Hvordan utvide logaritmen til en sum. Logaritmisk ligning: grunnleggende formler og teknikker. Invers trigonometrisk funksjon
Logaritmiske ligninger og ulikheter i Unified State Examination i matematikk den er viet til problem C3 . Hver student må lære å løse C3-oppgaver fra Unified State Exam i matematikk hvis han ønsker å bestå den kommende eksamenen med "god" eller "utmerket". Denne artikkelen gir en kort oversikt over vanlige logaritmiske ligninger og ulikheter, samt grunnleggende metoder for å løse dem.
Så la oss se på noen få eksempler i dag. logaritmiske ligninger og ulikheter, som ble tilbudt studenter i Unified State Examination i matematikk fra tidligere år. Men det vil begynne med en kort oppsummering av de viktigste teoretiske punktene som vi trenger for å løse dem.
Logaritmisk funksjon
Definisjon
Skjemaets funksjon
0,\, a\ne 1 \]" title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
kalt logaritmisk funksjon.
Grunnleggende egenskaper
Grunnleggende egenskaper for den logaritmiske funksjonen y=logg en x:
Grafen til en logaritmisk funksjon er logaritmisk kurve:
Egenskaper til logaritmer
Logaritme av produktet to positive tall er lik summen av logaritmene til disse tallene:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Logaritme av kvotienten to positive tall er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Hvis en Og b en≠ 1, deretter for et hvilket som helst tall r likhet er sant:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Likestilling Logg en t=logg en s, Hvor en > 0, en ≠ 1, t > 0, s> 0, gyldig hvis og bare hvis t = s.
Hvis en, b, c er positive tall, og en Og c er forskjellige fra enhet, så likhet ( formel for å flytte til en ny logaritmebase):
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Teorem 1. Hvis f(x) > 0 og g(x) > 0, deretter den logaritmiske ligningsloggen en f(x) = logg en g(x) (Hvor en > 0, en≠ 1) er ekvivalent med ligningen f(x) = g(x).
Løse logaritmiske ligninger og ulikheter
Eksempel 1. Løs ligningen:
Løsning. Utvalget av akseptable verdier inkluderer bare de x, der uttrykket under logaritmetegnet er større enn null. Disse verdiene bestemmes av følgende system av ulikheter:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Vurderer
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
vi får intervallet som definerer området av tillatte verdier for denne logaritmiske ligningen:
Basert på teorem 1, som alle betingelser er oppfylt her, går vi videre til følgende ekvivalente kvadratiske ligning:
Utvalget av akseptable verdier inkluderer bare den første roten.
Svar: x = 7.
Eksempel 2. Løs ligningen:
Løsning. Utvalget av akseptable verdier av ligningen bestemmes av systemet med ulikheter:
ql-right-eqno">
Løsning. Rekkevidden av akseptable verdier av ligningen bestemmes enkelt her: x > 0.
Vi bruker substitusjon:
Ligningen blir:
Omvendt erstatning:
Både svar er innenfor rekkevidden av akseptable verdier av ligningen fordi de er positive tall.
Eksempel 4. Løs ligningen:
Løsning. La oss starte løsningen igjen ved å bestemme rekkevidden av akseptable verdier av ligningen. Det bestemmes av følgende system av ulikheter:
ql-right-eqno">
Basene til logaritmene er de samme, så i området med akseptable verdier kan vi fortsette til følgende kvadratiske ligning:
Den første roten er ikke innenfor rekkevidden av akseptable verdier av ligningen, men den andre er.
Svar: x = -1.
Eksempel 5. Løs ligningen:
Løsning. Vi vil se etter løsninger i mellom x > 0, x≠1. La oss transformere ligningen til en ekvivalent:
Både svar er innenfor rekkevidden av akseptable verdier av ligningen.
Eksempel 6. Løs ligningen:
Løsning. Systemet med ulikheter som definerer utvalget av tillatte verdier av ligningen denne gangen har formen:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Ved å bruke egenskapene til logaritmen transformerer vi ligningen til en ligning som er ekvivalent i området med akseptable verdier:
Ved å bruke formelen for å flytte til en ny logaritmebase får vi:
Utvalget av akseptable verdier inkluderer bare én svar: x = 4.
La oss nå gå videre til logaritmiske ulikheter . Dette er akkurat det du må forholde deg til på Unified State Exam i matematikk. For å løse flere eksempler trenger vi følgende teorem:
Teorem 2. Hvis f(x) > 0 og g(x) > 0, deretter:
på en> 1 logaritmisk ulikhetslogg a f(x) > logg a g(x) tilsvarer en ulikhet med samme betydning: f(x) > g(x);
på 0< en < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > logg a g(x) tilsvarer en ulikhet med motsatt betydning: f(x) < g(x).
Eksempel 7. Løs ulikheten:
Løsning. La oss starte med å definere rekkevidden av akseptable verdier for ulikheten. Uttrykket under tegnet til den logaritmiske funksjonen må kun ha positive verdier. Dette betyr at det nødvendige området av akseptable verdier bestemmes av følgende system av ulikheter:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Siden basen til logaritmen er et tall mindre enn én, vil den tilsvarende logaritmiske funksjonen avta, og derfor vil overgangen til følgende kvadratiske ulikhet, ifølge setning 2, være ekvivalent:
Til slutt, med tanke på rekkevidden av akseptable verdier, får vi svar:
Eksempel 8. Løs ulikheten:
Løsning. La oss starte på nytt med å definere utvalget av akseptable verdier:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
På settet med tillatte verdier av ulikheten utfører vi ekvivalente transformasjoner:
Etter reduksjon og overgang til ulikhetsekvivalenten ved teorem 2, får vi:
Tar vi hensyn til rekkevidden av akseptable verdier, oppnår vi finalen svar:
Eksempel 9. Løs logaritmisk ulikhet:
Løsning. Utvalget av akseptable verdier av ulikhet bestemmes av følgende system:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Det kan sees at i området av akseptable verdier er uttrykket ved bunnen av logaritmen alltid større enn én, og derfor vil overgangen til følgende ulikhet i følge setning 2 være ekvivalent:
Tar vi hensyn til rekkevidden av akseptable verdier, får vi det endelige svaret:
Eksempel 10. Løs ulikheten:
Løsning.
