1°

1°. Likninger av tangentplanet og normalen for tilfellet med en eksplisitt spesifikasjon av overflaten.

Tenk på en av de geometriske anvendelsene av partielle deriverte av en funksjon av to variabler. La funksjonen z = f(x;y) differensierbar på et punkt (x0; på 0) noe område DÎ R2. La oss kutte overflaten S , skildrer funksjon z, fly x = x 0 Og y = y 0(Fig. 11).

Fly X = x0 krysser overflaten S langs en eller annen linje z 0 (y ), hvis ligning er oppnådd ved substitusjon i uttrykket for den opprinnelige funksjonen z==f(x;y) i stedet for X tall x 0. Punktum M 0 (x 0;y0,f(x 0;y 0)) tilhører kurven z 0 (y). På grunn av den differensierbare funksjonen z på punktet M 0 funksjon z 0 (y) er også differensierbar på punktet y = y 0. Derfor, på dette punktet i flyet x = x 0 til kurven z 0 (y) tangent kan tegnes l 1.

Utfører lignende resonnement for avsnittet på = y 0, konstruer en tangent l 2 til kurven z 0 (x ) på punktet X = x 0 - Direkte 1 1 Og 1 2 definere et plan kalt tangentplan til overflaten S på punktet M 0 .

La oss lage en ligning for det. Siden flyet går gjennom punktet Mo(x 0;y0;z0), så kan ligningen skrives som

A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,

som kan skrives om slik:

z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(deler ligningen med -C og angir ).

La oss finne A 1 og B1.

Tangentligninger 1 1 Og 1 2 ser ut som

hhv.

Tangent l 1 ligger i flyet a , derav koordinatene til alle punktene l 1 tilfredsstille ligning (1). Dette faktum kan skrives som et system

Ved å løse dette systemet med hensyn til B 1 får vi det. Utføre lignende resonnement for tangenten l 3, det er lett å fastslå det .

Erstatter verdiene A 1 og B 1 inn i ligning (1), får vi den ønskede ligningen til tangentplanet:

En linje som går gjennom et punkt M 0 og vinkelrett på tangentplanet konstruert på dette punktet på overflaten kalles dens normal.

Ved å bruke betingelsen om vinkelrett på en linje og et plan, er det lett å få de kanoniske ligningene til normalen:

Kommentar. Formlene for tangentplanet og normalen til overflaten er oppnådd for vanlige, dvs. ikke entallspunkter, på overflaten. Punktum M 0 overflate kalles spesiell, hvis på dette tidspunktet alle partielle derivater er lik null eller minst én av dem ikke eksisterer. Vi vurderer ikke slike punkter.

Eksempel. Skriv likningene til tangentplanet og normalen til overflaten i punktet M(2; -1; 1).

Løsning. Finn de partielle deriverte av denne funksjonen og deres verdier ved punktet M

Derfor, ved å bruke formlene (2) og (3), vil vi ha: z-1=2(x-2)+2(y+1) eller 2x+2y-z-1=0- tangentplanligning og er de normale ligningene.

2°. Tangentplan og normalligninger for tilfellet med implisitt overflatespesifikasjon.

Hvis overflaten S gitt av ligningen F(x; y;z)= 0, deretter ligningene (2) og (3), tatt i betraktning det faktum at partielle deriverte kan finnes som deriverte av en implisitt funksjon.

Normalplanligning

1.

4.

Tangentplan og overflate normal

La noen overflate bli gitt, A er et fast punkt på overflaten og B er et variabelt punkt på overflaten,

(Figur 1).

Ikke-null vektor

→

n

kalt normal vektor til overflaten ved punkt A if

lim B→A j = π 2 .

Et overflatepunkt F (x, y, z) = 0 kalles ordinært hvis på dette punktet

1. partielle derivater F " x , F " y , F " z er kontinuerlige;
2. (F"x)2+(F"y)2+(F"z)2≠0.

Hvis minst en av disse betingelsene brytes, kalles et punkt på overflaten enkeltpunkt på overflaten .

