Å finne tyngdepunktet til en flat kropp skriv ned eksperimentet. Metoder for å bestemme koordinatene til tyngdepunktet. Testspørsmål og oppgaver

Forfatter: La oss ta en kropp av vilkårlig form. Er det mulig å henge den på en tråd slik at den etter henging beholder sin posisjon (dvs. ikke begynner å snu) når noen innledende orientering (fig. 27.1)?

Med andre ord, er det et punkt i forhold til hvilket summen av tyngdemomentene som virker på ulike deler av kroppen vil være lik null ved noen kroppsorientering i rommet?

Leser: Ja jeg tror det. Dette punktet kalles kroppens tyngdepunkt.

Bevis. For enkelhets skyld, la oss vurdere en kropp i form av en flat plate med vilkårlig form, vilkårlig orientert i rommet (fig. 27.2). La oss ta koordinatsystemet X 0på med begynnelsen i massesenteret - punkt MED, Deretter x C = 0, på C = 0.

La oss forestille oss denne kroppen som en samling av et stort antall punktmasser m jeg, posisjonen til hver av dem er spesifisert av radiusvektoren.

Per definisjon er massesenteret , og koordinaten x C = .

Siden i koordinatsystemet vi vedtok x C= 0, så . La oss multiplisere denne likheten med g og vi får

Som det fremgår av fig. 27.2, | x i| – dette er maktens skulder. Og hvis x i> 0, deretter kraftmomentet M i> 0, og hvis x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i kraftmomentet vil være likt M i = m i gx i . Da er likhet (1) ekvivalent med likhet , hvor M i– tyngdemoment. Dette betyr at med en vilkårlig orientering av legemet vil summen av tyngdemomentene som virker på legemet være lik null i forhold til massesenteret.

For at kroppen vi vurderer skal være i likevekt, er det nødvendig å søke på den på punktet MED makt T = mg, rettet vertikalt oppover. Øyeblikket for denne kraften i forhold til punktet MED lik null.

Siden resonnementet vårt ikke på noen måte var avhengig av nøyaktig hvordan kroppen er orientert i rommet, beviste vi at tyngdepunktet sammenfaller med massesenteret, som er det vi trengte å bevise.

Oppgave 27.1. Finn tyngdepunktet til en vektløs stang med lengde l, i enden av hvilke to punktmasser er faste T 1 og T 2 .

T 1 T 2 l	Løsning. Vi vil ikke se etter tyngdepunktet, men etter massesenteret (siden disse er det samme). La oss introdusere aksen X(Fig. 27.3). Ris. 27.3
x C =?

Svar: i avstand fra massen T 1 .

STOPPE! Bestem selv: B1–B3.

Uttalelse 1 . Hvis et homogent flatt legeme har en symmetriakse, er tyngdepunktet på denne aksen.

Faktisk for enhver punktmasse m jeg, plassert til høyre for symmetriaksen, er det samme punktmasse plassert symmetrisk i forhold til den første (fig. 27.4). I dette tilfellet er summen av kreftmomentene .

Siden hele kroppen kan representeres som delt inn i like par av punkter, er det totale tyngdemomentet i forhold til ethvert punkt som ligger på symmetriaksen lik null, noe som betyr at kroppens tyngdepunkt er plassert på denne aksen . Dette fører til en viktig konklusjon: hvis et legeme har flere symmetriakser, så ligger tyngdepunktet i skjæringspunktet mellom disse aksene(Fig. 27.5).

Ris. 27.5

Uttalelse 2. Hvis to kropper har masser T 1 og T 2 er koblet til ett, så vil tyngdepunktet til et slikt legeme ligge på et rett linjesegment som forbinder tyngdepunktene til det første og andre legeme (fig. 27.6).

Ris. 27.6 Ris. 27.7

Bevis. La oss plassere komposittlegemet slik at segmentet som forbinder tyngdepunktene til kroppene er vertikalt. Deretter summen av tyngdemomentene til det første legemet i forhold til punktet MED 1 er lik null, og summen av tyngdemomentene til det andre legemet i forhold til punktet MED 2 er lik null (fig. 27.7).

Legg merke til det skulder tyngdekraften til enhver punktmasse t jeg det samme med hensyn til ethvert punkt som ligger på segmentet MED 1 MED 2, og derfor tyngdemomentet i forhold til ethvert punkt som ligger på segmentet MED 1 MED 2, det samme. Følgelig er gravitasjonskraften til hele kroppen null i forhold til et hvilket som helst punkt på segmentet MED 1 MED 2. Således ligger tyngdepunktet til komposittlegemet på segmentet MED 1 MED 2 .

En viktig praktisk konklusjon følger av påstand 2, som er tydelig formulert i form av instruksjoner.

Bruksanvisning,

hvordan finne tyngdepunktet til et fast legeme hvis det kan brytes

i deler, posisjonene til tyngdepunktene til hver av dem er kjent

1. Hver del bør erstattes med en masse plassert i tyngdepunktet til den delen.

2. Finn massesenter(og dette er det samme som tyngdepunktet) til det resulterende systemet med punktmasser, ved å velge et praktisk koordinatsystem X 0på, i henhold til formlene:

Faktisk, la oss arrangere den sammensatte kroppen slik at segmentet MED 1 MED 2 var horisontal, og heng den på tråder på punkter MED 1 og MED 2 (fig. 27.8, EN). Det er klart at kroppen vil være i likevekt. Og denne balansen vil ikke bli forstyrret hvis vi erstatter hver kropp med punktmasser T 1 og T 2 (fig. 27.8, b).

