Definisjon av projeksjon på koordinatakser. Projeksjon av kraft på aksen. Projeksjon av vektorsummen av krefter på aksen. Klassifisering av vektorprojeksjoner

EN. Projeksjonen av punkt A på PQ-aksen (fig. 4) er basen a av perpendikulæren som faller fra et gitt punkt til en gitt akse. Aksen vi projiserer på kalles projeksjonsaksen.

b. La to akser og en vektor A B gis, vist i fig. 5.

En vektor hvis begynnelse er projeksjonen av begynnelsen og hvis slutten er projeksjonen av slutten av denne vektoren kalles projeksjonen av vektor A B på PQ-aksen.Det er skrevet slik;

Noen ganger er ikke PQ-indikatoren skrevet nederst; dette gjøres i tilfeller der det, foruten PQ, ikke er noe annet operativsystem som det kan designes på.

Med. Teorem I. Størrelsen på vektorer som ligger på en akse er relatert til størrelsen på deres projeksjoner på en hvilken som helst akse.

La det gis aksene og vektorene som er angitt i fig. 6. Fra likheten mellom trekantene er det klart at lengdene til vektorene er relatert som lengdene på deres projeksjoner, dvs.

Siden vektorene på tegningen er rettet i forskjellige retninger, har deres størrelser forskjellige tegn, derfor,

Tydeligvis har størrelsen på anslagene også forskjellige tegn:

erstatte (2) inn i (3) inn i (1), får vi

Snu på skiltene, får vi

Hvis vektorene er likt rettet, vil deres projeksjoner også være i samme retning; det vil ikke være minustegn i formlene (2) og (3). Ved å erstatte (2) og (3) med likhet (1), oppnår vi umiddelbart likhet (4). Så teoremet er bevist for alle tilfeller.

d. Teorem II. Størrelsen på projeksjonen av en vektor på en hvilken som helst akse er lik størrelsen på vektoren multiplisert med cosinus til vinkelen mellom projeksjonens akse og vektorens akse La aksene gis som en vektor som angitt i fig. . 7. La oss konstruere en vektor med samme retning som dens akse og plottet for eksempel fra skjæringspunktet mellom aksene. La lengden være lik én. Så dens størrelse

Projeksjon vektor på en akse er en vektor som oppnås ved å multiplisere skalarprojeksjonen til en vektor på denne aksen og enhetsvektoren til denne aksen. For eksempel, hvis en x – skalarprojeksjon vektor EN til X-aksen, deretter en x Jeg- dens vektorprojeksjon på denne aksen.

La oss betegne vektorprojeksjon det samme som selve vektoren, men med indeksen til aksen som vektoren er projisert på. Så vektorprojeksjonen til vektoren EN på X-aksen betegner vi EN x ( fett en bokstav som angir en vektor og et underskrift av aksenavnet) eller (en ikke-fet skrift som angir en vektor, men med en pil øverst (!) og en underskrift av aksenavnet).

Skalarprojeksjon vektor per akse kalles Antall, hvis absolutte verdi er lik lengden på aksesegmentet (på den valgte skalaen) innelukket mellom projeksjonene av startpunktet og endepunktet til vektoren. Vanligvis i stedet for uttrykket skalarprojeksjon de sier bare - projeksjon. Projeksjonen er merket med samme bokstav som den projiserte vektoren (i normal, ikke-fet skrift), med en lavere indeks (som regel) av navnet på aksen som denne vektoren er projisert på. For eksempel hvis en vektor projiseres på X-aksen EN, da er projeksjonen angitt med en x. Når den samme vektoren projiseres på en annen akse, hvis aksen er Y, vil dens projeksjon bli betegnet som en y.

For å beregne projeksjonen vektor på en akse (for eksempel X-aksen), er det nødvendig å trekke koordinaten til startpunktet fra koordinaten til endepunktet, dvs.
a x = x k − x n.
Projeksjonen av en vektor på en akse er et tall. Dessuten kan projeksjonen være positiv hvis verdien x k er større enn verdien x n,

negativ hvis verdien x k er mindre enn verdien x n

og lik null hvis x k er lik x n.

Projeksjonen av en vektor på en akse kan også bli funnet ved å kjenne modulen til vektoren og vinkelen den lager med denne aksen.

