Hvordan bestemme sjakkmattforventning. Matematisk forventningsformel. Grunnleggende om sannsynlighetsteori
Matematisk forventning om en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle mulige verdier og deres sannsynligheter.
La en tilfeldig variabel bare ta sannsynlighetsverdier som er henholdsvis like. Da bestemmes den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel av likheten
Hvis en diskret tilfeldig variabel tar et tellbart sett med mulige verdier, da
Dessuten eksisterer den matematiske forventningen hvis rekken på høyre side av likheten konvergerer absolutt.
Kommentar. Av definisjonen følger det at den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er en ikke-tilfeldig (konstant) størrelse.
Definisjon av matematisk forventning i det generelle tilfellet
La oss bestemme den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel hvis fordeling ikke nødvendigvis er diskret. La oss starte med tilfellet med ikke-negative tilfeldige variabler. Ideen vil være å tilnærme slike tilfeldige variabler ved å bruke diskrete, som den matematiske forventningen allerede er bestemt for, og sette den matematiske forventningen lik grensen matematiske forventninger til diskrete tilfeldige variabler som tilnærmer det. Forresten, dette er en veldig nyttig generell idé, som er at noen egenskaper først bestemmes for enkle objekter, og deretter for mer komplekse objekter bestemmes den ved å tilnærme dem med enklere.
Lemma 1. La det være en vilkårlig ikke-negativ tilfeldig variabel. Så er det en sekvens av diskrete tilfeldige variabler slik at
Bevis. La oss dele halvaksen i like lange segmenter og bestemme
Da følger egenskapene 1 og 2 lett av definisjonen av en tilfeldig variabel, og
Lemma 2. La være en ikke-negativ tilfeldig variabel og to sekvenser av diskrete tilfeldige variabler som har egenskapene 1-3 fra Lemma 1. Deretter
Bevis. Merk at for ikke-negative tilfeldige variabler tillater vi
På grunn av eiendom 3 er det lett å se at det er en rekkefølge positive tall, slik at
Det følger at
Ved å bruke egenskapene til matematiske forventninger for diskrete tilfeldige variabler får vi
Ved å passere til grensen får vi uttalelsen fra Lemma 2.
Definisjon 1. La være en ikke-negativ tilfeldig variabel, - en sekvens av diskrete tilfeldige variabler som har egenskapene 1-3 fra Lemma 1. Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er tallet
Lemma 2 garanterer at det ikke er avhengig av valg av tilnærmet rekkefølge.
La nå være en vilkårlig tilfeldig variabel. La oss definere
Fra definisjonen og det følger lett at
Definisjon 2. Den matematiske forventningen til en vilkårlig tilfeldig variabel er tallet
Hvis minst ett av tallene på høyre side av denne likheten er endelig.
Egenskaper for matematisk forventning
Eiendom 1. Forventet verdi konstant verdi er lik konstanten selv:
Bevis. Vi vil vurdere en konstant som en diskret tilfeldig variabel som har én mulig verdi og tar den med sannsynlighet, derfor,
Merknad 1. La oss definere produktet av en konstant variabel med en diskret tilfeldig variabel som en diskret tilfeldighet hvis mulige verdier er lik produktene av konstanten med de mulige verdiene; sannsynlighetene for mulige verdier er lik sannsynlighetene for de tilsvarende mulige verdiene. For eksempel, hvis sannsynligheten for en mulig verdi er lik, er sannsynligheten for at verdien vil ta verdien også lik
Egenskap 2. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den matematiske forventningen:
Bevis. La den tilfeldige variabelen være gitt av sannsynlighetsfordelingsloven:
Med hensyn til merknad 1 skriver vi fordelingsloven til den stokastiske variabelen
Merknad 2. Før vi går videre til neste egenskap, påpeker vi at to tilfeldige variabler kalles uavhengige dersom fordelingsloven til en av dem ikke er avhengig av hvilke mulige verdier den andre variabelen tok. Ellers er de tilfeldige variablene avhengige. Flere tilfeldige variabler kalles gjensidig uavhengige hvis distribusjonslovene for et hvilket som helst antall av dem ikke avhenger av hvilke mulige verdier de resterende variablene tok.
