Den største felles deleren av to heltall. Hva er en node? Inndeling. utbytte: divisor = kvotient
Lancinova Aisa
Nedlasting:
Forhåndsvisning:
For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com
Lysbildetekster:
Problemer med GCD og LCM av tall Arbeidet til en elev i 6. klasse ved MCOU "Kamyshovskaya ungdomsskole" Lantsinova Aisa Veileder Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematikklærer s. Kamyshevo, 2013
Et eksempel på å finne gcd for tallene 50, 75 og 325. 1) La oss faktorisere tallene 50, 75 og 325 til primfaktorer. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av disse tallene, krysser vi ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av de andre . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Finn produktet av de resterende faktorene 5 ∙ 5 = 25 Svar: GCD (50, 75 og 2525) Den største tall som Når tallene a og b deles uten rest, kalles den største felles divisor av disse tallene den største felles divisor av disse tallene.
Et eksempel på å finne LCM for tallene 72, 99 og 117. 1) La oss faktorisere tallene 72, 99 og 117 til primfaktorer. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 117 = 3 ∙ 3 ∙ 13 2) Skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av tallene 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 og legg til de manglende faktorene til de resterende tallene. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Finn produktet av de resulterende faktorene. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Svar: LCM (72, 99 og 117) = 10296 Minste felles multiplum naturlige tall a og b navngir det minste naturlige tallet som er et multiplum av a og b.
Kartongarket har form som et rektangel, hvor lengden er 48 cm og bredden er 40 cm. Dette arket må kuttes i like firkanter uten avfall. Hva er de største rutene som kan hentes fra dette regnearket og hvor mange? Løsning: 1) S = a ∙ b – arealet av rektangelet. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – område av papp. 2) a – side av ruten 48: a – antall ruter som kan legges langs pappens lengde. 40: a – antall ruter som kan legges på tvers av pappens bredde. 3) GCD (40 og 48) = 8 (cm) – siden av firkanten. 4) S = a² – areal på én kvadrat. S = 8² = 64 (cm²) – arealet av en kvadrat. 5) 1960: 64 = 30 (antall ruter). Svar: 30 ruter med en side på 8 cm hver. GCD-problemer
Peisen i rommet skal flislegges i form av en firkant. Hvor mange fliser trengs for en peis som måler 195 ͯ 156 cm og hva er de største flisstørrelsene? Løsning: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S for peisoverflaten. 2) GCD (195 og 156) = 39 (cm) – side av flisen. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – areal på 1 flis. 4) 30420: = 20 (stk). Svar: 20 fliser som måler 39 ͯ 39 (cm). GCD-problemer
En hagetomt som måler 54 ͯ 48 m rundt omkretsen må inngjerdes, for å gjøre dette må betongsøyler plasseres med jevne mellomrom. Hvor mange stolper må medbringes til stedet, og i hvilken maksimal avstand fra hverandre skal stolpene plasseres? Løsning: 1) P = 2(a + b) – omkretsen av stedet. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 og 48) = 6 (m) – avstanden mellom pilarene. 3) 204: 6 = 34 (søyler). Svar: 34 søyler, i en avstand på 6 m. GCD-problemer
Buketter ble samlet inn fra 210 burgunder, 126 hvite og 294 røde roser, hvor hver bukett inneholdt like mange roser av samme farge. Hva er det største antallet buketter laget av disse rosene, og hvor mange roser av hver farge er det i en bukett? Løsning: 1) GCD (210, 126 og 294) = 42 (buketter). 2) 210: 42 = 5 (burgunderroser). 3) 126: 42 = 3 (hvite roser). 4) 294: 42 = 7 (røde roser). Svar: 42 buketter: 5 burgunder, 3 hvite, 7 røde roser i hver bukett. GCD-problemer
Tanya og Masha kjøpte like mange postsett. Tanya betalte 90 rubler, og Masha betalte 5 rubler. mer. Hvor mye koster ett sett? Hvor mange sett kjøpte hver person? Løsning: 1) 90 + 5 = 95 (gni.) Masha betalte. 2) GCD (90 og 95) = 5 (gnidning) – pris på 1 sett. 3) 980: 5 = 18 (sett) – kjøpt av Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sett) – kjøpt av Masha. Svar: 5 rubler, 18 sett, 19 sett. GCD-problemer
Tre turistbåtturer starter i havnebyen, den første varer i 15 dager, den andre – 20 og den tredje – 12 dager. Etter å ha kommet tilbake til havnen la skipene av gårde igjen samme dag. I dag forlot skip havnen på alle tre rutene. Om hvor mange dager skal de seile sammen igjen for første gang? Hvor mange turer vil hvert skip gjøre? Løsning: 1) NOC (15,20 og 12) = 60 (dager) – møtetid. 2) 60: 15 = 4 (reiser) – 1 skip. 3) 60: 20 = 3 (reiser) – 2 skip. 4) 60: 12 = 5 (flyreiser) – 3 skip. Svar: 60 dager, 4 flyvninger, 3 flyvninger, 5 flyvninger. NOC oppgaver
Masha kjøpte egg til bjørnen i butikken. På vei til skogen skjønte hun at antall egg er delelig med 2,3,5,10 og 15. Hvor mange egg kjøpte Masha? Løsning: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (egg) Svar: Masha kjøpte 30 egg. NOC oppgaver
Det er påkrevd å lage en boks med firkantet bunn for å få plass til bokser som måler 16 ͯ 20 cm Hva er den korteste lengden på siden av den firkantede bunnen for å passe boksene tett inn i boksen? Løsning: 1) LCM (16 og 20) = 80 (bokser). 2) S = a ∙ b – areal på 1 boks. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – bunnareal av 1 boks. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – arealet av kvadratbunnen. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimensjoner på boksen. Svar: 160 cm er siden av den firkantede bunnen. NOC oppgaver
Langs veien fra punkt K er det strømstolper hver 45. m. De bestemte seg for å erstatte disse stolpene med andre, og plassere dem i en avstand på 60 m fra hverandre. Hvor mange søyler var det og hvor mange vil det være? Løsning: 1) LCM (45 og 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – det var søyler. 3) 180: 60 = 3 – ble søyler. Svar: 4 søyler, 3 søyler. NOC oppgaver
Hvor mange soldater marsjerer på paradeplassen hvis de marsjerer i formasjon av 12 personer i en linje og skifter til en kolonne med 18 personer i en linje? Løsning: 1) NOC (12 og 18) = 36 (personer) - marsjerende. Svar: 36 personer. NOC oppgaver
La oss finne den største felles divisor for GCD (36; 24)
Løsningstrinn
Metode nr. 1
36
- sammensatt tall
24
- sammensatt tall
La oss utvide tallet 36
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- delelig med primtall 2
9:
3
=
3
- delelig med primtall 3.
