Planimetriberegning av lengder og arealer formler. Geometri. Teoremer om firkanter
Dremova O.N. (, MBOU ungdomsskole "Anninsky Lyceum")
1. Geometri klassetrinn 7-9: lærebok. for allmennutdanning institusjoner / A.V. Pogorelov. – 10. utgave. – M.: Utdanning, 2016. – 240 s.
2. http://ru.solverbook.com
3. http://ege-study.ru
4. https://reshyege.ru/
5. http:// www.fmclass.ru/math.phpid = 4850e0880794e
6. http://tehtab.ru
7. https://ege.sdamgia.ru/problemid = 50847
8. http://alexlarin.net/ege17.html
Denne artikkelen er en abstrakt presentasjon av hovedverket. Den fullstendige teksten til det vitenskapelige arbeidet, applikasjoner, illustrasjoner og annet tilleggsmateriell er tilgjengelig på nettstedet til IV International Competition of Scientific Research and Creative Works of Students "Start in Science" på lenken: https://school-science. ru/1017/7/770.
Hypotese, relevans, mål, prosjektmål, objekt og emne for forskning, resultater
Mål: Identifisere og bevise lite kjente teoremer og egenskaper ved geometri.
Forskningsmål:
1. Studer utdannings- og referanselitteratur.
2. Samle lite kjent teoretisk materiale som er nødvendig for å løse planimetriske problemer.
3. Forstå bevisene for lite kjente teoremer og egenskaper.
4. Finn og løs problemer med KIM-er for Unified State Examination, ved å bruke disse lite kjente teoremene og egenskapene.
Relevans: I Unified State Exam i matematikkoppgaver er det ofte problemer i geometri, hvis løsning forårsaker noen vanskeligheter og tvinger deg til å kaste bort mye tid. Evnen til å løse slike problemer er en vesentlig betingelse for å bestå Unified State Exam på profilnivå i matematikk. Men det finnes en løsning på dette problemet, noen av disse problemene kan enkelt løses ved hjelp av teoremer, egenskaper som er lite kjent og som ikke blir viet oppmerksomhet i skolens matematikkkurs. Dette kan etter min mening forklare min interesse for forskningstemaet og dets relevans.
Studieobjekt: geometriske problemer med KIM-er for Unified State Examination.
Studieemne: lite kjente teoremer og egenskaper ved planimetri.
Hypotese: Det er lite kjente teoremer og egenskaper til geometri, kunnskap om hvilke vil lette løsningen av noen planimetriske problemer med USE CIMs.
Forskningsmetoder:
1) Teoretisk analyse og søk etter informasjon om lite kjente teoremer og egenskaper;
2) Bevis på teoremer og egenskaper
3) Søk og løs problemer ved å bruke disse teoremene og egenskapene
I matematikk, og i geometri generelt, er det et stort antall forskjellige teoremer og egenskaper. Det er mange teoremer og egenskaper for å løse planimetriske problemer som fortsatt er aktuelle i dag, men som er lite kjente og svært nyttige for å løse problemer. Når du studerer dette emnet, læres bare de grunnleggende, velkjente teoremene og metodene for å løse geometriske problemer. Men i tillegg til dette er det et ganske stort antall forskjellige egenskaper og teoremer som forenkler løsningen av dette eller det problemet, men få mennesker vet om dem i det hele tatt. I KIMs of the Unified State Exam kan det være mye enklere å løse problemer i geometri hvis du kjenner disse lite kjente egenskapene og teoremene. I CMM-er finnes geometriproblemer i nummer 8, 13, 15 og 16. Lite kjente teoremer og egenskaper beskrevet i mitt arbeid forenkler løsningen av planimetriske problemer i stor grad.
Trekantvinkelhalveringsteorem
Teorem: Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de tilstøtende sidene av trekanten.
Bevis.
La oss se på trekant ABC og halveringslinjen til dens vinkel B. La oss trekke en linje CM gjennom toppunktet C, parallelt med halveringslinjen BC, til den skjærer i punktet M med fortsettelsen av siden AB. Siden VC er halveringslinjen til vinkel ABC, så er ∠АВК = ∠КВС. Videre er ∠АВК = ∠ВСМ, som korresponderende vinkler for parallelle linjer, og ∠КВС = ∠ВСМ, som kryssvinkler for parallelle linjer. Derfor er ∠ВСМ = ∠ВМС, og derfor er trekanten ВСМ likebenet, hvorav ВС = ВМ. Ved teoremet om parallelle linjer som skjærer sidene av en vinkel, har vi AK: KS = AB: VM = AB: BC, som er det som måtte bevises.
La oss vurdere problemer der egenskapen til halveringslinjer for trekant brukes.
Oppgave nr. 1. I trekant ABC deler halveringslinjen AH siden BC i segmenter som har lengdene 28 og 12. Finn omkretsen til trekanten ABC hvis AB - AC = 18.
ABC - trekant
AH - halveringslinje
La AC = X så AB = X + 18
I henhold til egenskapen til vinkelhalveringslinjen alfa, AB·HC = BH·AC;
28 X = 12 (x + 18)x = 13,5,
betyr AC = 13,5, hvorfra
AB = 13,5 + 18 = 31,5 f.Kr. = 28 + 12 = 40,
P = AB + BC + AC = 85
Trekant median teorem
Teorem. Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt og deler seg der i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet.
