Operasjoner med derivater. Hva er en derivert Definisjon og betydning av en derivert funksjon. Vanlige notasjoner for den deriverte av en funksjon i et punkt

Konseptet avledet

La funksjonen f(x) er definert på et eller annet intervall X. La oss gi verdien av argumentet på punktet x 0 X vilkårlig økning Δ x slik at poenget x 0 + Δ x tilhørte også X. Deretter den tilsvarende økning av funksjon f(x) vil være Δ på = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Definisjon 1. Derivert av funksjonen f(x) på punktet x 0 kalles grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen på dette punktet og økningen av argumentet ved Δ x 0 (hvis denne grensen eksisterer).

For å betegne den deriverte av en funksjon bruker vi symbolene y" (x 0) eller f"(x 0):

Hvis på et tidspunkt x 0 grensen (4.1) er uendelig:

så sier de det på punktet x 0 funksjon f(x) Det har uendelig avledet.

Hvis funksjonen f(x) har en derivert ved hvert punkt i settet X, deretter den deriverte f"(x) er også en funksjon av argumentet X, definert på X.

Geometrisk betydning av derivat

For å klargjøre den geometriske betydningen av den deriverte, må vi bestemme tangenten til grafen til funksjonen ved et gitt punkt.

Definisjon 2. Tangent til grafen til funksjonen y = f(x) på punktet M kalt grenseposisjonen til sekanten MN, når er poenget N har en tendens til et punkt M langs kurven f(x).

La poenget M på kurven f(x) tilsvarer verdien av argumentet x 0, og pek N- argumentverdi x 0 + Δ x(Fig. 4.1). Fra definisjonen av en tangent følger det at den eksisterer i et punkt x 0 det er nødvendig at det er en grense, som er lik helningsvinkelen til tangenten til aksen Åh. Fra en trekant M.N.A. følger det

Hvis den deriverte av funksjonen f(x) på punktet x 0 eksisterer, så får vi ifølge (4.1).

Av dette følger en klar konklusjon at avledet f"(x 0) lik vinkelkoeffisienten (tangens av helningsvinkelen til den positive retningen til Ox-aksen) til tangenten til grafen til funksjonen y = f(x) V punkt M(x 0, f(x 0)). I dette tilfellet bestemmes vinkelen på tangenten fra formel (4.2):

Fysisk betydning av derivatet

La oss anta at funksjonen l = f(t) beskriver bevegelsesloven til et materiell punkt i en rett linje som en baneavhengighet l fra tid t. Deretter forskjellen Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - er banen tilbakelagt i tidsintervallet Δ t, og forholdet Δ l/Δ t- gjennomsnittlig hastighet over tid Δ t. Da avgjør grensen øyeblikkelig punkthastighet på et tidspunkt t som den deriverte av banen med hensyn til tid.

I en viss forstand, den deriverte av funksjonen på = f(x) kan også tolkes som endringshastigheten til en funksjon: jo større verdi f"(x), jo større helningsvinkelen til tangenten til kurven er, jo brattere er grafen f(x) og funksjonen vokser raskere.

Høyre og venstre derivater

I analogi med begrepene om ensidige grenser for en funksjon, introduseres begrepene høyre og venstre derivater av en funksjon i et punkt.

Definisjon 3. Høyre venstre) avledet av en funksjon på = f(x) på punktet x 0 kalles høyre (venstre) relasjonsgrense (4.1) for Δ x 0 hvis denne grensen eksisterer.

Følgende symbolikk brukes for å betegne ensidige derivater:

Hvis funksjonen f(x) har på punktet x 0 derivat, så har den venstre og høyre derivater på dette punktet, som sammenfaller.

La oss gi et eksempel på en funksjon som har ensidige deriverte på et punkt som ikke er lik hverandre. Dette f(x) = |x|. Faktisk på punktet x = 0 vi har f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (fig. 4.2) og f' +(0) ≠ f’ -(0), dvs. funksjonen har ingen derivert ved X = 0.

Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles det differensiering; en funksjon som har en derivert i et punkt kalles differensierbar.

