De mest kjente tallsystemene. Tallsystemer. Ikke-posisjonelle tallsystemer. Alfabetiske tallsystemer

Alt avhenger av det spesifikke nummersystemet.

Desimaltallsystemet brukes åpenbart nesten overalt.

Romersk tallsystem i moderne verden brukes oftest når du vil angi et tall i rekkefølge. For eksempel betyr "10" mengde (ti stykker), og den romerske "X" betyr "tiende".

Det binære tallsystemet er det mest brukte i datamaskiner, siden ett siffer i et binært tall tilsvarer en bit - minimumsenheten for informasjon i datateknologi.

Dessuten brukes det binære tallsystemet tradisjonelt når man angir lineære dimensjoner i tommer, for eksempel 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″. Den aller første kjent bruk Det binære tallsystemet tilhører kanskje den gamle indiske matematikeren Pingala (omtrent 2.-5. århundre f.Kr.).

Det heksadesimale tallsystemet er mye brukt i programmering på lavt nivå så vel som i datadokumentasjon. I moderne datamaskiner er minimumsenheten for minne en 8-bits byte, verdiene som er praktisk skrevet i to heksadesimale sifre. Denne bruken begynte med IBM/360-systemet, hvor all dokumentasjon brukte det heksadesimale tallsystemet.

Alt er interessant med det oktale tallsystemet. Det ble brukt, for eksempel av noen amerikanske indianere, siden de mente at mengder ikke skulle telles etter antall fingre, men etter antall mellomrom mellom fingrene.

I Europa i 1716 ba kong Karl XII av Sverige Emmanuel Swedenborg om å utvikle et 64-sifret tallsystem, som Emmanuel Swedenborg bemerket at vanlige mennesker som ikke hadde så høy intelligens som kongen ville ha problemer med å forstå et tallsystem med så stort base og foreslått å bruke, derfor det oktale tallsystemet. Det ville vært interessant å vite hvorfor Karl XII valgte akkurat denne stiftelsen.

Dessuten brukes det oktale tallsystemet noen ganger på datamaskiner - tilsynelatende oftest når man bestemmer tillatelser i Unix-lignende operativsystemer. Det var en gang datamaskiner som brukte 24 og 36 bits ord. I slike datamaskiner var det veldig praktisk å bruke det oktale tallsystemet, siden alle bitene i et ord kunne representeres av et helt antall oktale sifre, og det var ikke nødvendig å alltid legge til ubetydelige nullbiter i begynnelsen. For eksempel krever et 36-bits ord nøyaktig 12 oktale sifre.

I vårt diskrete matematikkkurs studerer vi det oktale systemet fordi det er et av systemene vi kan konvertere direkte til fra det binære tallsystemet, utenom desimaltallsystemet.

Det sexagesimale tallsystemet er mye brukt for å beregne minutter og sekunder. Opprinnelsen til det sexagesimale systemet er uklart. Kanskje det er relatert til det duodesimale tallsystemet (60 = 5 × 12, hvor 5 er antall fingre på hånden). Det er også en hypotese av O. Neugebauer (1927) at etter den akkadiske erobringen av den sumeriske staten, eksisterte to pengeenheter der samtidig i lang tid: shekel (sekel) og mina, og deres forhold ble etablert som 1 mina = 60 sekel. Senere ble denne inndelingen vanlig og ga opphav til et tilsvarende system for registrering av eventuelle tall.

Er det mulig å legge til nuller til begynnelsen av et tall i det heksadesimale tallsystemet?

Alle regler for alle posisjonsnummersystemer er de samme. I desimaltallsystemet er det tillatt å legge til ubetydelige nuller i begynnelsen, og etter desimaltegnet på slutten. På samme måte kan ubetydelige nuller legges til i et hvilket som helst annet posisjonsnummersystem.

Hvilke symboler brukes til å skrive et tall i det 25-årige tallsystemet?

Det heksadesimale tallsystemet er et ganske vanlig tallsystem. Det er en standard for dette tallsystemet - tall større enn 9 er skrevet med bokstaver i det latinske alfabetet fra A til F.

Alle andre posisjonsnummersystemer med en base større enn 10 er ikke vanlige og det er ingen registreringsstandard for dem. Men analogt sett ville det være praktisk å også bruke bokstaver i det latinske alfabetet i disse tallsystemene.

Spesielt i det 25-årige tallsystemet faller de første 10 sifrene sammen med tallene i desimaltallsystemet - fra 0 til 9, og de resterende 15 er kodet med bokstaver i det latinske alfabetet fra A til O. De samme reglene gjelder andre posisjonsnummersystemer.

