Hvordan løse likninger ved hjelp av substitusjonsmetoden. Løse ligningssystemer. Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer
2. Metode for algebraisk addisjon.
3. Metode for å introdusere en ny variabel (variabel erstatningsmetode).
Definisjon: Et likningssystem refererer til flere likninger for en eller flere variabler som må utføres samtidig, dvs. med samme verdier av variablene for alle ligninger. Ligninger i systemet er kombinert med et systemtegn – en krøllete klammeparentes.
Eksempel 1:
- et system av to ligninger med to variabler x Og y.
Løsningen på systemet er røttene. Når disse verdiene erstattes, blir ligningene sanne identiteter:
Løse systemer av lineære ligninger.
Den vanligste metoden for å løse et system er substitusjonsmetoden.
Substitusjonsmetode.
Substitusjonsmetoden for å løse likningssystemer er å uttrykke en variabel fra en likning av systemet i form av andre, og erstatte dette uttrykket med de resterende likningene i systemet i stedet for den uttrykte variabelen.
Eksempel 2:
Løs ligningssystemet:
Løsning:
Et ligningssystem er gitt og det må løses ved hjelp av substitusjonsmetoden.
La oss uttrykke variabelen y fra den andre ligningen i systemet.
Kommentar:«Å uttrykke en variabel» betyr å transformere likheten slik at denne variabelen forblir til venstre for likhetstegnet med en koeffisient på 1, og alle andre ledd flyttes til høyre side av likheten.
Andre ligning av systemet:
La oss bare gå til venstre y:
Og la oss erstatte (det er her navnet på metoden kommer fra) inn i den første ligningen i stedet for på uttrykket det er likt med, dvs. .
Første ligning:
La oss erstatte: 
La oss løse denne banale andregradsligningen. For de som har glemt hvordan man gjør dette, er det en artikkel Løse kvadratiske ligninger. . 
Altså variabelverdiene x funnet.
La oss erstatte disse verdiene i uttrykket for variabelen y. Det er to betydninger her x, dvs. for hver av dem bør du finne en verdi y .
1) La
Vi bytter det inn i uttrykket.
2) La
Vi bytter det inn i uttrykket.
Alt kan besvares:
Kommentar: I dette tilfellet bør svaret skrives i par for ikke å forvirre hvilken verdi av variabelen y som tilsvarer hvilken verdi av variabelen x.
Svar:
Kommentar: I eksempel 1 er kun ett par angitt som løsning på systemet, dvs. dette paret er en løsning på systemet, men ikke en komplett. Hvordan løse en ligning eller et system betyr derfor å angi løsningen og vise at det ikke finnes andre løsninger. Og her er et annet par.
La oss formalisere løsningen på dette systemet i en skolestil:
Kommentar: Tegnet "" betyr "tilsvarende", dvs. det neste systemet eller uttrykket er ekvivalent med det forrige.
La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:
1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.
For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.
Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.
Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.
La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.
Eksempel #1:
La oss løse med substitusjonsmetode
Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)
1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y
2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Løsningen på ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y. La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)
Eksempel #2:
La oss løse ved hjelp av term-for-ledd addisjon (subtraksjon) metoden.
Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)
1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trekk den andre fra den første likningen for å bli kvitt variabelen x. Løs den lineære likningen.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)
Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.
I dette tilfellet er det praktisk å uttrykke x i form av y fra den andre ligningen i systemet og erstatte det resulterende uttrykket i stedet for x i den første ligningen:
Den første ligningen er en ligning med én variabel y. La oss løse det:
5(7-3y)-2y = -16
Vi erstatter den resulterende y-verdien i uttrykket for x:
Svar: (-2; 3).
I dette systemet er det lettere å uttrykke y i form av x fra den første ligningen og erstatte det resulterende uttrykket i stedet for y i den andre ligningen:
Den andre ligningen er en ligning med én variabel x. La oss løse det:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
I uttrykket for y, i stedet for x, erstatter vi x=1 og finner y:
Svar: (1; -5).
Her er det mer praktisk å uttrykke y i form av x fra den andre ligningen (siden å dele på 10 er lettere enn å dele på 4, -9 eller 3):
La oss løse den første ligningen:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
Bytt inn x=2 og finn y:
Svar: (2; 1).
Før du tar i bruk substitusjonsmetoden, bør dette systemet forenkles. Begge sider av den første ligningen kan multipliseres med den laveste fellesnevneren, i den andre ligningen åpner vi parentesene og presenterer lignende termer:
Vi fikk et system av lineære ligninger med to variabler. La oss nå bruke erstatningen. Det er praktisk å uttrykke a til b fra den andre ligningen:
Vi løser den første ligningen i systemet:
3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63
Det gjenstår å finne verdien av en:
I henhold til formateringsreglene skriver vi svaret i parentes atskilt med semikolon i alfabetisk rekkefølge.
