Omvendt tangent. Inverse trigonometriske funksjoner. Grunnleggende relasjoner av inverse trigonometriske funksjoner

Definisjon og notasjon

Arcsine (y = arcsin x) er den inverse funksjonen til sinus (x = syndig -1 ≤ x ≤ 1 og settet med verdier -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf over arcsine-funksjonen

Graf for funksjonen y = arcsin x

Bue-grafen hentes fra sinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til arcsine.

Arccosine, arccos

Definisjon og notasjon

Arc cosinus (y = arccos x) er den inverse funksjonen til cosinus (x = koselig). Den har et omfang -1 ≤ x ≤ 1 og mange betydninger 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arccosine er noen ganger betegnet som følger:
.

Graf av buekosinusfunksjon

Graf for funksjonen y = arccos x

Buecosinusgrafen hentes fra cosinusgrafen hvis abscisse- og ordinataksene byttes. For å eliminere tvetydighet er verdiområdet begrenset til intervallet funksjonen er monotonisk over. Denne definisjonen kalles hovedverdien til buekosinus.

Paritet

Arcsine-funksjonen er merkelig:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Buekosinusfunksjonen er ikke partall eller oddetall:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Egenskaper - ekstreme, øke, redusere

Funksjonene arcsine og arccosine er kontinuerlige i sitt definisjonsdomene (se bevis på kontinuitet). Hovedegenskapene til arcsine og arccosine er presentert i tabellen.

	y= arcsin x	y= arccos x
Omfang og kontinuitet	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Rekkevidde av verdier
Stigende synkende	monotont øker	avtar monotont
Høyere
Minimumskrav
Null, y = 0	x = 0	x = 1
Avskjæringspunkter med ordinataksen, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabell over arcsines og arccosines

Denne tabellen presenterer verdiene til arcsines og arccosines, i grader og radianer, for visse verdier av argumentet.

x	arcsin x		arccos x
	hagl	glad.	hagl	glad.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formler

Se også: Utledning av formler for inverse trigonometriske funksjoner

Sum- og differanseformler

på eller

kl og

kl og

på

på

Uttrykk gjennom logaritmer, komplekse tall

Se også: Utlede formler

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

Derivater

;
.
Se Avledning av arcsine og arccosine derivater > > >

Høyere ordens derivater:
,
hvor er et polynom av grad . Det bestemmes av formlene:
;
;
.

Se Avledning av høyere ordens derivater av arcsine og arccosine > > >

Integraler

Vi gjør erstatningen x = synd t. Vi integrerer etter deler, tar i betraktning at -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, koster t ≥ 0:
.

La oss uttrykke arc cosinus gjennom arc sinus:
.

Serieutvidelse

Når |x|< 1 følgende dekomponering finner sted:
;
.

Inverse funksjoner

Inversene til arcsinus og arccosinus er henholdsvis sinus og cosinus.

Følgende formler gyldig i hele definisjonsdomenet:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Følgende formler er bare gyldige for settet med arcsine- og arccosine-verdier:
arcsin(sin x) = x på
arccos(cos x) = x kl.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Se også:

Invers cosinus funksjon

Verdiområdet til funksjonen y=cos x (se fig. 2) er et segment. På segmentet er funksjonen kontinuerlig og monotont avtagende.

Ris. 2

Dette betyr at funksjonen invers til funksjonen y=cos x er definert på segmentet. Denne inverse funksjonen kalles arc cosinus og er betegnet y=arccos x.

Definisjon

Arccosinus til et tall a, hvis |a|1, er vinkelen hvis cosinus tilhører segmentet; det er betegnet med arccos a.

Således er arccos a en vinkel som tilfredsstiller følgende to betingelser: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

For eksempel arccos, siden cos og; arccos, siden cos og.

Funksjonen y = arccos x (fig. 3) er definert på et segment; dets verdiområde er segmentet. På segmentet er funksjonen y=arccos x kontinuerlig og avtar monotont fra p til 0 (siden y=cos x er en kontinuerlig og monotont avtagende funksjon på segmentet); ved enden av segmentet når det sine ekstreme verdier: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Merk at arccos 0 = . Grafen til funksjonen y = arccos x (se fig. 3) er symmetrisk med grafen til funksjonen y = cos x i forhold til den rette linjen y=x.

Ris. 3

La oss vise at likheten arccos(-x) = p-arccos x gjelder.

Faktisk, per definisjon 0? arccos x? R. Multiplisere med (-1) alle delene av sistnevnte dobbel ulikhet, vi får - p? arccos x? 0. Legger vi p til alle deler av den siste ulikheten, finner vi at 0? p-arccos x? R.

