Hva er tilfellene av den relative posisjonen til en rett linje og et plan. Den relative posisjonen til en rett linje og et plan, to plan. Prisme. Definisjon. Elementer. Typer prismer

En rett linje kan tilhøre et fly eller ikke. Den tilhører et fly hvis minst to av punktene ligger på flyet. Figur 93 viser Sum-planet (axb). Rett l tilhører Sum-planet, siden punktene 1 og 2 tilhører dette planet.

Hvis en linje ikke tilhører planet, kan den være parallell med det eller skjære det.

En linje er parallell med et plan hvis den er parallell med en annen linje som ligger i det planet. På figur 93 er det en rett linje m || Sum, siden den er parallell med linjen l som tilhører dette flyet.

En rett linje kan skjære et plan i forskjellige vinkler og spesielt være vinkelrett på det. Konstruksjonen av skjæringslinjer mellom en rett linje og et plan er gitt i §61.

Figur 93 - En rett linje som tilhører et plan

Et punkt i forhold til flyet kan lokaliseres på følgende måte: tilhøre det eller ikke tilhøre det. Et punkt tilhører et plan hvis det ligger på en rett linje som ligger i dette planet. Figur 94 viser en kompleks tegning av Sum-planet definert av to parallelle linjer l Og P. Det er en linje i flyet m. Punkt A ligger i Sum-planet, siden det ligger på linjen m. Punktum I tilhører ikke flyet, siden dets andre projeksjon ikke ligger på de tilsvarende projeksjonene av linjen.

Figur 94 - Kompleks tegning av et plan definert av to parallelle linjer

Koniske og sylindriske overflater

Koniske overflater inkluderer overflater dannet ved bevegelse av en rettlinjet generatrise l langs en buet guide m. Det særegne ved dannelsen av en konisk overflate er at i dette tilfellet er ett punkt i generatrisen alltid ubevegelig. Dette punktet er toppunktet til den koniske overflaten (Figur 95, EN). Determinanten for en konisk overflate inkluderer toppunktet S og guide m, hvori l"~S; l"^ m.

Sylindriske overflater er de som er dannet av en rett generatrise / beveger seg langs en buet føring T parallelt med den gitte retningen S(Figur 95, b). En sylindrisk overflate kan betraktes som et spesielt tilfelle av en konisk overflate med et toppunkt i uendelig S.

Determinanten til en sylindrisk overflate består av en føring T og retninger S dannes l, mens l" || S; l"^m.

Hvis generatorene til en sylindrisk overflate er vinkelrett på projeksjonsplanet, kalles en slik overflate projisere. I figur 95, V en horisontalt udragende sylindrisk overflate er vist.

På sylindriske og koniske overflater er gitte punkter konstruert ved hjelp av generatriser som passerer gjennom dem. Linjer på overflater, for eksempel en linje EN til figur 95, V eller horisontalt h i figur 95, a, b, er konstruert ved hjelp av individuelle punkter som tilhører disse linjene.

Figur 95 - Koniske og sylindriske overflater

Torso overflater

En torsooverflate er en overflate dannet av en rettlinjet generatrise l, berører under sin bevegelse i alle sine posisjoner en romlig kurve T, kalt returkant(Figur 96). Returkanten definerer torsoen fullstendig og er en geometrisk del av overflatedeterminanten. Den algoritmiske delen er indikasjonen på generatorens tangens til cusp-kanten.

En konisk overflate er et spesielt tilfelle av en torso, som har en returkant T utartet til et punkt S- toppen av den koniske overflaten. En sylindrisk overflate er et spesielt tilfelle av en torso, hvis returkant er et punkt på uendelig.

Figur 96 – Torso overflate

Fasetterte overflater

Fasetterte overflater inkluderer overflater dannet av bevegelsen av en rettlinjet generatrise l langs en ødelagt guide m. Dessuten, hvis ett poeng S generatrisen er ubevegelig, en pyramideformet overflate dannes (Figur 97), hvis generatrisen er parallell med en gitt retning når den beveger seg S, da dannes en prismatisk overflate (Figur 98).

Elementene i fasetterte overflater er: toppunkt S(nær en prismatisk overflate er det på uendelig), ansikt (del av planet begrenset av en seksjon av guiden m og ekstremposisjonene til generatrisen i forhold til den l) og kant (skjæringslinje for tilstøtende flater).

Determinanten til en pyramideformet overflate inkluderer toppunktet S, som generatorene og guidene passerer gjennom: jeg ~ S; l^ T.

Determinant for en prismatisk overflate annet enn en guide T, inneholder retning S, som alle generatorer er parallelle med l overflater: l||S; l^ t.

Figur 97 - Pyramideoverflate

Figur 98 - Prismatisk overflate

Lukkede fasetterte overflater dannet av et visst antall (minst fire) flater kalles polyeder. Blant polyedrene skilles det ut en gruppe regulære polyedre, der alle flater er regulære og kongruente polygoner, og polyedriske vinkler ved toppunktene er konvekse og inneholder like mange flater. For eksempel: heksaeder - kube (Figur 99, EN), tetraeder - vanlig firkant (Figur 99, 6) oktaeder - polyeder (Figur 99, V). Krystaller har form av forskjellige polyedere.

Figur 99 - Polyeder

Pyramide- et polyeder, hvis basis er en vilkårlig polygon, og sideflatene er trekanter med et felles toppunkt S.

I en kompleks tegning er en pyramide definert av projeksjoner av dens toppunkter og kanter, med tanke på deres synlighet. Synligheten til en kant bestemmes ved hjelp av konkurrerende punkter (Figur 100).

Figur 100 – Bestemme kantsikt ved hjelp av konkurrerende punkter

Prisme- et polyeder hvis basis er to identiske og innbyrdes parallelle polygoner, og sideflatene er parallellogrammer. Hvis kantene på prismet er vinkelrett på planet til basen, kalles et slikt prisme et rett. Hvis kantene på et prisme er vinkelrett på et hvilket som helst projeksjonsplan, da sideflate det kalles å projisere. Figur 101 viser en omfattende tegning av et rett firkantet prisme med en horisontalt utstående overflate.

Figur 101 - Kompleks tegning av et rett firkantet prisme med en horisontalt utstående overflate

Når du arbeider med en kompleks tegning av et polyeder, må du bygge linjer på overflaten, og siden en linje er en samling av punkter, må du kunne bygge punkter på overflaten.

Ethvert punkt på en fasettert overflate kan konstrueres ved å bruke en generatrise som går gjennom dette punktet. På figuren er det 100 i ansiktet ACS punkt bygget M ved hjelp av generatrise S-5.

Heliske overflater

Spiralformede overflater inkluderer overflater skapt av spiralbevegelsen til en rettlinjet generatrise. Styrte spiralformede overflater kalles helikoider.

En rett helikoid dannes ved bevegelse av en rettlinjet generatrise Jeg langs to guider: helix T og dens akser Jeg; under dannelse l skjærer skrueaksen i rett vinkel (Figur 102, a). Rett helicoid brukes til å lage spiraltrapper, skruer, samt kraftgjenger i maskinverktøy.

En skråstilt helikoid dannes ved å bevege generatrisen langs en skrueføring T og dens akser Jeg slik at generatoren l krysser aksen Jeg i en konstant vinkel φ, forskjellig fra en rett linje, dvs. i en hvilken som helst posisjon generatrisen l parallelt med en av generatrisene til styrekjeglen med en spissvinkel lik 2φ (Figur 102, b). Skrå helikoider begrenser overflatene til gjengene.

Figur 102 - Helicoider

Overflater av revolusjon

Revolusjonsoverflater inkluderer overflater dannet ved å rotere en linje l rundt en rett linje Jeg , som er rotasjonsaksen. De kan være lineære, for eksempel en kjegle eller omdreiningssylinder, og ikke-lineære eller buede, for eksempel en kule. Determinanten for revolusjonsoverflaten inkluderer generatrisen l og akse Jeg . Under rotasjon beskriver hvert punkt i generatrisen en sirkel, hvis plan er vinkelrett på rotasjonsaksen. Slike sirkler av revolusjonsoverflaten kalles paralleller. Den største av parallellene kalles ekvator. Ekvator bestemmer den horisontale omrisset av overflaten hvis i _|_ P 1 . I dette tilfellet er parallellene horisontalene til denne overflaten.

Kurver av en omdreiningsflate som er et resultat av skjæringen av overflaten av plan som passerer gjennom rotasjonsaksen kalles meridianer. Alle meridianer på en overflate er kongruente. Frontmeridianen kalles hovedmeridianen; den bestemmer den frontale omrisset av rotasjonsoverflaten. Profilmeridianen bestemmer profilomrisset av rotasjonsoverflaten.

Det er mest hensiktsmessig å konstruere et punkt på buede omdreiningsflater ved å bruke overflateparalleller. Det er 103 poeng i figuren M bygget på parallell h4.

Figur 103 – Konstruere et punkt på en buet overflate

Overflater av revolusjon har funnet den bredeste anvendelsen innen teknologi. De begrenser overflatene til de fleste tekniske deler.

En konisk omdreiningsflate dannes ved å rotere en rett linje Jeg rundt den rette linjen som krysser den - aksen Jeg(Figur 104, EN). Punktum M på overflaten er konstruert ved hjelp av en generatrise l og paralleller h. Denne overflaten kalles også en revolusjonskjegle eller en rett sirkulær kjegle.

En sylindrisk omdreiningsflate dannes ved å rotere en rett linje l rundt en akse parallelt med den Jeg(Figur 104, b). Denne overflaten kalles også en sylinder eller en rett sirkulær sylinder.

En kule dannes ved å rotere en sirkel rundt dens diameter (Figur 104, V). Punkt A på overflaten av kulen tilhører prime meridianen f, punktum I- ekvator h, Et poeng M bygget på en hjelpeparallell h".

Figur 104 - Dannelse av omdreiningsflater

En torus dannes ved å rotere en sirkel eller dens bue rundt en akse som ligger i sirkelens plan. Hvis aksen er plassert innenfor den resulterende sirkelen, kalles en slik torus lukket (Figur 105, a). Hvis rotasjonsaksen er utenfor sirkelen, kalles en slik torus åpen (Figur 105, b). En åpen torus kalles også en ring.

Figur 105 – Dannelse av en torus

Omdreiningsoverflater kan også dannes av andre andreordens kurver. Rotasjonsellipsoide (Figur 106, EN) dannet ved å rotere en ellipse rundt en av dens akser; paraboloid av rotasjon (Figur 106, b) - rotasjon av parabelen rundt sin akse; enkeltarks hyperboloid av revolusjon (Figur 106, V) dannes ved å rotere en hyperbel rundt en tenkt akse, og et to-ark (Figur 106, G) - rotasjon av hyperbelen rundt den virkelige aksen.