Fra figuren er det klart at a x = a Cos α

det vil si at projeksjonen av vektoren på aksen er lik produktet av modulen til vektoren og cosinus til vinkelen mellom retningen til aksen og vektor retning. Hvis vinkelen er spiss, da
Cos α > 0 og a x > 0, og hvis stump er cosinus til den stumpe vinkelen negativ, og projeksjonen av vektoren på aksen vil også være negativ.

Vinkler målt fra aksen mot klokken anses som positive, og vinkler målt langs aksen er negative. Men siden cosinus er en jevn funksjon, det vil si Cos α = Cos (− α), kan vinkler telles både med klokken og mot klokken ved beregning av projeksjoner.

For å finne projeksjonen av en vektor på en akse, må modulen til denne vektoren multipliseres med cosinus til vinkelen mellom retningen til aksen og retningen til vektoren.

Vektorkoordinater— koeffisienter for den eneste mulige lineære kombinasjonen av basisvektorer i det valgte koordinatsystemet, lik den gitte vektoren.

hvor er koordinatene til vektoren.

Skalært produkt vektorer

Skalært produkt av vektorer[- i endelig dimensjonal vektorrom er definert som summen av produktene av identiske komponenter som multipliseres vektorer.

For eksempel, S.p.v. en = (en 1 , ..., en n) Og b = (b 1 , ..., b n):

(en , b ) = en 1 b 1 + en 2 b 2 + ... + a n b n

Svar:

Projeksjonsegenskaper:

Vektorprojeksjonsegenskaper

Eiendom 1.

Projeksjonen av summen av to vektorer på en akse er lik summen av projeksjonene av vektorer på samme akse:

Denne egenskapen lar deg erstatte projeksjonen av en sum av vektorer med summen av deres projeksjoner og omvendt.

Eiendom 2. Hvis en vektor multipliseres med tallet λ, blir dens projeksjon på aksen også multiplisert med dette tallet:

Eiendom 3.

Projeksjonen av vektoren på l-aksen er lik produktet av modulen til vektoren og cosinus til vinkelen mellom vektoren og aksen:

Orth akse. Dekomponering av en vektor i koordinatenhetsvektorer. Vektorkoordinater. Koordinere egenskaper

Svar:

Enhetsvektorer for aksene.

Et rektangulært koordinatsystem (av hvilken som helst dimensjon) er også beskrevet av et sett med enhetsvektorer på linje med koordinataksene. Antall enhetsvektorer er lik dimensjonen til koordinatsystemet og de er alle vinkelrett på hverandre.

I det tredimensjonale tilfellet er enhetsvektorene vanligvis betegnet

Og pilsymboler og kan også brukes.

Dessuten, i tilfellet med et høyrehendt koordinatsystem, følgende formler med vektorprodukter av vektorer:

Dekomponering av en vektor i koordinatenhetsvektorer.

Enhetsvektoren til koordinataksen er betegnet med , akser med , akser med (fig. 1)

For enhver vektor som ligger i planet, skjer følgende ekspansjon:

Hvis vektoren lokalisert i rommet, så har utvidelsen i enhetsvektorer av koordinataksene formen:

Vektorkoordinater:

For å beregne koordinatene til en vektor, og kjenne koordinatene (x1; y1) til begynnelsen A og koordinatene (x2; y2) til slutten B, må du trekke fra koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten: ( x2 – x1; y2 – y1).

Egenskaper til koordinater.

Betrakt en koordinatlinje med origo i punkt O og enhetsvektoren i. Så for enhver vektor a på denne linjen: a = akse.

Tallaksen kalles koordinaten til vektoren a på koordinataksen.

Eiendom 1. Når du legger til vektorer på en akse, blir deres koordinater lagt til.

Eiendom 2. Når en vektor multipliseres med et tall, multipliseres dens koordinat med dette tallet.

Punktprodukt av vektorer. Egenskaper.

Svar:

Skalarproduktet av to vektorer som ikke er null er tallet

lik produktet av disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Egenskaper:

1. Skalarproduktet har den kommutative egenskapen: ab=ba

Skalært produkt koordinatenhetsvektorer. Bestemmelse av skalarproduktet til vektorer spesifisert av deres koordinater.

Svar:

Punktprodukt (×) av enhetsvektorer

(X)	Jeg	J	K
Jeg
J
K

Bestemmelse av skalarproduktet til vektorer spesifisert av deres koordinater.

Skalarproduktet av to vektorer og gitt av deres koordinater kan beregnes ved hjelp av formelen

Kryssproduktet av to vektorer. Egenskaper til et vektorprodukt.