La oss bryte ned tallet 24 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
24:
2
= 12
- delelig med primtall 2
12:
2
= 6
- delelig med primtall 2
6:
2
=
3
Vi fullfører inndelingen siden 3 er et primtall
2) Marker den i blått og skriv ut de vanlige faktorene
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Vanlige faktorer (36; 24): 2, 2, 3
3) Nå, for å finne GCD må du multiplisere de vanlige faktorene
Svar: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Metode nr. 2
1) Finn alle mulige divisorer av tallene (36; 24). For å gjøre dette vil vi vekselvis dele tallet 36 i divisorer fra 1 til 36, og tallet 24 i divisorer fra 1 til 24. Hvis tallet er delbart uten en rest, skriver vi divisor i listen over divisorer.
For nummer 36
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
For nummer 24 La oss skrive ned alle tilfellene når det er delelig uten en rest:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) La oss skrive ned alle de felles divisorene til tallene (36; 24) og markere den største med grønt, dette vil være den største felles divisoren av tallenes gcd (36; 24)
Vanlige faktorer for tall (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Svar: GCD (36 ; 24) = 12
La oss finne det minste felles multiplum av LCM (52; 49)
Løsningstrinn
Metode nr. 1
1) La oss faktorere tallene inn i primfaktorer. For å gjøre dette, la oss sjekke om hvert av tallene er primtall (hvis et tall er primtall, kan det ikke dekomponeres til primfaktorer, og det er i seg selv en dekomponering)
52
- sammensatt tall
49
- sammensatt tall
La oss utvide tallet 52 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
52:
2
= 26
- delelig med primtall 2
26:
2
=
13
- delelig med primtall 2.
Vi fullfører inndelingen siden 13 er et primtall
La oss utvide tallet 49 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
49:
7
=
7
- delelig med primtall 7.
Vi fullfører inndelingen siden 7 er et primtall
2) Skriv først ned faktorene til det største tallet, og deretter det minste tallet. La oss finne de manglende faktorene, marker med blått i utvidelsen av det mindre tallet faktorene som ikke var inkludert i utvidelsen av det større tallet.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Nå, for å finne LCM må du multiplisere faktorene til det større tallet med de manglende faktorene, som er uthevet i blått
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Metode nr. 2
1) Finn alle mulige multipler av tallene (52; 49). For å gjøre dette, multipliserer vi vekselvis tallet 52 med tallene fra 1 til 49, og tallet 49 med tallene fra 1 til 52.
Velg alle multipler 52 i grønt:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Velg alle multipler 49 i grønt:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) La oss skrive ned alle de felles multiplum av tallene (52; 49) og markere den minste i grønt, dette vil være det minste felles multiplum av tallene (52; 49).
Felles multiplum av tall (52; 49): 2548
Svar: LCM (52; 49) = 2548
Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.
For eksempel:
Tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.
Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles deler av tall. Divisor av et naturlig tall en- er et naturlig tall som deler et gitt tall en uten et spor. Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles sammensatte .
Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12. Fellesdeleren for disse to tallene en Og b- dette er tallet som begge gitte tall deles med uten rest en Og b.
Felles multipler flere tall er et tall som er delelig med hvert av disse tallene. For eksempel, tallene 9, 18 og 45 har et felles multiplum på 180. Men 90 og 360 er også deres felles multiplum. Blant alle vanlige multipler er det alltid en minste, i i dette tilfellet dette er 90. Dette nummeret kalles den minstefelles multiplum (CMM).
LCM er alltid et naturlig tall som må være større enn det største av tallene det er definert for.
Minste felles multiplum (LCM). Egenskaper.
Kommutativitet:
Assosiativitet:
Spesielt hvis og er coprimtall, så:
Minste felles multiplum av to heltall m Og n er en divisor av alle andre felles multipler m Og n. Dessuten settet med felles multipler m, n faller sammen med settet med multipler av LCM( m, n).
