Polynomer. Faktorering av et polynom: metoder, eksempler. Algebra-leksjon "forskjellige måter å faktorisere" Factoring av et kvadratisk trinomium

TIMEPLAN algebratime i 7. klasse

Lærer Prilepova O.A.

Leksjonens mål:

Vis bruken av ulike metoder for faktorisering av et polynom

Gjenta metodene for faktorisering og konsolider kunnskapen deres under øvelsene

Utvikle elevenes ferdigheter og evner i å bruke forkortede multiplikasjonsformler.

Å utvikle studentenes logiske tenkning og interesse for faget.

Oppgaver:

i retningen personlig utvikling:

Utvikle interesse for matematisk kreativitet og matematiske evner;

Utvikling av initiativ og aktivitet i å løse matematiske problemer;

Utvikle evnen til å ta selvstendige beslutninger.

i meta-subjekt retning :

Formasjon vanlige metoder intellektuell aktivitet, karakteristisk for matematikk og som er grunnlaget for kognitiv kultur;

Bruk av IKT-teknologi;

i fagområdet:

Mestring av matematisk kunnskap og ferdigheter som er nødvendige for videreutdanning;

Utvikle hos elevene evnen til å se etter måter å faktorisere et polynom på og finne dem for et polynom som kan faktoriseres.

Utstyr:utdelingsark, ruteark med vurderingskriterier,multimediaprojektor, presentasjon.

Leksjonstype:repetisjon, generalisering og systematisering av materialet som dekkes

Arbeidsformer:arbeid i par og grupper, individuelt, kollektivt,selvstendig, frontalt arbeid.

I løpet av timene:

Faktorering av polynomer er en identitetstransformasjon, som et resultat av at et polynom transformeres til produktet av flere faktorer - polynomer eller monomer.

Det er flere måter å faktorisere polynomer på.

Metode 1. Ta fellesfaktoren ut av parentes.

Denne transformasjonen er basert på den distributive loven for multiplikasjon: ac + bc = c(a + b). Essensen av transformasjonen er å isolere den felles faktoren i de to komponentene som vurderes og "ta" den ut av parentes.

La oss faktorisere polynomet 28x 3 – 35x 4.

Løsning.

1. Finn elementene 28x 3 og 35x 4 felles deler. For 28 og 35 blir det 7; for x 3 og x 4 – x 3. Med andre ord, vår felles faktor er 7x 3.

2. Vi representerer hvert av elementene som et produkt av faktorer, hvorav én
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Vi tar fellesfaktoren ut av parentes
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metode 2. Bruke forkortede multiplikasjonsformler. "Mestringen" ved å bruke denne metoden er å legge merke til en av de forkortede multiplikasjonsformlene i uttrykket.

La oss faktorisere polynomet x 6 – 1.

Løsning.

1. Vi kan bruke formelen for forskjellen av kvadrater på dette uttrykket. For å gjøre dette, se for deg x 6 som (x 3) 2, og 1 som 1 2, dvs. 1. Uttrykket vil ha formen:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Vi kan bruke formelen for summen og differansen av kuber på det resulterende uttrykket:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Så,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metode 3. Gruppering. Grupperingsmetoden er å kombinere komponentene i et polynom på en slik måte at det er enkelt å utføre operasjoner på dem (addisjon, subtraksjon, subtraksjon av en felles faktor).

La oss faktorisere polynomet x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Løsning.

1. La oss gruppere komponentene på denne måten: 1. med 2. og 3. med 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. I det resulterende uttrykket tar vi fellesfaktorene ut av parentes: x 2 i det første tilfellet og 5 i det andre.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Vi tar den felles faktoren x – 3 ut av parentes og får:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Så,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

La oss sikre materialet.

Faktor polynomet a 2 – 7ab + 12b 2 .

Løsning.

1. La oss representere monomialet 7ab som summen 3ab + 4ab. Uttrykket vil ha formen:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

La oss åpne parentesene og få:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. La oss gruppere komponentene i polynomet på denne måten: 1. med 2. og 3. med 4.. Vi får:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. La oss ta de vanlige faktorene ut av parentes:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. La oss ta den felles faktoren (a – 3b) ut av parentes:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Så,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

Offentlig leksjon

matematikk

i 7. klasse

"Bruke forskjellige metoder for å faktorisere et polynom."

