Inverse trigonometriske funksjoner og deres egenskaper. La oss uttrykke det i form av alle inverse trigonometriske funksjoner. Grunnleggende relasjoner av inverse trigonometriske funksjoner
TIL inverse trigonometriske funksjoner Følgende 6 funksjoner inkluderer: arcsine , arccosine , arktangens , arccotangens , arcscanant Og arccosecant .
Siden de opprinnelige trigonometriske funksjonene er periodiske, er de inverse funksjonene generelt sett det polysemantisk . For å sikre en en-til-en korrespondanse mellom to variabler, begrenses definisjonsdomenene til de opprinnelige trigonometriske funksjonene ved å vurdere bare dem hovedgrener . For eksempel vurderes funksjonen \(y = \sin x\) kun i intervallet \(x \in \venstre[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). På dette intervallet er den inverse arcsine-funksjonen unikt definert.
Arcsine funksjon
Bue for tallet \(a\) (angitt med \(\arcsin a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i intervallet \(\venstre[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), for hvilke \(\sin x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \arcsin x\) er definert ved \(x \i \venstre[ ( -1,1) \right]\), dens verdiområde er \(y \i \venstre[ ( - \pi / 2,\pi /2) \right]\).
Arc cosinus funksjon
Arccosinus for tallet \(a\) (betegnet \(\arccos a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i intervallet \(\left[ (0,\pi) \right]\) , hvor \(\cos x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \arccos x\) er definert ved \(x \i \venstre[ ( -1,1) \right]\), dens verdiområde tilhører segmentet \(y \in \venstre[ (0,\ pi)\høyre]\).
Arctangens funksjon
Arktangens av nummeret en(angitt med \(\arctan a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i det åpne intervallet \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), ved som \(\tan x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \arctan x\) er definert for alle \(x \i \mathbb(R)\), arctangensområdet er lik \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\høyre)\).
Arc tangens funksjon
Arccotangensen til tallet \(a\) (angitt med \(\text(arccot) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i det åpne intervallet \(\left[ (0,\ pi) \right]\), hvor \(\cot x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \text(arccot) x\) er definert for alle \(x \i \mathbb(R)\), dens verdiområde er i intervallet \(y \in \ venstre[ (0,\pi) \høyre]\).
Arcsecant funksjon
Buekanten til tallet \(a\) (betegnet med \(\text(arcsec ) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) der \(\sek x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \text(arcsec ) x\) er definert ved \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), dets verdiområde tilhører settet \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).
Arccosecant funksjon
Arccosecanten til tallet \(a\) (betegnet \(\text(arccsc ) a\) eller \(\text(arccosec ) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) som \(\ csc x = a\ ). Den inverse funksjonen \(y = \text(arccsc ) x\) er definert ved \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), tilhører området for verdiene til settet \(y \in \venstre[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).
Hovedverdier for arcsine- og arccosine-funksjonene (i grader)
| \(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\sirkel\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
| \(\arccos x\) | \(180^\circ\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\sirkel\) |
Hovedverdier for arctangens og arccotangent funksjoner (i grader)
| \(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\sirkel\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| \(\text(arccot) x\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Leksjon 32-33. Inverse trigonometriske funksjoner
09.07.2015 8495 0Mål: vurdere inverse trigonometriske funksjoner og deres bruk for å skrive løsninger til trigonometriske ligninger.
I. Formidling av emnet og formålet med timene
II. Lære nytt stoff
1. Inverse trigonometriske funksjoner
La oss begynne diskusjonen om dette emnet med følgende eksempel.
Eksempel 1
La oss løse ligningen: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) På ordinataksen plotter vi verdien 1/2 og konstruerer vinklene x 1 og x2, for hvilket synd x = 1/2. I dette tilfellet x1 + x2 = π, hvorav x2 = π – x 1 . Ved å bruke tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner finner vi verdien x1 = π/6, deretter
La oss ta hensyn til periodisiteten til sinusfunksjonen og skrive ned løsningene til denne ligningen:
hvor k ∈ Z.
b) Selvfølgelig, algoritmen for å løse ligningen synd x = a er det samme som i forrige avsnitt. Selvfølgelig, nå er verdien a plottet langs ordinataksen. Det er behov for å angi vinkelen x1 på en eller annen måte. Vi ble enige om å angi denne vinkelen med symbolet arcsin EN. Så kan løsningene til denne ligningen skrives på skjemaetDisse to formlene kan kombineres til én: hvori 
De gjenværende inverse trigonometriske funksjonene introduseres på lignende måte.