Merknad 3. La oss definere produktet av uavhengige tilfeldige variabler og som en tilfeldig variabel hvis mulige verdier er lik produktene av hver mulig verdi ved hver mulig verdi, er sannsynlighetene for de mulige verdiene til produktet lik produktene av sannsynlighetene for de mulige verdiene av faktorene. For eksempel, hvis sannsynligheten for en mulig verdi er, er sannsynligheten for en mulig verdi, da er sannsynligheten for en mulig verdi
Egenskap 3. Den matematiske forventningen til produktet av to uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:
Bevis. La uavhengige tilfeldige variabler spesifiseres av deres egne sannsynlighetsfordelingslover:
La oss kompilere alle verdiene som en tilfeldig variabel kan ta. For å gjøre dette, la oss multiplisere alle mulige verdier med hver mulig verdi; Som et resultat oppnår vi, og under hensyntagen til merknad 3, skriver vi distribusjonsloven, forutsatt for enkelhets skyld at alle mulige verdier av produktet er forskjellige (hvis dette ikke er tilfelle, blir beviset utført i en lignende måte):
Den matematiske forventningen er lik summen av produktene av alle mulige verdier og deres sannsynligheter:
Konsekvens. Den matematiske forventningen til produktet av flere gjensidig uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger.
Egenskap 4. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av de matematiske forventningene til leddene:
Bevis. La tilfeldige variabler og spesifiseres av følgende distribusjonslover:
La oss kompilere alle mulige verdier av en mengde. For å gjøre dette legger vi hver mulig verdi til hver mulig verdi; vi oppnår. La oss for enkelhets skyld anta at disse mulige verdiene er forskjellige (hvis dette ikke er tilfelle, blir beviset utført på en lignende måte), og vi betegner deres sannsynligheter henholdsvis med og
Den matematiske forventningen til en verdi er lik summen av produktene av mulige verdier og deres sannsynligheter:
La oss bevise at en hendelse som vil ta på seg verdien (sannsynligheten for denne hendelsen er lik) innebærer en hendelse som vil få verdien eller (sannsynligheten for denne hendelsen ved addisjonsteoremet er lik), og vice versa. Derfor følger det at likhetene bevises på samme måte
Ved å erstatte høyresidene av disse likhetene i forhold (*), får vi
eller til slutt
Varians og standardavvik
I praksis er det ofte nødvendig å estimere spredningen av mulige verdier av en tilfeldig variabel rundt middelverdien. For eksempel er det i artilleri viktig å vite hvor tett granatene vil falle nær målet som skal treffes.
Ved første øyekast kan det se ut til at den enkleste måten å estimere spredning på er å beregne alle mulige avvik for en tilfeldig variabel og deretter finne deres gjennomsnittsverdi. Denne banen vil imidlertid ikke gi noe, siden gjennomsnittsverdien av avviket, dvs. for enhver tilfeldig variabel er lik null. Denne egenskapen forklares med at noen mulige avvik er positive, mens andre er negative; som et resultat av deres gjensidige kansellering, er gjennomsnittlig avviksverdi null. Disse vurderingene indikerer at det er tilrådelig å erstatte mulige avvik absolutte verdier eller rutene deres. Dette er hva de gjør i praksis. Riktignok må man operere med absolutte verdier når mulige avvik erstattes av absolutte verdier, noe som noen ganger fører til alvorlige vanskeligheter. Derfor tar de oftest en annen vei, dvs. beregne gjennomsnittsverdien av kvadratavviket, som kalles spredning.
Matematisk forventning er definisjonen
Sjakkmatt venter er en av de viktigste konseptene V matematisk statistikk og sannsynlighetsteori, som karakteriserer fordelingen av verdier eller sannsynligheter tilfeldig variabel. Typisk uttrykt som et vektet gjennomsnitt av alle mulige parametere for en tilfeldig variabel. Mye brukt i teknisk analyse, forskning nummerserie, studiet av kontinuerlige og langsiktige prosesser. Det er viktig for å vurdere risiko, forutsi prisindikatorer ved handel på finansmarkeder, og brukes i utvikling av strategier og metoder for spilltaktikk i gambling teorier.
