Som et ligningssystem, eller aritmetiske relasjoner, eller geometriske former, eller en kombinasjon av begge, hvis studie ved hjelp av matematikk skal svare på spørsmålene som stilles om egenskapene til et visst sett med egenskaper til et objekt i den virkelige verden, som et sett av matematiske relasjoner, ligninger, ulikheter som beskriver de grunnleggende mønstrene iboende i prosessen, objektet eller systemet som studeres.

I automatiserte kontrollsystemer brukes en matematisk modell for å bestemme driftsalgoritmen til kontrolleren. Denne algoritmen bestemmer hvordan kontrollhandlingen skal endres avhengig av endringen i masteren for at kontrollmålet skal nås.

Modellklassifisering

Formell klassifisering av modeller

Den formelle klassifiseringen av modeller er basert på klassifiseringen av de matematiske verktøyene som brukes. Ofte konstruert i form av dikotomier. For eksempel et av de populære settene med dikotomier:

og så videre. Hver konstruert modell er lineær eller ikke-lineær, deterministisk eller stokastisk, ... Naturligvis er blandede typer også mulig: konsentrert i en henseende (i form av parametere), distribuert i en annen, etc.

Klassifisering etter måten objektet er representert på

Sammen med den formelle klassifiseringen er modellene forskjellige i måten de representerer et objekt på:

• Strukturelle eller funksjonelle modeller

Modellhypoteser i vitenskapen kan ikke bevises en gang for alle; vi kan bare snakke om deres tilbakevisning eller ikke-gjenbevisning som et resultat av eksperimenter.

Hvis en modell av den første typen bygges, betyr dette at den midlertidig aksepteres som sannhet og man kan konsentrere seg om andre problemer. Dette kan imidlertid ikke være et poeng i forskning, men bare en midlertidig pause: statusen til en modell av den første typen kan bare være midlertidig.

Fenomenologisk modell

Den andre typen er den fenomenologiske modellen ( "Vi oppfører oss som om..."), inneholder en mekanisme for å beskrive fenomenet, selv om denne mekanismen ikke er overbevisende nok, ikke kan bekreftes tilstrekkelig av tilgjengelige data, eller passer dårlig med eksisterende teorier og akkumulert kunnskap om objektet. Fenomenologiske modeller har derfor status som midlertidige løsninger. Det antas at svaret fortsatt er ukjent, og letingen etter de "sanne mekanismene" må fortsette. Peierls inkluderer for eksempel kalorimodellen og kvarkmodellen av elementærpartikler som den andre typen.

Modellens rolle i forskning kan endres over tid, og det kan skje at nye data og teorier bekrefter fenomenologiske modeller og de blir forfremmet til status som en hypotese. Tilsvarende kan ny kunnskap gradvis komme i konflikt med hypotesemodeller av den første typen, og de kan oversettes til den andre. Dermed beveger kvarkmodellen seg gradvis inn i kategorien hypoteser; atomisme i fysikk oppstod som en midlertidig løsning, men med historiens gang ble den den første typen. Men etermodellene har gått fra type 1 til type 2, og er nå utenfor vitenskapen.

Ideen om forenkling er veldig populær når man bygger modeller. Men forenkling kommer i forskjellige former. Peierls identifiserer tre typer forenklinger i modellering.

Tilnærming

Den tredje typen modeller er tilnærminger ( "vi vurderer noe veldig stort eller veldig lite"). Hvis det er mulig å konstruere ligninger som beskriver systemet som studeres, betyr ikke dette at de kan løses selv ved hjelp av en datamaskin. En generelt akseptert teknikk i dette tilfellet er bruken av tilnærminger (type 3-modeller). Blant dem lineære responsmodeller. Ligningene erstattes av lineære. Et standard eksempel er Ohms lov.

Tankeeksperiment

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Hvor x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) betyr den andre deriverte av x (\displaystyle x) etter tid: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Den resulterende ligningen beskriver den matematiske modellen for det betraktede fysiske systemet. Denne modellen kalles en "harmonisk oscillator".

I henhold til den formelle klassifiseringen er denne modellen lineær, deterministisk, dynamisk, konsentrert, kontinuerlig. I prosessen med konstruksjonen gjorde vi mange antagelser (om fravær av ytre krefter, fravær av friksjon, små avvik, etc.), som i virkeligheten kanskje ikke er oppfylt.

I forhold til virkeligheten er dette oftest en type 4-modell forenkling("vi vil utelate noen detaljer for klarhetens skyld"), siden noen essensielle universelle funksjoner (for eksempel spredning) er utelatt. Til en viss tilnærming (si, mens avviket til belastningen fra likevekt er lite, med lav friksjon, i ikke for lang tid og underlagt visse andre forhold), beskriver en slik modell et ekte mekanisk system ganske godt, siden de forkastede faktorene har en ubetydelig effekt på oppførselen. Modellen kan imidlertid foredles ved å ta hensyn til noen av disse faktorene. Dette vil føre til en ny modell, med et bredere (men igjen begrenset) anvendelsesområde.

Men når du foredler modellen, kan kompleksiteten til dens matematiske forskning øke betydelig og gjøre modellen praktisk talt ubrukelig. Ofte tillater en enklere modell bedre og dypere utforskning av et reelt system enn et mer komplekst (og formelt "mer korrekt").

Hvis vi bruker den harmoniske oscillatormodellen på objekter langt fra fysikk, kan dens materielle status være annerledes. For eksempel, når du bruker denne modellen på biologiske populasjoner, bør den mest sannsynlig klassifiseres som type 6 analogi("la oss bare ta hensyn til noen funksjoner").

Harde og myke modeller

Den harmoniske oscillatoren er et eksempel på den såkalte "harde" modellen. Det oppnås som et resultat av en sterk idealisering av et ekte fysisk system. Egenskapene til en harmonisk oscillator endres kvalitativt av små forstyrrelser. For eksempel hvis du legger til et lite begrep på høyre side − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(friksjon) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- en liten parameter), så får vi eksponentielt dempede svingninger hvis vi endrer fortegnet til tilleggsleddet (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) da vil friksjon bli til pumping og amplituden til oscillasjonene vil øke eksponentielt.

For å løse spørsmålet om anvendeligheten til en rigid modell, er det nødvendig å forstå hvor viktige faktorene vi har oversett er. Det er nødvendig å studere myke modeller oppnådd ved en liten forstyrrelse av den harde. For en harmonisk oscillator kan de for eksempel gis ved følgende ligning:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Her f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- en funksjon som kan ta hensyn til friksjonskraften eller avhengigheten av fjærstivhetskoeffisienten av graden av strekningen. Eksplisitt funksjonsform f (\displaystyle f) Vi er ikke interessert for øyeblikket.

Hvis vi beviser at oppførselen til den myke modellen ikke er fundamentalt forskjellig fra oppførselen til den harde (uavhengig av den eksplisitte typen forstyrrende faktorer, hvis de er små nok), vil problemet reduseres til å studere den harde modellen. Ellers vil anvendelsen av resultatene oppnådd fra å studere den rigide modellen kreve ytterligere forskning.

Hvis et system opprettholder sin kvalitative oppførsel under små forstyrrelser, sies det å være strukturelt stabilt. En harmonisk oscillator er et eksempel på et strukturelt ustabilt (ikke-grovt) system. Denne modellen kan imidlertid brukes til å studere prosesser over begrensede tidsperioder.

Allsidighet av modeller

De viktigste matematiske modellene har vanligvis den viktige egenskapen allsidighet: Fundamentalt forskjellige virkelige fenomener kan beskrives av samme matematiske modell. For eksempel beskriver en harmonisk oscillator ikke bare oppførselen til en belastning på en fjær, men også andre oscillerende prosesser, ofte av en helt annen karakter: små svingninger av en pendel, fluktuasjoner i væskenivået i U (\displaystyle U)-formet kar eller endring i strømstyrke i en oscillerende krets. Ved å studere en matematisk modell studerer vi derfor umiddelbart en hel klasse med fenomener beskrevet av den. Det er denne isomorfismen av lover uttrykt av matematiske modeller i ulike segmenter av vitenskapelig kunnskap som inspirerte Ludwig von Bertalanffy til å lage en "generell systemteori".

Direkte og inverse problemer med matematisk modellering

Det er mange problemer knyttet til matematisk modellering. Først må du komme opp med et grunnleggende diagram av det modellerte objektet, reprodusere det innenfor rammen av idealiseringene til denne vitenskapen. Dermed blir en togvogn til et system av plater og mer komplekse kropper fra forskjellige materialer, hvert materiale spesifiseres som dets standard mekaniske idealisering (tetthet, elastikkmoduler, standard styrkekarakteristikker), hvoretter ligninger tegnes opp, underveis noen detaljer forkastes som uviktige, det gjøres beregninger, sammenlignes med målinger, modellen foredles, og så videre. For å utvikle matematiske modelleringsteknologier er det imidlertid nyttig å demontere denne prosessen i hovedkomponentene.

Tradisjonelt er det to hovedklasser av problemer knyttet til matematiske modeller: direkte og invers.

Direkte oppgave: strukturen til modellen og alle dens parametere anses som kjent, hovedoppgaven er å gjennomføre en studie av modellen for å trekke ut nyttig kunnskap om objektet. Hvilken statisk belastning vil broen tåle? Hvordan det vil reagere på en dynamisk belastning (for eksempel på marsj av et kompani med soldater, eller på passasje av et tog i forskjellige hastigheter), hvordan flyet vil overvinne lydmuren, om det vil falle fra hverandre fra flagre - dette er typiske eksempler på et direkte problem. Å stille det riktige direkte problemet (stille det riktige spørsmålet) krever spesiell ferdighet. Hvis de riktige spørsmålene ikke stilles, kan en bro kollapse, selv om det er bygget en god modell for dens oppførsel. I 1879 kollapset således metalljernbanebroen over Firth of Tay i Storbritannia, designerne som bygde en modell av broen, beregnet den for en 20 ganger sikkerhetsfaktor for nyttelastens handling, men glemte det blåser konstant på disse stedene. Og etter halvannet år kollapset den.