Dermed hører verdiene til vinklene arccos(-x) og p - arccos x til samme segment. Siden cosinus avtar monotont på et segment, kan det ikke være to forskjellige vinkler på det som har like cosinus. La oss finne cosinusene til vinklene arccos(-x) og p-arccos x. Per definisjon, cos (arccos x) = - x, i henhold til reduksjonsformlene og per definisjon har vi: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Så, cosinusene til vinklene er like, noe som betyr at vinklene i seg selv er like.

Invers sinusfunksjon

La oss vurdere funksjonen y=sin x (fig. 6), som på segmentet [-р/2;р/2] er økende, kontinuerlig og tar verdier fra segmentet [-1; 1]. Dette betyr at på segmentet [- p/2; p/2] den inverse funksjonen til funksjonen y=sin x er definert.

Ris. 6

Denne inverse funksjonen kalles arcsine og er betegnet y=arcsin x. La oss introdusere definisjonen av arcsinus til et tall.

Arcsinus til et tall er en vinkel (eller bue) hvis sinus er lik tallet a og som tilhører segmentet [-р/2; p/2]; det er betegnet med arcsin a.

Således er arcsin a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ikke sant? r/2. For eksempel siden synd og [- p/2; p/2]; arcsin, siden sin = u [- p/2; s/2].

Funksjonen y=arcsin x (fig. 7) er definert på segmentet [- 1; 1], området for dens verdier er segmentet [-р/2;р/2]. På segmentet [- 1; 1] funksjonen y=arcsin x er kontinuerlig og øker monotont fra -p/2 til p/2 (dette følger av at funksjonen y=sin x på segmentet [-p/2; p/2] er kontinuerlig og øker monotont). Den tar den største verdien ved x = 1: arcsin 1 = p/2, og den minste ved x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Ved x = 0 er funksjonen null: arcsin 0 = 0.

La oss vise at funksjonen y = arcsin x er oddetall, dvs. arcsin(-x) = - arcsin x for enhver x [ - 1; 1].

Faktisk, per definisjon, hvis |x| ?1, vi har: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Dermed er vinklene arcsin(-x) og - arcsin x tilhører samme segment [ - p/2; s/2].

La oss finne sinusene til disse vinkler: sin (arcsin(-x)) = - x (per definisjon); siden funksjonen y=sin x er oddetall, så sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Så, sinusen til vinkler som tilhører samme intervall [-р/2; p/2], er like, som betyr at vinklene i seg selv er like, dvs. arcsin (-x)= - arcsin x. Dette betyr at funksjonen y=arcsin x er oddetall. Grafen til funksjonen y=arcsin x er symmetrisk om origo.

La oss vise at arcsin (sin x) = x for enhver x [-р/2; s/2].

Faktisk, per definisjon -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, og etter betingelse -p/2? x? r/2. Dette betyr at vinklene x og arcsin (sin x) tilhører det samme monotonisitetsintervallet til funksjonen y=sin x. Hvis sinusene til slike vinkler er like, så er vinklene i seg selv like. La oss finne sinusene til disse vinklene: for vinkel x har vi sin x, for vinkel arcsin (sin x) har vi sin (arcsin(sin x)) = sin x. Vi fant at vinklenes sinus er like, derfor er vinklene like, dvs. arcsin(sin x) = x. .

Ris. 7

Ris. 8

Grafen til funksjonen arcsin (sin|x|) oppnås ved de vanlige transformasjonene knyttet til modulen fra grafen y=arcsin (sin x) (vist med den stiplede linjen i fig. 8). Den ønskede grafen y=arcsin (sin |x-/4|) oppnås fra den ved å skifte med /4 til høyre langs x-aksen (vist som en heltrukket linje i fig. 8)

Invers funksjon av tangent

Funksjonen y=tg x på intervallet aksepterer alt numeriske verdier: E (tg x)=. Over dette intervallet er det kontinuerlig og øker monotont. Dette betyr at en funksjon invers til funksjonen y = tan x er definert på intervallet. Denne inverse funksjonen kalles arctangent og betegnes y = arctan x.

Arktangensen til a er en vinkel fra et intervall hvis tangent er lik a. Dermed er arctg a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: tg (arctg a) = a og 0? arctg a ? R.

Så ethvert tall x tilsvarer alltid en enkelt verdi av funksjonen y = arctan x (fig. 9).

