Null løsning av systemet. Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger. Hvordan finne det grunnleggende løsningssystemet til en lineær ligning

System m lineære ligninger c n kalt ukjente system av lineær homogen ligninger hvis alle frie ledd er lik null. Et slikt system ser slik ut:

Hvor og ij (jeg = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - gitte tall; x i– ukjent.

Et system med lineære homogene ligninger er alltid konsistent, siden r(A) = r(). Den har alltid minst null ( triviell) løsning (0; 0; …; 0).

La oss vurdere under hvilke forhold homogene systemer har løsninger som ikke er null.

Teorem 1. Et system med lineære homogene ligninger har løsninger som ikke er null hvis og bare hvis rangeringen til hovedmatrisen er r færre ukjente n, dvs. r < n.

□ 1). La et system med lineære homogene ligninger ha en løsning som ikke er null. Siden rangeringen ikke kan overstige størrelsen på matrisen, så åpenbart, r ≤ n. La r = n. Så en av de mindre størrelsene n n forskjellig fra null. Derfor har det tilsvarende systemet med lineære ligninger en unik løsning: ... Dette betyr at det ikke finnes andre løsninger enn trivielle. Så hvis det er en ikke-triviell løsning, da r < n.

2). La r < n. Da er det homogene systemet, som er konsistent, usikkert. Det betyr at den har et uendelig antall løsninger, dvs. har løsninger som ikke er null. ■

Tenk på et homogent system n lineære ligninger c n ukjent:

(2)

Teorem 2. Homogent system n lineære ligninger c n ukjente (2) har løsninger som ikke er null hvis og bare hvis determinanten er lik null: = 0.

□ Hvis system (2) har en løsning som ikke er null, så = 0. Fordi når systemet bare har en enkelt nullløsning. Hvis = 0, så rangeringen r hovedmatrisen til systemet er mindre enn antall ukjente, dvs. r < n. Og derfor har systemet et uendelig antall løsninger, dvs. har løsninger som ikke er null. ■

La oss betegne løsningen av system (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n som en streng .

Løsninger av et system med lineære homogene ligninger har følgende egenskaper:

1. Hvis linjen er en løsning på system (1), så er linjen en løsning på system (1).

2. Hvis linjene og er løsninger av system (1), deretter for alle verdier Med 1 og Med 2 deres lineære kombinasjon er også en løsning på system (1).

Gyldigheten av disse egenskapene kan verifiseres ved direkte å erstatte dem i systemets ligninger.

Av de formulerte egenskapene følger det at enhver lineær kombinasjon av løsninger til et system med lineære homogene ligninger også er en løsning på dette systemet.

System av lineært uavhengige løsninger e 1 , e 2 , …, e r kalt fundamental, hvis hver løsning av system (1) er en lineær kombinasjon av disse løsningene e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3. Hvis rang r matriser av koeffisienter for variabler i systemet med lineære homogene ligninger (1) er mindre enn antall variabler n, så består ethvert grunnleggende system av løsninger til system (1) av n–r beslutninger.

Derfor felles vedtak system av lineære homogene ligninger (1) har formen:

Hvor e 1 , e 2 , …, e r– ethvert grunnleggende system av løsninger til systemet (9), Med 1 , Med 2 , …, med s– vilkårlige tall, R = n–r.

Teorem 4. Generell løsning av systemet m lineære ligninger c n ukjente er lik summen av den generelle løsningen til det tilsvarende systemet med lineære homogene ligninger (1) og en vilkårlig spesiell løsning av dette systemet (1).

Eksempel. Løs systemet

Løsning. For dette systemet m = n= 3. Determinant

ved teorem 2 har systemet bare en triviell løsning: x = y = z = 0.

Eksempel. 1) Finn generelle og spesielle løsninger for systemet

2) Finn det grunnleggende løsningssystemet.

Løsning. 1) For dette systemet m = n= 3. Determinant

ved teorem 2 har systemet ikke-nullløsninger.