Bevis. I trekant A BC tegner vi medianene AA1 og CC1 og betegner deres skjæringspunkt som M.
Gjennom punktet C1 trekker vi en linje parallelt med AA1 og skjæringspunktet med BC betegner vi D.
Da er D midtpunktet til BA1, derfor CA1:A1D = 2:1.
I følge Thales' teorem er CM:MC1 = 2:1. Dermed skjærer median AA1 median CC1 ved punkt M, som deler median CC1 i et forhold på 2:1.
Tilsvarende skjærer median BB1 median CC1 på et punkt som deler median CC1 i et 2:1-forhold, dvs. punkt M.
Oppgave nr. 1. Bevis at medianen til trekanten ligger nærmere den lengre siden, dvs. hvis i en trekant ABC, AC>BC, så gjelder ulikheten ACC1 for medianen CC1< BCC1.
La oss fortsette medianen CC1 og sette til side segmentet C1B, lik AC1. Trekant AC1D er lik trekant BC1C langs to sider og vinkelen mellom dem. Derfor er AD = BC, ADC1 = BCC1. I trekant ACD AC> AD. Siden den større vinkelen ligger motsatt den større siden av trekanten, ADC1>ACD. Derfor er ulikheten ACC1 Oppgave nr. 2. Arealet av trekanten ABC er lik 1. Finn arealet til en trekant hvis sider er lik medianene til den gitte trekanten. ABC trekant La AA1, BB1, CC1 være medianen av trekanten ABC som skjærer i punktet M. La oss fortsette medianen CC1 og plotte segmentet C1D lik MC1. Arealet av trekanten BMC er 1/3 og sidene er 2/3 av medianene til den opprinnelige trekanten. Derfor er arealet av en trekant hvis sider er lik medianene til en gitt trekant lik 3/4. La oss utlede en formel som uttrykker medianene til en trekant i form av sidene. La sidene i trekanten ABC være a, b, c. Vi betegner den nødvendige lengden på median-CDen som mc. Ved cosinussetningen har vi: Legger vi til disse to likhetene og tar i betraktning at cosADC = -cosBDC, får vi likheten: som vi finner fra Teorem om midtlinjene til en trekant Teorem: de tre midterste linjene i en trekant deler den inn i 4 like trekanter som ligner på denne med en likhetskoeffisient på ½ Bevis: La ABC være en trekant. C1 er midten av AB, A1 er midten av BC, B1 er midten av AC. La oss bevise at trekantene AC1B1, BC1A1, A1B1C, C1B1A1 er like. Siden C1 A1 B1 er midtpunkter, så er AC1 = C1B, BA1 = A1C, AB1 = B1C. Vi bruker egenskapen til middellinjen: С1А1 = 1/2 · AC = 1/2 · (АВ1 + В1C) = 1/2 · (АВ1 + АВ1) = АВ1 Tilsvarende er C1B1 = A1C, A1B1 = AC1. Deretter i trekanter AC1B1, BA1C1, A1B1C, C1B1A1 AC1 = BC1 = A1B1 = A1B1 AB1 = C1A1 = B1C = C1A1 C1B1 = BA1 = A1C = C1B1 Dette betyr at trekantene er like på tre sider, det følger at A1/B1 = A1C1/AC = B1C1/BC = ½ Teoremet er bevist. La oss vurdere å løse problemer ved å bruke egenskapen til midtlinjene i en trekant. Oppgave nr. 1. Gitt en trekant ABC med sidene 9,4 og 7. Finn omkretsen til trekanten C1A1B1 hvis toppunkter er midtpunktene til disse sidene Gitt: trekant - ABC 9,4,7 sider av en trekant I henhold til egenskapen for likhet til trekanter: 3 midtre linjer i en trekant deler den inn i 4 like trekanter, lik denne med en koeffisient på 1/2. C1A1 = 9/2 = 4,5 A1B1 = 4/2 = 2 C1B1 = 7/2 = 3,5, derfor er omkretsen = 4,5 + 2 + 3,5 = 10 Eiendommen til en Tangent til en sirkel Teorem: kvadratet til en tangent er lik produktet av en sekant og dens ytre del. Bevis. La oss tegne segmentene AK og BK. Trekanter AKM og BKM er like fordi de har en felles vinkel M. Og vinklene AKM og B er like, siden hver av dem er målt med halve buen AK. Derfor er MK/MA = MB/MK, eller MK2 = MA·MB. Eksempler på problemløsning. Oppgave nr. 1. Fra punkt A utenfor sirkelen tegnes en sekant med en lengde på 12 cm og en tangent, hvis lengde er 2 ganger mindre enn segmentet av sekanten som ligger innenfor sirkelen. finn lengden på tangenten. ACD sekant Hvis en tangent og en sekant trekkes til en sirkel fra ett punkt, er produktet av hele sekanten og dens ytre del lik kvadratet av tangenten, det vil si AD·AC = AB2. EllerAD·(AD-2AB) = AB2. Vi erstatter de kjente verdiene: 12(12-2AB) = AB2 eller AB2 + 24 AB-144. AB = -12 + 12v2 = 12(v2-1) Egenskapen til sidene til en omskrevet firkant Teorem: for en firkant omskrevet rundt en sirkel, er summen av lengdene til motsatte sider like Bevis: Ved tangentegenskapen AP = AQ, DP = DN, CN = CM og BQ = BM, finner vi at AB + CD = AQ + BQ + CN + DNiBC + + AD = BM + CM + AP + DP. Derfor AB + CD = BC + AD La oss se på eksempler på problemløsning. Oppgave nr. 1. De tre sidene av en firkant omskrevet rundt en sirkel er i forholdet (i sekvensiell rekkefølge) som 1:2:3. Finn den lengste siden av denne firkanten hvis det er kjent at omkretsen er 32. ABCD - firkant AB:BC:CD = 1:2:3 La siden AB = x, så AD = 2x, og DC = 3x. I henhold til egenskapen til den beskrevne firkanten er summene av de motsatte sidene like, og derfor er x + 3x = BC + 2x, derfra BC = 2x, så er