Svært ofte er det nødvendig å bestemme størrelsen på en vinkel fra den kjente verdien av dens trigonometriske funksjon. Et slikt problem har flere verdier - det er utallige vinkler hvis trigonometriske funksjoner er lik samme verdi. Derfor, basert på monotonisiteten til trigonometriske funksjoner, introduseres følgende inverse trigonometriske funksjoner for unikt å bestemme vinkler.
Arcsinus av tallet a (arcsin , hvis sinus er lik a, dvs.
Arc cosinus av et tall a(arccos a) er en vinkel a fra intervallet hvis cosinus er lik a, dvs.
Arktangens av et tall a(arctg a) - en slik vinkel a fra intervallethvis tangent er lik a, dvs.
tg a = a.
Arcotangens av et tall a(arcctg a) er en vinkel a fra intervallet (0; π), hvis cotangens er lik a, dvs. ctg a = a.
Eksempel 2
La oss finne:
Når vi tar i betraktning definisjonene av inverse trigonometriske funksjoner, får vi:
Eksempel 3
La oss beregne 
La vinkelen a = arcsin 3/5, da per definisjon sin a = 3/5 og . Derfor må vi finne cos EN. Ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten får vi:
Det tas i betraktning at cos a ≥ 0. Så, 
Funksjonsegenskaper | Funksjon |
|||
y = lysbue x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Domene | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Rekkevidde av verdier | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Paritet | Merkelig | Verken partall eller rart | Merkelig | Verken partall eller rart |
Funksjonsnuller (y = 0) | Ved x = 0 | Ved x = 1 | Ved x = 0 | y ≠ 0 |
Intervaller for tegnkonstans | y > 0 for x ∈ (0; 1], på< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 for x ∈ [-1; 1) | y > 0 for x ∈ (0; +∞), på< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 for x ∈ (-∞; +∞) |
Monotone | Økende | Synkende | Økende | Synkende |
Forholdet til den trigonometriske funksjonen | sin y = x | fordi y = x | tg y = x | ctg y = x |
Rute | ||||
La oss gi en rekke mer typiske eksempler relatert til definisjonene og grunnleggende egenskapene til inverse trigonometriske funksjoner.
Eksempel 4
La oss finne definisjonsdomenet til funksjonen
For at funksjonen y skal defineres, er det nødvendig å tilfredsstille ulikheten
som tilsvarer systemet med ulikheter
Løsningen på den første ulikheten er intervallet x∈
(-∞; +∞), andre - Dette intervallet og er en løsning på systemet med ulikheter, og derfor definisjonsdomenet for funksjonen
Eksempel 5
La oss finne området for endring av funksjonen
La oss vurdere funksjonen til funksjonen z = 2x - x2 (se bilde).
Det er tydelig at z ∈ (-∞; 1]. Tatt i betraktning at argumentet z lysbue-cotangens-funksjonen varierer innenfor de angitte grensene, fra tabelldataene vi henter det
Så området for endring
Eksempel 6
La oss bevise at funksjonen y = arctg x rart. La
Så tg a = -x eller x = - tg a = tg (- a), og 
Derfor, - a = arctg x eller a = - arctg X. Dermed ser vi detdvs. y(x) er en oddetallsfunksjon.
Eksempel 7
La oss uttrykke gjennom alle inverse trigonometriske funksjoner
La 
Det er åpenbart det 
Så siden
La oss introdusere vinkelen 
Fordi 
At 
Likeså derfor 
Og 
Så,
Eksempel 8
La oss bygge en graf av funksjonen y = cos(arcsin x).
La oss betegne a = arcsin x, da 
La oss ta hensyn til at x = sin a og y = cos a, dvs. x 2 + y2 = 1, og begrensninger på x (x∈
[-1; 1]) og y (y ≥ 0). Så grafen til funksjonen y = cos(arcsin x) er en halvsirkel.
Eksempel 9
La oss bygge en graf av funksjonen y = arccos (cos x ).
Siden cos-funksjonen x endringer på intervallet [-1; 1], så er funksjonen y definert på hele den numeriske aksen og varierer på segmentet . La oss huske på at y = arccos(cosx) = x på segmentet; funksjonen y er jevn og periodisk med periode 2π. Tatt i betraktning at funksjonen har disse egenskapene fordi x Nå er det enkelt å lage en graf.