Sjakkmatt venter- Dette middelverdi av en tilfeldig variabel, fordeling sannsynligheter tilfeldig variabel vurderes i sannsynlighetsteori.
Sjakkmatt venter er et mål på gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel i sannsynlighetsteori. Sjakkmatt forventningen til en tilfeldig variabel x betegnet med M(x).
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Sjakkmatt venter er
Sjakkmatt venter er i sannsynlighetsteori, et vektet gjennomsnitt av alle mulige verdier som en tilfeldig variabel kan ta.
Sjakkmatt venter er summen av produktene av alle mulige verdier av en tilfeldig variabel og sannsynlighetene for disse verdiene.
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Sjakkmatt venter er gjennomsnittlig nytte av en bestemt beslutning, forutsatt at en slik beslutning kan vurderes innenfor rammen av teorien om store tall og lang avstand.
Sjakkmatt venter er i gamblingteori, mengden gevinster som en spekulant i gjennomsnitt kan tjene eller tape på hvert spill. På gamblingens språk spekulanter dette kalles noen ganger "fordel" spekulant" (hvis den er positiv for spekulanten) eller "huskanten" (hvis den er negativ for spekulanten).
Matematisk forventning (befolkningsgjennomsnitt) er
Det vil også være oppgaver for uavhengig avgjørelse, som du kan se svarene på.
Forventning og varians er de mest brukte numeriske egenskapene til en tilfeldig variabel. De karakteriserer de viktigste egenskapene til fordelingen: dens plassering og spredningsgrad. Den forventede verdien kalles ofte bare gjennomsnittet. tilfeldig variabel. Spredning av en tilfeldig variabel - karakteristisk for spredning, spredning av en tilfeldig variabel om dens matematiske forventninger.
I mange praktiske problemer kan en fullstendig, uttømmende karakteristikk av en tilfeldig variabel – fordelingsloven – enten ikke oppnås eller ikke er nødvendig i det hele tatt. I disse tilfellene er man begrenset til en omtrentlig beskrivelse av en tilfeldig variabel ved bruk av numeriske egenskaper.
Forventning om en diskret tilfeldig variabel
La oss komme til begrepet matematisk forventning. La massen til et eller annet stoff fordeles mellom punktene på x-aksen x1 , x 2 , ..., x n. Dessuten har hvert materialpunkt en tilsvarende masse med en sannsynlighet for s1 , s 2 , ..., s n. Det er nødvendig å velge ett punkt på abscisseaksen, som karakteriserer posisjonen til hele systemet materielle poeng, tar hensyn til deres masse. Det er naturlig å ta massesenteret til systemet av materialpunkter som et slikt punkt. Dette er det vektede gjennomsnittet av den tilfeldige variabelen X, som abscissen til hvert punkt xJeg kommer inn med en "vekt" lik den tilsvarende sannsynligheten. Gjennomsnittsverdien av den tilfeldige variabelen oppnådd på denne måten X kalles dens matematiske forventning.
Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle dens mulige verdier og sannsynlighetene for disse verdiene:
Eksempel 1. Det har blitt arrangert et vinn-vinn-lotteri. Det er 1000 gevinster, hvorav 400 er 10 rubler. 300 - 20 rubler hver. 200 - 100 rubler hver. og 100 - 200 rubler hver. Hva er gjennomsnittsgevinsten for en som kjøper én billett?
Løsning. Vi finner gjennomsnittsgevinsten hvis vi deler det totale gevinstbeløpet, som er 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubler, med 1000 (totalt gevinstbeløp). Da får vi 50000/1000 = 50 rubler. Men uttrykket for å beregne gjennomsnittsgevinsten kan presenteres i følgende form:
På den annen side, under disse forholdene, er vinnende størrelse en tilfeldig variabel, som kan ha verdier på 10, 20, 100 og 200 rubler. med sannsynligheter lik 0,4, henholdsvis; 0,3; 0,2; 0,1. Derfor er forventet gjennomsnittlig utbetaling lik summen produkter av størrelsen på gevinster og sannsynligheten for å motta dem.