Prokofieva Natalya Viktorovna,

Matematikklærer

Leksjonens mål

Pedagogisk:

1. gjenta forkortede multiplikasjonsformler
2. dannelse og primær konsolidering av evnen til å faktorisere polynomer på ulike måter.

Pedagogisk:

1. utvikling av oppmerksomhet, logisk tenkning, oppmerksomhet, evne til å systematisere og anvende ervervet kunnskap, matematisk literær tale.

Pedagogisk:

1. utvikle interesse for å løse eksempler;
2. pleie en følelse av gjensidig hjelp, selvkontroll og matematisk kultur.

Leksjonstype: kombinert leksjon

Utstyr: projektor, presentasjon, tavle, lærebok.

Foreløpig forberedelse til leksjonen:

1. Elevene bør kunne følgende emner:

1. Kvadring av summen og differansen av to uttrykk
2. Faktorisering ved å bruke formlene for kvadrert sum og kvadrert differanse
3. Multipliser forskjellen mellom to uttrykk med summen deres
4. Faktorerer en forskjell på kvadrater
5. Faktorisering av summen og differansen av terninger

1. Ha ferdigheter i å arbeide med forkortede multiplikasjonsformler.

Timeplan

1. Organisatorisk øyeblikk (fokus elevene på leksjonen)
2. Sjekker lekser (feilretting)
3. Muntlige øvelser
4. Lære nytt stoff
5. Treningsøvelser
6. Repetisjonsøvelser
7. Oppsummering av leksjonen
8. Leksemelding

I løpet av timene

I. Organisatorisk øyeblikk.

Leksjonen krever at du kjenner til forkortede multiplikasjonsformler, kan bruke dem og selvfølgelig være oppmerksom.

II. Sjekker lekser.

Leksespørsmål.

Analyse av løsningen ved styret.

II. Muntlige øvelser.

Matematikk trengs
Det er umulig uten henne
Vi lærer, vi lærer, venner,
Hva husker vi om morgenen?

La oss gjøre en oppvarming.

Faktoriser (lysbilde 3)

8a – 16b

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (lysbilde 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y Lysbilde 5)

III. Selvstendig arbeid.

Hver av dere har et bord på bordet. Signer arbeidet ditt øverst til høyre. Fyll ut tabellen. Arbeidstid er 5 minutter. La oss komme i gang.

Vi er ferdige.

Vennligst bytt jobb med naboen din.

De la fra seg pennene og plukket opp blyantene.

Vi sjekker arbeidet - vær oppmerksom på lysbildet. (lysbilde 6)

Vi setter et merke - (lysbilde 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Plasser formlene i midten av tabellen. La oss begynne å lære nytt materiale.

IV. Lære nytt stoff

I notatbøker skriver vi ned dato, klassearbeid og tema for dagens leksjon.

Lærer.

1. Når de faktoriserer polynomer, bruker de noen ganger ikke én, men flere metoder, og bruker dem sekvensielt.
2. Eksempler:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2)(a+2). (lysbilde 8)

Vi bruker fellesfaktoren i parentes og formelen for forskjellen på kvadrater.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (lysbilde 9)

Hva kan du gjøre med uttrykket? Hvilken metode vil vi bruke for å faktorisere?

Her bruker vi parentes den felles faktoren og kvadratsumformelen.

1. ab³ – 3b³ + ab²у – 3b²у = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3)(b +y). (lysbilde 10)

Hva kan du gjøre med uttrykket? Hvilken metode vil vi bruke for å faktorisere?

Her ble fellesfaktoren tatt ut av parentes og grupperingsmetoden tatt i bruk.

1. Faktoriseringsrekkefølge: (lysbilde 11)

1. Ikke alle polynomer kan faktoriseres. For eksempel: x² + 1; 5x² + x + 2 osv. (lysbilde 12)

V. Treningsøvelser

Før vi starter, tar vi en fysisk treningsøkt (lysbilde 13)

De reiste seg raskt og smilte.

De strakte seg høyere og høyere.

Kom igjen, rett opp skuldrene,

Hev, senk.

Ta til høyre, ta til venstre,

De satte seg ned og reiste seg. De satte seg ned og reiste seg.

