Finne betydningen av et uttrykk: regler, eksempler, løsninger. Finne betydningen av et uttrykk: regler, eksempler, løsninger Uttrykk med røtter

Så, hvis et numerisk uttrykk består av tall og tegnene +, −, · og:, må du for fra venstre til høyre først utføre multiplikasjon og divisjon, og deretter addisjon og subtraksjon, som lar deg finne ønsket verdi av uttrykket.

La oss gi noen eksempler for klargjøring.

Eksempel.

Regn ut verdien av uttrykket 14−2·15:6−3.

Løsning.

For å finne verdien av et uttrykk, må du utføre alle handlingene som er spesifisert i det i samsvar med den aksepterte rekkefølgen for å utføre disse handlingene. Først, i rekkefølge fra venstre til høyre, utfører vi multiplikasjon og divisjon, vi får 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nå utfører vi også de resterende handlingene i rekkefølge fra venstre til høyre: 14−5−3=9−3=6. Dette er hvordan vi fant verdien av det opprinnelige uttrykket, det er lik 6.

Svar:

14−2·15:6−3=6.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket.

Løsning.

I dette eksemplet må vi først gjøre multiplikasjonen 2·(−7) og divisjonen med multiplikasjonen i uttrykket . Når vi husker hvordan , finner vi 2·(−7)=−14. Og å utføre handlingene i uttrykket først , deretter , og utfør: .

Vi erstatter de oppnådde verdiene med det opprinnelige uttrykket: .

Men hva om det er et numerisk uttrykk under rottegnet? For å oppnå verdien av en slik rot, må du først finne verdien av det radikale uttrykket, følge den aksepterte rekkefølgen for å utføre handlinger. For eksempel, .

I numeriske uttrykk skal røtter oppfattes som noen tall, og det er tilrådelig å umiddelbart erstatte røttene med verdiene deres, og deretter finne verdien av det resulterende uttrykket uten røtter, utføre handlinger i den aksepterte sekvensen.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket med røtter.

Løsning.

La oss først finne verdien av roten . For å gjøre dette beregner vi først verdien av det radikale uttrykket vi har −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Og for det andre finner vi verdien av roten.

La oss nå beregne verdien av den andre roten fra det opprinnelige uttrykket: .

Til slutt kan vi finne betydningen av det opprinnelige uttrykket ved å erstatte røttene med deres verdier: .

Svar:

Ganske ofte, for å finne betydningen av et uttrykk med røtter, er det først nødvendig å transformere det. La oss vise løsningen av eksempelet.

Eksempel.

Hva er meningen med uttrykket .

Løsning.

Vi er ikke i stand til å erstatte roten av tre med dens eksakte verdi, som ikke tillater oss å beregne verdien av dette uttrykket på måten beskrevet ovenfor. Imidlertid kan vi beregne verdien av dette uttrykket ved å utføre enkle transformasjoner. Aktuelt kvadratforskjellsformel: . Tar vi i betraktning, får vi . Dermed er verdien av det opprinnelige uttrykket 1.

Svar:

Med grader

Hvis grunntallet og eksponenten er tall, beregnes verdien ved å bestemme graden, for eksempel 3 2 =3·3=9 eller 8 −1 =1/8. Det er også oppføringer der grunntall og/eller eksponent er noen uttrykk. I disse tilfellene må du finne verdien av uttrykket i basen, verdien av uttrykket i eksponenten, og deretter beregne verdien av selve graden.

Eksempel.

Finn verdien av et uttrykk med formkrefter 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Løsning.

I det opprinnelige uttrykket er det to potenser 2 3·4−10 og (1−1/2) 3,5−2·1/4. Verdiene deres må beregnes før andre handlinger utføres.

La oss starte med potensen 2 3·4−10. Indikatoren inneholder et numerisk uttrykk, la oss beregne verdien: 3·4−10=12−10=2. Nå kan du finne verdien av selve graden: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Grunnlaget og eksponenten (1−1/2) 3,5−2 1/4 inneholder uttrykk; vi beregner verdiene deres for å finne verdien til eksponenten. Vi har (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nå går vi tilbake til det opprinnelige uttrykket, erstatter gradene i det med verdiene deres, og finner verdien av uttrykket vi trenger: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Svar:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Det er verdt å merke seg at det er mer vanlige tilfeller når det er tilrådelig å gjennomføre en foreløpig forenkling av uttrykk med krefter på basen.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket .

Løsning.

Ut fra eksponentene i dette uttrykket vil det ikke være mulig å få eksakte verdier av eksponentene. La oss prøve å forenkle det originale uttrykket, kanskje dette vil hjelpe med å finne betydningen. Vi har

Svar:

Potenser i uttrykk går ofte hånd i hånd med logaritmer, men vi vil snakke om å finne betydningen av uttrykk med logaritmer i en av.

Finne verdien av et uttrykk med brøker

Numeriske uttrykk kan inneholde brøker i notasjonen. Når du trenger å finne betydningen av et uttrykk som dette, bør andre brøker enn brøker erstattes med verdiene før du fortsetter med resten av trinnene.

Telleren og nevneren for brøker (som er forskjellige fra vanlige brøker) kan inneholde både noen tall og uttrykk. For å beregne verdien av en slik brøk, må du beregne verdien av uttrykket i telleren, beregne verdien av uttrykket i nevneren, og deretter beregne verdien av selve brøken. Denne rekkefølgen forklares ved at brøkdelen a/b, hvor a og b er noen uttrykk, i hovedsak representerer en kvotient av formen (a):(b), siden .

La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Finn betydningen av et uttrykk med brøker .

Løsning.

Det er tre brøker i det opprinnelige numeriske uttrykket Og . For å finne verdien av det opprinnelige uttrykket, må vi først erstatte disse brøkene med verdiene deres. La oss gjøre det.

Telleren og nevneren til en brøk inneholder tall. For å finne verdien av en slik brøk, bytt ut brøkstreken med et divisjonstegn og utfør denne handlingen: .

I telleren av brøken er det et uttrykk 7−2·3, verdien er lett å finne: 7−2·3=7−6=1. Dermed, . Du kan fortsette å finne verdien av den tredje brøken.

Den tredje brøken i telleren og nevneren inneholder numeriske uttrykk, derfor må du først beregne verdiene deres, og dette vil tillate deg å finne verdien av selve brøken. Vi har .

Det gjenstår å erstatte de funnet verdiene i det opprinnelige uttrykket og utføre de resterende handlingene: .

Svar:

Ofte, når du finner verdiene til uttrykk med brøker, må du utføre forenkling av brøkuttrykk, basert på å utføre operasjoner med brøker og redusere brøker.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket .

Løsning.

Roten av fem kan ikke trekkes ut fullstendig, så for å finne verdien av det opprinnelige uttrykket, la oss først forenkle det. For dette la oss bli kvitt irrasjonalitet i nevneren første brøk: . Etter dette vil det opprinnelige uttrykket ha formen . Etter å ha trukket fra brøkene, vil røttene forsvinne, noe som vil tillate oss å finne verdien i utgangspunktet for gitt uttrykk: .

Svar:

Med logaritmer

Hvis et numerisk uttrykk inneholder , og hvis det er mulig å bli kvitt dem, så gjøres dette før du utfører andre handlinger. For eksempel, når du finner verdien av uttrykket log 2 4+2·3, erstattes logaritmen log 2 4 med dens verdi 2, hvoretter de resterende handlingene utføres i vanlig rekkefølge, det vil si log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Når det er numeriske uttrykk under tegnet til logaritmen og/eller ved basen, blir verdiene deres først funnet, hvoretter verdien av logaritmen beregnes. Tenk for eksempel på et uttrykk med en logaritme av formen . Ved bunnen av logaritmen og under dens fortegn er det numeriske uttrykk; vi finner verdiene deres: . Nå finner vi logaritmen, hvoretter vi fullfører beregningene: .

Hvis logaritmer ikke beregnes nøyaktig, så foreløpig forenkling av det ved å bruke . I dette tilfellet må du ha god beherskelse av artikkelmaterialet konvertering av logaritmiske uttrykk.

Eksempel.

Finn verdien av et uttrykk med logaritmer .

Løsning.

La oss starte med å beregne log 2 (log 2 256) . Siden 256=2 8, så log 2 256=8, derfor, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmene log 6 2 og log 6 3 kan grupperes. Summen av logaritmene log 6 2+log 6 3 er lik logaritmen til produktloggen 6 (2 3), således, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

La oss nå se på brøken. Til å begynne med vil vi omskrive basen til logaritmen i nevneren i form av en vanlig brøk som 1/5, hvoretter vi vil bruke egenskapene til logaritmene, som vil tillate oss å få verdien av brøken:
.