La oss merke oss noen nyttige likheter:
Eksempel 10
La oss finne de minste og største verdiene for funksjonen La oss betegne 
Deretter 
La oss få funksjonen 
Denne funksjonen har et minimum på punktet z = π/4, og den er lik 
Den største verdien av funksjonen oppnås ved punktet z = -π/2, og den er lik 
Altså, og
Eksempel 11
La oss løse ligningen
La oss ta hensyn til det 
Da ser ligningen slik ut:
eller 
hvor Ved definisjon av arctangens får vi:
2. Løse enkle trigonometriske ligninger
I likhet med eksempel 1 kan du få løsninger på de enkleste trigonometriske ligningene.
Ligningen | Løsning |
tgx = a | |
ctg x = a |
Eksempel 12
La oss løse ligningen 
Siden sinusfunksjonen er oddetall, skriver vi likningen på skjemaet
Løsninger på denne ligningen:
hvor finner vi det fra? 
Eksempel 13
La oss løse ligningen 
Ved å bruke den gitte formelen skriver vi ned løsningene til ligningen:
og vi finner 
Merk at i spesielle tilfeller (a = 0; ±1) når du løser ligningene sin x = a og cos x = men det er enklere og mer praktisk å ikke bruke generelle formler, og skriv ned løsninger basert på enhetssirkelen:
for ligningen sin x = 1 løsning
for ligningen sin x = 0 løsninger x = π k;
for ligningen sin x = -1 løsning 
for cos-ligningen x = 1 løsning x = 2π k;
for ligningen cos x = 0 løsninger
for ligningen cos x = -1 løsning 
Eksempel 14
La oss løse ligningen 
Siden det i dette eksemplet er et spesielt tilfelle av ligningen, vil vi skrive løsningen ved å bruke den riktige formelen:
hvor kan vi finne det fra? 
III. Kontrollspørsmål (frontal undersøkelse)
1. Definer og liste opp hovedegenskapene til inverse trigonometriske funksjoner.
2. Gi grafer over inverse trigonometriske funksjoner.
3. Løse enkle trigonometriske ligninger.
IV. Leksjonsoppgave
§ 15 nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, nr. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Lekser
§ 15 nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16 nr. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17 nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Kreative oppgaver
1. Finn domenet til funksjonen:
Svar:
2. Finn rekkevidden til funksjonen:
Svar:
3. Tegn en graf av funksjonen:
VII. Oppsummering av leksjonene
Inverse trigonometriske funksjoner- disse er arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent.
La oss først gi noen definisjoner.
Arcsine Eller vi kan si at dette er en vinkel som tilhører et segment hvis sinus er lik tallet a.
buekosinus nummer a kalles et tall slik at
Arctangens nummer a kalles et tall slik at
Arccotangens nummer a kalles et tall slik at
La oss snakke i detalj om disse fire nye funksjonene for oss - inverse trigonometriske.
Husk, vi har allerede møttes.
For eksempel aritmetikk Kvadratrot fra et tall er a et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik a.
Logaritmen til et tall b til å basere a er et tall c slik at
Hvori
Vi forstår hvorfor matematikere måtte "oppfinne" nye funksjoner. For eksempel er løsningene til en ligning og Vi kunne ikke skrive dem ned uten det spesielle aritmetiske kvadratrotsymbolet.
Konseptet med en logaritme viste seg å være nødvendig for å skrive ned løsninger for eksempel til en slik likning: Løsningen til denne likningen er et irrasjonelt tall Dette er en eksponent for potensen som 2 må heves til for å få 7.
Det er det samme med trigonometriske ligninger. For eksempel ønsker vi å løse ligningen
Det er klart at løsningene tilsvarer punkter på den trigonometriske sirkelen hvis ordinat er lik Og det er klart at dette ikke er den tabellformede verdien til sinusen. Hvordan skrive ned løsninger?
Her kan vi ikke klare oss uten en ny funksjon, som betegner vinkelen hvis sinus er lik et gitt tall a. Ja, alle har allerede gjettet. Dette er arcsine.
Vinkelen som tilhører segmentet hvis sinus er lik er arcsinus av en fjerdedel. Og dette betyr at serien av løsninger til ligningen vår som tilsvarer det rette punktet på den trigonometriske sirkelen er
Og den andre serien med løsninger på ligningen vår er
Lær mer om å løse trigonometriske ligninger -.