Figur 106 – Dannelse av omdreiningsflater ved hjelp av andreordens kurver

I det generelle tilfellet er overflater avbildet som ikke begrenset i forplantningsretningen til genereringslinjene (se figur 97, 98). For løsninger spesifikke oppgaver og mottar geometriske former begrenset til skjæreplanene. For å oppnå en sirkulær sylinder, er det for eksempel nødvendig å begrense en del av den sylindriske overflaten til skjæreplanene (se figur 104, b). Som et resultat får vi dens øvre og nedre baser. Hvis skjæreplanene er vinkelrett på rotasjonsaksen, vil sylinderen være rett; hvis ikke, vil sylinderen være skråstilt.

For å få en sirkulær kjegle (se figur 104, EN), er det nødvendig å trimme langs toppen og utover. Hvis skjæreplanet til bunnen av sylinderen er vinkelrett på rotasjonsaksen, vil kjeglen være rett; hvis ikke, vil den være skråstilt. Hvis begge skjæreplanene ikke passerer gjennom toppunktet, vil kjeglen bli avkortet.

Ved å bruke kuttplanet kan du få et prisme og en pyramide. For eksempel vil en sekskantet pyramide være rett hvis alle kantene har samme helning til skjæreplanet. I andre tilfeller vil den være skråstilt. Hvis den er fullført Med ved hjelp av skjæreplan og ingen av dem passerer gjennom toppunktet - pyramiden er avkortet.

Et prisme (se figur 101) kan oppnås ved å begrense en del av den prismatiske overflaten til to skjæreplan. Hvis skjæreplanet er vinkelrett på kantene av for eksempel et åttekantet prisme, er det rett, hvis ikke vinkelrett, er det skråstilt.

Ved å velge riktig plassering av skjæreplanene, kan du få forskjellige former for geometriske figurer avhengig av betingelsene for problemet som skal løses.

Eksternt element.

eksternt element.

• a) har ingen felles poeng;

Teorem.

Betegnelse på kutt

GOST 2.305-2008 gir følgende krav for utpeking av en seksjon:

1. Posisjonen til skjæreplanet er angitt på tegningen med en snittlinje.

2. Det bør benyttes en åpen linje for seksjonslinjen (tykkelse fra S til 1,5S, linjelengde 8-20 mm).

3. Ved et komplekst kutt, blir det også laget slag i skjæringspunktet mellom skjæreplanene med hverandre.

4. Pilene skal plasseres på de første og siste slagene som indikerer synsretningen, pilene skal plasseres i en avstand på 2-3 mm fra den ytre enden av slaget.

5. Dimensjonene til pilene må samsvare med de som er vist i figur 14.

6. Start- og sluttstrekene skal ikke krysse konturen til det tilsvarende bildet.

7. På begynnelsen og slutten av seksjonslinjen, og, om nødvendig, i skjæringspunktet mellom skjæreplan, plasser den samme stor bokstav Russisk alfabet. Bokstavene er plassert nær pilene som indikerer synsretningen, og ved skjæringspunktene fra det ytre hjørnet (Figur 24).

Figur 24 - Eksempler på seksjonsbetegnelse

8. Kuttet må merkes med en inskripsjon som "AA" (alltid to bokstaver atskilt med en strek).

9. Når sekantplanet faller sammen med symmetriplanet til objektet som helhet, og de tilsvarende bildene er plassert på samme ark i direkte projeksjonsforbindelse og ikke er atskilt av andre bilder, for horisontale, frontale og profilseksjoner posisjonen til sekantplanet er ikke notert, og snittet er ikke ledsaget av en inskripsjon.

10. Front- og profilseksjoner gis som regel en posisjon tilsvarende den som er akseptert for en gitt gjenstand i hovedbildet av tegningen.

11. Horisontale, frontale og profilerte seksjoner kan plasseres i stedet for de tilsvarende hovedvisningene.

12. Det er tillatt å plassere seksjonen hvor som helst i tegnefeltet, så vel som med en rotasjon med tillegg av en konvensjonell grafisk betegnelse - "Rotert" -ikonet (Figur 25).

Figur 25 - Grafisk symbol - "Rotert" ikon

Betegnelsen på seksjoner er lik betegnelse på kutt og består av spor av et sekantplan og en pil som indikerer synsretningen, samt en bokstav plassert på utsiden av pilen (Figur 1c, Figur 3). Forskyvningsseksjonen er ikke merket og skjæreplanet vises ikke hvis snittlinjen faller sammen med seksjonens symmetriakse, og selve seksjonen er plassert på fortsettelsen av sporet til skjæreplanet eller i et gap mellom deler av utsikten. For et symmetrisk overliggende snitt er heller ikke skjæreplanet vist. Hvis snittet er asymmetrisk og er plassert i et gap eller er lagt over hverandre (Figur 2 b), er snittlinjen tegnet med piler, men er ikke merket med bokstaver.

Seksjonen kan plasseres med en rotasjon, og gir inskripsjonen over seksjonen ordet "rotert". For flere identiske seksjoner knyttet til ett objekt er snittlinjene betegnet med samme bokstav og ett snitt tegnet. I tilfeller hvor seksjonen viser seg å bestå av separate deler, bør kutt brukes.

Rett generell stilling

En rett linje i generell posisjon (Fig. 2.2) er en rett linje som ikke er parallell med noen av de gitte projeksjonsplanene. Ethvert segment av en slik rett linje projiseres forvrengt i et gitt system av projeksjonsplan. Hellingsvinklene til denne rette linjen til projeksjonsplanene projiseres også forvrengt.

Ris. 2.2.

Direkte private forsyninger
Linjer med spesiell posisjon inkluderer linjer parallelle med ett eller to projeksjonsplan.
Enhver linje (rett eller kurve) parallelt med projeksjonsplanet kalles en nivålinje. I ingeniørgrafikk er det tre hovednivålinjer: horisontale, frontale og profillinjer.

Ris. 2,3-a

Den horisontale er en hvilken som helst linje parallelt med horisontalplanet av projeksjoner (fig. 2.3-a). Frontprojeksjonen av horisontalen er alltid vinkelrett på kommunikasjonslinjene. Ethvert horisontalt segment på det horisontale projeksjonsplanet projiseres til sin sanne størrelse. Den sanne størrelsen projiseres på dette planet og helningsvinkelen til horisontal (rett linje) til frontalplanet av projeksjoner. Som et eksempel viser Fig. 2.3-a et visuelt bilde og en omfattende horisontal tegning h, tilbøyelig til flyet P 2 i vinkel b .
Ris. 2,3-b

Fronten er linjen parallelt med frontalplanet av projeksjoner (fig. 2.3-b). Den horisontale projeksjonen av fronten er alltid vinkelrett på kommunikasjonslinjene. Ethvert segment av fronten på frontalplanet av projeksjoner projiseres til sin sanne størrelse. Den sanne størrelsen projiseres på dette planet og helningsvinkelen til fronten (rett linje) til horisontalplanet av projeksjoner (vinkel en).
Ris. 2,3-v

En profillinje er en linje parallelt med profilplanet til projeksjoner (fig. 2.3-c). Horisontale og frontale fremspring av profillinjen er parallelle med forbindelseslinjene til disse fremspringene. Ethvert segment av en profillinje (rett linje) projiseres på profilplanet til sin sanne størrelse. Helningsvinklene til profilens rette linje til projeksjonsplanene projiseres på samme plan i sann størrelse. P 1 og P 2. Når du spesifiserer en profillinje i en kompleks tegning, må du angi to punkter på denne linjen.

Nivålinjer parallelle med to projeksjonsplan vil være vinkelrett på det tredje projeksjonsplanet. Slike linjer kalles projiserte linjer. Det er tre hovedprojeksjonslinjer: horisontale, frontale og profilerte projeksjonslinjer.
Ris. 2,3 g Ris. 2,3-d Ris. 2.3

En horisontalt utstikkende rett linje (fig. 2.3-d) er en rett linje vinkelrett på planet P 1 . Ethvert segment av denne linjen projiseres på planet P P 1 - til poenget.

Den frontalt utstikkende rette linjen (fig. 2.H-e) kalles en rett linje vinkelrett på planet P 2. Ethvert segment av denne linjen projiseres på planet P 1 uten forvrengning, men på et fly P 2 - til poenget.

Et profil som rager rett linje (fig. 2.3-f) er en rett linje vinkelrett på planet P 3, dvs. rett linje parallelt med projeksjonsplanene P 1 og P 2. Ethvert segment av denne linjen projiseres på planet P 1 og P 2 uten forvrengning, men på et fly P 3 - til poenget.

Hovedlinjer i flyet

Blant de rette linjene som tilhører flyet, er et spesielt sted okkupert av rette linjer som opptar en bestemt posisjon i rommet:

1. Horisontale h - rette linjer som ligger i et gitt plan og parallelt med horisontalplanet av projeksjoner (h//P1) (fig. 6.4).

Figur 6.4 Horisontalt

2. Fronter f - rette linjer, plassert i planet og parallelt med frontplanet av projeksjoner (f//P2) (fig. 6.5).

Figur 6.5 Foran

3. Profilrette linjer p - rette linjer som er i et gitt plan og parallelle med profilplanet til projeksjoner (p//P3) (Fig. 6.6). Det skal bemerkes at spor av flyet også kan tilskrives hovedlinjene. Det horisontale sporet er det horisontale av planet, det frontale er det frontale og profilen er profillinjen til planet.

Figur 6.6 Profil rett

4. Linjen til den største skråningen og dens horisontale projeksjon danner en lineær vinkel j, som måler den dihedrale vinkelen som dannes av dette planet og horisontalplanet av projeksjoner (fig. 6.7). Selvfølgelig, hvis en rett linje ikke har to felles punkter med et plan, så er den enten parallell med planet eller skjærer det.

Figur 6.7 Linje med største helning

Kinematisk metode for overflatedannelse. Spesifisere en overflate i en tegning.

I ingeniørgrafikk betraktes en overflate som et sett av påfølgende posisjoner av en linje som beveger seg i rommet i henhold til en viss lov. Under dannelsen av overflaten kan linje 1 forbli uendret eller endre form.
For klarhet i overflatebildet i en kompleks tegning, er det tilrådelig å spesifisere bevegelsesloven grafisk i form av en familie av linjer (a, b, c). Bevegelsesloven til linje 1 kan spesifiseres med to (a og b) eller en (a) linje og tilleggsbetingelser som tydeliggjør bevegelsesloven 1.
Den bevegelige linjen 1 kalles generatrisen, de faste linjene a, b, c kalles guidene.
La oss vurdere prosessen med overflatedannelse ved å bruke eksemplet vist i fig. 3.1.
Her er rett linje 1 tatt som en generatrise. Bevegelsesloven til generatrisen er gitt av guide a og rett linje b. Dette betyr at generatrise 1 glir langs guide a, og forblir parallelt med rett linje b hele tiden.
Denne metoden for overflatedannelse kalles kinematisk. Med dens hjelp kan du lage og definere ulike overflater i tegningen. Spesielt viser figur 3.1 det mest generelle tilfellet av en sylindrisk overflate.

