Hva er et annet navn for tallet pi? Hva er tallet PI og hva betyr det? Kort historikk for π-beregninger

Introduksjon

Artikkelen inneholder matematiske formler, så for å lese, gå til nettstedet for å vise dem riktig. Tallet \(\pi\) har en rik historie. Denne konstanten angir forholdet mellom omkretsen av en sirkel og dens diameter.

I vitenskapen brukes tallet \(\pi \) i alle beregninger som involverer sirkler. Fra volumet til en boks med brus, til banene til satellitter. Og ikke bare sirkler. Faktisk, i studiet av buede linjer, hjelper tallet \(\pi \) til å forstå periodiske og oscillerende systemer. For eksempel elektromagnetiske bølger og til og med musikk.

I 1706, i boken A New Introduction to Mathematics av ​​den britiske vitenskapsmannen William Jones (1675-1749), ble bokstaven i det greske alfabetet \(\pi\) først brukt til å representere tallet 3.141592.... Denne betegnelsen kommer fra startbokstaven til de greske ordene περιϕερεια - sirkel, periferi og περιµετρoς - omkrets. Betegnelsen ble generelt akseptert etter arbeidet til Leonhard Euler i 1737.

Geometrisk periode

Konstansen av forholdet mellom lengden av en sirkel og dens diameter har blitt lagt merke til i lang tid. Innbyggerne i Mesopotamia brukte en ganske grov tilnærming av tallet \(\pi\). Som følger av gamle problemer bruker de verdien \(\pi ≈ 3\) i sine beregninger.

En mer presis verdi for \(\pi\) ble brukt av de gamle egypterne. I London og New York oppbevares to stykker gammel egyptisk papyrus, som kalles "Rinda-papyrus". Papyrusen ble satt sammen av skriveren Armes en gang mellom 2000-1700. BC. Armes skrev i sin papyrus at arealet av en sirkel med radius \(r\) er lik arealet av et kvadrat med en side lik \(\frac(8)(9) \) av diameteren til sirkelen \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), det vil si \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Derfor \(\pi = 3.16\).

Den antikke greske matematikeren Arkimedes (287-212 f.Kr.) var den første som satte problemet med å måle en sirkel på et vitenskapelig grunnlag. Han fikk en poengsum på \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoden er ganske enkel, men i fravær av ferdige tabeller med trigonometriske funksjoner, vil utvinning av røtter være nødvendig. I tillegg konvergerer tilnærmingen til \(\pi \) veldig sakte: med hver iterasjon reduseres feilen bare fire ganger.

Analytisk periode

Til tross for dette, frem til midten av 1600-tallet, kokte alle forsøk fra europeiske forskere på å beregne tallet \(\pi\) ned til å øke sidene av polygonet. For eksempel beregnet den nederlandske matematikeren Ludolf van Zeijlen (1540-1610) den omtrentlige verdien av tallet \(\pi\) nøyaktig med 20 desimaler.

Det tok ham 10 år å beregne. Ved å doble antall sider av innskrevne og omskrevne polygoner ved hjelp av Arkimedes' metode, kom han til \(60 \cdot 2^(29) \) - en trekant for å beregne \(\pi \) med 20 desimaler.

Etter hans død ble 15 mer nøyaktige sifre av tallet \(\pi\) oppdaget i manuskriptene hans. Ludolf testamenterte at skiltene han fant ble skåret ut på gravsteinen hans. Til hans ære ble tallet \(\pi\) noen ganger kalt "Ludolf-nummeret" eller "Ludolf-konstanten".

En av de første som introduserte en annen metode enn Archimedes var François Viète (1540-1603). Han kom til resultatet at en sirkel hvis diameter er lik en har et areal:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

På den annen side er området \(\frac(\pi)(4)\). Ved å erstatte og forenkle uttrykket kan vi få følgende uendelige produktformel for å beregne den omtrentlige verdien av \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Den resulterende formelen er det første eksakte analytiske uttrykket for tallet \(\pi\). I tillegg til denne formelen ga Viet, ved å bruke metoden til Archimedes, ved å bruke innskrevne og omskrevne polygoner, som startet med en 6-gon og sluttet med en polygon med \(2^(16) \cdot 6 \) sider, en tilnærming av tallet \(\pi \) med 9 med riktige tegn.