omkretsen av firkanten 8X. Vi får at x = 4, og den større siden er 12. Oppgave nr. 2. En trapes er omskrevet rundt en sirkel, hvis omkrets er 40. Finn midtlinjen. ABCD-trapes, l - midtlinje Løsning: Midtlinjen til en trapes er lik halvparten av summen av basene. La basene til trapesen være a og c, og sidene b og d. Ved egenskapen til den omskrevne firkanten er a + c = b + d, som betyr at omkretsen er 2(a + c). Vi får at a + c = 20, derav L = 10 Picks formel Picks teorem: arealet til en polygon er: hvor Г er antall gitternoder på grensen til polygonet B er antall gitternoder inne i polygonet. For eksempel, for å beregne arealet av firkanten vist i figuren, vurderer vi: G = 7, V = 23, hvorav S = 7:2 + 23 - 1 = 25,5. Arealet til en hvilken som helst polygon tegnet på rutete papir kan enkelt beregnes ved å representere det som summen eller differansen av arealene til rette trekanter og rektangler hvis sider følger rutenettet som går gjennom toppunktene til den tegnede trekanten. I noen tilfeller er det til og med mulig å bruke en ferdig formel for området til en trekant eller firkant. Men i noen tilfeller er disse metodene enten umulige å bruke, eller prosessen med å bruke dem er arbeidskrevende og upraktisk. For å beregne arealet av polygonet vist i figuren, ved å bruke Picks formel, har vi: S = 8/2 + 19-1 = 22. Konklusjon Forskningen bekreftet hypotesen om at det i geometri er teoremer og egenskaper lite kjent fra skolekurset som forenkler løsningen av noen planimetriske problemer, inkludert problemene med Unified State Exam KIM. Jeg klarte å finne slike teoremer og egenskaper og bruke dem til å løse problemer, og bevise at deres anvendelse reduserer enorme løsninger på noen problemer til løsninger på et par minutter. Bruken av teoremene og egenskapene beskrevet i arbeidet mitt lar deg i noen tilfeller løse problemet umiddelbart og muntlig, og lar deg spare mer tid på Unified State-eksamenen og enkelt når du løser dem på skolen. Jeg tror at materialet fra forskningen min kan være nyttig for nyutdannede når de forbereder seg til å ta Unified State-eksamen i matematikk. Denne siden inneholder planimetristeoremer som en matematikkveileder kan bruke for å forberede en dyktig student til en seriøs eksamen: en Olympiade eller en eksamen ved Moscow State University (som forberedelse til Mechanics and Mathematics of Moscow State University, VMC), for en Olympiade kl. the Higher School of Economics, for en olympiade ved Finansakademiet og ved MIPT. Kunnskap om disse fakta åpner store muligheter for veilederen til å trekke opp konkurranseproblemer. Det er nok å "spille ut" noen av de nevnte teoremene om tall eller supplere elementene med enkle relasjoner med andre matematiske objekter, og du vil få et ganske anstendig Olympiadeproblem. Mange egenskaper finnes i sterke skolebøker som bevisproblemer og er ikke spesifikt inkludert i overskriftene og avsnittene i avsnitt. Jeg prøvde å rette opp denne mangelen. Matematikk er et enormt fag, og antallet fakta som kan identifiseres som teoremer er uendelig. En mattelærer kan ikke fysisk vite og huske alt. Derfor avsløres noen vanskelige forhold mellom geometriske objekter for læreren på nytt hver gang. Å samle dem alle på én side på en gang er fysisk umulig. Derfor vil jeg fylle siden gradvis etter hvert som jeg bruker teoremene i timene. Jeg råder nybegynnere i matematikkveiledere til å være forsiktige med å bruke tilleggsreferansemateriale, siden elevene ikke kjenner de fleste av disse faktaene. 1) Den vinkelrette halveringslinjen til en side av en trekant skjærer med halveringslinjen til vinkelen overfor den på omsirkelen til den gitte trekanten. Dette følger av likheten til buene som den vinkelrette halveringslinjen deler den nedre buen i, og av teoremet om den innskrevne vinkelen i en sirkel. 2) 3) 4) 5) 6) Det vil si at følgende likhet gjelder 7) 8) 9) Men så ble eleven bedt om å bevise at summen av vinklene i en trekant er 180°. Eleven viste til egenskapene til parallelle linjer. Men han begynte å bevise selve egenskapene til parallelle linjer på grunnlag av tegnene til parallelle linjer. Sirkelen er lukket. Derfor, når du gjentar teorien, vær konsekvent og oppmerksom. Når du leser beviset for en teorem, vær spesielt oppmerksom på hvor betingelsene for teoremet er brukt i beviset og hvilke tidligere beviste teoremer som ble brukt. Hvis to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de indre tverrvinklene like, og summen av de indre ensidige vinklene er 180° (fig. 58). Tegn på parallelle linjer. Hvis, når to rette linjer skjærer en tredje, summen av de resulterende indre ensidige vinklene er lik 180°, så er de rette linjene parallelle (fig. 60): Hvis, når to rette linjer skjærer en tredje, de resulterende korresponderende vinklene er like, så er de rette linjene parallelle (fig. 61): Teoremer om eksistensen og unikheten til en vinkelrett på en linje. Gjennom hvert punkt på en linje kan du tegne en linje vinkelrett på den, og bare en (fig. 62). Linje b er den eneste linjen som går gjennom punkt A vinkelrett på a. Forholdet mellom parallellitet og perpendikularitet. Hvis en linje er vinkelrett på en av de parallelle linjene, er den også vinkelrett på den andre (fig. 65): Ris. 65. Egenskaper til vinklene til en likebenet trekant. I en likebenet trekant er grunnvinklene like. Det omvendte teoremet er også sant: hvis to vinkler i en trekant er like, så er den likebenet (fig. 67): Teorem om summen av vinkler i en trekant. Teorem om summen av vinkler i en konveks n-gon. Eksempel: ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°. Teorem om den ytre vinkelen til en trekant. Teorem om størrelsen på en vinkel innskrevet i en sirkel. Ris. 71. ABC = A1B1C1 fordi AB = A1B1, AC = A1C1 og A = A1. ABC = A1B1C1 fordi AC = A1C1, A = A1, AC = ACl. Hvis tre sider av en trekant er lik henholdsvis tre sider av en annen trekant, så er slike trekanter kongruente (fig. 74). ABC = ?A1B1C1 fordi AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Tegn på likhet av rette trekanter. ABC = A1B1C1 fordi A = A1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1. ABC = A1B1C1, fordi AB = A1B1, A = A1 a AC = ACl = 90°. Egenskapen til medianen til en likebenet trekant. (AB = BC, AM = MS) ? (AAVM = AMVS, AAMV = ABMC = 90°). Egenskapen til midtlinjen i en trekant. EF||AC, EF = 1/2AC, siden AE = EB og BF = FC. Teorem for sinus. Ris. 79. A2= b2+ c2– 2bc cos?. C2= a2+ b2. (AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q og р – stråler som danner en vinkel?. Teorem om proporsjonale segmenter (generalisering av Thales' teorem). Ris. 83. Eller Hvis? = ?, da Eller Trekanter ABC og A1B1C1 er like fordi ? =?1 og? = ?1. Trekanter ABC og A1B1C1 er like pga OG? = ?1. Trekanter ABC og A1B1C1 er like, fordi Trekantulikhet. Forholdet mellom størrelsene på sidene og størrelsene på vinklene i en trekant. Ris. 90. AK = AT, hvor A er et hvilket som helst punkt på halveringslinjen. MA = MB, hvor M er et vilkårlig punkt på den vinkelrette halveringslinjen til segmentet AB. Punkt O er like langt fra punktene i sirkelen. Plasseringen av midten av trekantens omsirkel. A, B, C er toppunktene til trekanten som ligger på sirkelen. Plasseringen av midten av en sirkel innskrevet i en trekant. I ABC er segmentene AT og SC halveringslinjer. AB = CD, BC = AD, ABAD = ABCD, ABC = ADC, AO = OC, BO = OD. Tegn på et parallellogram. BC||AD, BC = AD ? ABCD er et parallellogram. Hvis diagonalene til en firkant skjærer hverandre og deles i to av skjæringspunktet, så er denne firkanten et parallellogram (fig. 98). AO = OS, VO = OD? ABCD er et parallellogram. Egenskaper til et rektangel. Rektangelskilt. Egenskaper til en rombe. AC? BD, AABD = ADBC = ACDB = ABDA, ABAC = ACAD = ABCA = ADCA. Diamantskilt. Egenskaper til et kvadrat. Firkantet skilt. Egenskapen til midtlinjen til en trapes. Ris. 101. Hvis en sirkel kan skrives inn i en firkant, er summen av dens motsatte sider like (fig. 103). Ris. 103. Hvis to sekanter trekkes fra punkt S til en sirkel, som skjærer sirkelen ved henholdsvis punktene A, B og C, D, så AS ? BS = CS? DS (fig. 105). Antall?. Ris. 106. Teorem om skalarproduktet til vektorer. Ris. 108. Ris. 109. Hvor a, b, c er sidene i trekanten; – semiperimeter av en trekant. Ris. 110. For firkanter: Hvor a, b er lengdene til basene; Arealet av et parallellogram med sidene a, b og vinkel? mellom dem beregnes ved formelen S = ab sin?. Du kan også bruke formelen: Hvor d1, d2 er lengdene på diagonalene, ? – vinkelen mellom dem (eller S = aha, der ha er høyden). For en vanlig n-gon: (R og r er radiene til de omskrevne og innskrevne sirklene, аn er lengden på siden av en vanlig n-gon). Ris. 112. Og 1\2R2?, hvis? uttrykt i radianer. Ligning av linje AB: Reduseres enkelt til formen ax + med + c = 0, hvor vektoren n = (a, b) er vinkelrett på linjen. Avstanden mellom parallelle linjer ax + by + c1 = 0 og ax + by + c2 = 0 er Vinkelen mellom linjene a1x + Blу + c1 = 0 og a2x + b2y + c2 = 0 beregnes med formelen: Likning av en sirkel med sentrum i punktet O(x0, y0) og radius R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2. 1. a) Hvilken egenskap ved vertikale vinkler kjenner du til? (1) Hvor? – vinkel mellom vektorer. Lik 2R, der R er radiusen til sirkelen omskrevet rundt trekanten. (1) Hvor a, b, c er lengdene på sidene i trekanten; Teoremer og generell informasjon
JEG.