Utvalget av akseptable verdier av ulikhet bestemmes av systemet med ulikheter:
Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}
Metode I La oss bruke formelen for overgang til en ny base av logaritmen og gå videre til en ulikhet som er ekvivalent i området av akseptable verdier.
Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.
Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.
Legge til og subtrahere logaritmer
Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
- Logg en x+ logg en y=logg en (x · y);
- Logg en x− logg en y=logg en (x : y).
Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke blir vurdert (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
Logg 6 4 + logg 6 9.
Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.
Trekke ut eksponenten fra logaritmen
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:
Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:
[Tekst til bildet] Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.
La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.
Overgang til ny stiftelse
Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?
Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:
La logaritmeloggen gis en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:
[Tekst til bildet]
Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:
[Tekst til bildet]
Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.
Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.
Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.
Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
La oss nå "reversere" den andre logaritmen:
[Tekst til bildet]Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.
Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:
[Tekst til bildet]La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:
[Tekst til bildet]Grunnleggende logaritmisk identitet
Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:
I det første tilfellet, nummeret n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.
Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.
Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.
Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]
Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok bare kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:
[Tekst til bildet]Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)
Logaritmisk enhet og logaritmisk null
Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.
- Logg en en= 1 er en logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
- Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.
Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.
I forhold til
oppgaven med å finne hvilket som helst av de tre tallene fra de to andre gitte kan settes. Hvis a og deretter N er gitt, blir de funnet ved eksponentiering. Hvis N og deretter a gis ved å ta roten av graden x (eller heve den til potensen). Tenk nå på tilfellet når vi, gitt a og N, må finne x.
La tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lik en: .
Definisjon. Logaritmen av tallet N til grunntallet a er eksponenten som a må heves til for å få tallet N; logaritmen er betegnet med
Således, i likhet (26.1) er eksponenten funnet som logaritmen av N til base a. Innlegg
har samme betydning. Likhet (26.1) kalles noen ganger hovedidentiteten til logaritmeteorien; i virkeligheten uttrykker det definisjonen av begrepet logaritme. Etter denne definisjonen er basen til logaritmen a alltid positiv og forskjellig fra enhet; det logaritmiske tallet N er positivt. Negative tall og null har ingen logaritmer. Det kan bevises at ethvert tall med en gitt base har en veldefinert logaritme. Derfor innebærer likhet. Merk at betingelsen er avgjørende her; ellers ville konklusjonen ikke være berettiget, siden likheten er sann for alle verdier av x og y.
Eksempel 1. Finn
Løsning. For å få et tall, må du heve grunntallet 2 til potensen Derfor.
Du kan gjøre notater når du løser slike eksempler i følgende skjema:
Eksempel 2. Finn .
Løsning. Vi har
I eksempel 1 og 2 fant vi enkelt ønsket logaritme ved å representere logaritmetallet som en potens av grunntallet med en rasjonell eksponent. I det generelle tilfellet, for eksempel for etc., kan dette ikke gjøres, siden logaritmen har en irrasjonell verdi. La oss ta hensyn til ett problem knyttet til denne uttalelsen. I avsnitt 12 ga vi konseptet om muligheten for å bestemme en hvilken som helst reell styrke for et gitt positivt tall. Dette var nødvendig for innføringen av logaritmer, som generelt sett kan være irrasjonelle tall.
La oss se på noen egenskaper ved logaritmer.
Egenskap 1. Hvis tallet og grunntallet er like, så er logaritmen lik én, og omvendt, hvis logaritmen er lik én, så er tallet og grunntallet like.
Bevis. La Ved definisjonen av en logaritme har vi og hvorfra
Omvendt, la Then per definisjon
Egenskap 2. Logaritmen av en til en hvilken som helst grunntall er lik null.
Bevis. Per definisjon av en logaritme (nullpotensen til enhver positiv base er lik én, se (10.1)). Herfra
Q.E.D.
Det motsatte utsagnet er også sant: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .
Før du formulerer den neste egenskapen til logaritmer, la oss bli enige om å si at to tall a og b ligger på samme side av det tredje tallet c hvis de begge er større enn c eller mindre enn c. Hvis ett av disse tallene er større enn c, og det andre er mindre enn c, vil vi si at de ligger på hver sin side av c.
Egenskap 3. Hvis tallet og grunntallet ligger på samme side av en, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grunntallet ligger på motsatte sider av én, er logaritmen negativ.
Beviset for egenskap 3 er basert på det faktum at potensen til a er større enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er positiv eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er negativ. En potens er mindre enn én hvis grunntallet er større enn én og eksponenten er negativ eller grunntallet er mindre enn én og eksponenten er positiv.
Det er fire saker å vurdere:
Vi vil begrense oss til å analysere den første av dem; leseren vil vurdere resten på egen hånd.
La da eksponenten i likhet verken være negativ eller lik null, derfor er den positiv, dvs. som kreves for å bli bevist.
Eksempel 3. Finn ut hvilke av logaritmene nedenfor som er positive og hvilke som er negative:
Løsning, a) siden tallet 15 og basen 12 er plassert på samme side av en;
b) siden 1000 og 2 er plassert på den ene siden av enheten; i dette tilfellet er det ikke viktig at grunntallet er større enn det logaritmiske tallet;
c) siden 3.1 og 0.8 ligger på motsatte sider av enheten;
G); Hvorfor?
d) ; Hvorfor?
Følgende egenskaper 4-6 kalles ofte logaritmeringsreglene: de tillater, ved å kjenne logaritmene til noen tall, å finne logaritmene til deres produkt, kvotient og grad av hvert av dem.
Egenskap 4 (produktlogaritmeregel). Logaritmen av produktet av flere positive tall til en gitt base er lik summen av logaritmene til disse tallene til samme grunntall.
Bevis. La de gitte tallene være positive.