Det gjenstår å finne ut - hvorfor indikerer definisjonen av arcsine at dette er en vinkel som tilhører segmentet?
Faktum er at det er uendelig mange vinkler hvis sinus er lik for eksempel . Vi må velge en av dem. Vi velger den som ligger på segmentet.
Ta en titt på den trigonometriske sirkelen. Du vil se at på segmentet tilsvarer hver vinkel en viss sinusverdi, og bare én. Og omvendt, enhver verdi av sinus fra segmentet tilsvarer en enkelt verdi av vinkelen på segmentet. Dette betyr at du på et segment kan definere en funksjon som tar verdier fra til
La oss gjenta definisjonen igjen:
Arcsinus til et tall er tallet , slik at
Betegnelse: Området for buedefinisjon er et segment. Verdiområdet er et segment.
Du kan huske uttrykket "arcsines bor til høyre." Bare ikke glem at det ikke bare er til høyre, men også på segmentet.
Vi er klare til å tegne funksjonen
Som vanlig plotter vi x-verdiene på den horisontale aksen og y-verdiene på den vertikale aksen.
Fordi x ligger i området fra -1 til 1.
Dette betyr at definisjonsdomenet til funksjonen y = arcsin x er segmentet
Vi sa at y tilhører segmentet. Dette betyr at verdiområdet til funksjonen y = arcsin x er segmentet.
Merk at grafen til funksjonen y=arcsinx passer helt innenfor området avgrenset av linjene og
Som alltid når du plotter en graf for en ukjent funksjon, la oss starte med en tabell.
Per definisjon er nullbuen et tall fra segmentet hvis sinus er lik null. Hva er dette nummeret? – Det er klart at dette er null.
På samme måte er arcsinus til en et tall fra segmentet hvis sinus er lik en. Tydeligvis dette
Vi fortsetter: - dette er et tall fra segmentet hvis sinus er lik . Ja det
| 0 | |||||
| 0 |
Bygge en graf for en funksjon
Funksjonsegenskaper
1. Definisjonsomfang
2. Verdiområde
3., det vil si at denne funksjonen er merkelig. Grafen er symmetrisk om opprinnelsen.
4. Funksjonen øker monotont. Dens minimumsverdi, lik - , oppnås ved , og dens største verdi, lik , ved
5. Hva gjør grafene for funksjoner og ? Tror du ikke at de er "laget etter samme mønster" - akkurat som høyre gren av en funksjon og grafen til en funksjon, eller som grafene til eksponentielle og logaritmiske funksjoner?
Tenk deg at vi kuttet ut et lite fragment fra til til fra en vanlig sinusbølge, og så snudde den vertikalt - så får vi en buegraf.
Hva for en funksjon på dette intervallet er verdiene til argumentet, så for arcsine vil det være verdiene til funksjonen. Sånn skal det være! Tross alt, sinus og arcsinus - gjensidige funksjoner. Andre eksempler på par av gjensidig inverse funksjoner er ved og , samt eksponentielle og logaritmiske funksjoner.
Husk at grafene for gjensidig inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til den rette linjen
På samme måte definerer vi funksjonen.Vi trenger bare et segment hvor hver vinkelverdi tilsvarer sin egen cosinusverdi, og når vi kjenner cosinus, kan vi unikt finne vinkelen. Et segment vil passe oss
Buekosinus til et tall er tallet , slik at
Det er lett å huske: "arc cosines lever ovenfra," og ikke bare ovenfra, men på segmentet
Betegnelse: Definisjonsområdet for buekosinus er et segment. Verdiområdet er et segment.
Segmentet ble tydeligvis valgt fordi hver cosinusverdi bare tas én gang. Med andre ord, hver cosinusverdi, fra -1 til 1, tilsvarer en enkelt vinkelverdi fra intervallet
Arc cosinus er verken jevn eller merkelig funksjon. Men vi kan bruke følgende åpenbare forhold:
La oss plotte funksjonen
Vi trenger en del av funksjonen der den er monoton, det vil si at den tar hver verdi nøyaktig én gang.
La oss velge et segment. På dette segmentet avtar funksjonen monotont, det vil si at samsvaret mellom settene er en-til-en. Hver x-verdi har en tilsvarende y-verdi. På dette segmentet er det en funksjon invers til cosinus, det vil si funksjonen y = arccosx.
La oss fylle ut tabellen ved å bruke definisjonen av buekosinus.