Asymptotikken for kan uttrykkes i form av noen tallteoretiske funksjoner.
Så, Chebyshev funksjon. Og:
Dette følger av definisjonen og egenskapene til Landau-funksjonen g(n).
Hva følger av loven om fordeling av primtall.
Finne det minste felles multiplum (LCM).
INGEN C( a, b) kan beregnes på flere måter:
1. Hvis den største felles divisor er kjent, kan du bruke dens forbindelse med LCM:
2. La den kanoniske dekomponeringen av begge tallene til primfaktorer være kjent:
Hvor p 1,...,p k- ulike primtall, og d 1,...,d k Og e 1,...,e k- ikke-negative heltall (de kan være null hvis den tilsvarende primtall ikke er i utvidelsen).
Deretter NOC ( en,b) beregnes med formelen:
Med andre ord inneholder LCM-dekomponeringen alle primfaktorer inkludert i minst én av dekomponeringene av tall a, b, og den største av de to eksponentene til denne multiplikatoren tas.
Eksempel:
Å beregne det minste felles multiplum av flere tall kan reduseres til flere sekvensielle beregninger av LCM for to tall:
Regel. For å finne LCM for en tallserie trenger du:
- dekomponere tall til primfaktorer;
- overføre den største dekomponeringen (produktet av faktorene til det største antallet av de gitte) til faktorene til det ønskede produktet, og legg deretter til faktorer fra dekomponeringen av andre tall som ikke vises i det første tallet eller vises i det færre ganger;
— det resulterende produktet av primfaktorer vil være LCM for de gitte tallene.
To eller flere naturlige tall har sin egen LCM. Hvis tallene ikke er multipler av hverandre eller ikke har de samme faktorene i utvidelsen, er deres LCM lik produktet av disse tallene.
Primfaktorene til tallet 28 (2, 2, 7) er supplert med en faktor 3 (tallet 21), det resulterende produktet (84) vil være det minste tallet som er delelig med 21 og 28.
Primfaktorene til det største tallet 30 er supplert med faktoren 5 av tallet 25, det resulterende produktet 150 er større enn det største tallet 30 og er delelig med alle gitte tall uten en rest. Dette minst produkt av de mulige (150, 250, 300...), som alle gitte tall er multipler til.
Tallene 2,3,11,37 er primtall, så deres LCM er lik produktet av de gitte tallene.
Regel. For å beregne LCM for primtall, må du multiplisere alle disse tallene sammen.
Et annet alternativ:
For å finne det minste felles multiplum (LCM) av flere tall trenger du:
1) representere hvert tall som et produkt av dets primfaktorer, for eksempel:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) skriv ned potensene til alle primfaktorer:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) skriv ned alle primtallene (multiplikatorene) for hvert av disse tallene;
4) velg den største graden av hver av dem, funnet i alle utvidelser av disse tallene;
5) multipliser disse potensene.
Eksempel. Finn LCM for tallene: 168, 180 og 3024.
Løsning. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Vi skriver ned de største potensene av alle primdelere og multipliserer dem:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Det største naturlige tallet som tallene a og b deles med uten rest kalles største felles deler disse tallene. Angi GCD(a, b).
La oss vurdere å finne GCD ved å bruke eksemplet med to naturlige tall 18 og 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Og 432
La oss faktorere tallene inn i primfaktorer:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Ved å krysse ut fra det første tallet hvis faktorene ikke er i det andre og tredje tallet, får vi:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Som et resultat, GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Finne GCD ved hjelp av den euklidiske algoritmen
Den andre måten å finne den største felles divisoren er å bruke Euklidisk algoritme. Euklid-algoritmen er den mest effektiv måte finne GCD, ved å bruke det må du hele tiden finne resten av deletallene og bruke gjentakelsesformel.
Gjentakelsesformel for GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), hvor a mod b er resten av a delt på b.
Euklids algoritme
Eksempel Finn den største felles deleren for tall 7920 Og 594
La oss finne GCD( 7920 , 594 ) ved å bruke den euklidiske algoritmen, vil vi beregne resten av divisjonen ved hjelp av en kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Som et resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198
Minste felles multiplum
For å finne en fellesnevner når du legger til og subtraherer brøker med ulike nevnere, må du kjenne til og kunne regne ut minste felles multiplum(NOK).
Et multiplum av tallet "a" er et tall som i seg selv er delelig med tallet "a" uten en rest.
Tall som er multipler av 8 (det vil si at disse tallene er delbare med 8 uten en rest): dette er tallene 16, 24, 32...
Multipler av 9: 18, 27, 36, 45...
Det er uendelig mange multipler av et gitt tall a, i motsetning til divisorene til samme tall. Det er et begrenset antall divisorer.
Felles multiplum av to naturlige tall er et tall som er delelig med begge disse tallene..
Minste felles multiplum(LCM) av to eller flere naturlige tall er det minste naturlige tallet som i seg selv er delelig med hvert av disse tallene.
Hvordan finne NOC
LCM kan finnes og skrives på to måter.
Den første måten å finne LOC
Denne metoden brukes vanligvis for små tall.
- Vi skriver ned multiplene for hvert tall på en linje til vi finner et multiplum som er likt for begge tallene.
- Vi betegner et multiplum av tallet "a" stor bokstav"TIL".