Teorem 1. Hvis M(x 0 , y 0 , z 0 ) er et vanlig punkt på overflaten F (x , y , z) = 0 , deretter vektoren

→ n \u003d grad F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → Jeg + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

er normal til denne overflaten i punktet M (x 0 , y 0 , z 0 ).

Bevis gitt i boken av I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kurs høyere matematikk: Integralregning. Funksjoner av flere variabler. Differensiallikninger. M.: MEI Publishing House, 2002 (s. 128).

Normal til overflaten på et tidspunkt kalles en linje hvis retningsvektor er normal på overflaten på dette punktet og som går gjennom dette punktet.

Kanonisk normale ligninger kan representeres som

x − x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangent fly til overflaten på et tidspunkt kalles et plan som går gjennom dette punktet vinkelrett på normalen til overflaten på det punktet.

Av denne definisjonen følger det at tangentplanligning ser ut som:

(3)

Hvis et punkt på overflaten er entall, kan det hende at vektoren normal til overflaten på dette punktet ikke eksisterer, og følgelig kan overflaten ikke ha et normal- og et tangentplan.

Den geometriske betydningen av den totale differensialen til en funksjon av to variabler

La funksjonen z = f (x , y) være differensierbar i punktet a (x 0 , y 0 ). Grafen er overflaten

f (x, y) − z = 0.

La oss sette z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Da hører punktet A (x 0 , y 0 , z 0 ) til overflaten.

De partielle deriverte av funksjonen F (x , y , z) = f (x , y) − z er

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

og ved punkt A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. de er kontinuerlige;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .

Derfor er A et ordinært punkt på overflaten F (x, y, z) og på dette punktet er det et tangentplan til overflaten. I følge (3) har tangentplanligningen formen:

f "x (x 0, y 0 ) (x − x 0) + f" y (x 0, y 0) (y − y 0) − (z − z 0 ) = 0.

Den vertikale forskyvningen av et punkt på tangentplanet under overgangen fra punkt a (x 0 , y 0 ) til et vilkårlig punkt p (x , y) er B Q (fig. 2). Den tilsvarende applikasjonsstigningen er

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Her på høyre side er differensialen d z av funksjonen z = f (x, y) i punktet a (x 0 , x 0 ). Derfor,
d f (x 0 , y 0 ). er økningen av applikatet til punktet til planet som tangerer grafen til funksjonen f (x, y) i punktet (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Det følger av definisjonen av differensialen at avstanden mellom punktet P på funksjonsgrafen og punktet Q på tangentplanet er uendelig mye mer høy orden enn avstanden fra punkt p til punkt a.

På et tidspunkt og har kontinuerlige partielle derivater ved seg, hvorav minst en ikke forsvinner, vil overflaten gitt av ligning (1) i nærheten av dette punktet være riktig overflate.

I tillegg til ovennevnte implisitt måte å sette på overflate kan defineres helt klart, hvis en av variablene, for eksempel z, kan uttrykkes i form av de andre:

finnes også parametrisk tildelingsmetode. I dette tilfellet bestemmes overflaten av ligningssystemet:

Konseptet med en enkel overflate

Mer nøyaktig, vanlig overflate er bildet av en homeomorf kartlegging (det vil si en en-til-en og gjensidig kontinuerlig kartlegging) av det indre av enhetsfirkanten. Denne definisjonen kan gis et analytisk uttrykk.

La et kvadrat gis på et plan med et rektangulært koordinatsystem u og v, hvor koordinatene til de indre punktene tilfredsstiller ulikhetene 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для ulike punkter(u, v) og (u", v") var forskjellige korresponderende punkter (x, y, z) og (x", y", z").

Et eksempel enkel overflate er en halvkule. Hele området er det ikke vanlig overflate. Dette nødvendiggjør en ytterligere generalisering av begrepet en overflate.

En delmengde av rom der hvert punkt har et nabolag som er vanlig overflate, er kalt riktig overflate .

