Denne håndboken vil hjelpe deg å lære hvordan du utfører operasjoner med matriser: addisjon (subtraksjon) av matriser, transponering av en matrise, multiplikasjon av matriser, finne den inverse matrisen. Alt materiale presenteres i en enkel og tilgjengelig form, relevante eksempler er gitt, slik at selv en uforberedt person kan lære å utføre handlinger med matriser. For egenkontroll og selvtesting kan du laste ned en matrisekalkulator gratis >>>.

Jeg vil prøve å minimere teoretiske beregninger; noen steder er forklaringer "på fingrene" og bruk av ikke-vitenskapelige termer mulig. Elskere av solid teori, vennligst ikke delta i kritikk, vår oppgave er lære å utføre operasjoner med matriser.

For SUPERRASK forberedelse til temaet (hvem er «tennende») er det et intensivt pdf-kurs Matrise, determinant og test!

En matrise er en rektangulær tabell av noen elementer. Som elementer vi vil vurdere tall, det vil si numeriske matriser. ELEMENT er et begrep. Det er lurt å huske begrepet, det vil dukke opp ofte, det er ingen tilfeldighet at jeg brukte fet skrift for å fremheve det.

Betegnelse: matriser er vanligvis merket med store latinske bokstaver

Eksempel: Tenk på en to-til-tre-matrise:

Denne matrisen består av seks elementer:

Alle tall (elementer) inne i matrisen eksisterer på egen hånd, det vil si at det ikke er snakk om noen subtraksjon:

Det er bare en tabell (sett) med tall!

Vi er også enige ikke omorganiser tall, med mindre annet er angitt i forklaringene. Hvert nummer har sin egen plassering og kan ikke stokkes!

Den aktuelle matrisen har to rader:

og tre kolonner:

STANDARD: når man snakker om matrisestørrelser, da først angi antall rader, og først da antall kolonner. Vi har nettopp brutt ned to-av-tre-matrisen.

Hvis antall rader og kolonner i en matrise er det samme, kalles matrisen torget, For eksempel: – en tre-av-tre-matrise.

Hvis en matrise har én kolonne eller én rad, kalles også slike matriser vektorer.

Faktisk har vi kjent konseptet med en matrise siden skolen; tenk for eksempel på et punkt med koordinatene "x" og "y": . I hovedsak er koordinatene til et punkt skrevet inn i en en-og-to-matrise. Her er forresten et eksempel på hvorfor rekkefølgen på tallene betyr noe: og er to helt forskjellige punkter på flyet.

La oss nå gå videre til å studere operasjoner med matriser:

1) Akt én. Fjerne et minus fra matrisen (introdusere et minus i matrisen).

La oss gå tilbake til matrisen vår . Som du sikkert har lagt merke til, er det for mange negative tall i denne matrisen. Dette er veldig upraktisk med tanke på å utføre forskjellige handlinger med matrisen, det er upraktisk å skrive så mange minuser, og det ser rett og slett stygt ut i design.

La oss flytte minus utenfor matrisen ved å endre fortegnet til HVERT element i matrisen:

Ved null, som du forstår, endres ikke tegnet; null er også null i Afrika.

Omvendt eksempel: . Det ser stygt ut.

La oss introdusere et minus i matrisen ved å endre tegnet til HVERT element i matrisen:

Vel, det ble mye finere. Og viktigst av alt, det vil være LETTERE å utføre alle handlinger med matrisen. Fordi det er et slikt matematisk folketegn: jo flere minuser, jo mer forvirring og feil.

2) Akt to. Multiplisere en matrise med et tall.

Eksempel:

Det er enkelt, for å multiplisere en matrise med et tall, trenger du hver matriseelement multiplisert med et gitt tall. I dette tilfellet - en treer.