Og de løp på stedet.

Og litt mer gymnastikk for øynene:

1. Lukk øynene godt i 3-5 sekunder, og åpne dem deretter i 3-5 sekunder. Gjenta 6 ganger.
2. Plasser tommelen i en avstand på 20-25 cm fra øynene, se med begge øynene på enden av fingeren i 3-5c, og se deretter med begge øynene på røret. Gjenta 10 ganger.

Godt gjort, sett deg.

Leksjonsoppgave:

nr. 934 avd

№935 gj.sn

№937

nr. 939 avd

nr. 1007 avd

VI.Repetisjonsøvelser.

№ 933

VII. Oppsummering av leksjonen

Læreren stiller spørsmål, og elevene svarer etter eget ønske.

1. Navn kjente metoder faktorisering av et polynom.

1. Ta den felles faktoren ut av parentes
2. Faktorisering av et polynom ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler.
3. grupperingsmetode

1. Rekkefølge for faktorisering:

1. Plasser fellesfaktoren ut av parentes (hvis det er en).
2. Prøv å faktorisere et polynom ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler.
3. Hvis de tidligere metodene ikke førte til målet, prøv å bruke grupperingsmetoden.

Rekk opp en hånd:

1. Hvis holdningen din til leksjonen er "Jeg forsto ingenting, og jeg lyktes ikke i det hele tatt"
2. Hvis holdningen din til leksjonen er "det var vanskeligheter, men jeg klarte det"
3. Hvis holdningen din til leksjonen er "Jeg lyktes med nesten alt"

Faktor 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Faktorering av et polynom ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler

Faktoriser ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) Grupperingsmetode

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² Kvadrat av summen a² - b² (a – b)(a + b) Differanse av kvadrater (a – b)² a² - 2ab + b² Kvadrat på forskjellen a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Sum av terninger (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Terning av sum (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Differanseterning a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Forskjell mellom terninger

STILL MERKENE 7 (+) = 5 6 eller 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Eksempel nr. 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Ta fellesfaktoren ut av parentes Formel for forskjellen av kvadrater

Eksempel nr. 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Ta fellesfaktoren ut av parentes Formel for kvadratsum

Eksempel nr. 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a) -3))= =b²(a-3)(b+y) Plasser faktoren utenfor parentesen Grupper leddene i parentes Plasser faktorene utenfor parentesene Plasser fellesfaktoren utenfor parentesene

Faktoriseringsrekkefølge: Plasser fellesfaktoren utenfor parentes (hvis det er en). Prøv å faktorisere et polynom ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler. 3. Hvis de tidligere metodene ikke førte til målet, prøv å bruke grupperingsmetoden.

Ikke alle polynomer kan faktoriseres. For eksempel: x² +1 5x² + x + 2

FYSISK MINUTT

Leksjonsoppgave nr. 934 avd nr. 935 avd nr. 937 nr. 939 avd nr. 1007 avd

Rekk opp hånden: Hvis holdningen din til leksjonen er "Jeg forsto ingenting, og jeg lyktes ikke i det hele tatt" Hvis holdningen din til leksjonen "det var vanskeligheter, men jeg gjorde det" Hvis holdningen din til leksjonen «Jeg lyktes med nesten alt»

Lekser: s. 38 nr. 936 nr. 938 nr. 954

Begrepene "polynom" og "faktorisering av et polynom" i algebra møter du veldig ofte, fordi du trenger å kjenne dem for enkelt å kunne utføre beregninger med store flersifrede tall. Denne artikkelen vil beskrive flere nedbrytningsmetoder. Alle er ganske enkle å bruke; du trenger bare å velge den rette for hvert enkelt tilfelle.

Konseptet med et polynom

Et polynom er en sum av monomialer, det vil si uttrykk som bare inneholder operasjonen av multiplikasjon.

For eksempel er 2 * x * y et monomial, men 2 * x * y + 25 er et polynom som består av 2 monomer: 2 * x * y og 25. Slike polynomer kalles binomialer.

Noen ganger, for å gjøre det enklere å løse eksempler med verdier med flere verdier, må et uttrykk transformeres, for eksempel dekomponert til et visst antall faktorer, det vil si tall eller uttrykk som multiplikasjonshandlingen utføres mellom. Det er flere måter å faktorisere et polynom på. Det er verdt å vurdere dem, og starter med den mest primitive, som brukes i barneskolen.