Men hva med et tallsystem der det ikke er nok bokstaver i det latinske alfabetet?

Det er ingen universell standard på dette området. Bortsett fra når det gjelder mer eller mindre utbredte tallsystemer.

Hvis du må operere med et slikt nummersystem, så følg enten reglene som andre har kommet opp med (hvis noen andre bruker et slikt nummersystem), eller kom med dine egne regler.

I praksis er et eksempel på et slikt tallsystem med stor base det 60-sifrede tallsystemet for å telle sekunder og minutter. Vi vet alle hvordan tid registreres. For eksempel er oppføringen "34:17", som betyr "34 minutter 17 sekunder", faktisk et tall skrevet i sexagesimal med to sifre.

Hvordan lese tall riktig i andre tallsystemer enn desimal?

Generelt finnes det ingen standard for hvordan man leser slike tall korrekt.

Strengt tatt er det ikke helt riktig å kalle 20 8 ordet "tjue", siden alle vet at "tjue" betyr "tiere", og i det oktale tallsystemet betyr ikke disse to antall tiere, men antall åtte. Dette tallet vil sannsynligvis bli korrekt lest som "to null", men dette er ikke standarden.

Når du bruker det heksadesimale tallsystemet, uttales bokstavene slik de vanligvis uttales i det latinske alfabetet: "A", "Be", "Tse", "De", "E", "Ef". Tallet 1E3.F 16 uttales vanligvis slik: "en e tre prikker ef."

Men hvis et tall bare bruker desimal, blir tallene ofte lest som om de var skrevet med desimalnotasjon. For eksempel kan "517.5 8" uttales som "fem hundre og sytten komma fem i oktal notasjon." Det ville sannsynligvis vært mer nøyaktig å si «fem hundre og sytten komma fem åttendedeler i det oktale tallsystemet», men i dette tilfellet kan noen bli forvirret om hvordan man skriver «fem åttendedeler».

Noen ganger navngis deler av et tall etter forskjellige regler. For eksempel som dette: "fem hundre og sytten komma fem i det oktale tallsystemet." Det ser heller ikke ut til å være noen standard på dette området ennå.

Jeg tror at det viktigste med å uttale tall er at andre forstår hva du mener.

Hvordan huske korrespondansetabellen mellom binære tall og oktale og heksadesimale tall?

Du kan huske denne tabellen bare med erfaring - referer til den mange ganger, og etter en stund vil du kunne den utenat.

Men du trenger ikke å huske denne tabellen! Det er så lett å fastslå korrespondansen at jeg ikke engang kan være sikker på om jeg husker denne tabellen utenat eller regner den ut hver gang? For å fastslå samsvar trenger du bare å vite noen få veldig enkle ting:

Ett heksadesimalt siffer tilsvarer 4 binære siffer, og ett oktalt siffer tilsvarer 3 binære siffer. Dette er lett å huske, siden 2 4 =16, og 2 3 =8.

Du må lære å mentalt konvertere tall fra 0 til 7 fra det oktale tallsystemet til desimaltallsystemet og omvendt. Dette er en veldig vanskelig operasjon, bare vidunderbarn kan gjøre det i tankene deres. Hvis du ikke er et vidunderbarn, kan du ganske enkelt huske at 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 og 7 er lik 7.

Du må lære å mentalt konvertere tall fra 0 til 15 fra desimaltallsystemet til heksadesimaltall. Dette er veldig enkelt, siden tallene fra 0 til 9 sammenfaller, og tallene fra 10 til 15 tilsvarer bokstavene i det latinske alfabetet fra A til F. Du kan telle hver gang i hodet ditt (10 er A, 11 er B , 12 er C og etc.)

Det vanskeligste er å lære. Men denne ferdigheten alene dekker en betydelig del av bordet.

Nå kan du enkelt konvertere et hvilket som helst tall fra 0 til 15 fra binær til desimal, og deretter til heksadesimal eller oktal. Eller du kan gjøre det motsatte.

For å konvertere tall, må du kunne gjøre lang divisjon. Hva om jeg ikke vet hvordan jeg gjør langdeling?

Det teoretiske materialet som presenteres her forutsetter at du har noen ferdigheter. Hvis du ikke allerede har disse minimumsferdighetene, er det fornuftig å først oppnå disse enkle ferdighetene for å forstå hva som er skrevet her.