Siden det bare er en uavhengig ligning i systemet

x + y – 4z = 0,

så fra det vil vi uttrykke x =4z- y. Hvor får vi et uendelig antall løsninger: (4 z- y, y, z) – dette er den generelle løsningen til systemet.

På z= 1, y= -1, får vi en spesiell løsning: (5, -1, 1). Sette z= 3, y= 2, får vi den andre spesielle løsningen: (10, 2, 3), etc.

2) I den generelle løsningen (4 z- y, y, z) variabler y Og z er gratis, og variabelen X- Avhengig av dem. For å finne det grunnleggende løsningssystemet, la oss tilordne verdier til de frie variablene: først y = 1, z= 0, da y = 0, z= 1. Vi får delløsninger (-1, 1, 0), (4, 0, 1), som danner det grunnleggende løsningssystemet.

Illustrasjoner:

Ris. 1 Klassifisering av lineære ligningssystemer

Ris. 2 Studie av lineære ligningssystemer

Presentasjoner:

· Løsning SLAE_matrix metode

· Løsning av SLAE_Cramer-metoden

· Løsning SLAE_Gauss-metoden

· Pakker for å løse matematiske problemer Mathematica, MathCad: søke etter analytiske og numeriske løsninger på systemer med lineære ligninger

Kontrollspørsmål:

1. Definer en lineær ligning

2. Hva slags system ser det ut? m lineære ligninger med n ukjent?

3. Hva kalles å løse systemer av lineære ligninger?

4. Hvilke systemer kalles likeverdige?

5. Hvilket system kalles inkompatibelt?

6. Hvilket system kalles ledd?

7. Hvilket system kalles bestemt?

8. Hvilket system kalles ubestemt

9. Liste de elementære transformasjonene av systemer av lineære ligninger

10. List opp de elementære transformasjonene av matriser

11. Formuler et teorem om anvendelse av elementære transformasjoner på et system av lineære ligninger

12. Hvilke systemer kan løses ved hjelp av matrisemetoden?

13. Hvilke systemer kan løses med Cramers metode?

14. Hvilke systemer kan løses med Gauss-metoden?

15. Nevn 3 mulige tilfeller som oppstår når man løser systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden

16. Beskriv matrisemetoden for å løse systemer av lineære ligninger

17. Beskriv Cramers metode for å løse systemer av lineære ligninger

18. Beskriv Gauss sin metode for å løse systemer av lineære ligninger

19. Hvilke systemer kan løses ved hjelp av en invers matrise?

20. Nevn 3 mulige tilfeller som oppstår når man løser systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramer-metoden

Litteratur:

1. Høyere matematikk for økonomer: Lærebok for universiteter / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Generelt kurs i høyere matematikk for økonomer: Lærebok. / Ed. I OG. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Oppgavesamling i høyere matematikk for økonomer: Lærebok / Redigert av V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Guide til å løse problemer i sannsynlighetsteori og magmatisk statistikk. - M.: Videregående skole, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. - M.: Videregående skole, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Høyere matematikk i oppgaver og oppgaver. Del 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 s. Del 1; – 416 s. Del 2.

7. Matematikk i økonomi: Lærebok: I 2 deler / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finans og statistikk, 2006.

8. Shipachev V.S. Høyere matematikk: Lærebok for studenter. universiteter - M.: Higher School, 2007. - 479 s.

Relatert informasjon.

Vi vil fortsette å polere teknologien vår elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av teknikker, vil det være mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Det er helt klart det et homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først av alt, det som fanger oppmerksomheten er den såkalte triviell løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr uten et show-off. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ...Hvorfor slå rundt bushen, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe den til en trinnvis form. Vær oppmerksom på at her er det ikke nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med frie termer - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke det omvendte av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare en triviell løsning, Hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet - 3 stykker).

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

For å endelig konsolidere algoritmen, la oss analysere den endelige oppgaven:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret i vektorform.