I det enkleste tilfellet (en oscillatorligning, for eksempel), er det direkte problemet veldig enkelt og reduseres til en eksplisitt løsning av denne ligningen.

Omvendt problem: mange mulige modeller er kjent, en spesifikk modell må velges basert på tilleggsdata om objektet. Oftest er strukturen til modellen kjent, og noen ukjente parametere må bestemmes. Ytterligere informasjon kan bestå av ytterligere empiriske data, eller krav til objektet ( design problem). Ytterligere data kan komme uavhengig av prosessen med å løse det omvendte problemet ( passiv observasjon) eller være et resultat av et eksperiment spesielt planlagt under løsningen ( aktiv overvåking).

Et av de første eksemplene på en mesterlig løsning på et omvendt problem med størst mulig bruk av tilgjengelige data var Newtons metode for å rekonstruere friksjonskrefter fra observerte dempede svingninger.

Et annet eksempel er matematisk statistikk. Oppgaven til denne vitenskapen er å utvikle metoder for å registrere, beskrive og analysere observasjons- og eksperimentelle data for å bygge probabilistiske modeller av tilfeldige massefenomener. Det vil si at settet med mulige modeller er begrenset til sannsynlighetsmodeller. I spesifikke oppgaver er settet med modeller mer begrenset.

Datasimuleringssystemer

For å støtte matematisk modellering er det utviklet datamatematikksystemer, for eksempel Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim osv. De lar deg lage formelle og blokkmodeller av både enkle og komplekse prosesser og enheter og enkelt endre modellparametere i løpet av modellering. Blokkmodeller er representert av blokker (oftest grafiske), hvis sett og tilkobling er spesifisert av modelldiagrammet.

Ytterligere eksempler

Malthus sin modell

I følge modellen foreslått av Malthus, er veksthastigheten proporsjonal med den nåværende befolkningsstørrelsen, det vil si beskrevet av differensialligningen:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

Hvor α (\displaystyle \alpha )- en viss parameter bestemt av forskjellen mellom fruktbarhet og dødelighet. Løsningen på denne ligningen er eksponentialfunksjonen x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Hvis fødselsraten overstiger dødsraten ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), er befolkningsstørrelsen ubegrenset og vokser veldig raskt. I realiteten kan dette ikke skje på grunn av begrensede ressurser. Når en viss kritisk populasjonsstørrelse er nådd, slutter modellen å være tilstrekkelig, siden den ikke tar hensyn til de begrensede ressursene. En foredling av Malthus-modellen kan være en logistisk modell, som er beskrevet av Verhulst-differensialligningen:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

hvor er "likevekten" populasjonsstørrelsen, der fødselsraten nøyaktig kompenseres av dødsraten. Befolkningsstørrelsen i en slik modell har en tendens til en likevektsverdi x s (\displaystyle x_(s)), og denne oppførselen er strukturelt stabil.

Predator-bytte-system

La oss si at to typer dyr lever i et bestemt område: kaniner (spiser planter) og rever (spiser kaniner). La antall kaniner x (\displaystyle x), antall rever y (\displaystyle y). Ved å bruke Malthus-modellen med de nødvendige endringene for å ta hensyn til revens spising av kaniner, kommer vi til følgende system, kalt modeller Brett - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(cases)))

Oppførselen til dette systemet er ikke strukturelt stabil: en liten endring i parameterne til modellen (for eksempel tatt i betraktning de begrensede ressursene som trengs av kaniner) kan føre til en kvalitativ endring i atferd.

For visse parameterverdier har dette systemet en likevektstilstand når antallet kaniner og rever er konstant. Avvik fra denne tilstanden fører til gradvis falnende svingninger i antall kaniner og rever.

Den motsatte situasjonen er også mulig, når ethvert lite avvik fra likevektsposisjonen vil føre til katastrofale konsekvenser, opp til fullstendig utryddelse av en av artene. Volterra - Trats-modellen svarer ikke på spørsmålet om hvilke av disse scenariene som blir realisert: her kreves ytterligere forskning.

se også

Notater

1. "En matematisk representasjon av virkeligheten" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Om filosofiske spørsmål om kybernetisk modellering. M., Kunnskap, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellering av systemer: Proc. for universiteter - 3. utg., revidert. og tillegg - M.: Høyere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Matematisk modellering. Ideer. Metoder. Eksempler. - 2. utgave, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. utgave, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 med ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A. G. Modellering av teknologiske prosesser: lærebok / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Lys og mat industri, 1984. - 344 s.
7. Rotach V.Ya. Teori om automatisk kontroll. - 1. - M.: ZAO "Publishing House MPEI", 2008. - S. 333. - 9 s. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Modellreduksjon og grovkornete tilnærminger for flerskalafenomener(Engelsk) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4. Hentet 18. juni 2013. Arkivert 18. juni 2013.
9. "En teori betraktes som lineær eller ikke-lineær avhengig av hva slags matematisk apparat - lineært eller ikke-lineært - og hva slags lineære eller ikke-lineære matematiske modeller den bruker. ...uten å benekte det siste. En moderne fysiker, hvis han måtte gjenskape definisjonen av en så viktig enhet som ikke-linearitet, ville mest sannsynlig handle annerledes, og ved å gi preferanse til ikke-linearitet som den viktigste og mest utbredte av de to motsetningene, ville han definere linearitet som "ikke". ikke-linearitet." Danilov Yu. A., Forelesninger om ikke-lineær dynamikk. Elementær introduksjon. Serien "Synergetikk: fra fortid til fremtid." Utgave 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. "Dynamiske systemer modellert av et begrenset antall vanlige differensialligninger kalles konsentrerte eller punktsystemer. De er beskrevet ved bruk av et endelig dimensjonalt faserom og er preget av et begrenset antall frihetsgrader. Det samme systemet under forskjellige forhold kan betraktes som enten konsentrert eller distribuert. Matematiske modeller av distribuerte systemer er differensiallikninger i partielle deriverte, integralligninger eller ordinære ligninger med et retardert argument. Antallet frihetsgrader til et distribuert system er uendelig, og et uendelig antall data kreves for å bestemme tilstanden.»
    Anishchenko V.S., Dynamiske systemer, Soros pedagogisk tidsskrift, 1997, nr. 11, s. 77-84.
11. "Avhengig av typen av prosessene som studeres i systemet S, kan alle typer modellering deles inn i deterministisk og stokastisk, statisk og dynamisk, diskret, kontinuerlig og diskret-kontinuerlig. Deterministisk modellering reflekterer deterministiske prosesser, det vil si prosesser der fravær av tilfeldige påvirkninger antas; stokastisk modellering skildrer sannsynlige prosesser og hendelser. ... Statisk modellering tjener til å beskrive oppførselen til et objekt på ethvert tidspunkt, og dynamisk modellering gjenspeiler oppførselen til et objekt over tid. Diskret modellering brukes for å beskrive prosesser som antas å være diskrete, henholdsvis kontinuerlig modellering gjør at vi kan reflektere kontinuerlige prosesser i systemer, og diskret-kontinuerlig modellering brukes for tilfeller der de ønsker å synliggjøre tilstedeværelsen av både diskrete og kontinuerlige prosesser. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S.A., Modellering av systemer: Proc. for universiteter - 3. utg., revidert. og tillegg - M.: Høyere. skole, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Vanligvis reflekterer en matematisk modell strukturen (enheten) til det modellerte objektet, egenskapene og relasjonene til komponentene til dette objektet som er essensielle for forskningsformål; en slik modell kalles strukturell. Hvis modellen bare gjenspeiler hvordan objektet fungerer – for eksempel hvordan det reagerer på ytre påvirkninger – så kalles det funksjonell eller i overført betydning en svart boks. Kombinerte modeller er også mulig. Myshkis A.D., Elementer i teorien om matematiske modeller. - 3. utgave, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s.

For teorien om matematisk modellering er det nødvendig å kjenne hensikten med modellering og representere modelleringsobjektet i matematisk form. Ordet "modell" kommer fra det latinske modus (kopi, bilde, disposisjon). Det enkleste og mest åpenbare eksemplet på modellering er geografiske og topografiske kart. Modeller er strukturformler i kjemi. Modellen som erkjennelsesmiddel står mellom logisk tenkning og prosessen eller fenomenet som studeres.

Modellering er å erstatte et objekt A med et annet objekt B. Det erstattede objektet kalles originalen, det som erstatter kalles modellen. Dermed er modellen en erstatning for originalen. Avhengig av formålet med erstatningen, kan modellen av samme original være forskjellig. I vitenskap og teknologi er hovedformålet med modellering å studere originalen ved å bruke en enklere modell av den. Å erstatte ett objekt med et annet gir mening bare hvis det er en viss likhet eller analogi mellom dem.

En matematisk modell er en omtrentlig representasjon, uttrykt i matematiske termer, av objekter, konsepter, systemer eller prosesser. Objekter, konsepter, systemer eller prosesser som skal modelleres kalles objekter for modellering (OM).

Alle objekter og fenomener henger sammen i større eller mindre grad, men under modellering neglisjeres de fleste sammenhengene og modelleringsobjektet betraktes som et eget system. Hvis modelleringsobjektet er definert som et eget system, er det nødvendig å introdusere selektivitetsprinsippet, og sikre valget av de nødvendige forbindelsene med det ytre miljøet. For eksempel, når man modellerer elektroniske kretser, blir termiske, akustiske, optiske og mekaniske interaksjoner med det ytre miljøet neglisjert og kun elektriske variabler vurderes. Selektivitetsprinsippet introduserer en feil i systemet, dvs. en forskjell i oppførselen til modellen og det modellerte objektet. Den neste viktige modelleringsfaktoren er kausalitetsprinsippet, som kobler inn- og utdatavariabler i systemet.