For logaritmen til produktet deres skriver vi likheten (26.1) som definerer logaritmen:
Herfra finner vi
Ved å sammenligne eksponentene til det første og siste uttrykket får vi den nødvendige likheten:
Merk at tilstanden er essensiell; logaritmen til produktet av to negative tall gir mening, men i dette tilfellet får vi
Generelt, hvis produktet av flere faktorer er positivt, er logaritmen lik summen av logaritmene til de absolutte verdiene til disse faktorene.
Egenskap 5 (regel for å ta logaritmer av kvotienter). Logaritmen til en kvotient av positive tall er lik differansen mellom logaritmene til utbyttet og divisoren, tatt til samme base. Bevis. Vi finner konsekvent
Q.E.D.
Egenskap 6 (potenslogaritmeregel). Logaritmen av potensen til ethvert positivt tall er lik logaritmen til det tallet multiplisert med eksponenten.
Bevis. La oss skrive igjen hovedidentiteten (26.1) for nummeret:
Q.E.D.
Konsekvens. Logaritmen til en rot av et positivt tall er lik logaritmen til radikalet delt på eksponenten til roten:
Gyldigheten av denne konsekvensen kan bevises ved å forestille seg hvordan og bruke egenskap 6.
Eksempel 4. Ta logaritmen til å basere a:
a) (det antas at alle verdier b, c, d, e er positive);
b) (det antas at ).
Løsning, a) Det er praktisk å gå til brøkpotenser i dette uttrykket:
Basert på likheter (26.5)-(26.7), kan vi nå skrive:
Vi legger merke til at enklere operasjoner utføres på logaritmene til tallene enn på tallene i seg selv: når tall multipliseres, blir logaritmene deres lagt til, når de divideres, trekkes de fra osv.
Det er derfor logaritmer brukes i beregningspraksis (se avsnitt 29).
Den inverse handlingen til logaritmen kalles potensering, nemlig: potensering er handlingen som tallet i seg selv blir funnet fra en gitt logaritme av et tall. Potensering er i hovedsak ikke noen spesiell handling: det kommer ned til å heve en base til en potens (lik logaritmen til et tall). Begrepet "potensiale" kan betraktes som synonymt med begrepet "eksponentiering".
Ved potensiering må du bruke reglene invers til logaritmeringsreglene: erstatt summen av logaritmene med logaritmen til produktet, forskjellen av logaritmene med logaritmen til kvotienten osv. Spesielt hvis det er en faktor foran av logaritmens fortegn, så må det under potensieringen overføres til eksponentgradene under logaritmens fortegn.
Eksempel 5. Finn N hvis det er kjent at
Løsning. I forbindelse med den nettopp nevnte potenseringsregelen vil vi overføre faktorene 2/3 og 1/3 som står foran logaritmenes tegn på høyre side av denne likheten til eksponenter under disse logaritmenes fortegn; vi får
Nå erstatter vi forskjellen av logaritmer med logaritmen til kvotienten:
for å få den siste brøken i denne likhetskjeden, frigjorde vi den forrige brøken fra irrasjonalitet i nevneren (klausul 25).
Egenskap 7. Hvis grunntallet er større enn én, så har det største tallet en større logaritme (og det minste har en mindre), hvis grunntallet er mindre enn én, så har det største tallet en mindre logaritme (og det mindre en har en større).
Denne egenskapen er også formulert som en regel for å ta logaritmer av ulikheter, hvor begge sider er positive:
Når du logaritmer ulikheter til en grunntall som er større enn én, beholdes tegnet på ulikhet, og når du logaritmer til en grunntall mindre enn én, endres tegnet på ulikhet til det motsatte (se også avsnitt 80).
Beviset er basert på egenskapene 5 og 3. Tenk på tilfellet når If , then og, med logaritmer, får vi
(a og N/M ligger på samme side av enheten). Herfra
I tilfelle a følger, vil leseren finne ut av det på egen hånd.
Med denne videoen begynner jeg en lang rekke leksjoner om logaritmiske ligninger. Nå har du tre eksempler foran deg, på grunnlag av hvilke vi vil lære å løse de enkleste problemene, som kalles - protozoer.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
La meg minne deg på at den enkleste logaritmiske ligningen er følgende:
log a f (x) = b
I dette tilfellet er det viktig at variabelen x er tilstede kun inne i argumentet, det vil si bare i funksjonen f (x). Og tallene a og b er bare tall, og i ingen tilfeller er funksjoner som inneholder variabelen x.
Grunnleggende løsningsmetoder
Det er mange måter å løse slike strukturer på. For eksempel tilbyr de fleste lærere på skolen denne metoden: Uttrykk umiddelbart funksjonen f (x) ved hjelp av formelen f ( x ) = a b. Det vil si at når du kommer over den enkleste konstruksjonen, kan du umiddelbart gå videre til løsningen uten ytterligere handlinger og konstruksjoner.
Ja, selvfølgelig vil avgjørelsen være riktig. Men problemet med denne formelen er at de fleste studenter forstår ikke, hvor det kommer fra og hvorfor vi hever bokstaven a til bokstaven b.
Det gjør at jeg ofte ser veldig irriterende feil når for eksempel disse bokstavene byttes. Denne formelen må enten forstås eller proppfull, og den andre metoden fører til feil på de mest uhensiktsmessige og mest avgjørende øyeblikkene: under eksamener, tester, etc.
Derfor foreslår jeg alle elevene mine å forlate standardskoleformelen og bruke den andre tilnærmingen til å løse logaritmiske ligninger, som, som du sikkert har gjettet ut fra navnet, kalles kanonisk form.
Ideen om den kanoniske formen er enkel. La oss se på problemet vårt igjen: til venstre har vi log a, og med bokstaven a mener vi et tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som inneholder variabelen x. Følgelig er dette brevet underlagt alle begrensningene som er pålagt på basis av logaritmen. nemlig:
1 ≠ a > 0
På den annen side, fra samme ligning ser vi at logaritmen må være lik tallet b, og det er ingen begrensninger på denne bokstaven, fordi den kan ha hvilken som helst verdi - både positiv og negativ. Alt avhenger av hvilke verdier funksjonen f(x) tar.
