Hvordan sjekke pariteten til en funksjon. Partall og odde funksjoner. Eksempler på jevn funksjon
- Bytt inn positive inn i funksjonen numeriske verdier x (\displaystyle x) og tilsvarende negative numeriske verdier. For eksempel gitt funksjonen f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Bytt inn følgende verdier i den x (\displaystyle x):
Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om Y-aksen. Symmetri betyr et speilbilde av grafen i forhold til ordinataksen. Hvis delen av grafen til høyre for Y-aksen (positive verdier av den uavhengige variabelen) er den samme som delen av grafen til venstre for Y-aksen (negative verdier av den uavhengige variabelen) ), er grafen symmetrisk om Y-aksen. Hvis funksjonen er symmetrisk om y-aksen, er funksjonen partall.
Sjekk om grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen. Opprinnelsen er punktet med koordinater (0,0). Symmetri om opprinnelsen betyr at en positiv verdi y (\displaystyle y)(med en positiv verdi x (\displaystyle x)) tilsvarer en negativ verdi y (\displaystyle y)(med en negativ verdi x (\displaystyle x)), og vice versa. Odd-funksjoner har symmetri om opprinnelsen.
Sjekk om grafen til funksjonen har noen symmetri. Den siste funksjonstypen er en funksjon hvis graf ikke har noen symmetri, det vil si at det ikke er noe speilbilde både i forhold til ordinataksen og i forhold til origo. For eksempel gitt funksjonen .
- Bytt inn flere positive og tilsvarende negative verdier i funksjonen x (\displaystyle x):
- I følge de oppnådde resultatene er det ingen symmetri. Verdier y (\displaystyle y) for motsatte verdier x (\displaystyle x) ikke sammenfaller og er ikke motsatt. Dermed er funksjonen verken partall eller oddetall.
- Vær oppmerksom på at funksjonen f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kan skrives slik: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Når den skrives i denne formen, vises funksjonen selv fordi det er en jevn eksponent. Men dette eksemplet beviser at typen funksjon ikke kan bestemmes raskt hvis den uavhengige variabelen er omsluttet av parentes. I dette tilfellet må du åpne parentesene og analysere de oppnådde eksponentene.
Som var kjent for deg i en eller annen grad. Der ble det også bemerket at beholdningen av funksjonseiendommer gradvis vil bli etterfylt. To nye eiendommer vil bli omtalt i denne delen.
Definisjon 1.
Funksjonen y = f(x), x є X, kalles selv om likheten f (-x) = f (x) gjelder for en hvilken som helst verdi x fra mengden X.
Definisjon 2.
Funksjonen y = f(x), x є X, kalles oddetall hvis likheten f (-x) = -f (x) gjelder for en hvilken som helst verdi x fra mengden X.
Bevis at y = x 4 er en jevn funksjon.
Løsning. Vi har: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Men (-x) 4 = x 4. Dette betyr at for enhver x gjelder likheten f(-x) = f(x), dvs. funksjonen er jevn.
Tilsvarende kan det bevises at funksjonene y - x 2, y = x 6, y - x 8 er jevne.
Bevis at y = x 3 ~ en oddetallsfunksjon.
Løsning. Vi har: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3. Dette betyr at for enhver x gjelder likheten f (-x) = -f (x), dvs. funksjonen er rar.
På samme måte kan det bevises at funksjonene y = x, y = x 5, y = x 7 er oddetall.
Du og jeg har allerede sett mer enn en gang at nye begreper i matematikk oftest har en «jordisk» opprinnelse, dvs. de kan forklares på en eller annen måte. Dette er tilfellet med både partalls- og oddetallsfunksjoner. Se: y - x 3, y = x 5, y = x 7 er oddetallsfunksjoner, mens y = x 2, y = x 4, y = x 6 er partallsfunksjoner. Og generelt, for enhver funksjon av formen y = x" (nedenfor vil vi spesifikt studere disse funksjonene), der n er et naturlig tall, kan vi konkludere: hvis n er et oddetall, så er funksjonen y = x" merkelig; hvis n er et partall, så er funksjonen y = xn partall.
Det er også funksjoner som verken er partall eller oddetall. Slik er for eksempel funksjonen y = 2x + 3. Faktisk f(1) = 5, og f (-1) = 1. Som du kan se, her er derfor verken identiteten f(-x) = f ( x), og heller ikke identiteten f(-x) = -f(x).
Så en funksjon kan være partall, oddetall eller ingen av delene.
Studerer spørsmålet om gitt funksjon partall eller oddetall kalles vanligvis studiet av en funksjon for paritet.
