Matriser, deres klassifisering, aritmetiske operasjoner på matriser. Matriser. Grunnleggende definisjoner og typer matriser. Handlinger på matriser. Konseptet med matriserangering. Operasjoner på matriser. Konsept og finne en invers matrise Spesielle typer matriser

En matrise er et spesielt objekt i matematikk. Det er avbildet i form av en rektangulær eller firkantet tabell, sammensatt av et visst antall rader og kolonner. I matematikk er det et stort utvalg av typer matriser, varierende i størrelse eller innhold. Tallene på radene og kolonnene kalles ordrer. Disse objektene brukes i matematikk for å organisere registreringen av systemer lineære ligninger og praktisk søk etter resultatene deres. Ligninger ved hjelp av en matrise løses ved hjelp av metoden til Carl Gauss, Gabriel Cramer, bifag og algebraiske addisjoner, samt mange andre metoder. Den grunnleggende ferdigheten når du arbeider med matriser er reduksjon til. La oss imidlertid først finne ut hvilke typer matriser som kjennetegnes av matematikere.

Null type

Alle komponentene i denne typen matrise er null. I mellomtiden er antallet rader og kolonner helt annerledes.

Firkantet type

Antall kolonner og rader i denne typen matrise er det samme. Det er med andre ord et "firkantet" bord. Antall kolonner (eller rader) kalles rekkefølgen. Spesielle tilfeller anses å være eksistensen av en annenordens matrise (2x2 matrise), fjerdeordens (4x4), tiendeordens (10x10), syttendeordens (17x17) og så videre.

Kolonnevektor

Dette er en av de enkleste typene matriser, som inneholder bare én kolonne, som inkluderer tre numeriske verdier. Den representerer en rekke frie termer (tall uavhengig av variabler) i systemer med lineære ligninger.

Visning lik den forrige. Består av tre numeriske elementer, i sin tur organisert i én linje.

Diagonal type

Numeriske verdier i diagonalformen til matrisen tar bare komponentene i hoveddiagonalen (uthevet i grønt). Hoveddiagonalen begynner med elementet som ligger i øvre venstre hjørne og slutter med elementet i nedre høyre hhv. De resterende komponentene er lik null. Diagonaltypen er bare en kvadratisk matrise av en eller annen orden. Blant de diagonale matrisene kan man skille den skalariske. Alle komponentene har samme verdier.

En undertype av diagonal matrise. Hele henne numeriske verdier er enheter. Ved å bruke en enkelt type matrisetabell utfører man sine grunnleggende transformasjoner eller finner en matrise invers til den opprinnelige.

Kanonisk type

Den kanoniske formen til matrisen regnes som en av de viktigste; Å redusere til det er ofte nødvendig for arbeid. Antall rader og kolonner i en kanonisk matrise varierer, og den tilhører ikke nødvendigvis kvadrattypen. Den ligner litt på identitetsmatrisen, men i dets tilfelle får ikke alle komponenter i hoveddiagonalen en verdi lik én. Det kan være to eller fire hoveddiagonale enheter (alt avhenger av lengden og bredden på matrisen). Eller det er kanskje ingen enheter i det hele tatt (da anses det som null). De resterende komponentene av den kanoniske typen, så vel som diagonal- og enhetselementene, er lik null.

Trekantet type

En av de viktigste typene matrise, brukt når du søker etter dens determinant og når du utfører enkle operasjoner. Den trekantede typen kommer fra den diagonale typen, så matrisen er også kvadratisk. Den trekantede typen matrise er delt inn i øvre trekantet og nedre trekantet.

I en øvre trekantmatrise (fig. 1) er det bare elementer som er over hoveddiagonalen som har en verdi lik null. Komponentene til selve diagonalen og delen av matrisen som ligger under den inneholder numeriske verdier.

I den nedre trekantede matrisen (fig. 2), tvert imot, er elementene som ligger i den nedre delen av matrisen lik null.