Buecosinus til et tall x som hører til intervallet vil være et tall y som tilhører intervallet slik at
Dette betyr, siden ;
Fordi ;
Fordi ,
Fordi ,
| 0 | |||||
| 0 |
Her er buekosinusgrafen:
Funksjonsegenskaper
1. Definisjonsomfang
2. Verdiområde
Denne funksjonen er av en generell form - den er verken partall eller rar.
4. Funksjonen er strengt minkende. Funksjonen y = arccosx tar sin største verdi, lik , at , og dens minste verdi, lik null, tar kl.
5. Funksjonene og er gjensidig invers.
De neste er arctangent og arccotangent.
Arktangensen til et tall er tallet , slik at
Betegnelse: . Definisjonsområdet til arctangensen er intervallet. Arealet av verdier er intervallet.
Hvorfor er endene av intervallet - poeng - ekskludert i definisjonen av arctangens? Selvfølgelig fordi tangenten ved disse punktene ikke er definert. Det er ikke noe tall a som er lik tangenten til noen av disse vinklene.
La oss bygge en graf av arctangensen. I følge definisjonen er arctangensen til et tall x et tall y som tilhører intervallet slik at
Hvordan bygge en graf er allerede klart. Siden arctangens er en funksjon gjensidig av tangent, går vi frem som følger:
Vi velger en del av grafen til funksjonen der samsvaret mellom x og y er en-til-en. Dette er intervallet C. I denne delen tar funksjonen verdier fra til
Så har invers funksjon, det vil si at funksjonen , domene, definisjonen vil være hele talllinjen, fra til og verdiområdet vil være intervallet
Midler,
Midler,
Midler,
Men hva skjer for uendelig store verdier av x? Med andre ord, hvordan oppfører denne funksjonen seg når x har en tendens til pluss uendelig?
Vi kan stille oss spørsmålet: for hvilket tall i intervallet har tangentverdien en tendens til uendelig? - Tydeligvis dette
Dette betyr at for uendelig store verdier av x, nærmer arktangensgrafen den horisontale asymptoten
På samme måte, hvis x nærmer seg minus uendelig, nærmer arctangensgrafen seg den horisontale asymptoten
Figuren viser en graf over funksjonen
Funksjonsegenskaper
1. Definisjonsomfang
2. Verdiområde
3. Funksjonen er merkelig.
4. Funksjonen er strengt økende.
6. Fungerer og er gjensidig invers - selvfølgelig når funksjonen vurderes på intervallet
På samme måte definerer vi den inverse tangentfunksjonen og plotter grafen.
Arccotangensen til et tall er tallet , slik at
Funksjonsgraf:
Funksjonsegenskaper
1. Definisjonsomfang
2. Verdiområde
3. Funksjonen er av generell form, det vil si verken partall eller oddetall.
4. Funksjonen er strengt minkende.
5. Direkte og horisontale asymptoter for denne funksjonen.
6. Funksjonene og er gjensidig invers hvis de vurderes på intervallet
Definisjon og notasjon
Arcsine (y = arcsin x) er den inverse funksjonen til sinus (x = syndig -1 ≤ x ≤ 1 og settet med verdier -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arcsine er noen ganger betegnet som følger:
.
Graf over arcsine-funksjonen
Graf for funksjonen y = arcsin x
Bue-grafen hentes fra sinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til arcsine.
Arccosine, arccos
Definisjon og notasjon
Arc cosinus (y = arccos x) er den inverse funksjonen til cosinus (x = koselig). Den har et omfang -1 ≤ x ≤ 1 og mange betydninger 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arccosine er noen ganger betegnet som følger:
.
Graf av buekosinusfunksjon
Graf for funksjonen y = arccos x
Buecosinusgrafen hentes fra cosinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til buekosinus.
Paritet
Arcsine-funksjonen er merkelig:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Buekosinusfunksjonen er ikke partall eller oddetall:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Egenskaper - ekstreme, øke, redusere
Funksjonene arcsine og arccosine er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til arcsine og arccosine er presentert i tabellen.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Omfang og kontinuitet | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Rekkevidde av verdier | ||
| Stigende synkende | monotont øker | avtar monotont |
| Høyere | ||
| Minimumskrav | ||
| Null, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Tabell over arcsines og arccosines
Denne tabellen presenterer verdiene til arcsines og arccosines, i grader og radianer, for visse verdier av argumentet.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| hagl | glad. | hagl | glad. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | -30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formler
Se også: Utledning av formler for inverse trigonometriske funksjonerSum- og differanseformler
på eller
kl og
kl og
på eller
kl og
kl og
på
på
på
på
Uttrykk gjennom logaritmer, komplekse tall
Se også: Utlede formlerUttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
Derivater
;
.