For å kvantifisere systemet introduseres begrepet "stat". For eksempel refererer tilstanden til en elektronisk krets til verdiene av spenninger og strømmer i en elektronisk krets på et gitt tidspunkt.

Når man utleder en matematisk modell analytisk, brukes oftest kjente kategorier: lover, strukturer og parametere.

Hvis en variabel y avhenger av en annen variabel x, er den første mengden en funksjon av den andre. Denne avhengigheten skrives på formen y = f(x) eller y = y(x). I denne notasjonen kalles variabelen x et argument. Et viktig kjennetegn ved en funksjon er dens deriverte, prosessen med å finne som kalles differensiering. Ligninger som i henhold til matematiske regler forbinder en ukjent funksjon, dens deriverte og argumenter kalles differensial. Prosessen invers til differensiering, som lar en finne selve funksjonen fra en gitt derivert, kalles integrasjon.

La oss vurdere et spesielt tilfelle når funksjonen er en bane som avhenger av argumentet - tid. Da er den deriverte av banen med hensyn til tid hastigheten, og den deriverte av hastigheten (eller den andre deriverte av banen) er akselerasjonen. Hvis for eksempel hastigheten er kjent, brukes integrasjon for å finne veien som kroppen beveger seg i løpet av en viss tid. Hvis bare akselerasjonen er kjent, utføres integrasjonsoperasjonen to ganger for å finne banen. I dette tilfellet, etter å ha beregnet det første integralet, blir hastigheten kjent.

Det endelige målet med å lage matematiske modeller er å etablere funksjonelle avhengigheter mellom variabler. Den funksjonelle avhengigheten for hver spesifikk modell kan ha en strengt definert form. Når en enhet simuleres, hvis inngang mottar et signal x y og utgangssignalet y vises, kan forbindelsen skrives i form av en tabell. For å gjøre dette er hele spekteret av endringer i inngangs- og utgangssignalene delt inn i et visst antall seksjoner. Hver del av variasjonsområdet til inngangssignalet vil tilsvare en viss del av variasjonsområdet til utgangssignalet. I komplekse systemer, hvor det er flere innganger og flere utganger, uttrykkes analytiske avhengigheter ved systemer med differensialligninger.

* Lover er vanligvis formulert for bestemte områder, slik som Kirchhoffs og Newtons lover. Å bruke disse lovene på et system fokuserer vanligvis vår oppmerksomhet på et enkelt område av vitenskap og teknologi. Ved å bruke Kirchhoffs lover og Maxwells ligninger for å analysere et elektrisk system, ignorerer forskeren andre (for eksempel termiske) prosesser i systemet.

Å lage en matematisk modell krever kunnskap om elementene som finnes i systemet og deres sammenhenger. Parametrene til den matematiske modellen (MM) er de som er inkludert i ligningssystemet forskjellige odds. Disse koeffisientene danner sammen med ligningene og grensebetingelsene en komplett MM.

Enhver matematisk modell kan oppnås som et resultat av: 1) direkte observasjon av et fenomen, dets direkte studie og forståelse (modeller er fenomenologiske); 2) en eller annen deduksjonsprosess, når en ny modell oppnås som et spesialtilfelle fra en mer generell modell (slike modeller kalles asymptotiske); 3) en eller annen induksjonsprosess, når den nye modellen er en naturlig generalisering av elementære modeller (slike modeller kalles kompositt- eller ensemblemodeller).

Alle systemer eksisterer i tid og rom. Matematisk betyr dette at tid og de tre romlige variablene kan betraktes som uavhengige variabler.

Det er mange tegn på klassifisering av matematiske modeller basert på bruk av visse variabler som uavhengige, presentert i kontinuerlig eller diskret form; MM er klassifisert som følger:

1) modeller med distribuerte parametere (alle uavhengige variabler er tatt i kontinuerlig form);

2) modeller med klumpede parametere (alle uavhengige romlige variabler er diskrete, og tidsvariabelen er kontinuerlig);

3) modeller med diskrete parametere (alle uavhengige variabler er tatt i diskret form).

I fig. 3.10 a... viser en omtrentlig klassifisering av modeller. Alle modeller kan deles inn i reelle og ideelle (fig. 3.10, a). Dette kapittelet diskuterer bare ideelle modeller, som er objektive i sitt innhold (som gjenspeiler den virkelige virkeligheten), men subjektive i form og ikke kan eksistere utenfor den. Ideelle modeller eksisterer bare i menneskelig kunnskap og fungerer i henhold til logikkens lover. Logiske modeller inkluderer forskjellige signerte modeller. Et vesentlig poeng i å lage en symbolsk modell er formaliseringsprosedyren (formler, alfabet, tallsystemer).

For tiden, på en rekke områder av vitenskap og teknologi, tolkes konseptet med en modell ikke i ånden til klassisk fysikk, som et visuelt, for eksempel mekanisk system, men i ånden. moderne scene kunnskap som en abstrakt logisk-matematisk struktur.

I moderne modellering, sammen med den økende rollen til abstrakte logiske modeller i kognisjon, er det en annen trend knyttet til den utbredte bruken av kybernetiske funksjonelle informasjonsmodeller.

Det unike med kybernetisk modellering er at den objektive likheten mellom modellen og det simulerte objektet kun gjelder deres funksjoner, bruksområder og forbindelse med det ytre miljøet. Grunnlaget for informasjonstilnærmingen til studiet av kybernetiske prosesser er abstraksjon.

La oss vurdere modellene som finner sted i CAD LSI: strukturell, funksjonell, geometrisk, symbolsk, mental, analytisk, numerisk og simulering.

Strukturelle modeller gjengir sammensetningen av elementene i et objekt eller system, deres plassering i rommet og relasjoner, dvs. strukturen til systemet. Strukturelle modeller kan være både reelle (oppsett) og ideelle (for eksempel maskintekniske tegninger, kretskorttopologi og IC-topologi).

Funksjonelle modeller imiterer bare måten originalen oppfører seg, dens funksjonelle avhengighet av det ytre miljøet. Det mest typiske eksemplet er modeller bygget på "black box"-konseptet.

I disse modellene er det mulig å reprodusere funksjonen til originalen, fullstendig abstrahere fra innholdet og strukturen, koble ulike inngangs- og utdatamengder ved å bruke et matematisk forhold.

Ris. 3.10. Generell klassifisering av modeller (a), samt fullskala (b), fysiske (c), ekte matematiske (d), visuelle (e), symbolske (f), ideelle matematiske (g) modeller

Geometriske modeller reflekterer kun strukturen til et objekt og har stor betydning i forbindelse med design elektroniske systemer. Disse modellene, bygget på grunnlag av geometrisk likhet, tillater å løse problemer knyttet til optimal plassering av objekter, legge ut spor på trykte kretskort og integrerte kretser.

Skiltmodeller er en ordnet opptegnelse av symboler (skilt). Tegn samhandler med hverandre ikke i henhold til fysiske lover, men i henhold til reglene som er etablert i et bestemt kunnskapsfelt, eller, som de sier, i henhold til karakteren til tegn. Ikoniske modeller er nå ekstremt utbredt. Nesten alle kunnskapsfelt - lingvistikk, programmering, elektronikk og mange andre - har utviklet sin egen symbolikk for å beskrive modeller. Dette er programmer, ordninger osv.

Mentale modeller er et produkt av sensorisk persepsjon og aktiviteten til abstrakt tenkning. Mentale modeller inkluderer den velkjente planetmodellen av Bohr-atomet. For å formidle disse modellene presenteres de i form av en verbal eller symbolsk beskrivelse, det vil si at mentale modeller kan registreres i form av ulike tegnsystemer.

Analytiske modeller gjør det mulig å oppnå eksplisitte avhengigheter av de nødvendige størrelsene på parametere og variabler som karakteriserer fenomenet som studeres. Den analytiske løsningen av et matematisk forhold er en generalisert beskrivelse av objektet

Numeriske modeller er preget av det faktum at verdiene til de nødvendige mengdene kan oppnås som et resultat av å bruke passende numeriske metoder. Alle numeriske metoder lar en kun få privat informasjon om de ønskede mengdene, siden de for implementeringen krever spesifisering av spesifikke verdier for alle parametere som er inkludert i det matematiske forholdet. For hver ønsket verdi må man transformere den matematiske modellen på sin egen måte og bruke den tilsvarende numeriske prosedyren.

Simuleringsmodeller implementeres på en datamaskin i form av modelleringsalgoritmer (programmer) som lar en beregne verdiene til utdatavariabler og bestemme den nye tilstanden modellen går inn i for gitte verdier av inngangsvariabler, parametere og utgangstilstanden til modellen. Simuleringsmodellering, i motsetning til numerisk modellering, er preget av uavhengigheten til modelleringsalgoritmen fra typen informasjon som må innhentes som et resultat av modelleringen. En matematisk modell som er representert i en abstrakt matematisk form gjennom variabler, parametere, likninger og ulikheter er ganske universell, fleksibel og effektiv.

MM inkluderer følgende elementer: variabler (avhengige og uavhengige); konstanter eller faste parametere (bestemmer graden av sammenheng mellom variabler); matematiske uttrykk (ligninger og/eller ulikheter som kombinerer variabler og parametere); logiske uttrykk (definerer ulike begrensninger i den matematiske modellen); informasjon (alfanumerisk og grafisk).

Matematiske modeller klassifiseres etter følgende kriterier: 1) oppførsel av modeller over tid; 2) typer inputinformasjon, parametere og uttrykk som utgjør den matematiske modellen; 3) strukturen til den matematiske modellen; 4) typen matematisk apparat som brukes.

Når det gjelder integrerte kretser, kan følgende klassifisering foreslås.

Avhengig av egenskapene til den integrerte kretsen, er matematiske modeller delt inn i funksjonelle og strukturelle.

Funksjonelle modeller gjenspeiler funksjonsprosessene til et objekt; disse modellene har form av ligningssystemer.

