Finne det minste felles multiplum: metoder, eksempler på å finne LCM. Finne det minste felles multiplum: metoder, eksempler på å finne LCM Hvordan finne det minste felles multiplum av tall

La oss fortsette samtalen om det minste felles multiplum, som vi startet i avsnittet "LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler." I dette emnet vil vi se på måter å finne LCM for tre eller flere tall, og vi vil se på spørsmålet om hvordan finne LCM for et negativt tall.

Beregner Least Common Multiple (LCM) via GCD

Vi har allerede etablert forholdet mellom det minste felles multiplum og den største felles divisor. La oss nå lære hvordan du bestemmer LCM gjennom GCD. Først, la oss finne ut hvordan du gjør dette positive tall.

Definisjon 1

Finn det minste felles multiplum gjennom det største felles deler kan gjøres ved å bruke formelen LCM (a , b) = a · b: GCD (a , b) .

Eksempel 1

Du må finne LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

La oss ta a = 126, b = 70. La oss erstatte verdiene i formelen for å beregne minste felles multiplum gjennom den største felles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finner gcd for tallene 70 og 126. For dette trenger vi den euklidiske algoritmen: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, derfor GCD (126 , 70) = 14 .

La oss beregne LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM(126; 70) = 630.

Eksempel 2

Finn tallet 68 og 34.

Løsning

GCD inn i dette tilfellet Dette er ikke vanskelig, siden 68 er delelig med 34. La oss beregne det minste felles multiplum ved hjelp av formelen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksemplet brukte vi regelen for å finne det minste felles multiplum av positive heltall a og b: hvis det første tallet er delelig med det andre, vil LCM for disse tallene være lik det første tallet.

Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer

La oss nå se på metoden for å finne LCM, som er basert på å faktorisere tall til primfaktorer.

Definisjon 2

For å finne det minste felles multiplum, må vi utføre en rekke enkle trinn:

• vi komponerer produktet av alle primfaktorer av tallene som vi trenger for å finne LCM;
• vi ekskluderer alle hovedfaktorer fra deres resulterende produkter;
• produktet oppnådd etter eliminering av de vanlige primfaktorene vil være lik LCM for de gitte tallene.

Denne metoden for å finne det minste felles multiplumet er basert på likheten LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Hvis du ser på formelen, vil det bli klart: produktet av tallene a og b er lik produktet av alle faktorene som deltar i dekomponeringen av disse to tallene. I dette tilfellet er gcd av to tall lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i faktoriseringene av disse to tallene.

Eksempel 3

Vi har to tall 75 og 210. Vi kan faktorisere dem som følger: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Hvis du komponerer produktet av alle faktorene til de to opprinnelige tallene, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer faktorene som er felles for både tall 3 og 5, får vi et produkt av følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produktet vil være vår LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 4

Finn LCM for tall 441 Og 700 , og faktoriserer begge tallene til primfaktorer.

Løsning

La oss finne alle primfaktorene til tallene gitt i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to tallkjeder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7.

Produktet av alle faktorer som deltok i dekomponeringen av disse tallene vil ha formen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. La oss finne felles faktorer. Dette er tallet 7. La oss ekskludere det fra det totale produktet: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser seg at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LOC(441; 700) = 44.100.

La oss gi en annen formulering av metoden for å finne LCM ved å dekomponere tall i primfaktorer.

Definisjon 3

Tidligere ekskluderte vi fra det totale antallet faktorer som er felles for begge tallene. Nå skal vi gjøre det annerledes:

• La oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:
• legg til produktet av primfaktorene til det første tallet de manglende faktorene til det andre tallet;
• vi skaffer produktet, som vil være den ønskede LCM av to tall.