Det er åpenbart at D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funksjonen y = arctan x øker fordi funksjonen y = tan x øker på intervallet. Det er ikke vanskelig å bevise at arctg(-x) = - arctgx, dvs. at arctangens er en merkelig funksjon.

Ris. 9

Grafen til funksjonen y = arctan x er symmetrisk med grafen til funksjonen y = tan x i forhold til den rette linjen y = x, grafen y = arctan x går gjennom opprinnelsen til koordinatene (siden arctan 0 = 0) og er symmetrisk i forhold til opprinnelsen (som grafen til en oddetallsfunksjon).

Det kan bevises at arctan (tan x) = x hvis x.

Cotangens invers funksjon

Funksjonen y = ctg x på et intervall tar alle numeriske verdier fra intervallet. Omfanget av dens verdier faller sammen med settet med alle reelle tall. I intervallet er funksjonen y = barneseng x kontinuerlig og øker monotont. Dette betyr at på dette intervallet defineres en funksjon som er invers til funksjonen y = cot x. Den inverse funksjonen til cotangens kalles arccotangent og betegnes y = arcctg x.

Buecotangensen til a er en vinkel som tilhører et intervall hvis cotangens er lik a.

Dermed er аrcctg a en vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser: ctg (arcctg a)=a og 0? arcctg a ? R.

Fra definisjonen av den inverse funksjonen og definisjonen av arctangens følger det at D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Buecotangensen er en avtagende funksjon fordi funksjonen y = ctg x avtar i intervallet.

Grafen til funksjonen y = arcctg x skjærer ikke Ox-aksen, siden y > 0 R. For x = 0 y = arcctg 0 =.

Grafen til funksjonen y = arcctg x er vist i figur 11.

Ris. 11

Merk at for alle reelle verdier av x er identiteten sann: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Inverse trigonometriske funksjoner er matematiske funksjoner, som er inverser av trigonometriske funksjoner.

Funksjon y=arcsin(x)

Arcsinus til et tall α er et tall α fra intervallet [-π/2;π/2] hvis sinus er lik α.
Graf av en funksjon
Funksjonen у= sin⁡(x) på intervallet [-π/2;π/2], er strengt tatt økende og kontinuerlig; derfor har den en omvendt funksjon, strengt økende og kontinuerlig.
Den inverse funksjonen for funksjonen y= sin⁡(x), hvor x ∈[-π/2;π/2], kalles arcsin og er betegnet y=arcsin(x), hvor x∈[-1;1 ].
Så, i henhold til definisjonen av den inverse funksjonen, er definisjonsdomenet til arcsine segmentet [-1;1], og settet med verdier er segmentet [-π/2;π/2].
Merk at grafen til funksjonen y=arcsin(x), hvor x ∈[-1;1], er symmetrisk med grafen til funksjonen y= sin(⁡x), hvor x∈[-π/2;π /2], med hensyn til halveringslinjen til koordinatvinklene første og tredje kvartal.

Funksjonsområde y=arcsin(x).

Eksempel nr. 1.

Finn arcsin(1/2)?

Siden verdiområdet til funksjonen arcsin(x) tilhører intervallet [-π/2;π/2], er det kun verdien π/6 som passer. Derfor er arcsin(1/2) =π/ 6.
Svar:π/6

Eksempel nr. 2.
Finn arcsin(-(√3)/2)?

Siden verdiområdet arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], er kun verdien -π/3 egnet. Derfor er arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funksjon y=arccos(x)

Buecosinus til et tall α er et tall α fra intervallet hvis cosinus er lik α.

Graf av en funksjon

Funksjonen y= cos(⁡x) på segmentet er strengt avtagende og kontinuerlig; derfor har den en omvendt funksjon, strengt avtagende og kontinuerlig.
Den inverse funksjonen for funksjonen y= cos⁡x, hvor x ∈, kalles buekosinus og er betegnet med y=arccos(x), hvor x ∈[-1;1].
Så, i henhold til definisjonen av den inverse funksjonen, er definisjonsdomenet til buekosinus segmentet [-1;1], og settet med verdier er segmentet.
Legg merke til at grafen til funksjonen y=arccos(x), hvor x ∈[-1;1] er symmetrisk med grafen til funksjonen y= cos(⁡x), hvor x ∈, med hensyn til halveringslinjen til koordinatvinkler for første og tredje kvartal.

Funksjonsområde y=arccos(x).

Eksempel nr. 3.

Finne arccos(1/2)?

Siden verdiområdet er arccos(x) x∈, er det bare verdien π/3 som passer. Derfor er arccos(1/2) =π/3.
Eksempel nr. 4.
Finne arccos(-(√2)/2)?