Ris. 27.8

STOPPE! Bestem selv: C3.

Oppgave 27.2. Massekuler er plassert i to hjørner av en likesidet trekant T hver. En kule med masse 2 plasseres ved det tredje toppunktet T(Fig. 27.9, EN). Trekantside EN. Bestem tyngdepunktet til dette systemet.

T 2T EN	Ris. 27.9
x C = ? på C = ?

Løsning. La oss introdusere koordinatsystemet X 0på(Fig. 27.9, b). Deretter

Svar: x C = EN/2; ; tyngdepunktet ligger i halv høyde AD.

Målet med arbeidet – bestemme tyngdepunktet til en kompleks figur analytisk og eksperimentelt.

Teoretisk bakgrunn. Materiallegemer består av elementære partikler, hvis plassering i rommet bestemmes av deres koordinater. Tiltrekningskreftene til hver partikkel til jorden kan betraktes som et system av parallelle krefter, resultatet av disse kreftene kalles tyngdekraften til kroppen eller kroppens vekt. Tyngdepunktet til en kropp er punktet for påføring av tyngdekraften.

Tyngdepunktet er et geometrisk punkt som kan være plassert utenfor kroppen (for eksempel en skive med et hull, en hul ball, etc.). Å bestemme tyngdepunktet til tynne flate homogene plater er av stor praktisk betydning. Tykkelsen deres kan vanligvis neglisjeres og tyngdepunktet kan antas å være plassert i et plan. Hvis koordinatplanet xOy er kombinert med planet til figuren, bestemmes posisjonen til tyngdepunktet av to koordinater:

hvor er arealet til en del av figuren, ();

– koordinater for tyngdepunktet til delene av figuren, mm (cm).

Utsnitt av en figur	A, mm 2	X c, mm	Yc, mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R2a
Ved 2α = π πR2/2

Arbeidsprosedyre.

Tegn en figur med kompleks form, bestående av 3-4 enkle figurer (rektangel, trekant, sirkel, etc.) i en skala på 1:1 og angi dens dimensjoner.

Tegn koordinataksene slik at de dekker hele figuren, del den komplekse figuren i enkle deler, bestem arealet og koordinatene til tyngdepunktet til hver enkel figur i forhold til det valgte koordinatsystemet.

Beregn analytisk koordinatene til tyngdepunktet til hele figuren. Klipp ut denne figuren fra tynn papp eller kryssfiner. Bor to hull, kantene på hullene skal være glatte, og diameteren på hullene skal være litt større enn diameteren på nålen for å henge figuren.

Heng først figuren på ett punkt (hull), tegn en linje med en blyant som faller sammen med loddlinjen. Gjenta det samme når du henger figuren på et annet punkt. Tyngdepunktet til figuren, funnet eksperimentelt, må falle sammen.

Bestem koordinatene til tyngdepunktet til en tynn homogen plate analytisk. Sjekk eksperimentelt

Løsningsalgoritme

1. Analysemetode.

a) Tegn tegningen i målestokk 1:1.

b) Del opp en kompleks figur i enkle

c) Velg og tegn koordinatakser (hvis figuren er symmetrisk, deretter langs symmetriaksen, ellers langs figurens kontur)

d) Regn ut arealet av enkle figurer og hele figuren

e) Merk posisjonen til tyngdepunktet til hver enkel figur på tegningen

f) Regn ut koordinatene til tyngdepunktet til hver figur

(x- og y-aksen)

g) Regn ut koordinatene til tyngdepunktet til hele figuren ved hjelp av formelen

h) Merk posisjonen til tyngdepunktet på tegning C (

2. Eksperimentell bestemmelse.

Korrektheten av løsningen på problemet kan verifiseres eksperimentelt. Klipp ut denne figuren fra tynn papp eller kryssfiner. Bor tre hull, kantene på hullene skal være glatte, og diameteren på hullene skal være litt større enn diameteren på nålen for å henge figuren.

Heng først figuren på ett punkt (hull), tegn en linje med en blyant som faller sammen med loddlinjen. Gjenta det samme når du henger figuren på andre punkter. Verdien av koordinatene til figurens tyngdepunkt, funnet når figuren henges i to punkter: . Tyngdepunktet til figuren, funnet eksperimentelt, må falle sammen.

3. Konklusjon om plasseringen av tyngdepunktet under analytisk og eksperimentell bestemmelse.

Trening

Bestem tyngdepunktet til en flat seksjon analytisk og eksperimentelt.

Eksempel på utførelse

Oppgave

Bestem koordinatene til tyngdepunktet til en tynn homogen plate.

I Analytisk metode

1. Tegningen er tegnet i målestokk (dimensjoner er vanligvis gitt i mm)

2. Vi deler en kompleks figur i enkle.

1- Rektangel

2- Trekant (rektangel)

3- Område av halvsirkelen (det eksisterer ikke, minustegn).

Vi finner posisjonen til tyngdepunktet til enkle figurer av punkter, og

3. Tegn koordinataksene etter behov og merk opprinnelsen til koordinatene.

4. Beregn arealene til enkle figurer og arealet av hele figuren. [størrelse i cm]

(3. nei, tegn -).