Ris. 3.1.

En annen måte å danne en overflate og skildre den på i en tegning er å spesifisere overflaten med et sett med punkter eller linjer som tilhører den. I dette tilfellet er punkter og linjer valgt slik at de gjør det mulig å bestemme formen på overflaten med tilstrekkelig grad av nøyaktighet og løse ulike problemer på den.
Settet med punkter eller linjer som definerer en overflate kalles dens ramme.
Avhengig av om overflaterammen er definert av punkter eller linjer, deles rammer inn i punkt og lineære.
Figur 3.2 viser en overflateramme bestående av to ortogonalt plasserte familier av linjene a1, a2, a3, ..., an og b1, b2, b3, ..., bn.

Ris. 3.2.

Kjeglesnitt.

KONISKE SNITT, flate kurver som oppnås ved å skjære en rett sirkulær kjegle med et plan som ikke går gjennom toppunktet (fig. 1). Fra analytisk geometris synspunkt er et kjeglesnitt stedet for punkter som tilfredsstiller en andreordens ligning. Bortsett fra de degenererte tilfellene som ble diskutert i den siste delen, er kjeglesnitt ellipser, hyperbler eller parabler.

Kjeglesnitt finnes ofte i natur og teknologi. For eksempel er banene til planeter som roterer rundt solen formet som ellipser. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse der hovedaksen er lik moll. Et parabolspeil har egenskapen at alle innfallende stråler parallelt med aksen konvergerer på ett punkt (fokus). Dette brukes i de fleste reflekterende teleskoper som bruker parabolske speil, samt i radarantenner og spesialmikrofoner med parabolske reflektorer. En stråle av parallelle stråler kommer fra en lyskilde plassert i fokuset til en parabolsk reflektor. Det er derfor parabolske speil brukes i høyeffekts spotlights og billykter. En hyperbel er en graf over mange viktige fysiske forhold, som Boyles lov (relaterer trykk og volum ideell gass) og Ohms lov, som spesifiserer elektrisk strøm som en funksjon av motstand ved konstant spenning.

TIDLIG HISTORIE

Oppdageren av kjeglesnitt anses visstnok å være Menaechmus (4. århundre f.Kr.), en elev av Platon og lærer av Alexander den store. Menaechmus brukte en parabel og en likesidet hyperbel for å løse problemet med å doble en terning.

Avhandlinger om kjeglesnitt skrevet av Aristaeus og Euklid på slutten av 300-tallet. f.Kr., gikk tapt, men materialer fra dem ble inkludert i de berømte kjeglesnittene til Apollonius av Perga (ca. 260–170 f.Kr.), som har overlevd til i dag. Apollonius forlot kravet om at sekantplanet til kjeglens generatrise skal være vinkelrett, og ved å variere helningsvinkelen oppnådde han alle kjeglesnitt fra en sirkulær kjegle, rett eller skråstilt. Vi skylder også de moderne navnene på kurver til Apollonius - ellipse, parabel og hyperbel.

I sine konstruksjoner brukte Apollonius en to-arks sirkulær kjegle (som i fig. 1), så for første gang ble det klart at en hyperbel er en kurve med to grener. Siden Apollonius tid har kjeglesnitt blitt delt inn i tre typer avhengig av skjæreplanets helning til kjeglens generatrise. En ellipse (fig. 1a) dannes når skjæreplanet skjærer alle generatriser til kjeglen ved punktene i en av dens hulrom; parabel (fig. 1,b) - når skjæreplanet er parallelt med et av tangentplanene til kjeglen; hyperbel (fig. 1, c) - når skjæreplanet skjærer begge hulrommene i kjeglen.

KONSTRUKSJON AV KONISKE SNITT

Ved å studere kjeglesnitt som skjæringspunkter mellom fly og kjegler, betraktet gamle greske matematikere dem også som baner av punkter på et plan. Det ble funnet at en ellipse kan defineres som stedet for punkter, summen av avstandene til to gitte punkter er konstant; parabel - som et sted for punkter like langt fra gitt poeng og en gitt rett linje; hyperbel - som et sted for punkter er forskjellen i avstander fra to gitte punkter konstant.

Disse definisjonene av kjeglesnitt som plane kurver foreslår også en metode for å konstruere dem ved hjelp av en strukket streng.

Ellipse.

Hvis endene av en tråd med en gitt lengde er festet til punktene F1 og F2 (fig. 2), så har kurven beskrevet av punktet til en blyant som glir langs en tett strukket tråd form av en ellipse. Punktene F1 og F2 kalles ellipsens fokus, og segmentene V1V2 og v1v2 mellom skjæringspunktene mellom ellipsen og koordinataksene er hoved- og biaksene. Hvis punktene F1 og F2 faller sammen, blir ellipsen til en sirkel.

ris. 2 Ellipsis

Hyperbel.

Når du konstruerer en hyperbel, er punktet P, spissen av en blyant, festet på en tråd som glir fritt langs tappene installert på punktene F1 og F2, som vist i fig. 3, a. Avstandene velges slik at segment PF2 er lengre enn segment PF1 med en fast mengde mindre enn avstand F1F2. I dette tilfellet går den ene enden av tråden under tappen F1 og begge endene av tråden passerer over stiften F2. (Spissen på blyanten skal ikke gli langs tråden, så den må sikres ved å lage en liten løkke på tråden og tre spissen gjennom den.) Vi tegner en gren av hyperbelen (PV1Q), og sørger for at tråden forblir stram til enhver tid, og trekker begge ender av tråden ned forbi punkt F2, og når punktet P er under segment F1F2, holder du tråden i begge ender og etser den forsiktig (dvs. frigjør). Vi tegner den andre grenen av hyperbelen (PўV2Qў), etter å ha byttet rollene til pinnene F1 og F2 tidligere.

ris. 3 hyperboler

Grenene til hyperbelen nærmer seg to rette linjer som skjærer hverandre mellom grenene. Disse linjene, kalt asymptoter av hyperbelen, er konstruert som vist i fig. 3, b. Vinkelkoeffisientene til disse linjene er lik ± (v1v2)/(V1V2), der v1v2 er halveringslinjen av vinkelen mellom asymptotene, vinkelrett på segmentet F1F2; segmentet v1v2 kalles hyperbelens konjugerte akse, og segmentet V1V2 er dens tverrakse. Dermed er asymptotene diagonalene til et rektangel med sider som går gjennom fire punkter v1, v2, V1, V2 parallelt med aksene. For å konstruere dette rektangelet, må du spesifisere plasseringen av punktene v1 og v2. De er på samme avstand, like

fra skjæringspunktet til O-aksene Denne formelen forutsetter konstruksjonen høyre trekant med ben Ov1 og V2O og hypotenus F2O.

Hvis asymptotene til en hyperbel er gjensidig vinkelrett, kalles hyperbelen likesidet. To hyperbler som har felles asymptoter, men med omorganiserte tverrgående og konjugerte akser, kalles gjensidig konjugert.

Parabel.

Fociene til ellipsen og hyperbelen var kjent for Apollonius, men fokuset til parablen ble tilsynelatende først etablert av Pappus (2. halvdel av det 3. århundre), som definerte denne kurven som stedet for punkter like langt fra et gitt punkt (fokus) og en gitt rett linje, som kalles regissøren. Konstruksjonen av en parabel ved hjelp av en strukket tråd, basert på definisjonen av Pappus, ble foreslått av Isidore av Miletus (6. århundre). La oss plassere linjalen slik at dens kant faller sammen med retningslinjen LLў (fig. 4), og fest benet AC til tegnetrekanten ABC til denne kanten. La oss feste den ene enden av tråden med lengde AB ved toppunktet B i trekanten, og den andre i fokuset til parabelen F. Etter å ha trukket tråden med spissen av en blyant, trykk spissen ved det variable punktet P til ledig ben AB av tegnetrekanten. Når trekanten beveger seg langs linjalen, vil punktet P beskrive buen til en parabel med fokus F og retningslinje LLў, siden den totale lengden på tråden er lik AB, er trådstykket ved siden av trekantens frie ben, og derfor må gjenværende trådstykke PF være lik de resterende delene av benet AB, dvs. PA. Skjæringspunktet mellom V til parabelen og aksen kalles parabelens toppunkt, den rette linjen som går gjennom F og V er parablens akse. Hvis en rett linje trekkes gjennom fokuset, vinkelrett på aksen, kalles segmentet av denne rette linjen avskåret av parabelen fokalparameteren. For en ellipse og en hyperbel bestemmes fokalparameteren på samme måte.

SVAR PÅ BILLETTER: nr. 1 (ikke helt), 2 (ikke helt), 3 (ikke helt), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (ikke helt), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Eksternt element.

Når du lager tegninger, blir det i noen tilfeller nødvendig å konstruere et ekstra separat bilde av enhver del av et objekt som krever forklaring angående form, størrelse eller andre data. Dette bildet kalles eksternt element. Det utføres vanligvis forstørret. Detaljen kan legges ut som en visning eller som et utsnitt.

Når du konstruerer et forklaringselement, er det tilsvarende stedet for hovedbildet markert med en lukket, solid tynn linje, vanligvis en oval eller en sirkel, og er utpekt med en stor bokstav i det russiske alfabetet på hyllen til lederlinjen. En type A (5:1) oppføring er laget for det eksterne elementet. I fig. 191 viser et eksempel på implementering av et fjernelement. Den plasseres så nært som mulig til det tilsvarende stedet i bildet av objektet.

1. Metode for rektangulær (ortogonal) projeksjon. Grunnleggende invariante egenskaper ved rektangulær projeksjon. Epure Monge.

Ortogonal (rektangulær) projeksjon er et spesielt tilfelle av parallell projeksjon, når alle prosjekterende stråler er vinkelrett på projeksjonsplanet. Ortogonale projeksjoner har alle egenskapene til parallelle projeksjoner, men med rektangulær projeksjon er projeksjonen av et segment, hvis det ikke er parallelt med projeksjonsplanet, alltid mindre enn selve segmentet (fig. 58). Dette forklares av det faktum at selve segmentet i rommet er hypotenusen til en rettvinklet trekant, og projeksjonen er et ben: А "В" = ABcos a.

Med rektangulær projeksjon projiseres en rett vinkel i full størrelse når begge sider av den er parallelle med projeksjonsplanet, og når bare en av sidene er parallell med projeksjonsplanet, og den andre siden ikke er vinkelrett på dette projeksjonsplanet.

Den relative posisjonen til en rett linje og et plan.

En rett linje og et plan i rommet kan:

• a) har ingen felles poeng;
• b) har nøyaktig ett felles poeng;
• c) ha minst to felles punkter.

I fig. 30 viser alle disse mulighetene.

I tilfelle a) er linje b parallell med planet: b || .

I tilfelle b) skjærer rett linje l planet i ett punkt O; l = O.

I tilfelle c) hører rett linje a til planet: a eller a.

Teorem. Hvis linje b er parallell med minst en linje a som hører til planet, så er linjen parallell med planet.