Typen er nødvendig for å finne rangeringen til en matrise, så vel som for elementære operasjoner på dem (sammen med den trekantede typen). Trinnmatrisen heter slik fordi den inneholder karakteristiske "trinn" med nuller (som vist i figuren). I trinntypen dannes en diagonal med nuller (ikke nødvendigvis den viktigste), og alle elementene under denne diagonalen har også verdier lik null. En forutsetning er følgende: hvis det er en nullrad i trinnmatrisen, så inneholder heller ikke de resterende radene under den tallverdier.

Derfor undersøkte vi de viktigste typene matriser som er nødvendige for å jobbe med dem. La oss nå se på problemet med å konvertere matrisen til den nødvendige formen.

Reduserer til trekantet form

Hvordan bringe en matrise til en trekantet form? Oftest i oppgaver må du transformere en matrise til en trekantet form for å finne dens determinant, ellers kalt en determinant. Når du utfører denne prosedyren, er det ekstremt viktig å "bevare" hoveddiagonalen til matrisen, fordi determinanten til en trekantet matrise er lik produktet av komponentene i hoveddiagonalen. La meg også huske alternative metoder for å finne determinanten. Determinanten til kvadrattypen finnes ved hjelp av spesielle formler. Du kan for eksempel bruke trekantmetoden. For andre matriser brukes metoden for dekomponering etter rad, kolonne eller deres elementer. Du kan også bruke metoden for mindreårige og algebraiske matrisetilføyelser.

La oss analysere i detalj prosessen med å redusere en matrise til en trekantet form ved å bruke eksempler på noen oppgaver.

Øvelse 1

Det er nødvendig å finne determinanten til den presenterte matrisen ved å bruke metoden for å redusere den til trekantet form.

Matrisen gitt til oss er en tredjeordens kvadratisk matrise. Derfor, for å transformere den til en trekantet form, må vi nullstille to komponenter i den første kolonnen og en komponent i den andre.

For å bringe den til trekantet form, starter vi transformasjonen fra nedre venstre hjørne av matrisen - fra tallet 6. For å snu den til null, multipliser den første raden med tre og trekk den fra den siste raden.

Viktig! Den øverste raden endres ikke, men forblir den samme som i den opprinnelige matrisen. Det er ikke nødvendig å skrive en streng fire ganger større enn den opprinnelige. Men verdiene til strengene hvis komponenter må settes til null, endres stadig.

Bare den siste verdien gjenstår - elementet i den tredje raden i den andre kolonnen. Dette er tallet (-1). For å snu den til null, trekk den andre fra den første linjen.

La oss sjekke:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Det betyr at svaret på oppgaven er -22.

Oppgave 2

Det er nødvendig å finne determinanten til matrisen ved å redusere den til trekantet form.

Den presenterte matrisen tilhører kvadrattypen og er en fjerdeordens matrise. Dette betyr at det er nødvendig å snu tre komponenter i den første kolonnen, to komponenter i den andre kolonnen og en komponent i den tredje til null.

La oss begynne å redusere det med elementet som ligger i nedre venstre hjørne - med tallet 4. Vi må snu dette tallet til null. Den enkleste måten å gjøre dette på er å multiplisere den øverste linjen med fire og deretter trekke den fra den fjerde. La oss skrive ned resultatet av den første transformasjonsfasen.

Så den fjerde radkomponenten er satt til null. La oss gå videre til det første elementet i den tredje linjen, til tallet 3. Vi utfører en lignende operasjon. Vi multipliserer den første linjen med tre, trekker den fra den tredje linjen og skriver ned resultatet.

Vi klarte å snu alle komponentene i den første kolonnen i denne kvadratiske matrisen til null, med unntak av tallet 1 - et element i hoveddiagonalen som ikke krever transformasjon. Nå er det viktig å bevare de resulterende nullene, så vi vil utføre transformasjonene med rader, ikke med kolonner. La oss gå videre til den andre kolonnen i den presenterte matrisen.