Arealet av hele figuren

5. Finn koordinaten til sentralpunktet. , og på tegningen.

6. Regn ut koordinatene til punktene C 1, C 2 og C 3

7. Regn ut koordinatene til punkt C

8. Marker et punkt på tegningen

II Erfaren

Koordinater til tyngdepunktet eksperimentelt.

Kontrollspørsmål.

1. Er det mulig å betrakte tyngdekraften til et legeme som et resulterende system av parallelle krefter?

2. Kan hele kroppens tyngdepunkt lokaliseres?

3. Hva er essensen av den eksperimentelle bestemmelsen av tyngdepunktet til en flat figur?

4. Hvordan bestemmes tyngdepunktet til en kompleks figur som består av flere enkle figurer?

5. Hvordan bør en figur med kompleks form rasjonelt deles inn i enkle figurer når man skal bestemme tyngdepunktet til hele figuren?

6. Hvilket tegn har arealet av hullene i formelen for å bestemme tyngdepunktet?

7. I skjæringspunktet mellom hvilke linjer i trekanten ligger dens tyngdepunkt?

8. Hvis en figur er vanskelig å bryte ned til et lite antall enkle figurer, hvilken metode for å bestemme tyngdepunktet kan gi det raskeste svaret?

Praktisk arbeid nr. 6

"Løse komplekse problemer"

Målet med arbeidet: kunne løse komplekse problemer (kinematikk, dynamikk)

Teoretisk bakgrunn: Hastighet er et kinematisk mål på bevegelsen til et punkt, som karakteriserer endringshastigheten i dets posisjon. Hastigheten til et punkt er en vektor som karakteriserer hastigheten og bevegelsesretningen til et punkt på et gitt tidspunkt. Når du spesifiserer bevegelsen til et punkt ved ligninger, er hastighetsprojeksjonene på de kartesiske koordinataksene lik:

Hastighetsmodulen til et punkt bestemmes av formelen

Retningen til hastigheten bestemmes av retningscosinusene:

Karakteristikken for hastigheten på endring av hastighet er akselerasjon a. Akselerasjonen til et punkt er lik den tidsderiverte av hastighetsvektoren:

Når du spesifiserer bevegelsen til et punkt, er ligningene for projeksjonen av akselerasjon på koordinataksene lik:

Akselerasjonsmodul:

Full akselerasjonsmodul

Den tangentielle akselerasjonsmodulen bestemmes av formelen

Den normale akselerasjonsmodulen bestemmes av formelen

hvor er krumningsradiusen til banen ved et gitt punkt.

Akselerasjonsretningen bestemmes av retningscosinusene

Ligningen for rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse har formen

Kroppens vinkelhastighet:

Noen ganger er vinkelhastighet preget av antall omdreininger per minutt og er betegnet med bokstaven. Avhengigheten mellom og har formen

Vinkelakselerasjon av kroppen:

En kraft som er lik produktet av massen til et gitt punkt ved dets akselerasjon og retningen i retning direkte motsatt av akselerasjonen til punktet kalles treghetskraften.

Kraft er arbeidet som utføres av en kraft per tidsenhet.

Grunnleggende dynamikkligning for rotasjonsbevegelse

- treghetsmomentet til legemet i forhold til rotasjonsaksen, er summen av produktene av massene av materielle punkter i kvadratet av deres avstander til denne aksen

Trening

Et legeme med masse m, ved hjelp av en kabel viklet på en trommel med diameter d, beveger seg opp eller ned langs et skråplan med en helningsvinkel α. Ligning for kroppsbevegelse S=f(t), ligning for trommelrotasjon, der S er i meter; φ - i radianer; t – på sekunder. P og ω er henholdsvis kraften og vinkelhastigheten på trommelakselen i øyeblikket for slutten av akselerasjonen eller begynnelsen av bremsingen. Tid t 1 – akselerasjonstid (fra hvile til gitt hastighet) eller bremsing (fra gitt hastighet til stopp). Skyvefriksjonskoeffisienten mellom kroppen og planet er –f. Overse friksjonstap på trommelen, samt massen til trommelen. Når du løser problemer, ta g=10 m/s 2

nr. var	α, grader	Lov om bevegelse	For eksempel bevegelse	m, kg	t 1, s	d, m	P, kW	, rad/s	f	Def. mengder
		S=0,8t 2	Ned	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t 1
		φ=4t 2	Ned		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t 2	opp	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t 2	opp	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t 2	Ned		-	-	1,76		0,20	d,t 1
		S=1,5t 2	Ned	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t 2	Ned		-	0,18	-		0,20	P, t 1
		φ=10t 2	Ned		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t 1
		S=t-1,25t 2	opp		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	opp		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

Eksempel på utførelse

Oppgave 1(bilde 1).

Løsning 1. Rettlinjet bevegelse (Figur 1, a). Et punkt som beveget seg jevnt på et tidspunkt fikk en ny bevegelseslov, og stoppet etter en viss tid. Bestem alle kinematiske egenskaper ved punktets bevegelse for to tilfeller; a) bevegelse langs en rett bane; b) bevegelse langs en buet bane med konstant krumningsradius r=100cm

Figur 1(a).

Loven om endring av punkthastighet

Vi finner starthastigheten til punktet fra tilstanden:

Vi finner bremsetiden for å stoppe fra tilstanden:

kl , herfra .