Anta at linjen m skjærer planet i punktet Q. Hvis m er vinkelrett på hver linje i planet som går gjennom punktet Q, så sies linjen m å være vinkelrett på planet.

Trikkeskinner illustrerer at rette linjer tilhører jordens plan. Kraftlinjer er parallelle med jordplanet, og trestammer er eksempler på rette linjer som krysser jordoverflaten, noen vinkelrett på jordplanet, andre ikke vinkelrett (skrå).

plassering

Skilt: hvis en linje som ikke ligger i et gitt plan er parallell med en linje som ligger i dette planet, så er den parallell med det gitte planet.

1. hvis et plan går gjennom en gitt linje parallelt med et annet plan og skjærer dette planet, så er skjæringslinjen til planene parallell med den gitte linjen.

2. hvis en av de 2 linjene er parallell med en gitt, så er den andre linjen enten parallell med et gitt plan eller ligger i dette planet.

GJENSIDIG POSISJON AV FLY. PARALLELITET AV FLY

plassering

1. fly har minst 1 felles punkt, dvs. skjære i en rett linje

2. flyene krysser ikke hverandre, dvs. har ikke 1 felles punkt, i så fall kalles de parallelle.

skilt

hvis 2 kryssende rette linjer av 1 plan er henholdsvis parallelle med 2 rette linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.

Hellig

1. hvis 2 parallelle plan skjæres 3, så er linjene i deres skjæringspunkt parallelle

2. segmenter av parallelle linjer mellom parallelle plan er like.

PERPENDIKULARHET AV RETT OG FLAN. TEGN PÅ PERPEDIKULARITET AV RETT OG FLAN.

Direkte navn vinkelrett, hvis de krysser under<90.

Lemma: Hvis 1 av 2 parallelle linjer er vinkelrett på den 3. linjen, så er den andre linjen vinkelrett på denne linjen.

En rett linje sies å være vinkelrett på et plan, hvis den er vinkelrett på en linje i dette planet.

Teorem: Hvis 1 av 2 parallelle linjer er vinkelrett på et plan, så er den andre linjen vinkelrett på dette planet.

Teorem: Hvis 2 linjer er vinkelrett på et plan, så er de parallelle.

Skilt

Hvis en linje er vinkelrett på 2 kryssende linjer som ligger i et plan, så er den vinkelrett på dette planet.

VENTILT OG SKÅÅ

La oss konstruere et fly og så videre, som ikke tilhører flyet. Deres t.A vil vi tegne en rett linje, vinkelrett på planet. Skjæringspunktet for den rette linjen med planet er betegnet H. Segmentet AN er en perpendikulær trukket fra punkt A til planet. T.N – basen av perpendikulæren. La oss ta inn planet t.M, som ikke sammenfaller med H. Segmentet AM er skråstilt, trukket fra t.A til planet. M – skrått underlag. Segment MH er en projeksjon av et skråplan på et plan. Vinkelrett AN - avstanden fra t.A til flyet. Enhver avstand er en del av en perpendikulær.

Teorem med 3 perpendikulære:

En rett linje trukket i et plan gjennom bunnen av et skråplan vinkelrett på projeksjonen på dette planet er også vinkelrett på selve skråplanet.

VINKEL MELLOM EN RETT OG ET FLY

Vinkelen mellom en rett linje og Et plan er vinkelen mellom denne linjen og dens projeksjon på planet.

DIHEDRAL VINKEL. VINKEL MELLOM FLY

Dihedral vinkel kalt en figur dannet av en rett linje og 2 halvplan med felles grense a, som ikke tilhører samme plan.

Grens a – kanten av en dihedral vinkel. Halve fly – dihedrale vinkelflater. For å måle den dihedrale vinkelen. Du må konstruere en lineær vinkel inne i den. La oss markere et punkt på kanten av den dihedrale vinkelen og tegne en stråle fra dette punktet på hver side, vinkelrett på kanten. Vinkelen som dannes av disse strålene kalles lineær dihedral vinkel. Det kan være et uendelig antall av dem innenfor en dihedral vinkel. De har alle samme størrelse.

PERPENDIKULARHET AV TO FLY

To kryssende plan kalles vinkelrett, hvis vinkelen mellom dem er 90.

Skilt:

Hvis 1 av 2 plan går gjennom en linje vinkelrett på et annet plan, så er slike plan vinkelrett.

POLYhedra

Polyeder– en overflate som består av polygoner og avgrenser et bestemt geometrisk legeme. Kanter– polygoner som polyedre er laget av. Ribb– sider av ansikter. Topper- endene av ribbeina. Diagonal av et polyeder kalt et segment som forbinder 2 toppunkter som ikke tilhører 1 side. Et plan på begge sider som det er punkter av et polyeder kalles . skjæreplan. Den vanlige delen av polyederet og sekantområdet kalles tverrsnitt av et polyeder. Polyeder kan være konvekse eller konkave. Polyederet kalles konveks, hvis den er plassert på den ene siden av planet til hver av dens overflater (tetraeder, parallellepipedum, oktaeder). I et konveks polyeder er summen av alle planvinkler ved hvert toppunkt mindre enn 360.

PRISME

Et polyeder sammensatt av 2 like polygoner plassert i parallelle plan og n - parallellogrammer kalles prisme.

Polygonene A1A2..A(p) og B1B2..B(p) – prismebase. А1А2В2В1…- parallellogrammer, A(p)A1B1B(p) – sidekanter. Segmenter A1B1, A2B2..A(p)B(p) – laterale ribber. Avhengig av polygonen som ligger under prismet, prismet kalt p-kull. En vinkelrett trukket fra et hvilket som helst punkt på en base til planet til en annen base kalles høyde. Hvis sidekantene av prismet er vinkelrett på basen, så prismet - rett, og hvis ikke vinkelrett – den er skråstilt. Høyden på et rett prisme er lik lengden på sidekanten. Direkte prisme er riktig, hvis basen er vanlige polygoner, er alle sideflater like rektangler.

PARALLELLEPPET

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (i henhold til arten av parallelle plan)

Et parallellepiped består av 6 parallellogrammer. Parallelogrammer kalles kanter. ABCD og А1В1С1Д1 er basene, de resterende flatene kalles lateralt. Poeng A B C D A1 B1 C1 D1 – topper. Linjesegmenter som forbinder toppunkter - ribbeina AA1, BB1, SS1, DD1 – laterale ribber.

Diagonalen til parallellepipedet er kalt et segment som forbinder 2 toppunkter som ikke tilhører 1 side.

Hellige

1. De motsatte sidene av parallellepipedet er parallelle og like. 2. Parallellepipedets diagonaler skjærer hverandre i ett punkt og halveres av dette punktet.

PYRAMIDE

Tenk på polygonet A1A2..A(n), et punkt P som ikke ligger i planet til denne polygonen. La oss koble punktet P med toppunktene til polygonet og få n trekanter: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.

Polyeder sammensatt av n-gon og n-trekanter kalt en pyramide. Polygon – fundament. Trekanter – sidekanter. R - toppen av pyramiden. Segmenter A1P, A2P..A(p)P – laterale ribber. Avhengig av polygonen som ligger ved basen, kalles pyramiden p-kull. Pyramidehøyde kalles en vinkelrett trukket fra toppen til basens plan. Pyramiden kalles riktig, hvis basen inneholder en vanlig polygon og høyden faller i midten av basen. Apotem– høyden på sideflaten til en vanlig pyramide.

TRUNKERT PYRAMIDE

Tenk på pyramiden PA1A2A3A(n). La oss tegne et skjæreplan parallelt med basen. Dette planet deler pyramiden vår i 2 deler: den øvre er en pyramide som ligner på denne, den nedre er en avkortet pyramide. Sideflaten består av en trapes. Sideribber forbinder toppene av basene.

Teorem: Arealet av sideoverflaten til en vanlig avkortet pyramide er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og apotemet.

VANLIGE POLYHEDER

Et konveks polyeder kalles vanlig, hvis alle dens flater er like vanlige polygoner og samme antall kanter konvergerer ved hvert av hjørnene. Et eksempel på et vanlig polyeder er kuben. Alle ansiktene er like firkanter, og 3 kanter møtes ved hvert toppunkt.

Vanlig tetraeder består av 4 likesidede trekanter. Hvert toppunkt er toppunktet til 3 trekanter. Summen av planvinklene ved hvert toppunkt er 180.

Vanlig oktaeder sammensatt av 8 likesidede trekanter. Hvert toppunkt er toppunktet til 4 trekanter. Summen av planvinkler ved hvert toppunkt = 240

Vanlig ikosaeder sammensatt av 20 likesidede trekanter. Hver toppunkt er en toppunkt 5 trekant. Summen av planvinkler ved hvert toppunkt er 300.

Kube består av 6 ruter. Hver toppunkt er toppunktet til 3 ruter. Summen av planvinkler ved hvert toppunkt = 270.

Vanlig dodekaeder sammensatt av 12 vanlige femkanter. Hver toppunkt er toppunktet til 3 vanlige femkanter. Summen av planvinkler ved hvert toppunkt = 324.

Det finnes ingen andre typer vanlige polyedere.

SYLINDER

Et legeme avgrenset av en sylindrisk overflate og to sirkler med grenser L og L1 kalles sylinder. Sirklene L og L1 kalles basen til sylinderen. Segmenter MM1, AA1 – formativ. Danner en sylindrisk eller lateral overflate av en sylinder. Rett linje som forbinder sentrene til basene O og O1 sylinderens akse. Generatorlengde – sylinderhøyde. Baseradius (r) – radius til sylinderen.

Sylinderseksjoner

Aksial passerer gjennom basens akse og diameter

Vinkelrett på aksen

En sylinder er et rotasjonslegeme. Det oppnås ved å rotere rektangelet rundt en av sidene.

KJEGLE

Tenk på en sirkel (o;r) og en rett linje OP vinkelrett på planet til denne sirkelen. Gjennom hvert punkt i sirkelen L osv. vil vi tegne segmenter, det er uendelig mange av dem. De danner en konisk overflate og kalles formativ.

R- toppunkt, ELLER – aksen til den koniske overflaten.

Et legeme avgrenset av en konisk overflate og en sirkel med grense L kalt en kjegle. Sirkel - bunnen av kjeglen. Toppen av den koniske overflaten - toppen av kjeglen. Danner en konisk overflate - danner en kjegle. Konisk overflate – lateral overflate av kjeglen. RO – kjegleakse. Avstand fra P til O – kjeglehøyde. En kjegle er en revolusjonskropp. Det oppnås ved å rotere en rettvinklet trekant rundt et ben.

Kjeglesnitt

Aksialt snitt

Snitt vinkelrett på aksen

KULE OG BALL

Kule kalt en overflate som består av alle punkter i rommet som ligger i en gitt avstand fra et gitt punkt. Dette punktet er sentrum av sfæren. Denne avstanden er radius av kulen.