Overflate i differensialgeometri

Helicoid

katenoid

Metrikken bestemmer ikke entydig formen på overflaten. For eksempel sammenfaller metrikkene til en helikoid og en katenoid , parametrisert på en passende måte, det vil si at det er en samsvar mellom regionene deres som bevarer alle lengder (isometri). Egenskaper som er bevart under isometriske transformasjoner kalles indre geometri overflater. Den indre geometrien er ikke avhengig av posisjonen til overflaten i rommet og endres ikke når den bøyes uten spenning og kompresjon (for eksempel når en sylinder bøyes til en kjegle).

Metriske koeffisienter bestemmer ikke bare lengdene på alle kurver, men generelt resultatene av alle målinger inne i overflaten (vinkler, arealer, krumning, etc.). Derfor refererer alt som bare avhenger av metrikken til den interne geometrien.

Normal og normal seksjon

Normale vektorer ved overflatepunkter

En av hovedkarakteristikkene til en overflate er dens normal- enhetsvektor vinkelrett på tangentplanet i et gitt punkt:

.

Normalens tegn avhenger av valg av koordinater.

Seksjonen av en overflate ved et plan som inneholder normalen (i et gitt punkt) danner en viss kurve på overflaten, som kalles normal seksjon overflater. Hovednormalen for et normalt snitt faller sammen med normalen til overflaten (opp til et tegn).

Hvis kurven på overflaten ikke er et normalsnitt, danner dens hovednormal en vinkel θ med overflatenormalen. Så krumningen k kurve er relatert til kurvatur k n normal seksjon (med samme tangent) Meuniers formel:

Koordinatene til normalvektoren for forskjellige måter å spesifisere overflaten på er gitt i tabellen:

	Normale koordinater ved et overflatepunkt
implisitt oppdrag
eksplisitt oppdrag
parametrisk oppgave

Krumning

For forskjellige retninger på et gitt punkt på overflaten oppnås en annen krumning av normalsnittet, som kalles normal krumning; det tildeles et plusstegn hvis hovednormalen til kurven går i samme retning som normalen til overflaten, eller et minustegn hvis retningene til normalene er motsatte.

Generelt sett er det to vinkelrette retninger på hvert punkt på overflaten e 1 og e 2, hvor den normale krumning tar minimums- og maksimumsverdiene; disse retningene kalles hoved-. Et unntak er tilfellet når den normale krumningen er den samme i alle retninger (for eksempel nær en kule eller på slutten av en omdreiningsellipsoide), så er alle retninger i et punkt hovedretningen.

Overflater med negativ (venstre), null (sentrum) og positiv (høyre) krumning.

Normale krumninger i hovedretninger kalles hovedkurvaturer; la oss betegne dem med κ 1 og κ 2 . Størrelse:

K= κ 1 κ 2

kalt Gaussisk krumning, full krumning eller rett og slett krumning overflater. Det er også begrepet krumning skalar, som innebærer resultatet av konvolusjon av krumningstensoren ; i dette tilfellet er krumningens skalar dobbelt så stor som den gaussiske krumningen.

Den gaussiske krumningen kan beregnes i form av metrikken, og derfor er den et objekt for overflatens iboende geometri (merk at de viktigste krumningene ikke tilhører den indre geometrien). Ved tegnet på krumning kan du klassifisere punktene på overflaten (se figur). Krumningen til planet er null. Krumningen til en kule med radius R er overalt lik . Det er også en overflate med konstant negativ krumning - en pseudosfære.

Geodesiske linjer, geodesisk krumning

Kurven på overflaten kalles geodetisk linje, eller rett og slett geodetisk, hvis hovednormalen til kurven på alle sine punkter sammenfaller med normalen til overflaten. Eksempel: på et plan vil geodesikk være rette linjer og linjesegmenter, på en kule - store sirkler og deres segmenter.