Lov om bevegelse av et punkt i en periode med jevn bevegelse

Avstanden tilbakelagt av punktet langs banen under bremseperioden er

Loven for endring i tangentiell akselerasjon av et punkt

hvorav det følger at i løpet av bremseperioden beveget punktet seg like sakte, siden den tangentielle akselerasjonen er negativ og konstant i verdi.

Den normale akselerasjonen til et punkt på en rett bane er null, dvs. .

Løsning 2. Kurvilineær bevegelse (Figur 1, b).

Figur 1(b)

I dette tilfellet, sammenlignet med tilfellet med rettlinjet bevegelse, forblir alle kinematiske egenskaper uendret, med unntak av normal akselerasjon.

Loven for endring i normal akselerasjon av et punkt

Normal akselerasjon av et punkt ved første bremsing

Nummereringen av punktposisjoner på banen akseptert i tegningen: 1 – nåværende posisjon til punktet i jevn bevegelse før start av bremsing; 2 – posisjonen til punktet i bremseøyeblikket; 3 - nåværende posisjon til punktet under bremseperioden; 4 – endelig plassering av punktet.

Oppgave 2.

Lasten (fig. 2, a) løftes ved hjelp av en trommelvinsj. Diameteren på trommelen er d=0,3m, og loven for rotasjonen er .

Akselerasjonen til trommelen varte til vinkelhastigheten. Bestem alle kinematiske egenskaper ved bevegelsen til trommelen og lasten.

Løsning. Lov om endring i trommelens vinkelhastighet. Vi finner startvinkelhastigheten fra betingelsen: ; derfor begynte akselerasjonen fra en hviletilstand. Vi vil finne akselerasjonstiden fra tilstanden: . Trommelrotasjonsvinkel under akselerasjonsperioden.

Loven om endring i vinkelakselerasjonen til trommelen, det følger at i løpet av akselerasjonsperioden roterte trommelen med jevn akselerasjon.

De kinematiske egenskapene til lasten er lik de tilsvarende egenskapene til ethvert punkt på trekktauet, og derfor punkt A som ligger på kanten av trommelen (fig. 2, b). Som kjent bestemmes de lineære egenskapene til et punkt i et roterende legeme gjennom dets vinkelkarakteristikk.

Avstanden tilbakelagt av lasten under akselerasjonsperioden, . Lastens hastighet ved slutten av akselerasjonen.

Akselerasjon av last.

Lov om lastbevegelse.

Avstanden, hastigheten og akselerasjonen til lasten kan bestemmes annerledes, gjennom den funnet bevegelsesloven for lasten:

Oppgave 3. Lasten, som beveget seg jevnt oppover langs et skråstilt støtteplan, mottok på et tidspunkt bremsing i samsvar med den nye bevegelsesloven , der s er i meter og t er i sekunder. Masse av lasten m = 100 kg, glidefriksjonskoeffisient mellom lasten og planet f = 0,25. Bestem kraften F og kraften på trekktauet i to øyeblikk: a) jevn bevegelse før bremsing begynner;

b) første bremsemoment. Ved beregning, ta g=10 m/.

Løsning. Vi bestemmer de kinematiske egenskapene til bevegelsen av lasten.

Loven om endring i lastens hastighet

Starthastighet for lasten (ved t=0)

Lastakselerasjon

Siden akselerasjonen er negativ, er bevegelsen sakte.

1. Ensartet bevegelse av lasten.

For å bestemme drivkraften F tar vi for oss likevekten til lasten, som påvirkes av et system av konvergerende krefter: kraften på kabelen F, gravitasjonskraften til lasten G=mg, den normale reaksjonen til støtteflaten N og friksjonskraften rettet mot kroppens bevegelse. I henhold til friksjonsloven, . Vi velger retningen til koordinataksene, som vist på tegningen, og tegner to likevektslikninger for lasten:

Kraften på kabelen før bremsingen begynner, bestemmes av den velkjente formelen

Hvor er m/s.

2. Sakte bevegelse av last.

Som kjent, med ujevn translasjonsbevegelse av en kropp, er systemet av krefter som virker på det i bevegelsesretningen ikke balansert. I følge d'Alemberts prinsipp (kinetostatisk metode) kan kroppen i dette tilfellet anses å være i betinget likevekt hvis vi legger til alle kreftene som virker på den en treghetskraft, hvis vektor er rettet motsatt av akselerasjonsvektoren. Akselerasjonsvektoren i vårt tilfelle er rettet motsatt av hastighetsvektoren, siden lasten beveger seg sakte. Vi lager to likevektsligninger for lasten:

Slå på kabelen ved starten av bremsingen

Kontrollspørsmål.

1. Hvordan bestemme den numeriske verdien og retningen til hastigheten til et punkt i et gitt øyeblikk?

2. Hva kjennetegner normal- og tangentialkomponentene til total akselerasjon?

3. Hvordan gå fra å uttrykke vinkelhastighet i min -1 til å uttrykke den i rad/s?

4. Hva kalles kroppsvekt? Nevn måleenheten for masse

5. Ved hvilken bevegelse av et materiell punkt oppstår treghetskraften? Hva er dens numeriske verdi og hva er retningen?

6. State d'Alemberts prinsipp

7. Oppstår treghetskraften under jevn krumlinjet bevegelse av et materialpunkt?

8. Hva er dreiemoment?

9. Hvordan uttrykkes forholdet mellom dreiemoment og vinkelhastighet for en gitt overført effekt?

10. Grunnleggende dynamikkligning for rotasjonsbevegelse.

Praktisk arbeid nr. 7

"Beregning av strukturer for styrke"

Målet med arbeidet: bestemme styrke, tverrsnittsdimensjoner og tillatt belastning

Teoretisk bakgrunn.