Eksempel 5

La oss gå tilbake til tallene 75 og 210, som vi allerede så etter LCM for i et av de forrige eksemplene. La oss dele dem ned i enkle faktorer: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Til produktet av faktorene 3, 5 og 5 tallene 75 legger til de manglende faktorene 2 Og 7 nummer 210. Vi får: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendig å beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

La oss faktorisere tallene fra tilstanden til enkle faktorer: 84 = 2 2 3 7 Og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. La oss legge til produktet faktorene 2, 2, 3 og 7 tall 84 mangler faktorene 2, 3, 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dette er det minste felles multiplum av 84 og 648.

Svar: LCM(84; 648) = 4536.

Finne LCM for tre eller flere tall

Uansett hvor mange tall vi har å gjøre med, vil algoritmen for handlingene våre alltid være den samme: vi vil sekvensielt finne LCM for to tall. Det er et teorem for denne saken.

Teorem 1

La oss anta at vi har heltall a 1 , a 2 , … , a k. INGEN C m k disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

La oss nå se på hvordan teoremet kan brukes for å løse spesifikke problemer.

Eksempel 7

Du må beregne det minste felles multiplum av fire tall 140, 9, 54 og 250 .

Løsning

La oss introdusere notasjonen: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

La oss starte med å beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). La oss bruke den euklidiske algoritmen for å beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Vi får: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Derfor er m 2 = 1.260.

La oss nå beregne ved å bruke den samme algoritmen m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Under beregningene får vi m 3 = 3 780.

Vi må bare beregne m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Vi følger samme algoritme. Vi får m 4 = 94 500.

LCM for de fire tallene fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svar: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Som du kan se, er beregningene enkle, men ganske arbeidskrevende. For å spare tid kan du gå en annen vei.

Definisjon 4

Vi tilbyr deg følgende handlingsalgoritme:

• vi dekomponerer alle tall i primfaktorer;
• til produktet av faktorene til det første tallet legger vi til de manglende faktorene fra produktet av det andre tallet;
• til produktet oppnådd på forrige trinn legger vi til de manglende faktorene til det tredje tallet, etc.;
• det resulterende produktet vil være det minste felles multiplum av alle tall fra betingelsen.

Eksempel 8

Du må finne LCM for fem tall 84, 6, 48, 7, 143.

Løsning

La oss faktorisere alle fem tallene til primfaktorer: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primtall, som er tallet 7, kan ikke innregnes i primfaktorer. Slike tall faller sammen med deres dekomponering til primfaktorer.

La oss nå ta produktet av primfaktorene 2, 2, 3 og 7 av tallet 84 og legge til de manglende faktorene til det andre tallet. Vi dekomponerte tallet 6 til 2 og 3. Disse faktorene er allerede i produktet av det første tallet. Derfor utelater vi dem.

Vi fortsetter å legge til de manglende multiplikatorene. La oss gå videre til tallet 48, fra produktet av hvis primfaktorer vi tar 2 og 2. Deretter legger vi til primfaktoren 7 fra det fjerde tallet og faktorene 11 og 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det minste felles multiplum av de opprinnelige fem tallene.

Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Finne det minste felles multiplum av negative tall

For å finne det minste felles multiplum negative tall, må disse tallene først erstattes med tall med motsatt fortegn, og deretter må beregningene utføres ved hjelp av algoritmene ovenfor.

Eksempel 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) og LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Slike handlinger er tillatt på grunn av det faktum at hvis vi aksepterer det en Og − a– motsatte tall,
deretter settet med multipler av et tall en samsvarer med settet med multipler av et tall − a.

Eksempel 10

Det er nødvendig å beregne LCM for negative tall − 145 Og − 45 .

Løsning

La oss bytte ut tallene − 145 Og − 45 til deres motsatte tall 145 Og 45 . Nå, ved hjelp av algoritmen, beregner vi LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, etter å ha bestemt GCD tidligere ved å bruke den euklidiske algoritmen.

Vi får at LCM for tallene er − 145 og − 45 er lik 1 305 .

Svar: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

For å forstå hvordan du beregner LCM, må du først bestemme betydningen av begrepet "flere".