Geometri II.
Planimetri uten formler.
De to vinklene kalles ved siden av, hvis de har en side til felles, og de to andre sidene av disse vinklene er ekstra halvlinjer.
1. Summen av tilstøtende vinkler er 180 °
. De to vinklene kalles vertikal, hvis sidene til en vinkel er komplementære halvlinjer av sidene til den andre. 2.
Vertikale vinkler er like. Vinkel lik 90 °
, kalt rett vinkel. Linjer som skjærer hverandre i rette vinkler kalles vinkelrett. 3.
Gjennom hvert punkt på en rett linje er det mulig å tegne bare en vinkelrett rett linje. Vinkel mindre enn 90 °
, kalt skarp. Vinkel større enn 90 °
, kalt dum. 4.
Tegn på likhet av trekanter. -
på to sider og vinkelen mellom dem; -
langs siden og to tilstøtende hjørner; -
på tre sider. Trekanten kalles likebent, hvis de to sidene er like. Median av en trekant er segmentet som forbinder trekantens toppunkt med midten av motsatt side. Bisector En trekant er et rett linjestykke mellom et toppunkt og skjæringspunktet med den motsatte siden, som halverer vinkelen. Høyde av en trekant er et vinkelrett segment tegnet fra toppunktet av trekanten til motsatt side, eller til dens fortsettelse. Trekanten kalles rektangulær hvis den har rett vinkel. I en rettvinklet trekant kalles siden motsatt den rette vinkelen hypotenusen. De resterende to sidene kalles bena.
5. Egenskaper til sidene og vinklene til en rettvinklet trekant: -
vinkler motsatt av bena er spisse; -
hypotenusen er større enn noen av bena; -
summen av bena er større enn hypotenusen. 6.
Tegn på likhet i rette trekanter: -
langs benet og spiss vinkel; -
på to ben; -
langs hypotenusen og benet; -
langs hypotenusen og spiss vinkel. 7.
Egenskaper til en likebenet trekant: -
i en likebenet trekant er vinklene ved basen like; -
hvis to vinkler i en trekant er like, så er den likebenet; I en likebenet trekant er medianen trukket til basen halveringslinjen og høyden; -
Hvis medianen og halveringslinjen (eller høyden og halveringslinjen, eller medianen og høyden) trukket fra et hvilket som helst toppunkt i en trekant faller sammen, så er en slik trekant likebenet. 8. I en trekant ligger den største vinkelen motsatt den større siden, og den større siden ligger motsatt den større vinkelen. 9. (Trekantulikhet). Hver trekant har en sum av to sider større enn den tredje siden. Utvendig hjørne av en trekant ABC ved toppunkt A er vinkelen ved siden av vinkelen til trekanten ved toppunkt A. 10. Summen av indre vinkler i en trekant: Summen av to vinkler i en trekant er mindre enn 180 °
; Hver trekant har to spisse vinkler; En ytre vinkel til en trekant er større enn en hvilken som helst indre vinkel som ikke er ved siden av den; Summen av vinklene i en trekant er 180 °
; En ytre vinkel til en trekant er lik summen av to andre vinkler som ikke er ved siden av den. Summen av de spisse vinklene til en rettvinklet trekant er 90 °
. Segmentet som forbinder midtpunktene til sidesidene av en trekant kalles midtlinjen i trekanten.