Når vi kjenner kraftfaktorene og de geometriske egenskapene til seksjonen under strekk (kompresjon) deformasjon, kan vi bestemme spenningen ved hjelp av formlene. Og for å forstå om vår del (aksel, gir osv.) vil tåle ekstern belastning. Det er nødvendig å sammenligne denne verdien med tillatt spenning.

Så den statiske styrkeligningen

Basert på det løses 3 typer problemer:

1) styrkeprøve

2) fastsettelse av snittdimensjoner

3) fastsettelse av tillatt belastning

Så, ligningen for statisk stivhet

Basert på det løses også 3 typer problemer

Ligning for statisk strekkfasthet (trykkstyrke).

1) Første type - styrketest

dvs. vi løser venstre side og sammenligner den med tillatt spenning.

2) Andre type - bestemmelse av seksjonsdimensjoner

fra høyre side tverrsnittsarealet

Seksjonssirkel

derav diameteren d

Rektangelsnitt

Seksjon kvadrat

A = a² (mm²)

Halvsirkelseksjon

Seksjoner: kanal, I-stråle, vinkel, etc.

Områdeverdier - fra tabellen, akseptert i henhold til GOST

3) Den tredje typen er å bestemme tillatt belastning;

tatt til den mindre siden, heltall

TRENING

Oppgave

A) Styrkesjekk (testberegning)

For en gitt bjelke, konstruer et diagram over langsgående krefter og kontroller styrken i begge seksjoner. For tremateriale (stål St3) aksepter

Alternativ nr.
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Valg av seksjon (designberegning)

For en gitt bjelke, konstruer et diagram over langsgående krefter og bestem tverrsnittsdimensjonene i begge seksjoner. For tremateriale (stål St3) aksepter

Alternativ nr.
	1,9	2,5

	2,8	1,9
	3,2

B) Bestemmelse av tillatt langsgående kraft

For en gitt bjelke, bestem de tillatte verdiene for laster og ,

lage et diagram over langsgående krefter. For tremateriale (stål St3) aksepter . Når du løser problemet, anta at typen belastning er den samme på begge seksjoner av bjelken.

Alternativ nr.
	-	-
			-	-
	-	-

Eksempel på å fullføre en oppgave

Oppgave 1(bilde 1).

Sjekk styrken til en søyle laget av I-profiler av en gitt størrelse. For søylematerialet (stål St3), aksepter tillatte strekkspenninger og under kompresjon . Ved overbelastning eller betydelig underbelastning, velg I-bjelkestørrelser som sikrer optimal søylestyrke.

Løsning.

Den gitte bjelken har to seksjoner 1, 2. Seksjonenes grenser er seksjonene der ytre krefter påføres. Siden kreftene som belaster bjelken er plassert langs dens sentrale lengdeakse, oppstår kun én indre kraftfaktor i tverrsnittene - langsgående kraft, dvs. det er spenning (komprimering) av strålen.

For å bestemme lengdekraften bruker vi snittmetoden. Ved å gjennomføre en mental seksjon i hver seksjon, vil vi forkaste den nedre faste delen av bjelken og la den øvre delen stå til vurdering. I seksjon 1 er lengdekraften konstant og lik

Minustegnet indikerer at bjelken er komprimert i begge seksjoner.

Vi bygger et diagram over langsgående krefter. Etter å ha tegnet grunnlinjen (null) til diagrammet parallelt med bjelkens akse, plotter vi de oppnådde verdiene vinkelrett på den på en vilkårlig skala. Som du kan se, viste diagrammet seg å være skissert av rette linjer parallelt med basen.

Vi sjekker styrken på tømmeret, d.v.s. Vi bestemmer designspenningen (for hver seksjon separat) og sammenligner den med den tillatte. For å gjøre dette bruker vi trykkstyrketilstanden

hvor arealet er en geometrisk karakteristikk av styrken til tverrsnittet. Fra bordet av valset stål tar vi:

for I-beam
for I-beam

Styrketest:

Verdiene av langsgående krefter er tatt i absolutt verdi.

Styrken på bjelken er sikret, men det er en betydelig (mer enn 25%) underbelastning, noe som er uakseptabelt på grunn av overdreven forbruk av materiale.

Fra styrketilstanden bestemmer vi de nye dimensjonene til I-bjelken for hver seksjon av bjelken:
Derfor det nødvendige området

I henhold til GOST-tabellen velger vi I-bjelke nr. 16, for hvilken;

Derfor det nødvendige området

I henhold til GOST-tabellen velger vi I-bjelke nr. 24, for hvilken ;

Med de valgte I-bjelkestørrelsene oppstår også underbelastning, men den er ubetydelig (mindre enn 5%)

Oppgave nr. 2.

For en bjelke med gitte tverrsnittsdimensjoner, bestemme tillatte lastverdier og . For tremateriale (stål St3), aksepter tillatte strekkspenninger og under kompresjon .