Et annet nyttig eksempel:

– multiplisere en matrise med en brøk

La oss først se på hva vi skal gjøre INGEN BEHOV:

Det er IKKE NØDVENDIG å legge inn en brøk i matrisen; for det første kompliserer det bare ytterligere handlinger med matrisen, og for det andre gjør det det vanskelig for læreren å sjekke løsningen (spesielt hvis – endelig svar på oppgaven).

Og spesielt, INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med minus syv:

Fra artikkelen Matematikk for dummies eller hvor du skal begynne, husker vi at i høyere matematikk prøver de å unngå desimalbrøker med komma på alle mulige måter.

Det eneste er helst Det du skal gjøre i dette eksemplet er å legge til et minus i matrisen:

Men hvis bare ALLE matriseelementer ble delt på 7 uten et spor, da ville det vært mulig (og nødvendig!) å dele.

Eksempel:

I dette tilfellet kan du TRENGER Å multipliser alle matriseelementer med , siden alle matrisetall er delbare med 2 uten et spor.

Merk: i teorien om matematikk på høyere skole er det ikke noe begrep om "divisjon". I stedet for å si «dette delt på det», kan du alltid si «dette multiplisert med en brøkdel». Det vil si at divisjon er et spesielt tilfelle av multiplikasjon.

3) Tredje akt. Matrix Transponere.

For å transponere en matrise, må du skrive dens rader inn i kolonnene i den transponerte matrisen.

Eksempel:

Transponer matrise

Det er bare én linje her, og i henhold til regelen må den skrives i en kolonne:

– transponert matrise.

En transponert matrise er vanligvis indikert med et hevet skrift eller et primtall øverst til høyre.

Eksempel trinn for trinn:

Transponer matrise

Først omskriver vi den første raden til den første kolonnen:

Så skriver vi om den andre linjen til den andre kolonnen:

Og til slutt, omskriver vi den tredje raden til den tredje kolonnen:

Klar. Grovt sett betyr transponering å snu matrisen på siden.

4) Akt fire. Sum (forskjell) av matriser.

Summen av matriser er en enkel operasjon.
IKKE ALLE MATRISKER KAN BETES. For å utføre addisjon (subtraksjon) av matriser, er det nødvendig at de har SAMME STØRRELSE.

For eksempel, hvis en to-til-to-matrise er gitt, kan den bare legges til med en to-til-to-matrise og ingen andre!

Eksempel:

Legg til matriser Og

For å legge til matriser, må du legge til de tilsvarende elementene:

For forskjellen av matriser er regelen lik, det er nødvendig å finne forskjellen mellom de tilsvarende elementene.

Eksempel:

Finn matriseforskjell ,

Hvordan kan du løse dette eksemplet lettere, for ikke å bli forvirret? Det er tilrådelig å kvitte seg med unødvendige minuser; for å gjøre dette, legg til et minus til matrisen:

Merk: i teorien om matematikk på høyere skole er det ikke noe konsept for "subtraksjon". I stedet for å si "trekk dette fra dette", kan du alltid si "legg til et negativt tall til dette." Det vil si at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon.

5) Akt fem. Matrisemultiplikasjon.

Hvilke matriser kan multipliseres?

For at en matrise skal multipliseres med en matrise, er det nødvendig slik at antall matrisekolonner er lik antall matriserader.

Eksempel:
Er det mulig å multiplisere en matrise med en matrise?

Dette betyr at matrisedata kan multipliseres.

Men hvis matrisene omorganiseres, er multiplikasjon i dette tilfellet ikke lenger mulig!

Derfor er multiplikasjon ikke mulig:

Det er ikke så sjeldent å møte oppgaver med et triks, når eleven blir bedt om å multiplisere matriser, hvis multiplikasjon åpenbart er umulig.

