpenbart unødvendige tall

Så vi har 10 tall - kandidater for roten. Vi fikk dem veldig raskt, uten kompleks tenkning og multiplikasjon i en kolonne. Det er på tide å gå videre.

Tro det eller ei, vi skal nå redusere antall kandidattall til to – igjen uten noen kompliserte beregninger! Det er nok å kjenne til spesialregelen. Her er det:

Det siste sifferet i kvadratet avhenger bare av det siste sifferet originalnummer.

Med andre ord, bare se på det siste sifferet i firkanten, og vi vil umiddelbart forstå hvor det opprinnelige tallet slutter.

Det er bare 10 sifre som kan komme på siste plass. La oss prøve å finne ut hva de blir til når de er kvadratiske. Ta en titt på tabellen:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Denne tabellen er enda et skritt mot å beregne roten. Som du kan se, viste tallene i den andre linjen seg å være symmetriske i forhold til de fem. For eksempel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Som du kan se, er det siste sifferet det samme i begge tilfeller. Det betyr at for eksempel roten til 3364 må ende på 2 eller 8. På den annen side husker vi begrensningen fra forrige avsnitt. Vi får:

[Tekst til bildet]

Røde firkanter indikerer at vi ennå ikke kjenner denne figuren. Men roten ligger i området fra 50 til 60, der det bare er to tall som slutter på 2 og 8:

[Tekst til bildet]

Det er alt! Av alle mulige røtter forlot vi bare to alternativer! Og dette er i det vanskeligste tilfellet, fordi det siste sifferet kan være 5 eller 0. Og da vil det bare være én kandidat for røttene!

Endelige beregninger

Så vi har 2 kandidatnummer igjen. Hvordan vet du hvilken som er roten? Svaret er åpenbart: kvadrat begge tallene. Den som kvadrat gir det opprinnelige tallet vil være roten.

For eksempel, for tallet 3364 fant vi to kandidattall: 52 og 58. La oss kvadrere dem:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Det er alt! Det viste seg at roten er 58! Samtidig, for å forenkle beregningene, brukte jeg formelen for kvadratene av sum og differanse. Takket være dette trengte jeg ikke engang å multiplisere tallene i en kolonne! Dette er et annet nivå av beregningsoptimalisering, men det er selvfølgelig helt valgfritt :)

Eksempler på beregning av røtter

Teori er selvfølgelig bra. Men la oss sjekke det i praksis.

[Tekst til bildet]

Først, la oss finne ut mellom hvilke tall tallet 576 ligger:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

La oss nå se på det siste tallet. Det er lik 6. Når skjer dette? Bare hvis roten ender på 4 eller 6. Vi får to tall:

Alt som gjenstår er å kvadre hvert tall og sammenligne det med originalen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Flott! Den første firkanten viste seg å være lik det opprinnelige tallet. Så dette er roten.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

La oss se på det siste sifferet:

1369 → 9;
33; 37.

Kvaddra det:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Her er svaret: 37.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

Vi begrenser antallet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

La oss se på det siste sifferet:

2704 → 4;
52; 58.

Kvaddra det:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Vi fikk svaret: 52. Det andre tallet trenger ikke lenger å være i annen.

Oppgave. Regn ut kvadratroten:

[Tekst til bildet]

Vi begrenser antallet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

La oss se på det siste sifferet:

4225 → 5;
65.

Som du kan se, er det bare ett alternativ igjen etter det andre trinnet: 65. Dette er den ønskede roten. Men la oss fortsatt kvadre det og sjekke:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alt er riktig. Vi skriver ned svaret.

Konklusjon

Akk, ikke bedre. La oss se på årsakene. Det er to av dem:

• I enhver vanlig matematikk-eksamen, enten det er statseksamen eller Unified State-eksamen, er bruk av kalkulatorer forbudt. Og tar du med en kalkulator inn i timen, kan du lett bli kastet ut av eksamen.
• Ikke vær som dumme amerikanere. Som ikke er som røtter - de kan ikke legge til to primtall. Og når de ser brøker, blir de generelt hysteriske.