Eksempel. Finn LCM 6 og 8.
Den andre måten å finne LOC på
Denne metoden er praktisk å bruke for å finne LCM for tre eller flere tall.
Antall identiske faktorer i dekomponering av tall kan være forskjellig.
LCM(24; 60) = 2 2 3 5 2
Svar: LCM (24, 60) = 120
Du kan også formalisere å finne det minste felles multiplum (LCM) som følger. La oss finne LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Som vi ser fra dekomponeringen av tall, er alle faktorer på 12 inkludert i dekomponeringen av 24 (det største av tallene), så vi legger bare en 2 fra dekomponeringen av tallet 16 til LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Svar: LCM (12, 16, 24) = 48
Spesielle tilfeller av å finne en NOC
For eksempel, LCM (60, 15) = 60
Siden koprimtall ikke har noen felles primtall, er deres minste felles multiplum lik produktet av disse tallene.
På nettsiden vår kan du også bruke en spesiell kalkulator for å finne det minste vanlige multiplumet på nettet for å sjekke beregningene dine.
Hvis et naturlig tall bare er delelig med 1 og seg selv, kalles det primtall.
Ethvert naturlig tall er alltid delelig med 1 og seg selv.
Tallet 2 er det minste primtallet. Dette er det eneste partallsprimtallet, resten av primtallene er oddetall.
Det er mange primtall, og det første blant dem er tallet 2. Det er imidlertid ikke noe siste primtall. I "For Study"-delen kan du laste ned en tabell med primtall opptil 997.
Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.
- tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
- Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.
- dekomponere talls divisorer i primfaktorer;
Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles tallets divisorer.
Divisor av et naturlig tall a er et naturlig tall som deler det gitte tallet "a" uten en rest.
Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles sammensatt.
Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12.
Fellesdeleren for to gitte tall "a" og "b" er tallet som begge gitte tall "a" og "b" er delt med uten rest.
Største felles deler(GCD) av to gitte tall "a" og "b" er største antall, som begge tallene "a" og "b" er delt med uten en rest.
Kort fortalt er den største felles divisor av tallene "a" og "b" skrevet som følger::
Eksempel: gcd (12; 36) = 12.
Divisjoner av tall i løsningsposten er merket med stor bokstav "D".
Tallene 7 og 9 har bare én felles deler - tallet 1. Slike tall kalles coprimtall.
Coprime tall- dette er naturlige tall som bare har én felles deler - tallet 1. Deres gcd er 1.
Hvordan finne den største felles deleren
For å finne gcd for to eller flere naturlige tall trenger du:
Det er praktisk å skrive beregninger ved hjelp av en vertikal strek. Til venstre for linjen skriver vi først ned utbyttet, til høyre - divisor. Deretter skriver vi ned verdiene til kvotientene i venstre kolonne.
La oss forklare det med en gang med et eksempel. La oss faktorisere tallene 28 og 64 til primfaktorer.
- Vi legger vekt på de samme primfaktorene i begge tallene.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Finn produktet av identiske primfaktorer og skriv ned svaret;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Svar: GCD (28; 64) = 4
Du kan formalisere plasseringen av GCD på to måter: i en kolonne (som gjort ovenfor) eller "på rad".
Den første måten å skrive gcd på
Finn gcd 48 og 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Den andre måten å skrive gcd på
La oss nå skrive ned løsningen til GCD-søket på en linje. Finn gcd 10 og 15.
På informasjonssiden vår kan du også bruke Greatest Common Divisor online-hjelperen for å sjekke beregningene dine.
Finne det minste felles multiplumet, metoder, eksempler på å finne LCM.
Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen med tittelen LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler, sammenheng mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), og vi vil være spesielt oppmerksomme på å løse eksempler. Først vil vi vise hvordan LCM for to tall beregnes ved å bruke GCD for disse tallene. Deretter skal vi se på å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere tall i primfaktorer. Etter dette vil vi fokusere på å finne LCM for tre eller flere tall, og også være oppmerksom på å beregne LCM for negative tall.
Sidenavigering.
Beregner Least Common Multiple (LCM) via GCD
En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Det eksisterende forholdet mellom LCM og GCD lar deg beregne det minste felles multiplum av to heltall positive tall gjennom den kjente største felles deleren. Den tilsvarende formelen er LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). La oss se på eksempler på å finne LCM ved å bruke den gitte formelen.
Finn det minste felles multiplum av to tall 126 og 70.
I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke forbindelsen mellom LCM og GCD, uttrykt ved formelen LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Det vil si at vi først må finne den største felles divisor av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene ved å bruke den skrevne formelen.
La oss finne GCD(126, 70) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, derfor GCD(126, 70)=14.
Nå finner vi det minste felles multiplumet som kreves: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Hva er LCM(68, 34) lik?
Siden 68 er delelig med 34, er GCD(68, 34)=34. Nå beregner vi det minste felles multiplum: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Merk at det forrige eksemplet passer til følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis a er delelig med b, er det minste felles multiplum av disse tallene a.
Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer
En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis du komponerer et produkt fra alle primfaktorene til gitte tall, og deretter ekskluderer fra dette produktet alle de vanlige primfaktorene som er tilstede i dekomponeringen av de gitte tallene, vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av de gitte tallene .
