Invers funksjon y 3x. Gjensidig inverse funksjoner, grunnleggende definisjoner, egenskaper, grafer. Bevis for teoremet om eksistensen og kontinuiteten til den inverse funksjonen på et intervall

Funksjon er avhengigheten av en variabel av en annen. Funksjoner kan spesifiseres ved hjelp av en tabellmetode, en verbal metode, en grafisk metode eller en formel.

Funksjoner er delt inn i følgende typer:

Lineær funksjon
Kvadratisk funksjon
Kubisk funksjon
Trigonometrisk funksjon
Power funksjon
Eksponentiell funksjon
Logaritmisk funksjon

Funksjon Domene D(y) er settet av alle tillatte verdier av argumentet x (uavhengig variabel x), som uttrykket på høyre side av funksjonsligningen y = f(x) gir mening. Med andre ord, dette er utvalget av akseptable verdier for uttrykket f(x).

For å finne definisjonsdomenet fra grafen til funksjonen y = f(x), må du, bevege deg fra venstre til høyre langs OX-aksen, skrive ned alle intervallene til x-verdier der funksjonsgrafen finnes.

Settet med verdier til funksjonen E(y) er settet av alle verdier som den avhengige variabelen y kan ta.

For å finne verdisettet fra grafen til en funksjon y = f(x), må du, bevege deg fra bunn til topp langs OY-aksen, skrive ned alle intervallene til y-verdier der funksjonsgraf finnes.

Invers funksjon- funksjon y=g(x), som er hentet fra den gitte funksjonen y = f(x), hvis vi fra relasjonen x = f(y) uttrykker y til x.

For å finne inversen for en gitt funksjon y = f(x), må du:

I relasjonen y = f(x), erstatt x med y, og y med x: x = f(y).
I det resulterende uttrykket x=f(y), uttrykk y i form av x.

Funksjonene f(x) og g(x) er gjensidig inverse. La oss se på dette med et eksempel

Eksempler på å finne inverse funksjoner:

Domenet og domenet til funksjonene f og g byttes: domenet til f er domenet til g, og domenet til f er domenet til g.

Ikke for hver funksjon kan du spesifisere invers. Betingelsen for inverterbarheten til en funksjon er dens monotonisitet, det vil si at funksjonen bare skal øke eller bare avta. Hvis en funksjon ikke er monoton over hele definisjonsdomenet, men monoton på et visst intervall, så er det mulig å definere dens inverse funksjon kun på dette intervallet.

Egenskaper for gjensidig inverse funksjoner La oss merke oss noen egenskaper ved gjensidig inverse funksjoner. 1) Identiteter.

La f Og g– gjensidig inverse funksjoner. Da: f(g(y)) = y Og g(f(x)) = x. 2) Definisjonsdomene.

La f Og g– gjensidig inverse funksjoner. Funksjon Domene f faller sammen med funksjonsområdet g, og omvendt, rekkevidden til funksjonen f faller sammen med definisjonsdomenet til funksjonen g. 3) Monotone.

Hvis en av de gjensidig inverse funksjonene øker, øker også den andre. Et lignende utsagn gjelder for avtagende funksjoner. 4) Diagrammer.

Grafer av gjensidig inverse funksjoner konstruert i samme koordinatsystem er symmetriske til hverandre med hensyn til en rett linje y = x.

Transformasjoner av funksjonsgrafer er lineære transformasjoner av en funksjon y = f(x) eller argumentet xå tenke på y = af(kx + b) + m, samt konvertering ved hjelp av modul.

Å vite hvordan man tegner en funksjon y = f(x), Hvor

du kan tegne funksjonen y = af(kx + b) + m.

Spørsmål til notater

Y = 0,5x - 4

Finn domenet til funksjonen:

Bestem om en funksjon er partall eller oddetall:

Løs den rasjonelle brøklikningen:

Finn det motsatte av denne funksjonen:

Finn verdien av uttrykket 6f(-1) +3f(5), if

Vi har allerede støtt på problemet når gitt funksjon f og den gitte verdien av argumentet, var det nødvendig å beregne verdien av funksjonen på dette tidspunktet. Men noen ganger må du møte det omvendte problemet: å finne, gitt en kjent funksjon f og dens bestemte verdi y, verdien av argumentet der funksjonen har en gitt verdi y.