Problemet med å finne en rot i matematikk er det omvendte problemet med å heve et tall til en potens. Det er forskjellige røtter: røtter av andre grad, røtter av tredje grad, røtter av fjerde grad, og så videre. Det avhenger av hvilken kraft tallet opprinnelig ble hevet til. Roten er indikert med symbolet: √ er en kvadratrot, det vil si roten av den andre graden; hvis roten har en grad større enn den andre, blir den tilsvarende graden tildelt over rottegnet. Tallet som står under rottegnet er et radikalt uttrykk. Når du finner en rot, er det flere regler som vil hjelpe deg å ikke gjøre en feil når du finner roten:

• En partall rot (hvis graden er 2, 4, 6, 8 osv.) av et negativt tall eksisterer IKKE. Hvis det radikale uttrykket er negativt, men roten til en oddetall søkes (3, 5, 7, og så videre), vil resultatet være negativt.
• Roten til enhver potens av én er alltid én: √1 = 1.
• Roten av null er null: √0 = 0.

Hvordan finne roten til 100

Hvis problemet ikke sier hvilken rot av graden som må finnes, betyr det vanligvis at det er nødvendig å finne roten til den andre graden (kvadrat).
La oss finne √100 = ? Vi må finne et tall som, når det heves til andre potens, gir tallet 100. Selvfølgelig er et slikt tall tallet 10, siden: 10 2 = 100. Derfor, √100 = 10: kvadratroten av 100 er 10.

Hva er en kvadratrot?

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Dette konseptet er veldig enkelt. Naturlig, vil jeg si. Matematikere prøver å finne en reaksjon for hver handling. Det er addisjon - det er også subtraksjon. Det er multiplikasjon - det er også divisjon. Det er kvadrating... Så det er også tar kvadratroten! Det er alt. denne handlingen ( kvadratrot) i matematikk er indikert med dette ikonet:

Selve ikonet kalles et vakkert ord " radikal".

Hvordan trekke ut roten? Det er bedre å se på eksempler.

Hva er kvadratroten av 9? Hvilket tall i annen gir oss 9? 3 kvadrat gir oss 9! De:

Men hva er kvadratroten av null? Ikke noe problem! Hvilket tall i annen utgjør null? Ja, det gir null! Midler:

Har det, hva er kvadratrot? Så vurderer vi eksempler:

Svar (i uorden): 6; 1; 4; 9; 5.

Besluttet? Hvor mye lettere er det egentlig?!

Men... Hva gjør en person når han ser en oppgave med røtter?

En person begynner å føle seg trist ... Han tror ikke på enkelheten og lettheten til røttene sine. Selv om han ser ut til å vite det hva er kvadratrot...

Dette er fordi personen ignorerte flere viktige punkter da han studerte røttene. Så tar disse motene grusom hevn på prøver og eksamener...

Punkt én. Du må gjenkjenne røttene ved synet!

Hva er kvadratroten av 49? Sju? Ikke sant! Hvordan visste du at det var syv? Kvadrat syv og fikk 49? Ikke sant! Vær oppmerksom på at trekke ut roten av 49 måtte vi gjøre omvendt operasjon - rute 7! Og pass på at vi ikke går glipp av. Eller de kunne ha gått glipp av...

Dette er vanskeligheten rotutvinning. Torget Du kan bruke hvilket som helst nummer uten problemer. Multipliser et tall med seg selv med en kolonne - det er alt. Men for rotutvinning Det finnes ingen så enkel og feilsikker teknologi. Vi må plukke opp svar og sjekk om det er riktig ved å kvadrere det.

Denne komplekse kreative prosessen - å velge et svar - er sterkt forenklet hvis du huske kvadrater av populære tall. Som en multiplikasjonstabell. Hvis for eksempel du trenger å multiplisere 4 med 6, legger du ikke fire 6 ganger, gjør du? Svaret 24 kommer umiddelbart. Selv om ikke alle får det, ja...