Eksempel 2. Forlaget bestemte seg for å publisere ny bok. Han planlegger å selge boken for 280 rubler, hvorav han selv vil motta 200, 50 - bokhandelen og 30 - forfatteren. Tabellen gir informasjon om kostnadene ved å gi ut en bok og sannsynligheten for å selge et visst antall eksemplarer av boken.
Finn utgiverens forventede fortjeneste.
Løsning. Den stokastiske variabelen "profitt" er lik differansen mellom inntekten fra salg og kostnaden for utgifter. For eksempel, hvis 500 eksemplarer av en bok selges, er inntekten fra salget 200 * 500 = 100 000, og publiseringskostnaden er 225 000 rubler. Dermed står utgiveren overfor et tap på 125 000 rubler. Følgende tabell oppsummerer de forventede verdiene for den tilfeldige variabelen - profitt:
| Antall | Profitt xJeg | Sannsynlighet sJeg | xJeg s Jeg |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Dermed får vi den matematiske forventningen til forlagets fortjeneste:
.
Eksempel 3. Sannsynlighet for å treffe med ett skudd s= 0,2. Bestem forbruket av prosjektiler som gir en matematisk forventning om antall treff lik 5.
Løsning. Fra den samme matematiske forventningsformelen som vi har brukt så langt, uttrykker vi x- skallforbruk:
.
Eksempel 4. Bestem den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel x antall treff med tre skudd, hvis sannsynligheten for et treff med hvert skudd s = 0,4 .
Hint: finn sannsynligheten for tilfeldige variable verdier ved Bernoullis formel .
Egenskaper for matematisk forventning
La oss vurdere egenskapene til matematisk forventning.
Eiendom 1. Den matematiske forventningen til en konstant verdi er lik denne konstanten:
Eiendom 2. Den konstante faktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet:
Eiendom 3. Den matematiske forventningen til summen (forskjellen) av tilfeldige variabler er lik summen (forskjellen) av deres matematiske forventninger:
Eiendom 4. Den matematiske forventningen til et produkt av tilfeldige variabler er lik produktet av deres matematiske forventninger:
Eiendom 5. Hvis alle verdiene av en tilfeldig variabel X redusere (øke) med samme tall MED, da vil dens matematiske forventning reduseres (økes) med samme tall:
Når du ikke kan begrense deg til bare matematiske forventninger
I de fleste tilfeller er det kun den matematiske forventningen som ikke i tilstrekkelig grad kan karakterisere en tilfeldig variabel.
La de tilfeldige variablene X Og Y er gitt av følgende distribusjonslover:
| Betydning X | Sannsynlighet |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Betydning Y | Sannsynlighet |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
De matematiske forventningene til disse mengdene er de samme - lik null:
Imidlertid er distribusjonsmønstrene deres forskjellige. Tilfeldig verdi X kan bare ta verdier som avviker lite fra den matematiske forventningen, og den tilfeldige variabelen Y kan ta verdier som avviker betydelig fra den matematiske forventningen. Et lignende eksempel: gjennomsnittslønnen gjør det ikke mulig å bedømme andelen høyt- og lavtlønnede arbeidere. Man kan med andre ord ikke bedømme ut fra den matematiske forventningen hvilke avvik fra den, i hvert fall i gjennomsnitt, som er mulige. For å gjøre dette må du finne variansen til den tilfeldige variabelen.
Varians av en diskret tilfeldig variabel
Forskjell diskret tilfeldig variabel X kalles den matematiske forventningen til kvadratet for dets avvik fra den matematiske forventningen:
Standardavviket til en tilfeldig variabel X den aritmetiske verdien av kvadratroten av dens varians kalles:
.
Eksempel 5. Beregn varianser og standardavvik for tilfeldige variabler X Og Y, hvis distribusjonslover er gitt i tabellene ovenfor.
Løsning. Matematiske forventninger til tilfeldige variabler X Og Y, som funnet ovenfor, er lik null. I henhold til dispersjonsformelen kl E(X)=E(y)=0 får vi:
Deretter standardavvikene til tilfeldige variabler X Og Y sminke
.