Den engelske matematikeren William Brounker (1620-1684), ved bruk av fortsatt brøk, oppnådde følgende resultater for å beregne \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots ))))))) \]

Denne metoden for å beregne tilnærmingen til tallet \(\frac(4)(\pi)\) krever ganske mange beregninger for å få enda en liten tilnærming.

Verdiene oppnådd som et resultat av substitusjon er enten større eller mindre enn tallet \(\pi\), og hver gang de er nærmere den sanne verdien, men for å oppnå verdien 3.141592 vil det være nødvendig å utføre ganske stor beregninger.

En annen engelsk matematiker John Machin (1686-1751) i 1706, for å beregne tallet \(\pi\) med 100 desimaler, brukte formelen utledet av Leibniz i 1673 og brukte den som følger:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Serien konvergerer raskt og med dens hjelp kan du beregne tallet \(\pi \) med stor nøyaktighet. Disse typene formler har blitt brukt til å sette flere rekorder i datamaskintiden.

På 1600-tallet med begynnelsen av perioden med variabel-verdi matematikk, begynte et nytt stadium i beregningen av \(\pi\). Den tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fant i 1673 en dekomponering av tallet \(\pi\), generelt kan det skrives som følgende uendelige rekke:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Serien oppnås ved å erstatte x = 1 i \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) – \cdots\)

Leonhard Euler utvikler Leibniz sin idé i sine arbeider om bruken av serier for arktan x ved beregning av tallet \(\pi\). Avhandlingen "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Om forskjellige metoder for å uttrykke kvadrating av sirkelen med omtrentlige tall), skrevet i 1738, diskuterer metoder for å forbedre beregningene ved å bruke Leibniz sin formel.

Euler skriver at serien for arctangensen vil konvergere raskere hvis argumentet har en tendens til null. For \(x = 1\), er konvergensen av serien veldig langsom: for å beregne med en nøyaktighet på 100 sifre er det nødvendig å legge til \(10^(50)\) termer i serien. Du kan fremskynde beregningene ved å redusere verdien av argumentet. Hvis vi tar \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), får vi serien

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

I følge Euler, hvis vi tar 210 ledd i denne serien, vil vi få 100 riktige sifre av tallet. Den resulterende serien er upraktisk fordi det er nødvendig å vite en ganske nøyaktig verdi av det irrasjonelle tallet \(\sqrt(3)\). Euler brukte også i sine beregninger utvidelser av arctangens til summen av arctangens av mindre argumenter:

\[hvor x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Ikke alle formlene for å beregne \(\pi\) som Euler brukte i notatbøkene hans ble publisert. I publiserte artikler og notatbøker vurderte han 3 forskjellige serier for å beregne arctangensen, og kom også med mange uttalelser angående antall summerbare termer som kreves for å oppnå en omtrentlig verdi på \(\pi\) med en gitt nøyaktighet.

I de påfølgende årene skjedde forbedringer av verdien av tallet \(\pi\) raskere og raskere. For eksempel, i 1794 identifiserte Georg Vega (1754-1802) allerede 140 tegn, hvorav bare 136 viste seg å være riktige.

Regneperiode

Det 20. århundre var preget av et helt nytt stadium i beregningen av tallet \(\pi\). Den indiske matematikeren Srinivasa Ramanujan (1887-1920) oppdaget mange nye formler for \(\pi\). I 1910 fikk han en formel for å beregne \(\pi\) gjennom arctangens-utvidelsen i en Taylor-serie:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Ved k=100 oppnås en nøyaktighet på 600 riktige siffer av tallet \(\pi\).