Ekvivalent definisjon: for en geodesisk linje er projeksjonen av hovednormalen på det sammenhengende planet nullvektoren. Hvis kurven ikke er en geodesisk, er den angitte projeksjonen ikke null; dens lengde kalles geodesisk krumning k g kurve på overflaten. Det er en sammenheng:

,

Hvor k er krumningen til denne kurven, k n- krumning av normalsnittet med samme tangent.

Geodesiske linjer refererer til intern geometri. Vi viser hovedegenskapene deres.

• En og bare én geodesisk passerer gjennom et gitt punkt på overflaten i en gitt retning.
• På et tilstrekkelig lite område av overflaten kan to punkter alltid være forbundet med en geodesisk, og dessuten bare ett. Forklaring: på en kule er motsatte poler forbundet med et uendelig antall meridianer, og to nære punkter kan kobles ikke bare med et segment av en stor sirkel, men også ved at det legges til en hel sirkel, slik at unikhet bare observeres i en liten.
• Den geodesiske er den korteste. Mer strengt: på et lite stykke av overflaten ligger den korteste veien mellom gitte punkter langs geodesikken.

Torget

En annen viktig egenskap ved overflaten er dens torget, som beregnes med formelen:

Grafen til en funksjon av 2 variabler z = f(x,y) er en overflate projisert på XOY-planet inn i domenet til funksjonen D.
Tenk på overflaten σ , gitt ved ligningen z = f(x,y) , hvor f(x,y) er en differensierbar funksjon, og la M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) være et fast punkt på overflaten σ , dvs. z0 = f(x0,y0). Avtale. Den elektroniske kalkulatoren er laget for å finne tangentplan og overflatenormalligninger. Avgjørelsen tas i Word-format. Hvis du trenger å finne ligningen for tangenten til kurven (y = f(x)), må du bruke denne tjenesten.

Regler for funksjonsinnføring:

Regler for funksjonsinnføring:

1. Alle variabler er uttrykt som x,y,z

Tangent plan til overflate σ på hennes punkt M 0 er planet der tangentene til alle kurver tegnet på overflaten ligger σ gjennom et punkt M 0 .
Ligningen til tangentplanet til overflaten gitt av ligningen z = f(x,y) i punktet M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) har formen:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

Vektoren kalles overflatenormalvektoren σ ved punktet M 0 . Normalvektoren er vinkelrett på tangentplanet.
Normal til overflaten σ på punktet M 0 er en rett linje som går gjennom dette punktet og har retningen til vektoren N.
De kanoniske ligningene til normalen til overflaten gitt av ligningen z = f(x,y) i punktet M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), der z 0 = f(x 0 ,y 0), har formen:

Eksempel #1. Overflaten er gitt av ligningen x 3 +5y . Finn ligningen til tangentplanet til overflaten i punktet M 0 (0;1).
Løsning. La oss skrive tangentligningene i generell form: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0 )
Etter betingelsen for oppgaven x 0 = 0, y 0 = 1, så z 0 = 5
Finn de partielle deriverte av funksjonen z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Ved punktet M 0 (0,1), verdiene til partielle derivater:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Ved å bruke formelen får vi likningen til tangentplanet til overflaten i punktet M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) eller -5 y + z = 0

Eksempel #2. Overflaten er gitt implisitt y 2 -1/2*x 3 -8z. Finn ligningen til tangentplanet til overflaten i punktet M 0 (1;0;1).
Løsning. Vi finner partielle deriverte av funksjonen. Siden funksjonen er gitt i en implisitt form, ser vi etter derivater med formelen:

For vår funksjon:

Deretter:

Ved punktet M 0 (1,0,1) verdiene til partielle derivater:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Ved å bruke formelen får vi ligningen til tangentplanet til overflaten i punktet M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) eller 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Eksempel. Flate σ gitt av ligningen z= y/x + xy – 5x 3 . Finn ligningen til tangentplanet og normalen til overflaten σ på punktet M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tilhørende den hvis x 0 = –1, y 0 = 2.
La oss finne de partielle deriverte av funksjonen z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15x 2 ;
f y' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Punktum M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tilhører overflaten σ , så vi kan beregne z 0 , erstatter det gitte x 0 = -1 og y 0 = 2 inn i overflateligningen:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
På punktet M 0 (–1, 2, 1) verdier av partielle derivater:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Ved å bruke formel (5) får vi likningen til tangentplanet til overflaten σ på punktet M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Ved å bruke formel (6) får vi de kanoniske ligningene til normalen til overflaten σ på punktet M 0: .
Svar: Tangentplanligning: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normale ligninger: .