La oss starte på nytt nederst - med elementet i den andre kolonnen i den siste raden. Dette tallet er (-7). Imidlertid, i i dette tilfellet Det er mer praktisk å starte med tallet (-1) - elementet i den andre kolonnen i den tredje raden. For å snu den til null, trekk den andre fra den tredje linjen. Deretter multipliserer vi den andre linjen med syv og trekker den fra den fjerde. Vi fikk null i stedet for elementet i den fjerde raden i den andre kolonnen. La oss nå gå videre til den tredje kolonnen.

I denne kolonnen trenger vi bare å snu ett tall til null - 4. Dette er ikke vanskelig å gjøre: vi legger ganske enkelt til en tredjedel til den siste linjen og ser null vi trenger.

Etter alle transformasjonene som ble gjort, brakte vi den foreslåtte matrisen til en trekantet form. Nå, for å finne dens determinant, trenger du bare å multiplisere de resulterende elementene i hoveddiagonalen. Vi får: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Derfor er løsningen 160.

Så nå vil spørsmålet om å redusere matrisen til trekantet form ikke plage deg.

Redusere til en trinnvis form

For elementære operasjoner på matriser er den trinnvise formen mindre "etterspurt" enn den trekantede. Det brukes oftest til å finne rangeringen til en matrise (dvs. antallet rader som ikke er null) eller for å bestemme lineært avhengige og uavhengige rader. Imidlertid er den trinnvise typen matrise mer universell, da den passer ikke bare for kvadrattypen, men også for alle andre.

For å redusere en matrise til trinnvis form, må du først finne dens determinant. Metodene ovenfor er egnet for dette. Hensikten med å finne determinanten er å finne ut om den kan konverteres til en trinnmatrise. Hvis determinanten er større eller mindre enn null, kan du trygt fortsette til oppgaven. Hvis den er lik null, vil det ikke være mulig å redusere matrisen til en trinnvis form. I dette tilfellet må du sjekke om det er noen feil i opptaket eller i matrisetransformasjonene. Hvis det ikke er slike unøyaktigheter, kan ikke oppgaven løses.

La oss se på hvordan du reduserer en matrise til en trinnvis form ved å bruke eksempler på flere oppgaver.

Øvelse 1. Finn rangeringen til den gitte matrisetabellen.

Foran oss er en tredje-ordens firkantmatrise (3x3). Vi vet at for å finne rangeringen er det nødvendig å redusere den til en trinnvis form. Derfor må vi først finne determinanten til matrisen. La oss bruke trekantmetoden: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. Den er større enn null, noe som betyr at matrisen kan reduseres til en trinnvis form. La oss begynne å transformere det.

La oss starte med elementet i venstre kolonne på den tredje linjen - tallet 2. Multipliser den øverste linjen med to og trekk den fra den tredje. Takket være denne operasjonen ble både elementet vi trenger og tallet 4 - elementet i den andre kolonnen i den tredje raden - til null.

Vi ser at som et resultat av reduksjonen ble det dannet en trekantet matrise. I vårt tilfelle kan vi ikke fortsette transformasjonen, siden de resterende komponentene ikke kan reduseres til null.

Dette betyr at vi konkluderer med at antall rader som inneholder numeriske verdier i denne matrisen (eller dens rangering) er 3. Svaret på oppgaven: 3.

Oppgave 2. Bestem antall lineært uavhengige rader i denne matrisen.

Vi må finne strenger som ikke kan konverteres til null ved noen transformasjon. Faktisk må vi finne antall rader som ikke er null, eller rangeringen av den presenterte matrisen. For å gjøre dette, la oss forenkle det.

Vi ser en matrise som ikke tilhører kvadrattypen. Den måler 3x4. La oss også starte reduksjonen med elementet i nedre venstre hjørne - tallet (-1).

Dens videre transformasjoner er umulige. Dette betyr at vi konkluderer med at antallet lineært uavhengige linjer i den og svaret på oppgaven er 3.

Nå er det ikke en umulig oppgave for deg å redusere matrisen til en trinnvis form.

