Mange tall. Lover for handlinger på forskjellige tall. Settet er lukket under operasjonen Forholdet mellom komplementene til åpne og lukkede sett

La oss nå bevise noen spesielle egenskaper ved lukkede og åpne sett.

Teorem 1. Summen av et begrenset eller tellbart antall åpne mengder er en åpen mengde. Produktet av et begrenset antall åpne sett er et åpent sett,

Tenk på summen av et begrenset eller tellbart antall åpne sett:

Hvis , så hører P til minst en av La Siden er et åpent sett, så hører også et -nabolag til P. Det samme -nabolaget til P hører også til summen g, hvorav det følger at g er et åpent sett. La oss nå vurdere det endelige produktet

og la P tilhøre g. La oss bevise, som ovenfor, at noen -nabolag av P også tilhører g. Siden P tilhører g, så tilhører P alle. Siden - er åpne sett, så for noen er det noen -nabolaget av punktet som tilhører . Hvis tallet antas å være lik det minste hvorav tallet er endelig, vil -området til punktet P tilhøre alle og følgelig g. Merk at vi ikke kan påstå at produktet av et tellbart antall åpne sett er et åpent sett.

Teorem 2. Mengden CF er åpen og mengden CO er lukket.

La oss bevise det første utsagnet. La P tilhøre CF. Det er nødvendig å bevise at noen nabolag P tilhører CF. Dette følger av det faktum at hvis det fantes punkter F i et hvilket som helst -nabolag av P, ville punktet P, som ikke hører hjemme etter betingelse, være et grensepunkt for F og, på grunn av sin lukkethet, burde tilhøre, noe som fører til en motsigelse.

Teorem 3. Produktet av et begrenset eller tellbart antall lukkede mengder er et lukket sett. Summen av et endelig antall lukkede sett er et lukket sett.

La oss for eksempel bevise at settet

lukket. Går videre til flere sett, kan vi skrive

Ved teorem er mengder åpne, og ved teorem 1 er mengden også åpen, og dermed er den ekstra mengden g lukket. Merk at summen av et tellbart antall lukkede sett også kan vise seg å være et åpent sett.

Teorem 4. En mengde er en åpen mengde og en lukket mengde.

Det er enkelt å kontrollere følgende likheter:

Fra disse, i kraft av de tidligere teoremene, følger teorem 4.

Vi vil si at et sett g er dekket av et system M av visse sett hvis hvert punkt g er inkludert i minst ett av settene til systemet M.

Teorem 5 (Borel). Hvis et lukket avgrenset sett F er dekket av et uendelig system a med åpne sett O, så er det fra dette uendelige systemet mulig å trekke ut et endelig antall åpne sett som også dekker F.

Vi beviser denne teoremet med invers. La oss anta at ikke noe begrenset antall åpne sett fra systemet a dekker, og vi bringer dette til en selvmotsigelse. Siden F er et avgrenset sett, tilhører alle punktene til F et begrenset todimensjonalt intervall. La oss dele dette lukkede intervallet i fire like deler, og dele intervallene i to. Vi vil ta hvert av de resulterende fire intervallene for å bli lukket. De punktene til F som faller på ett av disse fire lukkede intervallene vil i kraft av teorem 2 representere et lukket sett, og minst ett av disse lukkede settene kan ikke dekkes av et begrenset antall åpne sett fra systemet a. Vi tar et av de fire lukkede intervallene som er angitt ovenfor hvor denne omstendigheten inntreffer. Vi deler igjen dette intervallet i fire like deler og resonnerer på samme måte som ovenfor. Dermed får vi et system med nestede intervaller hvor hver neste representerer en fjerde del av den forrige, og følgende omstendighet gjelder: settet med punkter F som tilhører en k kan ikke dekkes av et begrenset antall åpne sett fra systemet en. Med en uendelig økning i k vil intervallene krympe uendelig til et visst punkt P, som tilhører alle intervaller. Siden for enhver k inneholder de et uendelig antall punkter, er punktet P et begrensende punkt for og tilhører derfor F, siden F er et lukket sett. Dermed er punktet P dekket av et åpent sett som tilhører systemet a. Noen -nabolag til punktet P vil også tilhøre det åpne settet O. For tilstrekkelig store verdier av k vil intervallene D falle innenfor ovennevnte -nabolag til punktet P. Dermed vil disse være helt dekket av kun én åpent sett O av systemet a, og dette motsier det faktum at punktene som tilhører for enhver k ikke kan dekkes av et begrenset antall åpne mengder som tilhører a. Dermed er teoremet bevist.