Et segment som forbinder 2 punkter i en kule og passerer gjennom midten kalt sfærens diameter.

En kropp avgrenset av en kule kalt ball. Sentrum, radius og diameter av kulen kalles senter, radius og diameter på ballen.

En kule og en ball er rotasjonslegemer. Kule oppnås ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren, og ball oppnås ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren.

i et rektangulært koordinatsystem har ligningen til en kule med radius R med sentrum C(x(0), y(0), Z(0) formen (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2)+(z-z(0))(2)= R(2)

Direkte kan tilhører flyet, vær henne parallell eller kryss flyet. En linje hører til et plan hvis to punkter som tilhører linjen og planet har samme høyder. Konsekvensen som følger av det som er sagt: et punkt tilhører et plan hvis det tilhører en linje som ligger i dette planet.

En linje er parallell med et plan hvis den er parallell med en linje som ligger i dette planet.

En rett linje som skjærer et plan. For å finne skjæringspunktet mellom en rett linje med et plan, er det nødvendig (fig. 3.28):

1) tegne et hjelpeplan gjennom en gitt rett linje m T;

2) bygge en linje n skjæring av et gitt plan Σ med et hjelpeplan T;

3) merk skjæringspunktet R, gitt rett linje m med skjæringslinjen n.

Tenk på problemet (Fig. 3.29) Den rette linjen m er definert på planen med et punkt A 6 og en helningsvinkel på 35°. Et hjelpevertikalt plan trekkes gjennom denne linjen T, som skjærer planet Σ langs linjen n (B 2 C 3). Dermed beveger man seg fra den relative posisjonen til en rett linje og et plan til den relative posisjonen til to rette linjer som ligger i samme vertikale plan. Dette problemet løses ved å konstruere profiler av disse rette linjene. Skjæringspunktet mellom linjer m Og n på profilen bestemmer ønsket punkt R. Punkthøyde R bestemt av den vertikale skalaen.

Rett linje vinkelrett på planet. En rett linje er vinkelrett på et plan hvis den er vinkelrett på hvilke som helst to kryssende linjer i dette planet. Figur 3.30 viser en rett linje m, vinkelrett på planet Σ og skjærer det i punkt A. På planen er projeksjonen av linjen m og horisontalplanene er innbyrdes perpendikulære (en rett vinkel, hvor den ene siden er parallell med projeksjonsplanet, projiseres uten forvrengning. Begge linjene ligger i samme vertikale plan, derfor er posisjonene til slike linjer omvendt i størrelsesorden til hverandre : l m = l/l u. Men l uΣ = lΣ, da l m = l/lΣ, det vil si at posisjonen til den rette linjen m er omvendt proporsjonal med posisjonen til planet. Fallene til en rett linje og et plan er rettet i forskjellige retninger.

3.4. Anslag med numeriske tegn. Overflater

3.4.1. Polyedre og buede overflater. Topografisk overflate

I naturen har mange stoffer en krystallinsk struktur i form av polyedre. Et polyeder er en samling flate polygoner som ikke ligger i samme plan, hvor hver side av den ene også er en side av den andre. Når du skildrer et polyeder, er det nok å indikere projeksjonene til hjørnene, og forbinder dem i en viss rekkefølge med rette linjer - projeksjoner av kantene. I dette tilfellet er det nødvendig å indikere synlige og usynlige kanter på tegningen. I fig. Figur 3.31 viser et prisme og en pyramide, samt å finne merkene til punkter som tilhører disse flatene.

En spesiell gruppe med konvekse polygoner er gruppen av regulære polygoner der alle flater er like regulære polygoner og alle polygonale vinkler er like. Det er fem typer vanlige polygoner.

Tetraeder- en regulær firkant, avgrenset av likesidede trekanter, har 4 hjørner og 6 kanter (fig. 3.32 a).

Heksaeder- vanlig sekskant (kube) - 8 hjørner, 12 kanter (fig. 3.32b).

Oktaeder- et regulært oktaeder, avgrenset av åtte likesidede trekanter - 6 hjørner, 12 kanter (fig. 3.32c).

Dodekaeder- et vanlig dodekaeder, avgrenset av tolv vanlige femkanter, forbundet med tre nær hvert toppunkt.

Den har 20 hjørner og 30 kanter (fig. 3.32 d).

Icosahedron- en regulær tjuesidig trekant, avgrenset av tjue likesidede trekanter, forbundet med fem nær hver toppunkt, 12 toppunkter og 30 kanter (fig. 3.32 d).

Når du konstruerer et punkt som ligger på forsiden av et polyeder, er det nødvendig å tegne en rett linje som tilhører denne flaten og markere projeksjonen av punktet på projeksjonen.

Koniske overflater dannes ved å bevege en rettlinjet generatrise langs en buet føring slik at generatrisen i alle posisjoner passerer gjennom et fast punkt - overflatens toppunkt. Generelle koniske overflater på planen er representert av en horisontal linje og et toppunkt. I fig. Figur 3.33 viser plasseringen av et punktmerke på overflaten av en konisk flate.

En rett sirkulær kjegle er representert ved en serie konsentriske sirkler tegnet med like mellomrom (fig. 3.34a). Elliptisk kjegle med en sirkulær base - en serie eksentriske sirkler (fig. 3.34 b)

Sfæriske overflater. En sfærisk overflate er klassifisert som en overflate av revolusjon. Den er dannet ved å rotere en sirkel rundt diameteren. På planen er en sfærisk overflate definert av midten TIL og projeksjonen av en av dens horisontale linjer (sfærens ekvator) (fig. 3.35).

Topografisk overflate. En topografisk overflate er klassifisert som en geometrisk uregelmessig overflate, siden den ikke har en geometrisk formasjonslov. For å karakterisere en overflate, bestemme posisjonen til dens karakteristiske punkter i forhold til projeksjonsplanet. I fig. 3.3 b a gir et eksempel på et utsnitt av en topografisk overflate, som viser projeksjonene av dens individuelle punkter. Selv om en slik plan gjør det mulig å få en ide om formen på den avbildede overflaten, er det ikke veldig klart. For å gi tegningen større klarhet og dermed gjøre den lettere å lese, er projeksjoner av punkter med identiske merker forbundet med jevne buede linjer, som kalles horisontale (isoliner) (fig. 3.36 b).

De horisontale linjene til en topografisk overflate er noen ganger definert som skjæringslinjene for denne overflaten med horisontale plan i avstand fra hverandre i samme avstand (fig. 3.37). Forskjellen i høyder mellom to tilstøtende horisontale linjer kalles snitthøyden.

Jo mindre høydeforskjellen er mellom to tilstøtende horisontale linjer, desto mer nøyaktig er bildet av en topografisk overflate. På planer er konturlinjer lukket innenfor eller utenfor tegningen. I brattere bakker kommer overflateprojeksjonene til konturlinjene nærmere hverandre, i flate skråninger divergerer deres fremspring.

Den korteste avstanden mellom projeksjonene til to tilstøtende horisontale linjer på planen kalles lay. I fig. 3,38 gjennom punkt EN flere rette linjesegmenter er tegnet på den topografiske overflaten OG DU Og AD. De har alle forskjellige innfallsvinkler. Segmentet har størst innfallsvinkel AC, hvis plassering er av minimal betydning. Derfor vil det være en projeksjon av overflatens innfallslinje på et gitt sted.

I fig. 3.39 viser et eksempel på å konstruere en projeksjon av innfallslinjen gjennom et gitt punkt EN. Fra punkt En 100, som fra midten, tegn en sirkelbue som berører den nærmeste horisontale linjen ved punktet På 90. Punktum Ved 90, horisontal h 90, vil tilhøre falllinjen. Fra punkt På 90 tegne en buetangens til neste horisontale linje ved punktet Fra 80, osv. Fra tegningen er det klart at innfallslinjen til den topografiske overflaten er en brutt linje, hvor hvert ledd er vinkelrett på horisontalen, og går gjennom den nedre enden av leddet, som har en lavere høyde.

3.4.2.Skjæring av en konisk overflate med et plan

Hvis et skjæreplan passerer gjennom toppunktet til en konisk overflate, skjærer det det langs rette linjer som danner overflaten. I alle andre tilfeller vil seksjonslinjen være en flat kurve: en sirkel, en ellipse, etc. La oss vurdere tilfellet med en konisk overflate som skjærer et plan.

Eksempel 1. Konstruer projeksjonen av skjæringslinjen til en sirkulær kjegle Φ( h o , S 5) med et plan Ω parallelt med generatrisen til den koniske overflaten.

En konisk overflate med en gitt plan plassering skjærer hverandre langs en parabel. Etter å ha interpolert generatrisen t vi bygger horisontale linjer av en sirkulær kjegle - konsentriske sirkler med et senter S 5 . Deretter bestemmer vi skjæringspunktene til de samme horisontalene til planet og kjeglen (fig. 3.40).

3.4.3. Skjæringspunktet mellom en topografisk overflate med et plan og en rett linje

Tilfellet med skjæringen av en topografisk overflate med et plan oppstår oftest ved løsning av geologiske problemer. I fig. 3.41 gir et eksempel på å konstruere skjæringspunktet mellom en topografisk overflate med planet Σ. Kurven jeg ser etter m bestemmes av skjæringspunktene til de samme horisontale planene og den topografiske overflaten.

I fig. 3.42 gir et eksempel på å konstruere et sannsyn av en topografisk overflate med et vertikalt plan Σ. Den nødvendige linjen m bestemmes av punkter A, B, C... skjæringspunktet mellom horisontalene til den topografiske overflaten med skjæreplanet Σ. På planen degenererer projeksjonen av kurven til en rett linje som faller sammen med projeksjonen av planet: m≡ Σ. Profilen til kurven m er konstruert under hensyntagen til plasseringen av projeksjonene av punktene på planen, samt deres høyder.

3.4.4. Overflate med lik helning

En flate med lik helning er en regjert flate, der alle rette linjer danner en konstant vinkel med horisontalplanet. En slik overflate kan oppnås ved å flytte en rett sirkulær kjegle med en akse vinkelrett på planens plan, slik at toppen glir langs en viss føring, og aksen forblir vertikal i enhver posisjon.

I fig. Figur 3.43 viser en flate med lik helning (i=1/2), hvis guide er en romlig kurve A, B, C, D.

Gradering av flyet. Som eksempler kan du vurdere helningsplanene til veibanen.

Eksempel 1. Vegbanens langsgående helning i=0, hellingen av fyllingen i n =1:1,5, (Fig. 3.44a). Det er nødvendig å tegne horisontale linjer hver 1 m. Løsningen kommer ned til følgende. Vi tegner skalaen til skråningen til planet vinkelrett på kanten av kjørebanen, merker punkter i en avstand lik et intervall på 1,5 m tatt fra den lineære skalaen, og bestemmer merkene 49, 48 og 47. Gjennom de oppnådde punktene vi tegne konturene av skråningen parallelt med kanten av veien.