Et multiplum av A er et naturlig tall som er delelig med A uten rest. Dermed kan tall som er multipler av 5 betraktes som 15, 20, 25, og så videre.

Det kan være et begrenset antall divisorer av et bestemt tall, men det er et uendelig antall multipler.

Et felles multiplum av naturlige tall er et tall som er delelig med dem uten å etterlate en rest.

Hvordan finne det minste felles multiplum av tall

Det minste felles multiplum (LCM) av tall (to, tre eller flere) er det minste naturlige tallet som er delelig med alle disse tallene.

For å finne LOC kan du bruke flere metoder.

For små tall er det praktisk å skrive ned alle multiplene av disse tallene på en linje til du finner noe felles blant dem. Multipler er merket med stor bokstav K.

For eksempel kan multipler av 4 skrives slik:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dermed kan du se at det minste felles multiplum av tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notasjonen gjøres som følger:

LCM(4; 6) = 24

Hvis tallene er store, finn felles multiplum av tre eller flere tall, så er det bedre å bruke en annen metode for å beregne LCM.

For å fullføre oppgaven må du faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.

Først må du skrive ned dekomponeringen av det største tallet på en linje, og under det - resten.

Dekomponeringen av hvert tall kan inneholde et annet antall faktorer.

La oss for eksempel faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.

I utvidelsen av det mindre tallet bør du markere faktorene som mangler i utvidelsen av det første største tallet, og deretter legge dem til det. I eksemplet som presenteres mangler en to.

Nå kan du beregne det minste felles multiplum av 20 og 50.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dermed vil produktet av primfaktorene til det større tallet og faktorene til det andre tallet som ikke var inkludert i utvidelsen av det større tallet være det minste felles multiplum.

For å finne LCM for tre eller flere tall, bør du faktorisere dem alle i primfaktorer, som i forrige tilfelle.

Som et eksempel kan du finne det minste felles multiplum av tallene 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dermed ble bare to toere fra utvidelsen av seksten ikke inkludert i faktoriseringen av et større tall (en er i utvidelsen av tjuefire).

Dermed må de legges til utvidelsen av et større antall.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Det er spesielle tilfeller for å bestemme minste felles multiplum. Så hvis ett av tallene kan deles uten en rest med et annet, vil det største av disse tallene være det minste felles multiplum.

For eksempel er LCM for tolv og tjuefire tjuefire.

Hvis det er nødvendig å finne det minste felles multiplum av coprimtall som ikke har identiske divisorer, vil deres LCM være lik deres produkt.

For eksempel, LCM (10, 11) = 110.

La oss se på tre måter å finne det minste felles multiplum.

Finne ved faktorisering

Den første metoden er å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere de gitte tallene i primfaktorer.

La oss si at vi må finne LCM for tallene: 99, 30 og 28. For å gjøre dette, la oss faktorere hvert av disse tallene inn i primfaktorer:

For at ønsket tall skal være delelig med 99, 30 og 28, er det nødvendig og tilstrekkelig at det inkluderer alle primfaktorene til disse divisorene. For å gjøre dette må vi ta alle primfaktorene til disse tallene til størst mulig kraft og multiplisere dem sammen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dermed er LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ingen andre tall mindre enn 13 860 er delbare med 99, 30 eller 28.

For å finne det minste felles multiplumet av gitte tall, tar du dem inn i deres primfaktorer, tar deretter hver primfaktor med den største eksponenten den vises i, og multipliserer disse faktorene sammen.

Siden relativt primtall ikke har felles primtall, er deres minste felles multiplum lik produktet av disse tallene. For eksempel er tre tall: 20, 49 og 33 relativt primtall. Derfor

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Det samme må gjøres når man finner det minste felles multiplum av forskjellige primtall. For eksempel, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Finne etter utvalg

Den andre metoden er å finne det minste felles multiplum ved seleksjon.