Eksempel #1. Gitt en funksjon z \u003d f (x, y) og to punkter A (x 0, y 0) og B (x 1, y 1). Nødvendig: 1) beregne verdien z 1 av funksjonen i punkt B; 2) beregne den omtrentlige verdien z 1 av funksjonen i punkt B basert på verdien z 0 til funksjonen i punkt A, og erstatte økningen av funksjonen under overgangen fra punkt A til punkt B med en differensial; 3) komponer likningen til tangentplanet til overflaten z = f(x,y) i punktet C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Løsning.
Vi skriver tangentligningene i generell form:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
I henhold til tilstanden til oppgaven x 0 = 1, y 0 = 2, så z 0 = 25
Finn de partielle deriverte av funksjonen z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
Ved punktet M 0 (1.2), verdiene til partielle derivater:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Ved å bruke formelen får vi ligningen til tangentplanet til overflaten i punktet M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
eller
-26x-36y+z+73 = 0

Eksempel #2. Skriv likningene til tangentplanet og normalen til den elliptiske paraboloiden z = 2x 2 + y 2 i punktet (1;-1;3).

Tangentplan spiller en stor rolle i geometri. Konstruksjonen av tangentplan er praktisk viktig, siden deres tilstedeværelse lar deg bestemme retningen til normalen til overflaten ved kontaktpunktet. Dette problemet er mye brukt i ingeniørpraksis. Hjelpen fra tangentplan brukes også til å bygge essays geometriske former avgrenset av lukkede flater. I teoretiske termer brukes plan som tangerer en overflate i differensialgeometri for å studere egenskapene til en overflate i området til et tangentpunkt.

Grunnleggende begreper og definisjoner

Planet tangent til overflaten bør betraktes som grenseposisjonen til sekantplanet (lik linjen tangent til kurven, som også er definert som grenseposisjonen til sekanten).

Planet tangent til overflaten i et gitt punkt på overflaten er settet av alle linjer - tangenter trukket til overflaten gjennom et gitt punkt.

I differensialgeometri er det bevist at alle tangenter til en overflate tegnet i et vanlig punkt er koplanare (tilhører samme plan).

La oss finne ut hvordan en rett linje som tangerer overflaten tegnes. Tangenten t til overflaten β i et punkt M gitt på overflaten (fig. 203) representerer grenseposisjonen til sekanten l j som skjærer overflaten i to punkter (MM 1, MM 2, ..., MM n), når skjæringspunktene sammenfaller (M ≡ M n , l n ≡ l M). Åpenbart (M 1 , M 2 , ..., M n ) ∈ g, siden g ⊂ β. Følgende definisjon følger av ovenstående: en tangent til en overflate er en linje som tangerer en hvilken som helst kurve som tilhører overflaten.

Siden planet er definert av to kryssende rette linjer, for å sette et plan tangent til overflaten i et gitt punkt, er det nok å trekke to vilkårlige linjer som tilhører overflaten (helst enkle i formen) gjennom dette punktet og konstruere tangenter til hver av dem i skjæringspunktet mellom disse linjene. De konstruerte tangentene bestemmer tangentplanet unikt. En visuell representasjon av fastholdelsen av planet α, tangent til overflaten β ved et gitt punkt M, er gitt i fig. 204. Denne figuren viser også normalen n til overflaten β.

Normalen til overflaten i et gitt punkt er en rett linje vinkelrett på tangentplanet og som går gjennom kontaktpunktet.