For å forstå alt det teoretiske materialet som presenteres her, trenger du:

Forstå hva et tall er i prinsippet.

La oss se på et av de viktigste emnene innen informatikk -. I skolepensum det avsløres ganske "beskjedent", mest sannsynlig på grunn av mangelen på timer som er tildelt det. Kunnskap om dette emnet, spesielt om oversettelse av tallsystemer, er en forutsetning for å lykkes bestått Unified State-eksamenen og opptak til universiteter ved de aktuelle fakultetene. Nedenfor diskuterer vi i detalj begreper som posisjonelle og ikke-posisjonelle tallsystemer, eksempler på disse tallsystemene er gitt, regler for å oversette heltalls desimaltall, korrekt desimaler og blandede desimaltall til et hvilket som helst annet tallsystem, konvertering av tall fra hvilket som helst tallsystem til desimal, konvertering fra oktale og heksadesimale tallsystemer til binært tallsystem. Det er mange problemer om dette emnet i eksamener. Evnen til å løse dem er et av kravene til søkere. Kommer snart: For hvert emne i seksjonen, i tillegg til detaljert teoretisk materiale, vil nesten alle mulige alternativer bli presentert oppgaver Til selvstudium. I tillegg vil du få muligheten til å laste ned ferdige fra en filvertstjeneste helt gratis. detaljerte løsninger til disse oppgavene, illustrerende ulike måter får riktig svar.

posisjonsnummersystemer.

Ikke-posisjonelle tallsystemer- tallsystemer der den kvantitative verdien av et siffer ikke er avhengig av plasseringen i tallet.

Ikke-posisjonelle tallsystemer inkluderer for eksempel romersk, hvor det i stedet for tall er latinske bokstaver.

Jeg	1 (en)
V	5 (fem)
X	10 (ti)
L	50 (femti)
C	100 (ett hundre)
D	500 (fem hundre)
M	1000 (tusen)

Her står bokstaven V for 5 uavhengig av plasseringen. Det er imidlertid verdt å nevne at selv om det romerske tallsystemet er et klassisk eksempel på et ikke-posisjonelt tallsystem, er det ikke helt ikke-posisjonelt, fordi Det minste tallet foran det større trekkes fra det:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

posisjonsnummersystemer.

Posisjonsnummersystemer- tallsystemer der den kvantitative verdien av et siffer avhenger av dets plassering i tallet.

For eksempel, hvis vi snakker om desimaltallsystemet, betyr tallet 7 i tallet 700 "sju hundre", men det samme tallet i tallet 71 betyr "syv tiere", og i tallet 7020 - "sju tusen" .

Hver posisjonsnummersystem har sin egen utgangspunkt. Et naturlig tall større enn eller lik to velges som basis. Det er lik antall sifre som brukes i et gitt tallsystem.

Binær- posisjonsnummersystem med base 2.
Kvartær- posisjonsnummersystem med base 4.
Femdobbelt- posisjonsnummersystem med base 5.
Oktal- posisjonsnummersystem med base 8.
Heksadesimal- posisjonsnummersystem med base 16.

For å lykkes med å løse problemer om emnet "Tallsystemer", må studenten utenat kjenne samsvaret til binære, desimale, oktale og heksadesimale tall opp til 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	EN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Det er nyttig å vite hvordan tall oppnås i disse tallsystemene. Du kan gjette det i oktal, heksadesimal, ternær og andre posisjonsnummersystemer alt skjer på samme måte som desimalsystemet vi er vant til:

En legges til tallet og et nytt nummer oppnås. Hvis enhetsplassen blir lik grunnflaten til tallsystemet, øker vi antallet tiere med 1 osv.

Denne "overgangen til en" er det som skremmer de fleste studenter. Faktisk er alt ganske enkelt. Overgangen skjer hvis enhetssifferet blir lik tallgrunnlag, øker vi antallet tiere med 1. Mange, som husker det gode, gamle desimalsystemet, blir umiddelbart forvirret over sifrene i denne overgangen, fordi desimaler og for eksempel binære tiere er forskjellige ting.

Derfor utvikler ressurssterke elever «sine egne metoder» (overraskende... arbeider) når de fyller ut for eksempel sannhetstabeller, hvor de første kolonnene (variabelverdier) faktisk er fylt med binære tall i stigende rekkefølge.

La oss for eksempel se på å få inn tall oktalt system: Vi legger til 1 til det første tallet (0), vi får 1. Så legger vi til 1 til 1, vi får 2 osv. til 7. Legger vi en til 7, får vi et tall som er lik grunnflaten i tallsystemet, dvs. 8. Deretter må du øke tierplassen med én (vi får den oktale ti - 10). Neste, åpenbart, er tallene 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...