Ved å bruke eksempler på disse oppgavene undersøkte vi reduksjonen av en matrise til en trekantet form og en trinnformet form. For å snu de ønskede verdiene til matrisetabeller til null, må du i noen tilfeller bruke fantasien og konvertere kolonnene eller radene på riktig måte. Lykke til i matematikk og i arbeid med matriser!

Konsept/definisjon av matrise. Typer matriser

Definisjon av en matrise. En matrise er en rektangulær talltabell som inneholder et visst antall m rader og et visst antall n kolonner.

Grunnleggende matrisekonsepter: Tallene m og n kalles rekkefølgen til matrisen. Hvis m=n, kalles matrisen torget, og tallet m=n er rekkefølgen.

I det følgende vil notasjonen bli brukt til å skrive matrisen: Selv om noen ganger notasjonen finnes i litteraturen: For å kort betegne en matrise, brukes ofte én stor bokstav i det latinske alfabetet (for eksempel A), eller symbolet ||aij||, og noen ganger med en forklaring: A=||aij||=(aij ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Tallene aij inkludert i denne matrisen kalles dens elementer. I oppføringen aij er den første indeksen i radnummeret, og den andre indeksen j er kolonnenummeret.

For eksempel matrise dette er en matrise av størrelsesorden 2×3, dens elementer er a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Så vi har introdusert definisjonen av en matrise. La oss vurdere typene matriser og gi de tilsvarende definisjonene.

Typer matriser

La oss introdusere begrepet matriser: kvadrat, diagonal, enhet og null.

Definisjon av en kvadratisk matrise: Firkantet matrise En n-te ordens matrise kalles en n×n matrise.

Når det gjelder en kvadratisk matrise Begrepet hoved- og sekundærdiagonaler introduseres. Hoveddiagonalen til matrisen kalles diagonalen som går fra øvre venstre hjørne av matrisen til nedre høyre hjørne. Side diagonal av samme matrise kalles diagonalen som går fra nedre venstre hjørne til øvre høyre hjørne. Konseptet med en diagonal matrise: Diagonal er en kvadratisk matrise der alle elementer utenfor hoveddiagonalen er lik null. Konseptet med identitetsmatrisen: Enkelt(betegnet E noen ganger I) kalles en diagonal matrise med ener på hoveddiagonalen. Konseptet med en nullmatrise: Null er en matrise hvis elementer alle er null. To matriser A og B sies å være like (A=B) hvis de er like store (det vil si at de har like mange rader og like mange kolonner og deres tilsvarende elementer er like). Så hvis så A=B, hvis a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Dette materialet ble hentet fra nettstedet høyeremath.ru

FEDERAL STATE BUDGET UTDANNINGSINSTITUTION FOR HØYERE UTDANNING

"ORENBURG STATSLANDBRUKSuniversitet"

Avdeling " Informatikk og Anvendt matematikk»

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER FOR STUDENTER

OM MESTERDISIPLIN

Matematikk

Opplæringsretning (spesialitet): 040400Sosialt arbeid (undergraduate level)

Utdanningsprogramprofil Sosialt arbeid

Studieform: korrespondanse

Orenburg 2016

1. Forelesningsnotater……………………………………………………...

1.1 Forelesning nr. 1……………………....................................

1.2 Forelesning nr. 2…………………………………….

1.3 Forelesning nr. 3………………………………………

1.4 Forelesning nr. 4………………………………………………….

1.5 Forelesning nr. 5……………………

1.6 Forelesning nr. 6………………………………………..

1.7 Forelesning nr. 7 ……………………………………………………………………..….

1.8Forelesning nr. 8.……………………...…………………………….