Løsning.

Den gitte bjelken har to seksjoner 1, 2. Det er strekk (kompresjon) av bjelken.

Ved hjelp av seksjonsmetoden bestemmer vi den langsgående kraften, uttrykker den gjennom de nødvendige kreftene og. Ved å utføre en seksjon innenfor hver seksjon, vil vi forkaste den venstre delen av bjelken og la den høyre delen stå til vurdering. I seksjon 1 er lengdekraften konstant og lik

I seksjon 2 er også lengdekraften konstant og lik

Plusstegnet indikerer at bjelken er strukket i begge seksjoner.

Vi bygger et diagram over langsgående krefter. Diagrammet er skissert av rette linjer parallelt med basisen.

Fra tilstanden til strekkfasthet bestemmer vi de tillatte belastningsverdiene og har tidligere beregnet arealene til de gitte tverrsnittene:

Kontrollspørsmål.

1. Hvilke indre kraftfaktorer oppstår i seksjonen av en bjelke under strekk og kompresjon?

2. Skriv ned strekk- og trykkfasthetsforholdene.

3. Hvordan tildeles tegnene på langsgående kraft og normal spenning?

4. Hvordan vil spenningen endre seg hvis tverrsnittsarealet øker 4 ganger?

5. Er styrkeforholdene forskjellige for strekk- og trykkberegninger?

6. I hvilke enheter måles spenning?

7. Hvilken mekanisk karakteristikk er valgt som begrensende spenning for duktile og sprø materialer?

8. Hva er forskjellen mellom begrensende og tillatt stress?

Praktisk arbeid nr. 8

"Løse problemer for å bestemme de viktigste sentrale treghetsmomentene til flate geometriske figurer"

Målet med arbeidet: bestemme analytisk treghetsmomentene til flate kropper med kompleks form

Teoretisk bakgrunn. Koordinatene til tyngdepunktet til seksjonen kan uttrykkes gjennom det statiske øyeblikket:

hvor i forhold til okseaksen

i forhold til Oy-aksen

Det statiske momentet til området til en figur i forhold til en akse som ligger i samme plan er lik produktet av arealet til figuren og avstanden til tyngdepunktet til denne aksen. Det statiske momentet har en dimensjon. Det statiske momentet kan være positivt, negativt eller lik null (i forhold til hvilken som helst sentralakse).

Det aksiale treghetsmomentet til en seksjon er summen av produktene eller integralet av elementære arealer tatt over hele seksjonen av kvadratene av deres avstander til en bestemt akse som ligger i planet til seksjonen som vurderes.

Det aksiale treghetsmomentet uttrykkes i enheter - . Det aksiale treghetsmomentet er en størrelse som alltid er positiv og ikke lik null.

Aksene som går gjennom tyngdepunktet til figuren kalles sentrale. Treghetsmomentet om sentralaksen kalles det sentrale treghetsmomentet.

Treghetsmomentet om enhver akse er lik sentrum

Leksjonsnotater i fysikk, klasse 7

Tema: Bestemme tyngdepunktet

Fysikklærer, Argayash Secondary School nr. 2

Khidiyatulina Z.A.

Laboratoriearbeid:

"Bestemmelse av tyngdepunktet til en flat plate"

Mål : finne tyngdepunktet til en flat plate.

Teoretisk del:

Alle legemer har et tyngdepunkt. Tyngdepunktet til et legeme er punktet i forhold til hvilket det totale tyngdemomentet som virker på kroppen er null. For eksempel, hvis du henger en gjenstand i tyngdepunktet, vil den forbli i ro. Det vil si at dens plassering i rommet ikke endres (den vil ikke snu opp ned eller på siden). Hvorfor velter noen kropper mens andre ikke gjør det? Hvis du tegner en linje vinkelrett på gulvet fra kroppens tyngdepunkt, vil kroppen falle hvis linjen går utover grensene for kroppens støtte. Jo større støtteområdet er, jo nærmere kroppens tyngdepunkt er det sentrale punktet i støtteområdet og senterlinjen til tyngdepunktet, jo mer stabil vil kroppens posisjon være. . For eksempel ligger tyngdepunktet til det berømte skjeve tårnet i Pisa bare to meter fra midten av støtten. Og fallet vil bare skje når dette avviket er ca. 14 meter. Tyngdepunktet til menneskekroppen er omtrent 20,23 centimeter under navlen. En tenkt linje trukket vertikalt fra tyngdepunktet passerer nøyaktig mellom føttene. For en glassdukke ligger hemmeligheten også i kroppens tyngdepunkt. Dens stabilitet forklares av at tyngdepunktet til tumbleren er helt nederst, den står faktisk på den. Betingelsen for å opprettholde balansen til en kropp er passasjen av den vertikale aksen til dets felles tyngdepunkt innenfor området for kroppens støtte. Hvis kroppens vertikale tyngdepunkt forlater støtteområdet, mister kroppen balansen og faller. Derfor, jo større støtteområdet er, jo nærmere tyngdepunktet til kroppen er plassert til det sentrale punktet i støtteområdet og den sentrale linjen til tyngdepunktet, jo mer stabil er posisjonen til kroppen vil være. Støtteområdet når en person er i vertikal stilling er begrenset av plassen som er under sålene og mellom føttene. Midtpunktet på den vertikale linjen til tyngdepunktet på foten er 5 cm foran hælknollen. Den sagittale størrelsen på støtteområdet råder alltid over det frontale, derfor skjer forskyvningen av den vertikale linjen til tyngdepunktet lettere til høyre og venstre enn bakover, og er spesielt vanskelig fremover. I denne forbindelse er stabiliteten under svinger under rask løping betydelig mindre enn i sagittal retning (forover eller bakover). En fot i sko, spesielt med bred hæl og hard såle, er mer stabil enn uten sko, da den får et større støtteområde.