Når man løser en rekke designproblemer, brukes matematiske modeller som kun reflekterer de strukturelle egenskapene til det utformede objektet mye; slike strukturelle modeller kan ha form av matriser, grafer, lister over vektorer og ekspress gjensidig ordning elementer i rommet, tilstedeværelsen av en direkte forbindelse i form av ledere, etc. Strukturelle modeller brukes i tilfellet når problemene med strukturell syntese kan formaliseres og løses, abstrahere fra særegenhetene til fysiske prosesser i objektet.

Ris. 3.11. Strukturell modell av inverter = det. d.)

I henhold til metoden for å oppnå, er funksjonelle matematiske modeller delt inn i teoretiske og formelle.

Teoretiske modeller innhentes basert på studiet av fysiske lover, og strukturen til modellenes likninger og parametere har et klart fysisk grunnlag.

Formelle modeller oppnås ved å betrakte egenskapene til et ekte objekt som en svart boks.

Teoretisk tilnærming lar oss få mer universelle modeller som er gyldige for ulike driftsmoduser og for et bredt spekter av endringer i eksterne parametere.

En rekke trekk i klassifiseringen er knyttet til trekk ved likningene som utgjør den matematiske modellen; Avhengig av lineariteten eller ikke-lineariteten til ligningene, deles modellene inn i lineære og ikke-lineære.

Avhengig av kraften til settet med variabelverdier, er modellene delt inn i kontinuerlige og diskrete (fig. 3.12).

I kontinuerlige modeller er variabelen som vises i dem kontinuerlig eller stykkevis kontinuerlig.

Variabler i diskrete modeller er diskrete mengder, hvis sett kan telles.

Ris. 3.12. Kontinuerlige og diskrete variabler

Basert på koblingsformen mellom utgang, interne og eksterne parametere, skilles modeller i form av ligningssystemer og modeller i form av en eksplisitt avhengighet av utgangsparametere av interne og eksterne parametere. Den første av dem kalles algoritmisk, og den andre - analytisk.

Avhengig av om modellligningene tar hensyn til tregheten til prosesser i designobjektet, skilles dynamiske og statiske modeller.

Konseptet med modell og simulering.

Modell i vid forstand- dette er et hvilket som helst bilde, mental analog eller etablert bilde, beskrivelse, diagram, tegning, kart, etc. av et hvilket som helst volum, prosess eller fenomen, brukt som erstatning eller representant. Selve objektet, prosessen eller fenomenet kalles originalen til denne modellen.

Modellering - dette er studiet av ethvert objekt eller system av objekter ved å konstruere og studere modellene deres. Dette er bruk av modeller for å bestemme eller klargjøre egenskapene og rasjonalisere metodene for å konstruere nykonstruerte objekter.

Enhver metode for vitenskapelig forskning er basert på ideen om modellering, mens teoretiske metoder bruker ulike typer symbolske, abstrakte modeller, og eksperimentelle metoder bruker fagmodeller.

Under forskning erstattes et komplekst virkelig fenomen med en forenklet kopi eller diagram; noen ganger tjener en slik kopi bare til å huske og gjenkjenne det ønskede fenomenet ved neste møte. Noen ganger gjenspeiler det konstruerte diagrammet noen vesentlige trekk, lar en forstå mekanismen til et fenomen og gjør det mulig å forutsi endringen. Ulike modeller kan tilsvare samme fenomen.

Forskerens oppgave er å forutsi fenomenets art og prosessens forløp.

Noen ganger hender det at et objekt er tilgjengelig, men eksperimenter med det er dyre eller fører til alvorlige miljøkonsekvenser. Kunnskap om slike prosesser innhentes ved hjelp av modeller.

Et viktig poeng er at selve naturvitenskapen innebærer studiet av ikke ett spesifikt fenomen, men en bred klasse av relaterte fenomener. Den forutsetter behovet for å formulere noen generelle kategoriske utsagn, som kalles lover. Naturligvis blir mange detaljer neglisjert med en slik formulering. For å tydeligere identifisere et mønster, går de bevisst for groving, idealisering og skisse, det vil si at de studerer ikke selve fenomenet, men en mer eller mindre nøyaktig kopi eller modell av det. Alle lover er lover om modeller, og derfor er det ikke overraskende at noen over tid vitenskapelige teorier anses som uegnet. Dette fører ikke til vitenskapens kollaps, siden en modell er erstattet av en annen mer moderne.

En spesiell rolle i vitenskapen spilles av matematiske modeller, byggematerialer og verktøy for disse modellene - matematiske konsepter. De akkumulerte og forbedret seg over tusenvis av år. Moderne matematikk gir ekstremt kraftige og universelle forskningsmidler. Nesten hvert begrep i matematikk, hvert matematisk objekt, med utgangspunkt i tallbegrepet, er en matematisk modell. Når man konstruerer en matematisk modell av objektet eller fenomenet som studeres, identifiseres de av dets egenskaper, trekk og detaljer som på den ene siden inneholder mer eller mindre fullstendig informasjon om objektet, og på den andre tillater matematisk formalisering. Matematisk formalisering betyr at egenskapene og detaljene til et objekt kan assosieres med passende matematiske begreper: tall, funksjoner, matriser og så videre. Deretter kan forbindelsene og relasjonene oppdaget og antatt i objektet som studeres mellom dets individuelle deler og komponenter skrives ved hjelp av matematiske relasjoner: likheter, ulikheter, ligninger. Resultatet er en matematisk beskrivelse av prosessen eller fenomenet som studeres, det vil si dens matematiske modell.

Studiet av en matematisk modell er alltid forbundet med visse handlingsregler på objektene som studeres. Disse reglene gjenspeiler forholdet mellom årsaker og virkninger.

Å bygge en matematisk modell er det sentrale stadiet i forskning eller design av ethvert system. All etterfølgende analyse av objektet avhenger av kvaliteten på modellen. Å bygge en modell er ikke en formell prosedyre. Det avhenger sterkt av forskeren, hans erfaring og smak, og er alltid basert på bestemt eksperimentelt materiale. Modellen må være tilstrekkelig nøyaktig, tilstrekkelig og praktisk å bruke.

Matematisk modellering.

Klassifisering av matematiske modeller.

Matematiske modeller kan væredeterministisk Og stokastisk .

Bestem deg modell og er modeller der det etableres en en-til-en korrespondanse mellom variabler som beskriver et objekt eller fenomen.

Denne tilnærmingen er basert på kunnskap om funksjonsmekanismen til objekter. Ofte er objektet som modelleres komplekst og å tyde mekanismen kan være svært arbeidskrevende og tidkrevende. I dette tilfellet, fortsett som følger: eksperimenter utføres på originalen, resultatene behandles og, uten å dykke ned i mekanismen og teorien til det simulerte objektet, ved hjelp av metoder matematisk statistikk og sannsynlighetsteorier, etablerer sammenhenger mellom variabler som beskriver et objekt. I dette tilfellet får dustokastisk modell . I stokastisk modell, er forholdet mellom variabler tilfeldig, noen ganger er det grunnleggende. Påvirkningen av et stort antall faktorer, deres kombinasjon fører til et tilfeldig sett med variabler som beskriver et objekt eller fenomen. I henhold til modusenes natur er modellenstatistisk Og dynamisk.

Statistiskmodellinkluderer en beskrivelse av relasjonene mellom hovedvariablene til det modellerte objektet i en stabil tilstand uten å ta hensyn til endringer i parametere over tid.

I dynamiskmodellerrelasjonene mellom hovedvariablene til det modellerte objektet under overgangen fra en modus til en annen er beskrevet.

Det finnes modeller diskret Og kontinuerlige, og blandet type. I kontinuerlige variabler tar verdier fra et visst intervall, idiskretvariabler tar isolerte verdier.

Lineære modeller- alle funksjoner og relasjoner som beskriver modellen lineært avhenger av variablene ogikke lineærellers.

Matematisk modellering.

Krav ,p presentert til modellene.

1. Allsidighet- karakteriserer fullstendigheten av modellens representasjon av de studerte egenskapene til et virkelig objekt.

1. Tilstrekkelighet er evnen til å reflektere de ønskede egenskapene til et objekt med en feil som ikke er høyere enn en gitt.
2. Nøyaktigheten vurderes av graden av samsvar mellom verdiene til egenskapene til et ekte objekt og verdiene til disse egenskapene oppnådd ved bruk av modeller.
3. Økonomisk - bestemt av utgifter til datamaskinens minneressurser og tid for implementering og drift.

Matematisk modellering.

Hovedstadier av modellering.

1. Redegjørelse av problemet.

Bestemme formålet med analysen og måten å oppnå det på og utvikle en generell tilnærming til problemet som studeres. På dette stadiet kreves en dyp forståelse av essensen av oppgaven. Noen ganger er det ikke mindre vanskelig å sette et problem riktig enn å løse det. Iscenesettelse er ikke en formell prosess, det er ingen generelle regler.

2. Studere det teoretiske grunnlaget og innhente informasjon om det opprinnelige objektet.

På dette stadiet velges eller utvikles en passende teori. Hvis den ikke er der, etableres årsak-virkning-forhold mellom variablene som beskriver objektet. Inn- og utdata blir bestemt, og det gjøres forenklede antakelser.

3. Formalisering.

Den består i å velge et system av symboler og bruke dem til å skrive ned relasjonene mellom komponentene i et objekt i form av matematiske uttrykk. Klassen av problemer som den resulterende matematiske modellen av objektet kan klassifiseres til, er etablert. Verdiene til noen parametere er kanskje ikke spesifisert på dette stadiet.

4. Velge løsningsmetode.

På dette stadiet er de endelige parametrene til modellene etablert under hensyntagen til driftsforholdene til objektet. For det resulterende matematiske problemet velges en løsningsmetode eller en spesiell metode utvikles. Ved valg av metode tas det hensyn til brukerens kunnskap, hans preferanser og utviklerens preferanser.

5. Implementering av modellen.

Etter å ha utviklet en algoritme, skrives et program, som feilsøkes, testes og en løsning på ønsket problem oppnås.