Det skal bemerkes at det i noen tilfeller er mulig å multiplisere matriser på begge måter.
For eksempel for matriser, og både multiplikasjon og multiplikasjon er mulig

>> Matriser

4.1.Matriser. Operasjoner på matriser

En rektangulær matrise av størrelsen mxn er en samling av mxn-tall arrangert i form av en rektangulær tabell som inneholder m rader og n kolonner. Vi skriver det i skjemaet

eller forkortet som A = (a i j) (i = ; j = ), kalles tallene a i j dets elementer; Den første indeksen indikerer radnummeret, den andre - kolonnenummeret. A = (a i j) og B = (b i j) av samme størrelse kalles like hvis elementene deres som står på samme steder er parvis like, det vil si A = B hvis a i j = b i j.

En matrise som består av én rad eller én kolonne kalles henholdsvis en radvektor eller en kolonnevektor. Kolonnevektorer og radvektorer kalles ganske enkelt vektorer.

En matrise som består av ett tall identifiseres med dette tallet. A av størrelsen mxn, hvor alle elementer er lik null, kalles null og er betegnet med 0. Elementer med samme indekser kalles elementer i hoveddiagonalen. Hvis antall rader er lik antall kolonner, det vil si m = n, kalles matrisen en kvadratisk matrise av orden n. Kvadratiske matriser der bare elementene i hoveddiagonalen ikke er null kalles diagonale og skrives som følger:

.

Hvis alle elementene a i i i diagonalen er lik 1, kalles den enhet og betegnes med bokstaven E:

.

En kvadratisk matrise kalles trekantet hvis alle elementene over (eller under) hoveddiagonalen er lik null. Transponering er en transformasjon der rader og kolonner byttes mens tallene opprettholdes. Transponering er indikert med en T øverst.

Hvis vi omorganiserer radene og kolonnene i (4.1), får vi

,

som vil bli transponert med hensyn til A. Spesielt ved transponering av en kolonnevektor oppnås en radvektor og omvendt.

Produktet av A og tallet b er en matrise hvis elementer er hentet fra de tilsvarende elementene i A ved å multiplisere med tallet b: b A = (b a i j).

Summen A = (a i j) og B = (b i j) av samme størrelse kalles C = (c i j) av samme størrelse, hvis elementer bestemmes av formelen c i j = a i j + b i j.

Produktet AB bestemmes under antagelsen om at antall kolonner i A er lik antall rader i B.

Produktet AB, der A = (a i j) og B = (b j k), hvor i = , j= , k= , gitt i en viss rekkefølge AB, kalles C = (c i k), hvis elementer bestemmes av følgende regel:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Med andre ord er elementet til produktet AB definert som følger: elementet i den i-te raden og den k-te kolonnen C er lik summen av produktene til elementene i den i-te rad A og tilsvarende elementer i den k-te kolonne B.

Eksempel 2.1. Finn produktet av AB og .

Løsning. Vi har: A på størrelse 2x3, B på størrelse 3x3, så eksisterer produktet AB = C og elementene i C er like

Fra 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, fra 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, fra 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, og produktet BA eksisterer ikke.

Eksempel 2.2. Tabellen viser antall enheter av produkter som sendes daglig fra meieri 1 og 2 til butikk M 1, M 2 og M 3, og levering av en enhet produkt fra hvert meieri til butikk M 1 koster 50 den. enheter, til M 2-butikken - 70, og til M 3 - 130 den. enheter Beregn de daglige transportkostnadene for hvert anlegg.

Meieriplante

Løsning. La oss betegne med A matrisen gitt til oss i tilstanden, og ved
B - matrise som karakteriserer kostnadene ved å levere en produktenhet til butikker, dvs.

,

Da vil transportkostnadsmatrisen se slik ut:

.

Så det første anlegget bruker 4750 deniers på transport daglig. enheter, den andre - 3680 monetære enheter.

Eksempel 2.3. Sybedriften produserer vinterfrakker, halvsesongkåper og regnfrakker. Den planlagte utgangen for et tiår er preget av vektoren X = (10, 15, 23). Det brukes fire typer stoffer: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabellen viser stoffforbruket (i meter) for hvert produkt. Vektor C = (40, 35, 24, 16) spesifiserer kostnaden for en meter stoff av hver type, og vektor P = (5, 3, 2, 2) spesifiserer kostnaden for å transportere en meter stoff av hver type.

