Kvadratisk funksjon

Funksjon f(x)=ax2+bx2+c, Hvor a, b, c- noen reelle tall ( en 0), kalt kvadratisk funksjon. Grafen til en kvadratisk funksjon kalles parabel.

Den kvadratiske funksjonen kan reduseres til formen

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

uttrykk b2-4ac kalt diskriminerende kvadratisk trinomium. Representasjon av en kvadratisk funksjon i formen (1) kalles seleksjon full firkant.

Egenskaper for en kvadratisk funksjon og dens graf

Definisjonsdomenet til en kvadratisk funksjon er hele tallinjen.

På b 0-funksjonen er verken partall eller oddetall. På b=0 kvadratisk funksjon - jevn.

En kvadratisk funksjon er kontinuerlig og differensierbar gjennom hele sitt definisjonsdomene.

Funksjonen har et enkelt kritisk punkt

x=-b/(2a). Hvis en>0, så på punktet x=-b/(2a) funksjonen har et minimum. På x<-b/(2a) funksjonen avtar monotont, med x>-b/(2a)øker monotont.

Hvis EN<0, то в точке x=-b/(2a) funksjonen har et maksimum. På x<-b/(2a) funksjonen øker monotont, med x>-b/(2a) avtar monotont.

Punktgraf for en kvadratisk funksjon med abscisse x=-b/(2a) og ordinere y= -((b2-4ac)/4a) kalt toppunktet til parablen.

Funksjonsendringsområde: når en>0 - sett med funksjonsverdier [-((b2-4ac)/4a); +); på en<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Grafen til en kvadratisk funksjon skjærer aksen 0y på punktet y=c. Hvis b2-4ac>0, skjærer grafen til en kvadratisk funksjon aksen 0x på to punkter (ulike reelle røtter av kvadratisk ligning); Hvis b2-4ac=0 (kvadratisk ligning har én rot av multiplisitet 2), berører grafen til en kvadratisk funksjon aksen 0x på punktet x=-b/(2a); Hvis b2-4ac<0 , skjæringer med aksen 0x Nei.

Fra representasjonen av en kvadratisk funksjon i formen (1) følger det også at grafen til funksjonen er symmetrisk i forhold til den rette linjen x=-b/(2a)- bilde av ordinataksen under parallell translasjon r=(-b/(2a); 0).

Graf av en funksjon

f(x)=ax2+bx+c

• (eller f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) kan hentes fra grafen til en funksjon f(x)=x2 med følgende transformasjoner:
  • a) parallell overføring r=(-b/(2a); 0);
  • b) kompresjon (eller strekking) til x-aksen c EN en gang;
  • c) parallell overføring

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Eksponentiell funksjon

Eksponentiell funksjon kalt en funksjon av formen f(x)=aks, Hvor EN- et positivt reelt tall ringte grunnlaget for graden. På a=1 verdien av eksponentialfunksjonen for en hvilken som helst verdi av argumentet er lik én, og kasus EN=1 vil ikke bli vurdert videre.

Egenskaper til eksponentialfunksjonen.

Definisjonsdomenet til en funksjon er hele tallinjen.

Domenet til en funksjon er settet av alle positive tall.

Funksjonen er kontinuerlig og differensierbar gjennom hele sitt definisjonsdomene. Den deriverte av eksponentialfunksjonen beregnes ved hjelp av formelen

(en x) = en xln en

På EN>1 funksjon øker monotont, med EN<1 монотонно убывает.

Eksponentialfunksjonen har en invers funksjon kalt logaritmisk funksjon.

Grafen til enhver eksponentiell funksjon skjærer aksen 0y på punktet y=1.

Grafen til en eksponentiell funksjon er en kurve rettet konkavt oppover.

Graf av eksponentialfunksjonen ved verdien EN=2 er vist i fig. 5

Logaritmisk funksjon

Den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen y= en x kalles logaritmisk og betegne

y=loga x.

Antall EN kalt basis logaritmisk funksjon. En logaritmisk funksjon med base 10 er betegnet med

og en logaritmisk funksjon med en base e betegne

Egenskaper til den logaritmiske funksjonen

Definisjonsdomenet til den logaritmiske funksjonen er intervallet (0; +).

Rekkevidden til den logaritmiske funksjonen er hele det numeriske området.

Den logaritmiske funksjonen er kontinuerlig og differensierbar gjennom hele sitt definisjonsdomene. Den deriverte av en logaritmisk funksjon beregnes ved hjelp av formelen

(loga x) = 1/(x ln a).

En logaritmisk funksjon øker monotont hvis EN>1. På 0<en<1 логарифмическая функция с основанием EN avtar monotont. For hvilken som helst grunn en>0, en 1, likestilling holder

loga 1 = 0, loga = 1.

På EN>1 graf for en logaritmisk funksjon - en kurve rettet konkavt nedover; på 0<en<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Graf over logaritmisk funksjon kl EN=2 er vist i fig. 6.