Se Avledning av arcsine og arccosine derivater > > >
Høyere ordens derivater:
,
hvor er et polynom av grad . Det bestemmes av formlene:
;
;
.
Se Avledning av høyere ordens derivater av arcsine og arccosine > > >
Integraler
Vi gjør erstatningen x = synd t. Vi integrerer etter deler, tar i betraktning at -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
koster t ≥ 0:
.
La oss uttrykke arc cosinus gjennom arc sinus:
.
Serieutvidelse
Når |x|< 1
følgende dekomponering finner sted:
;
.
Inverse funksjoner
Inversene til arcsinus og arccosinus er henholdsvis sinus og cosinus.
Følgende formler gyldig i hele definisjonsdomenet:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Følgende formler er bare gyldige for settet med arcsine- og arccosine-verdier:
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x kl.
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
Invers cosinus funksjon
Verdiområdet til funksjonen y=cos x (se fig. 2) er et segment. På segmentet er funksjonen kontinuerlig og monotont avtagende.
Ris. 2
Dette betyr at funksjonen invers til funksjonen y=cos x er definert på segmentet. Denne inverse funksjonen kalles arc cosinus og er betegnet y=arccos x.
Definisjon
Arccosinus til et tall a, hvis |a|1, er vinkelen hvis cosinus tilhører segmentet; det er betegnet med arccos a.
Således er arccos a en vinkel som tilfredsstiller følgende to betingelser: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
For eksempel arccos, siden cos og; arccos, siden cos og.
Funksjonen y = arccos x (fig. 3) er definert på et segment; dets verdiområde er segmentet. På segmentet er funksjonen y=arccos x kontinuerlig og avtar monotont fra p til 0 (siden y=cos x er en kontinuerlig og monotont avtagende funksjon på segmentet); ved enden av segmentet når det sine ekstreme verdier: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Merk at arccos 0 = . Grafen til funksjonen y = arccos x (se fig. 3) er symmetrisk med grafen til funksjonen y = cos x i forhold til den rette linjen y=x.
Ris. 3
La oss vise at likheten arccos(-x) = p-arccos x gjelder.
Faktisk, per definisjon 0? arccos x? R. Multiplisere med (-1) alle delene av sistnevnte dobbel ulikhet, vi får - p? arccos x? 0. Legger vi p til alle deler av den siste ulikheten, finner vi at 0? p-arccos x? R.
Dermed hører verdiene til vinklene arccos(-x) og p - arccos x til samme segment. Siden cosinus avtar monotont på et segment, kan det ikke være to forskjellige vinkler på det som har like cosinus. La oss finne cosinusene til vinklene arccos(-x) og p-arccos x. Per definisjon, cos (arccos x) = - x, i henhold til reduksjonsformlene og per definisjon har vi: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Så, cosinusene til vinklene er like, noe som betyr at vinklene i seg selv er like.
Invers sinusfunksjon
La oss vurdere funksjonen y=sin x (fig. 6), som på segmentet [-р/2;р/2] er økende, kontinuerlig og tar verdier fra segmentet [-1; 1]. Dette betyr at på segmentet [- p/2; p/2] den inverse funksjonen til funksjonen y=sin x er definert.
Ris. 6
Denne inverse funksjonen kalles arcsine og er betegnet y=arcsin x. La oss introdusere definisjonen av arcsinus til et tall.
Arcsinus til et tall er en vinkel (eller bue) hvis sinus er lik tallet a og som tilhører segmentet [-р/2; p/2]; det er betegnet med arcsin a.
Således er arcsin a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ikke sant? r/2. For eksempel siden synd og [- p/2; p/2]; arcsin, siden sin = u [- p/2; s/2].
Funksjonen y=arcsin x (fig. 7) er definert på segmentet [- 1; 1], området for dens verdier er segmentet [-р/2;р/2]. På segmentet [- 1; 1] funksjonen y=arcsin x er kontinuerlig og øker monotont fra -p/2 til p/2 (dette følger av at funksjonen y=sin x på segmentet [-p/2; p/2] er kontinuerlig og øker monotont). Den tar den største verdien ved x = 1: arcsin 1 = p/2, og den minste ved x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Ved x = 0 er funksjonen null: arcsin 0 = 0.