Forelesning nr. 9

2. Retningslinjer for praktisk opplæring………

2.1 Praktisk leksjon nr. PZ -1………………….

2.2 Praktisk leksjon nr. PZ -2 ……………………

2.3 Praktisk leksjon nr. PZ -3……………………...

2.4 Praktisk leksjon nr. PZ -4……………………...

2.5 Praktisk leksjon nr. PZ -5……………………..

2.6 Praktisk leksjon nr. PZ -6 ………………………………………………….

2.7 Praktisk leksjon nr. PZ -7…………………………………………………….

2.8 Praktisk leksjon nr. PZ -8…………………………………………………...

2.9 Praktisk leksjon nr. PZ -9……………………………………………………...

2.10 Praktisk leksjon nr. PZ -10…………………..

2.11 Praktisk leksjon nr. PZ -11……………………..

2.12 Praktisk leksjon nr. PZ -12………………………………………………..

2.13 Praktisk leksjon nr. PZ -13………………………………………………….

2.14 Praktisk leksjon nr. PZ -14-15………………………………………………

2.15 Praktisk leksjon nr. PZ - 16………………

2.16 Praktisk leksjon nr. PZ - 17………………

2.17 Praktisk leksjon nr. PZ - 18 ………………

FORelesningsnotater

1.1 Forelesning 1(2 timer)

Emne: Elementer i teorien om matriser og determinanter. Elementer i lineær algebra. Elementer av analytisk geometri

1.1.1 Forelesningsspørsmål:

1.Matriser, deres klassifisering, aritmetiske operasjoner på matriser.

2. Determinanter av 2. og 3. orden, beregningsmetoder.

3. Systemer av lineære ligninger, løsningsmetoder.

4. Ligning av en rett linje på et plan, metoder for å definere en rett linje på et plan.

1.1.2. Oppsummering av spørsmål:

Matriser, deres klassifisering, aritmetiske operasjoner på matriser.

Matrise er en tabell som består av n rader og m kolonner. Matriseelementene kan være tall eller andre matematiske objekter.

A= B= C=

Rektangulær tabell som inneholder T linjer P kolonner med reelle tall kalles numerisk matrise.

Og m ´n =
.

Tallene a ij som utgjør matrisen kalles dens elementer, hvor i=1,2,…m er radnummeret, j=1,2,…n er kolonnenummeret.

Matriser er merket med store bokstaver i det latinske alfabetet A, B, C..., elementer med små bokstaver.

Hvis antall rader og kolonner i en matrise er lik antall rader og kolonner i en annen matrise, kalles de endimensjonale matriser.

En matrise hvis antall rader er lik antall kolonner kalles kvadratisk matrise. En kvadratisk matrise av størrelse n´n kalles en matrise n. orden.

A 2´ 2 = - kvadratisk matrise av 2. orden

en 11 og en 22 elementer av hoveddiagonalen

a 12, a 21 elementer av den sekundære diagonalen

A 3 ´ 3 = kvadratisk matrise av 3. orden

a 11, a 22 og 33 er elementer i hoveddiagonalen

a 13, a 22, a 31 elementer av den sekundære diagonalen

En kvadratisk matrise der alle elementene over (under) hoveddiagonalen er lik null kalles trekantet matrise.

En kvadratisk matrise der alle elementene unntatt de på hoveddiagonalen er lik null kalles diagonal matrise.

En diagonal matrise der alle ikke-null elementer er like kalles skalar matrise.

En diagonal matrise hvis ikke-null elementer er alle 1 kalles enhetsmatrise.

E= 3. ordens identitetsmatrise

En matrise der alle elementene er null kalles nullmatrise (0).

A= ; B=

En matrise med størrelse 1´1, bestående av ett tall, identifiseres med dette tallet, dvs. (5) 1 ´1 er 5.

Endimensjonale matriser lik hverandre, hvis alle tilsvarende elementer i disse matrisene er like.

Kvadratmatrisen A -1 kalles omvendt i forhold til matrisen A. hvis og bare hvis A*A -1 =A -1 *A=E

I dette emnet vil vi vurdere konseptet med en matrise, samt typer matriser. Siden det er mange begreper i dette emnet, vil jeg legge til sammendrag for å gjøre det lettere å navigere i materialet.

Definisjon av en matrise og dens element. Notasjon.