Og her husker vi vår fantastiske regel om at ethvert tall b kan representeres som en logaritme til grunntallet a til a i potensen av b:
b = log a a b
Hvordan huske denne formelen? Ja, veldig enkelt. La oss skrive følgende konstruksjon:
b = b 1 = b log a a
Selvfølgelig oppstår i dette tilfellet alle begrensningene som vi skrev ned i begynnelsen. La oss nå bruke den grunnleggende egenskapen til logaritmen og introdusere multiplikatoren b som potensen til a. Vi får:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Som et resultat vil den opprinnelige ligningen skrives om som følger:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Det er alt. Den nye funksjonen inneholder ikke lenger en logaritme og kan løses ved hjelp av standard algebraiske teknikker.
Selvfølgelig vil noen nå innvende: hvorfor var det nødvendig å komme opp med en slags kanonisk formel i det hele tatt, hvorfor utføre to ekstra unødvendige trinn hvis det var mulig å umiddelbart gå fra den opprinnelige designen til den endelige formelen? Ja, om så bare fordi de fleste studenter ikke forstår hvor denne formelen kommer fra, og som et resultat av det regelmessig gjør feil når de bruker den.
Men denne sekvensen av handlinger, som består av tre trinn, lar deg løse den opprinnelige logaritmiske ligningen, selv om du ikke forstår hvor den endelige formelen kommer fra. Forresten, denne oppføringen kalles den kanoniske formelen:
log a f (x) = log a a b
Bekvemmeligheten med den kanoniske formen ligger også i det faktum at den kan brukes til å løse en veldig bred klasse av logaritmiske ligninger, og ikke bare de enkleste som vi vurderer i dag.
Eksempler på løsninger
La oss nå se på virkelige eksempler. Så la oss bestemme:
log 0,5 (3x − 1) = −3
La oss omskrive det slik:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mange studenter har det travelt og prøver å umiddelbart heve tallet 0,5 til kraften som kom til oss fra det opprinnelige problemet. Faktisk, når du allerede er godt trent i å løse slike problemer, kan du umiddelbart utføre dette trinnet.
Men hvis du nå bare begynner å studere dette emnet, er det bedre å ikke skynde seg noe sted for å unngå å gjøre støtende feil. Så vi har den kanoniske formen. Vi har:
3x − 1 = 0,5 −3
Dette er ikke lenger en logaritmisk ligning, men lineær i forhold til variabelen x. For å løse det, la oss først se på tallet 0,5 i potensen −3. Merk at 0,5 er 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Konverter alle desimalbrøker til vanlige brøker når du løser en logaritmisk ligning.
Vi skriver om og får:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Det er det, vi har svaret. Det første problemet er løst.
Andre oppgave
La oss gå videre til den andre oppgaven:
Som vi ser, er denne ligningen ikke lenger den enkleste. Om så bare fordi det er en forskjell til venstre, og ikke en eneste logaritme til en base.
Derfor må vi på en eller annen måte bli kvitt denne forskjellen. I dette tilfellet er alt veldig enkelt. La oss se nærmere på basene: til venstre er tallet under roten:
Generell anbefaling: i alle logaritmiske ligninger, prøv å bli kvitt radikaler, det vil si fra oppføringer med røtter og gå videre til potensfunksjoner, ganske enkelt fordi eksponentene til disse potensene lett tas ut av logaritmens tegn og til slutt slike en oppføring forenkler og fremskynder beregningene betydelig. La oss skrive det ned slik:
La oss nå huske den bemerkelsesverdige egenskapen til logaritmen: potenser kan utledes fra argumentet, så vel som fra basen. Når det gjelder grunner, skjer følgende:
log a k b = 1/k loga b
Med andre ord, tallet som var i grunnpotensen føres frem og inverteres samtidig, det vil si at det blir et resiprokt tall. I vårt tilfelle var grunngraden 1/2. Derfor kan vi ta den ut som 2/1. Vi får:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Vennligst merk: under ingen omstendigheter bør du bli kvitt logaritmer på dette trinnet. Husk 4.-5. klasse matematikk og rekkefølgen av operasjoner: multiplikasjon utføres først, og først deretter addisjon og subtraksjon. I dette tilfellet trekker vi ett av de samme elementene fra 10 elementer:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nå ser ligningen vår ut som den skal. Dette er den enkleste konstruksjonen, og vi løser den ved å bruke den kanoniske formen:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Det er alt. Det andre problemet er løst.
Tredje eksempel
La oss gå videre til den tredje oppgaven:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
La meg minne deg på følgende formel:
log b = log 10 b
Hvis du av en eller annen grunn blir forvirret av notasjonsloggen b, kan du ganske enkelt skrive log 10b når du utfører alle beregningene. Du kan jobbe med desimallogaritmer på samme måte som med andre: ta potenser, addere og representere alle tall i formen lg 10.
Det er disse egenskapene vi nå skal bruke for å løse problemet, siden det ikke er den enkleste vi skrev ned helt i begynnelsen av leksjonen.
Legg først merke til at faktoren 2 foran lg 5 kan legges til og blir en potens av grunntall 5. I tillegg kan frileddet 3 også representeres som en logaritme - dette er veldig enkelt å observere fra vår notasjon.
Døm selv: et hvilket som helst tall kan representeres som logg til base 10:
3 = logg 10 10 3 = logg 10 3
La oss omskrive det opprinnelige problemet under hensyntagen til de oppnådde endringene:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000
Vi har foran oss den kanoniske formen igjen, og vi fikk den uten å gå gjennom transformasjonsstadiet, dvs. den enkleste logaritmiske ligningen dukket ikke opp noe sted.
Det er akkurat dette jeg snakket om helt i begynnelsen av leksjonen. Den kanoniske formen lar deg løse en bredere klasse med problemer enn standard skoleformelen som de fleste skolelærere gir.
Vel, det er det, vi blir kvitt tegnet til desimallogaritmen, og vi får en enkel lineær konstruksjon:
x + 3 = 25 000
x = 24.997
Alle! Problemet er løst.