Definisjon 1 og 2 refererer til verdiene til funksjonen i punktene x og -x. Dette forutsetter at funksjonen er definert i både punkt x og punkt -x. Dette betyr at punkt -x tilhører definisjonsdomenet til funksjonen samtidig med punkt x. Hvis et numerisk sett X, sammen med hvert av dets elementer x, også inneholder det motsatte elementet -x, kalles X en symmetrisk mengde. La oss si at (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) er symmetriske sett, mens \).
Siden \(x^2\geqslant 0\) , så er venstre side av ligningen (*) større enn eller lik \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Således kan likhet (*) bare være sann når begge sider av ligningen er lik \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Og dette betyr det \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Derfor passer verdien \(a=-\mathrm(tg)\,1\) oss.
Svar:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Oppgave 2 #3923
Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen
Finn alle verdiene til parameteren \(a\) , for hver av disse er grafen til funksjonen \
symmetrisk om opprinnelsen.
Hvis grafen til en funksjon er symmetrisk i forhold til opprinnelsen, er en slik funksjon oddetall, det vil si \(f(-x)=-f(x)\) gjelder for enhver \(x\) fra domenet definisjon av funksjonen. Derfor er det nødvendig å finne de parameterverdiene som \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(justert)\]
Den siste ligningen må være tilfredsstilt for alle \(x\) fra domenet til \(f(x)\), derfor, \(\sin(2\pi a)=0 \Høyrepil a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Svar:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Oppgave 3 #3069
Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen
Finn alle verdiene til parameteren \(a\) , for hver av ligningen \ har 4 løsninger, der \(f\) er en jevn periodisk funksjon med periode \(T=\dfrac(16)3\) definert på hele tallinjen , og \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Oppgave fra abonnenter)
Siden \(f(x)\) er en jevn funksjon, er grafen symmetrisk om ordinataksen, derfor når \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Altså når \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), og dette er et segment med lengde \(\dfrac(16)3\) , funksjon \(f(x)=ax^2\) .
1) La \(a>0\) . Da vil grafen til funksjonen \(f(x)\) se slik ut: 
Så, for at ligningen skal ha 4 løsninger, er det nødvendig at grafen \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) går gjennom punktet \(A\) : 
Derfor, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(samlet)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(justert)\end(samlet)\høyre. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(samlet)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( samlet)\right.\] Siden \(a>0\) , så er \(a=\dfrac(18)(23)\) egnet.
2) La \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Det er nødvendig at grafen \(g(x)\) går gjennom punktet \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(samlet)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(justert) \end(samlet)\høyre.\] Siden \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Tilfellet når \(a=0\) ikke er egnet, siden da \(f(x)=0\) for alle \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) og ligningen vil bare ha 1 rot.
Svar:
\(a\in \venstre\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\høyre\)\)
Oppgave 4 #3072
Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen
Finn alle verdiene av \(a\) , for hver av disse ligningen \
har minst én rot.
(Oppgave fra abonnenter)
La oss omskrive ligningen i skjemaet \
og vurdere to funksjoner: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) og \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funksjonen \(g(x)\) er partall og har et minimumspunkt \(x=0\) (og \(g(0)=49\) ).
Funksjonen \(f(x)\) for \(x>0\) er avtagende, og for \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Faktisk, når \(x>0\) den andre modulen vil åpne positivt (\(|x|=x\) ), derfor, uavhengig av hvordan den første modulen åpnes, vil \(f(x)\) være lik til \(kx+A\) , hvor \(A\) er uttrykket for \(a\) og \(k\) er lik enten \(-9\) eller \(-3\) . Når \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
La oss finne verdien av \(f\) ved maksimumspunktet: \ 
For at ligningen skal ha minst én løsning, er det nødvendig at grafene til funksjonene \(f\) og \(g\) har minst ett skjæringspunkt. Derfor trenger du: \ \\]
Svar:
\(a\i \(-7\)\kopp\)
Oppgave 5 #3912
Oppgavenivå: Lik Unified State-eksamenen
Finn alle verdiene til parameteren \(a\) , for hver av dem ligningen \
har seks ulike løsninger.
La oss erstatte \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Deretter vil ligningen ta formen \
Vi vil gradvis skrive ut betingelsene som den opprinnelige ligningen vil ha seks løsninger under.
Merk at den andregradsligningen \((*)\) kan ha maksimalt to løsninger. Enhver kubikkligning \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) kan ikke ha mer enn tre løsninger. Derfor, hvis ligningen \((*)\) har to forskjellige løsninger (positive!, siden \(t\) må være større enn null) \(t_1\) og \(t_2\) , så, ved å gjøre det motsatte erstatning, vi får: \[\venstre[\begin(samlet)\begin(justert) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(justert)\end(samlet)\høyre.\] Siden ethvert positivt tall kan representeres som \(\sqrt2\) til en viss grad, for eksempel, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), så vil den første ligningen i settet skrives om i skjemaet \
Som vi allerede har sagt, har enhver kubikkligning ikke mer enn tre løsninger, derfor vil hver ligning i settet ikke ha mer enn tre løsninger. Dette betyr at hele settet ikke vil ha mer enn seks løsninger.