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

(1) Tegnet på den første linjen er endret. Nok en gang trekker jeg oppmerksomheten til en teknikk som har blitt møtt mange ganger, som lar deg forenkle den neste handlingen betydelig.

(1) Den første linjen ble lagt til 2. og 3. linje. Den første linjen, multiplisert med 2, ble lagt til den 4. linjen.

(3) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem er fjernet.

Som et resultat oppnås en standard trinnmatrise, og løsningen fortsetter langs det riflede sporet:

– grunnleggende variabler;
– frie variabler.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie variabler. Fra den andre ligningen:

– bytt inn i den første ligningen:

Så den generelle løsningen er:

Siden det i eksemplet under vurdering er tre frie variabler, inneholder det fundamentale systemet tre vektorer.

La oss erstatte en trippel av verdier inn i den generelle løsningen og få en vektor hvis koordinater tilfredsstiller hver ligning i det homogene systemet. Og igjen, jeg gjentar at det er svært tilrådelig å sjekke hver mottatt vektor - det vil ikke ta mye tid, men det vil beskytte deg fullstendig mot feil.

For en trippel av verdier finn vektoren

Og til slutt for de tre vi får den tredje vektoren:

Svar: , Hvor

De som ønsker å unngå brøkverdier kan vurdere trillinger og få svar i tilsvarende form:

Apropos brøker. La oss se på matrisen oppnådd i oppgaven og la oss spørre oss selv: er det mulig å forenkle den videre løsningen? Tross alt, her uttrykte vi først grunnvariabelen gjennom brøker, deretter gjennom brøker grunnvariabelen, og jeg må si, denne prosessen var ikke den enkleste og ikke den mest behagelige.

Andre løsning:

Tanken er å prøve velg andre basisvariabler. La oss se på matrisen og legge merke til to i den tredje kolonnen. Så hvorfor ikke ha en null på toppen? La oss gjennomføre enda en elementær transformasjon:

Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger

Som en del av timene Gaussisk metode Og Inkompatible systemer/systemer med felles løsning vi vurderte inhomogene systemer av lineære ligninger, Hvor gratis medlem(som vanligvis er til høyre) minst en fra ligningene var forskjellig fra null.
Og nå, etter en god oppvarming med matriserangering, vil vi fortsette å polere teknikken elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av teknikker, vil det være mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Eksempel 1

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke det omvendte av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

Fra artikkelen Hvordan finne rangeringen til en matrise? La oss huske den rasjonelle teknikken med å redusere matrisetallene samtidig. Ellers må du kutte stor, og ofte bitende fisk. Et omtrentlig eksempel på en oppgave på slutten av leksjonen.

Null er bra og praktisk, men i praksis er tilfellet mye mer vanlig når radene i systemmatrisen lineært avhengig. Og da er fremveksten av en generell løsning uunngåelig:

Eksempel 3

Løs et homogent system av lineære ligninger

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form. Den første handlingen er ikke bare rettet mot å oppnå en enkelt verdi, men også på å redusere tallene i den første kolonnen:

(1) En tredje linje ble lagt til den første linjen, multiplisert med –1. Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Øverst til venstre fikk jeg en enhet med "minus", som ofte er mye mer praktisk for videre transformasjoner.

(2) De to første linjene er like, en av dem ble slettet. Ærlig talt, jeg presset ikke på løsningen - det ble sånn. Hvis du utfører transformasjoner på en mal måte, da lineær avhengighet linjer ville blitt avslørt litt senere.

(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 3.

(4) Tegnet på den første linjen ble endret.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system oppnådd:

Algoritmen fungerer akkurat det samme som for heterogene systemer. Variablene "sitter på trinnene" er de viktigste, variabelen som ikke fikk et "steg" er gratis.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene gjennom en fri variabel:

Svar: felles beslutning:

Den trivielle løsningen er inkludert i den generelle formelen, og det er unødvendig å skrive den ned separat.