6. Analyse av mottatt informasjon.

De oppnådde og forventede løsningene sammenlignes, og modelleringsfeilen overvåkes.

7. Sjekke tilstrekkeligheten til det virkelige objektet.

Resultatene fra modellen sammenlignesenten med den informasjonen som er tilgjengelig om objektet, eller et eksperiment utføres og resultatene sammenlignes med de beregnede.

Modelleringsprosessen er iterativ. Ved utilfredsstillende resultater av etappene 6. eller 7. man går tilbake til et av de tidligere stadiene, noe som kunne ha ført til utviklingen av en mislykket modell. Dette stadiet og alle påfølgende blir raffinert og slik raffinering av modellen skjer inntil akseptable resultater er oppnådd.

En matematisk modell er en omtrentlig beskrivelse av enhver klasse av fenomener eller objekter i den virkelige verden på matematikkspråket. Hovedformålet med modellering er å utforske disse objektene og forutsi resultatene av fremtidige observasjoner. Imidlertid er modellering også en metode for å forstå verden rundt oss, som gjør det mulig å kontrollere den.

Matematisk modellering og tilhørende dataeksperiment er uunnværlig i tilfeller der et fullskala eksperiment er umulig eller vanskelig av en eller annen grunn. For eksempel er det umulig å sette opp et naturlig eksperiment i historien for å sjekke «hva ville ha skjedd hvis...» Det er umulig å kontrollere riktigheten av en eller annen kosmologisk teori. Det er mulig, men usannsynlig å være rimelig, å eksperimentere med spredning av en sykdom, for eksempel pesten, eller gjennomføre en atomeksplosjon for å studere konsekvensene. Alt dette kan imidlertid gjøres på en datamaskin ved først å konstruere matematiske modeller av fenomenene som studeres.

1.1.2 2. Hovedstadier av matematisk modellering

1) Modellbygging. På dette stadiet spesifiseres et "ikke-matematisk" objekt - et naturfenomen, design, økonomisk plan, produksjonsprosess osv. I dette tilfellet er det som regel vanskelig å beskrive situasjonen tydelig. Først identifiseres hovedtrekkene ved fenomenet og sammenhengene mellom dem på et kvalitativt nivå. Deretter formuleres de funnet kvalitative avhengighetene i matematikkspråket, det vil si at det bygges en matematisk modell. Dette er det vanskeligste stadiet av modellering.

2) Løsning av det matematiske problemet som modellen fører til. På dette stadiet vies mye oppmerksomhet til utviklingen av algoritmer og numeriske metoder for å løse problemet på en datamaskin, ved hjelp av hvilken resultatet kan bli funnet med nødvendig nøyaktighet og innen en akseptabel tid.

3) Tolkning av de oppnådde konsekvensene fra den matematiske modellen.Konsekvensene som utledes av modellen i matematikkspråket tolkes på det språket som er akseptert i feltet.

4) Kontrollere at modellen er tilstrekkelig.På dette stadiet avgjøres det om de eksperimentelle resultatene stemmer overens med de teoretiske konsekvensene av modellen innenfor en viss nøyaktighet.

5) Modifikasjon av modellen.På dette stadiet er enten modellen komplisert slik at den er mer dekkende for virkeligheten, eller den er forenklet for å oppnå en praktisk akseptabel løsning.

1.1.3 3. Modellklassifisering

Modeller kan klassifiseres etter ulike kriterier. For eksempel, i henhold til arten av problemene som løses, kan modeller deles inn i funksjonelle og strukturelle. I det første tilfellet uttrykkes alle mengder som karakteriserer et fenomen eller objekt kvantitativt. Dessuten betraktes noen av dem som uavhengige variabler, mens andre betraktes som funksjoner av disse mengdene. En matematisk modell er vanligvis et system av ligninger av ulike typer (differensial, algebraisk, etc.) som etablerer kvantitative sammenhenger mellom mengdene som vurderes. I det andre tilfellet karakteriserer modellen strukturen til et komplekst objekt bestående av individuelle deler, mellom hvilke det er visse forbindelser. Vanligvis er disse forbindelsene ikke kvantifiserbare. For å konstruere slike modeller er det praktisk å bruke grafteori. En graf er et matematisk objekt som representerer et sett med punkter (toppunkter) på et plan eller i rommet, hvorav noen er forbundet med linjer (kanter).

Basert på arten av de innledende dataene og resultatene, kan prediksjonsmodeller deles inn i deterministiske og probabilistisk-statistiske. Modeller av den første typen gir visse, entydige spådommer. Modeller av den andre typen er basert på statistisk informasjon, og spådommene oppnådd med deres hjelp er sannsynlige i naturen.

MATEMATISK MODELLERING OG GENERELL DATAMASKIN ELLER SIMULASJONSMODELLER

Nå, når nesten universell databehandling finner sted i landet, hører vi uttalelser fra spesialister i ulike yrker: "Hvis vi introduserer en datamaskin, vil alle problemer bli løst umiddelbart." Dette synspunktet er helt feil; datamaskiner selv, uten matematiske modeller av visse prosesser, vil ikke kunne gjøre noe, og man kan bare drømme om universell databehandling.

Til støtte for ovenstående vil vi forsøke å underbygge behovet for modellering, inkludert matematisk modellering, og avsløre fordelene ved menneskelig erkjennelse og transformasjon. verden utenfor, la oss identifisere eksisterende mangler og gå... til simuleringsmodellering, dvs. modellering ved hjelp av en datamaskin. Men alt er i orden.

Først av alt, la oss svare på spørsmålet: hva er en modell?

En modell er et materiell eller mentalt representert objekt, som i prosessen med erkjennelse (studie) erstatter originalen, og bevarer noen typiske egenskaper som er viktige for denne studien.

En godt bygget modell er mer tilgjengelig for forskning enn et reelt objekt. For eksempel eksperimenter med landets økonomi i pedagogiske formål, du kan ikke klare deg uten en modell her.

Oppsummerer vi det som er sagt, kan vi svare på spørsmålet: hva er modeller for? For å

• forstå hvordan et objekt fungerer (dets struktur, egenskaper, utviklingslover, interaksjon med omverdenen).
• lære å administrere et objekt (prosess) og bestemme de beste strategiene
• forutsi konsekvensene av påvirkning på objektet.

Hva er positivt med en modell? Det lar deg få ny kunnskap om objektet, men dessverre er det ufullstendig i en eller annen grad.

Modellformulert på matematikkspråket ved hjelp av matematiske metoder kalles en matematisk modell.

Utgangspunktet for konstruksjonen er vanligvis et problem, for eksempel et økonomisk. Både deskriptive og matematiske optimaliseringer er utbredt, og karakteriserer ulike økonomiske prosesser og fenomener, for eksempel:

• ressurstildeling
• rasjonell kutting
• transport
• konsolidering av virksomheter
• nettverksplanlegging.

Hvordan er en matematisk modell bygget opp?

• Først formuleres formålet og emnet for studien.
• For det andre fremheves de viktigste egenskapene som tilsvarer dette målet.
• For det tredje beskrives relasjonene mellom elementene i modellen verbalt.
• Deretter formaliseres forholdet.
• Og en beregning gjøres ved hjelp av en matematisk modell og den resulterende løsningen analyseres.

Ved å bruke denne algoritmen kan du løse ethvert optimaliseringsproblem, inkludert multikriterier, dvs. et der ikke ett, men flere mål forfølges, inkludert motstridende.

La oss gi et eksempel. Teori i kø– problemet med kø. Det er nødvendig å balansere to faktorer - kostnaden for å vedlikeholde serviceenheter og kostnadene ved å holde seg i kø. Etter å ha konstruert en formell beskrivelse av modellen, foretas beregninger ved hjelp av analytiske og beregningsmetoder. Hvis modellen er god, er svarene funnet med dens hjelp tilstrekkelige for modelleringssystemet; hvis den er dårlig, må den forbedres og erstattes. Kriteriet for tilstrekkelighet er praksis.

Optimaliseringsmodeller, inkludert multikriterier, har en felles egenskap - det er kjent et mål (eller flere mål) å oppnå som man ofte må forholde seg til komplekse systemer, der det ikke så mye handler om å løse optimaliseringsproblemer, men om å studere og forutsi stater avhengig av utvalgte forvaltningsstrategier. Og her står vi overfor vanskelighetene med å gjennomføre den forrige planen. De er som følger:

• et komplekst system inneholder mange forbindelser mellom elementer
• et reelt system påvirkes av tilfeldige faktorer, og det er umulig å ta dem i betraktning analytisk
• muligheten for å sammenligne originalen med modellen eksisterer bare i begynnelsen og etter bruk av det matematiske apparatet, fordi mellomresultater har kanskje ingen analoger i det virkelige systemet.

I forbindelse med de listede vanskelighetene som oppstår når man studerer komplekse systemer, krevde praksis en mer fleksibel metode, og det dukket opp - "Simujasjonsmodellering".

Vanligvis forstås en simuleringsmodell som et sett med dataprogrammer som beskriver funksjonen til individuelle systemblokker og reglene for interaksjon mellom dem. Bruk tilfeldige variabler gjør det nødvendig å utføre gjentatte eksperimenter med simuleringssystemet (på en datamaskin) og påfølgende Statistisk analyse oppnådde resultater. Et veldig vanlig eksempel på bruk av simuleringsmodeller er å løse køproblemet ved å bruke MONTE CARLO-metoden.

Å jobbe med et simuleringssystem er altså et eksperiment utført på en datamaskin. Hva er fordelene?

– Større nærhet til det virkelige systemet enn matematiske modeller;

–Blokkprinsippet gjør det mulig å verifisere hver blokk før den tas med i det overordnede systemet;

–Bruk av avhengigheter av mer kompleks karakter som ikke kan beskrives ved enkle matematiske sammenhenger.