	Stoffforbruk
Vinterfrakk
Demi-sesongen frakk

1. Hvor mange meter av hver type stoff vil være nødvendig for å fullføre planen?

2. Finn kostnadene for stoff brukt på å sy hver type produkt.

3. Bestem kostnadene for alt stoffet som trengs for å fullføre planen.

Løsning. La oss angi med A matrisen gitt til oss i tilstanden, dvs.

,

for å finne antall meter stoff som trengs for å fullføre planen, må du multiplisere vektor X med matrise A:

Vi finner kostnadene for stoff brukt på syprodukter av hver type ved å multiplisere matrise A og vektor C T:

.

Kostnaden for alt stoffet som trengs for å fullføre planen vil bli bestemt av formelen:

Til slutt, tatt i betraktning transportkostnader, vil hele beløpet være lik kostnaden for stoffet, det vil si 9472 den. enheter, pluss verdi

X A P T =
.

Så, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (pengeenheter).

Løse matriser– et konsept som generaliserer operasjoner på matriser. En matematisk matrise er en tabell med elementer. En lignende tabell med m rader og n kolonner sies å være en m x n matrise.
Generell oversikt over matrisen

Hovedelementer i matrisen:
Hoveddiagonal. Den består av elementene a 11, a 22.....a mn
Side diagonal. Den er sammensatt av elementene a 1n, og 2n-1.....a m1.
Før vi går videre til å løse matriser, la oss vurdere hovedtypene av matriser:
Torget– der antall rader er lik antall kolonner (m=n)
Null - alle elementene i denne matrisen er lik 0.
Transponert matrise- matrise B hentet fra den opprinnelige matrisen A ved å erstatte rader med kolonner.
Enkelt– alle elementer i hoveddiagonalen er lik 1, alle andre er 0.
invers matrise- en matrise, multiplisert med hvilken den opprinnelige matrisen resulterer i identitetsmatrisen.
Matrisen kan være symmetrisk med hensyn til hoved- og sekundærdiagonalene. Det vil si at hvis en 12 = en 21, en 13 = en 31, ....a 23 = en 32 .... a m-ln =a mn-1. da er matrisen symmetrisk om hoveddiagonalen. Bare kvadratiske matriser er symmetriske.
La oss nå gå direkte til spørsmålet om hvordan man løser matriser.

Matrisetillegg.

Matriser kan legges til algebraisk hvis de har samme dimensjon. For å legge til matrise A med matrise B, må du legge til elementet i den første raden i den første kolonnen i matrise A med det første elementet i den første raden i matrise B, elementet i den andre kolonnen i den første raden i matrise A med elementet i den andre kolonnen i den første raden i matrise B, etc.
Egenskaper ved tillegg
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Matrisemultiplikasjon.

Matriser kan multipliseres hvis de er konsistente. Matrisene A og B betraktes som konsistente hvis antall kolonner i matrise A er lik antall rader i matrise B.
Hvis A har dimensjon m ved n, B har dimensjon n ved k, vil matrisen C=A*B ha dimensjon m ved k og vil være sammensatt av elementer

Hvor C 11 er summen av parvise produkter av elementene i en rad av matrise A og en kolonne av matrise B, det vil si at elementet er summen av produktet av et element i den første kolonnen i den første raden av matrise A med et element i den første kolonnen i den første raden i matrise B, et element i den andre kolonnen i den første raden i matrise A med et element i den første kolonnen i den andre radmatrisen B, etc.
Når du multipliserer, er rekkefølgen på multiplikasjonen viktig. A*B er ikke lik B*A.

Finne determinanten.