Fremkomsten av datamaskiner gjorde det mulig å øke nøyaktigheten til de oppnådde verdiene betydelig på kortere tid. I 1949, på bare 70 timer, ved hjelp av ENIAC, oppnådde en gruppe forskere ledet av John von Neumann (1903-1957) 2037 desimaler for tallet \(\pi\). I 1987 oppnådde David og Gregory Chudnovsky en formel som de var i stand til å sette flere rekorder med i beregningen av \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Hvert medlem av serien gir 14 sifre. I 1989 ble det oppnådd 1 011 196 691 desimaler. Denne formelen er godt egnet for beregning av \(\pi \) på personlige datamaskiner. For tiden er brødrene professorer ved Polytechnic Institute ved New York University.

En viktig nyere utvikling var oppdagelsen av formelen i 1997 av Simon Plouffe. Den lar deg trekke ut et hvilket som helst heksadesimalt siffer i tallet \(\pi\) uten å beregne de foregående. Formelen kalles "Bailey-Borwain-Plouffe-formelen" til ære for forfatterne av artikkelen der formelen først ble publisert. Det ser slik ut:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4) ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

I 2006 kom Simon, ved hjelp av PSLQ, opp med noen fine formler for å beregne \(\pi\). For eksempel,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

hvor \(q = e^(\pi)\). I 2009 oppnådde japanske forskere ved å bruke superdatamaskinen T2K Tsukuba System tallet \(\pi\) med 2.576.980.377.524 desimaler. Beregningene tok 73 timer 36 minutter. Datamaskinen var utstyrt med 640 firekjerners AMD Opteron-prosessorer, som ga ytelse på 95 billioner operasjoner per sekund.

Den neste prestasjonen i å beregne \(\pi\) tilhører den franske programmereren Fabrice Bellard, som på slutten av 2009, på sin personlige datamaskin som kjører Fedora 10, satte rekord ved å beregne 2.699.999.990.000 desimaler av tallet \(\pi\ ). I løpet av de siste 14 årene er dette den første verdensrekorden som ble satt uten bruk av superdatamaskin. For høy ytelse brukte Fabrice Chudnovsky-brødrenes formel. Totalt tok beregningen 131 dager (103 dager med beregninger og 13 dager med verifisering av resultatet). Bellars prestasjon viste at slike beregninger ikke krever en superdatamaskin.

Bare seks måneder senere ble Francois sin rekord slått av ingeniørene Alexander Yi og Singer Kondo. For å sette rekord på 5 billioner desimaler av \(\pi\), ble det også brukt en personlig datamaskin, men med mer imponerende egenskaper: to Intel Xeon X5680-prosessorer på 3,33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB diskminne og operativsystem Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. For beregninger brukte Alexander og Singer formelen til Chudnovsky-brødrene. Beregningsprosessen tok 90 dager og 22 TB diskplass. I 2011 satte de nok en rekord ved å beregne 10 billioner desimaler for tallet \(\pi\). Beregningene fant sted på samme datamaskin som deres forrige rekord ble satt på og tok totalt 371 dager. På slutten av 2013 forbedret Alexander og Singerou rekorden til 12,1 billioner sifre av tallet \(\pi\), noe som tok dem bare 94 dager å beregne. Denne ytelsesforbedringen oppnås ved å optimere programvareytelsen, øke antall prosessorkjerner og betydelig forbedre programvarefeiltoleransen.

Den nåværende rekorden er Alexander Yee og Singer Kondo, som er 12,1 billioner desimaler \(\pi\).

Dermed så vi på metoder for å beregne tallet \(\pi\) brukt i antikken, analytiske metoder, og så også på moderne metoder og poster for å beregne tallet \(\pi\) på datamaskiner.