Alt som gjenstår er å erstatte de oppnådde resultatene med det originale uttrykket og fullføre å finne verdien:

Svar:

Hvordan finne verdien av et trigonometrisk uttrykk?

Når et numerisk uttrykk inneholder eller osv., beregnes verdiene deres før andre handlinger utføres. Hvis det er numeriske uttrykk under tegnet til trigonometriske funksjoner, beregnes først verdiene deres, hvoretter verdiene til trigonometriske funksjoner blir funnet.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket .

Løsning.

Når vi vender oss til artikkelen, får vi og cosπ=−1 . Vi erstatter disse verdiene med det opprinnelige uttrykket, det tar formen . For å finne verdien må du først utføre eksponentiering, og deretter fullføre beregningene: .

Svar:

Det er verdt å merke seg at å beregne verdiene til uttrykk med sinus, cosinus, etc. krever ofte forutgående konvertere et trigonometrisk uttrykk.

Eksempel.

Hva er verdien av det trigonometriske uttrykket .

Løsning.

La oss transformere det opprinnelige uttrykket ved å bruke , til i dette tilfellet vi trenger dobbel vinkel cosinus formel og sum cosinus formel:

Transformasjonene vi gjorde hjalp oss med å finne meningen med uttrykket.

Svar:

Generell sak

Generelt kan et numerisk uttrykk inneholde røtter, potenser, brøker, noen funksjoner og parenteser. Å finne verdiene til slike uttrykk består av å utføre følgende handlinger:

første røtter, potenser, brøker osv. erstattes av deres verdier,
ytterligere handlinger i parentes,
og i rekkefølge fra venstre til høyre utføres de resterende operasjonene - multiplikasjon og divisjon, etterfulgt av addisjon og subtraksjon.

De oppførte handlingene utføres til det endelige resultatet er oppnådd.

Eksempel.

Finn betydningen av uttrykket .

Løsning.

Formen på dette uttrykket er ganske kompleks. I dette uttrykket ser vi brøker, røtter, potenser, sinus og logaritmer. Hvordan finne dens verdi?

Når vi beveger oss gjennom posten fra venstre til høyre, kommer vi over en brøkdel av skjemaet . Det vet vi når vi jobber med brøker kompleks type, må vi separat beregne verdien av telleren, separat nevneren, og til slutt finne verdien av brøken.

I telleren har vi roten til formen . For å bestemme verdien, må du først beregne verdien av det radikale uttrykket . Det er en sinus her. Vi kan finne verdien først etter å ha beregnet verdien av uttrykket . Dette kan vi gjøre: . Så hvor og fra .

Nevneren er enkel: .

Dermed, .

Etter å ha erstattet dette resultatet med det opprinnelige uttrykket, vil det ha formen . Det resulterende uttrykket inneholder graden . For å finne verdien av den, må vi først finne verdien av indikatoren, det har vi .

Så, .

Svar:

Hvis det ikke er mulig å beregne de nøyaktige verdiene av røtter, potenser, etc., kan du prøve å bli kvitt dem ved å bruke noen transformasjoner, og deretter gå tilbake til å beregne verdien i henhold til det spesifiserte skjemaet.

Rasjonelle måter å beregne verdiene til uttrykk

Å beregne verdiene til numeriske uttrykk krever konsistens og nøyaktighet. Ja, det er nødvendig å følge sekvensen av handlinger registrert i de foregående avsnittene, men det er ikke nødvendig å gjøre dette blindt og mekanisk. Det vi mener med dette er at det ofte er mulig å rasjonalisere prosessen med å finne meningen med et uttrykk. For eksempel kan visse egenskaper ved operasjoner med tall betydelig øke hastigheten og forenkle å finne verdien av et uttrykk.

For eksempel kjenner vi denne egenskapen til multiplikasjon: hvis en av faktorene i produktet er lik null, så er verdien av produktet lik null. Ved å bruke denne egenskapen kan vi umiddelbart si at verdien av uttrykket 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) er lik null. Hvis vi fulgte standard rekkefølge av operasjoner, ville vi først måtte beregne verdiene til de tungvinte uttrykkene i parentes, noe som ville ta mye tid, og resultatet ville fortsatt være null.

