Parallelogram i problemer. Hvordan finne arealet av et parallellogram, trekant, trapes Arealet av et parallellogram gjennom senterlinjen

Akkurat som i euklidisk geometri er et punkt og en rett linje hovedelementene i teorien om fly, slik er et parallellogram en av nøkkelfigurene til konvekse firkanter. Fra den, som tråder fra en ball, strømmer begrepene "rektangel", "kvadrat", "rombus" og andre geometriske mengder.

I kontakt med

Definisjon av parallellogram

konveks firkant, som består av segmenter, hvor hvert par er parallelle, er kjent i geometri som et parallellogram.

Hvordan et klassisk parallellogram ser ut er avbildet av en firkant ABCD. Sidene kalles baser (AB, BC, CD og AD), vinkelrett trukket fra et hvilket som helst toppunkt til siden motsatt av dette toppunktet kalles høyde (BE og BF), linjene AC og BD kalles diagonaler.

Merk følgende! Firkant, rombe og rektangel er spesielle tilfeller av parallellogram.

Sider og vinkler: trekk ved forholdet

Viktige egenskaper, stort sett, forhåndsbestemt av selve betegnelsen, de er bevist av teoremet. Disse egenskapene er som følger:

1. Sidene som er motsatt er identiske i par.
2. Vinkler overfor hverandre er like parvis.

Bevis: Tenk på ∆ABC og ∆ADC, som oppnås ved å dele firkanten ABCD med den rette linjen AC. ∠BCA=∠CAD og ∠BAC=∠ACD, siden AC er felles for dem (vertikale vinkler for henholdsvis BC||AD og AB||CD). Det følger av dette: ∆ABC = ∆ADC (det andre tegnet på likhet i trekanter).

Segmentene AB og BC i ∆ABC tilsvarer parvis linjene CD og AD i ∆ADC, noe som betyr at de er identiske: AB = CD, BC = AD. Dermed tilsvarer ∠B ∠D og de er like. Siden ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, som også er parvis identiske, så er ∠A = ∠C. Eiendommen er påvist.

Kjennetegn på diagonalene til en figur

Hovedfunksjon av disse linjene i et parallellogram: skjæringspunktet deler dem i to.

Bevis: La dvs. være skjæringspunktet for diagonalene AC og BD til figur ABCD. De danner to tilsvarende trekanter - ∆ABE og ∆CDE.

AB=CD siden de er motsetninger. I henhold til linjer og sekanter, ∠ABE = ∠CDE og ∠BAE = ∠DCE.

Ved det andre likhetskriteriet er ∆ABE = ∆CDE. Dette betyr at elementene ∆ABE og ∆CDE: AE = CE, BE = DE og samtidig er de proporsjonale deler av AC og BD. Eiendommen er påvist.

Funksjoner av tilstøtende hjørner

Tilstøtende sider har en sum av vinkler lik 180°, siden de ligger på samme side av parallelle linjer og en tverrgående. For firkant ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Egenskaper til halveringslinjen:

1. , senket til den ene siden, er vinkelrett;
2. motsatte hjørner har parallelle halveringslinjer;
3. trekanten oppnådd ved å tegne en halveringslinje vil være likebenet.

Bestemmelse av karakteristiske trekk ved et parallellogram ved hjelp av teoremet

Egenskapene til denne figuren følger av hovedteoremet, som sier følgende: en firkant regnes som et parallellogram i tilfelle diagonalene skjærer hverandre, og dette punktet deler dem i like segmenter.

Bevis: la linjene AC og BD til firkanten ABCD krysse ved d.v.s. Siden ∠AED = ∠BEC, og AE+CE=AC BE+DE=BD, så er ∆AED = ∆BEC (etter det første kriteriet for trekanters likhet). Det vil si ∠EAD = ∠ECB. De er også de indre kryssvinklene til sekanten AC for linjene AD og BC. Dermed, per definisjon av parallellisme - AD || B.C. En lignende egenskap til linjene BC og CD er også utledet. Teoremet er bevist.