Gruppering (rekord i generell form)

Formelen for å faktorisere et polynom ved å bruke grupperingsmetoden ser generelt slik ut:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Det er nødvendig å gruppere monomiene slik at hver gruppe har en felles faktor. I den første parentesen er dette faktoren c, og i den andre - d. Dette må gjøres for deretter å flytte den ut av braketten, og dermed forenkle beregningene.

Dekomponeringsalgoritme ved hjelp av et spesifikt eksempel

Det enkleste eksemplet på faktorisering av et polynom ved hjelp av grupperingsmetoden er gitt nedenfor:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

I den første parentesen må du ta vilkårene med faktoren a, som vil være vanlig, og i den andre - med faktoren b. Vær oppmerksom på + og - tegnene i det ferdige uttrykket. Vi setter foran monomialet tegnet som var i det innledende uttrykket. Det vil si at du ikke må jobbe med uttrykket 25a, men med uttrykket -25. Minustegnet ser ut til å være "limt" til uttrykket bak og alltid tatt i betraktning ved beregning.

I neste trinn må du ta multiplikatoren, som er vanlig, ut av parentes. Det er nettopp dette grupperingen er til for. Å sette utenfor parentesen betyr å skrive foran parentesen (utelate multiplikasjonstegnet) alle de faktorene som er nøyaktig gjentatt i alle leddene som er i parentesen. Hvis det ikke er 2, men 3 eller flere termer i en parentes, må fellesfaktoren være inneholdt i hver av dem, ellers kan den ikke tas ut av parentesen.

I vårt tilfelle er det kun 2 termer i parentes. Den totale multiplikatoren er umiddelbart synlig. I den første parentesen er det a, i den andre er det b. Her må du ta hensyn til de digitale koeffisientene. I den første parentesen er begge koeffisientene (10 og 25) multipler av 5. Dette betyr at ikke bare a, men også 5a kan tas ut av parentesen. Før parentes, skriv 5a, og del deretter hvert av leddene i parentes med fellesfaktoren som ble tatt ut, og skriv også kvotienten i parentes, ikke glem + og - tegnene. Gjør det samme med den andre parentesen, ta ut 7b, samt 14 og 35 multiplum av 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Vi fikk 2 ledd: 5a(2c - 5) og 7b(2c - 5). Hver av dem inneholder en felles faktor (hele uttrykket i parentes er det samme her, noe som betyr at det er en felles faktor): 2c - 5. Det må også tas ut av parentesen, det vil si at ledd 5a og 7b forblir i andre parentes:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Så det fullstendige uttrykket er:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Dermed er polynomet 10ac + 14bc - 25a - 35b dekomponert i 2 faktorer: (2c - 5) og (5a + 7b). Multiplikasjonstegnet mellom dem kan utelates når du skriver

Noen ganger er det uttrykk av denne typen: 5a 2 + 50a 3, her kan du sette ut av parentes ikke bare a eller 5a, men til og med 5a 2. Du bør alltid prøve å legge den største felles faktoren ut av braketten. I vårt tilfelle, hvis vi deler hvert ledd med en felles faktor, får vi:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(når man beregner kvotienten av flere potenser med like baser, bevares basen og eksponenten trekkes fra). Dermed forblir enheten i parentes (du glemmer ikke i noe tilfelle å skrive en hvis du tar et av leddene ut av parentes) og divisjonskvotienten: 10a. Det viser seg at:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Kvadratiske formler

For å lette beregningen ble flere formler utledet. Disse kalles forkortede multiplikasjonsformler og brukes ganske ofte. Disse formlene hjelper til med å faktorisere polynomer som inneholder potenser. Dette er en annen effektiv måte å faktorisere på. Så her er de:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - en formel kalt "kvadraten av summen", siden som et resultat av dekomponering til et kvadrat, tas summen av tallene i parentes, det vil si at verdien av denne summen multipliseres med seg selv 2 ganger, og derfor er en multiplikator.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formelen for kvadratet av forskjellen, den er lik den forrige. Resultatet er forskjellen, omsluttet i parentes, inneholdt i kvadratpotensen.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- dette er en formel for forskjellen av kvadrater, siden polynomet i utgangspunktet består av 2 kvadrater med tall eller uttrykk, mellom hvilke subtraksjon utføres. Kanskje, av de tre nevnte, brukes den oftest.