Kontrollen utføres også i henhold til det vanlige skjemaet: den resulterende generelle løsningen må erstattes på venstre side av hver ligning av systemet og en lovlig null må oppnås for alle erstatninger.

Det ville være mulig å fullføre dette stille og fredelig, men løsningen på et homogent ligningssystem må ofte representeres i vektorform ved bruk av grunnleggende system av løsninger. Vennligst glem det for nå analytisk geometri, siden vi nå skal snakke om vektorer i generell algebraisk forstand, som jeg åpnet litt i artikkelen om matriserangering. Det er ingen grunn til å overse terminologien, alt er ganske enkelt.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE) er utvilsomt det viktigste temaet i et lineært algebrakurs. Et stort antall problemer fra alle grener av matematikken kommer ned til å løse systemer av lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

velg den optimale metoden for å løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
studere teorien om den valgte metoden,
løse systemet med lineære ligninger ved å vurdere detaljerte løsninger på typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av artikkelmaterialet.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, begreper og introduserer notasjoner.

Deretter vil vi vurdere metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. For det første vil vi fokusere på Cramers metode, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, og for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden for sekvensiell eliminering av ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter dette vil vi gå videre til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av generell form, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er entall. La oss formulere Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (hvis de er kompatible) ved å bruke konseptet med en basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene på eksemplene.

Vi vil definitivt dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan den generelle løsningen til en SLAE er skrevet ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse, la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis vil vi vurdere likningssystemer som kan reduseres til lineære, samt ulike problemer i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - frie ledd (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for opptak SLAE kalles koordinere.

I matriseformå skrive dette ligningssystemet har formen,
Hvor - systemets hovedmatrise, - en kolonnematrise med ukjente variabler, - en kolonnematrise med frie ledd.

Legger vi til en matrisekolonne med frie ledd til matrise A som (n+1)te kolonne, får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er en utvidet matrise merket med bokstaven T, og kolonnen med frie termer er atskilt med en vertikal linje fra de resterende kolonnene, det vil si,

Løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler som gjør alle likninger i systemet til identiteter. Matriseligningen for gitte verdier av de ukjente variablene blir også en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis et ligningssystem ikke har noen løsninger, kalles det ikke-ledd.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så – usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers - heterogen.

Løse elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet ligninger i et system er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null, vil slike SLAE-er bli kalt elementær. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE-er på videregående. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Anta at vi må løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og - determinanter av matriser som er hentet fra A ved erstatning 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med denne notasjonen beregnes ukjente variabler ved å bruke formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen på et system med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Eksempel.

Cramers metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . La oss beregne dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten for hovedmatrisen til systemet ikke er null, har systemet en unik løsning som kan bli funnet med Cramers metode.

La oss komponere og beregne de nødvendige determinantene (vi får determinanten ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer, determinanten ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie termer, og ved å erstatte den tredje kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer) :

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svar:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinanter når antallet ligninger i systemet er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke en invers matrise).

La et system med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform, der matrisen A har dimensjon n med n og dens determinant er ikke null.

Siden , matrise A er inverterbar, det vil si at det er en invers matrise. Hvis vi multipliserer begge sider av likheten med venstre, får vi en formel for å finne en matrisekolonne med ukjente variabler. Slik fikk vi en løsning på et system av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetoden.

Løsning.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi

så kan SLAE løses ved hjelp av matrisemetoden. Ved å bruke den inverse matrisen kan løsningen på dette systemet finnes som .