For å jobbe fritt og vellykket med røtter, er det nok å kjenne kvadratene til tall fra 1 til 20. Dessuten der Og tilbake. De. du bør enkelt kunne resitere både, for eksempel, 11 i kvadrat og kvadratroten av 121. For å oppnå denne memoreringen er det to måter. Den første er å lære rutetabellen. Dette vil være til stor hjelp for å løse eksempler. Det andre er å løse flere eksempler. Dette vil i stor grad hjelpe deg med å huske tabellen med firkanter.

Og ingen kalkulatorer! Kun for testformål. Ellers vil du sakte nådeløst ned under eksamen...

Så, hva er kvadratrot Og hvordan trekke ut røtter– Jeg synes det er klart. La oss nå finne ut HVA vi kan trekke dem ut fra.

Punkt to. Root, jeg kjenner deg ikke!

Hvilke tall kan du ta kvadratrøtter fra? Ja, nesten alle av dem. Det er lettere å forstå hva det kommer av det er forbudt trekke dem ut.

La oss prøve å beregne denne roten:

For å gjøre dette, må vi velge et tall som kvadrert vil gi oss -4. Vi velger.

Hva, passer det ikke? 2 2 gir +4. (-2) 2 gir igjen +4! Det er det... Det er ingen tall som, når de kvadreres, vil gi oss et negativt tall! Selv om jeg kjenner disse tallene. Men jeg vil ikke fortelle deg). Gå på college og du vil finne ut av det selv.

Den samme historien vil skje med et hvilket som helst negativt tall. Derav konklusjonen:

Et uttrykk der det er et negativt tall under kvadratrottegnet - gir ikke mening! Dette er en forbudt operasjon. Det er like forbudt som å dele på null. Husk dette faktum bestemt! Eller med andre ord:

Du kan ikke trekke ut kvadratrøtter fra negative tall!

Men av alle de andre er det mulig. For eksempel er det fullt mulig å beregne

Ved første øyekast er dette veldig vanskelig. Velge brøker og kvadrere dem... Ikke bekymre deg. Når vi forstår egenskapene til røtter, vil slike eksempler reduseres til samme tabell med kvadrater. Livet blir lettere!

Ok, brøker. Men vi møter fortsatt uttrykk som:

Det er greit. Alt det samme. Kvadratroten av to er tallet som gir oss to når vi kvadrerer det. Bare dette tallet er helt ujevnt... Her er det:

Det som er interessant er at denne brøken aldri tar slutt ... Slike tall kalles irrasjonelle. I kvadratrøtter er dette det vanligste. Det er forresten derfor uttrykk med røtter kalles irrasjonell. Det er klart at det er upraktisk å skrive en så uendelig brøk hele tiden. Derfor, i stedet for en uendelig brøk, lar de det være slik:

Hvis du, når du løser et eksempel, ender opp med noe som ikke kan trekkes ut, som:

så lar vi det være sånn. Dette vil være svaret.

Du må tydelig forstå hva ikonene betyr

Selvfølgelig, hvis roten av tallet er tatt glatt, du må gjøre dette. Svaret på oppgaven er i skjemaet, for eksempel

Ganske fullstendig svar.

Og selvfølgelig må du vite de omtrentlige verdiene fra minnet:

Denne kunnskapen hjelper i stor grad til å vurdere situasjonen i komplekse oppgaver.

Punkt tre. Den mest utspekulerte.

Hovedforvirringen i arbeidet med røtter er forårsaket av dette punktet. Det er han som gir tillit til sine egne evner... La oss håndtere dette punktet skikkelig!

La oss først ta kvadratroten av fire av dem igjen. Har jeg allerede plaget deg med denne roten?) Never mind, nå blir det interessant!

Hvilket tall kvadraterer 4? Vel, to, to - jeg hører misfornøyde svar...

Ikke sant. To. Men også minus to vil gi 4 i rute... I mellomtiden, svaret

riktig og svaret

grov feil. Som dette.

Så hva er greia?

Faktisk, (-2) 2 = 4. Og under definisjonen av kvadratroten av fire minus to ganske passende... Dette er også kvadratroten av fire.