Dermed, med de samme matematiske forventningene, variansen til den tilfeldige variabelen X veldig liten, men en tilfeldig variabel Y- betydelige. Dette er en konsekvens av forskjeller i deres fordeling.
Eksempel 6. Investoren har 4 alternative investeringsprosjekter. Tabellen oppsummerer forventet fortjeneste i disse prosjektene med tilsvarende sannsynlighet.
| Prosjekt 1 | Prosjekt 2 | Prosjekt 3 | Prosjekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Finn den matematiske forventningen, variansen og standardavviket for hvert alternativ.
Løsning. La oss vise hvordan disse verdiene beregnes for det tredje alternativet:
Tabellen oppsummerer de funnet verdiene for alle alternativer.
Alle alternativer har de samme matematiske forventningene. Det betyr at alle på sikt har samme inntekt. Standardavvik kan tolkes som et mål på risiko – jo høyere det er, jo større er risikoen for investeringen. En investor som ikke ønsker mye risiko vil velge prosjekt 1 siden det har det minste standardavviket (0). Hvis investoren foretrekker risiko og høy avkastning på kort tid, vil han velge prosjektet med størst standardavvik - prosjekt 4.
Dispersjonsegenskaper
La oss presentere egenskapene til spredning.
Eiendom 1. Variansen til en konstant verdi er null:
Eiendom 2. Konstantfaktoren kan tas ut av spredningstegnet ved å kvadrere det:
.
Eiendom 3. Variansen til en tilfeldig variabel er lik den matematiske forventningen til kvadratet av denne verdien, hvorfra kvadratet til den matematiske forventningen til verdien i seg selv trekkes fra:
,
Hvor 
.
Eiendom 4. Variansen av summen (forskjellen) av tilfeldige variabler er lik summen (forskjellen) av deres varians:
Eksempel 7. Det er kjent at en diskret tilfeldig variabel X tar bare to verdier: −3 og 7. I tillegg er den matematiske forventningen kjent: E(X) = 4. Finn variansen til en diskret tilfeldig variabel.
Løsning. La oss betegne med s sannsynligheten for at en tilfeldig variabel tar en verdi x1 = −3 . Deretter sannsynligheten for verdien x2 = 7 vil være 1 − s. La oss utlede ligningen for den matematiske forventningen:
E(X) = x 1 s + x 2 (1 − s) = −3s + 7(1 − s) = 4 ,
hvor får vi sannsynlighetene: s= 0,3 og 1 − s = 0,7 .
Fordelingsloven for en tilfeldig variabel:
| X | −3 | 7 |
| s | 0,3 | 0,7 |
Vi beregner variansen til denne tilfeldige variabelen ved å bruke formelen fra egenskap 3 for spredning:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel selv, og se deretter på løsningen
Eksempel 8. Diskret tilfeldig variabel X tar bare to verdier. Den aksepterer den største av verdiene 3 med sannsynlighet 0,4. I tillegg er variansen til den tilfeldige variabelen kjent D(X) = 6. Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel.
Eksempel 9. Det er 6 hvite og 4 svarte kuler i en urne. 3 kuler trekkes fra urnen. Antall hvite kuler blant de trukket kuler er en diskret tilfeldig variabel X. Finn den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen.
Løsning. Tilfeldig verdi X kan ta verdier 0, 1, 2, 3. De tilsvarende sannsynlighetene kan beregnes fra sannsynlighetsmultiplikasjonsregel. Fordelingsloven for en tilfeldig variabel:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| s | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Derav den matematiske forventningen til denne tilfeldige variabelen:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Variansen til en gitt tilfeldig variabel er:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Forventning og varians for en kontinuerlig tilfeldig variabel
For en kontinuerlig tilfeldig variabel vil den mekaniske tolkningen av den matematiske forventningen beholde samme betydning: massesenteret for en enhetsmasse fordelt kontinuerlig på x-aksen med tetthet f(x). I motsetning til en diskret tilfeldig variabel, hvis funksjonsargument xJeg endres brått; for en kontinuerlig tilfeldig variabel endres argumentet kontinuerlig. Men den matematiske forventningen til en kontinuerlig tilfeldig variabel er også relatert til dens gjennomsnittsverdi.