La oss konstruere en invers matrise ved å bruke en matrise fra algebraiske addisjoner av elementer i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen til en matrisekolonne med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svar:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet når man finner løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved bruk av matrisemetoden, er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består av sekvensiell ekskludering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle ligninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n forblir i den siste ligningen. Denne prosessen med å transformere systemligninger for å sekvensielt eliminere ukjente variabler kalles direkte gaussisk metode. Etter å ha fullført foroverslaget til Gauss-metoden, blir x n funnet fra den siste ligningen, ved å bruke denne verdien fra den nest siste ligningen, beregnes x n-1, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles invers av Gauss-metoden.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. La oss eliminere den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, og starter med den andre. For å gjøre dette, til den andre ligningen i systemet legger vi den første, multiplisert med , til den tredje ligningen legger vi den første, multiplisert med , og så videre, til den n-te ligningen legger vi den første, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og .

Vi ville ha kommet til det samme resultatet hvis vi hadde uttrykt x 1 i form av andre ukjente variabler i den første likningen av systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre likninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter fortsetter vi på lignende måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er markert i figuren

For å gjøre dette legger vi til den tredje likningen i systemet den andre, multiplisert med , til den fjerde likningen legger vi den andre, multiplisert med , og så videre, til den n-te likningen legger vi den andre, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi med å eliminere den ukjente x 3, mens vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter den direkte progresjonen av Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det motsatte av Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som , ved å bruke den oppnådde verdien av x n finner vi x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre, vi finner x 1 fra den første ligningen .

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gauss metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje likningen i systemet. For å gjøre dette legger vi til begge sider av den andre og tredje ligningen de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå eliminerer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og høyre side til venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

Dette fullfører det fremre slaget til Gauss-metoden; vi begynner slaget bakover.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og fullfører dermed det motsatte av Gauss-metoden.

Svar:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Generelt faller ikke antall ligninger i systemet p sammen med antall ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og entall.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt og når det er inkonsekvent er gitt av Kronecker-Capelli teorem:
For at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til hovedmatrisen til systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen, dvs. , Rangering(A)=Rank(T).

La oss vurdere, som et eksempel, anvendelsen av Kronecker-Capelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense til mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss se på tredjeordens mindreårige som grenser til det:

Siden alle de grensende mindreårige av den tredje orden er lik null, er rangeringen til hovedmatrisen lik to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden mindretallet er av tredje orden

forskjellig fra null.

Dermed, Rang(A), derfor, ved å bruke Kronecker-Capelli-setningen, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Systemet har ingen løsninger.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til et system ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne en løsning på en SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med en basismoll av en matrise og et teorem om rangeringen til en matrise.

Den moll av høyeste orden av matrisen A, forskjellig fra null, kalles grunnleggende.

Fra definisjonen av en basis minor følger det at rekkefølgen er lik rangeringen av matrisen. For en matrise A som ikke er null, kan det være flere basis moll; det er alltid en basis moll.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende andreordens mindreårige er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p til n er lik r, blir alle rad- (og kolonne-)elementer i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de korresponderende rad- (og kolonneelementene) som danner basis mindre.

Hva forteller matriserangeringssetningen oss?

Hvis vi i henhold til Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi hvilken som helst basis-minor av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som gjør det ikke utgjør den valgte basis mindreårige. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet unødvendige ligninger av systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden minor er av andre orden forskjellig fra null. Utvidet matriserangering er også lik to, siden den eneste tredje ordens moll er null

og andreordens moll som er vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan vi hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2.

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:

Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av basisminor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på teoremet om rangeringen av matrisen:

Dette er hvordan vi fikk et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved å bruke Cramers metode:

Svar:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Hvis antall ligninger r i den resulterende SLAE er mindre enn antall ukjente variabler n, så lar vi på venstre side av ligningene vilkårene som danner basis-minor, og vi overfører de resterende leddene til høyresiden av likningene. likninger av systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det er n - r-stykker) som er på høyre side kalles gratis.

Nå tror vi at frie ukjente variabler kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil uttrykkes gjennom frie ukjente variabler på en unik måte. Uttrykket deres kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss se på det med et eksempel.

Eksempel.