Det er også praktisk å bruke egenskapen å trekke fra like tall: hvis du trekker et likt tall fra et tall, er resultatet null. Denne egenskapen kan betraktes bredere: forskjellen mellom to identiske numeriske uttrykk er null. For eksempel, uten å beregne verdien av uttrykkene i parentes, kan du finne verdien til uttrykket (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), er det lik null, siden det opprinnelige uttrykket er forskjellen mellom identiske uttrykk.

Identitetstransformasjoner kan lette rasjonell beregning av uttrykksverdier. For eksempel kan gruppering av termer og faktorer være nyttig; å sette fellesfaktoren utenfor parentes brukes ikke mindre ofte. Så verdien av uttrykket 53·5+53·7−53·11+5 er veldig lett å finne etter å ha tatt faktoren 53 ut av parentes: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Direkte beregninger vil ta mye lengre tid.

For å konkludere med dette punktet, la oss ta hensyn til en rasjonell tilnærming til å beregne verdiene til uttrykk med brøker - identiske faktorer i telleren og nevneren til brøken blir kansellert. For eksempel å redusere de samme uttrykkene i telleren og nevneren til en brøk lar deg umiddelbart finne verdien, som er lik 1/2.

Finne verdien av et bokstavelig uttrykk og et uttrykk med variabler

Verdien av et bokstavelig uttrykk og et uttrykk med variabler finnes for spesifikke gitte verdier av bokstaver og variabler. Det vil si at vi snakker om å finne verdien av et bokstavelig uttrykk for gitte bokstavverdier, eller om å finne verdien til et uttrykk med variabler for utvalgte variabelverdier.

Regelå finne verdien av et bokstavelig uttrykk eller et uttrykk med variabler for gitte verdier av bokstaver eller utvalgte verdier av variabler er som følger: du må erstatte de gitte verdiene av bokstaver eller variabler i det opprinnelige uttrykket, og beregne verdien av det resulterende numeriske uttrykket; det er den ønskede verdien.

Eksempel.

Regn ut verdien av uttrykket 0,5·x−y ved x=2,4 og y=5.

Løsning.

For å finne den nødvendige verdien til uttrykket, må du først erstatte de gitte verdiene til variablene i det opprinnelige uttrykket, og deretter utføre følgende trinn: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Svar:

−3,8 .

Som en siste merknad, noen ganger vil konverteringer på bokstavelige og variable uttrykk gi verdiene deres, uavhengig av verdiene til bokstavene og variablene. For eksempel kan uttrykket x+3−x forenkles, hvoretter det vil ha formen 3. Fra dette kan vi konkludere med at verdien av uttrykket x+3−x er lik 3 for alle verdier av variabelen x fra dens rekkevidde av tillatte verdier (APV). Et annet eksempel: verdien av uttrykket er 1 for alle positive verdier av x, så utvalget av tillatte verdier for variabelen x i det opprinnelige uttrykket er settet positive tall, og likestilling gjelder i denne regionen.

Bibliografi.

Matematikk: lærebok for 5. klasse. allmennutdanning institusjoner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematikk. 6. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ya. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lærebok for 7. klasse allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.

I 7. klasse algebrakurs tok vi for oss transformasjoner av heltallsuttrykk, det vil si uttrykk bygd opp av tall og variabler ved bruk av operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, samt divisjon med et annet tall enn null. Så uttrykkene er heltall

I motsetning til uttrykkene

i tillegg til handlingene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, inneholder de inndeling i uttrykk med variabler. Slike uttrykk kalles brøkuttrykk.

Heltalls- og brøkuttrykk kalles rasjonelle uttrykk.

Et helt uttrykk gir mening for alle verdier av variablene som er inkludert i det, siden for å finne verdien til et helt uttrykk må du utføre handlinger som alltid er mulige.

Et brøkuttrykk gir kanskje ikke mening for enkelte variabelverdier. For eksempel gir uttrykket - ikke mening når a = 0. For alle andre verdier av a gir dette uttrykket mening. Uttrykket gir mening for de verdiene av x og y når x ≠ y.

Verdiene til variablene som uttrykket gir mening kalles gyldige verdier for variablene.

Et uttrykk for formen er kjent som en brøk.

En brøk hvis teller og nevner er polynomer kalles en rasjonell brøk.

Eksempler på rasjonelle brøker er brøkene

I en rasjonell brøk er akseptable verdier av variablene de som nevneren til brøken ikke forsvinner for.