11. Midtlinjen i en trekant har den egenskapen at den er parallell med trekantens grunnflate og lik halvparten av den. 12. Lengden på den brutte linjen er ikke mindre enn lengden på segmentet som forbinder endene. 13. Egenskaper til den vinkelrette halveringslinjen til et segment: Et punkt som ligger på den vinkelrette halveringslinjen er like langt fra endene av segmentet; Ethvert punkt like langt fra endene av et segment ligger på den vinkelrette halveringslinjen. 14. Egenskaper til en vinkelhalveringslinje: Ethvert punkt som ligger på halveringslinjen til en vinkel er like langt fra sidene av vinkelen; Ethvert punkt like langt fra sidene av en vinkel ligger på halveringslinjen til vinkelen. 15. Eksistensen av en omsirkel av en trekant: Alle tre vinkelrette halveringslinjer i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, og dette punktet er sentrum av den omskrevne sirkelen. Den omskrevne sirkelen til en trekant eksisterer alltid og er unik; Omkretsen av en rettvinklet trekant er midtpunktet til hypotenusen. 16. Eksistensen av en sirkel innskrevet i en trekant: Alle tre halveringslinjer i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, og dette punktet er midten av sirkelen. En sirkel innskrevet i en trekant eksisterer alltid og er unik. 17. Tegn på parallelle linjer. Teoremer om parallellitet og perpendikularitet av linjer: To linjer parallelle med en tredje er parallelle; Hvis, når to rette linjer skjærer en tredje, er de indre (ytre) tverrvinklene like, eller de indre (ytre) ensidige vinklene summerer seg til 180 °
, da er disse linjene parallelle; Hvis parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de indre og ytre vinklene som ligger på tvers like, og den indre og utvendig ensidig vinkler utgjør 180 °
; To linjer vinkelrett på samme linje er parallelle; En linje vinkelrett på en av to parallelle linjer er også vinkelrett på den andre. Sirkel– settet med alle punkter i planet like langt fra ett punkt. Akkord– et segment som forbinder to punkter på en sirkel. Diameter– en akkord som går gjennom midten. Tangent– en rett linje som har ett felles punkt med en sirkel. Sentral vinkel– en vinkel med toppunktet i sentrum av sirkelen. Innskrevet vinkel– en vinkel med et toppunkt på en sirkel hvis sider krysser sirkelen. 18. Teoremer relatert til sirkelen: Radiusen tegnet til tangentpunktet er vinkelrett på tangenten; Diameteren som går gjennom midten av akkorden er vinkelrett på den; Kvadraten på lengden på tangenten er lik produktet av lengden på sekanten og dens ytre del; Sentralvinkelen måles ved gradmålet til buen den hviler på; En innskrevet vinkel måles med halve buen den hviler på, eller komplementet til halvparten til 180 °
; Tangenter trukket til en sirkel fra ett punkt er like; Produktet av en sekant og dens ytre del er en konstant verdi; Parallelogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par. 19. Tegn på et parallellogram. Egenskaper til et parallellogram: Motstående sider er like; Motstående vinkler er like; Diagonalene til et parallellogram er halvert av skjæringspunktet; Summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sidene; Hvis motsatte sider i en konveks firkant er like, så er en slik firkant et parallellogram; Hvis motsatte vinkler i en konveks firkant er like, så er en slik firkant et parallellogram; Hvis diagonalene i en konveks firkant er halvert av skjæringspunktet, så er en slik firkant et parallellogram; Midtpunktene på sidene til en hvilken som helst firkant er toppunktene til parallellogrammet. Et parallellogram der alle sider er like kalles diamant 20. Ytterligere egenskaper og egenskaper til en rombe: Diagonalene til en rombe er innbyrdes perpendikulære; Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til dens indre vinkler; Hvis diagonalene til et parallellogram er innbyrdes perpendikulære, eller er halveringslinjer for de tilsvarende vinklene, så er dette parallellogrammet en rombe. Et parallellogram hvis vinkler er alle rette vinkler kalles rektangel. 21. Ytterligere egenskaper og egenskaper ved et rektangel: Diagonalene til et rektangel er like; Hvis diagonalene til et parallellogram er like, så er et slikt parallellogram et rektangel; Midtpunktene på sidene av rektangelet er toppunktene til romben; Midtpunktene på sidene til en rombe er hjørnene til rektangelet. Et rektangel med alle sider like kalles torget. 22. Ytterligere egenskaper og egenskaper ved en firkant: Diagonalene til et kvadrat er like og vinkelrett; Hvis diagonalene til en firkant er like og vinkelrette, så er firkanten en firkant. En firkant hvis to sider er parallelle kalles trapes. Segmentet som forbinder midtpunktene til sidesidene av en trapes kalles midtlinje av trapes.
23.
Trapesegenskaper: -
i en likebenet trapes er vinklene ved basen like; -
Segmentet som forbinder midtpunktene til diagonalene til trapeset er lik halvparten av forskjellen mellom basene til trapeset. 24. Midtlinjen til en trapes har den egenskapen at den er parallell med basene til trapesen og lik deres halvsum. 25. Tegn likheter trekanter: På to hjørner; På to proporsjonale sider og vinkelen mellom dem; På tre proporsjonale sider. 26. Tegn på likhet med rette trekanter: På en spiss vinkel; I henhold til proporsjonale ben; Av proporsjonal ben og hypotenuse. 27. Relasjoner i polygoner: Alle vanlige polygoner ligner hverandre; Summen av vinklene til en konveks polygon er 180 °
(n-2); Summen av de ytre vinklene til en konveks polygon, tatt en ved hvert toppunkt, er 360 °
. Omkretsen til lignende polygoner er relatert som de er lignende sider, og dette forholdet er lik likhetskoeffisienten; Arealene til lignende polygoner er relatert som kvadratene på deres like sider, og dette forholdet er lik kvadratet av likhetskoeffisienten; De viktigste teoremene innen planimetri: 28. Thales' teorem. Hvis parallelle linjer som skjærer sidene av en vinkel avskjærer like segmenter på den ene siden, så skjærer disse linjene også av like segmenter på den andre siden. 29. Pythagoras teorem. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:. 30. Kosinussetning. I en hvilken som helst trekant er kvadratet på en side lik summen av kvadratene til de to andre sidene uten deres doble produkt med cosinus til vinkelen mellom dem: . 31. Sinussetning. Sidene i en trekant er proporsjonale med sinusene til motsatte vinkler: 32. Tre medianer av en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver median i forholdet 2:1, regnet fra trekantens toppunkt. 33. Tre linjer som inneholder høydene til en trekant, skjærer hverandre i ett punkt. 34. Arealet til et parallellogram er lik produktet av en av sidene og høyden senket til denne siden (eller produktet av sidene og sinusen til vinkelen mellom dem). 35. Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av en side og høyden falt til denne siden (eller halvparten av produktet av sidene og sinusen til vinkelen mellom dem). 36. Arealet til en trapes er lik produktet av halvparten av summen av basene og høyden. 37. Arealet til en rombe er lik halvparten av produktet av diagonalene. 38. Arealet til en hvilken som helst firkant er lik halvparten av produktet av diagonalene og sinusen til vinkelen mellom dem. 39. En halveringslinje deler en side av en trekant i segmenter proporsjonale med de to andre sidene. 40. I en rettvinklet trekant deler medianen trukket til hypotenusen trekanten i to like trekanter. 41. Arealet til en likebenet trapes hvis diagonaler er innbyrdes perpendikulære er lik kvadratet på høyden: . 42. Summen av de motsatte vinklene til en firkant innskrevet i en sirkel er 180 °
. 43. En firkant kan beskrives rundt en sirkel hvis summen av lengdene på motsatte sider er like. III.Grunnleggende formler for planimetri. 1.