Løs et system med lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

La oss finne rangeringen til hovedmatrisen til systemet ved å grense mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en ikke-null moll av første orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av andre orden som grenser til denne moll:

Slik fant vi en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:

Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Vi tar den funnet ikke-null moll av tredje orden som basis en.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:

Vi lar begrepene som er involvert i basis-moll på venstre side av systemligningene, og overfører resten med motsatte fortegn til høyre side:

La oss gi de frie ukjente variablene x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi godtar , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet vil SLAE ta formen

La oss løse det resulterende elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved å bruke Cramers metode:

Derfor,.

I svaret ditt, ikke glem å angi ledige ukjente variabler.

Svar:

Hvor er vilkårlige tall.

Oppsummer.

For å løse et system med generelle lineære algebraiske ligninger, bestemmer vi først dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkompatibelt.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi en basis-minor og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte basis-minor.

Hvis rekkefølgen på basisminoren er lik antall ukjente variabler, har SLAE en unik løsning, som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen til basisminor er mindre enn antall ukjente variabler, lar vi på venstre side av systemligningene vilkårene med de viktigste ukjente variablene, overføre de resterende leddene til høyre side og gi vilkårlige verdier til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Gauss-metoden kan brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten først å teste dem for konsistens. Prosessen med sekvensiell eliminering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkompatibiliteten til SLAE, og hvis en løsning finnes, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig synspunkt er Gauss-metoden å foretrekke.

Se dens detaljerte beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss-metoden for å løse systemer av generelle lineære algebraiske ligninger.

Skrive en generell løsning på homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorer av det fundamentale løsningssystemet.

I denne delen skal vi snakke om samtidige homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har et uendelig antall løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende system av løsninger homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er en samling av (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, hvor r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , er X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) søylematriser med dimensjon n med 1) , så er den generelle løsningen av dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlige konstante koeffisienter C 1, C 2, ..., C (n-r), det vil si .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen spesifiserer alle mulige løsninger av den originale SLAE, med andre ord, ved å ta ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter C 1, C 2, ..., C (n-r), ved å bruke formelen vil vi få en av løsningene av den originale homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi definere alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE.

Vi velger basis-moll for det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet og overfører alle ledd som inneholder frie ukjente variabler til høyresiden av systemlikningene med motsatte fortegn. La oss gi de frie ukjente variablene verdiene 1,0,0,...,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel ved å bruke Cramer-metoden. Dette vil resultere i X (1) - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis vi gir de frie ukjente verdiene 0,1,0,0,...,0 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi tilordner verdiene 0.0,…,0.1 til de frie ukjente variablene og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . På denne måten vil et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen .

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger, er den generelle løsningen representert i formen , hvor er den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet, og er den spesielle løsningen av den opprinnelige inhomogene SLAE, som vi oppnår ved å gi de frie ukjente verdiene 0,0,...,0 og beregne verdiene til de viktigste ukjente.

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved å bruke metoden for å grense til mindreårige. Som en ikke-null moll av første orden tar vi element a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. La oss finne den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En mindreårig av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom de mindreårige av tredje orden som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle tredje-ordens grensende mindreårige er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen lik to. La oss ta . For klarhet, la oss legge merke til elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av basisminor, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente på høyre side av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyre side:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende løsningssystemet til denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens basisminor er lik to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 = 1, x 4 = 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.

La oss vurdere homogent system m lineære ligninger med n variabler:

(15)

Et system med homogene lineære ligninger er alltid konsistent, fordi den har alltid en null (triviell) løsning (0,0,...,0).

Hvis i system (15) m=n og , så har systemet bare en nullløsning, som følger av Cramers teorem og formler.

Teorem 1. Homogent system (15) har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis rangeringen av matrisen er mindre enn antall variabler, dvs. . r(EN)< n.

Bevis. Eksistensen av en ikke-triviell løsning til system (15) tilsvarer en lineær avhengighet av kolonnene i systemmatrisen (dvs. det er tall x 1, x 2,..., x n, ikke alle lik null, slik at likheter (15) er sanne).