Teorem 6. Et åpent sett kan representeres som summen av et tellbart antall halvåpne intervaller i par uten felles punkter.

Husk at vi kaller et halvåpent intervall i et plan for et endelig intervall definert av ulikheter i formen .

La oss tegne på planet et rutenett av firkanter med sider parallelle med aksene og med en sidelengde lik én. Settet med disse rutene er et tellbart sett. Fra disse firkantene, la oss velge de rutene hvis alle punktene tilhører et gitt åpent sett O. Antallet slike ruter kan være endelige eller tellbare, eller kanskje vil det ikke være noen slike ruter i det hele tatt. Vi deler hver av de gjenværende rutene i rutenettet i fire identiske ruter, og fra de nylig oppnådde rutene velger vi igjen de som alle poeng tilhører O. Vi deler igjen hver av de gjenværende rutene i fire like deler og velger de rutene som har alle punkter tilhøre O, osv. La oss vise at hvert punkt P i mengden O vil falle inn i en av de valgte firkantene, der alle punktene tilhører O. La faktisk d være den positive avstanden fra P til grensen til O. Når vi når firkanter hvis diagonal er mindre enn , så kan vi selvsagt hevde at punktet P allerede har falt i en firkant, der alle volumene tilhører O. Hvis de valgte rutene anses som halvåpne, vil de ikke har felles punkter i par, og teoremet er bevist. Antallet valgte kvadrater vil nødvendigvis kunne telles, siden den endelige summen av halvåpne intervaller åpenbart ikke er et åpent sett. Ved å angi med DL de halvåpne firkantene som vi oppnådde som et resultat av konstruksjonen ovenfor, kan vi skrive

En tellbar mengde er en uendelig mengde hvis elementer kan nummereres med naturlige tall, eller det er en mengde som tilsvarer settet med naturlige tall.

Noen ganger kalles sett med lik kardinalitet til en hvilken som helst delmengde av settet med naturlige tall tellbare, det vil si at alle endelige sett også anses som tellbare.

En tellbar mengde er den "minste" uendelige mengden, det vil si at i ethvert uendelig sett er det en tellbar delmengde.

Egenskaper:

1. Enhver delmengde av et tellbart sett er maksimalt tellbart.

2. Unionen av et begrenset eller tellbart antall tellbare sett er tellbar.

3. Det direkte produktet av et endelig antall tellbare sett er tellbare.

4. Mengden av alle endelige delmengder av en tellbar mengde er tellbar.

5. Settet av alle delmengder av et tellbart sett er kontinuerlig og er spesielt ikke tellbart.

Eksempler på tellbare sett:

Primtall Naturlige tall, heltall, rasjonelle tall, algebraiske tall, periodering, beregnelige tall, aritmetiske tall.

Teori om reelle tall.

(Ekte = ekte - påminnelse for oss gutta.)

Settet R inneholder rasjonelle og irrasjonelle tall.

Reelle tall som ikke er rasjonelle kalles irrasjonelle tall

Teorem: Det er ikke noe rasjonelt tall hvis kvadrat er lik tallet 2

Rasjonelle tall: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Irrasjonelle tall: roten av 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Settet R av reelle tall har følgende egenskaper:

1. Det er bestilt: for to forskjellige tall a og b ett av to forhold gjelder en eller a>b

2. Mengden R er tett: mellom to forskjellige tall a og b inneholder et uendelig antall reelle tall X, dvs. tall som tilfredsstiller ulikheten a

Det er også en tredje eiendom, men den er enorm, beklager

Avgrensede sett. Egenskaper til øvre og nedre grenser.