Eksempel 1. La oss finne de akseptable verdiene til variabelen i brøken

Løsning For å finne ved hvilke verdier av a nevneren til brøken blir null, må du løse ligningen a(a - 9) = 0. Denne ligningen har to røtter: 0 og 9. Derfor er alle tall unntatt 0 og 9 er gyldige verdier for variabelen a.

Eksempel 2. Ved hvilken verdi av x er verdien av brøken lik null?

Løsning En brøk er null hvis og bare hvis a - 0 og b ≠ 0.

Denne artikkelen diskuterer hvordan du finner verdiene til matematiske uttrykk. La oss starte med enkle numeriske uttrykk og deretter vurdere tilfeller etter hvert som kompleksiteten deres øker. Til slutt presenterer vi et uttrykk som inneholder bokstavsymboler, parenteser, røtter, spesielle matematiske symboler, grader, funksjoner osv. Tradisjonen tro vil vi gi hele teorien rikelige og detaljerte eksempler.

Hvordan finne verdien av et numerisk uttrykk?

Numeriske uttrykk er blant annet med på å beskrive tilstanden til en oppgave i matematisk språk. Generelt kan matematiske uttrykk enten være veldig enkle, bestående av et par tall og aritmetiske symboler, eller svært komplekse, inneholde funksjoner, potenser, røtter, parenteser osv. Som en del av en oppgave er det ofte nødvendig å finne betydningen av et bestemt uttrykk. Hvordan du gjør dette vil bli diskutert nedenfor.

De enkleste tilfellene

Dette er tilfeller der uttrykket ikke inneholder annet enn tall og aritmetiske operasjoner. For å lykkes med å finne verdiene til slike uttrykk, trenger du kunnskap om rekkefølgen for å utføre aritmetiske operasjoner uten parentes, samt evnen til å utføre operasjoner med forskjellige tall.

Hvis uttrykket bare inneholder tall og regnetegn " + " , " · " , " - " , " ÷ " , så utføres handlingene fra venstre mot høyre i følgende rekkefølge: først multiplikasjon og divisjon, deretter addisjon og subtraksjon. La oss gi eksempler.

Eksempel 1: Verdien av et numerisk uttrykk

La deg finne verdiene til uttrykket 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

La oss gjøre multiplikasjon og divisjon først. Vi får:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Nå utfører vi subtraksjonen og får det endelige resultatet:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Eksempel 2: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss regne ut: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Først utfører vi brøkkonvertering, divisjon og multiplikasjon:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

La oss nå legge til og subtraksjon. La oss gruppere brøkene og bringe dem til en fellesnevner:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Den nødvendige verdien er funnet.

Uttrykk med parentes

Hvis et uttrykk inneholder parenteser, definerer de rekkefølgen av operasjoner i det uttrykket. Handlingene i parentes utføres først, og deretter alle de andre. La oss vise dette med et eksempel.

Eksempel 3: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss finne verdien av uttrykket 0,5 · (0,76 - 0,06).

Uttrykket inneholder parenteser, så vi utfører først subtraksjonsoperasjonen i parentes, og først deretter multiplikasjonen.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Betydningen av uttrykk som inneholder parentes innenfor parentes finnes etter samme prinsipp.

Eksempel 4: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss beregne verdien 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Vi vil utføre handlinger som starter fra de innerste parentesene, og flytter til de ytre.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Når du finner betydningen av uttrykk med parentes, er det viktigste å følge handlingssekvensen.

Uttrykk med røtter

Matematiske uttrykk hvis verdier vi trenger å finne, kan inneholde rottegn. Dessuten kan selve uttrykket være under rottegnet. Hva skal man gjøre i dette tilfellet? Først må du finne verdien av uttrykket under roten, og deretter trekke ut roten fra tallet oppnådd som et resultat. Hvis mulig, er det bedre å kvitte seg med røtter i numeriske uttrykk, erstatte fra med numeriske verdier.

Eksempel 5: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss beregne verdien av uttrykket med røtter - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Først beregner vi de radikale uttrykkene.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nå kan du beregne verdien av hele uttrykket.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Ofte krever det å finne betydningen av et uttrykk med røtter først å transformere det opprinnelige uttrykket. La oss forklare dette med ett eksempel til.