I følge basis-molteoremet er kolonnene i en matrise lineært avhengige  når ikke alle kolonnene i denne matrisen er grunnleggende, dvs.  når rekkefølgen r av basis-moll av matrisen er mindre enn antallet n av dens kolonner. Etc.

Konsekvens. Et kvadratisk homogent system har ikke-trivielle løsninger  når |A|=0.

Teorem 2. Hvis kolonnene x (1), x (2),..., x (s) er løsninger til et homogent system AX = 0, så er en hvilken som helst lineær kombinasjon av dem også en løsning på dette systemet.

Bevis. Vurder enhver kombinasjon av løsninger:

Så AX=A()===0. etc.

Konsekvens 1. Hvis et homogent system har en ikke-triviell løsning, så har det uendelig mange løsninger.

At. det er nødvendig å finne slike løsninger x (1), x (2),..., x (s) av systemet Ax = 0, slik at enhver annen løsning av dette systemet er representert i form av deres lineære kombinasjon og dessuten på en unik måte.

Definisjon. Systemet k=n-r (n er antall ukjente i systemet, r=rg A) av lineært uavhengige løsninger x (1), x (2),..., x (k) av systemet Ах=0 kalles grunnleggende system av løsninger dette systemet.

Teorem 3. La det gis et homogent system Ах=0 med n ukjente og r=rg A. Da er det et sett med k=n-r løsninger x (1), x (2),..., x (k) av dette systemet, som danner en grunnleggende system av løsninger.

Bevis. Uten tap av generalitet kan vi anta at basis-moll av matrisen A er plassert i øvre venstre hjørne. Deretter, ved basis-molteoremet, er de gjenværende radene i matrise A lineære kombinasjoner av basisradene. Dette betyr at hvis verdiene x 1, x 2,..., x n tilfredsstiller de første r-ligningene, dvs. ligninger som tilsvarer radene i basismoll), så tilfredsstiller de også andre ligninger. Følgelig vil ikke settet med løsninger til systemet endres hvis vi forkaster alle ligninger som starter fra (r+1). Vi får systemet:

La oss flytte de frie ukjente x r +1 , x r +2 ,..., x n til høyre side, og la de grunnleggende x 1 , x 2 ,..., x r stå på venstre side:

(16)

Fordi i dette tilfellet er alle b i =0, da i stedet for formlene

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r ((13), får vi:

c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r (13)

Hvis vi setter de frie ukjente x r +1 , x r +2 ,..., x n til vilkårlige verdier, så får vi med hensyn til de grunnleggende ukjente en kvadratisk SLAE med en ikke-singular matrise som det er en unik løsning for. Dermed blir enhver løsning av en homogen SLAE unikt bestemt av verdiene til de frie ukjente xr +1, x r +2,..., x n. Tenk på følgende k=n-r-serie med verdier av frie ukjente:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serienummeret er angitt med hevet skrift i parentes, og verdirekkene er skrevet i form av kolonner. I hver serie =1 hvis i=j og =0 hvis ij.

Den i-te serien med verdier av frie ukjente tilsvarer unikt verdiene til ,,..., grunnleggende ukjente. Verdiene til de frie og grunnleggende ukjente gir sammen løsninger til systemet (17).

La oss vise at kolonnene e i =,i=1,2,...,k (18)

danne et grunnleggende system av løsninger.

Fordi Disse kolonnene er ved konstruksjon løsninger til det homogene systemet Ax=0 og deres antall er lik k, så gjenstår det å bevise den lineære uavhengigheten til løsninger (16). La det være en lineær kombinasjon av løsninger e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,..., x (k)), lik nullkolonnen:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Så er venstre side av denne likheten en kolonne hvis komponenter med tallene r+1,r+2,...,n er lik null. Men den (r+1)te komponenten er lik  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Tilsvarende er den (r+2)te komponenten lik  2 ,..., den kth komponenten er lik k. Derfor  1 =  2 = …= k =0, som betyr lineær uavhengighet av løsninger e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1), x (2), …, x (k)).