Liste over kilder

1. Zhukov A.V. Det allestedsnærværende tallet Pi - M.: Forlag LKI, 2007 - 216 s.
2. F.Rudio. På kvadreringen av sirkelen, med anvendelse av en historie om problemet satt sammen av F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP USSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
4. Shukhman, E.V. Omtrentlig beregning av Pi ved å bruke serien for arctan x i publiserte og upubliserte verk av Leonhard Euler / E.V. Shukhman. – Vitenskaps- og teknologihistorie, 2008 – nr. 4. – S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236s.
6. Shumikhin, S. Number Pi. En historie på 4000 år / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan og tallet Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. I vitenskapens verden. 1988 – nr. 4. – s. 58-66.
8. Alex Yee. Tallverden. Tilgangsmodus: numberworld.org

Likte?

Fortelle

Pi er et av de mest populære matematiske konseptene. Det skrives bilder om ham, det lages filmer, han spilles på musikkinstrumenter, dikt og høytider er dedikert til ham, han blir søkt og funnet i hellige tekster.

Hvem oppdaget pi?

Hvem og når først oppdaget tallet π er fortsatt et mysterium. Det er kjent at byggerne av det gamle Babylon allerede gjorde full bruk av det i utformingen. Kileskrifttabletter som er tusenvis av år gamle bevarer til og med problemer som ble foreslått løst ved hjelp av π. Riktignok ble det antatt at π var lik tre. Dette bevises av en tavle funnet i byen Susa, to hundre kilometer fra Babylon, hvor tallet π ble indikert som 3 1/8.

I prosessen med å beregne π, oppdaget babylonerne at radiusen til en sirkel som en korde går inn i den seks ganger, og delte sirkelen i 360 grader. Og samtidig gjorde de det samme med solens bane. Derfor bestemte de seg for å vurdere at det er 360 dager i et år.

I det gamle Egypt var π lik 3,16.
I det gamle India - 3.088.
I Italia på begynnelsen av epoken ble det antatt at π var lik 3,125.

I antikken refererer den tidligste omtalen av π til det berømte problemet med å kvadrere sirkelen, det vil si umuligheten av å bruke et kompass og linjal for å konstruere en firkant hvis areal er lik arealet til en viss sirkel. Arkimedes likestilte π til brøken 22/7.

De nærmeste menneskene til den nøyaktige verdien av π kom i Kina. Det ble beregnet på 500-tallet e.Kr. e. den kjente kinesiske astronomen Tzu Chun Zhi. π ble beregnet ganske enkelt. Det var nødvendig å skrive oddetallene to ganger: 11 33 55, og deretter, dele dem i to, plassere den første i nevneren av brøken, og den andre i telleren: 355/113. Resultatet stemmer overens med moderne beregninger av π opp til det syvende sifferet.

Hvorfor π – π?

Nå vet til og med skolebarn at tallet π er en matematisk konstant lik forholdet mellom omkretsen av en sirkel og lengden på dens diameter og er lik π 3,1415926535 ... og deretter etter desimaltegnet - til uendelig.

Tallet fikk betegnelsen π på en kompleks måte: Først, i 1647, brukte matematikeren Outrade denne greske bokstaven for å beskrive lengden på en sirkel. Han tok den første bokstaven i det greske ordet περιφέρεια - "periferi". I 1706 kalte engelsklæreren William Jones allerede i sitt arbeid "Review of the Achievements of Mathematics" forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren med bokstaven π. Og navnet ble sementert av matematikeren Leonard Euler fra 1700-tallet, for hvis autoritet resten bøyde hodet. Så π ble π.

Unikheten til nummeret

Pi er et helt unikt tall.

1. Forskere mener at antall sifre i tallet π er uendelig. Sekvensen deres gjentas ikke. Dessuten vil ingen noen gang kunne finne repetisjoner. Siden tallet er uendelig, kan det inneholde absolutt alt, til og med en Rachmaninoff-symfoni, Det gamle testamente, telefonnummeret ditt og året hvor Apokalypsen vil inntreffe.