Sammenhengen mellom differensierbarhet og kontinuitet til en funksjon i et punkt etableres av følgende teorem.

TEOREM 1 . Hvis en funksjon er differensierbar ved et punkt x 0, så er den kontinuerlig på dette punktet.

Det motsatte er ikke sant: funksjon f(x), kontinuerlig på et punkt, kan ikke ha en derivert på det punktet. Et slikt eksempel er funksjonen på = |x|; den er kontinuerlig på et punkt x= 0, men har ingen derivert på dette tidspunktet.

Dermed er kravet om differensierbarhet til en funksjon sterkere enn kravet om kontinuitet, siden det andre automatisk følger av det første.

Ligning av tangenten til grafen til en funksjon ved et gitt punkt

Som nevnt i avsnitt 3.9, ligningen til en linje som går gjennom et punkt M(x 0, y 0) med skråning k ser ut som

La funksjonen være gitt på = f(x). Så siden dens derivat på et tidspunkt M(x 0, y 0) er helningen til tangenten til grafen til denne funksjonen i punktet M, så følger det at ligningen av tangenten til grafen til funksjonen f(x) på dette tidspunktet har formen

Den deriverte av en funksjon $y = f(x)$ ved et gitt punkt $x_0$ er grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og den tilsvarende økningen av argumentet, forutsatt at sistnevnte har en tendens til null:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differensiering er operasjonen for å finne den deriverte.

Tabell over derivater av noen elementære funksjoner

Grunnleggende regler for differensiering

1. Den deriverte av summen (differansen) er lik summen (differansen) av de deriverte

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Finn den deriverte av funksjonen $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Den deriverte av en sum (differanse) er lik summen (differansen) av deriverte.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat av produktet

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Finn den deriverte $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivat av kvotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Finn den deriverte $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den eksterne funksjonen og den deriverte av den indre funksjonen

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Fysisk betydning av derivatet

Hvis et materialpunkt beveger seg rettlinjet og dets koordinater endres avhengig av tid i henhold til loven $x(t)$, så er den øyeblikkelige hastigheten til dette punktet lik den deriverte av funksjonen.

Punktet beveger seg langs koordinatlinjen i henhold til loven $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, der $x(t)$ er koordinaten til tiden $t$. På hvilket tidspunkt vil punktets hastighet være lik $12$?

1. Hastighet er den deriverte av $x(t)$, så la oss finne den deriverte av den gitte funksjonen

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. For å finne på hvilket tidspunkt $t$ hastigheten var lik $12$, lager og løser vi ligningen:

Geometrisk betydning av derivat

Husk at ligningen til en rett linje som ikke er parallell med koordinataksene kan skrives på formen $y = kx + b$, der $k$ er helningen til den rette linjen. Koeffisienten $k$ er lik tangenten til helningsvinkelen mellom den rette linjen og den positive retningen til $Ox$-aksen.

Den deriverte av funksjonen $f(x)$ i punktet $х_0$ er lik helningen $k$ til tangenten til grafen på dette punktet:

Derfor kan vi skape en generell likhet:

$f"(x_0) = k = tanα$

I figuren øker tangenten til funksjonen $f(x)$, derfor er koeffisienten $k > 0$. Siden $k > 0$, så er $f"(x_0) = tanα > 0$. Vinkelen $α$ mellom tangenten og den positive retningen $Ox$ er spiss.

I figuren reduseres tangenten til funksjonen $f(x)$, derfor reduseres koeffisienten $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

I figuren er tangenten til funksjonen $f(x)$ parallell med $Ox$-aksen, derfor er koeffisienten $k = 0$, derfor $f"(x_0) = tan α = 0$. punkt $x_0$ hvor $f "(x_0) = 0$, kalt ekstremum.

Figuren viser en graf for funksjonen $y=f(x)$ og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen $x_0$. Finn verdien av den deriverte av funksjonen $f(x)$ ved punktet $x_0$.