En hvilken som helst kvadratisk matrise kan generere en determinant eller en determinant. Skriver det. Eller | matriseelementer |
For matriser med dimensjon 2 x 2. Bestem at det er en forskjell mellom produktet av hovedelementene og elementene i sekundærdiagonalen.

For matriser med dimensjoner på 3 x 3 eller mer. Arbeidet med å finne determinanten er mer komplisert.
La oss introdusere konseptene:
Element mindre– er determinanten for en matrise hentet fra den opprinnelige matrisen ved å krysse ut raden og kolonnen i den opprinnelige matrisen der dette elementet var plassert.
Algebraisk komplement element av en matrise er produktet av minor av dette elementet med -1 i potensen av summen av raden og kolonnen i den opprinnelige matrisen der dette elementet var plassert.
Determinanten til en hvilken som helst kvadratisk matrise er lik summen av produktet av elementene i en hvilken som helst rad i matrisen ved deres tilsvarende algebraiske komplementer.

Matriseinversjon

Matriseinversjon er prosessen med å finne inversen til en matrise, definisjonen som vi ga i begynnelsen. Den inverse matrisen er angitt på samme måte som den opprinnelige med tillegg av grad -1.
Finn den inverse matrisen ved å bruke formelen.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Hvor A * T er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer.

Vi laget eksempler på løsning av matriser i form av en videoopplæring

:

Hvis du vil finne ut av det, sørg for å se det.

Dette er de grunnleggende operasjonene for å løse matriser. Hvis du har flere spørsmål om hvordan løse matriser, skriv gjerne i kommentarfeltet.

Hvis du fortsatt ikke kan finne ut av det, prøv å kontakte en spesialist.

Formålet med tjenesten. Matrisekalkulator designet for å løse matriseuttrykk, slik som 3A-CB 2 eller A -1 + B T .

Bruksanvisning. For en nettbasert løsning må du spesifisere et matriseuttrykk. På andre trinn vil det være nødvendig å avklare dimensjonen til matrisene.

Handlinger på matriser

Gyldige operasjoner: multiplikasjon (*), addisjon (+), subtraksjon (-), invers matrise A^(-1), eksponentiering (A^2, B^3), matrisetransposisjon (A^T).

Gyldige operasjoner: multiplikasjon (*), addisjon (+), subtraksjon (-), invers matrise A^(-1), eksponentiering (A^2, B^3), matrisetransposisjon (A^T).
For å utføre en liste over operasjoner, bruk et semikolon (;)-skilletegn. For eksempel, for å utføre tre operasjoner:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
du må skrive det slik: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

En matrise er en rektangulær numerisk tabell med m rader og n kolonner, så matrisen kan skjematisk representeres som et rektangel.
Nullmatrise (nullmatrise) er en matrise hvis elementer alle er lik null og er betegnet med 0.
Identitetsmatrise kalles en kvadratisk matrise av formen

To matriser A og B er like, hvis de har samme størrelse og deres tilsvarende elementer er like.
Singular matrise er en matrise hvis determinant er lik null (Δ = 0).

La oss definere grunnleggende operasjoner på matriser.

Matrisetillegg

Definisjon . Summen av to matriser av samme størrelse er en matrise med samme dimensjoner, hvis elementer er funnet i henhold til formelen . Angitt med C = A+B.

Eksempel 6. .
Operasjonen av matriseaddisjon strekker seg til tilfellet med et hvilket som helst antall ledd. Åpenbart A+0=A.
La oss igjen understreke at bare matriser av samme størrelse kan legges til; For matriser av forskjellige størrelser er addisjonsoperasjonen ikke definert.

Subtraksjon av matriser

Definisjon . Forskjellen B-A til matrisene B og A av samme størrelse er en matrise C slik at A+ C = B.