Skjæringslinjen av overflaten av et plan som går gjennom normalen kalles normaldelen av overflaten. Avhengig av type overflate kan tangentplanet ha, med overflaten, enten ett eller mange punkter (linje). Kontaktlinjen kan samtidig være skjæringslinjen mellom overflaten og planet.

Det er også tilfeller når det er punkter på overflaten hvor det er umulig å tegne en tangent til overflaten; slike punkter kalles entall. Som et eksempel på entallspunkter kan man gi punkter som tilhører cusp-kanten av torsoflaten, eller skjæringspunktet mellom meridianen til omdreiningsflaten med dens akse, dersom meridianen og aksen ikke skjærer hverandre i rette vinkler .

Kontakttypene avhenger av arten av krumningen på overflaten.

overflatekrumning

Spørsmål om overflatekrumning ble undersøkt av den franske matematikeren F. Dupin (1784-1873), som foreslo en visuell måte å skildre endringer i krumningen til normale deler av en overflate.

For å gjøre dette, i et plan som tangerer overflaten som vurderes ved punkt M (fig. 205, 206), på tangenter til normale seksjoner på begge sider av dette punktet, plottes segmenter lik kvadratrøttene til verdiene til de tilsvarende krumningsradiene til disse seksjonene. Settet med punkter - endene av segmentene definerer en kurve kalt Dupins indikator. Algoritmen for å konstruere Dupin-indikatoren (fig. 205) kan skrives:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

hvor R er krumningsradius.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) er Dupin-indikatoren.

Hvis Dupin-indikatoren til en overflate er en ellipse, kalles punktet M elliptisk, og overflaten kalles en overflate med elliptiske punkter(Fig. 206). I dette tilfellet har tangentplanet bare ett felles punkt med overflaten, og alle linjer som tilhører overflaten og krysser i det aktuelle punktet er plassert på samme side av tangentplanet. Et eksempel på overflater med elliptiske punkter er: en revolusjonsparaboloid, en revolusjonellipsoide, en sfære (i dette tilfellet er Dupin-indikatoren en sirkel, etc.).

Når du tegner et tangentplan til en torsooverflate, vil planet berøre denne overflaten langs en rett generatrise. Punktene på denne linjen kalles parabolsk, og overflaten er en overflate med parabolske punkter. Dupin-indikatoren i dette tilfellet er to parallelle linjer (fig. 207*).

På fig. 208 viser en overflate bestående av punkter hvor

* En kurve av andre orden - en parabel - kan under visse forhold bryte opp i to reelle parallelle linjer, to imaginære parallelle linjer, to sammenfallende linjer. På fig. 207 har vi å gjøre med to reelle parallelle linjer.

Et løst tangentplan skjærer overflaten. En slik overflate kalles hyperbolsk, og punktene som hører til den - hyperbolske punkter. Dupins indikator denne saken- overdrivelse.

En overflate, som alle punkter er hyperbolske, har form av en sal (skrå plan, ettarks hyperboloid, konkave revolusjonsflater, etc.).

En overflate kan ha punkter av forskjellige typer, for eksempel ved torsooverflaten (Fig. 209) er punktet M elliptisk; punkt N - parabolsk; punkt K er hyperbolsk.

I løpet av differensialgeometri er det bevist at normale seksjoner, der krumningsverdiene K j = 1/ R j (hvor R j er krumningsradiusen til seksjonen som vurderes) har ekstreme verdier, er plassert i to innbyrdes vinkelrette plan.

Slike krumninger K 1 = 1/R maks. K 2 \u003d 1 / R min kalles de viktigste, og verdiene til H \u003d (K 1 + K 2) / 2 og K \u003d K 1 K 2 - henholdsvis den gjennomsnittlige krumningen til overflaten og den totale (gaussiske) krumningen av overflaten på det aktuelle punktet. For elliptiske punkter K > 0, hyperbolsk K

Sette planet tangent til overflaten på Monge-diagrammet

Nedenfor på konkrete eksempler La oss vise konstruksjonen av et plan som tangerer en overflate med elliptiske (eksempel 1), parabolske (eksempel 2) og hyperbolske (eksempel 3) punkter.