Begrenset sett- et sett som i en viss forstand har en begrenset størrelse.

avgrenset ovenfor hvis det er et tall slik at alle elementene ikke overskrider:

Settet med reelle tall kalles avgrenset nedenfor, hvis det er et tall,

slik at alle elementene er minst:

Et sett avgrenset over og under kalles begrenset.

Et sett som ikke er avgrenset kalles ubegrenset. Som det følger av definisjonen, er et sett ubegrenset hvis og bare hvis det ikke begrenset ovenfra eller ikke begrenset nedenfor.

Nummerrekkefølge. Konsistensgrense. Lemma om to politimenn.

Nummerrekkefølge er en sekvens av elementer av tallrom.

La være enten settet med reelle tall eller settet med komplekse tall. Deretter kalles sekvensen av elementer i settet numerisk rekkefølge.

Eksempel.

En funksjon er en uendelig rekkefølge av rasjonelle tall. Elementene i denne sekvensen, fra den første, har formen .

Sekvensgrense- dette er et objekt som medlemmene av sekvensen nærmer seg etter hvert som antallet øker. Spesielt for tallsekvenser er en grense et tall i et hvilket som helst nabolag som alle ledd i sekvensen som starter fra et bestemt punkt ligger.

Teoremet om to politimenn...

Hvis funksjonen er slik at for alle i et eller annet nabolag av punktet , og funksjonene og har samme grense ved , så er det en grense for funksjonen som er lik samme verdi, dvs.

La to sett X og Y gis, enten de faller sammen eller ikke.
Definisjon. Settet med ordnede elementpar, hvorav det første tilhører X og det andre til Y, kalles Kartesisk produkt av sett og er utpekt.
Eksempel. La
,
, Deretter
.
Hvis
,
, Deretter
.
Eksempel. La
, hvor R er mengden av alle reelle tall. Deretter
er settet av alle kartesiske koordinater av punkter i planet.
Eksempel. La
er en viss familie av sett, så er det kartesiske produktet av disse settene settet av alle ordnede strenger med lengde n:
Hvis da. Elementer fra
er radvektorer med lengde n.
Algebraiske strukturer med én binær operasjon
1 Binære algebraiske operasjoner
La
– et vilkårlig begrenset eller uendelig sett.
Definisjon. Binær algebraisk operasjon ( intern lov om sammensetning) på
er en vilkårlig, men fast kartlegging av et kartesisk kvadrat
V
, dvs.
(1)
(2)
Altså et hvilket som helst bestilt par

. Det faktum at
, er skrevet symbolsk i formen
.
Vanligvis er binære operasjoner merket med symbolene
etc. Som før, operasjonen
betyr "addisjon", og operasjonen "" betyr "multiplikasjon". De skiller seg i form av notasjon og muligens i aksiomer, som vil fremgå tydelig av konteksten. Uttrykk
vi vil kalle det et produkt, og
– summen av elementer Og .
Definisjon. En haug med
kalles lukket under operasjonen  hvis for noen .
Eksempel. Tenk på settet med ikke-negative heltall
. Som binære operasjoner på
vi vil vurdere ordinære tilleggsoperasjoner
og multiplikasjon. Deretter settene
,
vil bli stengt med hensyn til disse operasjonene.
Kommentar. Som følger av definisjonen, spesifisere en algebraisk operasjon * på
, tilsvarer lukketheten til settet
angående denne operasjonen. Hvis det viser seg at mye
ikke er lukket under en gitt operasjon *, så i dette tilfellet sier de at operasjonen * ikke er algebraisk. For eksempel er operasjonen av subtraksjon på et sett med naturlige tall ikke algebraisk.
La
Og
to sett.
Definisjon. Etter ekstern lov komposisjoner på et sett kalt kartlegging
, (3)
de. loven som ethvert element
og hvilket som helst element
element er matchet
. Det faktum at
, angitt med symbolet
eller
.
Eksempel. Matrisemultiplikasjon
per nummer
er en ekstern akkordlov på settet
. Multiplisere tall inn
kan betraktes både som en intern lov om sammensetning og som en ytre.
distributive angående den interne komposisjonsloven * in
, Hvis
Den ytre komposisjonsloven kalles distributive i forhold til den interne komposisjonsloven * i Y, if
Eksempel. Matrisemultiplikasjon
per nummer
distributiv både med hensyn til addisjon av matriser og med hensyn til addisjon av tall, fordi,.
Egenskaper for binære operasjoner