Svar:

Tre ikke-koplanare vektorer danner en høyrehendt trippel hvis, fra slutten av den tredje, rotasjonen fra den første vektoren til den andre gjøres mot klokken. Hvis med klokken, så til venstre. Hvis ikke, så i motsatt retning ( vis hvordan han viste med "håndtak")

Kryssprodukt av en vektor EN til vektor b kalt en vektor hvorfra:

1. Vinkelrett på vektorer EN Og b

2. Har lengde, numerisk lik arealet parallellogram dannet på en Og b vektorer

3. Vektorer, a,b, Og c danner en høyre trippel av vektorer

Egenskaper:

Vektorprodukt av koordinatenhetsvektorer. Bestemmelse av vektorproduktet til vektorer spesifisert av deres koordinater.

Svar:

Vektorprodukt av koordinatenhetsvektorer.

Bestemmelse av vektorproduktet til vektorer spesifisert av deres koordinater.

La vektorene a = (x1; y1; z1) og b = (x2; y2; z2) gis ved deres koordinater i det rektangulære kartesiske koordinatsystemet O, i, j, k, og trippelen i, j, k er høyrehendt.

La oss utvide a og b til basisvektorer:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Ved å bruke egenskapene til vektorproduktet får vi

[EN; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Ved definisjonen av et vektorprodukt finner vi

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Tar disse likhetene i betraktning, kan formel (1) skrives som følger:

[EN; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[EN; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formel (2) gir et uttrykk for vektorproduktet av to vektorer spesifisert av deres koordinater.

Den resulterende formelen er tungvint. Ved å bruke notasjonen til determinanter kan du skrive den i en annen form som er mer praktisk for memorering:

Vanligvis skrives formel (3) enda kortere:

Først, la oss huske hva det er koordinataksen, projeksjon av et punkt på en akse Og koordinatene til et punkt på aksen.

Koordinatakse– Dette er en rett linje som får en viss retning. Du kan tenke på det som en vektor med en uendelig stor modul.

Koordinatakse betegnet med en bokstav: X, Y, Z, s, t... Vanligvis velges et punkt (vilkårlig) på aksen, som kalles origo og som regel betegnes med bokstaven O. Fra dette punktet avstander til andre steder av interesse for oss måles.

Projeksjon av et punkt på en akse- dette er bunnen av perpendikulæren senket fra dette punktet til denne aksen (fig. 8). Det vil si at projeksjonen av et punkt på aksen er et punkt.

Punktkoordinat på aksen- dette er et tall hvis absolutte verdi er lik lengden på aksesegmentet (på den valgte skalaen) mellom aksens opprinnelse og projeksjonen av punktet på denne aksen. Dette tallet tas med et plusstegn hvis projeksjonen av punktet er plassert i retning av aksen fra opprinnelsen og med et minustegn hvis i motsatt retning.

Skalar projeksjon av en vektor på en akse- Dette Antall, hvis absolutte verdi er lik lengden på aksesegmentet (på den valgte skalaen) innelukket mellom projeksjonene av startpunktet og endepunktet til vektoren. Viktig! Vanligvis i stedet for uttrykket skalarprojeksjon av en vektor på en akse de sier bare - projeksjon av vektoren på aksen, altså ordet skalar senkes. Vektorprojeksjon er betegnet med samme bokstav som den projiserte vektoren (i normal, ikke-fet skrift), med en lavere (som regel) indeks av navnet på aksen som denne vektoren er projisert på. For eksempel hvis en vektor projiseres på X-aksen EN, da er projeksjonen angitt med en x. Når den samme vektoren projiseres på en annen akse, for eksempel Y-aksen, vil dens projeksjon bli betegnet som en y (fig. 9).

Å beregne projeksjon av vektoren på aksen(for eksempel X-aksen), er det nødvendig å trekke koordinaten til startpunktet fra koordinaten til endepunktet, dvs.

a x = x k − x n.

Vi må huske: den skalære projeksjonen av en vektor på en akse (eller, ganske enkelt, projeksjonen av en vektor på en akse) er et tall (ikke en vektor)! Dessuten kan projeksjonen være positiv hvis verdien x k er større enn verdien x n, negativ hvis verdien x k er mindre enn verdien x n og lik null hvis x k er lik x n (fig. 10).