Tangenten til grafen øker, derfor $f"(x_0) = tan α > 0$

For å finne $f"(x_0)$ finner vi tangenten til helningsvinkelen mellom tangenten og den positive retningen til $Ox$-aksen. For å gjøre dette bygger vi tangenten til trekanten $ABC$.

La oss finne tangenten til vinkelen $BAC$. (Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Svar: $0,25$

Den deriverte brukes også til å finne intervallene for økende og minkende funksjoner:

Hvis $f"(x) > 0$ på et intervall, øker funksjonen $f(x)$ på dette intervallet.

Hvis $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Figuren viser grafen til funksjonen $y = f(x)$. Finn blant punktene $х_1,х_2,х_3...х_7$ de punktene der den deriverte av funksjonen er negativ.

Som svar, skriv ned antallet av disse punktene.

Plan:

1. Derivert av en funksjon

2. Differensialfunksjon

3. Anvendelse av differensialregning til studiet av funksjoner

Derivert av en funksjon av én variabel

La funksjonen defineres på et visst intervall. Vi gir argumentet en økning: , da vil funksjonen motta en økning. La oss finne grensen for dette forholdet ved Hvis denne grensen eksisterer, kalles den den deriverte av funksjonen. Den deriverte av en funksjon har flere notasjoner: . Noen ganger i notasjonen til en derivert brukes en indeks som indikerer hvilken variabel den deriverte er tatt med hensyn til.

Definisjon. Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet når økningen av argumentet har en tendens til null (hvis denne grensen eksisterer):

Definisjon. En funksjon som har en derivert i hvert punkt i intervallet kalles differensierbar i dette intervallet.

Definisjon. Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering.

Verdien av den deriverte av en funksjon i et punkt er indikert med ett av symbolene: .

Eksempel. Finn den deriverte av en funksjon på et vilkårlig punkt.

Løsning. Vi gir verdien en økning. La oss finne økningen til funksjonen ved punktet: . La oss skape et forhold. La oss gå til grensen: . Dermed, .

Mekanisk betydning av derivat. Siden eller, dvs. hastigheten på rettlinjet bevegelse av et materiell punkt på et øyeblikk av tid er den deriverte av banen med hensyn til tid. Dette er mekanisk betydning av derivat .

Hvis en funksjon beskriver en fysisk prosess, er den deriverte frekvensen av forekomsten av denne prosessen. Dette er fysisk betydning av avledet .

Geometrisk betydning av derivat. Tenk på en graf av en kontinuerlig kurve som har en ikke-vertikal tangent i et punkt. La oss finne dens vinkelkoeffisient, hvor er tangentvinkelen med aksen. For å gjøre dette, tegn en sekantlinje gjennom punktet og grafen (Figur 1).

La oss betegne med - vinkelen mellom sekanten og aksen. Figuren viser at vinkelkoeffisienten til sekanten er lik

Når, på grunn av funksjonens kontinuitet, har inkrementet også en tendens til null; derfor nærmer punktet seg punktet langs kurven på ubestemt tid, og sekanten, som snur seg rundt punktet, blir en tangent. Vinkel, dvs. . Derfor, Derfor hellingen av tangenten er lik .

Helningen til en tangent til en kurve

Vi omskriver denne likheten i formen: , dvs. den deriverte i et punkt er lik helningen til tangenten til grafen til funksjonen i punktet hvis abscisse er lik . Dette er geometrisk betydning av derivat .

Hvis tangenspunktet har koordinater (Figur 2), er vinkelkoeffisienten til tangenten lik: .

Ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning har formen: .

Deretter tangentligning skrives i formen:.

Definisjon. En rett linje vinkelrett på tangenten i kontaktpunktet kalles normal til kurven.

Vinkelkoeffisienten til normalen er lik: (siden normalen er vinkelrett på tangenten).

Normalligningen har formen:, Hvis .

Ved å erstatte de funnet verdiene får vi tangentligningene, dvs. .

Normal ligning: eller .

Hvis en funksjon har en endelig derivert i et punkt, er den differensierbar på det punktet. Hvis en funksjon er differensierbar på hvert punkt i et intervall, er den differensierbar i det intervallet.