En funksjon som tar hver av sine verdier på et enkelt punkt i sitt definisjonsdomene kalles en inverterbar funksjon. For eksempel vil en lineær funksjon være inverterbar funksjon. EN kvadratisk funksjon eller sinusfunksjonen vil ikke være inverterbare funksjoner. Siden en funksjon kan ha samme verdi med forskjellige argumenter.

Invers funksjon

La oss anta at f er en vilkårlig inverterbar funksjon. Hvert tall fra domenet til verdiene y0 tilsvarer bare ett tall fra domenet til definisjon x0, slik at f(x0) = y0.

Hvis vi nå assosierer hver verdi x0 med en verdi y0, får vi en ny funksjon. For eksempel for lineær funksjon f(x) = k * x + b funksjonen g(x) = (x - b)/k vil være invers.

Hvis noen funksjon g på hvert punkt X verdiområde for den inverterbare funksjonen f tar en verdi slik at f(y) = x, da sier vi at funksjonen g- det er en invers funksjon til f.

Hvis vi får en graf for en inverterbar funksjon f, så for å konstruere en graf av den inverse funksjonen, kan vi bruke følgende utsagn: Grafen til funksjonen f og dens invers funksjon g vil være symmetrisk i forhold til den rette linje spesifisert av ligningen y = x.

Hvis en funksjon g er inversen til en funksjon f, vil funksjonen g være en inverterbar funksjon. Og funksjonen f vil være inversen av funksjonen g. Det sies vanligvis at to funksjoner f og g er gjensidig inverse til hverandre.

Den følgende figuren viser grafer av funksjonene f og g som er gjensidig invers i forhold til hverandre.

La oss utlede følgende teorem: hvis en funksjon f øker (eller avtar) på et intervall A, så er den inverterbar. Den inverse funksjonen g, definert i verdiområdet til funksjonen f, er også en økende (eller tilsvarende avtagende) funksjon. Denne teoremet kalles invers funksjonsteorem.

Tilsvarende uttrykk som snur hverandre. For å forstå hva dette betyr, er det verdt å vurdere konkret eksempel. La oss si at vi har y = cos(x). Hvis du tar cosinus fra argumentet, kan du finne verdien av y. Selvfølgelig, for dette må du ha X. Men hva om spillet ble gitt i utgangspunktet? Det er her det kommer til kjernen av saken. For å løse problemet må du bruke den inverse funksjonen. I vårt tilfelle er det arccosine.

Etter alle transformasjonene får vi: x = arccos(y).

Det vil si at for å finne en funksjon invers til en gitt, er det nok å bare uttrykke et argument fra den. Men dette fungerer bare hvis det resulterende resultatet har en enkelt betydning (mer om dette senere).

Generelt kan dette faktum skrives som følger: f(x) = y, g(y) = x.

Definisjon

La f være en funksjon hvis domene er mengden X og hvis domene er mengden Y. Så, hvis det finnes en g hvis domener utfører motsatte oppgaver, så er f inverterbar.

Dessuten er g i dette tilfellet unik, noe som betyr at det er nøyaktig én funksjon som tilfredsstiller denne egenskapen (ikke mer eller mindre). Da kalles den invers funksjon, og skriftlig betegnes den slik: g(x) = f -1 (x).

Med andre ord kan de betraktes som en binær relasjon. Reversibilitet oppstår bare når ett element i settet tilsvarer en verdi fra en annen.

Den inverse funksjonen eksisterer ikke alltid. For å gjøre dette må hvert element y є Y tilsvare høyst en x є X. Da kalles f en-til-en eller injeksjon. Hvis f -1 tilhører Y, må hvert element i dette settet tilsvare noen x ∈ X. Funksjoner med denne egenskapen kalles surjeksjoner. Det holder per definisjon hvis Y er et bilde av f, men dette er ikke alltid tilfelle. For å være omvendt, må en funksjon være både en injeksjon og en injeksjon. Slike uttrykk kalles bijeksjoner.

Eksempel: kvadrat- og rotfunksjoner

Funksjonen er definert på )