Projeksjonen av en vektor på en akse kan også bli funnet ved å kjenne modulen til vektoren og vinkelen den lager med denne aksen.

Fra figur 11 er det klart at a x = a Cos α

Det vil si at projeksjonen av vektoren på aksen er lik produktet av modulen til vektoren og cosinus til vinkelen mellom akseretning og vektorretning. Hvis vinkelen er spiss, så er Cos α > 0 og a x > 0, og hvis den er stump, så er cosinus til den stumpe vinkelen negativ, og projeksjonen av vektoren på aksen vil også være negativ.

Ved løsning av problemer vil følgende egenskaper ved projeksjoner ofte brukes: if

EN = b + c +…+ d, da a x = b x + c x +…+ d x (ligner på andre akser),

en= m b, da a x = mb x (tilsvarende for andre akser).

Formelen a x = a Cos α vil være Ofte oppstår når du løser problemer, så du må definitivt vite det. Du må kjenne regelen for å bestemme projeksjon utenat!

Huske!

For å finne projeksjonen av en vektor på en akse, må modulen til denne vektoren multipliseres med cosinus til vinkelen mellom retningen til aksen og retningen til vektoren.

Nok en gang - utenat!

En vektorbeskrivelse av bevegelse er nyttig, siden du i en tegning alltid kan skildre mange forskjellige vektorer og få et visuelt "bilde" av bevegelse foran øynene dine. Det er imidlertid svært arbeidskrevende å bruke en linjal og en gradskive hver gang for å utføre operasjoner med vektorer. Derfor reduseres disse handlingene til handlinger med positive og negative tall– projeksjoner av vektorer.

Projeksjon av vektoren på aksen kalt en skalar størrelse lik produktet av modulen til den projiserte vektoren og cosinus til vinkelen mellom retningene til vektoren og den valgte koordinataksen.

Den venstre tegningen viser en forskyvningsvektor, hvis modul er 50 km, og dens retningsformer stump vinkel 150° med retningen til X-aksen. Ved hjelp av definisjonen finner vi projeksjonen av forskyvningen på X-aksen:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Siden vinkelen mellom aksene er 90°, er det lett å regne ut at bevegelsesretningen danner en spiss vinkel på 60° med Y-aksens retning. Ved å bruke definisjonen finner vi projeksjonen av forskyvning på Y-aksen:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Som du kan se, hvis retningen til vektoren danner en spiss vinkel med retningen til aksen, er projeksjonen positiv; hvis retningen til vektoren danner en stump vinkel med retningen til aksen, er projeksjonen negativ.

Den høyre tegningen viser en hastighetsvektor, hvis modul er 5 m/s, og retningen danner en vinkel på 30° med retningen til X-aksen La oss finne projeksjonene:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Det er mye lettere å finne projeksjoner av vektorer på akser hvis de projiserte vektorene er parallelle eller vinkelrette på de valgte aksene. Vær oppmerksom på at for parallellisme er to alternativer mulige: vektoren er co-directional til aksen og vektoren er motsatt av aksen, og for tilfellet med perpendikularitet er det bare ett alternativ.

Projeksjonen av en vektor vinkelrett på aksen er alltid null (se sy og ay på venstre tegning, og sx og υx på høyre tegning). Faktisk, for en vektor vinkelrett på aksen, er vinkelen mellom den og aksen 90°, så cosinus er null, noe som betyr at projeksjonen er null.

Projeksjonen av en vektor codirectional med aksen er positiv og lik dens absolutte verdi, for eksempel sx = +s (se venstre tegning). Faktisk, for en vektor kodireksjonell med aksen, er vinkelen mellom den og aksen null, og dens cosinus er "+1", det vil si at projeksjonen er lik lengden på vektoren: sx = x – xo = + s .

Projeksjonen av vektoren motsatt aksen er negativ og lik modulen tatt med et minustegn, for eksempel sy = –s (se den høyre tegningen). Faktisk, for en vektor motsatt aksen, er vinkelen mellom den og aksen 180°, og dens cosinus er "–1", det vil si at projeksjonen er lik lengden på vektoren tatt med et negativt fortegn: sy = y – yo = –s .

Høyresiden av begge tegningene viser andre tilfeller hvor vektorene er parallelle med en av koordinataksene og vinkelrett på den andre. Vi inviterer deg til selv å sørge for at også i disse tilfellene følges reglene formulert i de foregående avsnittene.