Teorem 6.1 Hvis en funksjon er differensierbar på et tidspunkt, så er den kontinuerlig der.

Det omvendte teoremet er ikke sant. En kontinuerlig funksjon kan ikke ha en derivert.

Eksempel. Funksjonen er kontinuerlig over intervallet (Figur 3).

Løsning.

Den deriverte av denne funksjonen er lik:

På et tidspunkt - funksjonen er ikke differensierbar.

Kommentar. I praksis må man oftest finne deriverte av komplekse funksjoner. Derfor er argumentet i tabellen over differensieringsformler erstattet med et mellomargument.

Derivattabell

Konstant

Strøm funksjon:

2) spesielt;

Eksponentiell funksjon:

3) spesielt;

Logaritmisk funksjon:

4) spesielt;

Trigonometriske funksjoner:

Inverse trigonometriske funksjoner , , , :

Å differensiere en funksjon betyr å finne dens deriverte, det vil si å beregne grensen: . Å bestemme grensen er imidlertid i de fleste tilfeller en tungvint oppgave.

Hvis du kjenner de deriverte av grunnleggende elementære funksjoner og kjenner reglene for å differensiere resultatene av aritmetiske operasjoner på disse funksjonene, kan du enkelt finne de deriverte av alle elementære funksjoner, i henhold til reglene for bestemmelse av deriverte, godt kjent fra skolekurset .

La funksjonene og være to differensierbare funksjoner i et visst intervall.

Teorem 6.2 Den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte av disse funksjonene: .

Teoremet er gyldig for et hvilket som helst begrenset antall ledd.

Eksempel. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsning.

Teorem 6.3 Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik produktet av den deriverte av den første faktoren og den andre pluss produktet av den første faktoren og den deriverte av den andre: .

Eksempel. Finn den deriverte av en funksjon .

Løsning.

Teorem 6.4 Den deriverte av kvotienten av to funksjoner, hvis lik en brøk, hvis teller er differansen mellom produktene av nevneren til brøken og den deriverte av telleren og telleren av brøken og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere nevneren: .

Eksempel. Finn den deriverte av en funksjon .

Løsning. .

For å finne den deriverte av en kompleks funksjon, må du multiplisere den deriverte av denne funksjonen i forhold til det mellomliggende argumentet med den deriverte av det mellomliggende argumentet i forhold til det uavhengige argumentet

Denne regelen forblir i kraft hvis det er flere mellomliggende argumenter. Så hvis , , , da

La og, så - en kompleks funksjon med et mellomargument og et uavhengig argument.

Teorem 6.5 Hvis en funksjon har en derivert i et punkt, og en funksjon har en derivert i det tilsvarende punktet, så har en kompleks funksjon en derivert i et punkt, som finnes av formelen. , Finn den deriverte av funksjonen gitt av ligningen: .

Løsning. Funksjonen er spesifisert implisitt. La oss differensiere ligningen med hensyn til , og husk at: . Da finner vi:.

La funksjonen defineres på et punkt og noe av dets nabolag. La oss gi argumentet en økning slik at punktet faller innenfor definisjonsdomenet til funksjonen. Funksjonen vil da økes.

DEFINISJON. Derivert av en funksjon i et punkt kalles grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen på dette punktet og økningen av argumentet, ved (hvis denne grensen eksisterer og er endelig), dvs.

Betegn: ,,,.

Derivert av en funksjon i et punkt til høyre (venstre) kalt

(hvis denne grensen eksisterer og er begrenset).

Angitt av: , – avledet på punktet til høyre,

, er den deriverte i punktet til venstre.

Det er klart at følgende teorem er sant.

TEOREM. En funksjon har en derivert på et punkt hvis og bare hvis på dette punktet de deriverte av funksjonen til høyre og venstre eksisterer og er like med hverandre. Dessuten

Følgende teorem etablerer en sammenheng mellom eksistensen av en derivert av en funksjon i et punkt og kontinuiteten til funksjonen på det punktet.

TEOREM (en nødvendig betingelse for eksistensen av en derivert av en funksjon i et punkt). Hvis en funksjon har en derivert i et punkt, er funksjonen på det punktet kontinuerlig.