De listede fordelene bestemmer ulempene

– å bygge en simuleringsmodell tar lengre tid, er vanskeligere og dyrere;

– for å jobbe med simuleringssystemet må du ha en datamaskin som passer for klassen;

– interaksjonen mellom brukeren og simuleringsmodellen (grensesnittet) bør ikke være for kompleks, praktisk og velkjent;

-å bygge en simuleringsmodell krever en mer dyptgående studie av den virkelige prosessen enn matematisk modellering.

Spørsmålet oppstår: kan simuleringsmodellering erstatte optimaliseringsmetoder? Nei, men det utfyller dem praktisk. En simuleringsmodell er et program som implementerer en viss algoritme, for å optimere kontrollen som et optimaliseringsproblem først løses.

Så, verken en datamaskin, eller en matematisk modell, eller en algoritme for studien alene kan løse et tilstrekkelig komplekst problem. Men sammen representerer de kraften som lar oss forstå verden rundt oss og forvalte den i menneskets interesse.

1.2 Modellklassifisering

1.2.1 Klassifisering som tar hensyn til tidsfaktor og bruksområde (Makarova N.A.) Statisk modell - det er som et engangsbilde av informasjon om et objekt (resultatet av én undersøkelse) Dynamisk modell-tillater se endringer i et objekt over tid (Kort i klinikken) Modeller kan også klassifiseres iht hvilket kunnskapsområde tilhører de?(biologisk, historisk, miljø osv.) Gå tilbake til toppen

1.2.2 Klassifisering etter bruksområde (Makarova N.A.) pedagogisk- visuell manualer, simulatorer åh, hylende programmer Opplevde modeller-redusert kopier (bil i vindtunnel) Vitenskapelig og teknisk synkrofasotron, stativ for testing av elektronisk utstyr Gaming-økonomisk, sport, forretningsspill Etterligning- Ikke De gjenspeiler rett og slett virkeligheten, men imiterer den (medisiner testes på mus, eksperimenter utføres på skoler osv. Denne modelleringsmetoden kalles prøving og feiling Gå tilbake til toppen

1.2.3 Klassifisering i henhold til presentasjonsmetoden Makarov N.A.) Materiale modeller- ellers kan kalles emne. De oppfatter geometriske og fysiske egenskaper original og alltid ha en ekte legemliggjøring Informasjon modeller er ikke tillatt berør eller se. De er kun basert på informasjon .Og informativt modell er et sett med informasjon som karakteriserer egenskapene og tilstandene til et objekt, prosess, fenomen, samt forholdet til omverdenen. Verbal modell - informasjonsmodell i mental eller muntlig form. Ikonisk modellinformasjon modell uttrykt med tegn ,dvs.. ved hjelp av et hvilket som helst formelt språk. Datamaskinmodell - m En modell implementert ved hjelp av et programvaremiljø.

1.2.4 Klassifisering av modeller gitt i boken "Earth Informatics" (Gein A.G.)) "...her er en tilsynelatende enkel oppgave: hvor lang tid vil det ta å krysse Karakumørkenen? Svaret er selvfølgelig avhenger av transportmåten. Hvis reise videre kameler, så tar det en periode, en annen hvis du reiser med bil, en tredje hvis du flyr med fly. Og viktigst av alt, det kreves forskjellige modeller for å planlegge en tur. For det første tilfellet kan den nødvendige modellen finnes i memoarene kjente oppdagereørkener: her kan du tross alt ikke klare deg uten informasjon om oaser og kamelstier. I det andre tilfellet er informasjonen i veiatlaset uerstattelig. I den tredje kan du bruke flyruten. Disse tre modellene er forskjellige - memoarer, atlas og tidsplan - og arten av presentasjonen av informasjon. I det første tilfellet er modellen representert ved en verbal beskrivelse av informasjon (beskrivende modell), i den andre - som om et fotografi fra livet (fullskala modell), i den tredje - en tabell som inneholder symboler: avgangs- og ankomsttider, ukedag, billettpris (den såkalte skiltmodellen) Imidlertid er denne inndelingen veldig vilkårlig - i memoarer kan du finne kart og diagrammer (elementer i en fullskalamodell), på kart er det symboler (elementer av en symbolsk modell), i timeplanen er det en dekoding av symboler (elementer) av en beskrivende modell). Så denne klassifiseringen av modeller... etter vår mening er uproduktiv" Etter min mening demonstrerer dette fragmentet den beskrivende (fantastiske språket og presentasjonsstilen) og som det var sokratiske undervisningsstilen som er felles for alle Heins bøker (Alle tror det er slik. Jeg er helt enig med deg, men hvis du ser nøye etter...). I slike bøker er det ganske vanskelig å finne et klart system med definisjoner (det er ikke ment av forfatteren). I læreboken redigert av N.A. Makarova demonstrerer en annen tilnærming - definisjonene av konsepter er tydelig fremhevet og noe statiske.

1.2.5 Klassifisering av modeller gitt i manualen av A.I. Bochkin Det finnes et uvanlig stort antall klassifiseringsmetoder .P bringe bare noen av de mest kjente grunnene og tegn: diskrethet Og kontinuitet, matrise og skalarmodeller, statiske og dynamiske modeller, analytiske og informasjonsmodeller, emne- og figurative tegnmodeller, storskala og ikke-skala... Hvert tegn gir en viss kunnskap om egenskapene til både modellen og den simulerte virkeligheten. Skiltet kan tjene som et hint om metoden for den fullførte eller kommende modelleringen. Diskrethet og kontinuitet Diskrethet - et karakteristisk trekk ved datamodeller .Tross alt en datamaskin kan være i et begrenset, men svært stort antall tilstander. Derfor, selv om objektet er kontinuerlig (tid), vil det i modellen endre seg i hopp. Det kan vurderes kontinuitet et tegn på modeller som ikke er datamaskiner. Sjanse og determinisme . Usikkerhet, ulykke i utgangspunktet motarbeidet dataverden: Algoritmen som lanseres på nytt skal gjenta seg selv og gi de samme resultatene. Men for å simulere tilfeldige prosesser brukes pseudorandomtallsensorer. Å introdusere tilfeldighet i deterministiske problemer fører til kraftige og interessante modeller (Beregning av areal ved tilfeldig kast). Matrisitet - skalaritet. Tilgjengelighet av parametere matrise modellen indikerer dens større kompleksitet og, muligens, nøyaktighet sammenlignet med skalar. For eksempel, hvis vi ikke identifiserer alle aldersgrupper i landets befolkning, med tanke på endringen som helhet, vil vi få en skalarmodell (for eksempel Malthus-modellen); hvis vi isolerer den, får vi en matrise (kjønn). -alder) modell. Det var matrisemodellen som gjorde det mulig å forklare svingningene i fruktbarheten etter krigen. Statisk dynamikk. Disse egenskapene til modellen er vanligvis forhåndsbestemt av egenskapene til det virkelige objektet. Her er det ingen valgfrihet. Bare statisk modellen kan være et steg mot dynamisk, eller noen av modellvariablene kan betraktes som uendret foreløpig. For eksempel beveger en satellitt seg rundt jorden, dens bevegelse påvirkes av månen. Hvis vi betrakter Månen som stasjonær under satellittens revolusjon, får vi en enklere modell. Analytiske modeller. Beskrivelse av prosesser analytisk, formler og ligninger. Men når du prøver å bygge en graf, er det mer praktisk å ha tabeller med funksjonsverdier og argumenter. Simuleringsmodeller. Etterligning modeller dukket opp for lenge siden i form av skalakopier av skip, broer, etc. dukket opp for lenge siden, men vurderes nylig i forbindelse med datamaskiner. Å vite hvordan koblet elementer i modellen analytisk og logisk er det lettere å ikke løse et system med visse relasjoner og ligninger, men å vise det virkelige systemet i datamaskinens minne, med tanke på forbindelsene mellom minneelementene. Informasjonsmodeller. Informasjon Modeller kontrasteres vanligvis med matematiske, eller snarere algoritmiske. Forholdet mellom datavolumer og algoritmer er viktig her. Hvis det er mer data eller det er viktigere, har vi en informasjonsmodell, ellers - matematisk. Fagmodeller. Dette er først og fremst en barnemodell - et leketøy. Ikoniske modeller. Dette er først og fremst en modell i det menneskelige sinn: figurativ, hvis grafiske bilder dominerer, og ikonisk, hvis det er flere ord og/eller tall. Figurative tegnmodeller er bygget på en datamaskin. Skalamodeller. TIL storstilt modeller er de av subjekt eller figurative modeller som gjentar formen til et objekt (kart).

Det er mulig å spore dynamikken i utviklingen av et objekt, den indre essensen av relasjonene til dets elementer og ulike tilstander i designprosessen bare ved hjelp av modeller som bruker prinsippet om dynamisk analogi, dvs. ved hjelp av matematisk modeller.

Matematisk modell er et system av matematiske sammenhenger som beskriver prosessen eller fenomenet som studeres. For å kompilere en matematisk modell kan du bruke alle matematiske midler - settteori, matematisk logikk, språket til differensial- eller integralligninger. Prosessen med å kompilere en matematisk modell kalles matematisk modellering. Som andre typer modeller representerer en matematisk modell et problem i forenklet form og beskriver kun de egenskapene og mønstrene som er viktigst for et gitt objekt eller prosess. Den matematiske modellen åpner for multilateral kvantitativ analyse. Ved å endre de innledende data, kriterier, restriksjoner, hver gang kan du oppnå en optimal løsning under gitte forhold og bestemme videre retning Søk.

Opprettelsen av matematiske modeller krever fra utviklerne deres, i tillegg til kunnskap om formelle logiske metoder, en grundig analyse av objektet som studeres for å strengt formulere hovedideene og reglene, samt identifisere en tilstrekkelig mengde pålitelig fakta, statistiske og regulatoriske data.

Det skal bemerkes at alle for tiden brukte matematiske modeller forholder seg til foreskrivende. Hensikten med å utvikle preskriptive modeller er å angi retningen for å finne en løsning, mens hensikten med å utvikle beskriver Modeller er en refleksjon av faktiske menneskelige tenkeprosesser.