La oss vise at funksjonen y = arcsin x er oddetall, dvs. arcsin(-x) = - arcsin x for enhver x [ - 1; 1].
Faktisk, per definisjon, hvis |x| ?1, vi har: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Dermed er vinklene arcsin(-x) og - arcsin x tilhører samme segment [ - p/2; s/2].
La oss finne sinusene til disse vinkler: sin (arcsin(-x)) = - x (per definisjon); siden funksjonen y=sin x er oddetall, så sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Så, sinusen til vinkler som tilhører samme intervall [-р/2; p/2], er like, som betyr at vinklene i seg selv er like, dvs. arcsin (-x)= - arcsin x. Dette betyr at funksjonen y=arcsin x er oddetall. Grafen til funksjonen y=arcsin x er symmetrisk om origo.
La oss vise at arcsin (sin x) = x for enhver x [-р/2; s/2].
Faktisk, per definisjon -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, og etter betingelse -p/2? x? r/2. Dette betyr at vinklene x og arcsin (sin x) tilhører det samme monotonisitetsintervallet til funksjonen y=sin x. Hvis sinusene til slike vinkler er like, så er vinklene i seg selv like. La oss finne sinusene til disse vinklene: for vinkel x har vi sin x, for vinkel arcsin (sin x) har vi sin (arcsin(sin x)) = sin x. Vi fant at vinklenes sinus er like, derfor er vinklene like, dvs. arcsin(sin x) = x. .
Ris. 7
Ris. 8
Grafen til funksjonen arcsin (sin|x|) oppnås ved de vanlige transformasjonene knyttet til modulen fra grafen y=arcsin (sin x) (vist med den stiplede linjen i fig. 8). Den ønskede grafen y=arcsin (sin |x-/4|) oppnås fra den ved å skifte med /4 til høyre langs x-aksen (vist som en heltrukket linje i fig. 8)
Invers funksjon av tangent
Funksjonen y=tg x på intervallet aksepterer alt numeriske verdier: E (tg x)=. Over dette intervallet er det kontinuerlig og øker monotont. Dette betyr at en funksjon invers til funksjonen y = tan x er definert på intervallet. Denne inverse funksjonen kalles arctangent og betegnes y = arctan x.
Arktangensen til a er en vinkel fra et intervall hvis tangent er lik a. Dermed er arctg a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: tg (arctg a) = a og 0? arctg a ? R.
Så ethvert tall x tilsvarer alltid en enkelt verdi av funksjonen y = arctan x (fig. 9).
Det er åpenbart at D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funksjonen y = arctan x øker fordi funksjonen y = tan x øker på intervallet. Det er ikke vanskelig å bevise at arctg(-x) = - arctgx, dvs. at arctangens er en merkelig funksjon.
Ris. 9
Grafen til funksjonen y = arctan x er symmetrisk med grafen til funksjonen y = tan x i forhold til den rette linjen y = x, grafen y = arctan x går gjennom opprinnelsen til koordinatene (siden arctan 0 = 0) og er symmetrisk i forhold til opprinnelsen (som grafen til en oddetallsfunksjon).
Det kan bevises at arctan (tan x) = x hvis x.
Cotangens invers funksjon
Funksjonen y = ctg x på et intervall tar alle numeriske verdier fra intervallet. Omfanget av dens verdier faller sammen med settet med alle reelle tall. I intervallet er funksjonen y = barneseng x kontinuerlig og øker monotont. Dette betyr at på dette intervallet defineres en funksjon som er invers til funksjonen y = cot x. Den inverse funksjonen til cotangens kalles arccotangent og betegnes y = arcctg x.
Buecotangensen til a er en vinkel som tilhører et intervall hvis cotangens er lik a.
Dermed er аrcctg a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: ctg (arcctg a)=a og 0? arcctg a ? R.
Fra definisjonen av den inverse funksjonen og definisjonen av arctangens følger det at D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Buecotangensen er en avtagende funksjon fordi funksjonen y = ctg x avtar i intervallet.
Grafen til funksjonen y = arcctg x skjærer ikke Ox-aksen, siden y > 0 R. For x = 0 y = arcctg 0 =.
Grafen til funksjonen y = arcctg x er vist i figur 11.
Ris. 11
Merk at for alle reelle verdier av x er identiteten sann: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Laster inn...