Eksempler på beregninger ved bruk av kvadratformler

Beregningene for dem er ganske enkle. For eksempel:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - bruk formelen "kvadrat av summen".
2. 25x 2 er kvadratet på 5x. 20xy er dobbeltproduktet av 2*(5x*2y), og 4y 2 er kvadratet av 2y.
3. Dermed er 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dette polynomet er dekomponert i 2 faktorer (faktorene er de samme, så det skrives som et uttrykk med kvadratpotens).

Handlinger som bruker kvadratforskjellsformelen utføres på samme måte som disse. Den gjenværende formelen er forskjellen av kvadrater. Eksempler på denne formelen er veldig enkle å definere og finne blant andre uttrykk. For eksempel:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Siden 25a 2 = (5a) 2, og 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Siden 36x 2 = (6x) 2, og 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Siden 169b 2 = (13b) 2

Det er viktig at hvert av begrepene er et kvadrat med et eller annet uttrykk. Deretter må dette polynomet faktoriseres ved hjelp av formelen for forskjellen av kvadrater. For dette er det ikke nødvendig at den andre graden er over tallet. Det finnes polynomer som inneholder store grader, men som likevel passer til disse formlene.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

I dette eksemplet kan en 8 representeres som (a 4) 2, det vil si kvadratet til et bestemt uttrykk. 25 er 5 2, og 10a er 4 - dette er dobbeltproduktet av begrepene 2 * a 4 * 5. Det er dette uttrykket, til tross for tilstedeværelsen av grader med store eksponenter, kan dekomponeres i 2 faktorer for deretter å jobbe med dem.

Kubeformler

De samme formlene finnes for faktorisering av polynomer som inneholder kuber. De er litt mer kompliserte enn de med firkanter:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- denne formelen kalles summen av terninger, siden polynomet i sin opprinnelige form er summen av to uttrykk eller tall innesluttet i en kube.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - en formel som er identisk med den forrige, er utpekt som forskjellen på kuber.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - terning av en sum, som et resultat av beregninger, er summen av tall eller uttrykk omsluttet i parentes og multiplisert med seg selv 3 ganger, det vil si plassert i en terning
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formelen, kompilert i analogi med den forrige, som bare endrer noen tegn på matematiske operasjoner (pluss og minus), kalles "forskjellskuben".

De to siste formlene brukes praktisk talt ikke for å faktorisere et polynom, siden de er komplekse, og det er sjelden nok å finne polynomer som fullt ut samsvarer med nøyaktig denne strukturen slik at de kan faktoriseres ved hjelp av disse formlene. Men du må fortsatt kjenne dem, siden de vil være nødvendige når du opererer i motsatt retning - når du åpner parenteser.

Eksempler på kubeformler

La oss se på et eksempel: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Ganske enkle tall er tatt her, så du kan umiddelbart se at 64a 3 er (4a) 3, og 8b 3 er (2b) 3. Dermed utvides dette polynomet i henhold til formelforskjellen til kuber til 2 faktorer. Handlinger som bruker formelen for summen av terninger, utføres analogt.

Det er viktig å forstå at ikke alle polynomer kan utvides på minst én måte. Men det finnes uttrykk som inneholder større potenser enn en kvadrat eller en terning, men de kan også utvides til forkortede multiplikasjonsformer. For eksempel: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Dette eksemplet inneholder så mye som 12. grad. Men selv det kan faktoriseres ved å bruke summen av kuberformelen. For å gjøre dette må du forestille deg x 12 som (x 4) 3, det vil si som en kube av et eller annet uttrykk. Nå, i stedet for a, må du erstatte det i formelen. Vel, uttrykket 125y 3 er en kube av 5y. Deretter må du komponere produktet ved å bruke formelen og utføre beregninger.

Først, eller i tvilstilfeller, kan du alltid sjekke ved invers multiplikasjon. Du trenger bare å åpne parentesene i det resulterende uttrykket og utføre handlinger med lignende termer. Denne metoden gjelder for alle reduksjonsmetodene som er listet opp: både for å arbeide med en felles faktor og gruppering, og for å arbeide med formler av terninger og kvadratiske potenser.