Regler for konvertering fra ett tallsystem til et annet.

1 Konvertering av heltallsdesimaltall til et hvilket som helst annet tallsystem.

Tallet må deles på ny tallsystembase. Den første resten av divisjonen er det første bisifferet i det nye tallet. Hvis kvotienten til divisjonen er mindre enn eller lik det nye grunnlaget, må den (kvotienten) deles på nytt med det nye grunnlaget. Delingen må videreføres til vi får en kvotient mindre enn den nye basen. Dette er det høyeste sifferet i det nye tallet (du må huske at for eksempel i det heksadesimale systemet er det bokstaver etter 9, dvs. hvis resten er 11, må du skrive det som B).

Eksempel ("divisjon etter hjørne"): La oss konvertere tallet 173 10 til det oktale tallsystemet.

Dermed er 173 10 = 255 8

2 Konvertering av vanlige desimalbrøker til et hvilket som helst annet tallsystem.

Tallet må multipliseres med det nye tallsystemgrunnlaget. Sifferet som har blitt heltallsdelen er det høyeste sifferet i brøkdelen av det nye tallet. for å få det neste sifferet, må brøkdelen av det resulterende produktet igjen multipliseres med en ny base i tallsystemet til overgangen til hele delen skjer. Vi fortsetter multiplikasjonen til brøkdelen er lik null, eller til vi når nøyaktigheten som er spesifisert i oppgaven (“... regn med en nøyaktighet på for eksempel to desimaler”).

Eksempel: La oss konvertere tallet 0,65625 10 til det oktale tallsystemet.

Notasjon er en måte å skrive tall på. Vanligvis skrives tall med spesialtegn - tall (men ikke alltid). Hvis du aldri har studert dette spørsmålet, da bør du i det minste kunne to tallsystemer - arabisk og romersk. Den første bruker tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og er et posisjonelt tallsystem. Og i den andre - I, V, X, L, C, D, M og dette er et ikke-posisjonelt tallsystem.

I posisjonstallsystemer avhenger mengden angitt med et siffer i et tall av posisjonen, men i ikke-posisjonelle tallsystemer gjør den det ikke. For eksempel:

11 - her betegner den første enheten ti, og den andre - 1.
II - her betegner begge enhetene en.

345, 259, 521 - her betyr tallet 5 i det første tilfellet 5, i det andre - 50, og i det tredje - 500.

XXV, XVI, VII - her, uansett hvor tallet V er, betyr det alltid fem enheter. Med andre ord, mengden angitt av V-tegnet avhenger ikke av dens posisjon.

Addisjon, multiplikasjon og andre matematiske operasjoner er lettere å utføre i posisjonelle tallsystemer enn i ikke-posisjonelle, fordi matematiske operasjoner utføres ved hjelp av enkle algoritmer (for eksempel multiplikasjon med en kolonne, sammenligning av to tall).

Posisjonstallsystemer er de vanligste i verden. I tillegg til desimalsystemet, som er kjent for alle siden barndommen (som bruker ti sifre fra 0 til 9), er slike tallsystemer som binære (tallene 0 og 1 brukt), oktal og heksadesimal mye brukt i teknologi.

Det bør bemerkes den viktige rollen til null. "Oppdagelsen" av dette tallet i menneskehetens historie spilte en stor rolle i dannelsen av posisjonelle tallsystemer.

Grunnlaget for et tallsystem er antall sifre som brukes til å skrive tall.

Plass er posisjonen til et siffer i et tall. Sifferkapasiteten til et tall er antallet sifre som utgjør tallet (for eksempel er 264 et tresifret tall, 00010101 er et åttesifret tall). Sifrene er nummerert fra høyre til venstre (for eksempel i tallet 598 opptar åtte det første sifferet, og fem opptar det tredje).

Så i det posisjonelle tallsystemet skrives tall på en slik måte at hvert neste (bevegelse fra høyre til venstre) siffer er større enn det andre i kraft av tallsystemets grunnflate. (kom opp med et diagram)

Samme tall (verdi) kan representeres i forskjellige tallsystemer. Representasjonen av tallet er annerledes, men betydningen forblir uendret.

Binært tallsystem

I binært system nummerering bruker bare to sifre 0 og 1. Med andre ord, to er basisen til det binære tallsystemet. (Tilsvarende har desimalsystemet en base på 10.)