For å finne den matematiske forventningen og variansen til en kontinuerlig tilfeldig variabel, må du finne bestemte integraler . Hvis tetthetsfunksjonen til en kontinuerlig tilfeldig variabel er gitt, går den direkte inn i integranden. Hvis en er gitt, må du finne tetthetsfunksjonen ved å differensiere den.
Det aritmetiske gjennomsnittet av alle mulige verdier av en kontinuerlig tilfeldig variabel kalles dens matematisk forventning, betegnet med eller .
2. Grunnleggende om sannsynlighetsteori
Forventet verdi
Tenk på en tilfeldig variabel med numeriske verdier. Det er ofte nyttig å knytte et tall til denne funksjonen - dens "gjennomsnittsverdi" eller, som de sier, " gjennomsnittlig verdi", "indeks for sentral tendens". Av en rekke årsaker, hvorav noen vil bli tydelige senere, brukes vanligvis den matematiske forventningen som "gjennomsnittsverdi".
Definisjon 3. Matematisk forventning til en tilfeldig variabel X oppringt nummer
de. den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er en vektet sum av verdiene til en tilfeldig variabel med vekter lik sannsynlighetene for de tilsvarende elementære hendelsene.
Eksempel 6. La oss beregne den matematiske forventningen til tallet som vises på terningens overside. Det følger direkte av definisjon 3 at
Uttalelse 2. La den tilfeldige variabelen X tar verdier x 1, x 2,..., xm. Da er likheten sann
(5)
de. Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel er en vektet sum av verdiene til den tilfeldige variabelen med vekter lik sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen tar visse verdier.
I motsetning til (4), hvor summeringen utføres direkte over elementære hendelser, kan en tilfeldig hendelse bestå av flere elementære hendelser.
Noen ganger blir relasjon (5) tatt som definisjonen av matematisk forventning. Ved å bruke Definisjon 3, som vist nedenfor, er det imidlertid lettere å etablere egenskapene til den matematiske forventningen som er nødvendig for å konstruere sannsynlighetsmodeller av virkelige fenomener enn å bruke relasjon (5).
For å bevise relasjon (5), grupperer vi i (4) termer med identiske verdier av den tilfeldige variabelen:
Siden konstantfaktoren kan tas ut av summens fortegn, da
Ved å bestemme sannsynligheten for en hendelse
Ved å bruke de to siste relasjonene får vi de nødvendige:
Begrepet matematisk forventning i probabilistisk-statistisk teori tilsvarer begrepet tyngdepunkt i mekanikk. La oss sette det i poeng x 1, x 2,..., xm på massetallaksen P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) hhv. Så viser likhet (5) at tyngdepunktet til dette systemet av materielle punkter sammenfaller med den matematiske forventningen, som viser naturligheten til definisjon 3.
Uttalelse 3. La X- tilfeldig verdi, M(X)– dens matematiske forventning, EN– et visst antall. Deretter
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- en) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(en- M(X)) 2 .
For å bevise dette, la oss først vurdere en tilfeldig variabel som er konstant, dvs. funksjonen kartlegger rommet til elementære hendelser til et enkelt punkt EN. Siden den konstante multiplikatoren kan tas utover tegnet på summen, da
Hvis hvert medlem av en sum er delt inn i to ledd, blir hele summen delt inn i to summer, hvorav den første består av de første leddene, og den andre består av den andre. Derfor er den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler X+Y, definert på samme rom av elementære hendelser, er lik summen av matematiske forventninger M(X) Og M(U) disse tilfeldige variablene:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Og derfor M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Som vist ovenfor, M(M(X)) = M(X). Derfor, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Fordi det (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - en)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - en) + (M(X) – en) 2 , Det M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - en)} + M[(M(X) – en) 2 ]. La oss forenkle den siste likestillingen. Som vist i begynnelsen av beviset til påstand 3, er den matematiske forventningen til en konstant konstanten i seg selv, og derfor M[(M(X) – en) 2 ] = (M(X) – en) 2 . Siden den konstante multiplikatoren kan tas utover tegnet på summen, da M{2(X - M(X))(M(X) - en)} = 2(M(X) - en)M(X - M(X)). Høyresiden av den siste likheten er 0 fordi, som vist ovenfor, M(X-M(X))=0. Derfor, M[(X- en) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(en- M(X)) 2 , som var det som måtte bevises.