Den oppgitte regelen for å finne LCM følger av likheten LCM(a, b)=a·b:GCD(a,b) . Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av tallene a og b. I sin tur er GCD(a, b) lik produktet av alle primfaktorer som er tilstede samtidig i utvidelsene av tallene a og b (som beskrevet i avsnittet om å finne GCD ved å bruke utvidelsen av tall til primfaktorer).
La oss gi et eksempel. La oss vite at 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. La oss komponere produktet fra alle faktorene til disse utvidelsene: 2·3·3·5·5·5·7 . Nå fra dette produktet ekskluderer vi alle faktorene som er tilstede i både utvidelsen av tallet 75 og utvidelsen av tallet 210 (disse faktorene er 3 og 5), så vil produktet ha formen 2·3·5·5·7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av tallene 75 og 210, det vil si LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Faktorer tallene 441 og 700 inn i primfaktorer og finn det minste felles multiplum av disse tallene.
La oss faktorisere tallene 441 og 700 til primfaktorer: 
Vi får 441=3·3·7·7 og 700=2·2·5·5·7.
La oss nå lage et produkt fra alle faktorene som er involvert i utvidelsen av disse tallene: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorer som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare en slik faktor - dette er tallet 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Således, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441; 700)= 44 100 .
Regelen for å finne LCM ved å bruke faktorisering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b legges til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.
La oss for eksempel ta de samme tallene 75 og 210, deres dekomponering til primfaktorer er som følger: 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra utvidelsen av tallet 75 legger vi de manglende faktorene 2 og 7 fra utvidelsen av tallet 210, vi får produktet 2·3·5·5·7, hvis verdi er lik LCM(75, 210).
Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.
Vi får først dekomponeringene av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 og 648=2·2·2·3·3·3·3. Til faktorene 2, 2, 3 og 7 fra utvidelsen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2, 3, 3 og 3 fra utvidelsen av tallet 648, vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7, som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av 84 og 648 4536.
Finne LCM for tre eller flere tall
Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall sekvensielt. La oss huske det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.
La positive heltall a 1 , a 2 , …, a k gis, det minste felles multiplum m k av disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
La oss vurdere anvendelsen av denne teoremet ved å bruke eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.
Finn LCM for fire tall 140, 9, 54 og 250.
Først finner vi m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . For å gjøre dette, ved hjelp av den euklidiske algoritmen, bestemmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, derfor GCD(140, 9)=1, hvorfra LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Det vil si, m 2 = 1 260.
Nå finner vi m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). La oss beregne det gjennom GCD(1 260, 54), som vi også bestemmer ved hjelp av den euklidiske algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Deretter gcd(1,260, 54)=18, hvorfra gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vil si, m 3 = 3 780.
Det gjenstår å finne m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). For å gjøre dette finner vi GCD(3,780, 250) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Derfor GCD(3,780; 250)=10, hvorfra GCD(3,780; 250)= 3,780·250:GCD(3,780; 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vil si, m 4 = 94 500.
Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.
LCM(140; 9; 54; 250)=94.500 .
I mange tilfeller er det praktisk å finne det minste felles multiplum av tre eller flere tall ved å bruke primfaktoriseringer av de gitte tallene. I dette tilfellet bør du følge følgende regel. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorene fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det tredje tallet legges til de resulterende faktorene, og så videre.
La oss se på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke primfaktorisering.
Finn det minste felles multiplum av de fem tallene 84, 6, 48, 7, 143.
Først får vi dekomponeringer av disse tallene til primfaktorer: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 er et primtall, det sammenfaller med dens dekomponering til primfaktorer) og 143=11·13.
For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2, 2, 3 og 7), må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6. Dekomponeringen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i dekomponeringen av det første tallet 84. Ved siden av faktorene 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48, vi får et sett med faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Det vil ikke være nødvendig å legge til multiplikatorer til dette settet i neste trinn, siden 7 allerede er inneholdt i det. Til slutt, til faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143. Vi får produktet 2·2·2·2·3·7·11·13, som er lik 48.048.
Derfor er LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48.048.
LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48.048 .
Finne det minste felles multiplum av negative tall
Noen ganger er det oppgaver der du må finne det minste felles multiplum av tall, blant hvilke ett, flere eller alle tall er negative. I disse tilfellene alt negative tall du må erstatte dem med de motsatte tallene, og deretter finne LCM for positive tall. Dette er måten å finne LCM for negative tall. For eksempel, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Vi kan gjøre dette fordi settet med multipler av a er det samme som settet med multipler av −a (a og −a er motsatte tall). La b være et eller annet multiplum av a, da er b delelig med a, og begrepet delebarhet angir eksistensen av et heltall q slik at b=a·q. Men likheten b=(−a)·(−q) vil også være sann, som på grunn av det samme delelighetsbegrepet betyr at b er delelig med −a, det vil si at b er et multiplum av −a. Det motsatte er også sant: hvis b er et multiplum av −a, så er b også et multiplum av a.
Finn det minste felles multiplum av negative tall −145 og −45.
La oss erstatte de negative tallene −145 og −45 med deres motsatte tall 145 og 45. Vi har LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Etter å ha bestemt GCD(145, 45)=5 (for eksempel ved å bruke den euklidiske algoritmen), beregner vi GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Dermed er det minste felles multiplum av de negative heltall -145 og -45 1305.
www.cleverstudents.ru
Vi fortsetter å studere divisjon. I denne leksjonen skal vi se på begreper som f.eks GCD Og INGEN C.