For å lære å forstå tall i det binære tallsystemet, bør du først vurdere hvordan tall dannes i desimaltallsystemet som er kjent for oss.

I desimaltallsystemet har vi ti sifre (fra 0 til 9). Når tellingen når 9, innføres et nytt siffer (tiere), enerne tilbakestilles til null og tellingen starter på nytt. Etter 19 øker tiersifferet med 1, og enerne tilbakestilles til null igjen. Og så videre. Når tiere når 9, vises det tredje sifferet - hundrevis.

Det binære tallsystemet ligner på desimaltallsystemet, bortsett fra at kun to sifre er involvert i dannelsen av tallet: 0 og 1. Så snart sifferet når sin grense (dvs. én), vises et nytt siffer, og den gamle tilbakestilles til null.

La oss prøve å telle i binært system:
0 er null
1 er én (og det er utslippsgrensen)
10 er to
11 er tre (og det er grensen igjen)
100 er fire
101 - fem
110 - seks
111 - syv osv.
Konvertering av tall fra binære til desimaler

Det er ikke vanskelig å legge merke til at i det binære tallsystemet øker lengdene på tall raskt ettersom verdiene øker. Hvordan finne ut hva dette betyr: 10001001? Uvant med denne formen for å skrive tall, kan den menneskelige hjernen vanligvis ikke forstå hvor mye det er. Det ville vært fint å kunne konvertere binære tall til desimaler.

I desimaltallsystemet kan et hvilket som helst tall representeres som en sum av enheter, tiere, hundrer osv. For eksempel:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Se nøye på denne oppføringen. Her er tallene 1, 4, 7 og 6 et sett med tall som utgjør tallet 1476. Alle disse tallene multipliseres etter tur med ti hevet til en eller annen grad. Ti er grunnlaget for desimaltallsystemet. Potensen som ti heves til er sifferet til sifferet minus én.

Ethvert binært tall kan utvides på lignende måte. Bare basen her vil være 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

De. Tallet 10001001 i grunntall 2 er lik tallet 137 i grunntall 10. Du kan skrive det slik:

10001001 2 = 13710
Hvorfor er det binære tallsystemet så vanlig?

Faktum er at det binære tallsystemet er datateknologiens språk. Hvert tall må på en eller annen måte representeres på et fysisk medium. Hvis dette er et desimalsystem, må du lage en enhet som kan ha ti tilstander. Det er komplisert. Det er lettere å produsere et fysisk element som bare kan være i to tilstander (for eksempel er det strøm eller ingen strøm). Dette er en av hovedgrunnene til at det blir viet så mye oppmerksomhet til det binære tallsystemet.
Konvertering av et desimaltall til binært

Du må kanskje konvertere desimaltallet til binært. En måte er å dele på to og danne et binært tall fra resten. For eksempel må du få den binære notasjonen fra tallet 77:

77 / 2 = 38 (1 gjenværende)
38 / 2 = 19 (0 resterende)
19 / 2 = 9 (1 gjenværende)
9 / 2 = 4 (1 gjenværende)
4 / 2 = 2 (0 resterende)
2 / 2 = 1 (0 resterende)
1 / 2 = 0 (1 gjenværende)

Vi samler resten sammen, fra slutten: 1001101. Dette er tallet 77 i binær representasjon. La oss sjekke:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Oktalt tallsystem

Så moderne "maskinvare forstår" bare det binære tallsystemet. Imidlertid er det vanskelig for en person å oppfatte lange registreringer av nuller og enere på den ene siden, og på den andre siden er det ganske tidkrevende og arbeidskrevende å konvertere tall fra binært til desimalsystem og tilbake. Som et resultat bruker programmerere ofte andre tallsystemer: oktale og heksadesimale. Både 8 og 16 er potenser av to, og å konvertere et binært tall til dem (i tillegg til å gjøre det inverse) er veldig enkelt.

Det oktale tallsystemet bruker åtte sifre (fra 0 til 7). Hvert siffer tilsvarer et sett med tre sifre i det binære tallsystemet:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

For å konvertere et binært tall til oktalt, er det nok å dele det opp i trillinger og erstatte dem med deres tilsvarende sifre fra det oktale tallsystemet. Du må begynne å dele i trillinger fra slutten, og erstatte de manglende tallene i begynnelsen med nuller. For eksempel:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Det vil si at tallet 1011101 i det binære tallsystemet er lik tallet 135 i det oktale tallsystemet. Eller 1011101 2 = 1358.