Men! I skolematematikkkurset er det vanlig å vurdere kvadratrøtter bare ikke-negative tall! Det vil si at null og alle er positive. Til og med et spesielt begrep ble oppfunnet: fra nummeret EN- Dette ikke-negativ nummer hvis kvadrat er EN. Negative resultater når du trekker ut en aritmetisk kvadratrot blir ganske enkelt forkastet. På skolen er alt kvadratrøtter - aritmetikk. Selv om dette ikke er spesielt nevnt.

Ok, det er forståelig. Det er enda bedre å ikke bry seg med negative resultater... Dette er ennå ikke forvirring.

Forvirring begynner når man løser andregradsligninger. For eksempel må du løse følgende ligning.

Ligningen er enkel, vi skriver svaret (som lært):

Dette svaret (helt riktig, forresten) er bare en forkortet versjon to svar:

Stopp, stopp! Rett ovenfor skrev jeg at kvadratroten er et tall Alltid ikke-negativ! Og her er ett av svarene - negativ! Uorden. Dette er det første (men ikke det siste) problemet som forårsaker mistillit til røttene... La oss løse dette problemet. La oss skrive ned svarene (bare for å forstå!) slik:

Parentesen endrer ikke essensen i svaret. Jeg bare skilte det med parentes tegn fra rot. Nå kan du tydelig se at selve roten (i parentes) fortsatt er et ikke-negativt tall! Og tegnene er resultatet av å løse ligningen. Når alt kommer til alt, når vi løser en ligning, må vi skrive Alle X-er som, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi riktig resultat. Roten av fem (positiv!) med både pluss og minus passer inn i ligningen vår.

Som dette. Hvis du bare ta kvadratroten fra hva som helst, deg Alltid du får en ikke-negativ resultat. For eksempel:

Fordi det - aritmetisk kvadratrot.

Men hvis du løser en annengradsligning, som:

At Alltid det viser seg to svar (med pluss og minus):

Fordi dette er løsningen på ligningen.

Håp, hva er kvadratrot Du har poengene dine klare. Nå gjenstår det å finne ut hva som kan gjøres med røttene, hva deres egenskaper er. Og hva er poengene og fallgruvene... beklager, steiner!)

Alt dette er i de følgende leksjonene.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Blant de mange kunnskapene som er et tegn på leseferdighet, kommer alfabetet først. Det neste, like "tegn"-elementet er ferdighetene til addisjon-multiplikasjon og, ved siden av dem, men motsatt i betydning, aritmetiske operasjoner av subtraksjon-divisjon. Ferdighetene lært i fjern skolebarndom tjener trofast dag og natt: TV, avis, SMS, og overalt hvor vi leser, skriver, teller, legger til, trekker fra, multipliserer. Og fortell meg, har du ofte måttet trekke ut røtter i livet ditt, bortsett fra ved hytten? For eksempel et så underholdende problem, som kvadratroten av tallet 12345... Er det fortsatt krutt i kolbene? Klarer vi det? Ingenting kan være enklere! Hvor er kalkulatoren min... Og uten den er hånd-til-hånd-kamp svak?

La oss først avklare hva det er - kvadratroten av et tall. Generelt sett betyr "å ta roten til et tall" å utføre den aritmetiske operasjonen som er motsatt av å heve den til en potens - her har du enheten av motsetninger i livets anvendelse. La oss si at et kvadrat er multiplikasjonen av et tall med seg selv, det vil si, som det ble lært på skolen, X * X = A eller i en annen notasjon X2 = A, og i ord - "X i andre er lik A." Da høres det omvendte problemet slik ut: kvadratroten av tallet A er tallet X, som, når det kvadreres, er lik A.