Binær algebraisk operasjon  på et sett
kalt:
Kommentar. Egenskapene til kommutativitet og assosiativitet er uavhengige.
Eksempel. Tenk på settet med heltall. Drift på vil bli fastsatt i samsvar med regelen
. La oss velge tall
og utfør operasjonen på disse tallene:
de. operasjonen  er kommutativ, men ikke assosiativ.
Eksempel. Vurder settet
– kvadratiske matriser av dimensjon
med reelle koeffisienter. Som en binær operasjon * på
Vi vil vurderer. La
, Deretter
, derimot
, dvs. operasjonen av multiplikasjon på et sett med kvadratiske matriser er assosiativ, men ikke kommutativ.
Definisjon. Element
kalt enkelt eller nøytral vedrørende den aktuelle operasjonen  på
, Hvis
Lemma. Hvis – enhetselement i settet
, lukket under operasjonen *, så er den unik.
Bevis . La – enhetselement i settet
, lukket under operasjonen *. La oss anta at i
det er ett enhetselement til
, Deretter
, fordi er et enkelt element, og
, fordi – enkeltelement. Derfor,
– det eneste enhetselementet i settet
.
Definisjon. Element
kalt omvendt eller symmetrisk til element
, Hvis
Eksempel. Tenk på settet med heltall med tilleggsdrift
. Element
, deretter det symmetriske elementet
det vil være et element
. Egentlig,.

Settet med naturlige tall består av tallene 1, 2, 3, 4, ..., som brukes til å telle objekter. Settet med alle naturlige tall er vanligvis angitt med bokstaven N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Lover for addisjon av naturlige tall

1. For eventuelle naturlige tall en Og b likhet er sant en + b = b + en . Denne egenskapen kalles den kommutative addisjonsloven.

2. For eventuelle naturlige tall en, b, c likhet er sant (en + b) + c = en + (b + c) . Denne egenskapen kalles den kombinerte (assosiative) addisjonsloven.

Lover for multiplikasjon av naturlige tall

3. For eventuelle naturlige tall en Og b likhet er sant ab = ba. Denne egenskapen kalles den kommutative loven for multiplikasjon.

4. For eventuelle naturlige tall en, b, c likhet er sant (enb)c = en(bc) . Denne egenskapen kalles den kombinerte (assosiative) multiplikasjonsloven.

5. For alle verdier en, b, c likhet er sant (en + b)c = ac + f.Kr . Denne egenskapen kalles den distributive loven for multiplikasjon (i forhold til addisjon).

6. For eventuelle verdier en likhet er sant en*1 = en. Denne egenskapen kalles multiplikasjonsloven med én.

Resultatet av å legge til eller multiplisere to naturlige tall er alltid et naturlig tall. Eller, for å si det på en annen måte, disse operasjonene kan utføres mens de forblir i settet med naturlige tall. Dette kan ikke sies om subtraksjon og divisjon: for eksempel fra tallet 3 er det umulig å forbli i settet med naturlige tall å subtrahere tallet 7; Tallet 15 kan ikke deles på 4 helt.

Tegn på delbarhet av naturlige tall

Delbarhet av en sum. Hvis hvert ledd er delelig med et tall, er summen delelig med det tallet.

Delbarhet av et produkt. Hvis i et produkt minst én av faktorene er delelig med et visst tall, så er produktet også delelig med dette tallet.

Disse betingelsene, både for summen og for produktet, er tilstrekkelige, men ikke nødvendige. For eksempel er produktet 12*18 delelig med 36, selv om verken 12 eller 18 er delelig med 36.