Eksempel 2. Vegens langsgående helning i≠0, hellingen av fyllingen i n =1:1,5, (Fig. 3.44b). Veibanens plan er gradert. Vegbanens helning er gradert som følger. I punktet med toppunktet 50.00 (eller et annet punkt) plasserer vi toppunktet til kjeglen, beskriver en sirkel med en radius lik intervallet til fyllingshellingen (i vårt eksempel l= 1,5 m). Høyden til denne horisontale linjen til kjeglen vil være en mindre enn høyden av toppunktet, dvs. 49m. Vi tegner en serie sirkler, vi får horisontale merker 48, 47, som tangerer som vi fra kantpunktene med merkene 49, 48, 47 tegner horisontaler av vollhellingen.

Gradering av overflater.

Eksempel 3. Hvis vegens langsgående helning er i = 0 og hellingen på vollen er i n = 1: 1,5, tegnes konturlinjene til skråningene gjennom punktene på helningsskalaen, hvis intervall er likt til intervallet til fyllingsskråningene (Fig. 3.45a). Avstanden mellom to projeksjoner av tilstøtende horisontale linjer i retning av den generelle normen (hellingsskalaen) er den samme overalt.

Eksempel 4. Hvis vegens langsgående helning er i≠0, og hellingen på fyllingen er i n =1:1,5, (Fig. 3.45b), så er konturlinjene konstruert på samme måte, bortsett fra at helningen konturer tegnes ikke i rette linjer, men i kurver.

3.4.5. Fastsettelse av gravegrenselinje

Siden de fleste jordsmonn ikke klarer å opprettholde vertikale vegger, må det bygges skråninger (kunstige strukturer). Hellingen som en skråning gir, avhenger av jorda.

For å gi en del av jordoverflaten utseendet til et fly med en viss helning, må du kjenne grenselinjen for utgraving og gravearbeid. Denne linjen, som begrenser det planlagte området, er representert av skjæringslinjene for skråningene til voller og utgravninger med en gitt topografisk overflate.

Siden hver overflate (inkludert flate) er avbildet ved hjelp av konturer, er skjæringslinjen for overflater konstruert som et sett med skjæringspunkter av konturer med de samme merkene. La oss se på eksempler.

Eksempel 1. I fig. 3.46 viser en jordstruktur i form av en avkortet firkantet pyramide, stående på et plan N. Øvre base ABCD pyramiden har et merke 4m og sidestørrelser 2×2,5 m. Sideflatene (vollskråningene) har en helning på 2:1 og 1:1, hvis retning er vist med piler.

Det er nødvendig å konstruere en skjæringslinje mellom skråningene til strukturen med planet N og seg imellom, samt konstruere en langsgående profil langs symmetriaksen.

Først konstrueres et diagram over skråninger, intervaller og skalaer for avsetninger, og gitte skråninger. Vinkelrett på hver side av stedet tegnes skalaene til bakkene med spesifiserte intervaller, hvoretter projeksjonene av konturlinjene med samme merker av tilstøtende flater er skjæringslinjene til bakkene, som er projeksjoner av sidekantene til denne pyramiden.

Den nedre bunnen av pyramiden faller sammen med de null horisontale bakkene. Hvis denne jordstrukturen krysses av et vertikalt plan Q, i tverrsnitt vil du få en brutt linje - den langsgående profilen til strukturen.

Eksempel 2. Konstruer en skjæringslinje mellom gropskråningene med flat skråning og med hverandre. Nederst ( ABCD) gropen er et rektangulært område med en høyde på 10 m og dimensjoner på 3x4 m. Områdets akse danner en vinkel på 5° med sør-nord-linjen. Skråningene til utgravningene har samme helninger på 2:1 (fig. 3.47).

Linjen med nullarbeider etableres i henhold til områdeplanen. Den er konstruert ved skjæringspunktene mellom de samme navngitte projeksjonene av de horisontale linjene til overflatene som vurderes. Ved skjæringspunktene mellom konturene av bakkene og den topografiske overflaten med de samme merkene, finnes skjæringslinjen til bakkene, som er projeksjoner av sidekantene til en gitt grop.

I dette tilfellet er sideskråningene til utgravningene ved siden av bunnen av gropen. Linje abcd– ønsket skjæringslinje. Aa, Bb, Cs, Dd– kantene på gropen, skjæringslinjene mellom bakkene med hverandre.

4. Spørsmål for selvkontroll og oppgaver for selvstendig arbeid med temaet "Rektangulære projeksjoner"

Punktum

4.1.1. Essensen av projeksjonsmetoden.

4.1.2. Hva er punktprojeksjon?

4.1.3. Hva kalles og betegnes projeksjonsplan?

4.1.4. Hva er projeksjonsforbindelseslinjer i en tegning og hvordan er de plassert på tegningen i forhold til projeksjonsaksene?

4.1.5. Hvordan konstruere den tredje (profil) projeksjonen av et punkt?

4.1.6. Konstruer tre projeksjoner av punktene A, B, C på en tre-bilders tegning, skriv ned koordinatene deres og fyll ut tabellen.

4.1.7. Konstruer de manglende projeksjonsaksene, x A =25, y A =20. Konstruer en profilprojeksjon av punkt A.

4.1.8. Konstruer tre projeksjoner av punkter i henhold til deres koordinater: A(25,20,15), B(20,25,0) og C(35,0,10). Angi posisjonen til punktene i forhold til planene og aksene til projeksjonene. Hvilket punkt er nærmere P3-planet?

4.1.9. Materialpunktene A og B begynner å falle samtidig. Hvilken posisjon vil punkt B være i når punkt A berører bakken? Bestem synligheten til poeng. Plot poeng i ny posisjon.

4.1.10. Konstruer tre projeksjoner av punkt A, hvis punktet ligger i P 3-planet, og avstanden fra det til P 1-planet er 20 mm, til P 2-planet - 30 mm. Skriv ned koordinatene til punktet.

Rett

4.2.1. Hvordan kan en rett linje defineres i en tegning?

4.2.2. Hvilken linje kalles en linje i generell posisjon?

4.2.3. Hvilken posisjon kan en rett linje innta i forhold til projeksjonsplanene?

4.2.4. I hvilket tilfelle svinger projeksjonen av en rett linje til et punkt?

4.2.5. Hva er karakteristisk for en kompleks rett nivåtegning?

4.2.6. Bestem den relative plasseringen av disse linjene.

a...b a...b a...b

4.2.7. Konstruer projeksjoner av et rett linjesegment AB med en lengde på 20 mm, parallelt med planene: a) P 2; b) P1; c) Okseakse. Angi helningsvinklene til segmentet til projeksjonsplanene.

4.2.8. Konstruer projeksjoner av segment AB ved å bruke koordinatene til endene: A(30,10,10), B(10,15,30). Konstruer projeksjoner av punkt C som deler segmentet i forholdet AC:CB = 1:2.

4.2.9. Bestem og registrer antall kanter til dette polyederet og deres posisjon i forhold til projeksjonsplanene.

4.2.10. Tegn gjennom punkt A en horisontal og en frontlinje som skjærer rett linje m.

4.2.11. Bestem avstanden mellom linje b og punkt A

4.2.12. Konstruer projeksjoner av et segment AB med en lengde på 20 mm, som går gjennom punkt A og vinkelrett på planet a) P 2; b) P1; c) P 3.

Stereometri

Gjensidig arrangement av rette linjer og plan

I verdensrommet

Parallellisme av linjer og plan

To linjer i rommet kalles parallell , hvis de ligger i samme plan og ikke krysser hverandre.

En rett linje og et plan kalles parallell , hvis de ikke krysser hverandre.

De to flyene kalles parallell , hvis de ikke krysser hverandre.

Linjer som ikke krysser hverandre og ikke ligger i samme plan kalles interavl .

Tegn på parallellitet mellom en linje og et plan. Hvis en linje som ikke tilhører et plan er parallell med en linje i dette planet, så er den parallell med selve planet.

Tegn på parallelle plan. Hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle.

Tegn på kryssende linjer. Hvis en av to linjer ligger i et plan, og den andre skjærer dette planet i et punkt som ikke tilhører den første linjen, så skjærer disse linjene.

Teoremer om parallelle linjer og parallelle plan.

1. To linjer parallelle med en tredje linje er parallelle.

2. Hvis en av to parallelle linjer skjærer et plan, så skjærer den andre linjen også dette planet.

3. Gjennom et punkt utenfor en gitt linje kan du tegne en linje parallelt med den gitte, og bare en.

4. Hvis en linje er parallell med hvert av to kryssende plan, så er den parallell med deres skjæringslinje.

5. Hvis to parallelle plan skjæres av et tredje plan, så er skjæringslinjene parallelle.

6. Gjennom et punkt som ikke ligger i et gitt plan, kan du tegne et plan parallelt med det gitte, og bare ett.

7. To plan parallelt med det tredje er parallelle med hverandre.

8. Segmenter av parallelle linjer mellom parallelle plan er like.

Vinkler mellom rette linjer og plan

Vinkelen mellom en rett linje og et plan vinkelen mellom en rett linje og dens projeksjon på et plan kalles (vinkelen i fig. 1).

Vinkel mellom kryssende linjer er vinkelen mellom kryssende linjer parallelt med de gitte kryssende linjene.

Dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan med en felles linje. Halvplan kalles kanter , rett - kant dihedral vinkel.

Lineær vinkel dihedral vinkel er vinkelen mellom halvlinjer som tilhører flatene til dihedral vinkelen, som kommer fra ett punkt på kanten og vinkelrett på kanten (vinkelen i fig. 2).

Gradmålet (radian) av en dihedral vinkel er lik gradmålet (radian) for dens lineære vinkel.

Vinkelretthet av linjer og plan

To rette linjer kalles vinkelrett hvis de skjærer hverandre i rette vinkler.

En rett linje som skjærer et plan kalles vinkelrett dette planet hvis det er vinkelrett på en linje i planet som går gjennom skjæringspunktet mellom denne linjen og planet.

De to flyene kalles vinkelrett , hvis de krysser hverandre, danner de rette dihedrale vinkler.

Tegn på vinkelrett på en linje og et plan. Hvis en linje som skjærer et plan er vinkelrett på to skjærende linjer i dette planet, så er den vinkelrett på planet.

Tegn på vinkelrett på to plan. Hvis et plan går gjennom en linje vinkelrett på et annet plan, er disse planene vinkelrette.

Teoremer om vinkelrette linjer og plan.

1. Hvis et plan er vinkelrett på en av to parallelle linjer, så er det også vinkelrett på den andre.

2. Hvis to linjer er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.

3. Hvis en linje er vinkelrett på ett av to parallelle plan, så er den også vinkelrett på det andre.

4. Hvis to plan er vinkelrett på samme linje, så er de parallelle.

Vinkelrett og skrått

Teorem. Hvis en vinkelrett og skrå linje er tegnet fra ett punkt utenfor planet, da:

1) skrå som har like projeksjoner er like;

2) av de to skråstilte er den som har større fremspring større;

3) like skråninger har like projeksjoner;

4) av de to fremspringene er den som tilsvarer den større skråstilte større.