Seksjoner: Matematikk

Leksjonstype:

• i henhold til leveringsmetoden - en verkstedleksjon;
• Av didaktisk formål– en leksjon i å anvende kunnskap og ferdigheter.

Mål: utvikle evnen til å faktorisere et polynom.

Oppgaver:

• Didaktisk: systematisere, utvide og utdype elevenes kunnskaper og ferdigheter, bruke ulike metoder for å faktorisere et polynom. Utvikle evnen til å anvende polynomfaktorisering gjennom kombinasjon ulike teknikker. Implementer kunnskap og ferdigheter om emnet: "Faktorering av et polynom" for å fullføre oppgaver på både grunnleggende nivå og oppgaver med økt kompleksitet.
• Utviklingsmessig: å utvikle mental aktivitet gjennom å løse ulike typer problemer, å lære å finne og analysere de mest rasjonelle løsningsmetodene, å bidra til dannelsen av evnen til å generalisere fakta som studeres, å uttrykke ens tanker klart og tydelig.
• Pedagogisk: utvikle ferdigheter til selvstendig og teamarbeid, selvkontroll ferdigheter.

Arbeidsmetoder:

• verbal;
• visuell;
• praktisk.

Leksjonsutstyr: interaktiv tavle eller overheadprojektor, tabeller med forkortede multiplikasjonsformler, instruksjoner, utdelingsark for arbeid i grupper.

Leksjonsstruktur:

1. Organisering av tid. 1 minutt
2. Formulering av tema, formål og mål for den praktiske leksjonen. 2 minutter
3. Sjekker lekser. 4 minutter
4. Oppdatering av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter til studentene. 12 minutter
5. Kroppsøvingsminutt. 2 minutter
6. Instruksjon om hvordan du utfører oppgavene til verkstedet. 2 minutter
7. Gjøre oppgaver i grupper. 15 minutter
8. Sjekke og diskutere oppgaver. Jobb analyse. 3 minutter
9. Sette lekser. 1 minutt
10. Reserve jobber. 3 minutter

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk

Læreren sjekker beredskapen i klasserommet og elevene for timen.

2. Formulering av tema, formål og mål for workshopleksjonen

• Melding om den siste leksjonen om emnet.
• Motivasjon for elevenes læringsaktiviteter.
• Formulere mål og sette mål for timen (sammen med elevene).

3. Sjekke lekser

På tavla er det eksempler på løsninger på lekseoppgaver nr. 943 (a, c); nr. 945 (c, d). Prøvene ble laget av klasseelever. (Denne elevgruppen ble identifisert i forrige leksjon; de formaliserte avgjørelsen i pausen). Studentene forbereder seg på å "forsvare" løsninger.

Lærer:

Sjekker tilstedeværelsen av lekser i elevenes notatbøker.

Oppfordrer klassens elever til å svare på spørsmålet: «Hvilke vanskeligheter forårsaket det å fullføre oppgaven?»

Tilbyr å sjekke løsningen din med løsningen på tavlen.

Inviterer elever ved styret til å svare på spørsmål som elevene har på stedet når de sjekker ved hjelp av prøver.

Kommentarer til elevsvar, supplerer svar, og presiserer (om nødvendig).

Oppsummerer ferdigstillelse av lekser.

Studenter:

Tilstede hjemmelekser til læreren.

De utveksler notatbøker (parvis) og sjekker med hverandre.

Svar på lærerens spørsmål.

Sjekk løsningen med prøver.

De opptrer som motstandere, legger til, korrigerer, skriver ned en annen metode hvis løsningsmetoden i notatboken er forskjellig fra metoden på tavlen.

Spør elevene og læreren om nødvendige forklaringer.

Finn måter å verifisere de oppnådde resultatene på.

Være med på å vurdere kvaliteten på oppgaver som utføres ved styret.

4. Oppdatering av grunnleggende kunnskaper og ferdigheter til studentene

1. Muntlig arbeid

Lærer:

Svar på spørsmålene:

1. Hva vil det si å faktorisere et polynom?
2. Hvor mange nedbrytningsmetoder kjenner du?
3. Hva heter de?
4. Hvilken er den vanligste?