En merknad om omfang
Her vil jeg komme med en viktig bemerkning angående definisjonsområdet. Nå vil det sikkert være elever og lærere som vil si: "Når vi løser uttrykk med logaritmer, må vi huske at argumentet f (x) må være større enn null!" I denne forbindelse oppstår et logisk spørsmål: hvorfor krevde vi ikke at denne ulikheten skulle tilfredsstilles i noen av problemene som ble vurdert?
Ikke bekymre deg. I disse tilfellene vil ingen ekstra røtter vises. Og dette er et annet flott triks som lar deg fremskynde løsningen. Bare vit at hvis variabelen x forekommer i oppgaven bare på ett sted (eller rettere sagt, i ett enkelt argument i en enkelt logaritme), og ingen andre steder i vårt tilfelle forekommer variabelen x, så skriv ned definisjonsdomenet ikke nødvendig, fordi det vil bli utført automatisk.
Døm selv: i den første ligningen fikk vi at 3x − 1, dvs. argumentet skal være lik 8. Dette betyr automatisk at 3x − 1 vil være større enn null.
Med samme suksess kan vi skrive at i det andre tilfellet skal x være lik 5 2, det vil si at den absolutt er større enn null. Og i det tredje tilfellet, hvor x + 3 = 25 000, dvs. igjen, åpenbart større enn null. Med andre ord tilfredsstilles omfanget automatisk, men bare hvis x forekommer bare i argumentet til kun én logaritme.
Det er alt du trenger å vite for å løse de enkleste problemene. Denne regelen alene, sammen med transformasjonsreglene, vil tillate deg å løse en veldig bred klasse av problemer.
Men la oss være ærlige: For å endelig forstå denne teknikken, for å lære å bruke den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, er det ikke nok å bare se en videoleksjon. Derfor, akkurat nå, last ned alternativene for uavhengige løsninger som er knyttet til denne videoleksjonen og begynn å løse minst ett av disse to uavhengige verkene.
Det vil ta deg bokstavelig talt noen minutter. Men effekten av slik trening vil være mye høyere enn hvis du bare så denne videoleksjonen.
Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å forstå logaritmiske ligninger. Bruk den kanoniske formen, forenkle uttrykk ved å bruke reglene for arbeid med logaritmer - og du vil ikke være redd for problemer. Det er alt jeg har for i dag.
Tar hensyn til definisjonsdomenet
La oss nå snakke om definisjonsdomenet til den logaritmiske funksjonen, og hvordan dette påvirker løsningen av logaritmiske ligninger. Vurder en konstruksjon av skjemaet
log a f (x) = b
Et slikt uttrykk kalles det enkleste - det inneholder bare én funksjon, og tallene a og b er bare tall, og ikke i noe tilfelle en funksjon som avhenger av variabelen x. Det kan løses veldig enkelt. Du trenger bare å bruke formelen:
b = log a a b
Denne formelen er en av nøkkelegenskapene til logaritmen, og når vi bytter inn i vårt opprinnelige uttrykk får vi følgende:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Dette er en kjent formel fra skolebøkene. Mange elever vil sannsynligvis ha et spørsmål: siden funksjonen f (x) i det opprinnelige uttrykket er under loggtegnet, er følgende begrensninger pålagt den:
f(x) > 0
Denne begrensningen gjelder fordi logaritmen til negative tall ikke eksisterer. Så kanskje, som et resultat av denne begrensningen, bør en kontroll av svar innføres? Kanskje de må settes inn i kilden?
Nei, i de enkleste logaritmiske ligningene er ytterligere kontroll unødvendig. Og det er derfor. Ta en titt på vår endelige formel:
f (x) = a b
Faktum er at tallet a uansett er større enn 0 - dette kravet stilles også av logaritmen. Tallet a er grunntallet. I dette tilfellet er det ingen begrensninger på tallet b. Men dette spiller ingen rolle, for uansett hvilken kraft vi hever et positivt tall til, vil vi fortsatt få et positivt tall ved utgangen. Dermed oppfylles kravet f (x) > 0 automatisk.
Det som virkelig er verdt å sjekke er domenet til funksjonen under loggskiltet. Det kan være ganske komplekse strukturer, og du må definitivt holde et øye med dem under løsningsprosessen. La oss ta en titt.
Første oppgave:
Første trinn: konverter brøken til høyre. Vi får:
Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får den vanlige irrasjonelle ligningen:
Av de oppnådde røttene er det bare den første som passer oss, siden den andre roten er mindre enn null. Det eneste svaret vil være tallet 9. Det er det, problemet er løst. Ingen ekstra kontroller er nødvendig for å sikre at uttrykket under logaritmetegnet er større enn 0, fordi det ikke bare er større enn 0, men i henhold til tilstanden til ligningen er det lik 2. Derfor er kravet "større enn null" ” tilfredsstilles automatisk.
La oss gå videre til den andre oppgaven:
Alt er likt her. Vi omskriver konstruksjonen og erstatter trippelen:
Vi kvitter oss med logaritmetegnet og får en irrasjonell ligning:
Vi kvadrerer begge sider med hensyn til begrensningene og får:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Vi løser den resulterende ligningen gjennom diskriminanten:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Men x = −6 passer ikke oss, for hvis vi erstatter dette tallet i vår ulikhet, får vi:
−6 + 4 = −2 < 0
I vårt tilfelle kreves det at den er større enn 0 eller, i ekstreme tilfeller, lik. Men x = −1 passer oss:
−1 + 4 = 3 > 0
Det eneste svaret i vårt tilfelle vil være x = −1. Det er løsningen. La oss gå tilbake til begynnelsen av våre beregninger.
Det viktigste med denne leksjonen er at du ikke trenger å sjekke begrensninger på en funksjon i enkle logaritmiske ligninger. For under løsningsprosessen blir alle begrensninger oppfylt automatisk.