Test for delbarhet med 2. For at et naturlig tall skal være delelig med 2, er det nødvendig og tilstrekkelig at det siste sifferet er partall.

Test for delbarhet med 5. For at et naturlig tall skal være delelig med 5, er det nødvendig og tilstrekkelig at det siste sifferet er enten 0 eller 5.

Test for delbarhet med 10. For at et naturlig tall skal være delelig med 10, er det nødvendig og tilstrekkelig at enhetssifferet er 0.

Test for delbarhet med 4. For at et naturlig tall som inneholder minst tre sifre skal være delelig med 4, er det nødvendig og tilstrekkelig at de siste sifrene er 00, 04, 08 eller det tosifrede tallet som dannes av de to siste sifrene i dette tallet er delelig med 4.

Test for delbarhet med 2 (med 9). For at et naturlig tall skal være delelig med 3 (med 9), er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av sifrene er delelig med 3 (med 9).

Sett med heltall

Tenk på en talllinje med origo i punktet O. Koordinaten til tallet null på den vil være et punkt O. Tall som ligger på tallinjen i en gitt retning kalles positive tall. La et punkt gis på tallinjen EN med koordinat 3. Det tilsvarer det positive tallet 3. La oss nå plotte enhetssegmentet fra punktet tre ganger O, i motsatt retning av den gitte. Da skjønner vi poenget EN", symmetrisk til poenget EN i forhold til opprinnelsen O. Punktkoordinat EN" det vil være et tall - 3. Dette tallet er det motsatte av tallet 3. Tall som ligger på tallinjen i motsatt retning av det gitte kalles negative tall.

Tall som er motsatte av naturlige tall danner et sett med tall N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Hvis vi kombinerer settene N , N" og singleton sett {0} , så får vi et sett Z alle heltall:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

For heltall er alle lovene ovenfor for addisjon og multiplikasjon sanne, som er sanne for naturlige tall. I tillegg legges følgende subtraksjonslover til:

en - b = en + (- b) ;

en + (- en) = 0 .

Sett med rasjonelle tall

For å gjøre operasjonen med å dele heltall med et hvilket som helst tall som ikke er lik null mulig, introduseres brøker:

Hvor en Og b- heltall og b ikke lik null.

Hvis vi legger til settet med alle positive og negative brøker til settet med heltall, får vi settet med rasjonelle tall Q :

.

Dessuten er hvert heltall også et rasjonelt tall, siden for eksempel tallet 5 kan representeres i formen , hvor telleren og nevneren er heltall. Dette er viktig når du utfører operasjoner på rasjonelle tall, hvorav ett kan være et heltall.

Lover for aritmetiske operasjoner på rasjonelle tall

Hovedegenskapen til en brøk. Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en brøk lik den gitte:

Denne egenskapen brukes ved reduksjon av fraksjoner.

Legge til brøker. Tilsetning av vanlige fraksjoner er definert som følger:

.

Det vil si at for å legge til brøker med ulike nevner, reduseres brøkene til en fellesnevner. I praksis blir brøkene redusert til laveste fellesnevner når man adderer (subtraherer) brøker med ulike nevnere. For eksempel slik:

For å legge til brøker med de samme tellerne, legg til tellerne og la nevneren være den samme.

Multiplisere brøker. Multiplikasjon av vanlige brøker er definert som følger:

Det vil si at for å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken og skrive produktet i telleren til den nye brøken, og multiplisere nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken og skriv produktet i nevneren til den nye brøken.

Å dele brøker. Inndeling av vanlige brøker er definert som følger:

Det vil si at for å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre brøken og skrive produktet i telleren til den nye brøken, og multiplisere nevneren til den første brøken med teller for den andre brøken og skriv produktet i nevneren til den nye brøken.

Heve en brøk til en potens med en naturlig eksponent. Denne operasjonen er definert som følger:

Det vil si at for å heve en brøk til en potens, heves telleren til den potensen og nevneren heves til den potensen.

Periodiske desimaler

Teorem. Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en endelig eller uendelig periodisk brøk.

For eksempel,

.