GCD er den største felles deleren.
INGEN C er det minste felles multiplum.
Emnet er ganske kjedelig, men du må definitivt forstå det. Uten å forstå dette emnet vil du ikke være i stand til å jobbe effektivt med brøker, som er en reell hindring i matematikk.
Største felles deler
Definisjon. Største felles deler av tall en Og b en Og b delt uten rest.
For å forstå denne definisjonen godt, la oss erstatte variablene en Og b hvilke som helst to tall, for eksempel, i stedet for en variabel en La oss erstatte tallet 12, og i stedet for variabelen b nummer 9. La oss nå prøve å lese denne definisjonen:
Største felles deler av tall 12 Og 9 kalles det største tallet som 12 Og 9 delt uten rest.
Fra definisjonen er det klart at vi snakker om felles divisor for tallene 12 og 9, og denne divisoren er den største av alle eksisterende divisorer. Denne største felles divisor (GCD) må finnes.
For å finne den største felles divisor av to tall, brukes tre metoder. Den første metoden er ganske arbeidskrevende, men den lar deg tydelig forstå essensen av emnet og føle dens fulle betydning.
Den andre og tredje metoden er ganske enkle og gjør det mulig å raskt finne en GCD. Vi skal se på alle tre metodene. Og hvilken du skal bruke i praksis er opp til deg å velge.
Den første metoden er å finne alle mulige divisorer av to tall og velge den største. La oss se på denne metoden ved å bruke følgende eksempel: finn den største felles deleren av tallene 12 og 9.
Først vil vi finne alle mulige divisorer av tallet 12. For å gjøre dette deler vi 12 på alle divisorer i området fra 1 til 12. Hvis divisoren lar oss dele 12 uten en rest, vil vi fremheve det i blå og lag en passende forklaring i parentes.
12: 1 = 12
(12 er delt på 1 uten en rest, noe som betyr at 1 er en deler av tallet 12)
12: 2 = 6
(12 er delt på 2 uten en rest, noe som betyr at 2 er en deler av tallet 12)
12: 3 = 4
(12 er delt på 3 uten en rest, noe som betyr at 3 er en deler av tallet 12)
12: 4 = 3
(12 er delt på 4 uten en rest, noe som betyr at 4 er en deler av tallet 12)
12: 5 = 2 (2 til overs)
(12 deles ikke på 5 uten en rest, noe som betyr at 5 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 6 = 2
(12 er delt på 6 uten en rest, noe som betyr at 6 er en deler av tallet 12)
12: 7 = 1 (5 til overs)
(12 deles ikke på 7 uten en rest, noe som betyr at 7 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 8 = 1 (4 rester)
(12 deles ikke på 8 uten en rest, noe som betyr at 8 ikke er en deler av 12)
12: 9 = 1 (3 til overs)
(12 er ikke delt på 9 uten en rest, noe som betyr at 9 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 10 = 1 (2 til overs)
(12 er ikke delt på 10 uten en rest, noe som betyr at 10 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 11 = 1 (1 rest)
(12 deles ikke på 11 uten en rest, noe som betyr at 11 ikke er en divisor av 12)
12: 12 = 1
(12 er delt på 12 uten en rest, noe som betyr at 12 er en deler av tallet 12)
La oss nå finne divisorene til tallet 9. For å gjøre dette, sjekk alle divisorene fra 1 til 9
9: 1 = 9
(9 er delt på 1 uten en rest, noe som betyr at 1 er en deler av tallet 9)
9: 2 = 4 (1 rest)
(9 deles ikke på 2 uten en rest, noe som betyr at 2 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 3 = 3
(9 er delt på 3 uten en rest, noe som betyr at 3 er en deler av tallet 9)
9: 4 = 2 (1 rest)
(9 deles ikke på 4 uten en rest, noe som betyr at 4 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 5 = 1 (4 til overs)
(9 deles ikke på 5 uten en rest, noe som betyr at 5 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 6 = 1 (3 til overs)
(9 deles ikke på 6 uten en rest, noe som betyr at 6 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 7 = 1 (2 til overs)
(9 deles ikke på 7 uten en rest, noe som betyr at 7 ikke er en deler av tallet 9)
9: 8 = 1 (1 rest)
(9 deles ikke på 8 uten en rest, noe som betyr at 8 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 9 = 1
(9 er delt på 9 uten en rest, noe som betyr at 9 er en deler av tallet 9)
La oss nå skrive ned divisorene til begge tallene. Tallene uthevet i blått er divisorer. La oss skrive dem ned:
Etter å ha skrevet ut divisorene, kan du umiddelbart finne ut hvilken som er den største og mest vanlige.
Per definisjon er den største felles divisor av tallene 12 og 9 tallet som deler 12 og 9 uten en rest. Den største og felles deleren av tallene 12 og 9 er tallet 3
Både tallet 12 og tallet 9 er delelig med 3 uten en rest:
Så gcd (12 og 9) = 3
Den andre måten å finne GCD på
La oss nå se på den andre metoden for å finne den største felles divisor. Essensen av denne metoden er å dekomponere begge tallene til primfaktorer og multiplisere de vanlige.
Eksempel 1. Finn gcd for tallene 24 og 18
Først, la oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:
La oss nå multiplisere deres felles faktorer. For å unngå forvirring kan vanlige faktorer vektlegges.