EKSEMPEL 1. Konstruer et plan α, tangent til overflaten av omdreiningen β, med elliptiske punkter. Vurder to alternativer for å løse dette problemet, a) et punkt M ∈ β og b) et punkt M ∉ β

Alternativ a (fig. 210).

Tangentplanet er definert av to tangenter t 1 og t 2 tegnet i punktet M til parallellen og meridianen til overflaten β.

Projeksjonene av tangenten t 1 til den parallelle h til overflaten β vil være t" 1 ⊥ (S"M") og t" 1 || x-aksen. Den horisontale projeksjonen av tangenten t "2 til meridianen d av overflaten β, som går gjennom punktet M, vil falle sammen med den horisontale projeksjonen av meridianen. For å finne frontalprojeksjonen av tangenten t" 2, meridionalplanet γ (γ ∋ M) ved å rotere rundt aksen til overflaten β translateres til posisjon γ 1 parallelt med planet π 2 . I dette tilfellet er punktet M → M 1 (M "1, M" 1). Projeksjonen av tangenten t "2 rarr; t" 2 1 er bestemt av (M "1 S"). Hvis vi nå returnerer planet γ 1 til sin opprinnelige posisjon, så vil punktet S "bli på plass (som tilhørende rotasjonsaksen), og M" 1 → M "og frontprojeksjonen av tangenten t" 2 vil bli bestemt (M "S")

To tangenter t 1 og t 2 som skjærer hverandre i et punkt M ∈ β definerer et plan α tangent til overflaten β.

Alternativ b (fig. 211)

For å konstruere et plan som tangerer en overflate som går gjennom et punkt som ikke tilhører overflaten, må man gå ut fra følgende betraktninger: gjennom et punkt utenfor overflaten som består av elliptiske punkter, kan man tegne mange plan som tangerer overflaten. Konvolutten til disse overflatene vil være en konisk overflate. Derfor, hvis det ikke er flere indikasjoner, har problemet mange løsninger og reduseres i dette tilfellet til å tegne en konisk overflate γ tangent til den gitte overflaten β.

På fig. 211 viser konstruksjonen av en konisk overflate γ som tangerer sfæren β. Ethvert plan α tangent til den koniske overflaten γ vil være tangent til overflaten β.

For å konstruere projeksjoner av overflaten γ fra punktene M "og M" tegner vi tangenter til sirklene h "og f" - projeksjonene til kulen. Merk berøringspunktene 1 (1" og 1"), 2 (2" og 2"), 3 (3" og 3") og 4 (4" og 4"). Den horisontale projeksjonen av sirkelen - kontaktlinjen mellom den koniske overflaten og sfæren vil bli projisert inn i [ 1"2"] For å finne punktene på ellipsen som denne sirkelen projiseres inn på frontalplanet av projeksjoner, vil vi bruk sfærens paralleller.

På fig. 211 på denne måten bestemmes frontale projeksjoner av punktene E og F (E "og F"). Med en konisk overflate γ konstruerer vi et tangentplan α til den. Arten og rekkefølgen til grafikk

Noen av konstruksjonene som må gjøres for dette er vist i følgende eksempel.

EKSEMPEL 2 Konstruer et plan α tangent til en overflate β med parabolske punkter

Som i eksempel 1, vurder to løsninger: a) punkt N ∈ β; b) punkt N ∉ β

Alternativ a (ris 212).

En konisk overflate refererer til flater med parabolske punkter (se fig. 207.) Et plan som tangerer en konisk overflate berører den langs en rettlinjet generatrise. For å konstruere den må du:

1) tegne en generatrise SN (S"N" og S"N") gjennom et gitt punkt N;

2) marker skjæringspunktet for generatrisen (SN) med guiden d: (SN) ∩ d = A;

3) tegne og tangere t til d i punkt A.

Generatrisen (SA) og tangenten t som skjærer den definerer et plan α tangent til den koniske overflaten β ved det gitte punktet N*.