Siden verdiområdet til funksjonen arccos(x) tilhører intervallet, er det kun verdien 3π/4 som passer. Derfor er arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Svar: 3π/4

Funksjon y=arctg(x)

Arktangensen til et tall α er et tall α fra intervallet [-π/2;π/2] hvis tangent er lik α.

Graf av en funksjon

Tangentfunksjonen er kontinuerlig og strengt økende på intervallet (-π/2;π/2); derfor har den en invers funksjon som er kontinuerlig og strengt økende.
Den inverse funksjonen for funksjonen y= tan⁡(x), hvor x∈(-π/2;π/2); kalles arctangens og er betegnet med y=arctg(x), hvor x∈R.
Så, i henhold til definisjonen av den inverse funksjonen, er definisjonsdomenet til arctangens intervallet (-∞;+∞), og settet med verdier er intervallet
(-π/2;π/2).
Legg merke til at grafen til funksjonen y=arctg(x), hvor x∈R, er symmetrisk med grafen til funksjonen y= tan⁡x, hvor x ∈ (-π/2;π/2), i forhold til halveringslinje for koordinatvinklene til første og tredje kvartal.

Området til funksjonen y=arctg(x).

Eksempel nr. 5?

Finn arctan((√3)/3).

Siden verdiområdet arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), er det bare verdien π/6 som passer. Derfor er arctg((√3)/3) =π/6.
Eksempel nr. 6.
Finne arctg(-1)?

Siden verdiområdet arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), er det bare verdien -π/4 som passer. Derfor er arctg(-1) = - π/4.

Funksjon y=arcctg(x)

Buecotangensen til et tall α er et tall α fra intervallet (0;π) hvis cotangens er lik α.

Graf av en funksjon

På intervallet (0;π) reduseres cotangensfunksjonen strengt; i tillegg er den kontinuerlig på hvert punkt i dette intervallet; derfor, på intervallet (0;π), har denne funksjonen en invers funksjon, som er strengt avtagende og kontinuerlig.
Den inverse funksjonen for funksjonen y=ctg(x), hvor x ∈(0;π), kalles arccotangent og betegnes y=arcctg(x), hvor x∈R.
Så, i henhold til definisjonen av den inverse funksjonen, vil definisjonsdomenet til lysbuecotangensen være R, og ved et sett verdier – intervall (0;π). Grafen til funksjonen y=arcctg(x), der x∈R er symmetrisk med grafen til funksjonen y=ctg(x) x∈(0;π),relativ til halveringslinjen til koordinatvinklene til første og tredje kvartal.

Funksjonsområde y=arcctg(x).

Eksempel nr. 7.
Finn arcctg((√3)/3)?

Siden verdiområdet arcctg(x) x ∈(0;π), er det bare verdien π/3 som passer. Derfor arccos((√3)/3) =π/3.

Eksempel nr. 8.
Finn arcctg(-(√3)/3)?

Siden verdiområdet er arcctg(x) x∈(0;π), er det kun verdien 2π/3 som passer. Derfor er arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktører: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Inverse trigonometriske funksjoner(sirkulære funksjoner, buefunksjoner) - matematiske funksjoner som er inverse til trigonometriske funksjoner.

Disse inkluderer vanligvis 6 funksjoner:

arcsine(betegnelse: arcsin x; arcsin x- dette er vinkelen synd som er lik x),
arccosine(betegnelse: arccos x; arccos x er vinkelen hvis cosinus er lik x og så videre),
arktangens(betegnelse: arctan x eller arctan x),
arccotangens(betegnelse: arcctg x eller arccot x eller arccotan x),
arcscanant(betegnelse: arcsec x),
arccosecant(betegnelse: arccosec x eller arccsc x).

arcsine (y = lysbue x) - invers funksjon til synd (x = sin y . Returnerer med andre ord vinkelen med verdien synd.

buekosinus (y = arccos x) - invers funksjon til cos (x = cos y cos.

Arctangens (y = arktan x) - invers funksjon til tg (x = brun y), som har et domene og et sett med verdier . Returnerer med andre ord vinkelen med verdien tg.

Arccotangens (y = arcctg x) - invers funksjon til ctg (x = hytte y), som har et definisjonsdomene og et sett med verdier. Returnerer med andre ord vinkelen med verdien ctg.

arcsec- arcscant, returnerer vinkelen i henhold til verdien av dens sekant.

arccosec- arccosecant, returnerer en vinkel basert på verdien av dens cosecant.

Når den inverse trigonometriske funksjonen ikke er definert på et spesifisert punkt, vil verdien ikke vises i den endelige tabellen. Funksjoner arcsec Og arccosec er ikke bestemt på segmentet (-1,1), men arcsin Og arccos bestemmes kun på intervallet [-1,1].

Navnet på den inverse trigonometriske funksjonen er dannet fra navnet på den tilsvarende trigonometriske funksjonen ved å legge til prefikset "arc-" (fra lat. bue oss- bue). Dette skyldes det faktum at geometrisk sett er verdien av den inverse trigonometriske funksjonen assosiert med lengden på buen til enhetssirkelen (eller vinkelen som underordner denne buen), som tilsvarer et eller annet segment.

Noen ganger i utenlandsk litteratur, så vel som i vitenskapelige/tekniske kalkulatorer, bruker de notasjoner som synd−1, cos−1 for arcsine, arccosine og lignende anses dette som ikke helt nøyaktig, pga det er sannsynligvis forvirring med å heve en funksjon til en makt −1 (« −1 » (minus første potens) definerer funksjonen x = f -1 (y), det motsatte av funksjonen y = f(x)).

Grunnleggende relasjoner av inverse trigonometriske funksjoner.

Her er det viktig å ta hensyn til intervallene formlene er gyldige for.

Formler som relaterer inverse trigonometriske funksjoner.

La oss betegne noen av de inverse verdiene trigonometriske funksjoner gjennom Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x og behold notasjonen: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x for deres hovedverdier, så uttrykkes forbindelsen mellom dem av slike forhold.

TIL inverse trigonometriske funksjoner Følgende 6 funksjoner inkluderer: arcsine , arccosine , arktangens , arccotangens , arcscanant Og arccosecant .

Siden de opprinnelige trigonometriske funksjonene er periodiske, er de inverse funksjonene generelt sett det polysemantisk . For å sikre en en-til-en korrespondanse mellom to variabler, begrenses definisjonsdomenene til de opprinnelige trigonometriske funksjonene ved å vurdere bare dem hovedgrener . For eksempel vurderes funksjonen \(y = \sin x\) kun i intervallet \(x \in \venstre[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). På dette intervallet er den inverse arcsine-funksjonen unikt definert.

Arcsine funksjon
Bue for tallet \(a\) (angitt med \(\arcsin a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i intervallet \(\venstre[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), for hvilke \(\sin x = a\). Invers funksjon\(y = \arcsin x\) er definert ved \(x \i \venstre[ ( -1,1) \right]\), dens verdiområde er lik \(y \i \venstre[ ( - \pi /2, \pi /2) \right]\).

Arc cosinus funksjon
Arccosinus for tallet \(a\) (betegnet \(\arccos a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i intervallet \(\left[ (0,\pi) \right]\) , hvor \(\cos x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \arccos x\) er definert ved \(x \i \venstre[ ( -1,1) \right]\), dens verdiområde tilhører segmentet \(y \in \venstre[ (0,\ pi)\høyre]\).

Arctangens funksjon
Arktangens av nummeret en(angitt med \(\arctan a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i det åpne intervallet \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), ved som \(\tan x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \arctan x\) er definert for alle \(x \i \mathbb(R)\), arctangensområdet er lik \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\høyre)\).

Arc tangens funksjon
Arccotangensen til tallet \(a\) (angitt med \(\text(arccot) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) i det åpne intervallet \(\left[ (0,\ pi) \right]\), hvor \(\cot x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \text(arccot) x\) er definert for alle \(x \i \mathbb(R)\), dens verdiområde er i intervallet \(y \in \ venstre[ (0,\pi) \høyre]\).

Arcsecant funksjon
Buekanten til tallet \(a\) (betegnet med \(\text(arcsec ) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) der \(\sek x = a\). Den inverse funksjonen \(y = \text(arcsec ) x\) er definert ved \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), dets verdiområde tilhører settet \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).

Arccosecant funksjon
Arccosecanten til tallet \(a\) (betegnet \(\text(arccsc ) a\) eller \(\text(arccosec ) a\)) er verdien av vinkelen \(x\) som \(\ csc x = a\ ). Den inverse funksjonen \(y = \text(arccsc ) x\) er definert ved \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), tilhører området for verdiene til settet \(y \in \venstre[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Hovedverdier for arcsine- og arccosine-funksjonene (i grader)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\sirkel\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\sirkel\)

Hovedverdier for arctangens og arccotangent funksjoner (i grader)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\sirkel\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\text(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)