Vilkårlig trekant.- fra siden; - vinkler motsatte av dem; - semi-perimeter; - radius av den omskrevne sirkelen; - radius av den innskrevne sirkelen; - torget; - høyde trukket til siden: Løse skrå trekanter: Cosinus teorem:. Sinussetning: Lengden på medianen til en trekant uttrykkes med formelen: Lengden på siden av en trekant gjennom medianene uttrykkes med formelen: Lengden på halveringslinjen til en trekant uttrykkes med formelen: Høyre trekant.- til atheta; - hypotenuse; - projeksjoner av bena på hypotenusen: Pythagoras teorem:. Løse rette trekanter: 2.
Likesidet trekant: 3.
Enhver konveks firkant: - diagonaler; - vinkelen mellom dem; - torget. 4.
Parallelogram: - tilstøtende sider; - vinkelen mellom dem; - høyde trukket til siden; - torget. 5.
Rombe: 6.
Rektangel: 7.
Torget: 8.
Trapes:- eiendom; - høyde eller avstand mellom dem; - midtlinje av trapes.
9.
Omskrevet polygon(- semi-perimeter; - radius av innskrevet sirkel):
10.
Vanlig polygon(- siden av høyre -
torget; - radius av den omskrevne sirkelen; - radius av den innskrevne sirkelen):
11.
Omkrets, sirkel(- radius; - omkrets; - arealet av en sirkel): 12.
Sektor(- lengden på buen som begrenser sektoren; - gradmål for sentralvinkelen; - radianmål for sentralvinkelen): Oppgave 1.Arealet av en trekant ABC er lik 30 cm 2. På siden AC tas ved punkt D slik at AD : DC =2:3. Vinkelrett lengdeDE holdt til BC-siden, er lik 9 cm Finn B.C. AD: DC=2:3,
hvor Oppgave 2.I en likebenet trekant er høydene trukket til basen og til siden henholdsvis 10 og 12 cm. Finn lengden på basen. Til å begynne med, la oss indikere flere grunnleggende egenskaper for ulike typer vinkler: La oss nå gå videre til egenskapene til en trekant. La det være en vilkårlig trekant: Deretter, summen av trekantvinkler: Husk også det summen av to sider i en trekant er alltid større enn den tredje siden. Arealet av en trekant målt av to sider og vinkelen mellom dem: Arealet av en trekant gjennom en side og høyden falt på den: Halvomkretsen av en trekant er funnet ved følgende formel: Herons formel for arealet av en trekant: Arealet av en trekant i form av omkretsradius: Medianformel (median er en linje trukket gjennom et bestemt toppunkt og midten av motsatt side i en trekant): Egenskaper til medianer: Egenskapen til en halveringslinje (en halveringslinje er en linje som deler en viss vinkel i to like vinkler, dvs. i to): Det er viktig å vite: Sentrum av den innskrevne sirkelen i en trekant ligger i skjæringspunktet mellom halveringslinjen(alle tre halveringslinjer skjærer hverandre på dette ene punktet). Bisektorformler: Hovedegenskapen til høydene til en trekant (høyden i en trekant er en linje som går gjennom et hjørne av trekanten vinkelrett på motsatt side): Alle tre høydene i en trekant skjærer hverandre på ett punkt. Posisjonen til skjæringspunktet bestemmes av typen trekant: En annen nyttig egenskap ved trekanthøyder: Cosinus teorem: Teorem for sinus: Sentrum av den omskrevne sirkelen til en trekant ligger i skjæringspunktet mellom de perpendikulære halveringslinjene. Alle tre vinkelrette halveringslinjer skjærer hverandre på dette ene punktet. Halvlinje vinkelrett er en linje trukket gjennom midten av en side av en trekant vinkelrett på den. Radius av en sirkel innskrevet i en vanlig trekant: Radius av en sirkel omskrevet om en likesidet trekant: Arealet av en vanlig trekant: Pythagoras teorem for en rettvinklet trekant ( c- hypotenusen, en Og b- ben): Radius av en sirkel innskrevet i en rettvinklet trekant: Radius av en sirkel omskrevet rundt en rettvinklet trekant: Arealet av en rettvinklet trekant ( h- høyde senket til hypotenusen): Egenskaper for høyden senket til hypotenusen til en rettvinklet trekant: Lignende trekanter- trekanter der vinklene er henholdsvis like, og sidene til den ene er proporsjonale med de like sidene til den andre. I lignende trekanter er de tilsvarende linjene (høyder, medianer, halveringslinjer, etc.) proporsjonale. Likheter like trekanter - sider motsatt like vinkler. Likhetskoeffisient- Antall k, lik forholdet mellom like sider av like trekanter. Forholdet mellom omkretsene til like trekanter er lik likhetskoeffisienten. Forholdet mellom lengdene av halveringslinjer, medianer, høyder og perpendikulære halveringslinjer er lik likhetskoeffisienten. Forholdet mellom arealene til like trekanter er lik kvadratet på likhetskoeffisienten. Tegn på likhet mellom trekanter: Trapes- en firkant med nøyaktig ett par motsatte sider