2. π er assosiert med kaosteori. Forskere kom til denne konklusjonen etter å ha laget Baileys dataprogram, som viste at tallrekkefølgen i π er helt tilfeldig, noe som stemmer overens med teorien.

3. Det er nesten umulig å beregne tallet helt – det ville tatt for mye tid.

4. π er et irrasjonelt tall, det vil si at verdien ikke kan uttrykkes som en brøk.

5. π – transcendentalt tall. Det kan ikke oppnås ved å utføre noen algebraiske operasjoner på heltall.

6. Trettini desimaler i tallet π er nok til å beregne lengden på sirkelen som omkranser kjente kosmiske objekter i universet, med en feil av radiusen til et hydrogenatom.

7. Tallet π er assosiert med begrepet «det gylne snitt». I prosessen med å måle den store pyramiden i Giza, oppdaget arkeologer at høyden er relatert til lengden på basen, akkurat som radiusen til en sirkel er relatert til lengden.

Opptegnelser relatert til π

I 2010 var Yahoo-matematiker Nicholas Zhe i stand til å beregne to kvadrillioner desimaler (2x10) i tallet π. Det tok 23 dager, og matematikeren trengte mange assistenter som jobbet på tusenvis av datamaskiner, forent ved hjelp av distribuert datateknologi. Metoden gjorde det mulig å utføre beregninger med en så fenomenal hastighet. Å beregne det samme på en enkelt datamaskin vil ta mer enn 500 år.

For ganske enkelt å skrive ned alt dette på papir, trenger du et papirbånd som er mer enn to milliarder kilometer langt. Hvis du utvider en slik post, vil slutten gå utover solsystemet.

Kinesiske Liu Chao satte rekord for å huske sekvensen av sifre i tallet π. I løpet av 24 timer og 4 minutter sa Liu Chao 67 890 desimaler uten å gjøre en eneste feil.

π har mange fans. Det spilles på musikkinstrumenter, og det viser seg at det «låter» utmerket. De husker det og kommer opp med ulike teknikker for dette. For moro skyld laster de det ned til datamaskinen og skryter til hverandre om hvem som har lastet ned mest. Det er reist monumenter for ham. For eksempel er det et slikt monument i Seattle. Det ligger på trappene foran kunstmuseet.

π brukes i dekorasjoner og interiørdesign. Dikt er dedikert til ham, han letes etter i hellige bøker og ved utgravninger. Det er til og med en "Club π".
I πs beste tradisjoner er ikke én, men to hele dager i året dedikert til tallet! Første gang π-dagen feires er 14. mars. Dere må gratulere hverandre etter nøyaktig 1 time, 59 minutter, 26 sekunder. Dermed tilsvarer datoen og klokkeslettet de første sifrene i nummeret - 3.1415926.

For andre gang feires π-høytiden 22. juli. Denne dagen er assosiert med den såkalte "omtrentlig π", som Arkimedes skrev ned som en brøk.
Vanligvis på denne dagen organiserer studenter, skolebarn og forskere morsomme flashmobs og handlinger. Matematikere, som har det gøy, bruker π til å beregne lovene til en fallende sandwich og gi hverandre komiske belønninger.
Og forresten, π finnes faktisk i de hellige bøkene. For eksempel i Bibelen. Og der er tallet π lik ... tre.

Hva er Pi lik? vi kjenner og husker fra skolen. Det er lik 3,1415926 og så videre... Det er nok for en vanlig person å vite at dette tallet oppnås ved å dele omkretsen av en sirkel på diameteren. Men mange vet at tallet Pi dukker opp i uventede områder, ikke bare i matematikk og geometri, men også i fysikk. Vel, hvis du fordyper deg i detaljene rundt dette tallets natur, vil du legge merke til mange overraskende ting blant den endeløse tallserien. Er det mulig at Pi skjuler universets dypeste hemmeligheter?