Dette betyr imidlertid på ingen måte at du kan glemme å sjekke helt. I prosessen med å jobbe med en logaritmisk ligning kan den godt bli til en irrasjonell, som vil ha sine egne begrensninger og krav til høyresiden, som vi i dag har sett i to forskjellige eksempler.
Løs gjerne slike problemer og vær spesielt forsiktig hvis det er en rot i argumentasjonen.
Logaritmiske ligninger med forskjellige baser
Vi fortsetter å studere logaritmiske ligninger og ser på to flere ganske interessante teknikker som det er moderne å løse mer komplekse konstruksjoner med. Men først, la oss huske hvordan de enkleste problemene løses:
log a f (x) = b
I denne oppføringen er a og b tall, og i funksjonen f (x) må variabelen x være til stede, og bare der, det vil si at x bare må være i argumentet. Vi vil transformere slike logaritmiske ligninger ved å bruke den kanoniske formen. For å gjøre dette, merk det
b = log a a b
Dessuten er a b nettopp et argument. La oss omskrive dette uttrykket som følger:
log a f (x) = log a a b
Det er nettopp dette vi prøver å oppnå, slik at det er en logaritme for å basere a på både venstre og høyre. I dette tilfellet kan vi, billedlig talt, krysse ut loggtegnene, og fra et matematisk synspunkt kan vi si at vi ganske enkelt setter likhetstegn mellom argumentene:
f (x) = a b
Som et resultat vil vi få et nytt uttrykk som vil være mye lettere å løse. La oss bruke denne regelen på problemene våre i dag.
Så det første designet:
Først og fremst legger jeg merke til at det til høyre er en brøk hvis nevner er log. Når du ser et uttrykk som dette, er det en god idé å huske en fantastisk egenskap ved logaritmer:
Oversatt til russisk betyr dette at enhver logaritme kan representeres som kvotienten av to logaritmer med hvilken som helst base c. Selvfølgelig 0< с ≠ 1.
Så: denne formelen har et fantastisk spesialtilfelle, når variabelen c er lik variabelen b. I dette tilfellet får vi en konstruksjon som:
Det er akkurat denne konstruksjonen vi ser fra skiltet til høyre i ligningen vår. La oss erstatte denne konstruksjonen med log a b , vi får:
Med andre ord, i sammenligning med den opprinnelige oppgaven, byttet vi argumentet og basen til logaritmen. I stedet måtte vi snu brøken.
Vi husker at enhver grad kan utledes fra basen i henhold til følgende regel:
Med andre ord, koeffisienten k, som er kraften til basen, uttrykkes som en invertert brøk. La oss gjengi det som en invertert brøk:
Brøkfaktoren kan ikke stå foran, fordi i dette tilfellet vil vi ikke kunne representere denne notasjonen som en kanonisk form (tross alt, i den kanoniske formen er det ingen tilleggsfaktor før den andre logaritmen). La oss derfor legge til brøkdelen 1/4 til argumentet som en potens:
Nå setter vi likhetstegn mellom argumenter hvis baser er de samme (og våre baser er egentlig de samme), og skriver:
x + 5 = 1
x = −4
Det er alt. Vi fikk svaret på den første logaritmiske ligningen. Vennligst merk: i den opprinnelige oppgaven vises variabelen x i bare én logg, og den vises i argumentet. Derfor er det ikke nødvendig å sjekke domenet, og vårt tall x = −4 er faktisk svaret.
La oss nå gå videre til det andre uttrykket:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Her vil vi i tillegg til de vanlige logaritmene måtte jobbe med log f (x). Hvordan løser man en slik ligning? For en uforberedt elev kan det virke som om dette er en slags tøff oppgave, men faktisk kan alt løses på en elementær måte.
Ta en nærmere titt på begrepet lg 2 log 2 7. Hva kan vi si om det? Grunnlaget og argumentene til log og lg er de samme, og dette burde gi noen ideer. La oss huske nok en gang hvordan krefter blir tatt ut under logaritmens tegn:
log a b n = nlog a b
Med andre ord, det som var en potens av b i argumentet blir en faktor foran selve loggen. La oss bruke denne formelen på uttrykket lg 2 log 2 7. Ikke vær redd for lg 2 - dette er det vanligste uttrykket. Du kan skrive den om på følgende måte:
Alle reglene som gjelder for enhver annen logaritme er gyldig for den. Spesielt kan faktoren foran legges til graden av argumentasjonen. La oss skrive det ned:
Svært ofte ser ikke elevene denne handlingen direkte, fordi det ikke er bra å legge inn en logg under tegnet til en annen. Det er faktisk ikke noe kriminelt i dette. Dessuten får vi en formel som er enkel å beregne hvis du husker en viktig regel:
Denne formelen kan betraktes både som en definisjon og som en av dens egenskaper. I alle fall, hvis du konverterer en logaritmisk ligning, bør du kjenne denne formelen akkurat som du ville kjenne logrepresentasjonen av et hvilket som helst tall.
La oss gå tilbake til oppgaven vår. Vi omskriver det under hensyntagen til det faktum at første ledd til høyre for likhetstegnet ganske enkelt vil være lik lg 7. Vi har:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
La oss flytte lg 7 til venstre, vi får:
lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)
Vi trekker fra uttrykkene til venstre fordi de har samme grunntall:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
La oss nå se nærmere på ligningen vi fikk. Det er praktisk talt den kanoniske formen, men det er en faktor −3 til høyre. La oss legge det til det høyre lg-argumentet:
log 8 = log (x + 4) −3
Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, så vi krysser ut lg-tegnene og setter likhetstegn mellom argumentene:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Det er alt! Vi løste den andre logaritmiske ligningen. I dette tilfellet er det ikke nødvendig med ytterligere kontroller, fordi i det opprinnelige problemet var x kun til stede i ett argument.
La meg liste opp hovedpunktene i denne leksjonen igjen.
Hovedformelen som er undervist i alle leksjonene på denne siden dedikert til å løse logaritmiske ligninger, er den kanoniske formen. Og ikke vær redd av det faktum at de fleste skolebøker lærer deg å løse slike problemer annerledes. Dette verktøyet fungerer veldig effektivt og lar deg løse en mye bredere klasse av problemer enn de enkleste som vi studerte helt i begynnelsen av leksjonen vår.