Beregning av arealet til en figur

Arealet av denne figuren funnet på flere måter en av de enkleste: multiplisere høyden og basen som den er trukket til.

Bevis: tegn perpendikulære BE og CF fra toppunktene B og C. ∆ABE og ∆DCF er like, siden AB = CD og BE = CF. ABCD er lik størrelse med rektangel EBCF, siden de består av tilsvarende figurer: SABE og S EBCD, samt S DCF og S EBCD. Det følger av dette at området for dette geometrisk figur er plassert på samme måte som et rektangel:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

For å bestemme generell formel Arealet av parallellogrammet er angitt med høyden som hb, og siden - b. Henholdsvis:

Andre måter å finne området på

Arealberegninger gjennom sidene av parallellogrammet og vinkelen, som de danner, er den andre kjente metoden.

,

Spr-ma - område;

a og b er sidene

α er vinkelen mellom segmentene a og b.

Denne metoden er praktisk talt basert på den første, men i tilfelle den er ukjent. kutter alltid av høyre trekant, hvis parametere er funnet av trigonometriske identiteter, det vil si . Ved å transformere forholdet får vi . I ligningen til den første metoden erstatter vi høyden med dette produktet og får et bevis på gyldigheten av denne formelen.

Gjennom diagonalene til et parallellogram og vinkelen, som de lager når de krysser hverandre, kan du også finne området.

Bevis: AC og BD krysser hverandre for å danne fire trekanter: ABE, BEC, CDE og AED. Summen deres er lik arealet til denne firkanten.

Arealet til hver av disse ∆ kan finnes ved uttrykket , hvor a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Siden bruker beregningene en enkelt sinusverdi. Det er . Siden AE+CE=AC= d 1 og BE+DE=BD= d 2, reduseres arealformelen til:

.

Applikasjon i vektoralgebra

Funksjonene til de konstituerende delene av denne firkanten har funnet anvendelse i vektoralgebra, nemlig tillegg av to vektorer. Parallellogramregelen sier det hvis gitt vektorerOgIkkeer kollineære, vil summen deres være lik diagonalen til denne figuren, hvis base tilsvarer disse vektorene.

Bevis: fra en vilkårlig valgt begynnelse - dvs. - konstruere vektorer og . Deretter konstruerer vi et parallellogram OASV, hvor segmentene OA og OB er sider. Dermed ligger OS på vektoren eller summen.

Formler for å beregne parametrene til et parallellogram

Identitetene er gitt under følgende betingelser:

1. a og b, α - sider og vinkelen mellom dem;
2. d 1 og d 2, γ - diagonaler og ved skjæringspunktet;
3. h a og h b - høyder senket til sidene a og b;

Parameter	Formel
Finne sidene
langs diagonalene og cosinus til vinkelen mellom dem
langs diagonaler og sider
gjennom høyden og motsatt toppunkt
Finne lengden på diagonaler
på sidene og størrelsen på toppen mellom dem
langs sidene og en av diagonalene	 Konklusjon Parallellogrammet, som en av nøkkelfigurene for geometri, brukes i livet, for eksempel i konstruksjon når man beregner arealet til et sted eller andre målinger. Derfor kunnskap om særegne trekk og måter å beregne de ulike parameterne på kan være nyttige når som helst i livet.

Hva er et parallellogram? Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par.

1. Arealet til et parallellogram beregnes med formelen:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Hvor:
a er siden av parallellogrammet,
h a – høyde tegnet til denne siden.

2. Hvis lengden på to tilstøtende sider av et parallellogram og vinkelen mellom dem er kjent, beregnes arealet av parallellogrammet ved hjelp av formelen:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Hvis diagonalene til et parallellogram er gitt og vinkelen mellom dem er kjent, beregnes arealet til parallellogrammet med formelen:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Egenskaper til et parallellogram

I et parallellogram er motsatte sider like: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

I et parallellogram er motsatte vinkler like: \(\vinkel A = \vinkel C\), \(\vinkel B = \vinkel D\)

Diagonalene til et parallellogram i skjæringspunktet er delt i to \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Diagonalen til et parallellogram deler det i to like trekanter.