Det er et ganske utbredt synspunkt at ved hjelp av matematikk er det mulig å få tak i bare noen numeriske data om objektet eller prosessen som studeres. "Selvfølgelig er mange matematiske disipliner rettet mot å oppnå et endelig numerisk resultat. Men å redusere matematiske metoder bare til problemet med å få et tall betyr å uendelig utarme matematikken, å utarme muligheten for det kraftige våpenet som i dag er i hendene på forskere...

En matematisk modell skrevet på et eller annet privatspråk (for eksempel differensialligninger) reflekterer visse egenskaper reelle fysiske prosesser. Som et resultat av analysen av matematiske modeller får vi først og fremst kvalitative ideer om egenskapene til prosessene som studeres, etablerer mønstre som bestemmer den dynamiske rekken av påfølgende tilstander og får muligheten til å forutsi prosessens forløp. og bestemme dens kvantitative egenskaper."

Matematiske modeller brukes i mange kjente modelleringsmetoder. Blant dem er utviklingen av modeller som beskriver den statiske og dynamiske tilstanden til et objekt, optimaliseringsmodeller.

Et eksempel på matematiske modeller som beskriver den statiske og dynamiske tilstanden til et objekt kan være ulike metoder for tradisjonelle strukturelle beregninger. Beregningsprosessen, presentert i form av en sekvens av matematiske operasjoner (algoritme), lar oss si at det er satt sammen en matematisk modell for å beregne en viss struktur.

I optimalisering Modeller inneholder tre elementer:

Objektiv funksjon som gjenspeiler det aksepterte kvalitetskriteriet;

Justerbare parametere;

Pålagte restriksjoner.

Alle disse elementene må beskrives matematisk i form av ligninger, logiske betingelser osv. Å løse et optimaliseringsproblem er prosessen med å finne minimumsverdien (maksimumsverdien) til målfunksjonen samtidig som spesifiserte restriksjoner overholdes. Løsningsresultatet anses som optimalt dersom objektivfunksjonen når sin ekstreme verdi.

Et eksempel på en optimaliseringsmodell er en matematisk beskrivelse av "koblingslengde"-kriteriet i metoden for alternativ utforming av industribygg.

Objektivfunksjonen gjenspeiler den totale vektede lengden til alle funksjonelle forbindelser, som bør ha en tendens til et minimum:

hvor er vektverdien av elementets forbindelse med ;

– lengden på forbindelsen mellom og elementer;

– totalt antall plasserte elementer.

Siden arealene til de plasserte elementene i lokalene er like i alle varianter av designløsningen, skiller variantene seg kun fra hverandre i de forskjellige avstandene mellom elementene og deres plassering i forhold til hverandre. Følgelig er de justerbare parametrene i dette tilfellet koordinatene til elementene plassert på plantegningene.

Pålagte begrensninger på plasseringen av elementer (på et forhåndsfiksert sted på planen, i ytre omkrets, oppå hverandre, etc.) og på lengden på forbindelsene (lengdene på forbindelsene mellom elementene er stivt spesifisert, minimum eller maksimale grenser for verdier er spesifisert, grenser for endring er spesifiserte verdier) er skrevet formelt.

Et alternativ anses som optimalt (i henhold til dette kriteriet) hvis verdien av objektivfunksjonen beregnet for dette alternativet er minimal.

En rekke matematiske modeller – økonomisk-matematisk modell– representerer en kommunikasjonsmodell økonomiske egenskaper og systemparametere.

Et eksempel på økonomisk-matematiske modeller er den matematiske beskrivelsen av kostnadskriterier i ovennevnte metode for alternativ utforming av industribygg. Matematiske modeller oppnådd basert på bruk av matematiske statistikkmetoder gjenspeiler avhengigheten av kostnadene for rammen, fundamentene, jordarbeidene til en-etasjers og fleretasjes industribygg og deres høyde, spenn og stigning av bærende konstruksjoner.

Basert på metoden for å ta hensyn til påvirkningen av tilfeldige faktorer på beslutningstaking, er matematiske modeller delt inn i deterministiske og sannsynlige. Deterministisk Modellen tar ikke hensyn til påvirkningen av tilfeldige faktorer i prosessen med systemdrift og er basert på en analytisk representasjon av funksjonsmønstrene. Probabilistisk (stokastisk) modellen tar hensyn til påvirkning av tilfeldige faktorer under driften av systemet og er basert på statistisk, d.v.s. kvantitativ vurdering av massefenomener, som gjør det mulig å ta hensyn til deres ikke-linearitet, dynamikk, tilfeldige forstyrrelser beskrevet av forskjellige distribusjonslover.

Ved å bruke eksemplene ovenfor kan vi si at den matematiske modellen som beskriver kriteriet "lengde på forbindelser" refererer til deterministiske modeller, og de matematiske modellene som beskriver gruppen av kriteriene "kostnader" refererer til sannsynlighetsmodeller.

Språklige, semantiske og informasjonsmodeller

Matematiske modeller har åpenbare fordeler fordi kvantifisering av aspekter ved et problem gir et klart bilde av prioriteringene til mål. Det er viktig at en spesialist alltid kan rettferdiggjøre vedtakelsen av en bestemt beslutning ved å presentere relevante numeriske data. Men den fullstendige matematiske beskrivelsen prosjektaktiviteter umulig, derfor de fleste av problemene som ble løst i den innledende fasen av arkitektonisk og konstruksjonsdesign forholder seg til dårlig strukturert.

En av egenskapene til semistrukturerte problemer er en verbal beskrivelse av kriteriene som brukes i dem. Introduksjon av kriterier beskrevet på naturlig språk (slike kriterier kalles språklig), lar deg bruke mindre komplekse metoder for å finne optimale designløsninger. Gitt slike kriterier tar designeren en avgjørelse basert på kjente, ubestridelige uttrykk for mål.

En meningsfull beskrivelse av alle aspekter av problemet introduserer systematisering i prosessen med å løse det, på den ene siden, og på den andre, letter arbeidet til spesialister som, uten å studere de relevante grenene av matematikk, kan løse sine profesjonelle problemer mer. rasjonelt sett. I fig. 5.2 er gitt språklig modell, som beskriver mulighetene for å skape forhold for naturlig ventilasjon i ulike layoutalternativer for et bakeri.

Andre fordeler med meningsfulle problembeskrivelser inkluderer:

Evnen til å beskrive alle kriteriene som bestemmer effektiviteten til en designløsning. Samtidig er det viktig at komplekse begreper kan introduseres i beskrivelsen og spesialistens synsfelt, sammen med kvantitative, målbare faktorer, vil også inkludere kvalitative, ikke-målbare. På tidspunktet for beslutningstaking vil derfor all subjektiv og objektiv informasjon bli brukt;

Ris. 5.2 Beskrivelse av innholdet i «ventilasjon»-kriteriet i form av en språklig modell

Evnen til entydig å vurdere graden av oppnåelse av målet i alternativene for dette kriteriet basert på formuleringene akseptert av spesialister, noe som sikrer påliteligheten til den mottatte informasjonen;

Evnen til å ta hensyn til usikkerheten knyttet til ufullstendig kunnskap om alle konsekvenser av beslutninger som tas, samt prediktiv informasjon.

Modeller som bruker naturlig språk for å beskrive studieobjektet inkluderer også semantiske modeller.

Semantisk modell- det er en slik representasjon av et objekt som gjenspeiler graden av sammenkobling (nærhet) mellom de ulike komponentene, aspektene, egenskapene til objektet. Sammenkobling betyr ikke en relativ romlig ordning, men en sammenheng i mening.

Således, i semantisk forstand, vil forholdet mellom koeffisienten for naturlig belysning og lysområdet til gjennomsiktige gjerder bli presentert som nærmere enn forholdet mellom vindusåpninger og tilstøtende blindseksjoner av veggen.

Settet med tilkoblingsrelasjoner viser hva hvert element valgt i et objekt og objektet som helhet representerer. Samtidig reflekterer den semantiske modellen, i tillegg til graden av sammenheng mellom ulike aspekter i et objekt, innholdet i begreper. Elementære modeller er begreper uttrykt i naturlig språk.

Konstruksjonen av semantiske modeller er basert på prinsippene om at begreper og sammenhenger ikke endres gjennom hele tiden modellen brukes; innholdet i ett konsept overføres ikke til et annet; forbindelser mellom to konsepter har et likeverdig og ikke-orientert samspill i forhold til dem.

Hver modellanalyse tar sikte på å velge ut elementer i modellen som har en viss kvalitet til felles. Dette gir grunnlag for å konstruere en algoritme som kun tar hensyn til direkte forbindelser. Når du konverterer en modell til en urettet graf, blir det funnet en bane mellom to elementer som sporer bevegelsen fra ett element til et annet, og bruker hvert element bare én gang. Rekkefølgen elementene vises i kalles rekkefølgen av de to elementene. Sekvenser kan ha forskjellige lengder. Den korteste av dem kalles elementrelasjoner. En sekvens av to elementer eksisterer selv om det er en direkte forbindelse mellom dem, men i dette tilfellet er det ingen sammenheng.

Som et eksempel på en semantisk modell gir vi en beskrivelse av utformingen av en leilighet sammen med kommunikasjonsforbindelser. Konseptet er lokalene til en leilighet. Direkte kobling betyr funksjonell tilkobling av to rom, for eksempel ved en dør (se tabell 5.1).

Transformering av modellen til form av en urettet graf lar oss få en sekvens av elementer (fig. 5.3).

Eksempler på rekkefølgen dannet mellom element 2 (bad) og element 6 (pantry) er gitt i tabellen. 5.2. Som det fremgår av tabellen, representerer sekvens 3 forholdet mellom disse to elementene.

Tabell 5.1

Beskrivelse av leilighetens planløsning

Ris. 5.3 Beskrivelse av planløsningen i form av en urettet graf

Hva er en matematisk modell?

Konseptet med en matematisk modell.