2. Polynomer er skrevet på tavlen:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

Lærer inviterer elevene til å faktorisere polynom nr. 1-3:

• Alternativ I – ved å bruke en felles faktor;
• Alternativ II – bruk av forkortede multiplikasjonsformler;
• Alternativ III - etter grupperingsmetode.

En elev blir bedt om å faktorisere polynom nr. 4 (en individuell oppgave med økt vanskelighetsgrad, oppgaven gjennomføres i format A 4). Deretter kommer en prøveløsning på oppgave nr. 1-3 (utført av lærer), prøveløsning på oppgave nr. 4 (utført av eleven) på tavla.

3. Varm opp

Læreren gir instruksjoner om å faktorisere og velge bokstaven knyttet til det riktige svaret. Ved å legge til bokstavene får du navnet på den største matematikeren på 1600-tallet, som ga et enormt bidrag til utviklingen av teorien om å løse ligninger. (Descartes)

5. Kroppsøvingstime Uttalelser leses opp for elevene. Hvis påstanden er sann, bør elevene løfte hendene, og hvis det er usant, sett seg ved pultene sine. (vedlegg 2)

6. Instruksjon om hvordan du gjennomfører oppgavene til verkstedet.

På interaktiv tavle eller en egen plakat med et bord med instruksjoner.

Når du faktoriserer et polynom, må følgende rekkefølge overholdes:

1. sette den felles faktoren utenfor parentes (hvis det er en);

2. bruke forkortede multiplikasjonsformler (hvis mulig);

3. anvende grupperingsmetoden;

4. sjekk resultatet oppnådd ved multiplikasjon.

Lærer:

Presenterer instruksjoner for elevene (fokuserer på trinn 4).

Tilbyr gjennomføring av verkstedoppgaver i grupper.

Distribuerer arbeidsark til grupper, ark med karbonpapir for forberedelse av oppgaver i notatbøker og etterfølgende kontroll.

Setter tid for arbeid i grupper og arbeid i notatbøker.

Studenter:

Les instruksjonene.

Lærerne lytter oppmerksomt.

Sitter i grupper (4-5 personer).

Gjør deg klar til å gjøre praktisk arbeid.

7. Gjøre oppgaver i grupper

Arbeidsark med oppgaver for grupper. (vedlegg 3)

Lærer:

Klarer selvstendig arbeid i grupper.

Evaluerer elevenes evne til å jobbe selvstendig, evnen til å jobbe i gruppe og kvaliteten på regnearkdesign.

Studenter:

Fullfør oppgaver på ark med karbonpapir som er inkludert i arbeidsboken.

Diskuter måter å ta rasjonelle beslutninger på.

Lag et arbeidsark fra gruppen.

Forbered deg på å forsvare fullført arbeid.

8. Kontrollere og diskutere gjennomføringen av oppgaven

Svar på den interaktive tavlen.

Lærer:

Samler inn kopier av vedtak.

Administrerer elevrapportering på arbeidsark.

Tilbyr selvevaluering av arbeidet ditt, sammenligne svar fra notatbøker, regneark og prøver på tavlen.

Minner meg om kriteriene for å gi karakterer for arbeid og for deltakelse i gjennomføringen.

Gir avklaring på nye beslutnings- eller egenvurderingsspørsmål.

Oppsummerer de første resultatene av praktisk arbeid og refleksjon.

Oppsummerer (sammen med elevene) timen.

Det står at de endelige resultatene vil bli oppsummert etter å ha kontrollert kopier av arbeidet utført av studentene.

Studenter:

Gi kopier til læreren.

Arbeidsark er vedlagt styret.

Rapport om ferdigstillelse av arbeid.

Gjennomføre egenundersøkelse og egenvurdering av arbeidsprestasjoner.

9. Sette lekser

Lekser skrives på tavla: nr. 1016 (a, b); 1017 (c,d); nr. 1021 (g,d,f)*

Lærer:

Tilbyr å skrive ned den obligatoriske delen av oppgaven for hjem.

Gir en kommentar til gjennomføringen.

Inviterer mer forberedte elever til å skrive ned nr. 1021 (g, e, f) *.

Ber deg forberede deg til neste gjennomgangsleksjon