Å tegne et plan α tangerer den koniske overflaten β og går gjennom punktet N hører ikke til

* Siden overflaten β består av parabolske punkter (bortsett fra toppunktet S), vil planet α som tangerer den ha til felles med seg ikke ett punkt N, men en rett linje (SN).

ved å trykke på en gitt overflate, er det nødvendig:

1) gjennom et gitt punkt N og et toppunkt S av den koniske overflaten β tegne en rett linje a (a "og a");

2) bestem det horisontale sporet til denne linjen H a ;

3) gjennom H a tegne tangentene t "1 og t" 2 av kurven h 0β - det horisontale sporet til den koniske overflaten;

4) koble tangentpunktene A (A "og A") og B (B "og B") til toppen av den koniske overflaten S (S "og S").

Skjærende linjer t 1 , (AS) og t 2 , (BS) definerer de ønskede tangentplanene α 1 og α 2

EKSEMPEL 3. Konstruer et plan α tangens til en overflate β med hyperbolske punkter.

Punkt K (fig. 214) er plassert på overflaten av globoiden (den indre overflaten av ringen).

For å bestemme posisjonen til tangentplanet α, er det nødvendig:

1) trekke en parallell til overflaten β h(h", h") gjennom punktet K;

2) tegne en tangent gjennom punktet K" t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) for å bestemme retningene til projeksjonene til tangenten til meridionaldelen, er det nødvendig å tegne et plan γ gjennom punktet K og aksen til overflaten, den horisontale projeksjonen t "2 vil falle sammen med h 0γ; for å konstruere frontprojeksjonen av tangenten t" 2, translaterer vi først planet γ ved å rotere det rundt omdreiningsoverflatens akse til posisjon γ 1 || π 2. I dette tilfellet vil meridionaldelen ved planet γ falle sammen med den venstre omrissbuen til frontprojeksjonen - halvsirkelen g".

Punkt K (K", K"), som tilhører kurven til meridionaldelen, vil flytte til posisjon K 1 (K" 1, K" 1). Gjennom K" 1 tegner vi en frontal projeksjon av tangenten t" 2 1, på linje med planet γ 1 || π 2 posisjon og marker skjæringspunktet med frontprojeksjonen av rotasjonsaksen S "1. Vi returnerer planet γ 1 til sin opprinnelige posisjon, punkt K" 1 → K "(punkt S" 1 ≡ S ") Frontprojeksjonen av tangenten t" 2 bestemmes av punktene K" og S".

Tangentene t 1 og t 2 definerer det ønskede tangentplanet α, som skjærer overflaten β langs kurven l .

EKSEMPEL 4. Konstruer et plan α som tangerer overflaten β i punktet K. Punktet K er lokalisert på overflaten av en ettarks omdreiningshyperboloid (fig. 215).

Dette problemet kan løses ved å følge algoritmen som ble brukt i det forrige eksempelet, men ta i betraktning at overflaten til en ettarks hyperboloid av revolusjon er en regjert overflate som har to familier med rettlinjede generatorer, og hver av generatorene i en familie skjærer alle generatorer i den andre familien (se § 32, fig. 138). Gjennom hvert punkt på denne overflaten kan to kryssende rette linjer trekkes - generatorer som samtidig vil tangere overflaten til en ettarks omdreiningshyperboloid.

Disse tangentene definerer tangentplanet, dvs. planet som tangerer overflaten til en ettarks omdreiningshyperboloid skjærer denne overflaten langs to rette linjer g 1 og g 2 . For å konstruere projeksjonene av disse linjene, er det nok å bruke den horisontale projeksjonen av punktet K for å bære tangentene t "1 og t" 2 til horisontalen

thalprojeksjonen av sirkelen d "2 - halsen på overflaten til en en-arks revolusjonshyperboloid; bestem punktene 1" og 2 der t "1 og t" 2 skjærer en av overflateføringene d 1. Fra 1" og 2" finner vi 1" og 2", som sammen med K" bestemmer frontprojeksjonene til de ønskede linjene.