En matematisk modell er et veldig enkelt konsept. Og veldig viktig. Det er matematiske modeller som forbinder matematikk og det virkelige liv.

Snakker på enkelt språk, en matematisk modell er en matematisk beskrivelse av enhver situasjon. Det er alt. Modellen kan være primitiv, eller den kan være superkompleks. Uansett situasjon, slik er modellen.)

I alle (jeg gjentar - i noen!) i et tilfelle hvor du trenger å telle og beregne noe - vi driver med matematisk modellering. Selv om vi ikke mistenker det.)

P = 2 CB + 3 CM

Denne oppføringen vil være en matematisk modell av kostnadene ved våre kjøp. Modellen tar ikke hensyn til fargen på emballasjen, utløpsdato, høflighet til kasserer osv. Det er derfor hun modell, ikke et faktisk kjøp. Men utgifter, dvs. det vi trenger– Det finner vi garantert ut av. Hvis modellen er riktig, selvfølgelig.

Det er nyttig å forestille seg hva en matematisk modell er, men det er ikke nok. Det viktigste er å kunne bygge disse modellene.

Tegning (konstruksjon) av en matematisk modell av oppgaven.

Å lage en matematisk modell betyr å oversette forholdene til problemet til matematisk form. De. gjøre ord om til en ligning, formel, ulikhet osv. Videre transformer den slik at denne matematikken strengt tatt stemmer overens originaltekst. Ellers vil vi ende opp med en matematisk modell av et annet problem ukjent for oss.)

Mer spesifikt trenger du

Det er et uendelig antall oppgaver i verden. Gi derfor klare trinnvise instruksjoner for å lage en matematisk modell noen oppgaver er umulige.

Men det er tre hovedpunkter du må være oppmerksom på.

1. Ethvert problem inneholder tekst, merkelig nok.) Denne teksten inneholder som regel eksplisitt, åpen informasjon. Tall, verdier osv.

2. Ethvert problem har skjult informasjon. Dette er en tekst som forutsetter ytterligere kunnskap i hodet ditt. Det er ingen vei uten dem. I tillegg er matematisk informasjon ofte skjult bak enkle ord og... glir forbi oppmerksomheten.

3. Enhver oppgave skal gis kobling av data med hverandre. Denne sammenhengen kan gis i ren tekst (noe er lik noe), eller den kan skjules bak enkle ord. Men enkle og klare fakta blir ofte oversett. Og modellen er ikke kompilert på noen måte.

Jeg vil si med en gang: for å bruke disse tre punktene, må du lese problemet (og nøye!) flere ganger. Det vanlige.

Og nå - eksempler.

La oss starte med et enkelt problem:

Petrovich kom tilbake fra fiske og presenterte stolt fangsten sin for familien. Ved nærmere undersøkelse viste det seg at 8 fisk kom fra de nordlige hav, 20 % av all fisk kom fra sørlige hav, og ikke en eneste kom fra den lokale elven hvor Petrovich fisket. Hvor mange fisk kjøpte Petrovich i sjømatbutikken?

Alle disse ordene må gjøres om til en slags ligning. For å gjøre dette trenger du, jeg gjentar, etablere en matematisk sammenheng mellom alle dataene i oppgaven.

Hvor skal jeg starte? La oss først trekke ut alle dataene fra oppgaven. La oss starte i rekkefølge:

La oss ta hensyn til det første punktet.

Hvilken er her? eksplisitt matematisk informasjon? 8 fisk og 20%. Ikke mye, men vi trenger ikke mye.)

La oss ta hensyn til det andre punktet.

Ser etter skjult informasjon. Det er her. Dette er ordene: "20 % av all fisk". Her må du forstå hva prosenter er og hvordan de beregnes. Ellers kan ikke problemet løses. Dette er nøyaktig hva Tilleggsinformasjon, som burde være i hodet ditt.

Det er også matematisk informasjon som er helt usynlig. Dette oppgave spørsmål: "Hvor mange fisk kjøpte jeg..." Dette er også et tall. Og uten den vil ingen modell bli dannet. La oss derfor angi dette nummeret med bokstaven "X". Vi vet ennå ikke hva x er lik, men denne betegnelsen vil være veldig nyttig for oss. Flere detaljer om hva du skal ta for X og hvordan du håndterer det er skrevet i leksjonen Hvordan løse problemer i matematikk? La oss skrive det ned med en gang:

x stk - totalt antall fisk.

I vår oppgave er sørlandsfisk oppgitt i prosent. Vi må konvertere dem til biter. For hva? Så hva i noen problemet med modellen må tegnes opp i samme type mengder. Stykker - så alt er i stykker. Hvis det gis for eksempel timer og minutter, oversetter vi alt til én ting - enten bare timer, eller bare minutter. Det spiller ingen rolle hva det er. Det er viktig at alle verdier var av samme type.

La oss gå tilbake til informasjonsavsløring. Den som ikke vet hva interesse er vil aldri røpe det, ja... Men den som vet vil umiddelbart si at interessen her er fra totalt antall fisk er gitt. Og vi kjenner ikke dette tallet. Ingenting vil fungere!

Det er ikke for ingenting at vi skriver det totale antallet fisk (i stykker!) "X" utpekt. Det vil ikke være mulig å telle antall sørlandsfisk, men vi kan skrive dem ned? Som dette:

0,2 x stykker - antall fisk fra sørlige hav.

Nå har vi lastet ned all informasjon fra oppgaven. Både åpenbare og skjulte.

La oss ta hensyn til det tredje punktet.

Ser etter matematisk sammenheng mellom oppgavedata. Denne sammenhengen er så enkel at mange ikke legger merke til den... Dette skjer ofte. Her er det nyttig å bare skrive ned de innsamlede dataene i en haug og se hva som er hva.

Hva har vi? Spise 8 stykker nordlig fisk, 0,2 x stk- sørlandsfisk og x fisk- totale mengden. Er det mulig å koble disse dataene sammen på en eller annen måte? Ja enkelt! Totalt antall fisk er lik summen av sørlige og nordlige! Vel, hvem skulle trodd...) Så vi skriver det ned:

x = 8 + 0,2x

Dette er ligningen matematisk modell av problemet vårt.

Vær oppmerksom på at i denne oppgaven Vi blir ikke bedt om å kaste noe! Det var vi selv, ut av hodet, som innså at summen av sør- og nordfisken ville gi oss det totale antallet. Saken er så åpenbar at den går ubemerket hen. Men uten disse bevisene kan en matematisk modell ikke lages. Som dette.

Nå kan du bruke matematikkens fulle kraft til å løse denne ligningen). Det er nettopp derfor den matematiske modellen ble satt sammen. Vi løser denne lineære ligningen og får svaret.

Svar: x=10

La oss lage en matematisk modell av et annet problem:

De spurte Petrovich: "Har du mye penger?" Petrovich begynte å gråte og svarte: "Ja, bare litt. Hvis jeg bruker halvparten av alle pengene, og halvparten av resten, så har jeg bare en pose penger igjen..." Hvor mye penger har Petrovich ?

Igjen jobber vi punkt for punkt.

1. Vi ser etter eksplisitt informasjon. Du finner det ikke med en gang! Eksplisitt informasjon er en penge sekk. Det er noen andre halvdeler... Vel, vi skal se nærmere på det i det andre punktet.

2. Vi leter etter skjult informasjon. Dette er halvdeler. Hva? Ikke veldig tydelig. Vi ser videre. Det er ett spørsmål til: "Hvor mye penger har Petrovich?" La oss angi pengebeløpet med bokstaven "X":

X- alle pengene

Og igjen leser vi problemet. Vet allerede at Petrovich X penger. Det er her halvdeler vil fungere! Vi skriver ned:

0,5 x- halvparten av alle pengene.

Resten blir også halvparten, dvs. 0,5 x. Og halvparten av halvparten kan skrives slik:

0,5 0,5 x = 0,25x- halvparten av resten.

Nå er all skjult informasjon avslørt og registrert.

3. Vi ser etter en sammenheng mellom de registrerte dataene. Her kan du ganske enkelt lese Petrovitsjs lidelse og skrive den ned matematisk):

Hvis jeg bruker halvparten av alle pengene...

La oss ta opp denne prosessen. Alle pengene - X. Halvparten - 0,5 x. Å bruke er å ta bort. Uttrykket blir til et opptak:

x - 0,5 x

ja halvparten av resten...

La oss trekke fra en annen halvpart av resten:

x - 0,5 x - 0,25x

da har jeg bare en pose med penger igjen...

Og her har vi funnet likestilling! Etter alle subtraksjonene gjenstår en pose med penger:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Her er den, en matematisk modell! Dette er igjen en lineær ligning, vi løser den, vi får:

Spørsmål til vurdering. Hva er fire? Rubel, dollar, yuan? Og i hvilke enheter er penger skrevet i vår matematiske modell? I poser! Det betyr fire bag penger fra Petrovitsj. Bra også.)

Oppgavene er selvsagt elementære. Dette er spesielt for å fange essensen av å tegne en matematisk modell. Noen oppgaver kan inneholde mye mer data, som kan være lett å gå seg vill i. Dette skjer ofte i den såkalte. kompetanseoppgaver. Hvordan trekke ut matematisk innhold fra en haug med ord og tall er vist med eksempler

En merknad til. I klassiske skoleproblemer (rør som fyller et basseng, båter som flyter et sted, etc.), er alle data som regel valgt veldig nøye. Det er to regler:
- det er nok informasjon i problemet til å løse det,
– Det er ingen unødvendig informasjon i et problem.

Dette er et hint. Hvis det er en verdi som ikke er brukt i den matematiske modellen, tenk på om det er en feil. Hvis det ikke er nok data, er mest sannsynlig ikke all skjult informasjon identifisert og registrert.

I kompetanse og annet livsoppgaver disse reglene følges ikke strengt. Ingen anelse. Men slike problemer kan også løses. Hvis du selvfølgelig trener på de klassiske.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.