Grunnleggende logaritmisk identitet

Invers funksjon for eksponentialfunksjonen y= en x vil være en logaritmisk funksjon x =log en y. I henhold til egenskapene til gjensidig inverse funksjoner f og f-I for alle x fra definisjonsdomenet til funksjonen f-I(x). Spesielt for en eksponentiell og logaritmisk funksjon tar likhet (1) formen

en Logg en y=y.

Likestilling (2) kalles ofte grunnleggende logaritmisk identitet. For noe positivt x, y for den logaritmiske funksjonen er følgende likheter sanne, som kan oppnås som konsekvenser av den logaritmiske hovedidentiteten (2) og egenskapene til den eksponentielle funksjonen:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x)= logax(- et hvilket som helst reelt tall);

loga=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b- reelt tall, b>0, b 1).

Spesielt fra den siste formelen for a=e, b=10 får vi likheten

ln x = (1/(ln e))lg x.(3)

lg nummer e kalles overgangsmodulen fra naturlige logaritmer til desimaler og er betegnet med bokstaven M, og formel (3) skrives vanligvis i formen

lg x =M ln x.

Omvendt proporsjonalt forhold

Variabel y kalt omvendt proporsjonal variabel x, hvis verdiene til disse variablene er relatert til likhet y = k/x, Hvor k- et reelt tall forskjellig fra null. Antall k kalt koeffisienten for invers proporsjonalitet.

Egenskaper for funksjonen y = k/x

Domenet til en funksjon er settet av alle reelle tall unntatt 0.

Domenet til en funksjon er settet av alle reelle tall unntatt 0.

Funksjon f(x) = k/x- Odd, og grafen er symmetrisk om opprinnelsen. Funksjon f(x) = k/x kontinuerlig og differensierbar gjennom hele definisjonsdomenet. f(x) = -k/x2. Funksjonen har ingen kritiske punkter.

Funksjon f(x) = k/x for k>0 reduseres monotont i (-, 0) og (0, +), og for k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Graf av en funksjon f(x) = k/x for k>0 i intervallet (0, +) er den rettet konkavt oppover, og i intervallet (-, 0) - konkavt nedover. På k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Graf av en funksjon f(x) = k/x for verdi k=1 er vist i fig. 7.

trigonometriske funksjoner

Funksjoner sin, cos, tg, ctg er kalt trigonometriske funksjoner hjørne. I tillegg til de viktigste trigonometriske funksjonene sin, cos, tg, ctg, er det ytterligere to trigonometriske funksjoner av vinkel - sekant Og cosecant, betegnet sek Og cosec hhv.

Sinus tall X er tallet lik sinus til vinkelen i radianer.

Egenskaper for funksjonen sin x.

Funksjonen sin x er oddetall: sin (-x)=- sin x.

Funksjonen sin x er periodisk. Den minste positive perioden er 2:

sin (x+2)= sin x.

Nullpunkter for funksjonen: sin x=0 ved x= n, n Z.

Tegnkonstansintervaller:

sin x>0 ved x (2 n; +2n), n Z,

synd x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Funksjonen sin x er kontinuerlig og har en derivert for enhver verdi av argumentet:

(sin x) =cos x.

Sin x-funksjonen øker med x ((-/2)+2 n;(/2)+2n), n Z, og avtar som x ((/2)+2 n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

Sin x-funksjonen har minimumsverdier lik -1 ved x=(-/2)+2 n, n Z, og maksimumsverdier lik 1 ved x=(/2)+2 n, n Z.

Grafen til funksjonen y=sin x er vist i fig. 8. Grafen til funksjonen sin x kalles sinusformet.

Egenskaper til cos x-funksjonen

Definisjonsdomenet er settet av alle reelle tall.

Verdiområdet er intervallet [-1; 1].

Funksjon cos x - jevn: cos (-x)=cos x.

Funksjonen cos x er periodisk. Den minste positive perioden er 2:

cos (x+2)= cos x.

Nullpunkter for funksjonen: cos x=0 ved x=(/2)+2 n, n Z.

Tegnkonstansintervaller:

cos x>0 ved x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

fordi x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Funksjonen cos x er kontinuerlig og differensierbar for enhver verdi av argumentet:

(cos x) = -sin x.

Cos x-funksjonen øker som x (-+2 n; 2n), n Z,

og avtar som x (2 n; + 2n),n Z.

Cos x-funksjonen har minimumsverdier lik -1 ved x=+2 n, n Z, og maksimumsverdier lik 1 ved x=2 n, n Z.

Grafen til funksjonen y=cos x er vist i fig. 9.

Egenskaper for funksjonen tg x

Domenet til en funksjon er settet av alle reelle tall unntatt x=/2+ n, n Z.

Funksjon tg x - odd: tg (-x)=- tg x.