Summen av vinklene til et parallellogram ved siden av den ene siden er 180 o:

\(\vinkel A + \vinkel B = 180^(o)\), \(\vinkel B + \vinkel C = 180^(o)\)

\(\vinkel C + \vinkel D = 180^(o)\), \(\vinkel D + \vinkel A = 180^(o)\)

Diagonalene og sidene til et parallellogram er relatert av følgende forhold:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

I et parallellogram er vinkelen mellom høydene lik dens spisse vinkel: \(\vinkel K B H =\vinkel A\) .

Halveringslinjene til vinklene ved siden av den ene siden av et parallellogram er innbyrdes perpendikulære.

Halveringslinjene til to motsatte vinkler i et parallellogram er parallelle.

Tegn på et parallellogram

En firkant vil være et parallellogram hvis:

\(AB = CD\) og \(AB || CD\)

\(AB = CD\) og \(BC = AD\)

\(AO = OC\) og \(BO = OD\)

\(\vinkel A = \vinkel C\) og \(\vinkel B = \vinkel D\)

Definisjon av parallellogram

Parallelogram er en firkant der motsatte sider er like og parallelle.

Online kalkulator

Parallellogrammet har noen gunstige egenskaper, som forenkler å løse problemer knyttet til denne figuren. For eksempel er en av egenskapene at motsatte vinkler til et parallellogram er like.

La oss vurdere flere metoder og formler etterfulgt av å løse enkle eksempler.

Formel for arealet til et parallellogram basert på basen og høyden

Denne metoden for å finne området er sannsynligvis en av de mest grunnleggende og enkle, siden den er nesten identisk med formelen for å finne arealet til en trekant med noen få unntak. La oss først se på det generaliserte tilfellet uten å bruke tall.

La det gis et vilkårlig parallellogram med en base a a en, side b b b og høyde h h h, fraktet til vår base. Da er formelen for arealet til dette parallellogrammet:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=en ⋅h

A a en- utgangspunkt;
h h h- høyde.

La oss se på ett enkelt problem for å øve på å løse typiske problemer.

Finn arealet av et parallellogram der basen er kjent for å være 10 (cm) og høyden er 5 (cm).

Løsning

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Vi bytter det inn i formelen vår. Vi får:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (se kvm.)

Svar: 50 (se kvm)

Formel for arealet av et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem

I dette tilfellet finner du den nødvendige verdien som følger:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=en ⋅b ⋅synd(α)

A, b a, b a, b- sider av et parallellogram;
α\alfa α - vinkel mellom sidene a a en Og b b b.

La oss nå løse et annet eksempel og bruke formelen beskrevet ovenfor.

Finn arealet av et parallellogram hvis siden er kjent a a en, som er basen og med en lengde på 20 (cm) og en omkrets p s s, numerisk lik 100 (cm), vinkelen mellom tilstøtende sider ( a a en Og b b b) er lik 30 grader.

Løsning

A = 20 a = 20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

For å finne svaret kjenner vi bare den andre siden av denne firkanten. La oss finne henne. Omkretsen til et parallellogram er gitt av formelen:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =et +et +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100 = 40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60 = 2b 6 0 = 2 b
b = 30 b = 30 b =3 0

Den vanskeligste delen er over, alt som gjenstår er å erstatte våre verdier med sidene og vinkelen mellom dem:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ synd (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (se kvm.)

Svar: 300 (se kvm)

Formel for arealet til et parallellogram basert på diagonalene og vinkelen mellom dem

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅synd(α)

D D D- stor diagonal;
d d d- liten diagonal;
α\alfa α - spiss vinkel mellom diagonaler.

Oppgitt er diagonalene til et parallellogram lik 10 (cm) og 5 (cm). Vinkelen mellom dem er 30 grader. Beregn arealet.

Løsning

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ synd (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (se kvm.)

Før vi lærer å finne arealet til et parallellogram, må vi huske hva et parallellogram er og hva som kalles dets høyde. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle (ligger på parallelle linjer). En vinkelrett trukket fra et vilkårlig punkt på motsatt side til en linje som inneholder denne siden kalles høyden på et parallellogram.