Av ovenstående følger det M[(X- en) 2 ] når et minimum EN, lik M[(X- M(X)) 2 ], på a = M(X), siden det andre leddet i likhet 3) alltid er ikke-negativt og er lik 0 bare for den angitte verdien EN.
Uttalelse 4. La den tilfeldige variabelen X tar verdier x 1, x 2,..., xm, og f er en funksjon av det numeriske argumentet. Deretter
For å bevise dette, la oss gruppere på høyre side av likhet (4), som definerer den matematiske forventningen, termer med de samme verdiene:
Ved å bruke det faktum at konstantfaktoren kan tas ut av summens fortegn, og definisjonen av sannsynligheten for en tilfeldig hendelse (2), får vi
Q.E.D.
Uttalelse 5. La X Og U– tilfeldige variabler definert på samme rom av elementære hendelser, EN Og b- noen tall. Deretter M(øks+ av)= er(X)+ bM(Y).
Ved å bruke definisjonen av den matematiske forventningen og egenskapene til summeringssymbolet får vi en kjede av likheter:
Det nødvendige er bevist.
Ovenstående viser hvordan den matematiske forventningen avhenger av overgangen til et annet referansepunkt og til en annen måleenhet (overgang Y=øks+b), samt funksjoner til tilfeldige variabler. De oppnådde resultatene brukes kontinuerlig i teknisk og økonomisk analyse, ved vurdering av de finansielle og økonomiske aktivitetene til et foretak, under overgangen fra en valuta til en annen i utenlandske økonomiske beregninger, i regulatorisk og teknisk dokumentasjon, etc. Resultatene som vurderes tillater bruk av de samme beregningsformlene for ulike parametere skala og skifte.
| Tidligere |
– antall gutter blant 10 nyfødte.
Det er helt klart at dette tallet ikke er kjent på forhånd, og de neste ti barna som blir født kan omfatte:
Eller gutter - en og bare en fra de oppførte alternativene.
Og for å holde seg i form, litt kroppsøving:
– langhoppdistanse (i noen enheter).
Selv en mester i sport kan ikke forutsi det :)
Men hypotesene dine?
2) Kontinuerlig tilfeldig variabel – aksepterer Alle numeriske verdier fra et begrenset eller uendelig intervall.
Merk : V pedagogisk litteratur populære forkortelser DSV og NSV
Først, la oss analysere den diskrete tilfeldige variabelen, så - kontinuerlige.
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel
- Dette korrespondanse mellom mulige verdier av denne mengden og deres sannsynligheter. Oftest er loven skrevet i en tabell: 
Begrepet dukker opp ganske ofte rad
fordeling, men i noen situasjoner høres det tvetydig ut, og derfor vil jeg holde meg til "loven".
Og nå Veldig viktig poeng
: siden den tilfeldige variabelen Nødvendigvis vil godta en av verdiene, deretter dannes de tilsvarende hendelsene hel gruppe og summen av sannsynlighetene for deres forekomst er lik en:
eller, hvis skrevet sammenfattet:
Så, for eksempel, har loven om sannsynlighetsfordeling av poeng kastet på en terning følgende form: 
Ingen kommentarer.
Du kan ha inntrykk av at en diskret tilfeldig variabel bare kan anta "gode" heltallsverdier. La oss fjerne illusjonen - de kan være hva som helst:
Eksempel 1
Noen spill har følgende vinnende distribusjonslov: 
...du har sikkert drømt om slike oppgaver lenge :) Jeg skal fortelle deg en hemmelighet - jeg også. Spesielt etter endt arbeid feltteori.
Løsning: siden en tilfeldig variabel bare kan ta en av tre verdier, dannes de tilsvarende hendelsene hel gruppe, som betyr at summen av sannsynlighetene deres er lik én: 
Å avsløre "partisanen": 
– dermed er sannsynligheten for å vinne konvensjonelle enheter 0,4.