Matrisemultiplikasjon

Definisjon . Produktet av en matrise med et tall α er en matrise oppnådd fra A ved å multiplisere alle elementene med α, .
Definisjon . La det gis to matriser og , og antall kolonner i A er lik antall rader i B. Produktet av A ved B er en matrise hvis elementer er funnet i henhold til formelen .
Angitt med C = A·B.
Skjematisk kan operasjonen av matrisemultiplikasjon avbildes som følger:

og regelen for å beregne et element i et produkt:

La oss igjen understreke at produktet A·B gir mening hvis og bare hvis antall kolonner i den første faktoren er lik antall rader i den andre, og produktet produserer en matrise hvis antall rader er lik antall rader i den første faktoren, og antall kolonner er lik antall kolonner i den andre. Du kan sjekke resultatet av multiplikasjon ved hjelp av en spesiell online kalkulator.

Eksempel 7. Gitt matriser Og . Finn matrisene C = A·B og D = B·A.
Løsning. Først av alt, merk at produktet A·B eksisterer fordi antall kolonner i A er lik antall rader i B.

Merk at i det generelle tilfellet A·B≠B·A, dvs. produktet av matriser er antikommutativt.
La oss finne B·A (multiplikasjon er mulig).

Eksempel 8. Gitt en matrise . Finn 3A 2 – 2A.
Løsning.

.
; .
.
La oss merke oss følgende interessante faktum.
Som du vet, er produktet av to tall som ikke er null, ikke lik null. For matriser kan det hende at en lignende omstendighet ikke forekommer, det vil si at produktet av matriser som ikke er null kan vise seg å være lik nullmatrisen.

Lineær algebra 1

Matriser 1

Operasjoner på matriser 2

Matrisedeterminanter 6

Invers matrise 13

Matrix rangering 16

Lineær uavhengighet 21

Systemer med lineære ligninger 24

Metoder for å løse systemer av lineære ligninger 27

Invers matrisemetode 27

Metode for å løse systemer av lineære ligninger med en kvadratisk matrise ved å bruke Cramers formler 29

Gaussisk metode (metode for sekvensiell eliminering av variabler) 31

Lineære algebramatriser

Matrise størrelse mxn er en rektangulær talltabell som inneholder m rader og n kolonner. Tallene som utgjør en matrise kalles matriseelementer.

Matriser er vanligvis betegnet med store latinske bokstaver, og elementer med de samme, men små bokstaver med dobbel indeksering.

Tenk for eksempel på en 2 x 3 matrise A:

Denne matrisen har to rader (m= 2) og tre kolonner (n= 3), dvs. den består av seks elementer a ij, der i er radnummeret, j er kolonnenummeret. I dette tilfellet tar det verdier fra 1 til 2, og fra en til tre (skrevet
). Nemlig a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Matriser A og B av samme størrelse (mxn) kalles lik, hvis de faller sammen element for element, dvs. a ij =b ij for
, dvs. for alle i og j (kan skrives i, j).

Matrise-rad er en matrise som består av en rad, og matrise-kolonne er en matrise som består av én kolonne.

For eksempel,
er en radmatrise, og
.

Firkantet matrise n. orden er en matrise, antall rader er lik antall kolonner og lik n.

For eksempel,
- kvadratisk matrise av andre orden.

Diagonal matriseelementer er elementer hvis radnummer er lik kolonnenummeret (a ij ,i=j). Disse elementene dannes hoveddiagonal matriser. I forrige eksempel er hoveddiagonalen dannet av elementene a 11 = 3 og a 22 = 5.

Diagonal matrise er en kvadratisk matrise der alle ikke-diagonale elementer er null. For eksempel,
- diagonal matrise av tredje orden. Hvis alle diagonale elementer er lik en, kalles matrisen enkelt(vanligvis betegnet med bokstaven E). For eksempel,
er en tredjeordens identitetsmatrise.

Matrisen kalles null, hvis alle dens elementer er lik null.

Den kvadratiske matrisen kalles trekantet, hvis alle dens elementer under (eller over) hoveddiagonalen er lik null. For eksempel,
- trekantet matrise av tredje orden.