Omvendt oversettelse. La oss si at du vil konvertere tallet 1008 (ikke ta feil! 100 i oktal er ikke 100 i desimal) til det binære tallsystemet.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Konvertering av et oktalt tall til et desimaltall kan gjøres ved å bruke det allerede kjente skjemaet:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Heksadesimalt tallsystem

Det heksadesimale tallsystemet, som det oktale tallsystemet, er mye brukt i informatikk på grunn av det enkle å konvertere binære tall til det. Heksadesimal notasjon gjør tall mer kompakte.

Det heksadesimale tallsystemet bruker tall fra 0 til 9 og de første seks latinske bokstavene - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Når du konverterer et binært tall til heksadesimalt tall, deles det første inn i grupper på fire sifre, fra slutten. Hvis antall sifre ikke er delelig med et heltall, blir de fire første lagt til med nuller foran. Hver fire tilsvarer et siffer i det heksadesimale tallsystemet:

For eksempel:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Om nødvendig kan tallet 4C5 konverteres til desimaltallsystemet som følger (C bør erstattes med tallet som tilsvarer dette symbolet i desimaltallsystemet - dette er 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Det maksimale tosifrede tallet som kan oppnås ved bruk av heksadesimal notasjon er FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 er den maksimale verdien av en byte, lik 8 biter: 1111 1111 = FF. Derfor, ved å bruke det heksadesimale tallsystemet, er det veldig praktisk å skrive ned byteverdier kort (ved å bruke to sifre). Merk følgende! En 8-bits byte kan ha 256 tilstander, men maksimalverdien er 255. Ikke glem 0 - dette er nøyaktig den 256. tilstanden

Forelesning 1. Tallsystemer

1. Historien om fremveksten av tallsystemer.

2. Posisjonelle og ikke-posisjonelle tallsystemer.

3. Desimaltallsystem, skrive tall i det.

4. Rangering

En person må hele tiden forholde seg til tall, så du må kunne navngi og skrive et hvilket som helst tall riktig, og utføre operasjoner på tall. Som regel takler alle dette med hell. Metoden for å skrive tall som i dag brukes overalt og kalles desimaltallsystemet hjelper her.

Studiet av dette systemet begynner i grunnskole, og selvfølgelig trenger læreren viss kunnskap på dette området. Han må kunne ulike måter å skrive tall på, algoritmer aritmetiske operasjoner og deres begrunnelse. Materialet i denne forelesningen gir et minimum uten hvilket det er umulig å forstå ulike metodiske tilnærminger til undervisning. ungdomsskolebarn måter å skrive tall på og utføre operasjoner på dem.

Historie om fremveksten av tallsystemer.

Begrepet tall oppsto i oldtiden. Da oppsto behovet for å navngi og skrive tall. Språket for å navngi, skrive tall og utføre operasjoner på dem kalles tallsystem.

Det enkleste systemet poster naturlige tall krever bare ett tall, for eksempel "pinner" (eller hakk i tre, som primitiv mann, eller en knute på et tau, som de amerikanske indianerne), som representerer en enhet. Ved å gjenta dette tegnet kan du skrive et hvilket som helst tall: hvert tall n enkelt skrevet n"pinner". I et slikt tallsystem er det praktisk å utføre aritmetiske operasjoner. Men denne registreringsmetoden er veldig uøkonomisk og fører for store tall uunngåelig til feil i tellingen.

Derfor oppsto det over tid andre, mer økonomiske og praktiske måter å skrive tall på. La oss se på noen av dem.

I Antikkens Hellas den såkalte loftsnummerering. Tallene 1, 2, 3, 4 ble indikert med bindestreker:

Tallet 5 ble skrevet med tegnet G (den eldgamle formen av bokstaven "pi", som ordet "pente" - fem) begynner med. Tallene 6, 7, 8, 9 ble betegnet som følger:

Tallet 10 ble betegnet med Δ (startbokstaven i ordet "deca" er ti). Tallene 100, 1000 og 10 000 ble betegnet H, X, M - de første bokstavene i de tilsvarende ordene.

Andre tall ble skrevet med forskjellige kombinasjoner av disse tegnene.

I det tredje århundre f.Kr. ble attisk nummerering erstattet av den såkalte Ionisk system. I den er tallene 1 – 9 indikert med de første ni bokstavene i alfabetet: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (wow) ζ (zeta),
η (eta), (theta).

Tallene 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – i følgende ni bokstaver: Jeg(iota),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (naken), ξ (xi), ο (omicron), π (pi), Med(politimann).