Firkant, rektangel og rombe er spesielle tilfeller av parallellogram.

Arealet til et parallellogram er betegnet som (S).

Formler for å finne arealet til et parallellogram

S=a*h, der a er grunnflaten, h er høyden som er tegnet til grunnflaten.

S=a*b*sinα, der a og b er basene, og α er vinkelen mellom basene a og b.

S =p*r, der p er halvperimeteren, r er radiusen til sirkelen som er innskrevet i parallellogrammet.

Arealet til parallellogrammet, som er dannet av vektorene a og b, er lik modulen til produktet av de gitte vektorene, nemlig:

La oss vurdere eksempel nr. 1: Gitt et parallellogram, hvis side er 7 cm og høyden er 3 cm. Hvordan finne arealet til et parallellogram, trenger vi en formel for løsningen.

Dermed S= 7x3. S=21. Svar: 21 cm 2.

Tenk på eksempel nr. 2: Oppgitte baser er 6 og 7 cm, og også gitt en vinkel mellom basene på 60 grader. Hvordan finne arealet til et parallellogram? Formel brukt til å løse:

Dermed finner vi først sinusen til vinkelen. Sinus 60 = 0,5, henholdsvis S = 6*7*0,5=21 Svar: 21 cm 2.

Jeg håper at disse eksemplene vil hjelpe deg med å løse problemer. Og husk, det viktigste er kunnskap om formler og oppmerksomhet

Når du løser problemer om dette emnet, unntatt grunnleggende egenskaper parallellogram og de tilsvarende formlene, kan du huske og bruke følgende:

1. Halveringslinjen til en indre vinkel i et parallellogram skjærer av en likebenet trekant fra den
2. Halvledere av indre vinkler ved siden av en av sidene av et parallellogram er innbyrdes vinkelrett
3. Halvledere som kommer fra motsatte indre hjørner av et parallellogram er parallelle med hverandre eller ligger på samme rette linje
4. Summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik summen av kvadratene på sidene
5. Arealet til et parallellogram er lik halvparten av produktet av diagonalene og sinusen til vinkelen mellom dem

La oss vurdere problemer der disse egenskapene brukes.

Oppgave 1.

Halveringsvinkelen C til parallellogrammet ABCD skjærer side AD i punktet M og fortsettelsen av siden AB utover punktet A i punktet E. Finn omkretsen til parallellogrammet hvis AE = 4, DM = 3.

Løsning.

1. Triangle CMD er likebenet. (Eiendom 1). Derfor er CD = MD = 3 cm.

2. Trekant EAM er likebenet.
Derfor er AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Omkrets ABCD = 20 cm.

Svar. 20 cm.

Oppgave 2.

Diagonaler er tegnet i en konveks firkant ABCD. Det er kjent at arealene til trekantene ABD, ACD, BCD er like. Bevis at denne firkanten er et parallellogram.

Løsning.

1. La BE være høyden av trekanten ABD, CF være høyden av trekanten ACD. Siden, i henhold til betingelsene for problemet, arealene til trekantene er like og de har en felles base AD, så er høydene til disse trekantene like. BE = CF.

2. BE, CF er vinkelrett på AD. Punktene B og C ligger på samme side i forhold til rett linje AD. BE = CF. Derfor, rett linje BC || A.D. (*)

3. La AL være høyden til trekanten ACD, BK høyden til trekanten BCD. Siden, i henhold til betingelsene for problemet, arealene til trekantene er like og de har en felles base CD, så er høydene til disse trekantene like. AL = BK.

4. AL og BK er vinkelrett på CD. Punktene B og A er plassert på samme side i forhold til rett linje CD. AL = BK. Derfor rett linje AB || CD (**)

5. Av betingelser (*), (**) følger det at ABCD er et parallellogram.

Svar. Bevist. ABCD er et parallellogram.

Oppgave 3.

På sidene BC og CD av parallellogrammet ABCD er henholdsvis punktene M og H markert slik at segmentene BM og HD skjærer hverandre i punktet O;<ВМD = 95 о,