Det konstruerte fundamentale løsningssystemet (18) kalles normal. I kraft av formel (13) har den følgende form:

(20)

Konsekvens 2. La e 1 , e 2 ,…, e k-normalt grunnleggende system av løsninger av et homogent system, så kan settet med alle løsninger beskrives med formelen:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)

hvor с 1,с 2,...,с k – ta vilkårlige verdier.

Bevis. Ved teorem 2 er kolonne (19) en løsning på det homogene systemet Ax=0. Det gjenstår å bevise at enhver løsning på dette systemet kan representeres i formen (17). Tenk på kolonnen X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Denne kolonnen sammenfaller med kolonnen y i elementer med tall r+1,...,n og er en løsning på (16). Derfor kolonnene X Og på sammenfaller, fordi løsninger av system (16) er unikt bestemt av settet med verdier av dets frie ukjente x r +1 , ..., x n , og kolonnene på Og X disse settene er de samme. Derfor, på=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, dvs. løsning på er en lineær kombinasjon av kolonner e 1 ,…,y n normal FSR. Etc.

Det beviste utsagnet er sant ikke bare for en normal FSR, men også for en vilkårlig FSR av en homogen SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - felles vedtak systemer av lineære homogene ligninger

Hvor X 1, X 2,..., X n - r – et hvilket som helst grunnleggende system av løsninger,

c 1 ,c 2 ,...,c n - r er vilkårlige tall.

Eksempel. (s. 78)

La oss etablere en sammenheng mellom løsningene til den inhomogene SLAE (1) og den tilsvarende homogene SLAE (15)

Teorem 4. Summen av enhver løsning til det inhomogene systemet (1) og det tilsvarende homogene systemet (15) er en løsning til system (1).

Bevis. Hvis c 1 ,...,c n er en løsning til system (1), og d 1 ,...,d n er en løsning til system (15), så substituerer de ukjente tallene c inn i en hvilken som helst (for eksempel i-te) ligning av system (1) 1 +d 1 ,...,c n +d n , vi får:

Bi +0=b i h.t.d.

Teorem 5. Forskjellen mellom to vilkårlige løsninger av det inhomogene systemet (1) er en løsning til det homogene systemet (15).

Bevis. Hvis c 1 ,…,c n og c 1 ,…,c n er løsninger av system (1), erstatter du de ukjente tallene c i en hvilken som helst (for eksempel i-te) likning av systemet (1) ) 1 -с 1 ,...,c n -с n , vi får:

Bi-bi =0 p.t.d.

Fra de påviste teoremene følger det at den generelle løsningen av et system av m lineære homogene ligninger med n variabler er lik summen av den generelle løsningen av det tilsvarende systemet med homogene lineære ligninger (15) og et vilkårlig antall av en bestemt løsning av dette systemet (15).

X neod. =X Total en +X hyppig Mer enn en gang (22)

Som en spesiell løsning på et inhomogent system er det naturlig å ta løsningen som oppnås hvis i formlene c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r ((13) sett alle tall c r +1 ,...,c n lik null, dvs.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Legger denne spesielle løsningen til den generelle løsningen X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r tilsvarende homogent system, får vi:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Tenk på et system av to ligninger med to variabler:

der minst én av koeffisientene en ij 0.

For å løse, eliminerer vi x 2 ved å multiplisere den første ligningen med en 22, og den andre med (-a 12) og addere dem: Eliminer x 1 ved å multiplisere den første ligningen med (-a 21), og den andre med en 11 og legger dem til: Uttrykket i parentes er determinanten

Etter å ha utpekt ,, så vil systemet ha formen:, dvs. hvis, så har systemet en unik løsning:,.

Hvis Δ=0, og (eller), så er systemet inkonsekvent, fordi redusert til formen Hvis Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, så er systemet usikkert, fordi redusert til form