Tallene 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 er de ni siste bokstavene i det greske alfabetet.

I gamle tider hadde jøder, arabere og mange andre folkeslag i Midtøsten alfabetisk nummerering som ligner på den gamle greske. Det er ukjent hvilke personer den først dukket opp blant.

I Antikkens Roma «nøkkel»-tallene var 1, 5, 10, 50, 100, 500 og 1000. De ble betegnet med henholdsvis bokstavene I, V, X, L, C, D og M.

Alle heltall (opptil 5000) ble skrevet ved å gjenta tallene ovenfor. Samtidig, hvis et større tall er foran et mindre, blir de lagt til, men hvis det minste er foran et større (i dette tilfellet kan det ikke gjentas), trekkes det mindre fra fra den større: VI = 6, dvs. 5 + 1; IV = 4, dvs. 5 – 1;
XL = 40, dvs. 50 – 10; LX = 60, dvs. 50 + 10. Det samme tallet plasseres ikke mer enn tre ganger på rad: LXX = 70, LXXX = 80, tallet 90 skrives XC (ikke LXXXX).

For eksempel: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Å utføre aritmetiske operasjoner på flersifrede tall i denne notasjonen er veldig vanskelig. Imidlertid har romersk nummerering overlevd til i dag. Den brukes til å markere merkedager, navn på konferanser, kapitler i bøker osv.

I gamle tider ble tall betegnet med bokstaver i Rus. For å indikere at tegnet ikke er en bokstav, men et tall, ble det plassert et spesielt tegn kalt "titlo" over dem. De første ni sifrene ble skrevet slik:

Tiere er utpekt som følger:

Hundrevis er utpekt som følger:

Tusenvis ble betegnet med de samme bokstavene med "titler" som de første ni sifrene, men de hadde et "≠"-tegn til venstre: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

Ti av tusen vi heter " mørk", ble de utpekt ved å sirkle rundt enhetsskiltene:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Det er her uttrykket «Mørke for folket» kommer fra, dvs. det er mange mennesker.

Hundretusenvis vi heter " legioner", ble de utpekt ved å sirkle enhetsskiltene med sirkler av prikker:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Millioner vi heter " leodras" De ble utpekt ved å sirkle enhetsskiltene med sirkler av stråler eller kommaer:

1 000 000, = 2 000 000.

Titalls millioner vi heter " kråker"eller "korvider" og de ble utpekt ved å sirkle enhetsskiltene med sirkler av kors eller plassere bokstaven K på begge sider:

Hundrevis av millioner vi heter " dekk" "Dekket" hadde en spesiell betegnelse - firkantede parenteser ble plassert over og under bokstaven:

Hieroglyfer av beboere Det gamle Babylon var bygd opp av smale vertikale og horisontale kiler; disse to ikonene ble også brukt til å registrere tall. Én vertikal kile betydde én, og en horisontal betydde ti. I det gamle Babylon telte de i grupper på 60 enheter. For eksempel ble tallet 185 representert som 3 ganger 60 og 5 til. Et slikt tall ble skrevet med bare to tegn, hvorav det ene indikerte hvor mange ganger 60 ble tatt, og det andre - hvor mange enheter som ble tatt.

Det er mange hypoteser om når og hvordan det sexagesimale systemet oppsto blant babylonerne, men ingen er bevist ennå. En av hypotesene er at det var en blanding av to stammer, hvorav den ene brukte seksfoldsystemet, og den andre brukte desimalsystemet. Det sexagesimale systemet oppsto som et kompromiss mellom disse to systemene. En annen hypotese er at babylonerne anså lengden på året til å være 360 dager, noe som naturlig er forbundet med tallet 60.

Det sexagesimale systemet har til en viss grad overlevd til i dag, for eksempel ved å dele timen inn i 60 minutter og minuttet i 60 sekunder, og i et lignende system for å måle vinkler: 1 grad er lik 60 minutter, 1 minutt er 60 sekunder.

Binært system Notasjon ble brukt av noen primitive stammer når de teller; det var kjent for gamle kinesiske matematikere, men det var den store tyske matematikeren Leibniz som virkelig utviklet og bygde det binære systemet, som så personifiseringen av en dyp metafysisk sannhet i det.

Det binære tallsystemet brukes av noen (lokale) kulturer i Afrika, Australia og Sør Amerika.