Vi ser på utvidelsen av tallet 24. Den første faktoren er 2. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at den er der også. Vi legger vekt på begge to:
Vi ser igjen på utvidelsen av tallet 24. Den andre faktoren er også 2. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at for andre gang er den ikke lenger der. Da legger vi ikke vekt på noe.
De to neste i utvidelsen av tallet 24 er også fraværende i utvidelsen av tallet 18.
La oss gå videre til den siste faktoren i utvidelsen av tallet 24. Dette er faktor 3. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at den er der også. Vi legger vekt på begge tre:
Så de vanlige faktorene for tallene 24 og 18 er faktorene 2 og 3. For å få GCD må disse faktorene multipliseres:
Så gcd (24 og 18) = 6
Den tredje måten å finne GCD på
La oss nå se på den tredje måten å finne den største felles divisoren. Essensen av denne metoden er at tallene som skal finnes for den største felles divisor dekomponeres i primfaktorer. Deretter, fra utvidelsen av det første tallet, blir faktorer som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet krysset ut. De resterende tallene i den første utvidelsen multipliseres og oppnås GCD.
La oss for eksempel finne GCD for tallene 28 og 16 ved å bruke denne metoden. Først av alt, dekomponerer vi disse tallene i primfaktorer:
Vi har to utvidelser: og
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke syv. La oss stryke det ut fra den første utvidelsen:
Nå multipliserer vi de gjenværende faktorene og får GCD:
Tallet 4 er den største felles divisor av tallene 28 og 16. Begge disse tallene er delbare med 4 uten en rest:
Eksempel 2. Finn gcd for tallene 100 og 40
Faktorer tallet 100
Faktorer tallet 40
Vi har to utvidelser:
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke én femmer (det er bare én femmer). La oss krysse det ut fra den første utvidelsen
La oss multiplisere de gjenværende tallene:
Vi fikk svaret 20. Dette betyr at tallet 20 er den største felles divisor av tallene 100 og 40. Disse to tallene er delbare med 20 uten en rest:
GCD (100 og 40) = 20.
Eksempel 3. Finn gcd for tallene 72 og 128
Faktorer tallet 72
Faktorer tallet 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke to trillinger (de er ikke der i det hele tatt). La oss krysse dem ut fra den første utvidelsen:
Vi fikk svaret 8. Dette betyr at tallet 8 er den største felles divisor av tallene 72 og 128. Disse to tallene er delbare med 8 uten en rest:
GCD (72 og 128) = 8
Finner GCD for flere tall
Den største felles divisor kan finnes for flere tall, ikke bare to. For å gjøre dette, dekomponeres tallene som skal finnes for den største felles divisor i primfaktorer, deretter blir produktet av de felles primfaktorene til disse tallene funnet.
La oss for eksempel finne GCD for tallene 18, 24 og 36
La oss faktorisere tallet 18
La oss faktorisere tallet 24
La oss faktorisere tallet 36
Vi har tre utvidelser:
La oss nå fremheve og understreke de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må vises i alle tre tallene:
Vi ser at de felles faktorene for tallene 18, 24 og 36 er faktorene 2 og 3. Multipliserer disse faktorene, får vi gcd-en vi ser etter:
Vi fikk svaret 6. Dette betyr at tallet 6 er den største felles deleren av tallene 18, 24 og 36. Disse tre tallene er delbare med 6 uten en rest:
GCD (18, 24 og 36) = 6
Eksempel 2. Finn GCD for nummer 12, 24, 36 og 42
La oss faktorere hvert tall inn i primfaktorer. Så finner vi produktet av fellesfaktorene til disse tallene.
La oss faktorisere tallet 12
La oss faktorisere tallet 42
Vi har fire utvidelser:
La oss nå fremheve og understreke de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må vises i alle fire tallene:
Vi ser at de felles faktorene for tallene 12, 24, 36 og 42 er faktorene 2 og 3. Multipliserer disse faktorene sammen, får vi gcd-en vi ser etter:
Vi fikk svaret 6. Dette betyr at tallet 6 er den største felles divisor av tallene 12, 24, 36 og 42. Disse tallene er delbare med 6 uten en rest:
GCD (12, 24, 36 og 42) = 6
Fra forrige leksjon vet vi at hvis et tall deles på et annet uten en rest, kalles det et multiplum av dette tallet.
Det viser seg at flere tall kan ha et felles multiplum. Og nå vil vi være interessert i multiplumet av to tall, og det skal være så lite som mulig.
Definisjon. Minste felles multiplum (LCM) av tall en Og b- en Og b en og nummer b.
Definisjonen inneholder to variabler en Og b. La oss erstatte to vilkårlige tall i stedet for disse variablene. For eksempel i stedet for en variabel en La oss erstatte tallet 9, og i stedet for variabelen b La oss erstatte tallet 12. La oss nå prøve å lese definisjonen:
Minste felles multiplum (LCM) av tall 9 Og 12 - Dette minste antall, som er et multiplum 9 Og 12 . Dette er med andre ord et så lite tall som er delelig uten en rest med tallet 9 og etter nummer 12 .
Fra definisjonen er det klart at LCM er det minste tallet som er delelig med 9 og 12 uten en rest. Denne LCM må finnes.