I tillegg, for å løse logaritmiske ligninger, vil det være nyttig å kjenne til de grunnleggende egenskapene. Nemlig:
- Formelen for å flytte til én base og det spesielle tilfellet når vi reverserer logg (dette var veldig nyttig for oss i det første problemet);
- Formel for å addere og trekke potenser fra logaritmetegnet. Her setter mange studenter seg fast og ser ikke at graden tatt ut og innført i seg selv kan inneholde log f (x). Ikke noe galt med det. Vi kan introdusere en logg i henhold til tegnet til den andre og samtidig forenkle løsningen av problemet betydelig, som er det vi observerer i det andre tilfellet.
Avslutningsvis vil jeg legge til at det ikke er nødvendig å sjekke definisjonsdomenet i hvert av disse tilfellene, for overalt er variabelen x til stede i bare ett tegn på log, og er samtidig i argumentasjonen. Som en konsekvens oppfylles alle kravene i omfanget automatisk.
Problemer med variabel base
I dag skal vi se på logaritmiske ligninger, som for mange elever virker ikke-standardiserte, om ikke helt uløselige. Vi snakker om uttrykk basert ikke på tall, men på variabler og til og med funksjoner. Vi vil løse slike konstruksjoner ved hjelp av vår standardteknikk, nemlig gjennom den kanoniske formen.
La oss først huske hvordan de enkleste problemene løses, basert på vanlige tall. Så den enkleste konstruksjonen kalles
log a f (x) = b
For å løse slike problemer kan vi bruke følgende formel:
b = log a a b
Vi omskriver vårt originale uttrykk og får:
log a f (x) = log a a b
Så setter vi likhetstegn mellom argumentene, dvs. vi skriver:
f (x) = a b
Dermed blir vi kvitt loggskiltet og løser det vanlige problemet. I dette tilfellet vil røttene oppnådd fra løsningen være røttene til den opprinnelige logaritmiske ligningen. I tillegg kalles en post når både venstre og høyre er i samme logaritme med samme grunntall nettopp den kanoniske formen. Det er til en slik rekord vi vil prøve å redusere dagens design. Så la oss gå.
Første oppgave:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Erstatt 1 med stokk x − 2 (x − 2) 1 . Graden vi observerer i argumentasjonen er faktisk tallet b som sto til høyre for likhetstegnet. La oss derfor omskrive uttrykket vårt. Vi får:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Hva ser vi? Foran oss er den kanoniske formen til den logaritmiske ligningen, slik at vi trygt kan likestille argumentene. Vi får:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Men løsningen slutter ikke der, fordi denne ligningen ikke er ekvivalent med den opprinnelige. Tross alt består den resulterende konstruksjonen av funksjoner som er definert på hele talllinjen, og våre opprinnelige logaritmer er ikke definert overalt og ikke alltid.
Derfor må vi skrive ned definisjonsdomenet separat. La oss ikke dele hår og først skrive ned alle kravene:
For det første må argumentet til hver av logaritmene være større enn 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
For det andre må basen ikke bare være større enn 0, men også forskjellig fra 1:
x − 2 ≠ 1
Som et resultat får vi systemet:
Men ikke vær redd: Når du behandler logaritmiske ligninger, kan et slikt system forenkles betydelig.
Døm selv: på den ene siden kreves det at den andregradsfunksjonen er større enn null, og på den andre siden er denne andregradsfunksjonen likestilt med et bestemt lineært uttrykk, som også kreves at den er større enn null.
I dette tilfellet, hvis vi krever at x − 2 > 0, vil kravet 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisk bli tilfredsstilt. Derfor kan vi trygt krysse ut ulikheten som inneholder den kvadratiske funksjonen. Dermed vil antallet uttrykk i systemet vårt reduseres til tre.
Selvfølgelig, med samme suksess kunne vi krysse ut den lineære ulikheten, det vil si krysse ut x − 2 > 0 og kreve at 2x 2 − 13x + 18 > 0. Men du er enig i at å løse den enkleste lineære ulikheten er mye raskere og enklere enn kvadratisk, selv under forutsetning av at vi som et resultat av å løse hele dette systemet får de samme røttene.
Generelt, prøv å optimalisere beregninger når det er mulig. Og når det gjelder logaritmiske ligninger, kryss ut de vanskeligste ulikhetene.
La oss omskrive systemet vårt:
Her er et system med tre uttrykk, to av dem har vi faktisk allerede behandlet. La oss skrive ut den andregradsligningen separat og løse den:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Foran oss er et redusert kvadratisk trinomium, og derfor kan vi bruke Vietas formler. Vi får:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Nå går vi tilbake til systemet vårt og finner ut at x = 2 ikke passer oss, fordi vi er pålagt at x skal være strengt tatt større enn 2.
Men x = 5 passer oss perfekt: tallet 5 er større enn 2, og samtidig er ikke 5 lik 3. Derfor vil den eneste løsningen på dette systemet være x = 5.
Det er det, problemet er løst, inkludert å ta hensyn til ODZ. La oss gå videre til den andre ligningen. Flere interessante og informative beregninger venter på oss her:
Det første trinnet: som forrige gang bringer vi hele denne saken til kanonisk form. For å gjøre dette kan vi skrive tallet 9 som følger:
Du trenger ikke å berøre basen med roten, men det er bedre å transformere argumentet. La oss gå fra roten til potensen med en rasjonell eksponent. La oss skrive ned:
La meg ikke omskrive hele vår store logaritmiske ligning, men bare umiddelbart sette likhetstegn mellom argumentene:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Før oss er et nylig redusert kvadratisk trinomium, la oss bruke Vietas formler og skrive:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Så vi fikk røttene, men ingen garanterte oss at de ville passe til den opprinnelige logaritmiske ligningen. Tross alt pålegger loggskiltene ytterligere begrensninger (her burde vi ha skrevet ned systemet, men på grunn av den tungvinte naturen til hele strukturen, bestemte jeg meg for å beregne definisjonsdomenet separat).