Uendelig antall

Selve tallet Pi vises i vår verden som lengden på en sirkel hvis diameter er lik én. Men til tross for at segmentet lik Pi er ganske begrenset, begynner tallet Pi som 3,1415926 og går til uendelig i rader med tall som aldri gjentas. Det første overraskende faktum er at dette tallet, brukt i geometri, ikke kan uttrykkes som en brøkdel av hele tall. Du kan med andre ord ikke skrive det som forholdet mellom to tall a/b. I tillegg er tallet Pi transcendentalt. Dette betyr at det ikke er noen ligning (polynom) med heltallskoeffisienter hvis løsning ville være tallet Pi.

At tallet Pi er transcendentalt ble bevist i 1882 av den tyske matematikeren von Lindemann. Det var dette beviset som ble svaret på spørsmålet om det er mulig, ved hjelp av et kompass og en linjal, å tegne en firkant hvis areal er lik arealet til en gitt sirkel. Dette problemet er kjent som søket etter å kvadrere en sirkel, som har bekymret menneskeheten siden antikken. Det så ut til at dette problemet hadde en enkel løsning og var i ferd med å bli løst. Men det var nettopp den uforståelige egenskapen til tallet Pi som viste at det ikke fantes noen løsning på problemet med å kvadrere sirkelen.

I minst fire og et halvt årtusen har menneskeheten forsøkt å oppnå en stadig mer nøyaktig verdi for Pi. For eksempel, i Bibelen i den tredje kongeboken (7:23), er tallet Pi tatt til å være 3.

Pi-verdien med bemerkelsesverdig nøyaktighet kan finnes i Giza-pyramidene: forholdet mellom omkretsen og høyden til pyramidene er 22/7. Denne brøken gir en omtrentlig verdi av Pi lik 3.142... Med mindre egypterne selvfølgelig satte dette forholdet ved et uhell. Den samme verdien ble allerede oppnådd i forhold til beregningen av tallet Pi i det 3. århundre f.Kr. av den store Arkimedes.

I Papyrus of Ahmes, en gammel egyptisk lærebok i matematikk som dateres tilbake til 1650 f.Kr., beregnes Pi som 3,160493827.

I gamle indiske tekster rundt 900-tallet f.Kr. ble den mest nøyaktige verdien uttrykt med tallet 339/108, som var lik 3.1388...

I nesten to tusen år etter Arkimedes prøvde folk å finne måter å beregne Pi på. Blant dem var både kjente og ukjente matematikere. For eksempel, den romerske arkitekten Marcus Vitruvius Pollio, den egyptiske astronomen Claudius Ptolemaios, den kinesiske matematikeren Liu Hui, den indiske vismannen Aryabhata, middelaldermatematikeren Leonardo av Pisa, kjent som Fibonacci, den arabiske vitenskapsmannen Al-Khwarizmi, fra hvis navn ordet ordet kommer fra. "algoritme" dukket opp. Alle av dem og mange andre mennesker lette etter de mest nøyaktige metodene for å beregne Pi, men frem til 1400-tallet fikk de aldri mer enn 10 desimaler på grunn av kompleksiteten i beregningene.

Til slutt, i 1400, beregnet den indiske matematikeren Madhava fra Sangamagram Pi med en nøyaktighet på 13 sifre (selv om han fortsatt tok feil i de to siste).

Antall skilt

På 1600-tallet oppdaget Leibniz og Newton analysen av uendelig små mengder, som gjorde det mulig å beregne Pi mer progressivt – gjennom potensrekker og integraler. Newton regnet selv med 16 desimaler, men nevnte det ikke i bøkene sine – dette ble kjent etter hans død. Newton hevdet at han beregnet Pi rent av kjedsomhet.

Omtrent samtidig kom også andre mindre kjente matematikere frem og foreslo nye formler for å beregne tallet Pi gjennom trigonometriske funksjoner.

For eksempel er dette formelen som ble brukt til å beregne Pi av astronomilærer John Machin i 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Ved å bruke analytiske metoder, utledet Machin tallet Pi til hundre desimaler fra denne formelen.