Operasjoner på matriser

Følgende operasjoner kan utføres på matriser:

1. Multiplisere en matrise med et tall. Produktet av matrise A og tall  er matrise B =A, hvis elementer er b ij =a ij for enhver i og j.

For eksempel hvis
, Det
.

2. Matrisetillegg. Summen av to matriser A og B av samme størrelse m x n er matrisen C = A + B, hvis elementer er med ij =a ij +b ij fori,j.

For eksempel hvis
At

.

Merk at gjennom de forrige operasjonene kan man bestemme matrisesubtraksjon av samme størrelse: forskjell A-B = A + (-1)*B.

3. Matrisemultiplikasjon. Produktet av en matrise A med størrelse mxn med en matrise B med størrelse nxp er en matrise C, hvor hvert element med ij er lik summen av produktene av elementene i den i-te raden av matrise A med den tilsvarende elementer i den j-te kolonnen i matrise B, dvs.
.

For eksempel hvis

, da vil størrelsen på produktmatrisen være 2 x 3, og den vil se slik ut:

I dette tilfellet sies matrise A å være i samsvar med matrise B.

Basert på multiplikasjonsoperasjonen for kvadratmatriser, er operasjonen definert eksponentiering. Den positive heltallspotten A m (m > 1) til en kvadratisk matrise A er produktet av m matriser lik A, dvs.

Vi understreker at addisjon (subtraksjon) og multiplikasjon av matriser ikke er definert for to matriser, men kun for de som tilfredsstiller visse krav til deres dimensjon. For å finne summen eller differansen av matriser, må størrelsen deres være den samme. For å finne produktet av matriser, må antall kolonner i den første av dem falle sammen med antall rader i den andre (slike matriser kalles avtalt).

La oss vurdere noen egenskaper ved de vurderte operasjonene, som ligner egenskapene til operasjoner på tall.

1) Kommutativ (kommutativ) addisjonslov:

A + B = B + A

2) Assosiativ (kombinativ) addisjonslov:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Distributiv (distributiv) lov om multiplikasjon i forhold til addisjon:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Assosiativ (kombinativ) lov om multiplikasjon:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Vi understreker at den kommutative loven om multiplikasjon for matriser IKKE er oppfylt i det generelle tilfellet, dvs. AB BA. Dessuten betyr ikke eksistensen av AB nødvendigvis eksistensen av BA (matrisene er kanskje ikke konsistente, og da er deres produkt ikke definert i det hele tatt, som i eksemplet ovenfor med matrisemultiplikasjon). Men selv om begge verkene finnes, er de vanligvis forskjellige.

I et spesielt tilfelle har produktet av en hvilken som helst kvadratmatrise A og en identitetsmatrise av samme rekkefølge en kommutativ lov, og dette produktet er lik A (multiplikasjon med identitetsmatrisen her ligner på multiplikasjon med én når man multipliserer tall):

AE = EA = A

Faktisk,

La oss understreke enda en forskjell mellom matrisemultiplikasjon og tallmultiplikasjon. Et produkt av tall kan være lik null hvis og bare hvis minst én av dem er lik null. Dette kan ikke sies om matriser, dvs. produktet av ikke-null matriser kan være lik en null matrise. For eksempel,

La oss fortsette vår vurdering av operasjoner på matriser.

4. Matrix Transponering representerer operasjonen for overgang fra en matrise A med størrelse mxn til en matrise A T av størrelse nxm, der radene og kolonnene byttes:

%.

Egenskaper for transponeringsoperasjonen:

1) Fra definisjonen følger det at hvis matrisen transponeres to ganger, går vi tilbake til den opprinnelige matrisen: (AT) T = A.

2) Konstantfaktoren kan tas ut av transposisjonstegnet: (A)​T =AT T .

3) Transposisjon er distributiv med hensyn til matrisemultiplikasjon og addisjon: (AB) T =B T A T og (A+B) T =B T +AT .