En sekvensielt repeterende gruppe av sifre etter desimaltegnet i desimalnotasjonen til et tall kalles en periode, og en endelig eller uendelig desimalbrøk som har en slik periode i notasjonen kalles periodisk.

I dette tilfellet betraktes enhver endelig desimalbrøk som en uendelig periodisk brøk med null i perioden, for eksempel:

Resultatet av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (unntatt divisjon med null) av to rasjonelle tall er også et rasjonelt tall.

Sett med reelle tall

På talllinjen, som vi tok for oss i forbindelse med settet med heltall, kan det være punkter som ikke har koordinater i form av et rasjonelt tall. Dermed er det ikke noe rasjonelt tall hvis kvadrat er 2. Derfor er ikke tallet et rasjonelt tall. Det er heller ingen rasjonelle tall hvis kvadrater er 5, 7, 9. Derfor er tallene , , irrasjonelle. Tallet er også irrasjonelt.

Ingen irrasjonelle tall kan representeres som en periodisk brøk. De er representert som ikke-periodiske brøker.

Foreningen av settene av rasjonelle og irrasjonelle tall er settet av reelle tall R .

DEFINISJON 5. La X være et metrisk rom, ММ Х, аОХ. Et punkt a kalles et grensepunkt for M hvis det er punkter i mengden M\(a) i et hvilket som helst nabolag til a. Det siste betyr at i ethvert nabolag av a er det punkter i settet M som er forskjellige fra a.

Notater. 1. Et grensepunkt hører kanskje ikke til settet. For eksempel er 0 og 1 grensepunkter for settet (0,2), men det første hører ikke til det, og det andre gjør det.
2. Et punkt i et sett M er kanskje ikke grensepunktet. I dette tilfellet kalles det et isolert punkt M. For eksempel er 1 et isolert punkt i mengden (-1,0)È(1).
3. Hvis grensepunktet a ikke tilhører mengden M, er det en sekvens av punkter xn ОM som konvergerer til a i dette metriske rommet. For å bevise det er det nok å ta åpne kuler på dette punktet med radiene 1/n og velge fra hver kule et punkt som tilhører M. Det motsatte er også sant, hvis det for a er en slik sekvens, så er punktet en grensepunkt.
DEFINISJON 6. Lukkingen av et sett M er foreningen av M med settet av dets grensepunkter. Betegnelse
Merk at lukkingen av en kule ikke trenger å falle sammen med en lukket kule med samme radius. For eksempel, i et diskret rom, er lukkingen av ballen B(a,1) lik selve ballen (består av ett punkt a) mens den lukkede ballen (a,1) faller sammen med hele rommet.
La oss beskrive noen egenskaper ved lukking av sett.
1. MÌ. Dette følger direkte av definisjonen av en nedleggelse.
2. Hvis M М N, så М . Faktisk, hvis en О , en ПМ, så er det i et hvilket som helst nabolag av a punkter i settet M. De er også punkter til N. Derfor aО . For poeng fra M er dette klart per definisjon.
4. .
5. Lukkingen av et tomt sett er tom. Denne avtalen følger ikke av den generelle definisjonen, men er naturlig.
DEFINISJON 7. En mengde M М X kalles lukket hvis = M.
Et sett M М X kalles åpen hvis settet X\M er lukket.
En mengde M М X sies å være tett overalt i X hvis = X.
DEFINISJON 8. Et punkt a kalles et indre punkt i mengden M hvis B(a,r)МM for noen positiv r, dvs. det indre punktet er inkludert i settet sammen med noen naboskap. Et punkt a kalles et ytre punkt av settet M hvis ballen B(a,r)МХ/M for noen positiv r, dvs. det indre punktet er ikke inkludert i settet sammen med noen nabolag. Punkter som verken er indre eller ytre punkter av settet M kalles grensepunkter.
Dermed er grensepunkter preget av det faktum at det i hvert av deres nabolag er punkter både inkludert og ikke inkludert i M.
FORSLAG 4. For at et sett skal være åpent, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle dets punkter er innvendige.
Eksempler på lukkede sett på en linje er , )