Svar: (14; -3).
Når du uttrykker en variabel gjennom en annen, er det noen ganger mer praktisk å la den ha en viss koeffisient.
Vanligvis er systemets ligninger skrevet i en kolonne under hverandre og kombinert med en krøllete klammeparentes
Et ligningssystem av denne typen, hvor a, b, c- tall, og x, y- variabler kalles system av lineære ligninger.
Ved løsning av et ligningssystem brukes egenskaper som er gyldige for å løse ligninger.
Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av substitusjonsmetoden
La oss se på et eksempel 
1) Uttrykk variabelen i en av ligningene. For eksempel, la oss uttrykke y i den første ligningen får vi systemet:
2) Bytt inn i den andre ligningen av systemet i stedet for y uttrykk 3x-7:
3) Løs den resulterende andre ligningen:
4) Vi erstatter den resulterende løsningen i den første ligningen av systemet:
Et ligningssystem har en unik løsning: et tallpar x=1, y=-4. Svar: (1; -4) , skrevet i parentes, i første posisjon verdien x, På den andre - y.
Løse et system med lineære ligninger ved addisjon
La oss løse ligningssystemet fra forrige eksempel tilleggsmetode.
1) Transformer systemet slik at koeffisientene for en av variablene blir motsatte. La oss multiplisere den første ligningen i systemet med "3".
2) Legg til likningene til systemet ledd for ledd. Vi omskriver den andre ligningen til systemet (hvilken som helst) uten endringer.
3) Vi erstatter den resulterende løsningen i den første ligningen av systemet:
Løse et system av lineære ligninger grafisk
Den grafiske løsningen av et ligningssystem med to variabler går ut på å finne koordinatene til fellespunktene til grafene til ligningene.
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. To linjer på et plan kan krysse hverandre i ett punkt, være parallelle eller sammenfallende. Følgelig kan et ligningssystem: a) ha en unik løsning; b) har ingen løsninger; c) har et uendelig antall løsninger.
2) Løsningen til ligningssystemet er punktet (hvis ligningene er lineære) for skjæringspunktet mellom grafene.
Grafisk løsning av systemet
Metode for å introdusere nye variabler
Endring av variabler kan føre til å løse et enklere system av ligninger enn det opprinnelige.
Vurder løsningen av systemet
La oss introdusere erstatningen da
La oss gå videre til de innledende variablene
Spesielle tilfeller
Uten å løse et system med lineære ligninger, kan du bestemme antall løsninger fra koeffisientene til de tilsvarende variablene.
Et system med lineære ligninger med to ukjente er to eller flere lineære ligninger som det er nødvendig å finne alle deres felles løsninger for. Vi vil vurdere systemer med to lineære ligninger i to ukjente. Den generelle oversikten over et system med to lineære ligninger med to ukjente er presentert i figuren nedenfor:
( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2
Her er x og y ukjente variabler, a1, a2, b1, b2, c1, c2 er noen reelle tall. En løsning på et system med to lineære ligninger i to ukjente er et tallpar (x,y) slik at hvis vi erstatter disse tallene i systemets ligninger, blir hver av systemets ligninger til en sann likhet. Tenk på en av måtene å løse et system med lineære ligninger på, nemlig substitusjonsmetoden.
Løsningsalgoritme etter substitusjonsmetode
Algoritme for å løse et system med lineære ligninger ved bruk av substitusjonsmetoden:
1. Velg en ligning (det er bedre å velge den der tallene er mindre) og uttrykk en variabel fra den i form av en annen, for eksempel x i form av y. (du kan også bruke y til x).
2. Erstatt det resulterende uttrykket i stedet for den tilsvarende variabelen med en annen ligning. Dermed får vi en lineær ligning med en ukjent.
3. Løs den resulterende lineære ligningen og få en løsning.
4. Vi erstatter den resulterende løsningen med uttrykket oppnådd i første avsnitt, og får den andre ukjente fra løsningen.
5. Sjekk den resulterende løsningen.
Eksempel
For å gjøre det mer tydelig, la oss løse et lite eksempel.
Eksempel 1. Løs ligningssystemet:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Løsning:
1. Fra den første ligningen til dette systemet uttrykker vi variabelen x. Vi har x= (12 -2*y);
2. Sett inn dette uttrykket i den andre ligningen, vi får 2*x-3*y=-18; 2*(12-2*y) -3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Løs den resulterende lineære ligningen: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y = -18; -7*y = -42; y=6;
4. Erstatt det oppnådde resultatet med uttrykket oppnådd i første ledd. x= (12-2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Vi sjekker den resulterende løsningen, for å gjøre dette, erstatter vi de funnet tallene i det opprinnelige systemet.
(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Vi fikk de riktige likhetene, derfor fant vi løsningen riktig.
Laster inn...