Matrise er en tabell med $m$ rader og $n$ kolonner. Elementene i en matrise kan være objekter av en helt annen karakter: tall, variabler eller for eksempel andre matriser. For eksempel inneholder matrisen $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 rader og 2 kolonner; dens elementer er heltall. Matrisen $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ inneholder 2 rader og 4 kolonner.

Ulike måter å skrive matriser på: vis\skjul

Matrisen kan skrives ikke bare i runde, men også i firkantede eller doble rette parenteser. Nedenfor er den samme matrisen i forskjellige notasjonsformer:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Produktet $m\ ganger n$ kalles matrisestørrelse. For eksempel, hvis en matrise inneholder 5 rader og 3 kolonner, snakker vi om en matrise med størrelse $5\ ganger 3$. Matrisen $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ har størrelse $3 \ ganger 2$.

Vanligvis er matriser merket med store bokstaver i det latinske alfabetet: $A$, $B$, $C$ og så videre. For eksempel, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Linjenummerering går fra topp til bunn; kolonner - fra venstre til høyre. For eksempel inneholder den første raden i matrisen $B$ elementene 5 og 3, og den andre kolonnen inneholder elementene 3, -87, 0.

Elementer i matriser er vanligvis angitt med små bokstaver. For eksempel er elementene i matrisen $A$ betegnet med $a_(ij)$. Den doble indeksen $ij$ inneholder informasjon om posisjonen til elementet i matrisen. Tallet $i$ er radnummeret, og tallet $j$ er kolonnenummeret, i skjæringspunktet mellom elementet $a_(ij)$. For eksempel, i skjæringspunktet mellom den andre raden og den femte kolonnen i matrisen $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

På samme måte, i skjæringspunktet mellom den første raden og den første kolonnen, har vi elementet $a_(11)=51$; i skjæringspunktet mellom den tredje raden og den andre kolonnen - elementet $a_(32)=-15$ og så videre. Legg merke til at oppføringen $a_(32)$ lyder "a tre to", men ikke "en trettito".

For å forkorte matrisen $A$, hvis størrelse er $m\ ganger n$, brukes notasjonen $A_(m\ ganger n)$. Følgende notasjon brukes ofte:

$$ A_(m\ ganger(n))=(a_(ij)) $$

Her indikerer $(a_(ij))$ betegnelsen på elementene i matrisen $A$, dvs. sier at elementene i matrisen $A$ er betegnet som $a_(ij)$. I utvidet form kan matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ skrives som følger:

$$ A_(m\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

La oss introdusere et annet begrep - like matriser.

To matriser av samme størrelse $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ kalles lik, hvis deres tilsvarende elementer er like, dvs. $a_(ij)=b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1,n)$.

Forklaring på oppføringen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notasjonen "$i=\overline(1,m)$" betyr at parameteren $i$ varierer fra 1 til m. For eksempel indikerer notasjonen $i=\overline(1,5)$ at parameteren $i$ tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5.

Så for at matriser skal være like, må to betingelser være oppfylt: sammenfall av størrelser og likhet mellom de tilsvarende elementene. For eksempel er matrisen $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ikke lik matrisen $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ fordi matrise $A$ har størrelse $3\ ganger 2$ og matrise $B$ har størrelse $2\ ganger $2. Dessuten er ikke matrise $A$ lik matrise $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , siden $a_( 21)\neq c_(21)$ (dvs. $0\neq 98$). Men for matrisen $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ kan vi trygt skrive $A= F$ fordi både størrelsene og de tilsvarende elementene i matrisene $A$ og $F$ er sammenfallende.

Eksempel nr. 1

Bestem størrelsen på matrisen $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Angi hva elementene $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ er lik.

Denne matrisen inneholder 5 rader og 3 kolonner, så størrelsen er $5\ ganger 3$. Du kan også bruke notasjonen $A_(5\ ganger 3)$ for denne matrisen.