BEVIS

La det eksistere. Deretter

,

hvor er uendelig liten.

Kommentar

avledet av en funksjon og betegne

differensiering av funksjon .

GEOMETRISK OG FYSISK BETYDNING

1) Fysisk betydning av derivatet. Hvis en funksjon og dens argument er fysiske størrelser, er den deriverte endringshastigheten til en variabel i forhold til variabelen i et punkt. For eksempel, hvis er avstanden tilbakelagt av et tidspunkt, så er dens deriverte hastigheten i tidspunktet. Hvis er mengden elektrisitet som strømmer gjennom tverrsnittet av lederen på et øyeblikk, så er endringshastigheten i mengden elektrisitet på et tidspunkt, dvs. gjeldende styrke på et tidspunkt.

2) Geometrisk betydning av derivat.

La være en kurve, være et punkt på kurven.

Enhver rett linje som skjærer minst to punkter kalles sekant .

Tangent til en kurve på et punkt kalt grenseposisjonen til en sekant hvis punktet har en tendens til å bevege seg langs en kurve.

Fra definisjonen er det åpenbart at hvis en tangent til en kurve eksisterer i et punkt, så er det den eneste

Tenk på en kurve (dvs. en graf for en funksjon). La den ha en ikke-vertikal tangent i et punkt. Dens ligning: (ligning av en rett linje som går gjennom et punkt og har en vinkelkoeffisient).

Per definisjon av skråningen

hvor er helningsvinkelen til den rette linjen til aksen.

La være helningsvinkelen til sekanten til aksen, hvor. Siden er en tangent, så når

Derfor,

Dermed fikk vi det – vinkelkoeffisienten til tangenten til grafen til funksjonen i punktet(geometrisk betydning av den deriverte av en funksjon i et punkt). Derfor kan ligningen for tangenten til kurven i et punkt skrives på skjemaet

Kommentar . En rett linje som går gjennom et punkt vinkelrett på tangenten trukket til kurven ved punktet kalles normal til kurven ved punktet . Siden vinkelkoeffisientene til perpendikulære rette linjer er relatert av relasjonen, vil ligningen av normalen til kurven i et punkt ha formen

, Hvis .

Hvis , vil tangenten til kurven ved punktet ha formen

og normalt.

TANGENT OG NORMALE LIGNINGER

Tangentligning

La funksjonen være gitt av ligningen y=f(x), må du skrive ligningen tangent på punktet x 0. Fra definisjonen av derivat:

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

Ligningen tangent til funksjonsgrafen: y=kx+b (k,b=konst). Fra den geometriske betydningen av derivatet: f/(x 0)=tgα= k Fordi x 0 og f(x 0)∈ rett linje, deretter ligningen tangent er skrevet som: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), eller

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

Normal ligning

Normal- er vinkelrett på tangent(se bilde). Basert på dette:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

Fordi helningsvinkelen til normalen er vinkel β1, da har vi:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).

Punktum ( x 0,f(x 0))∈ normal, ligningen har formen:

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

BEVIS

La det eksistere. Deretter

,

hvor er uendelig liten.

Men dette betyr at den er kontinuerlig i et punkt (se den geometriske definisjonen av kontinuitet). ∎

Kommentar . Kontinuiteten til en funksjon i et punkt er ikke en tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en derivert av denne funksjonen i et punkt. For eksempel er en funksjon kontinuerlig, men har ingen derivert i et punkt. Egentlig,

og eksisterer derfor ikke.

Korrespondanse er åpenbart en funksjon definert på et sett. De ringer henne avledet av en funksjon og betegne

Operasjonen med å finne for en funksjon dens deriverte funksjon kalles differensiering av funksjon .