Funksjonen tg x er periodisk. Den minste positive perioden av funksjonen er:

tg (x+)= tg x.

Nullpunkter for funksjonen: tg x=0 ved x= n, n Z.

Tegnkonstansintervaller:

tan x>0 ved x ( n; (/2)+n), n Z,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Funksjonen tg x er kontinuerlig og differensierbar for enhver verdi av argumentet fra definisjonsdomenet:

(tg x) =1/cos2 x.

Funksjonen tg x øker i hvert av intervallene

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

Grafen for funksjonen y=tg x er vist i fig. 10. Grafen til funksjonen tg x kalles tangentoid.

Egenskaper for funksjonen сtg x.

n, n Z.

Området er settet av alle reelle tall.

Funksjon сtg x - oddetall: сtg (-х)=- сtg x.

Funksjonen сtg x er periodisk. Den minste positive perioden av funksjonen er:

ctg (x+) = ctg x.

Nullpunkter for funksjonen: ctg x=0 ved x=(/2)+ n, n Z.

Tegnkonstansintervaller:

barneseng x>0 ved x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Funksjonen ctg x er kontinuerlig og differensierbar for enhver verdi av argumentet fra definisjonsdomenet:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

Funksjonen ctg x reduseres i hvert av intervallene ( n;(n+1)), n Z.

Grafen til funksjonen y=сtg x er vist i fig. elleve.

Egenskaper for funksjonen sek x.

Domenet til en funksjon er settet av alle reelle tall, bortsett fra tall i formen

x=(/2)+ n, n Z.

Omfang:

Funksjon sek x - jevn: sek (-x)= sek x.

Funksjonen sek x er periodisk. Den minste positive perioden av funksjonen er 2:

sek (x+2)= sek x.

Funksjonen sek x går ikke til null for noen verdi av argumentet.

Tegnkonstansintervaller:

sek x>0 ved x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sek x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

Funksjonen sec x er kontinuerlig og differensierbar for enhver verdi av argumentet fra definisjonsdomenet til funksjonen:

(sek x) = sin x/cos2 x.

Funksjonen sek x øker i intervaller

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

og avtar i mellom

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

Grafen til funksjonen y=sek x er vist i fig. 12.

Egenskaper til funksjonen cosec x

Domenet til en funksjon er settet av alle reelle tall, bortsett fra tall på formen x= n, n Z.

Omfang:

Funksjon cosec x - odd: cosec (-x)= -cosec x.

Funksjonen cosec x er periodisk. Den minste positive perioden av funksjonen er 2:

cosec (x+2)= cosec x.

Funksjonen cosec x går ikke til null for noen verdi av argumentet.

Tegnkonstansintervaller:

cosec x>0 ved x (2 n; +2n), n Z,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

Funksjonen cosec x er kontinuerlig og differensierbar for enhver verdi av argumentet fra domenet til funksjonen:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

Funksjonen cosec x øker i intervaller

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

og avtar i mellom

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

Grafen til funksjonen y=cosec x er vist i fig. 1. 3.

En funksjon av formen y =a*x^2+b*x+c, der a,b,c er noen reelle tall, og a er ikke-null, og x,y er variabler, kalles en kvadratisk funksjon. Grafen til den kvadratiske funksjonen y =a*x^2+b*x+c er en linje som kalles i matematikk parabel. Generelt syn på en parabel er presentert i figuren nedenfor.

Det er verdt å merke seg at hvis en funksjon har en koeffisient a>0, så er parablen rettet med grenene oppover, og hvis a er grafen til den kvadratiske funksjonen symmetrisk om symmetriaksen. Symmetriaksen til parablen er den rette linjen trukket gjennom punktet x=(-b)/(2*a), parallelt med Oy-aksen.

Koordinatene til parabelens toppunkt bestemmes av følgende formler:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Figuren nedenfor viser en graf av en vilkårlig kvadratisk funksjon. Plotte en graf for en kvadratisk funksjon. Toppunktet til parabelen og symmetriaksen er også markert på figuren.

Avhengig av verdien av koeffisienten a, vil toppen av parablen være minimums- eller maksimumsverdien til den kvadratiske funksjonen. Når a>0, er toppunktet minimumsverdien til den kvadratiske funksjonen, og det er ingen maksimumsverdi. Når a, går symmetriaksen gjennom toppunktet til parabelen. Definisjonsdomenet til en kvadratisk funksjon er hele settet med reelle tall R.

Den kvadratiske funksjonen y =a*x^2+b*x+c kan alltid transformeres til formen y=a*(x+k)^2+p, hvor k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). For å gjøre dette, må du velge en komplett firkant.

Vær oppmerksom på at punktet med koordinater (-k;p) vil være toppunktet til parablen. Grafen til den kvadratiske funksjonen y=a*(x+k)^2+p kan hentes fra grafen til funksjonen y=a*x^2 ved bruk av parallell oversettelse.

Trenger du hjelp med studiene?