Tre perpendikulære teorem. For at en rett linje som ligger i et plan skal være vinkelrett på en skråstilt, er det nødvendig og tilstrekkelig at denne rette linjen er vinkelrett på projeksjonen av den skråstilte (fig. 3).

Teorem om arealet av den ortogonale projeksjonen av en polygon på et plan. Arealet av den ortogonale projeksjonen av en polygon på et plan er lik produktet av arealet til polygonen og cosinus til vinkelen mellom polygonplanet og projeksjonsplanet.

Konstruksjon.

1. På et fly en vi gjennomfører en direkte EN.

3. I fly b gjennom punktet EN la oss lage en direkte b, parallelt med linjen EN.

4. Det er bygget en rett linje b parallelt med flyet en.

Bevis. Basert på parallelliteten til en rett linje og et plan, en rett linje b parallelt med flyet en, siden den er parallell med linjen EN, som tilhører flyet en.

Studere. Problemet har et uendelig antall løsninger, siden den rette linjen EN i flyet en velges tilfeldig.

Eksempel 2. Bestem i hvilken avstand fra flyet punktet er plassert EN, hvis rett AB skjærer planet i en vinkel på 45º, avstanden fra punktet EN til punktet I tilhørende flyet er lik cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5):

AC– vinkelrett på planet en, AB– skrå, vinkel ABC– vinkel mellom rett linje AB og fly en. Triangel ABC– rektangulær fordi AC– vinkelrett. Nødvendig avstand fra punktet EN til flyet - dette er beinet AC høyre trekant. Når vi kjenner vinkelen og hypotenusen cm, finner vi benet AC:

Svar: 3 cm.

Eksempel 3. Bestem i hvilken avstand fra planet til en likebenet trekant er et punkt som ligger 13 cm fra hvert av hjørnene i trekanten hvis bunnen og høyden til trekanten er lik 8 cm?

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 6). Punktum S vekk fra poengene EN, I Og MED på samme avstand. Så tilbøyelig S.A., S.B. Og S.C. lik, SÅ– den vanlige perpendikulæren til disse skråstilte. Ved teoremet om skråninger og projeksjoner AO = VO = CO.

Punktum OM– midten av en sirkel omskrevet rundt en trekant ABC. La oss finne radiusen:

Hvor Sol- utgangspunkt;

AD– høyden til en gitt likebenet trekant.

Finne sidene i en trekant ABC fra en rettvinklet trekant ABD ifølge Pythagoras teorem:

Nå finner vi OB:

Tenk på en trekant SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Finn lengden på perpendikulæren SÅ ifølge Pythagoras teorem:

Svar: 12 cm.

Eksempel 4. Gitt parallelle plan en Og b. Gjennom poenget M, som ikke tilhører noen av dem, tegnes rette linjer EN Og b det korset en på poeng EN 1 og I 1 og flyet b– på punkter EN 2 og I 2. Finne EN 1 I 1 hvis det er kjent at MA 1 = 8 cm, EN 1 EN 2 = 12 cm, EN 2 I 2 = 25 cm.

Løsning. Siden tilstanden ikke sier hvordan punktet er plassert i forhold til begge planene M, da er to alternativer mulige: (fig. 7, a) og (fig. 7, b). La oss se på hver av dem. To kryssende linjer EN Og b definere et plan. Dette planet skjærer to parallelle plan en Og b langs parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 i henhold til setning 5 om parallelle linjer og parallelle plan.

Trekanter MA 1 I 1 og MA 2 I 2 er like (vinkler EN 2 MV 2 og EN 1 MV 1 – vertikal, hjørner MA 1 I 1 og MA 2 I 2 – innvendig på tvers liggende med parallelle linjer EN 1 I 1 og EN 2 I 2 og sekant EN 1 EN 2). Fra likheten til trekanter følger proporsjonaliteten til sidene:

Alternativ a):

Alternativ b):

Svar: 10 cm og 50 cm.

Eksempel 5. Gjennom poenget EN flyet g en direkte linje ble trukket AB, danner en vinkel med planet en. Via direkte AB et fly tegnes r, dannes med flyet g hjørne b. Finn vinkelen mellom projeksjonen av en rett linje AB til flyet g og fly r.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 8). Fra punkt I slipp vinkelrett på planet g. Lineær dihedral vinkel mellom plan g Og r- Dette er en rett vinkel AD DBC, basert på perpendikulæriteten til en linje og et plan, samt Basert på perpendikulæriteten til plan, et plan r vinkelrett på trekantens plan DBC, siden den går gjennom linjen AD. Vi konstruerer ønsket vinkel ved å slippe perpendikulæren fra punktet MED til flyet r, la oss betegne det Finn sinusen til denne vinkelen i en rettvinklet trekant MEG SELV. La oss introdusere et hjelpesegment a = BC. Fra en trekant ABC: Fra en trekant marinen vi finner

Deretter ønsket vinkel

Svar:

Oppgaver for selvstendig løsning

jeg nivåer

1.1. Gjennom et punkt, tegn en linje vinkelrett på to gitte kryssende linjer.

1.2. Bestem hvor mange forskjellige plan som kan tegnes:

1) gjennom tre forskjellige punkter;

2) gjennom fire forskjellige punkter, hvorav ingen tre ligger på samme plan?

1.3. Gjennom hjørnene i trekanten ABC liggende i ett av to parallelle plan, tegnes parallelle linjer som skjærer det andre planet på punkter EN 1 , I 1 , MED 1 . Bevis likheten mellom trekanter ABC Og EN 1 I 1 MED 1 .

1.4. Fra toppen EN rektangel ABCD vinkelrett gjenopprettet ER til sitt fly.

1) bevise at trekanter MBC Og MDC– rektangulær;

2) angi blant segmentene M.B., M.C., M.D. Og M.A. segment med største og korteste lengde.

1.5. Flatene til en dihedral vinkel er tilsvarende parallelle med flatene til den andre. Bestem forholdet mellom verdiene til disse dihedriske vinklene.

1.6. Finn verdien av den dihedrale vinkelen hvis avstanden fra et punkt tatt på en flate til kanten er 2 ganger større enn avstanden fra punktet til planet til den andre flaten.

1.7. Fra et punkt atskilt fra planet med en avstand, tegnes to like skrånende skråninger, og danner en vinkel på 60º. Skråprojeksjoner er gjensidig vinkelrette. Finn lengdene på de skråstilte.

1.8. Fra toppen I torget ABCD vinkelrett gjenopprettet VÆRE til torgets plan. Helningsvinkel til trekantplanet ESS til kvadratets plan er lik j, er siden av firkanten EN ESS.

Nivå II

2.1. Gjennom et punkt som ikke tilhører en av de to kryssende linjene, tegn en linje som krysser begge gitte linjer.

2.2. Parallelle linjer EN, b Og Med ikke ligg i samme plan. Gjennom poenget EN på en rett linje EN vinkelrett på rette linjer tegnes b Og Med, krysser dem på henholdsvis punktene I Og MED. Bevis at linjen Sol vinkelrett på rette linjer b Og Med.

2.3. Gjennom toppen EN høyre trekant ABC et plan trekkes parallelt med Sol. Ben av en trekant AC= 20 cm, Sol= 15 cm Projeksjonen av det ene bena på planet er 12 cm Finn projeksjonen av hypotenusen.

2.4. I en av flatene til den dihedrale vinkelen lik 30º er det et punkt M. Avstanden fra den til kanten av hjørnet er 18 cm Finn avstanden fra projeksjonen av punktet M til det andre ansiktet til det første ansiktet.

2.5. Slutter av segmentet AB tilhører flatene til en dihedral vinkel lik 90º. Avstand fra poeng EN Og I til kanten er like hhv AA 1 = 3 cm, BB 1 = 6 cm, avstand mellom punktene på kanten Finn lengden på segmentet AB.

2.6. Fra et punkt som ligger i avstand fra flyet EN, to skråstilte tegnes, og danner vinkler på 45º og 30º med planet, og en vinkel på 90º mellom seg. Finn avstanden mellom basene til de skråstilte.

2.7. Sidene i trekanten er 15 cm, 21 cm og 24 cm. Punkt M fjernet fra trekantens plan med 73 cm og plassert i samme avstand fra hjørnene. Finn denne avstanden.

2.8. Fra sentrum OM sirkel innskrevet i en trekant ABC, en perpendikulær gjenopprettes til trekantens plan OM. Finn avstanden fra punktet M til sidene av trekanten, hvis AB = BC = 10 cm, AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Avstander fra punkt M til sidene og toppunktet til den rette vinkelen er henholdsvis 4 cm, 7 cm og 8 cm Finn avstanden fra punktet M til planet for en rett vinkel.

2.10. Gjennom basen AB likebent trekant ABC planet er tegnet på skrå b til trekantens plan. Vertex MED fjernet fra flyet en avstand EN. Finn arealet av trekanten ABC, hvis basen AB av en likebenet trekant er lik høyden.

Nivå III

3.1. Rektangeloppsett ABCD med partene EN Og b bøyd diagonalt BD slik at planene til trekantene DÅRLIG Og BCD ble gjensidig vinkelrett. Finn lengden på segmentet AC.

3.2. To rektangulære trapeser med vinkler på 60º ligger i vinkelrette plan og har en større felles base. De større sidene er 4 cm og 8 cm Finn avstanden mellom toppunktene til de rette linjene og toppunktene til de stumpe vinklene til trapesene hvis toppunktene til deres spisse vinkler faller sammen.

3.3.Kube gitt ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Finn vinkelen mellom den rette linjen CD 1 og fly BDC 1 .

3.4. På kanten AB Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 poeng tatt R- midten av denne ribben. Konstruer en del av kuben med et plan som går gjennom punktene C 1 P.D. og finn arealet av denne delen hvis kanten på kuben er lik EN.

3.5. Gjennom siden AD rektangel ABCD et fly tegnes en slik at diagonalen BD danner en vinkel på 30º med dette planet. Finn vinkelen mellom planet til rektangelet og planet en, Hvis AB = EN, AD = b. Bestem i hvilket forhold EN Og b problemet har en løsning.

3.6. Finn stedet for punkter like langt fra linjene definert av sidene i trekanten.

Prisme. Parallelepiped

Prisme er et polyeder hvis to flater er like n-goner (baser) , liggende i parallelle plan, og de resterende n flatene er parallellogrammer (sideflater) . Sideribbe Siden av et prisme som ikke tilhører basen kalles siden av prismet.

Et prisme hvis sidekanter er vinkelrette på planene til basene kalles rett prisme (fig. 1). Hvis sidekantene ikke er vinkelrette på planene til basene, kalles prismet tilbøyelig . Riktig Et prisme er et høyre prisme hvis base er regulære polygoner.