Dette betyr at for at den opprinnelige ligningen skal ha seks løsninger, må den andregradsligningen \((*)\) ha to forskjellige løsninger, og hver resulterende kubikklikning (fra mengden) må ha tre forskjellige løsninger (og ikke en enkelt løsning av en ligning skal falle sammen med en hvilken som helst - etter avgjørelsen fra den andre!)
Selvfølgelig, hvis den andregradsligningen \((*)\) har én løsning, vil vi ikke få seks løsninger til den opprinnelige ligningen.
Dermed blir løsningsplanen klar. La oss skrive ned vilkårene som må oppfylles punkt for punkt.
1) For at ligningen \((*)\) skal ha to forskjellige løsninger, må dens diskriminant være positiv: \
2) Det er også nødvendig at begge røttene er positive (siden \(t>0\) ). Hvis produktet av to røtter er positivt og summen deres er positiv, vil røttene i seg selv være positive. Derfor trenger du: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Dermed har vi allerede forsynt oss med to forskjellige positive røtter \(t_1\) og \(t_2\) .
3)
La oss se på denne ligningen \
For hva \(t\) vil den ha tre forskjellige løsninger? Dermed har vi bestemt at begge røttene til ligningen \((*)\) må ligge i intervallet \((1;4)\) . Hvordan skrive denne tilstanden? hadde fire forskjellige røtter, forskjellige fra null, og representerte, sammen med \(x=0\), en aritmetisk progresjon. Merk at funksjonen \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) er partall, noe som betyr at hvis \(x_0\) er roten til ligningen \( (*)\ ), da vil \(-x_0\) også være roten. Da er det nødvendig at røttene til denne ligningen er tall ordnet i stigende rekkefølge: \(-2d, -d, d, 2d\) (deretter \(d>0\)). Det er da disse fem tallene vil danne en aritmetisk progresjon (med forskjellen \(d\)). For at disse røttene skal være tallene \(-2d, -d, d, 2d\) , er det nødvendig at tallene \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) er røttene til ligningen \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Så, ifølge Vietas teorem: La oss omskrive ligningen i skjemaet \
og vurdere to funksjoner: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) og \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . For at ligningen skal ha minst én løsning, er det nødvendig at grafene til funksjonene \(f\) og \(g\) har minst ett skjæringspunkt. Derfor trenger du: \
Når vi løser dette settet med systemer, får vi svaret: \\]
Svar: \(a\i \(-2\)\kopp\) - (matematikk.) En funksjon y = f (x) kalles selv om den ikke endres når den uavhengige variabelen kun skifter fortegn, det vil si hvis f (x) = f (x). Hvis f (x) = f (x), kalles funksjonen f (x) oddetall. For eksempel, y = cosx, y = x2... ... F(x) = x er et eksempel på en oddetallsfunksjon. f(x) = x2 er et eksempel på en jevn funksjon. f(x) = x3 ... Wikipedia En funksjon som tilfredsstiller likheten f (x) = f (x). Se partalls- og oddetallsfunksjoner... Stor sovjetisk leksikon F(x) = x er et eksempel på en oddetallsfunksjon. f(x) = x2 er et eksempel på en jevn funksjon. f(x) = x3 ... Wikipedia F(x) = x er et eksempel på en oddetallsfunksjon. f(x) = x2 er et eksempel på en jevn funksjon. f(x) = x3 ... Wikipedia F(x) = x er et eksempel på en oddetallsfunksjon. f(x) = x2 er et eksempel på en jevn funksjon. f(x) = x3 ... Wikipedia F(x) = x er et eksempel på en oddetallsfunksjon. f(x) = x2 er et eksempel på en jevn funksjon. f(x) = x3 ... Wikipedia Spesielle funksjoner introdusert av den franske matematikeren E. Mathieu i 1868 ved løsning av problemer på oscillasjonen av en elliptisk membran. M. f. brukes også til å studere forplantningen av elektromagnetiske bølger i en elliptisk sylinder ... Stor sovjetisk leksikon "Synd"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "sek"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger. "Sine"-forespørselen omdirigeres hit; se også andre betydninger... Wikipedia Funksjonsnuller Nullpunkter er skjæringspunktene mellom funksjonsgrafen og aksen Åh.
Funksjonsparitet Odd paritetsfunksjon Økende funksjon Synkende funksjon Finn intervaller for monotonitet ved hjelp av tjenesten Intervaller med økende og minkende funksjon Lokalt maksimum Lokalt minimum Funksjonsfrekvens Intervaller for tegnkonstans Kontinuitet i funksjon Brytepunkter Eksempel: Utforsk funksjonen og plott den: y = x 3 – 3x
Tenk på funksjonen \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Kan faktoriseres: \
Derfor er dens nuller: \(x=-1;2\) .