For å representere tall i det binære tallsystemet kreves det bare to sifre: 0 og 1. Av denne grunn er den binære notasjonen til et tall lett å representere ved å bruke fysiske elementer som har to forskjellige stabile tilstander. Det er nettopp dette som fungerte som en av de viktige årsakene til den utbredte bruken av det binære systemet i moderne elektroniske datamaskiner.

Det mest økonomiske av alle tallsystemer er ternær. Det binære systemet og det kvaternære systemet, som tilsvarer det når det gjelder effektivitet, er noe dårligere i denne forbindelse enn det ternære systemet, men er overlegne alle de viktigste mulige systemene. Hvis skriving av tall fra 1 til 10 i desimalsystemet krever 90 forskjellige tilstander, og i det binære systemet - 60, er 57 tilstander tilstrekkelig i det ternære systemet.

Den vanligste situasjonen der behovet for ternær analyse viser seg, er kanskje veiing på en koppvekt. Tre forskjellige tilfeller kan oppstå her: enten vil en av koppene oppveie den andre, eller omvendt, eller koppene vil balansere hverandre.

Kvartært tallsystem brukes hovedsakelig av indianerstammene i Sør-Amerika og Yucca-indianerne i California, som regner med mellomrommene mellom fingrene deres.

Femdobbelt tallsystem var mye mer utbredt enn alle de andre. Tamanacos-indianerne i Sør-Amerika bruker det samme ordet for tallet 5 som for "hele hånden." Ordet «seks» i Tamanak betyr «en finger på den andre hånden», syv betyr «to fingre på den andre hånden» osv. for åtte og ni. Ti kalles "to hender". For å nevne et tall fra 11 til 14, strekker Tamanakos begge hendene fremover og teller: «en på benet, to på benet» osv. til de når 15 - "hele benet." Dette etterfølges av "en på det andre beinet" (nummer 16) osv. til 19. Tallet 20 i Tamanak betyr "en indianer", 21 betyr "en på hånden til en annen indianer". "To indianere" betyr 40, "tre indianere" betyr 60.

Innbyggerne i det gamle Java og aztekerne hadde en uke på 5 dager.

Noen historikere mener at romertallet X (ti) var bygd opp av to romerske 5-er V (en av dem omvendt), og tallet V oppsto igjen fra et stilisert bilde av en menneskelig hånd.

Var utbredt i antikken duodesimalt tallsystem. Dens opprinnelse er også forbundet med telling på fingre. Nemlig, siden de fire fingrene på hånden (unntatt tommelen) har totalt 12 falanger, så langs disse falanger, snu dem etter tur med tommelen, teller de fra 1 til 12. Da tas 12 som enheten for neste siffer.

Den største fordelen med duodesimalsystemet er at basen er delelig med 2, 3 og 4. Tilhengere av duodesimalsystemet dukket opp på 1500-tallet. På et senere tidspunkt inkluderte disse: fremragende mennesker, som Herbert Spencer, John Quincy Adams og George Bernard Shaw. Det er til og med et American Duodecimal Society, som publiserer to tidsskrifter: Duodecimal Bulletin og Duodecimal System Manual. Samfunnet gir alle "duodenum" en spesiell tellelinjal, der 12 brukes som base.

I muntlig tale har rester av det duodesimale systemet overlevd til i dag: i stedet for å si «tolv», sier noen «dusin». Skikken har blitt bevart med å telle mange gjenstander ikke med dusinvis, men med dusinvis, for eksempel bestikk i en tjeneste (et sett for 12 personer) eller stoler i et møbelsett.

Navnet på den tredje sifferenheten i det duodesimale tallsystemet er ekkelt- er sjelden nå, men i handelspraksis på begynnelsen av 1900-tallet eksisterte den, og selv for hundre år siden kunne den lett finnes. For eksempel, i diktet "Plyushkin" skrevet i 1928 av V.V. Mayakovsky, som latterliggjorde byfolket som kjøper opp alt de trenger og ikke trenger, skrev:

Se seg omkring

en spredning av varer,

Det binære tallsystemet bruker bare to sifre, 0 og 1. Med andre ord er to grunnen til det binære tallsystemet. (Tilsvarende har desimalsystemet en base på 10.)

For å lære å forstå tall i det binære tallsystemet, bør du først vurdere hvordan tall dannes i desimaltallsystemet som er kjent for oss.

La oss prøve å telle i binært system:
0 er null
1 er én (og dette er utslippsgrensen)
10 er to
11 er tre (og det er grensen igjen)
100 er fire
101 – fem
110 – seks
111 – syv osv.

Konvertering av tall fra binære til desimaler