Forresten, i samme 1706, fikk tallet Pi en offisiell betegnelse i form av en gresk bokstav: William Jones brukte det i sitt arbeid med matematikk, og tok den første bokstaven i det greske ordet "periferi", som betyr "sirkel". ." Den store Leonhard Euler, født i 1707, populariserte denne betegnelsen, nå kjent for ethvert skolebarn.

Før datamaskinens æra fokuserte matematikere på å beregne så mange tegn som mulig. I denne forbindelse oppsto det noen ganger morsomme ting. Amatørmatematiker W. Shanks beregnet 707 sifre i Pi i 1875. Disse syv hundre skiltene ble udødeliggjort på veggen til Palais des Discoverys i Paris i 1937. Ni år senere oppdaget imidlertid observante matematikere at bare de første 527 tegnene var riktig beregnet. Museet måtte ha betydelige utgifter for å rette opp feilen – nå stemmer alle tall.

Da datamaskiner dukket opp, begynte antall sifre til Pi å bli beregnet i helt ufattelige rekkefølger.

En av de første elektroniske datamaskinene, ENIAC, opprettet i 1946, var enorm i størrelse og genererte så mye varme at rommet varmet opp til 50 grader Celsius, beregnet de første 2037 sifrene til Pi. Denne beregningen tok maskinen 70 timer.

Etter hvert som datamaskiner ble bedre, flyttet kunnskapen vår om Pi lenger og lenger ut i det uendelige. I 1958 ble det beregnet 10 tusen sifre av tallet. I 1987 beregnet japanerne 10 013 395 tegn. I 2011 passerte den japanske forskeren Shigeru Hondo merket på 10 billioner tegn.

Hvor ellers kan du møte Pi?

Så ofte forblir kunnskapen vår om tallet Pi på skolenivå, og vi vet med sikkerhet at dette tallet er uerstattelig først og fremst i geometri.

I tillegg til formler for lengden og arealet av en sirkel, brukes tallet Pi i formler for ellipser, kuler, kjegler, sylindre, ellipsoider og så videre: noen steder er formlene enkle og lette å huske, men i andre inneholder de svært komplekse integraler.

Da kan vi møte tallet Pi i matematiske formler, der geometri ved første øyekast ikke er synlig. For eksempel er det ubestemte integralet av 1/(1-x^2) lik Pi.

Pi brukes ofte i serieanalyse. For eksempel, her er en enkel serie som konvergerer til Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Blant seriene dukker Pi mest uventet opp i den berømte Riemann zeta-funksjonen. Det er umulig å snakke om det i et nøtteskall, la oss bare si at en dag vil tallet Pi hjelpe med å finne en formel for å beregne primtall.

Og helt overraskende: Pi dukker opp i to av de vakreste "kongelige" formlene i matematikk - Stirlings formel (som hjelper til med å finne den omtrentlige verdien av faktorial- og gammafunksjonen) og Eulers formel (som forbinder så mange som fem matematiske konstanter).

Imidlertid ventet den mest uventede oppdagelsen matematikere innen sannsynlighetsteori. Tallet Pi er også der.

For eksempel er sannsynligheten for at to tall vil være relativt primtall 6/PI^2.

Pi dukker opp i Buffons nålekastingsproblem, formulert på 1700-tallet: hva er sannsynligheten for at en nål som kastes på et foret stykke papir vil krysse en av linjene. Hvis lengden på nålen er L, og avstanden mellom linjene er L, og r > L, så kan vi omtrent beregne verdien av Pi ved å bruke sannsynlighetsformelen 2L/rPI. Tenk deg - vi kan få Pi fra tilfeldige hendelser. Og forresten, Pi er til stede i den normale sannsynlighetsfordelingen, vises i ligningen til den berømte Gauss-kurven. Betyr dette at Pi er enda mer grunnleggende enn bare forholdet mellom omkrets og diameter?

Vi kan også møte Pi i fysikk. Pi vises i Coulombs lov, som beskriver kraften i samspillet mellom to ladninger, i Keplers tredje lov, som viser revolusjonsperioden til en planet rundt solen, og til og med vises i arrangementet av elektronorbitalene til hydrogenatomet. Og det som igjen er mest utrolig er at tallet Pi er skjult i formelen til Heisenberg-usikkerhetsprinsippet – kvantefysikkens grunnleggende lov.

Secrets of Pi

I Carl Sagans roman Kontakt, som filmen med samme navn er basert på, forteller romvesener heltinnen at blant tegnene til Pi er det et hemmelig budskap fra Gud. Fra en bestemt posisjon slutter tallene i tallet å være tilfeldige og representerer en kode der alle universets hemmeligheter er skrevet.

Denne romanen reflekterte faktisk et mysterium som har opptatt sinnene til matematikere over hele verden: er Pi et normalt tall der sifrene er spredt med lik frekvens, eller er det noe galt med dette tallet? Og selv om forskere er tilbøyelige til det første alternativet (men ikke kan bevise det), ser tallet Pi veldig mystisk ut. En japansk mann regnet en gang ut hvor mange ganger tallene 0 til 9 forekommer i de første billioner sifrene i Pi. Og jeg så at tallene 2, 4 og 8 var mer vanlig enn de andre. Dette kan være et av hintene om at Pi ikke er helt normalt, og tallene i den er faktisk ikke tilfeldige.

La oss huske alt vi leser ovenfor og spørre oss selv, hvilket annet irrasjonelt og transcendentalt tall finnes så ofte i den virkelige verden?

Og det er flere rariteter i vente. For eksempel er summen av de første tjue sifrene i Pi 20, og summen av de første 144 sifrene er lik "beistets nummer" 666.

Hovedpersonen til den amerikanske TV-serien "Suspect", professor Finch, fortalte studentene at på grunn av uendeligheten til tallet Pi, kan enhver kombinasjon av tall finnes i det, alt fra tallene på fødselsdatoen din til mer komplekse tall . For eksempel, ved posisjon 762 er det en sekvens på seks niere. Denne posisjonen kalles Feynman-punktet etter den berømte fysikeren som la merke til denne interessante kombinasjonen.

Vi vet også at tallet Pi inneholder sekvensen 0123456789, men det er plassert på siffer nummer 17.387.594.880.

Alt dette betyr at man i uendeligheten av tallet Pi kan finne ikke bare interessante kombinasjoner av tall, men også den kodede teksten til "Krig og fred", Bibelen og til og med universets hovedhemmelighet, hvis en slik eksisterer.

Forresten, om Bibelen. Den kjente popularisatoren av matematikk, Martin Gardner, uttalte i 1966 at det millionte sifferet i Pi (på den tiden fortsatt ukjent) ville være tallet 5. Han forklarte sine beregninger med det faktum at i den engelske versjonen av Bibelen, i 3. bok, 14. kapittel, 16 vers (3-14-16) det syvende ordet inneholder fem bokstaver. Milliontallet ble nådd åtte år senere. Det var nummer fem.

Er det verdt å hevde etter dette at tallet Pi er tilfeldig?

For å beregne et stort antall tegn på pi, er den forrige metoden ikke lenger egnet. Men det er et stort antall sekvenser som konvergerer til Pi mye raskere. La oss for eksempel bruke Gauss-formelen:

Beviset for denne formelen er ikke vanskelig, så vi vil utelate det.

Kildekoden til programmet, inkludert "lang aritmetikk"

Programmet beregner NbDigits av de første sifrene i Pi. Funksjonen for å beregne arctan kalles arccot, siden arctan(1/p) = arccot(p), men beregningen utføres i henhold til Taylor-formelen spesifikt for arctangensen, nemlig arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - .. x=1/p, som betyr arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Beregninger skjer rekursivt: det forrige elementet i summen deles og gir den neste.