Hvis vi finner den deriverte \(f"(x)=3x^2-6x\) , så får vi to ekstremumpunkter \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Derfor ser grafen slik ut: 
Vi ser at enhver horisontal linje \(y=k\) , hvor \(0
Derfor trenger du: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
La oss også umiddelbart legge merke til at hvis tallene \(t_1\) og \(t_2\) er forskjellige, vil tallene \(\log_(\sqrt2)t_1\) og \(\log_(\sqrt2)t_2\) være annerledes, som betyr ligningene \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Og \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) vil ha forskjellige røtter.
Systemet \((**)\) kan skrives om som følger: \[\begin(cases) 1
Vi vil ikke skrive ned røttene eksplisitt.
Tenk på funksjonen \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafen er en parabel med oppadgående grener, som har to skjæringspunkter med x-aksen (vi skrev ned denne tilstanden i avsnitt 1)). Hvordan skal grafen se ut slik at skjæringspunktene med x-aksen er i intervallet \((1;4)\)? Så: 
For det første må verdiene \(g(1)\) og \(g(4)\) til funksjonen i punktene \(1\) og \(4\) være positive, og for det andre, toppunktet til parabel \(t_0\ ) må også være i intervallet \((1;4)\) . Derfor kan vi skrive systemet: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funksjonen \(g(x)\) har et maksimumspunkt \(x=0\) (og \(g_(\tekst(øverst))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nullderivert: \(x=0\) . Når \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , for \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funksjonen \(f(x)\) for \(x>0\) øker, og for \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Faktisk, når \(x>0\) den første modulen vil åpne positivt (\(|x|=x\)), vil derfor, uavhengig av hvordan den andre modulen åpnes, \(f(x)\) være lik til \( kx+A\) , hvor \(A\) er uttrykket av \(a\) , og \(k\) er lik enten \(13-10=3\) eller \(13+10 =23\) . Når \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
La oss finne verdien av \(f\) ved minimumspunktet: \
Nullpunktet til en funksjon er verdien X, hvor funksjonen blir til 0, det vil si f(x)=0.
En funksjon kalles selv om for noen X fra definisjonsdomenet gjelder likheten f(-x) = f(x). 
En jevn funksjon er symmetrisk om aksen OU
En funksjon kalles odd hvis for noen X fra definisjonsdomenet gjelder likheten f(-x) = -f(x). 
En oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.
En funksjon som verken er partall eller oddetall kalles en generell funksjon. 
En funksjon f(x) sies å være økende hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen, dvs. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1) 
En funksjon f(x) kalles avtagende hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen, dvs. x 2 >x 1 → f(x 2) 
Intervaller som funksjonen enten bare avtar eller bare øker kalles intervaller av monotoni. Funksjonen f(x) har 3 intervaller med monotonisitet:
(-∞ x 1), (x 1, x 2), (x 3; +∞) 
Punktum x 0 kalles et lokalt maksimumspunkt hvis for noen X fra nærheten av et punkt x 0 ulikheten gjelder: f(x 0) > f(x) 
Punktum x 0 kalles et lokalt minimumspunkt hvis for noen X fra nærheten av et punkt x 0 ulikhet gjelder: f(x 0)< f(x).
Lokale maksimumspoeng og lokale minimumspoeng kalles lokale ekstremumpunkter. 
x 1 , x 2 - lokale ekstremumpunkter.
Funksjonen f(x) kalles periodisk, med punktum T, hvis for noen X likheten f(x+T) = f(x) gjelder. 
Intervaller der funksjonen enten bare er positiv eller kun negativ kalles intervaller med konstant fortegn. 
f(x)>0 for x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
En funksjon f(x) kalles kontinuerlig i et punkt x 0 hvis grensen for funksjonen som x → x 0 er lik verdien av funksjonen på dette punktet, dvs. 
.
Punktene der kontinuitetsbetingelsen brytes kalles funksjonsbruddpunkter. 
x 0- bruddpunkt.Generelt opplegg for plottefunksjoner
1. Finn definisjonsdomenet til funksjonen D(y).
2. Finn skjæringspunktene til grafen for funksjoner med koordinataksene.
3. Undersøk funksjonen for partall eller oddetall.
4. Undersøk funksjonen for periodisitet.
5. Finn monotonisitetsintervaller og ekstremumpunkter for funksjonen.
6. Finn konveksitetsintervallene og bøyningspunktene til funksjonen.
7. Finn asymptotene til funksjonen.
8. Basert på forskningsresultatene, konstruer en graf.
8) Basert på resultatene av studien vil vi plotte funksjonen: 
Laster inn...