Kontroll: det var det vi trengte å sikre oss.
Svar:
Det er ikke uvanlig når du selv skal utarbeide en fordelingslov. Til dette bruker de klassisk definisjon av sannsynlighet, multiplikasjons-/addisjonsteoremer for hendelsessannsynligheter og andre sjetonger tervera:
Eksempel 2
Boksen inneholder 50 lodd, hvorav 12 vinner, og 2 av dem vinner 1000 rubler hver, og resten - 100 rubler hver. Lag en lov for fordeling av en tilfeldig variabel - størrelsen på gevinstene, hvis ett lodd trekkes tilfeldig fra boksen.
Løsning: Som du la merke til, er verdiene til en tilfeldig variabel vanligvis plassert i i stigende rekkefølge. Derfor starter vi med de minste gevinstene, nemlig rubler.
Det er 50 slike billetter totalt – 12 = 38, og iht klassisk definisjon:
– sannsynligheten for at en tilfeldig trukket billett vil være en taper.
I andre tilfeller er alt enkelt. Sannsynligheten for å vinne rubler er:
Sjekk: – og dette er et spesielt hyggelig øyeblikk med slike oppgaver!
Svar: ønsket lov om fordeling av gevinster: 
Følgende oppgave skal du løse på egen hånd:
Eksempel 3
Sannsynligheten for at skytteren treffer målet er . Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel - antall treff etter 2 skudd.
...jeg visste at du savnet ham :) La oss huske multiplikasjons- og addisjonsteoremer. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.
Fordelingsloven beskriver fullstendig en tilfeldig variabel, men i praksis kan det være nyttig (og noen ganger mer nyttig) å bare kjenne noe av den. numeriske egenskaper .
Forventning om en diskret tilfeldig variabel
Snakker på enkelt språk, Dette gjennomsnittlig forventet verdi når testingen gjentas mange ganger. La den tilfeldige variabelen ta verdier med sannsynligheter 
hhv. Da er den matematiske forventningen til denne tilfeldige variabelen lik summen av produkter alle verdiene til de tilsvarende sannsynlighetene:
eller kollapset: 
La oss for eksempel beregne den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel - antall poeng rullet på en terning:
La oss nå huske vårt hypotetiske spill: 
Spørsmålet oppstår: er det lønnsomt å spille dette spillet i det hele tatt? ...hvem har noen inntrykk? Så du kan ikke si det "på hånden"! Men dette spørsmålet kan enkelt besvares ved å beregne den matematiske forventningen, i hovedsak - vektlagt gjennomsnitt etter sannsynlighet for å vinne:
Dermed den matematiske forventningen til dette spillet taper.
Ikke stol på inntrykkene dine – stol på tallene!
Ja, her kan du vinne 10 eller til og med 20-30 ganger på rad, men i det lange løp venter en uunngåelig ruin på oss. Og jeg vil ikke råde deg til å spille slike spill :) Vel, kanskje bare for moro skyld.
Av alt det ovennevnte følger det at den matematiske forventningen ikke lenger er en TILFELDIG verdi.
Kreativ oppgave for uavhengig forskning:
Eksempel 4
Mr. X spiller europeisk rulett ved å bruke følgende system: han satser konstant 100 rubler på "rød". Lag en lov om distribusjon av en tilfeldig variabel - dens gevinster. Beregn den matematiske forventningen til gevinster og rund den av til nærmeste kopek. Hvor mange gjennomsnitt Taper spilleren for hver hundre han satser?
Henvisning : Europeisk rulett inneholder 18 røde, 18 svarte og 1 grønn sektor ("null"). Hvis en "rød" vises, får spilleren det dobbelte av innsatsen, ellers går det til kasinoets inntekt
Det er mange andre rulettsystemer som du kan lage dine egne sannsynlighetstabeller for. Men dette er tilfellet når vi ikke trenger noen distribusjonslover eller tabeller, fordi det er fastslått at spillerens matematiske forventning vil være nøyaktig den samme. Det eneste som endres fra system til system er
Laster inn...