Praktisk del:

Hensikt med arbeidet: Bruk det foreslåtte utstyret til å eksperimentelt finne posisjonen til tyngdepunktet til to figurer laget av papp og en trekant.

Utstyr:Stativ, tykk papp, trekant fra skolesett, linjal, tape, tråd, blyant...

Oppgave 1: Bestem posisjonen til tyngdepunktet til en flat figur med vilkårlig form

Bruk en saks, klipp ut en tilfeldig form fra papp. Fest tråden til den ved punkt A med tape. Heng figuren i tråden til stativbenet. Bruk en linjal og blyant til å markere den vertikale linjen AB på pappen.

Flytt trådfestepunktet til posisjon C. Gjenta trinnene ovenfor.

Punkt O i skjæringspunktet mellom linjene AB ogCDgir ønsket posisjon av tyngdepunktet til figuren.

Oppgave 2: Bruk bare en linjal og blyant, finn posisjonen til tyngdepunktet til en flat figur

Bruk en blyant og linjal, del formen i to rektangler. Ved konstruksjon, finn posisjonene O1 og O2 for deres tyngdepunkt. Det er åpenbart at tyngdepunktet til hele figuren er på O1O2-linjen

Del figuren i to rektangler på en annen måte. Ved konstruksjon, finn posisjonene til tyngdepunktene O3 og O4 for hver av dem. Koble sammen punktene O3 og O4 med en linje. Skjæringspunktet mellom linjene O1O2 og O3O4 bestemmer posisjonen til figurens tyngdepunkt

Oppgave 2: Bestem posisjonen til trekantens tyngdepunkt

Bruk tape, fest den ene enden av tråden på toppen av trekanten og heng den fra stativbenet. Bruk en linjal til å markere retningen AB til gravitasjonslinjen (lag et merke på motsatt side av trekanten)

Gjenta samme prosedyre, heng trekanten fra toppunktet C. Lag et merke på motsatt toppunkt C-siden av trekantenD.

Bruk tape til å feste biter av tråd AB ogCD. Punkt O i skjæringspunktet deres bestemmer posisjonen til trekantens tyngdepunkt. I dette tilfellet er tyngdepunktet til figuren utenfor selve kroppen.

III . Løse kvalitetsproblemer

1.Til hvilket formål holder sirkusartister tunge staver i hendene når de går på stram tau?

2. Hvorfor lener en person som bærer en tung last på ryggen seg fremover?

3. Hvorfor kan du ikke reise deg fra en stol med mindre du vipper kroppen fremover?

4.Hvorfor tipper ikke kranen mot lasten som løftes? Hvorfor tipper ikke kranen mot motvekten uten last?

5. Hvorfor gjør biler og sykler o.l. Er det bedre å sette bremser på bakhjulene fremfor forhjulene?

6. Hvorfor velter en lastebil lastet med høy lettere enn den samme lastebilen lastet med snø?

Tegn et diagram over systemet og merk tyngdepunktet på det. Hvis det funnet tyngdepunktet er utenfor objektsystemet, fikk du feil svar. Du kan ha målt avstander fra forskjellige referansepunkter. Gjenta målingene.

Hvis barn for eksempel sitter på en huske, vil tyngdepunktet være et sted mellom barna, og ikke til høyre eller venstre for husken. Tyngdepunktet vil heller aldri falle sammen med punktet der barnet sitter.
Disse argumentene er gyldige i todimensjonalt rom. Tegn en firkant som vil inneholde alle objektene i systemet. Tyngdepunktet skal være inne i denne firkanten.

Sjekk regnestykket hvis du får et lite resultat. Hvis referansepunktet er i den ene enden av systemet, plasserer et lite resultat tyngdepunktet nær enden av systemet. Dette kan være det riktige svaret, men i de aller fleste tilfeller indikerer dette resultatet en feil. Når du regnet ut momentene, multipliserte du de tilsvarende vektene og avstandene? Hvis du i stedet for å multiplisere legger til vekter og avstander, vil du få et mye mindre resultat.

Rett feilen hvis du fant flere tyngdepunkter. Hvert system har bare ett tyngdepunkt. Hvis du fant flere tyngdepunkter, har du mest sannsynlig ikke lagt sammen alle øyeblikkene. Tyngdepunktet er lik forholdet mellom det "totale" momentet og den "totale" vekten. Det er ikke nødvendig å dele "hvert" øyeblikk med "hver" vekt: på denne måten finner du plasseringen til hvert objekt.