Først av alt, husk at argumentene må være større enn 0, nemlig:
Dette er kravene som stilles av definisjonsområdet.
La oss umiddelbart merke oss at siden vi setter likhetstegn mellom de to første uttrykkene av systemet med hverandre, kan vi krysse ut hvilket som helst av dem. La oss stryke ut den første fordi den ser mer truende ut enn den andre.
Legg i tillegg merke til at løsningen på den andre og tredje ulikheten vil være de samme settene (kuben til et tall er større enn null, hvis dette tallet i seg selv er større enn null; på samme måte med en rot av tredje grad - disse ulikhetene er helt analoge, så vi kan krysse det ut).
Men med den tredje ulikheten vil ikke dette fungere. La oss bli kvitt det radikale tegnet til venstre ved å heve begge deler til en kube. Vi får:
Så vi får følgende krav:
− 2 ≠ x > −3
Hvilken av røttene våre: x 1 = −3 eller x 2 = −1 oppfyller disse kravene? Det er åpenbart bare x = −1, fordi x = −3 ikke tilfredsstiller den første ulikheten (siden vår ulikhet er streng). Så, tilbake til problemet vårt, får vi én rot: x = −1. Det er det, problemet løst.
Nok en gang, nøkkelpunktene i denne oppgaven:
- Bruk gjerne og løs logaritmiske ligninger ved hjelp av kanonisk form. Elever som lager en slik notasjon, i stedet for å gå direkte fra den opprinnelige oppgaven til en konstruksjon som log a f (x) = b, gjør mye færre feil enn de som skynder seg et sted, og hopper over mellomtrinn i beregninger;
- Så snart en variabel base dukker opp i en logaritme, slutter problemet å være det enkleste. Derfor, når du løser det, er det nødvendig å ta hensyn til definisjonsdomenet: argumentene må være større enn null, og basene må ikke bare være større enn 0, men de må heller ikke være lik 1.
Sluttkravene kan brukes på de endelige besvarelsene på ulike måter. For eksempel kan du løse et helt system som inneholder alle kravene til definisjonsdomenet. På den annen side kan du først løse selve problemet, og deretter huske definisjonsdomenet, utarbeide det separat i form av et system og bruke det til de oppnådde røttene.
Hvilken metode du skal velge når du løser en bestemt logaritmisk ligning er opp til deg. I alle fall vil svaret være det samme.
Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallseksponenter. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finner du nesten overalt hvor du trenger å forenkle tungvint multiplikasjon med enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. I et enkelt og tilgjengelig språk.
Definisjon i matematikk
En logaritme er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" til grunntallet "a" anses å være potensen "c" " som grunntallet "a" må heves til for til slutt å få verdien "b". La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en potens slik at fra 2 til den nødvendige effekten får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i hodet ditt, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi 2 i potens av 3 gir svaret som 8.
Typer logaritmer
For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre separate typer logaritmiske uttrykk:
- Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
- Desimal a, der grunntallet er 10.
- Logaritme av et hvilket som helst tall b til grunntall a>1.
Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en enkelt logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør du huske egenskapene deres og handlingssekvensen når du løser dem.
Regler og noen restriksjoner
I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sannheten. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut den partallsroten av negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:
- Grunnlaget "a" må alltid være større enn null, og ikke lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i en hvilken som helst grad alltid er lik verdiene deres;
- hvis a > 0, så a b >0, viser det seg at "c" også må være større enn null.
Hvordan løse logaritmer?
For eksempel er oppgaven gitt å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er veldig enkelt, du må velge en potens ved å heve tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.
La oss nå representere dette uttrykket i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer praktisk talt alle handlinger for å finne potensen som det er nødvendig å legge inn basisen til logaritmen til for å få et gitt tall.
For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:
Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har et teknisk sinn og kunnskap om multiplikasjonstabellen. For større verdier trenger du imidlertid et strømbord. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet inneholder cellene tallverdiene som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest sanne humanist vil forstå!
Ligninger og ulikheter
Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som base 3-logaritmen av 81 lik fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglene de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi skal se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.
Følgende uttrykk er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under det logaritmiske tegnet. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til ønsket tall til base to er større enn tallet tre.
Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) innebærer en eller flere spesifikke numeriske verdier i svaret, mens når du løser en ulikhet, er både området akseptable verdiene og poengene bestemmes ved å bryte denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.
Grunnleggende teoremer om logaritmer
Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det ikke sikkert dens egenskaper er kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; la oss først se på hver egenskap mer detaljert.
- Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare når a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
- Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne logaritmiske formelen, med eksempler og løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskapene til grader ), og da per definisjon: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som er det som måtte bevises.
- Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teoremet i form av en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.
Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritme." Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss se på beviset.
La log a b = t, viser det seg a t =b. Hvis vi hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;
men siden a tn = (a q) nt/q = b n, log derfor a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.
Eksempler på problemer og ulikheter
De vanligste typene problemer på logaritmer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og er også en obligatorisk del av matematikkprøver. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.
Dessverre er det ingen enkelt plan eller skjema for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først av alt bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller reduseres til en generell form. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem raskt.
Når vi løser logaritmiske ligninger, må vi bestemme hvilken type logaritme vi har: et eksempeluttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.
Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at de må bestemme kraften som basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For å løse naturlige logaritmer må du bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.
Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger
Så, la oss se på eksempler på bruk av de grunnleggende teoremene om logaritmer.
- Egenskapen til logaritmen til et produkt kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å dekomponere en stor verdi av tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmepotensen, klarte vi å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.
Oppgaver fra Unified State-eksamenen
Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste prøvedelen av eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrike oppgavene). Eksamen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".
Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra de offisielle versjonene av Unified State Exam. La oss se hvordan slike oppgaver løses.
Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.
- Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
- Alle uttrykk under logaritmetegnet er indikert som positive, og derfor, når eksponenten til et uttrykk som er under logaritmetegnet og som basen er tatt ut som en multiplikator, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.
Laster inn...