Høyde prisme er avstanden mellom planene til basene. Diagonal Et prisme er et segment som forbinder to hjørner som ikke tilhører samme flate. Diagonalt snitt kalles en seksjon av et prisme av et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører samme flate. Vinkelrett snitt kalles en del av et prisme av et plan vinkelrett på sidekanten av prismet.

Sideoverflateareal av et prisme er summen av arealene til alle sideflater. Totalt overflateareal kalles summen av arealene til alle flatene til prismet (dvs. summen av arealene til sideflatene og arealene til basene).

For et vilkårlig prisme er følgende formler sanne::

Hvor l– lengden på sideribben;

H- høyde;

P

Q

S-siden

S full

S base- arealet av basene;

V– volum av prismet.

For et rett prisme er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

l– lengden på sideribben;

H- høyde.

parallellepipedum kalt et prisme hvis base er et parallellogram. Et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basene kalles direkte (Fig. 2). Hvis sidekantene ikke er vinkelrette på basene, kalles parallellepipedet tilbøyelig . Et rett parallellepiped hvis base er et rektangel kalles rektangulær. Et rektangulært parallellepiped med alle kanter like kalles kube

Overflatene til et parallellepiped som ikke har felles toppunkter kalles motsatte . Lengdene på kantene som kommer fra ett toppunkt kalles målinger parallellepipedum. Siden et parallellepiped er et prisme, er hovedelementene definert på samme måte som de er definert for prismer.

Teoremer.

1. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og halverer det.

2. I et rektangulært parallellepiped er kvadratet av lengden på diagonalen lik summen av kvadratene av dens tre dimensjoner:

3. Alle fire diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like med hverandre.

For et vilkårlig parallellepiped er følgende formler gyldige:

Hvor l– lengden på sideribben;

H- høyde;

P– perpendikulært snitt omkrets;

Q– Vinkelrett tverrsnittsareal;

S-siden– sideoverflateareal;

S full– totalt overflateareal;

S base- arealet av basene;

V– volum av prismet.

For et høyre parallellepiped er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

l– lengden på sideribben;

H– høyden på et høyre parallellepiped.

For et rektangulært parallellepiped er følgende formler riktige:

Hvor s– baseomkrets;

H- høyde;

d– diagonal;

a,b,c– målinger av et parallellepiped.

Følgende formler er riktige for en kube:

Hvor en- ribbelengde;

d- diagonal av kuben.

Eksempel 1. Diagonalen til et rektangulært parallellepiped er 33 dm, og dets dimensjoner er i forholdet 2: 6: 9. Finn dimensjonene til parallellepipedet.

Løsning. For å finne dimensjonene til parallellepipedet bruker vi formel (3), dvs. ved at kvadratet til hypotenusen til en kuboid er lik summen av kvadratene av dens dimensjoner. La oss betegne med k proporsjonalitetsfaktor. Da vil dimensjonene til parallellepipedet være lik 2 k, 6k og 9 k. La oss skrive formel (3) for problemdataene:

Løser denne ligningen for k, vi får:

Dette betyr at dimensjonene på parallellepipedet er 6 dm, 18 dm og 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Eksempel 2. Finn volumet til et skråstilt trekantet prisme, hvis basis er en likesidet trekant med en side på 8 cm, hvis sidekanten er lik siden av basen og skråner i en vinkel på 60º mot basen.

Løsning . La oss lage en tegning (fig. 3).

For å finne volumet til et skrånende prisme, må du kjenne området til basen og høyden. Arealet av bunnen av dette prismet er arealet av en likesidet trekant med en side på 8 cm. La oss beregne det:

Høyden til et prisme er avstanden mellom basene. Fra toppen EN 1 av den øvre basen, senk vinkelrett på planet til den nedre basen EN 1 D. Dens lengde vil være høyden på prismet. Tenk på D EN 1 AD: siden dette er helningsvinkelen til sidekanten EN 1 EN til grunnplanet, EN 1 EN= 8 cm. Fra denne trekanten finner vi EN 1 D:

Nå beregner vi volumet ved hjelp av formel (1):

Svar: 192 cm 3.

Eksempel 3. Sidekanten til et vanlig sekskantet prisme er 14 cm. Arealet av det største diagonale snittet er 168 cm 2. Finn det totale overflatearealet til prismet.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 4)

Det største diagonale snittet er et rektangel A.A. 1 DD 1 siden diagonal AD vanlig sekskant A B C D E F er den største. For å beregne sideoverflatearealet til prismet, er det nødvendig å kjenne siden av basen og lengden på sidekanten.

Når vi kjenner området til diagonalseksjonen (rektangelet), finner vi diagonalen til basen.

Siden da

Siden da AB= 6 cm.

Da er omkretsen av basen:

La oss finne arealet av sideflaten til prismet:

Arealet til en vanlig sekskant med side 6 cm er:

Finn det totale overflatearealet til prismet:

Svar:

Eksempel 4. Basen til et høyre parallellepiped er en rombe. De diagonale tverrsnittsarealene er 300 cm2 og 875 cm2. Finn arealet av sideflaten til parallellepipedet.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5).

La oss betegne siden av romben med EN, diagonaler av en rombe d 1 og d 2, parallellepipedisk høyde h. For å finne arealet av sideoverflaten til et høyre parallellepiped, er det nødvendig å multiplisere omkretsen av basen med høyden: (formel (2)). Base omkrets p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, fordi ABCD- rombe H = AA 1 = h. At. Trenger å finne EN Og h.

La oss vurdere diagonale seksjoner. AA 1 SS 1 - et rektangel, hvor den ene siden er diagonalen til en rombe AC = d 1, andre – sidekant AA 1 = h, Deretter

Tilsvarende for seksjonen BB 1 DD 1 får vi:

Ved å bruke egenskapen til et parallellogram slik at summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sidene, får vi likheten Vi får følgende:

La oss uttrykke fra de to første likhetene og erstatte dem med den tredje. Vi får: da

1.3. I et skråstilt trekantet prisme tegnes et snitt vinkelrett på sidekanten lik 12 cm. I den resulterende trekanten danner to sider med lengder cm og 8 cm en vinkel på 45°. Finn det laterale overflatearealet til prismet.

1.4. Basen til et rett parallellepiped er en rombe med en side på 4 cm og en spiss vinkel på 60°. Finn diagonalene til parallellepipedet hvis lengden på sidekanten er 10 cm.

1.5. Grunnlaget til et rett parallellepiped er et kvadrat med en diagonal lik cm. Sidekanten på parallellepipedet er 5 cm. Finn det totale overflatearealet til parallellepipedet.

1.6. Basen til et skrånende parallellepiped er et rektangel med sidene 3 cm og 4 cm. En sidekant lik cm er skråstilt til basens plan i en vinkel på 60°. Finn volumet til parallellepipedet.

1.7. Beregn overflatearealet til et rektangulært parallellepiped hvis to kanter og en diagonal som kommer fra ett toppunkt er henholdsvis 11 cm, cm og 13 cm.

1.8. Bestem vekten av en steinsøyle i form av et rektangulært parallellepiped med dimensjoner på 0,3 m, 0,3 m og 2,5 m, hvis materialets egenvekt er 2,2 g/cm 3.

1.9. Finn det diagonale tverrsnittsarealet til en terning hvis diagonalen på ansiktet er lik dm.

1.10. Finn volumet til en terning hvis avstanden mellom to av dens toppunkter som ikke ligger på samme flate er lik cm.

Nivå II

2.1. Grunnen til det skråstilte prismet er en likesidet trekant med side cm. Sidekanten er skråstilt til bunnens plan i en vinkel på 30°. Finn tverrsnittsarealet til prismet som går gjennom sidekanten og høyden på prismet hvis det er kjent at en av toppunktene på den øvre basen er projisert på midten av siden av den nedre basen.

2.2. Grunnen til det skrånende prismet er en likesidet trekant ABC med side lik 3 cm. Toppunkt A 1 projiseres inn i midten av trekanten ABC. Ribben AA 1 danner en vinkel på 45° med grunnplanet. Finn det laterale overflatearealet til prismet.

2.3. Beregn volumet til et skråstilt trekantet prisme hvis sidene på basen er 7 cm, 5 cm og 8 cm, og høyden på prismet er lik den mindre høyden på basistrekanten.

2.4. Diagonalen til et vanlig firkantet prisme er skråstilt mot sideflaten i en vinkel på 30°. Finn helningsvinkelen til underlagets plan.

2.5. Basen til et rett prisme er en likebenet trapes, hvis basis er 4 cm og 14 cm, og diagonalen er 15 cm. Prismets to sideflater er firkanter. Finn det totale overflatearealet til prismet.

2.6. Diagonalene til et vanlig sekskantet prisme er 19 cm og 21 cm Finn volumet.

2.7. Finn målene til et rektangulært parallellepiped hvis diagonal er 8 dm og danner vinkler på 30° og 40° med sideflatene.

2.8. Diagonalene til bunnen av et høyre parallellepiped er 34 cm og 38 cm, og arealene på sideflatene er 800 cm 2 og 1200 cm 2. Finn volumet til parallellepipedet.

2.9. Bestem volumet til et rektangulært parallellepiped der diagonalene til sideflatene som kommer ut fra ett toppunkt er 4 cm og 5 cm og danner en vinkel på 60°.

2.10. Finn volumet til en kube hvis avstanden fra dens diagonal til en kant som ikke skjærer den er mm.

Nivå III

3.1. I et vanlig trekantet prisme trekkes et snitt gjennom siden av basen og midten av motsatt sidekant. Grunnflaten er 18 cm 2, og sideflatens diagonal er skråstilt mot basen i en vinkel på 60°. Finn tverrsnittsarealet.

3.2. Ved bunnen av prismet ligger en firkant ABCD, hvis toppunkter er like langt fra toppunktet A 1 til den øvre basen. Vinkelen mellom sidekanten og grunnplanet er 60°. Siden av basen er 12 cm Konstruer et utsnitt av prismet med et plan som går gjennom toppunktet C, vinkelrett på kanten AA 1 og finn arealet.

3.3. Basen til et rett prisme er en likebenet trapes. Det diagonale tverrsnittsarealet og arealet av parallelle sideflater er henholdsvis 320 cm 2 , 176 cm 2 og 336 cm 2 . Finn det laterale overflatearealet til prismet.

3.4. Arealet av bunnen av et rettvinklet trekantet prisme er 9 cm 2, arealet av sideflatene er 18 cm 2, 20 cm 2 og 34 cm 2. Finn volumet til prismet.

3.5. Finn diagonalene til et rektangulært parallellepiped, vel vitende om at diagonalene til ansiktene er 11 cm, 19 cm og 20 cm.

3.6. Vinklene dannet av diagonalen til basen til et rektangulært parallellepiped med siden av basen og diagonalen til parallellepipedet er lik henholdsvis a og b. Finn sideoverflatearealet til parallellepipedet hvis diagonalen er d.

3.7. Arealet av delen av kuben som er en vanlig sekskant er lik cm 2. Finn overflaten til kuben.