Eksempel 6: Verdien av et numerisk uttrykk

Hva er 3 + 1 3 - 1 - 1

Som du kan se, har vi ikke mulighet til å erstatte roten med en eksakt verdi, noe som kompliserer telleprosessen. Men i dette tilfellet kan du bruke den forkortede multiplikasjonsformelen.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Dermed:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Uttrykk med krefter

Hvis et uttrykk inneholder potenser, må verdiene deres beregnes før du fortsetter med alle andre handlinger. Det hender at eksponenten eller grunnlaget for selve graden er uttrykk. I dette tilfellet beregnes først verdien av disse uttrykkene, og deretter verdien av graden.

Eksempel 7: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss finne verdien av uttrykket 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

La oss begynne å beregne i rekkefølge.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Alt som gjenstår er å utføre tilleggsoperasjonen og finne ut betydningen av uttrykket:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Det er også ofte lurt å forenkle et uttrykk ved å bruke egenskapene til en grad.

Eksempel 8: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss beregne verdien av følgende uttrykk: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponentene er igjen slik at deres eksakte numeriske verdier ikke kan oppnås. La oss forenkle det opprinnelige uttrykket for å finne verdien.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Uttrykk med brøker

Hvis et uttrykk inneholder brøker, må alle brøker i det ved beregning av et slikt uttrykk representeres som vanlige brøker og deres verdier beregnes.

Hvis telleren og nevneren til en brøk inneholder uttrykk, beregnes først verdiene til disse uttrykkene, og den endelige verdien av selve brøken skrives ned. Aritmetiske operasjoner utføres i standard rekkefølge. La oss se på eksempelløsningen.

Eksempel 9: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss finne verdien av uttrykket som inneholder brøker: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Som du kan se, er det tre brøker i det opprinnelige uttrykket. La oss først beregne verdiene deres.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

La oss omskrive uttrykket vårt og beregne verdien:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Ofte når man finner betydningen av uttrykk, er det praktisk å redusere brøker. Det er en uuttalt regel: før du finner verdien, er det best å forenkle ethvert uttrykk til det maksimale, og redusere alle beregninger til de enkleste tilfellene.

Eksempel 10: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss beregne uttrykket 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Vi kan ikke helt trekke ut roten av fem, men vi kan forenkle det opprinnelige uttrykket gjennom transformasjoner.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Det opprinnelige uttrykket har formen:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

La oss beregne verdien av dette uttrykket:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Uttrykk med logaritmer

Når logaritmer er til stede i et uttrykk, beregnes verdien fra begynnelsen, hvis mulig. For eksempel, i uttrykket log 2 4 + 2 · 4, kan du umiddelbart skrive ned verdien av denne logaritmen i stedet for log 2 4, og deretter utføre alle handlingene. Vi får: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Talluttrykk kan også finnes under selve logaritmetegnet og ved basen. I dette tilfellet er det første du må gjøre å finne betydningen deres. La oss ta uttrykket log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Vi har:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Hvis det er umulig å beregne den eksakte verdien av logaritmen, hjelper forenkling av uttrykket å finne verdien.

Eksempel 11: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss finne verdien av uttrykket log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Etter egenskapen til logaritmer:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Ved å bruke egenskapene til logaritmene igjen, for den siste brøken i uttrykket får vi:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Nå kan du fortsette med å beregne verdien av det opprinnelige uttrykket.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Uttrykk med trigonometriske funksjoner

Det hender at uttrykket inneholder de trigonometriske funksjonene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt deres inverse funksjoner. Verdien beregnes fra før alle andre aritmetiske operasjoner utføres. Ellers er uttrykket forenklet.

Eksempel 12: Verdien av et numerisk uttrykk

Finn verdien av uttrykket: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Først beregner vi verdiene til de trigonometriske funksjonene som er inkludert i uttrykket.

sin - 5 π 2 = - 1

Vi erstatter verdiene i uttrykket og beregner verdien:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Uttrykksverdien er funnet.

Ofte for å finne meningen med et uttrykk med trigonometriske funksjoner, må den først konverteres. La oss forklare med et eksempel.

Eksempel 13: Verdien av et numerisk uttrykk

Vi må finne verdien av uttrykket cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

For konvertering vil vi bruke trigonometriske formler cosinus av dobbeltvinkelen og cosinus av summen.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 - cos 1 π 1-1 = 0.

Generelt tilfelle av et numerisk uttrykk

Generelt kan et trigonometrisk uttrykk inneholde alle elementene beskrevet ovenfor: parenteser, potenser, røtter, logaritmer, funksjoner. La oss formulere generell regel finne betydningen av slike uttrykk.