For å finne det minste felles multiplum (LCM), kan du bruke to metoder. Den første måten er at du kan skrive ned de første multiplene av to tall, og deretter velge blant disse multiplene et tall som vil være felles for både tall og lite. La oss bruke denne metoden.
Først av alt, la oss finne de første multiplene av tallet 9. For å finne multiplene av 9, må du multiplisere disse ni en etter en med tall fra 1 til 9. De resulterende svarene vil være multipler av tallet 9. Så, la oss begynne. Vi vil markere multipler i rødt:
Nå finner vi multiplene av tallet 12. For å gjøre dette multipliserer vi 12 en etter en med alle tallene 1 til 12.
Vi kaller tall som er delbare med 10 multipler av 10. For eksempel er 30 eller 50 multipler av 10. 28 er et multiplum av 14. Tall som er delbare med både 10 og 14 kalles naturlig felles multiplum av 10 og 14.
Vi kan finne så mange felles multipler vi vil. For eksempel 140, 280 osv.
Et naturlig spørsmål er: hvordan finner man det minste felles multiplum, det minste felles multiplum?
Av multiplene funnet for 10 og 14, er det minste så langt 140. Men er det det minste felles multiplum?
La oss faktorisere tallene våre:
La oss konstruere et tall som er delelig med 10 og 14. For å være delelig med 10 må du ha faktorene 2 og 5. For å være delelig med 14 må du ha faktorene 2 og 7. Men 2 er der allerede, alt du trenger å gjøre er å legge til 7. Det resulterende tallet 70 er felles multiplum av 10 og 14. Det vil imidlertid ikke være mulig å konstruere et tall mindre enn dette slik at det også er et felles multiplum.
Så dette er det minste felles multiplum. Til dette bruker vi notasjonen NOC.
La oss finne GCD og LCM for tallene 182 og 70.
Regn ut selv:
3. 
Vi sjekker:
For å forstå hva GCD og LCM er, kan du ikke klare deg uten faktorisering. Men når vi allerede forstår hva det er, er det ikke lenger nødvendig å faktorisere det hver gang.
For eksempel:
Du kan enkelt bekrefte at for to tall, der det ene er delelig med det andre, er det minste deres GCD og det større er deres LCM. Prøv å forklare deg selv hvorfor det er slik.
Skrittlengden til en far er 70 cm, og den til en liten datter er 15 cm. De begynner å gå med føttene på samme merke. Hvor langt vil de gå før bena er i vater igjen?
Far og datter begynner å flytte. Til å begynne med er bena på samme merke. Etter å ha gått noen skritt kom føttene tilbake til samme nivå. Dette betyr at både pappa og datter fikk en hel rekke skritt for å nå dette merket. Dette betyr at avstanden til henne skal deles på trinnlengden til både far og datter.
Det vil si at vi må finne:
Det vil si at dette vil skje i 210 cm = 2 m 10 cm.
Det er ikke vanskelig å forstå at faren skal ta 3 skritt, og datteren tar 14 (fig. 1).
Ris. 1. Illustrasjon for problemet
Oppgave 1
Petya har 100 venner på VKontakte-nettverket, og Vanya har 200. Hvor mange venner har Petya og Vanya sammen hvis de har 30 felles venner?
Svar 300 er feil fordi de kan ha felles venner.
La oss løse dette problemet slik. La oss skildre et sett med alle Petyas venner rundt. La oss skildre Vanyas mange venner i en annen, større krets.
Disse sirklene har en felles del. Det er felles venner der. Denne vanlige delen kalles "skjæringspunktet" av to sett. Det vil si at settet med felles venner er skjæringspunktet mellom settene til alles venner.
Ris. 2. Vennekretser
Hvis det er 30 felles venner, så er 70 til venstre kun venner av Petina, og 170 er venner av kun Vanina (se fig. 2).
Hvor mye totalt?
Hele det store settet som består av to sirkler kalles foreningen av to sett.
Faktisk løser VK selv problemet med skjæringspunktet mellom to sett for oss; det indikerer umiddelbart mange felles venner når du besøker en annen persons side.
Situasjonen med GCD og LCM av to tall er veldig lik.
Oppgave 2
Tenk på to tall: 126 og 132.
Vi skildrer deres primfaktorer i sirkler (se fig. 3).
Ris. 3. Sirkler med primfaktorer
Skjæringspunktet mellom settene er deres felles deler. GCD består av dem.
Sammenslåingen av to sett gir oss LCM.
Bibliografi
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk 6. klasse. - Gymnastikksal. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. - M.: Utdanning, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver til matematikkkurset for 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En manual for 6. klasseelever ved MEPhI korrespondanseskolen. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematikk: Lærebok-samtaler for 5.-6 videregående skole. - M.: Utdanning, matematikklærerbibliotek, 1989.
3. Nettstedet «Skoleassistent» ()
Hjemmelekser
1. Tre turistbåtreiser starter i havnebyen, den første varer i 15 dager, den andre - 20 og den tredje - 12 dager. Etter å ha kommet tilbake til havnen la skipene av gårde igjen samme dag. I dag forlot skip havnen på alle tre rutene. Om hvor mange dager skal de seile sammen igjen for første gang? Hvor mange turer vil hvert skip gjøre?
2. Finn LCM for tallene:
3. Finn primfaktorene til det minste felles multiplum:
Og hvis: 
, , .
Laster inn...