Derivert av sum og differanse

La funksjonene f(x) og g(x) gis hvis deriverte er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

(f + g)' = f ' + g '

(f − g)' = f ' − g '

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept om "negativt element". Derfor kan forskjellen f − g omskrives som summen f + (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

I koordinatplanet xOy vurdere grafen til funksjonen y=f(x). La oss fikse poenget M(x 0 ; f (x 0)). La oss legge til en abscisse x 0øke Δх. Vi skal få en ny abscisse x 0 +Δx. Dette er abscissen til punktet N, og ordinaten vil være lik f (x 0 +Δx). Endringen i abscissen medførte en endring i ordinaten. Denne endringen kalles funksjonen inkrement og er betegnet Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Gjennom prikker M Og N la oss tegne en sekant MN, som danner en vinkel φ med positiv akseretning Åh. La oss bestemme tangenten til vinkelen φ fra en rettvinklet trekant MPN.

La Δх har en tendens til null. Deretter sekanten MN vil ha en tendens til å ta en tangentposisjon MT, og vinkelen φ vil bli en vinkel α . Altså tangenten til vinkelen α er grenseverdien til tangensen til vinkelen φ :

Grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, når sistnevnte har en tendens til null, kalles den deriverte av funksjonen ved et gitt punkt:

Geometrisk betydning av derivat ligger i det faktum at den numeriske deriverte av funksjonen i et gitt punkt er lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten trukket gjennom dette punktet til den gitte kurven og den positive retningen til aksen Åh:

Eksempler.

1. Finn økningen til argumentet og økningen til funksjonen y= x 2, hvis startverdien til argumentet var lik 4 , og nye - 4,01 .

Løsning.

Ny argumentverdi x=x0 +Δx. La oss erstatte dataene: 4.01=4+Δх, derav økningen av argumentet Δх=4,01-4=0,01. Inkrementet til en funksjon er per definisjon lik forskjellen mellom de nye og tidligere verdiene til funksjonen, dvs. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Siden vi har en funksjon y=x2, Det Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Svar: argumentøkning Δх=0,01; funksjonsøkning Δу=0,0801.

Funksjonsøkningen kan bli funnet annerledes: Δy=y (x0 +Δx) -y (x0)=y(4,01) -y(4)=4,012-42 =16,0801-16=0,0801.

2. Finn helningsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen y=f(x) på punktet x 0, Hvis f "(x 0) = 1.

Løsning.

Verdien av den deriverte ved tangenspunktet x 0 og er verdien av tangenten til tangentvinkelen (den geometriske betydningen av den deriverte). Vi har: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, fordi tg45°=1.

Svar: tangenten til grafen til denne funksjonen danner en vinkel med den positive retningen til Ox-aksen lik 45°.

3. Utled formelen for den deriverte av funksjonen y=xn.

Differensiering er handlingen for å finne den deriverte av en funksjon.

Når du finner derivater, bruk formler som ble utledet basert på definisjonen av et derivat, på samme måte som vi utledet formelen for derivatgraden: (x n)" = nx n-1.

Dette er formlene.

Tabell over derivater Det vil være lettere å huske ved å uttale verbale formuleringer:

1. Den deriverte av en konstant mengde er null.

2. X primtall er lik en.

3. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte.

4. Den deriverte av en grad er lik produktet av eksponenten av denne graden med en grad med samme base, men eksponenten er en mindre.

5. Den deriverte av en rot er lik en delt på to like røtter.

6. Den deriverte av én delt på x er lik minus én delt på x i annen.

7. Den deriverte av sinus er lik cosinus.

8. Den deriverte av cosinus er lik minus sinus.

9. Den deriverte av tangenten er lik en delt på kvadratet av cosinus.

10. Den deriverte av cotangensen er lik minus én dividert med kvadratet av sinusen.

Vi underviser differensieringsregler.

1. Den deriverte av en algebraisk sum er lik den algebraiske summen av de deriverte av leddene.

2. Den deriverte av et produkt er lik produktet av den deriverte av den første faktoren og den andre pluss produktet av den første faktoren og den deriverte av den andre.

3. Den deriverte av "y" delt på "ve" er lik en brøk der telleren er "y primtall multiplisert med "ve" minus "y multiplisert med ve primtall", og nevneren er "ve i andre".

4. Et spesielt tilfelle av formelen 3.