Sjekk referansepunktet hvis svaret avviker med en heltallsverdi. I vårt eksempel er svaret 3,4 m. La oss si at du fikk svaret 0,4 m eller 1,4 m, eller et annet tall som slutter på ".4". Dette er fordi du ikke valgte venstre ende av brettet som utgangspunkt, men et punkt som ligger en hel del til høyre. Faktisk er svaret ditt riktig uansett hvilket referansepunkt du velger! Bare husk: referansepunktet er alltid i posisjon x = 0. Her er et eksempel:

I vårt eksempel var referansepunktet i venstre ende av brettet og vi fant at tyngdepunktet var 3,4 m fra dette referansepunktet.
Velger du som referansepunkt et punkt som ligger 1 m til høyre fra venstre ende av tavlen, får du svaret 2,4 m. Det vil si at tyngdepunktet er 2,4 m fra det nye referansepunktet, som , i sin tur er plassert 1 m fra venstre ende av brettet. Dermed er tyngdepunktet i en avstand på 2,4 + 1 = 3,4 m fra venstre ende av brettet. Det viste seg å være et gammelt svar!
Merk: når du måler avstander, husk at avstandene til "venstre" referansepunkt er negative, og til "høyre" referansepunkt er positive.

Mål avstander i rette linjer. Anta at det er to barn på en huske, men det ene barnet er mye høyere enn det andre, eller et barn henger under brettet i stedet for å sitte på det. Ignorer denne forskjellen og mål avstandene langs den rette linjen på brettet. Å måle avstander i vinkler vil gi nære, men ikke helt nøyaktige resultater.

For problemet med vippebrett, husk at tyngdepunktet er mellom høyre og venstre ende av brettet. Senere vil du lære å beregne tyngdepunktet til mer komplekse todimensjonale systemer.

Rektangel. Siden et rektangel har to symmetriakser, er dets tyngdepunkt i skjæringspunktet mellom symmetriaksene, dvs. i skjæringspunktet mellom diagonalene til rektangelet.

Triangel. Tyngdepunktet ligger i skjæringspunktet mellom medianene. Fra geometri er det kjent at medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt og er delt i forholdet 1:2 fra basen.

Sirkel. Siden en sirkel har to symmetriakser, er dens tyngdepunkt i skjæringspunktet mellom symmetriaksene.

Halvsirkel. En halvsirkel har én symmetriakse, så ligger tyngdepunktet på denne aksen. En annen koordinat for tyngdepunktet beregnes med formelen: .

Mange strukturelle elementer er laget av standard rullede produkter - vinkler, I-bjelker, kanaler og andre. Alle dimensjoner, så vel som geometriske egenskaper for valsede profiler, er tabelldata som kan finnes i referanselitteratur i tabeller med normalt sortiment (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Eksempel 1. Bestem posisjonen til tyngdepunktet til figuren vist på figuren.

Løsning:

Vi velger koordinataksene slik at Ox-aksen går langs den nederste overordnede dimensjonen, og Oy-aksen går langs den overordnede dimensjonen lengst til venstre.

Vi deler en kompleks figur i et minimum antall enkle figurer:

rektangel 20x10;

trekant 15x10;

sirkel R=3 cm.

Vi beregner arealet til hver enkel figur og dens koordinater til tyngdepunktet. Beregningsresultatene legges inn i tabellen

Figur nr.	Området til figur A,	Tyngdepunktkoordinater
Figur nr.	Området til figur A,

Svar: C(14,5; 4,5)

Eksempel 2 . Bestem koordinatene til tyngdepunktet til en sammensatt seksjon som består av et ark og rullede seksjoner.

Løsning.

Vi velger koordinataksene som vist på figuren.

La oss angi tallene med tall og skrive ut de nødvendige dataene fra tabellen:

Figur nr.	Området til figur A,	Tyngdepunktkoordinater
Figur nr.	Området til figur A,

Vi beregner koordinatene til figurens tyngdepunkt ved å bruke formlene:

Svar: C(0; 10)

Laboratoriearbeid nr. 1 "Bestemmelse av tyngdepunktet til sammensatte flate figurer"

Mål: Bestem tyngdepunktet til en gitt flat kompleks figur ved hjelp av eksperimentelle og analytiske metoder og sammenlign resultatene deres.

Arbeidsordre

Tegn den flate figuren i notatbøkene i størrelse, og angi koordinataksene.

Bestem tyngdepunktet analytisk.

Del figuren inn i minimum antall figurer hvis tyngdepunkt vi vet hvordan vi skal bestemme.
Angi arealene og koordinatene til tyngdepunktet til hver figur.
Regn ut koordinatene til tyngdepunktet til hver figur.
Beregn arealet til hver figur.
Beregn koordinatene til tyngdepunktet til hele figuren ved å bruke formlene (posisjonen til tyngdepunktet er plottet på tegningen av figuren):

Installasjonen for eksperimentelt å bestemme koordinatene til tyngdepunktet ved hjelp av hengemetoden består av et vertikalt stativ 1 (se figur) som nålen er festet til 2 . Flat figur 3 Laget av papp, som er lett å slå hull i. Hull EN Og I gjennomboret på tilfeldig plasserte punkter (fortrinnsvis i lengst avstand fra hverandre). En flat figur er hengt opp på en nål, først ved et punkt EN , og så på punktet I . Ved hjelp av lodd 4 , festet til samme nål, tegn en vertikal linje på figuren med en blyant som tilsvarer tråden til loddet. Tyngdepunkt MED figuren vil være plassert i skjæringspunktet mellom de vertikale linjene som er tegnet når figuren henges i punktene EN Og I .