Hvordan finne verdien av et uttrykk

Røtter, potenser, logaritmer osv. erstattes av deres verdier.
Handlingene i parentes utføres.
De resterende handlingene utføres i rekkefølge fra venstre mot høyre. Først - multiplikasjon og divisjon, deretter - addisjon og subtraksjon.

La oss se på et eksempel.

Eksempel 14: Verdien av et numerisk uttrykk

La oss beregne verdien av uttrykket - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Uttrykket er ganske komplekst og tungvint. Det var ikke tilfeldig at vi valgte akkurat et slikt eksempel, etter å ha prøvd å passe inn i det alle tilfellene beskrevet ovenfor. Hvordan finne betydningen av et slikt uttrykk?

Det er kjent at når man beregner verdien av en kompleks brøkform, blir verdiene til telleren og nevneren til brøken først funnet hver for seg. Vi vil sekvensielt transformere og forenkle dette uttrykket.

Først av alt, la oss beregne verdien av det radikale uttrykket 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. For å gjøre dette må du finne verdien av sinusen og uttrykket som er argumentet til den trigonometriske funksjonen.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nå kan du finne ut verdien av sinusen:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Vi beregner verdien av det radikale uttrykket:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Med nevneren til brøken er alt enklere:

Nå kan vi skrive verdien av hele brøken:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Med dette i betraktning skriver vi hele uttrykket:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endelig resultat:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

I dette tilfellet var vi i stand til å beregne de nøyaktige verdiene av røtter, logaritmer, sinus, etc. Hvis dette ikke er mulig, kan du prøve å bli kvitt dem gjennom matematiske transformasjoner.

Beregning av uttrykksverdier ved hjelp av rasjonelle metoder

Numeriske verdier må beregnes konsekvent og nøyaktig. Denne prosessen kan rasjonaliseres og akselereres ved hjelp av ulike egenskaper ved operasjoner med tall. For eksempel er det kjent at et produkt er lik null hvis minst én av faktorene er lik null. Tar vi denne egenskapen i betraktning, kan vi umiddelbart si at uttrykket 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 er lik null. Samtidig er det slett ikke nødvendig å utføre handlingene i rekkefølgen beskrevet i artikkelen ovenfor.

Det er også praktisk å bruke egenskapen å trekke fra like tall. Uten å utføre noen handlinger kan du bestille at verdien av uttrykket 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 også er null.

En annen teknikk for å fremskynde prosessen er bruken av identitetstransformasjoner som å gruppere termer og faktorer og plassere fellesfaktoren utenfor parentes. En rasjonell tilnærming til å beregne uttrykk med brøk er å redusere de samme uttrykkene i telleren og nevneren.

Ta for eksempel uttrykket 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Uten å utføre operasjonene i parentes, men ved å redusere brøken, kan vi si at verdien av uttrykket er 1 3 .

Finne verdiene til uttrykk med variabler

Verdien av et bokstavelig uttrykk og et uttrykk med variabler finnes for spesifikke gitte verdier av bokstaver og variabler.

Finne verdiene til uttrykk med variabler

For å finne verdien av et bokstavelig uttrykk og et uttrykk med variabler, må du erstatte de gitte verdiene av bokstaver og variabler i det opprinnelige uttrykket, og deretter beregne verdien av det resulterende numeriske uttrykket.

Eksempel 15: Verdien av et uttrykk med variabler

Regn ut verdien av uttrykket 0, 5 x - y gitt x = 2, 4 og y = 5.

Vi erstatter verdiene til variablene i uttrykket og beregner:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Noen ganger kan du transformere et uttrykk slik at du får verdien uavhengig av verdiene til bokstavene og variablene som er inkludert i det. For å gjøre dette, må du bli kvitt bokstaver og variabler i uttrykket, hvis mulig, ved å bruke identiske transformasjoner, egenskaper til aritmetiske operasjoner og alle mulige andre metoder.

For eksempel har uttrykket x + 3 - x åpenbart verdien 3, og for å beregne denne verdien er det ikke nødvendig å vite verdien av variabelen x. Verdien til dette uttrykket er lik tre for alle verdiene til variabelen x fra dens rekkevidde av tillatte verdier.

Et eksempel til. Verdien av uttrykket x x er lik én for alle positive x-er.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter