Homogen matrise. Løsning av homogene sloughs. Løse systemer av lineære ligninger

Det lineære systemet kalles homogen , hvis alle dens frie termer er lik 0.

I matriseform skrives et homogent system:
.

Homogent system (2) er alltid konsistent . Tydeligvis sett med tall
,
, …,
tilfredsstiller hver likning i systemet. Løsning
kalt null eller triviell beslutning. Dermed har et homogent system alltid en nullløsning.

Under hvilke forhold vil det homogene systemet (2) ha ikke-null (ikke-trivielle) løsninger?

Teorem 1.3 Homogent system (2) har løsninger som ikke er null hvis og bare hvis rangen r dens hovedmatrise færre ukjente n .

System (2) – usikkert
.

Konsekvens 1. Hvis antall ligninger m homogent system har færre variabler
, da er systemet usikkert og har mange ikke-nullløsninger.

Konsekvens 2. Firkantet homogent system
har ikke-null løsninger hvis og når hovedmatrisen til dette systemet degenerert, dvs. avgjørende faktor
.

Ellers, hvis determinanten
, har et kvadratisk homogent system den eneste tingen null løsning
.

La rangeringen av systemet (2)
det vil si at system (2) har ikke-trivielle løsninger.

La Og - spesielle løsninger av dette systemet, dvs.
Og
.

Egenskaper til løsninger av et homogent system

Egentlig, .

Egentlig, .

Ved å kombinere egenskapene 1) og 2), kan vi si at if

…,
- løsninger av et homogent system (2), så er enhver lineær kombinasjon av dem også løsningen. Her
- vilkårlige reelle tall.

Kan bli funnet
lineært uavhengige delløsninger homogent system (2), ved hjelp av hvilket du kan få en hvilken som helst annen spesiell løsning av dette systemet, dvs. få en generell løsning på system (2).

Definisjon 2.2 Totalitet
lineært uavhengige delløsninger

…,
homogent system (2) slik at hver løsning av system (2) kan representeres som en lineær kombinasjon av dem kalles grunnleggende system av løsninger (FSR) av et homogent system (2).

La

…,
er et grunnleggende system av løsninger, kan den generelle løsningen av det homogene systemet (2) representeres som:

Hvor

.

Kommentar. For å få FSR må du finne private løsninger

…,
, og gir én fri variabel verdien "1" etter tur, og alle andre frie variabler verdien "0".

Vi får ,, …,- FSR.

Eksempel. Finn den generelle løsningen og det fundamentale løsningssystemet til det homogene likningssystemet:

Løsning. La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet, etter å ha satt den siste ligningen til systemet på første plass, og bringe den til en trinnvis form. Siden høyresiden av ligningene ikke endres som et resultat av elementære transformasjoner, forblir null, kolonnen

kan ikke skrives ut.

̴
̴
̴

Systemrangering hvor
- antall variabler. Systemet er usikkert og har mange løsninger.

Grunnleggende minor for variabler
ikke-null:
velge
som grunnleggende variabler, resten
- frie variabler (ta eventuelle reelle verdier).

Den siste matrisen i kjeden tilsvarer et trinnvis system av ligninger:

(3)

La oss uttrykke de grunnleggende variablene
gjennom frie variabler
(omvendt av Gauss-metoden).

Fra den siste ligningen uttrykker vi :
og sett den inn i den første ligningen. Vi får det. La oss åpne parentesene, gi lignende og uttrykke :
.

Troende
,
,
, Hvor
, la oss skrive

- generell løsning av systemet.

La oss finne et grunnleggende system av løsninger

,,.

Da kan den generelle løsningen av det homogene systemet skrives som:

Kommentar. FSR kunne vært funnet på en annen måte, uten først å finne en generell løsning på systemet. For å gjøre dette måtte det resulterende trinnsystemet (3) løses tre ganger, forutsatt at :
; Til :
; Til :
.

System m lineære ligninger c n kalt ukjente system av lineær homogen ligninger hvis alle frie ledd er lik null. Et slikt system ser slik ut:

Hvor og ij (jeg = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - gitte tall; x i– ukjent.

Et system med lineære homogene ligninger er alltid konsistent, siden r(A) = r(). Den har alltid minst null ( triviell) løsning (0; 0; …; 0).

La oss vurdere under hvilke forhold homogene systemer har løsninger som ikke er null.

Teorem 1. Et system med lineære homogene ligninger har løsninger som ikke er null hvis og bare hvis rangeringen til hovedmatrisen er r færre ukjente n, dvs. r < n.

□ 1). La et system med lineære homogene ligninger ha en løsning som ikke er null. Siden rangeringen ikke kan overstige størrelsen på matrisen, så åpenbart, r ≤ n. La r = n. Så en av de mindre størrelsene n n forskjellig fra null. Derfor har det tilsvarende systemet med lineære ligninger en unik løsning: ... Dette betyr at det ikke finnes andre løsninger enn trivielle. Så hvis det er en ikke-triviell løsning, da r < n.

2). La r < n. Da er det homogene systemet, som er konsistent, usikkert. Det betyr at den har et uendelig antall løsninger, dvs. har løsninger som ikke er null. ■

Tenk på et homogent system n lineære ligninger c n ukjent:

(2)

Teorem 2. Homogent system n lineære ligninger c n ukjente (2) har løsninger som ikke er null hvis og bare hvis determinanten er lik null: = 0.

□ Hvis system (2) har en løsning som ikke er null, så = 0. Fordi når systemet bare har en enkelt nullløsning. Hvis = 0, så rangeringen r hovedmatrisen til systemet er mindre enn antall ukjente, dvs. r < n. Og derfor har systemet et uendelig antall løsninger, dvs. har løsninger som ikke er null. ■

La oss betegne løsningen av system (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n som en streng .

Løsninger av et system med lineære homogene ligninger har følgende egenskaper:

1. Hvis linjen er en løsning på system (1), så er linjen en løsning på system (1).

2. Hvis linjene og er løsninger av system (1), deretter for alle verdier Med 1 og Med 2 deres lineære kombinasjon er også en løsning på system (1).

Gyldigheten av disse egenskapene kan verifiseres ved direkte å erstatte dem i systemets ligninger.

Av de formulerte egenskapene følger det at enhver lineær kombinasjon av løsninger til et system med lineære homogene ligninger også er en løsning på dette systemet.

System av lineært uavhengige løsninger e 1 , e 2 , …, e r kalt fundamental, hvis hver løsning av system (1) er en lineær kombinasjon av disse løsningene e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3. Hvis rang r matriser av koeffisienter for variabler i systemet med lineære homogene ligninger (1) er mindre enn antall variabler n, så består ethvert grunnleggende system av løsninger til system (1) av n–r beslutninger.

Derfor felles vedtak system av lineære homogene ligninger (1) har formen:

Hvor e 1 , e 2 , …, e r– ethvert grunnleggende system av løsninger til systemet (9), Med 1 , Med 2 , …, med s– vilkårlige tall, R = n–r.

Teorem 4. Generell løsning av systemet m lineære ligninger c n ukjente er lik summen av den generelle løsningen til det tilsvarende systemet med lineære homogene ligninger (1) og en vilkårlig spesiell løsning av dette systemet (1).

Eksempel. Løs systemet

Løsning. For dette systemet m = n= 3. Determinant

ved teorem 2 har systemet bare en triviell løsning: x = y = z = 0.

Eksempel. 1) Finn generelle og spesielle løsninger for systemet

2) Finn det grunnleggende løsningssystemet.

Løsning. 1) For dette systemet m = n= 3. Determinant

ved teorem 2 har systemet ikke-nullløsninger.

Siden det bare er en uavhengig ligning i systemet

x + y – 4z = 0,

så fra det vil vi uttrykke x =4z- y. Hvor får vi et uendelig antall løsninger: (4 z- y, y, z) – dette er den generelle løsningen til systemet.

På z= 1, y= -1, får vi en spesiell løsning: (5, -1, 1). Sette z= 3, y= 2, får vi den andre spesielle løsningen: (10, 2, 3), etc.

2) I den generelle løsningen (4 z- y, y, z) variabler y Og z er gratis, og variabelen X- Avhengig av dem. For å finne det grunnleggende løsningssystemet, la oss tilordne verdier til de frie variablene: først y = 1, z= 0, da y = 0, z= 1. Vi får delløsninger (-1, 1, 0), (4, 0, 1), som danner det grunnleggende løsningssystemet.

Illustrasjoner:

Ris. 1 Klassifisering av lineære ligningssystemer

Ris. 2 Studie av lineære ligningssystemer

Presentasjoner:

· Løsning SLAE_matrix metode

· Løsning av SLAE_Cramer-metoden

· Løsning SLAE_Gauss-metoden

· Pakker for å løse matematiske problemer Mathematica, MathCad: søke etter analytiske og numeriske løsninger på systemer med lineære ligninger

Kontrollspørsmål:

1. Definer en lineær ligning

2. Hva slags system ser det ut? m lineære ligninger med n ukjent?

3. Hva kalles å løse systemer av lineære ligninger?

4. Hvilke systemer kalles likeverdige?

5. Hvilket system kalles inkompatibelt?

6. Hvilket system kalles ledd?

7. Hvilket system kalles bestemt?

8. Hvilket system kalles ubestemt

9. Liste de elementære transformasjonene av systemer av lineære ligninger

10. List opp de elementære transformasjonene av matriser

11. Formuler et teorem om anvendelse av elementære transformasjoner på et system av lineære ligninger

12. Hvilke systemer kan løses ved hjelp av matrisemetoden?

13. Hvilke systemer kan løses med Cramers metode?

14. Hvilke systemer kan løses med Gauss-metoden?

15. Nevn 3 mulige tilfeller som oppstår når man løser systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden

16. Beskriv matrisemetoden for å løse systemer av lineære ligninger

17. Beskriv Cramers metode for å løse systemer av lineære ligninger

18. Beskriv Gauss sin metode for å løse systemer av lineære ligninger

19. Hvilke systemer kan løses ved hjelp av en invers matrise?

20. Nevn 3 mulige tilfeller som oppstår når man løser systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramer-metoden

Litteratur:

1. Høyere matematikk for økonomer: Lærebok for universiteter / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Generelt kurs i høyere matematikk for økonomer: Lærebok. / Ed. I OG. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Oppgavesamling i høyere matematikk for økonomer: Lærebok / Redigert av V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Guide til å løse problemer i sannsynlighetsteori og magmatisk statistikk. - M.: Videregående skole, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. - M.: Videregående skole, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Høyere matematikk i oppgaver og oppgaver. Del 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 s. Del 1; – 416 s. Del 2.

7. Matematikk i økonomi: Lærebok: I 2 deler / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finans og statistikk, 2006.

8. Shipachev V.S. Høyere matematikk: Lærebok for studenter. universiteter - M.: Higher School, 2007. - 479 s.

Relatert informasjon.

Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger

Som en del av timene Gaussisk metode Og Inkompatible systemer/systemer med felles løsning vi vurderte inhomogene systemer av lineære ligninger, Hvor gratis medlem(som vanligvis er til høyre) minst en fra ligningene var forskjellig fra null.
Og nå, etter en god oppvarming med matriserangering, vil vi fortsette å polere teknikken elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av teknikker, vil det være mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Det er helt klart det et homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først av alt, det som fanger oppmerksomheten er den såkalte triviell løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr uten et show-off. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ...Hvorfor slå rundt bushen, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe den til en trinnvis form. Vær oppmerksom på at her er det ikke nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med frie termer - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke det omvendte av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare en triviell løsning, Hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet - 3 stykker).

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

Fra artikkelen Hvordan finne rangeringen til en matrise? La oss huske den rasjonelle teknikken med å redusere matrisetallene samtidig. Ellers må du kutte stor, og ofte bitende fisk. Et omtrentlig eksempel på en oppgave på slutten av leksjonen.

Null er bra og praktisk, men i praksis er tilfellet mye mer vanlig når radene i systemmatrisen lineært avhengig. Og da er fremveksten av en generell løsning uunngåelig:

Eksempel 3

Løs et homogent system av lineære ligninger

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form. Den første handlingen er ikke bare rettet mot å oppnå en enkelt verdi, men også på å redusere tallene i den første kolonnen:

(1) En tredje linje ble lagt til den første linjen, multiplisert med –1. Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Øverst til venstre fikk jeg en enhet med "minus", som ofte er mye mer praktisk for videre transformasjoner.

(2) De to første linjene er like, en av dem ble slettet. Ærlig talt, jeg presset ikke på løsningen - det ble sånn. Hvis du utfører transformasjoner på en mal måte, da lineær avhengighet linjer ville blitt avslørt litt senere.

(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 3.

(4) Tegnet på den første linjen ble endret.

Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system oppnådd:

Algoritmen fungerer akkurat det samme som for heterogene systemer. Variablene "sitter på trinnene" er de viktigste, variabelen som ikke fikk et "steg" er gratis.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene gjennom en fri variabel:

Svar: felles beslutning:

Den trivielle løsningen er inkludert i den generelle formelen, og det er unødvendig å skrive den ned separat.

Kontrollen utføres også i henhold til det vanlige skjemaet: den resulterende generelle løsningen må erstattes på venstre side av hver ligning av systemet og en lovlig null må oppnås for alle erstatninger.

Det ville være mulig å fullføre dette stille og fredelig, men løsningen på et homogent ligningssystem må ofte representeres i vektorform ved bruk av grunnleggende system av løsninger. Vennligst glem det for nå analytisk geometri, siden vi nå skal snakke om vektorer i generell algebraisk forstand, som jeg åpnet litt i artikkelen om matriserangering. Det er ingen grunn til å overse terminologien, alt er ganske enkelt.

La oss vurdere homogent system m lineære ligninger med n variabler:

(15)

Et system med homogene lineære ligninger er alltid konsistent, fordi den har alltid en null (triviell) løsning (0,0,...,0).

Hvis i system (15) m=n og , så har systemet bare en nullløsning, som følger av Cramers teorem og formler.

Teorem 1. Homogent system (15) har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis rangeringen av matrisen er mindre enn antall variabler, dvs. . r(EN)< n.

Bevis. Eksistensen av en ikke-triviell løsning til system (15) tilsvarer en lineær avhengighet av kolonnene i systemmatrisen (dvs. det er tall x 1, x 2,..., x n, ikke alle lik null, slik at likheter (15) er sanne).

I følge basis-molteoremet er kolonnene i en matrise lineært avhengige  når ikke alle kolonnene i denne matrisen er grunnleggende, dvs.  når rekkefølgen r av basis-moll av matrisen er mindre enn antallet n av dens kolonner. Etc.

Konsekvens. Et kvadratisk homogent system har ikke-trivielle løsninger  når |A|=0.

Teorem 2. Hvis kolonnene x (1), x (2),..., x (s) er løsninger til et homogent system AX = 0, så er en hvilken som helst lineær kombinasjon av dem også en løsning på dette systemet.

Bevis. Vurder enhver kombinasjon av løsninger:

Så AX=A()===0. etc.

Konsekvens 1. Hvis et homogent system har en ikke-triviell løsning, så har det uendelig mange løsninger.

At. det er nødvendig å finne slike løsninger x (1), x (2),..., x (s) av systemet Ax = 0, slik at enhver annen løsning av dette systemet er representert i form av deres lineære kombinasjon og dessuten på en unik måte.

Definisjon. Systemet k=n-r (n er antall ukjente i systemet, r=rg A) av lineært uavhengige løsninger x (1), x (2),..., x (k) av systemet Ах=0 kalles grunnleggende system av løsninger dette systemet.

Teorem 3. La det gis et homogent system Ах=0 med n ukjente og r=rg A. Da er det et sett med k=n-r løsninger x (1), x (2),..., x (k) av dette systemet, som danner en grunnleggende system av løsninger.

Bevis. Uten tap av generalitet kan vi anta at basis-moll av matrisen A er plassert i øvre venstre hjørne. Deretter, ved basis-molteoremet, er de gjenværende radene i matrise A lineære kombinasjoner av basisradene. Dette betyr at hvis verdiene x 1, x 2,..., x n tilfredsstiller de første r-ligningene, dvs. ligninger som tilsvarer radene i basismoll), så tilfredsstiller de også andre ligninger. Følgelig vil ikke settet med løsninger til systemet endres hvis vi forkaster alle ligninger som starter fra (r+1). Vi får systemet:

La oss flytte de frie ukjente x r +1 , x r +2 ,..., x n til høyre side, og la de grunnleggende x 1 , x 2 ,..., x r stå på venstre side:

(16)

Fordi i dette tilfellet er alle b i =0, da i stedet for formlene

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r ((13), får vi:

c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r (13)

Hvis vi setter de frie ukjente x r +1 , x r +2 ,..., x n til vilkårlige verdier, så får vi med hensyn til de grunnleggende ukjente en kvadratisk SLAE med en ikke-singular matrise som det er en unik løsning for. Dermed blir enhver løsning av en homogen SLAE unikt bestemt av verdiene til de frie ukjente xr +1, x r +2,..., x n. Tenk på følgende k=n-r-serie med verdier av frie ukjente:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Serienummeret er angitt med hevet skrift i parentes, og verdirekkene er skrevet i form av kolonner. I hver serie =1 hvis i=j og =0 hvis ij.

Den i-te serien med verdier av frie ukjente tilsvarer unikt verdiene til ,,..., grunnleggende ukjente. Verdiene til de frie og grunnleggende ukjente gir sammen løsninger til systemet (17).

La oss vise at kolonnene e i =,i=1,2,...,k (18)

danne et grunnleggende system av løsninger.

Fordi Disse kolonnene er ved konstruksjon løsninger til det homogene systemet Ax=0 og deres antall er lik k, så gjenstår det å bevise den lineære uavhengigheten til løsninger (16). La det være en lineær kombinasjon av løsninger e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,..., x (k)), lik nullkolonnen:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Så er venstre side av denne likheten en kolonne hvis komponenter med tallene r+1,r+2,...,n er lik null. Men den (r+1)te komponenten er lik  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Tilsvarende er den (r+2)te komponenten lik  2 ,..., den kth komponenten er lik k. Derfor  1 =  2 = …= k =0, som betyr lineær uavhengighet av løsninger e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1), x (2), …, x (k)).

Det konstruerte fundamentale løsningssystemet (18) kalles normal. I kraft av formel (13) har den følgende form:

(20)

Konsekvens 2. La e 1 , e 2 ,…, e k-normalt grunnleggende system av løsninger av et homogent system, så kan settet med alle løsninger beskrives med formelen:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)

hvor с 1,с 2,...,с k – ta vilkårlige verdier.

Bevis. Ved teorem 2 er kolonne (19) en løsning på det homogene systemet Ax=0. Det gjenstår å bevise at enhver løsning på dette systemet kan representeres i formen (17). Tenk på kolonnen X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Denne kolonnen sammenfaller med kolonnen y i elementer med tall r+1,...,n og er en løsning på (16). Derfor kolonnene X Og på sammenfaller, fordi løsninger av system (16) er unikt bestemt av settet med verdier av dets frie ukjente x r +1 , ..., x n , og kolonnene på Og X disse settene er de samme. Derfor, på=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, dvs. løsning på er en lineær kombinasjon av kolonner e 1 ,…,y n normal FSR. Etc.

Det beviste utsagnet er sant ikke bare for en normal FSR, men også for en vilkårlig FSR av en homogen SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - felles vedtak systemer av lineære homogene ligninger

Hvor X 1, X 2,..., X n - r – et hvilket som helst grunnleggende system av løsninger,

c 1 ,c 2 ,...,c n - r er vilkårlige tall.

Eksempel. (s. 78)

La oss etablere en sammenheng mellom løsningene til den inhomogene SLAE (1) og den tilsvarende homogene SLAE (15)

Teorem 4. Summen av enhver løsning til det inhomogene systemet (1) og det tilsvarende homogene systemet (15) er en løsning til system (1).

Bevis. Hvis c 1 ,...,c n er en løsning til system (1), og d 1 ,...,d n er en løsning til system (15), så substituerer de ukjente tallene c inn i en hvilken som helst (for eksempel i-te) ligning av system (1) 1 +d 1 ,...,c n +d n , vi får:

Bi +0=b i h.t.d.

Teorem 5. Forskjellen mellom to vilkårlige løsninger av det inhomogene systemet (1) er en løsning til det homogene systemet (15).

Bevis. Hvis c 1 ,…,c n og c 1 ,…,c n er løsninger av system (1), erstatter du de ukjente tallene c i en hvilken som helst (for eksempel i-te) likning av systemet (1) ) 1 -с 1 ,...,c n -с n , vi får:

Bi-bi =0 p.t.d.

Fra de påviste teoremene følger det at den generelle løsningen av et system av m lineære homogene ligninger med n variabler er lik summen av den generelle løsningen av det tilsvarende systemet med homogene lineære ligninger (15) og et vilkårlig antall av en bestemt løsning av dette systemet (15).

X neod. =X Total en +X hyppig Mer enn en gang (22)

Som en spesiell løsning på et inhomogent system er det naturlig å ta løsningen som oppnås hvis i formlene c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-...-c n M j (a in)) j=1,2,...,r ((13) sett alle tall c r +1 ,...,c n lik null, dvs.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Legger denne spesielle løsningen til den generelle løsningen X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r tilsvarende homogent system, får vi:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Tenk på et system av to ligninger med to variabler:

der minst én av koeffisientene en ij 0.

For å løse, eliminerer vi x 2 ved å multiplisere den første ligningen med en 22, og den andre med (-a 12) og addere dem: Eliminer x 1 ved å multiplisere den første ligningen med (-a 21), og den andre med en 11 og legger dem til: Uttrykket i parentes er determinanten

Etter å ha utpekt ,, så vil systemet ha formen:, dvs. hvis, så har systemet en unik løsning:,.

Hvis Δ=0, og (eller), så er systemet inkonsekvent, fordi redusert til formen Hvis Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, så er systemet usikkert, fordi redusert til form

Eksempel 1. Finn en generell løsning og et grunnleggende system av løsninger for systemet

Løsning finne ved hjelp av en kalkulator. Løsningsalgoritmen er den samme som for systemer med lineære inhomogene ligninger.
Når vi bare opererer med rader, finner vi rangeringen av matrisen, basis-minor; Vi erklærer avhengige og frie ukjente og finner en generell løsning.

Den første og andre linjen er proporsjonale, la oss krysse ut en av dem:

.
Avhengige variabler – x 2, x 3, x 5, fri – x 1, x 4. Fra den første ligningen 10x 5 = 0 finner vi x 5 = 0, da
; .
Den generelle løsningen er:

Vi finner et grunnleggende system av løsninger, som består av (n-r) løsninger. I vårt tilfelle, n=5, r=3, består derfor det grunnleggende løsningssystemet av to løsninger, og disse løsningene må være lineært uavhengige. For at radene skal være lineært uavhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen sammensatt av elementene i radene er lik antall rader, det vil si 2. Det er nok å gi de frie ukjente x 1 og x 4 verdier fra radene i andreordens determinant, ikke null, og beregn x 2 , x 3 , x 5 . Den enkleste ikke-null determinanten er .
Så den første løsningen er: , sekund - .
Disse to vedtakene utgjør et grunnleggende vedtakssystem. Merk at det grunnleggende systemet ikke er unikt (du kan lage så mange ikke-null-determinanter du vil).

Eksempel 2. Finn den generelle løsningen og grunnleggende løsningssystemet til systemet
Løsning.



,
det følger at rangeringen av matrisen er 3 og lik antall ukjente. Dette betyr at systemet ikke har ledige ukjente, og derfor har en unik løsning – en triviell.

Trening . Utforske og løse et system med lineære ligninger.
Eksempel 4

Trening . Finn de generelle og spesielle løsningene for hvert system.
Løsning. La oss skrive ned hovedmatrisen til systemet:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

La oss redusere matrisen til trekantet form. Vi vil bare jobbe med rader, siden å multiplisere en matriserad med et annet tall enn null og legge den til en annen rad for systemet betyr å multiplisere ligningen med det samme tallet og legge den til med en annen ligning, som ikke endrer løsningen av system.
Multipliser den andre linjen med (-5). La oss legge til den andre linjen til den første:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

La oss gange den andre linjen med (6). Multipliser den tredje linjen med (-1). La oss legge til den tredje linjen til den andre:
La oss finne rangeringen til matrisen.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Den valgte moll har den høyeste orden (av mulige moll) og er ikke-null (den er lik produktet av elementene på den motsatte diagonalen), derfor rang(A) = 2.
Denne mindre er grunnleggende. Den inkluderer koeffisienter for de ukjente x 1 , x 2 , som betyr at de ukjente x 1 , x 2 er avhengige (grunnleggende), og x 3 , x 4 , x 5 er frie.
La oss transformere matrisen, slik at bare basis-moll er igjen til venstre.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Systemet med koeffisientene til denne matrisen er ekvivalent med det opprinnelige systemet og har formen:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Ved å bruke metoden for å eliminere ukjente, finner vi ikke-triviell løsning:
Vi oppnådde relasjoner som uttrykker de avhengige variablene x 1 , x 2 gjennom de frie x 3 , x 4 , x 5 , det vil si at vi fant felles vedtak:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Vi finner et grunnleggende system av løsninger, som består av (n-r) løsninger.
I vårt tilfelle, n=5, r=2, derfor består det grunnleggende løsningssystemet av 3 løsninger, og disse løsningene må være lineært uavhengige.
For at radene skal være lineært uavhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen som består av radelementer er lik antall rader, det vil si 3.
Det er nok å gi de frie ukjente x 3 , x 4 , x 5 verdier fra linjene til tredje ordens determinant, ikke-null, og beregne x 1 , x 2 .
Den enkleste ikke-null-determinanten er identitetsmatrisen.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Oppgave . Finn et grunnleggende sett med løsninger til et homogent system av lineære ligninger.