Tar kvadratroten

Fra skolens regnekurs er det kjent beregningsmetoder "i en kolonne", som hjelper til med å utføre eventuelle beregninger ved å bruke de fire første regneoperasjonene. Akk... For kvadratiske, og ikke bare kvadratiske røtter, eksisterer ikke slike algoritmer. Og i dette tilfellet, hvordan trekke ut kvadratroten uten en kalkulator? Basert på definisjonen av kvadratroten er det bare én konklusjon - det er nødvendig å velge verdien av resultatet ved å sekvensielt telle tall hvis kvadrat nærmer seg verdien til det radikale uttrykket. Det er alt! Før en time eller to har gått, kan du beregne hvilken som helst kvadratrot ved å bruke den velkjente metoden for multiplikasjon i en "kolonne". Hvis du har ferdighetene, vil dette bare ta et par minutter. Selv en ikke så avansert bruker av en kalkulator eller PC kan gjøre dette med ett slag – fremgang.

Men seriøst, beregningen av kvadratroten utføres ofte ved å bruke "artillerigaffel"-teknikken: ta først et tall hvis kvadrat omtrent tilsvarer det radikale uttrykket. Det er bedre om "vår firkant" er litt mindre enn dette uttrykket. Deretter justerer de tallet etter egen dyktighet og forståelse, for eksempel ganger de med to, og... kvadrater det igjen. Hvis resultatet er større enn tallet under roten, justerer du suksessivt det opprinnelige tallet, og nærmer seg gradvis sin "kollega" under roten. Som du kan se - ingen kalkulator, bare muligheten til å telle "i en kolonne". Selvfølgelig er det mange vitenskapelig beviste og optimaliserte algoritmer for å beregne kvadratroten, men for "hjemmebruk" gir teknikken ovenfor 100% tillit til resultatet.

Ja, jeg glemte nesten, for å bekrefte vår økte leseferdighet, la oss beregne kvadratroten av det tidligere angitte tallet 12345. Vi gjør det trinn for trinn:

1. La oss ta, rent intuitivt, X=100. La oss regne ut: X * X = 10000. Intuisjonen er på sitt beste - resultatet er mindre enn 12345.

2. La oss prøve, også rent intuitivt, X = 120. Så: X * X = 14400. Og igjen, intuisjonen er i orden - resultatet er mer enn 12345.

3. Over fikk vi en "gaffel" på 100 og 120. La oss velge nye tall - 110 og 115. Vi får henholdsvis 12100 og 13225 - gaffelen smalner.

4. La oss prøve «kanskje» X=111. Vi får X * X = 12321. Dette tallet er allerede ganske nær 12345. I samsvar med den nødvendige nøyaktigheten kan "tilpasningen" fortsettes eller stoppes ved det oppnådde resultatet. Det er alt. Som lovet - alt er veldig enkelt og uten kalkulator.

Bare en liten historie...

Pytagoreerne, elever på skolen og tilhengere av Pythagoras, kom opp med ideen om å bruke kvadratrøtter, 800 år f.Kr. og så "løp" vi inn i nye funn innen tall. Og hvor kom det fra?

1. Å løse oppgaven med å trekke ut roten gir resultatet i form av tall av en ny klasse. De ble kalt irrasjonelle, med andre ord "urimelige", fordi. de er ikke skrevet som et fullstendig tall. Det mest klassiske eksemplet av denne typen er kvadratroten av 2. Dette tilfellet tilsvarer å beregne diagonalen til et kvadrat med en side lik 1 - dette er påvirkningen fra den pythagorasiske skolen. Det viste seg at i en trekant med en veldig spesifikk sidestørrelse, har hypotenusen en størrelse som er uttrykt med et tall som "ikke har noen ende." Slik så de ut i matematikk

2. Det er kjent at det viste seg at denne matematiske operasjonen inneholder en annen hake - når vi trekker ut roten, vet vi ikke hvilket tall, positivt eller negativt, som er kvadratet til det radikale uttrykket. Denne usikkerheten, det doble resultatet fra én operasjon, registreres på denne måten.

Studiet av problemer knyttet til dette fenomenet har blitt en retning i matematikken kalt teorien om komplekse variabler, som har stor praktisk betydning i matematisk fysikk.

Det er merkelig at den samme allestedsnærværende I. Newton brukte betegnelsen roten - radikal - i sin "Universal Arithmetic", og nøyaktig den moderne formen for notasjon av roten har vært kjent siden 1690 fra boken til franskmannen Rolle "Manual". av algebra".