Element $a_(12)$ er i skjæringspunktet mellom den første raden og den andre kolonnen, så $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ er i skjæringspunktet mellom tredje rad og tredje kolonne, så $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ er i skjæringspunktet mellom fjerde rad og tredje kolonne, så $a_(43)=-5$.

Svar: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Typer matriser avhengig av størrelse. Hoved- og sekundærdiagonaler. Matrisespor.

La en viss matrise $A_(m\ ganger n)$ gis. Hvis $m=1$ (matrisen består av en rad), kalles den gitte matrisen matrise-rad. Hvis $n=1$ (matrisen består av én kolonne), kalles en slik matrise matrise-kolonne. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ en radmatrise, og $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ er en kolonnematrise.

Hvis matrisen $A_(m\ ganger n)$ tilfredsstiller betingelsen $m\neq n$ (dvs. antall rader er ikke lik antall kolonner), så sies det ofte at $A$ er en rektangulær matrise. For eksempel har matrisen $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ størrelse $2\ ganger 4 $, de. inneholder 2 rader og 4 kolonner. Siden antall rader ikke er lik antall kolonner, er denne matrisen rektangulær.

Hvis matrisen $A_(m\ ganger n)$ tilfredsstiller betingelsen $m=n$ (dvs. antall rader er lik antall kolonner), så sies $A$ å være en kvadratisk matrise av orden $ n$. For eksempel er $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ en andreordens kvadratmatrise; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ er en tredjeordens kvadratmatrise. Generelt kan kvadratmatrisen $A_(n\ ganger n)$ skrives som følger:

$$ A_(n\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementene $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sies å være på hoveddiagonal matriser $A_(n\ ganger n)$. Disse elementene kalles diagonale hovedelementer(eller bare diagonale elementer). Elementene $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ er på side (mindre) diagonal; de kalles side diagonale elementer. For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ vi har:

Elementene $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ er de viktigste diagonale elementene; elementene $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ er diagonale sideelementer.

Summen av de viktigste diagonale elementene kalles etterfulgt av matrisen og er betegnet med $\Tr A$ (eller $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ har vi:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Konseptet med diagonale elementer brukes også for ikke-kvadratiske matriser. For eksempel, for matrisen $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ de diagonale hovedelementene vil være $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Typer matriser avhengig av verdiene til elementene deres.

Hvis alle elementene i matrisen $A_(m\ ganger n)$ er lik null, kalles en slik matrise null og er vanligvis betegnet med bokstaven $O$. For eksempel, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - null matriser.

La oss vurdere en rad som ikke er null i matrisen $A$, dvs. en streng som inneholder minst ett element annet enn null. Ledende element av en streng som ikke er null, kaller vi dens første (teller fra venstre til høyre) ikke-null-element. Tenk for eksempel på følgende matrise:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

I den andre linjen vil det ledende elementet være det fjerde elementet, dvs. $w_(24)=12$, og i tredje linje vil det ledende elementet være det andre elementet, dvs. $w_(32)=-9$.

Matrisen $A_(m\ ganger n)=\left(a_(ij)\right)$ kalles tråkket, hvis den oppfyller to betingelser:

Nullrader, hvis de finnes, er plassert under alle ikke-nullrader.
Tallene på de ledende elementene i rader som ikke er null danner en strengt økende sekvens, dvs. hvis $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ er de ledende elementene i rader som ikke er null i matrisen $A$, så $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$.

Eksempler på trinnmatriser:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Til sammenligning: matrise $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ er ikke en trinnmatrise, siden den andre betingelsen i definisjonen av en trinnmatrise brytes. De ledende elementene i andre og tredje rad $q_(24)=7$ og $q_(32)=10$ har tallene $k_2=4$ og $k_3=2$. For en trinnmatrise må betingelsen $k_2\lt(k_3)$ være oppfylt, noe som brytes i dette tilfellet. La meg merke at hvis vi bytter andre og tredje rad, får vi en trinnvis matrise: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

En trinnmatrise kalles trapesformet eller trapesformet, hvis de ledende elementene $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ tilfredsstiller betingelsene $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, dvs. de ledende er de diagonale elementene. Generelt kan en trapesformet matrise skrives som følger:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Eksempler på trapesformede matriser:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

La oss gi noen flere definisjoner for kvadratiske matriser. Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise som ligger under hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise øvre trekantet matrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ er en øvre trekantet matrise. Merk at definisjonen av en øvre trekantet matrise ikke sier noe om verdiene til elementene som ligger over hoveddiagonalen eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke - det spiller ingen rolle. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ også en øvre trekantet matrise.

Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise plassert over hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise nedre trekantmatrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - nedre trekantmatrise. Merk at definisjonen av en lavere trekantet matrise ikke sier noe om verdiene til elementene som ligger under eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke - det spiller ingen rolle. For eksempel, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ og $\left(\ begynne (matrise) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(matrise) \right)$ er også lavere trekantede matriser.

Den kvadratiske matrisen kalles diagonal, hvis alle elementene i denne matrisen som ikke ligger på hoveddiagonalen er lik null. Eksempel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Elementene på hoveddiagonalen kan være hva som helst (lik null eller ikke) - det spiller ingen rolle.

Den diagonale matrisen kalles enkelt, hvis alle elementene i denne matrisen på hoveddiagonalen er lik 1. For eksempel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - fjerdeordens identitetsmatrise; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ er andreordens identitetsmatrise.

Merk at matriseelementer ikke bare kan være tall. La oss forestille oss at du beskriver bøkene som står i bokhyllen din. La hyllen din være i orden og alle bøker være på strengt definerte steder. Tabellen, som vil inneholde en beskrivelse av biblioteket ditt (etter hyller og rekkefølgen på bøkene på hyllen), vil også være en matrise. Men en slik matrise vil ikke være numerisk. Et annet eksempel. I stedet for tall er det forskjellige funksjoner, forent av en viss avhengighet. Den resulterende tabellen vil også bli kalt en matrise. Med andre ord, en matrise er et hvilket som helst rektangulært bord som består av homogen elementer. Her og videre skal vi snakke om matriser som består av tall.

I stedet for parenteser brukes firkantede parenteser eller rette doble vertikale linjer for å skrive matriser

(2.1*)

Definisjon 2. Hvis i uttrykket(1) m = n, så snakker de om kvadratisk matrise, og hvis , så oh rektangulær.

Avhengig av verdiene til m og n, skilles det ut noen spesielle typer matriser:

Den viktigste egenskapen torget matrisen er henne avgjørende faktor eller avgjørende faktor, som er bygd opp av matriseelementer og er betegnet

Åpenbart er DE = 1; .

Definisjon 3. Hvis , deretter matrisen EN kalt ikke-degenerert eller ikke spesielt.

Definisjon 4. Hvis detA = 0, deretter matrisen EN kalt degenerert eller spesiell.

Definisjon 5. To matriser EN Og B er kalt lik og skrive A = B hvis de har samme dimensjoner og deres tilsvarende elementer er like, dvs..

For eksempel matriser og er like, fordi de er like store og hvert element i den ene matrisen er lik det tilsvarende elementet i den andre matrisen. Men matrisene kan ikke kalles like, selv om determinantene til begge matrisene er like, og størrelsene på matrisene er like, men ikke alle elementene som ligger på samme steder er like. Matrisene er forskjellige fordi de har forskjellige størrelser. Den første matrisen er 2x3 i størrelse, og den andre er 3x2. Selv om antallet elementer er det samme - 6 og selve elementene er de samme 1, 2, 3, 4, 5, 6, men de er på forskjellige steder i hver matrise. Men matrisene er like, ifølge definisjon 5.

Definisjon 6. Hvis du fikser et visst antall matrisekolonner EN og samme antall rader, danner elementene i skjæringspunktet mellom de angitte kolonnene og radene en kvadratisk matrise n- orden, den bestemmende faktoren for hvilken kalt liten k – ordensmatrise EN.

Eksempel. Skriv ned tre andreordens mindreårige av matrisen