Eksempel 1. Når det største av gitte tall deles på et annet gitt tall, er LCM for disse tallene lik det største av dem. For eksempel gitt fire tall: 60, 30, 10 og 6. Hver av dem er delelig med 60, derfor:

LCM(60; 30; 10; 6) = 60

I andre tilfeller, for å finne det minste felles multiplum, brukes følgende prosedyre:

1. Bestem det største tallet fra de gitte tallene.
2. Deretter finner vi tallene som er multipler av det største tallet ved å multiplisere det med heltall i stigende rekkefølge og sjekke om de resterende tallene er delbare med det resulterende produktet.

Eksempel 2. Gitt tre tall 24, 3 og 18. Vi bestemmer det største av dem - dette er tallet 24. Deretter finner vi tallene som er multipler av 24, og sjekker om hver av dem er delelig med 18 og 3:

24 · 1 = 24 - delelig med 3, men ikke delelig med 18.

24 · 2 = 48 - delelig med 3, men ikke delelig med 18.

24 · 3 = 72 - delelig med 3 og 18.

Dermed er LCM (24, 3, 18) = 72.

Finne ved å finne LCM sekvensielt

Den tredje metoden er å finne det minste felles multiplum ved å finne LCM sekvensielt.

LCM for to gitte tall er lik produktet av disse tallene delt på deres største felles divisor.

Eksempel 1. Finn LCM for to gitte tall: 12 og 8. Bestem deres største felles divisor: GCD (12, 8) = 4. Multipliser disse tallene:

Vi deler produktet med deres gcd:

Dermed er LCM (12, 8) = 24.

For å finne LCM for tre eller flere tall, bruk følgende prosedyre:

1. Finn først LCM for to av disse tallene.
2. Deretter LCM av det minste felles multiplumet som ble funnet og det tredje gitte tallet.
3. Deretter LCM for det resulterende minste felles multiplum og det fjerde tallet osv.
4. Dermed fortsetter letingen etter LCM så lenge det finnes tall.

Eksempel 2. La oss finne LCM for tre gitte tall: 12, 8 og 9. Vi fant allerede LCM for tallene 12 og 8 i forrige eksempel (dette er tallet 24). Det gjenstår å finne det minste felles multiplum av tallet 24 og det tredje gitte tallet - 9. Bestem deres største felles divisor: GCD (24, 9) = 3. Multipliser LCM med tallet 9:

Vi deler produktet med deres gcd:

Dermed er LCM (12, 8, 9) = 72.

Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Det minste felles multiplum (LCM) av en gruppe tall er det minste tallet som er delelig med hvert tall i gruppen uten å etterlate en rest. For å finne det minste felles multiplum må du finne primfaktorene til gitte tall. LCM kan også beregnes ved å bruke en rekke andre metoder som gjelder grupper på to eller flere tall.

Trinn

Serie med multipler

Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, brukes best når det gis to tall, som hver er mindre enn 10. Hvis det er gitt større tall, bruk en annen metode.

• Finn for eksempel det minste felles multiplum av 5 og 8. Dette er små tall, så du kan bruke denne metoden.

1. Et multiplum er et tall som er delelig med et gitt tall uten en rest. Multipler kan finnes i multiplikasjonstabellen.

   • For eksempel er tall som er multipler av 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv ned en rekke tall som er multipler av det første tallet. Gjør dette under multipler av det første tallet for å sammenligne to sett med tall.

   • For eksempel er tall som er multipler av 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Finn det minste tallet som finnes i begge sett med multipler. Du må kanskje skrive lange serier med multipler for å finne det totale antallet. Det minste tallet som finnes i begge sett med multipler er det minste felles multiplum.

   • For eksempel er det minste tallet som vises i rekken av multipler av 5 og 8 tallet 40. Derfor er 40 det minste felles multiplum av 5 og 8.

   primtallsfaktorisering

   1. Se på disse tallene. Metoden som er beskrevet her, er best brukt når det gis to tall, som hver er større enn 10. Hvis mindre tall er gitt, bruk en annen metode.

      • Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 20 og 84. Hvert av tallene er større enn 10, så du kan bruke denne metoden.

   2. Faktor inn i hovedfaktorer første nummer. Det vil si at du må finne slike primtall som, når de multipliseres, vil resultere i et gitt tall. Når du har funnet hovedfaktorene, skriv dem som likheter.

      Faktor det andre tallet inn i primfaktorer. Gjør dette på samme måte som du faktoriserte det første tallet, det vil si finn slike primtall som, når de multipliseres, vil gi det gitte tallet.

      Skriv ned faktorene som er felles for begge tallene. Skriv slike faktorer som en multiplikasjonsoperasjon. Når du skriver hver faktor, krysser du den ut i begge uttrykkene (uttrykk som beskriver faktoriseringen av tall til primfaktorer).

      Legg til de resterende faktorene til multiplikasjonsoperasjonen. Dette er faktorer som ikke er krysset over i begge uttrykkene, det vil si faktorer som ikke er felles for begge tallene.

      Regn ut det minste felles multiplum. For å gjøre dette, multipliser tallene i den skriftlige multiplikasjonsoperasjonen.

   Finne felles faktorer

   Tegn et rutenett som for et spill med tic-tac-toe. Et slikt rutenett består av to parallelle linjer som skjærer (i rette vinkler) med ytterligere to parallelle linjer. Dette vil gi deg tre rader og tre kolonner (rutenettet ligner mye på #-ikonet). Skriv det første tallet i første linje og andre kolonne. Skriv det andre tallet i første rad og tredje kolonne.

   • Finn for eksempel det minste felles multiplum av tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første rad og andre kolonne, og skriv tallet 30 i første rad og tredje kolonne.

   1. Finn deleren som er felles for begge tallene. Skriv det ned i første rad og første kolonne. Det er bedre å se etter hovedfaktorer, men dette er ikke et krav.

      • For eksempel er 18 og 30 partall, så deres felles faktor er 2. Så skriv 2 i første rad og første kolonne.

   2. Del hvert tall med den første deleren. Skriv hver kvotient under riktig tall. En kvotient er resultatet av å dele to tall.

      Finn deleren som er felles for begge kvotientene. Hvis det ikke finnes en slik divisor, hopper du over de to neste trinnene. Ellers skriver du divisor i andre rad og første kolonne.

      • For eksempel er 9 og 15 delbare med 3, så skriv 3 i andre rad og første kolonne.

   3. Del hver kvotient med dens andre deler. Skriv hvert divisjonsresultat under den tilsvarende kvotienten.

      Om nødvendig, legg til flere celler i rutenettet. Gjenta de beskrevne trinnene til kvotientene har en felles divisor.

      Sett ring rundt tallene i den første kolonnen og siste raden i rutenettet. Skriv deretter de valgte tallene som en multiplikasjonsoperasjon.

   Euklids algoritme

   Husk terminologien knyttet til divisjonsoperasjonen. Utbyttet er tallet som deles. Divisor er tallet som deles på. En kvotient er resultatet av å dele to tall. En rest er tallet som er igjen når to tall deles.

   Skriv ned et uttrykk som beskriver operasjonen av divisjon med en rest. Uttrykk: utbytte = divisor × kvotient + resten (\displaystyle (\text(dividend))=(\text(divisor))\ ganger (\text(quotient))+(\text(remainder))). Dette uttrykket vil bli brukt til å skrive den euklidiske algoritmen for å finne den største felles divisor av to tall.

   Vurder det største av to tall som utbytte. Betrakt det minste av de to tallene som en divisor. For disse tallene, skriv et uttrykk som beskriver operasjonen av divisjon med en rest.

   Konverter den første divisoren til det nye utbyttet. Bruk resten som den nye divisoren. For disse tallene, skriv et uttrykk som beskriver operasjonen av divisjon med en rest.