parallelle. Trapes midtlinjelengde: Trapesområde: Noen egenskaper til trapeser: Parallelogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par, det vil si at de ligger på parallelle linjer. Arealet til et parallellogram gjennom en side og høyden senket på den: Arealet av et parallellogram gjennom to sider og vinkelen mellom dem: Noen egenskaper til et parallellogram: Torget- en firkant der alle sider er like og alle vinkler er lik 90 grader. Arealet til en firkant i form av lengden på siden: Arealet til en firkant i form av lengden på diagonalen: Egenskaper til et kvadrat- dette er alle egenskapene til et parallellogram, rombe og rektangel på samme tid. Rombe er et parallellogram der alle sider er like. Arealet av en rombe (den første formelen er gjennom to diagonaler, den andre er gjennom lengden på siden og vinkelen mellom sidene): Egenskaper til en rombe: Rektangel er et parallellogram der alle vinkler er rette vinkler (lik 90 grader). Arealet av et rektangel gjennom to tilstøtende sider: Rektangelegenskaper: Arealet av en vilkårlig konveks firkant gjennom to diagonaler og vinkelen mellom dem: Forholdet mellom området til en vilkårlig figur, dens halvomkrets og radiusen til den innskrevne sirkelen(selvfølgelig er formelen bare gyldig for figurer som en sirkel kan skrives inn i, dvs. inkludert for eventuelle trekanter): Generalisert Thales' teorem: Parallelle linjer avskjærer proporsjonale segmenter ved sekanter. Summen av vinkler n-gon: Sentral vinkel på riktig n-gon: Firkantet riktig n-gon: Teorem om proporsjonale akkordsegmenter: Tangent- og sekantteorem: Teorem om to sekanter: Sentral og innskrevet vinkelteorem(størrelsen på den sentrale vinkelen er to ganger størrelsen på den innskrevne vinkelen hvis de hviler på en felles bue): Egenskapen til innskrevne vinkler (alle innskrevne vinkler basert på en felles bue er lik hverandre): Egenskaper til sentrale vinkler og akkorder: Egenskaper til sentrale vinkler og sekanter: Omkrets: Sirkulær buelengde: Arealet av en sirkel: Sektorområde: Ringområde: Arealet av et sirkulært segment: Vellykket, flittig og ansvarlig implementering av disse tre punktene vil tillate deg å vise et utmerket resultat på CT, det maksimale av hva du er i stand til. Hvis du tror du har funnet en feil i opplæringsmateriellet, vennligst skriv om det på e-post. Du kan også rapportere en feil på det sosiale nettverket (). I brevet angir du emnet (fysikk eller matematikk), navnet eller nummeret på emnet eller testen, nummeret på oppgaven eller stedet i teksten (siden) der det etter din mening er en feil. Beskriv også hva den mistenkte feilen er. Brevet ditt vil ikke gå upåaktet hen, feilen vil enten bli rettet, eller du får forklart hvorfor det ikke er en feil.
.
Bibliografisk lenke
Khvorov I.I. LITEN KJENTE TEOREMER OM PLANIMETRI // Vitenskapelig bulletin for internasjonal skole. – 2018. – nr. 3-2. – s. 184-188;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=544 (dato for tilgang: 01/02/2020). Matematikklærer om egenskapene til geometriske former
Hvis en halveringslinje b, en median m og en høyde h er trukket fra ett toppunkt i en trekant, vil halveringslinjen ligge mellom to andre segmenter, og lengdene til alle segmentene følger den doble ulikheten.
I en vilkårlig trekant er avstanden fra noen av hjørnene til dens ortosenter (høydeskjæringspunktet) 2 ganger større enn avstanden fra sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten til siden motsatt dette toppunktet. For å bevise dette kan du tegne rette linjer gjennom hjørnene til trekanten parallelt med høydene. Bruk deretter likheten til den originale og resulterende trekanten.
Skjæringspunktet for medianene M av en hvilken som helst trekant (dens tyngdepunkt) sammen med ortosenteret til trekanten H og midten av den omskrevne sirkelen (punkt O) ligger på samme prima, og . Dette følger av forrige eiendom og av egenskapen til skjæringspunktet for medianer.
Forlengelsen av den felles akkorden til to kryssende sirkler deler segmentet av deres felles tangent i to like deler. Denne egenskapen er sann uavhengig av arten av dette skjæringspunktet (det vil si plasseringen av sentrene til sirklene). For å bevise dette kan du bruke egenskapen til kvadratet til et tangentsegment.
Hvis en trekant inneholder en halveringslinje av vinkelen, er kvadratet lik forskjellen mellom produktene av sidene av vinkelen og segmentene som halveringslinjen deler den motsatte siden.
Kjenner du til situasjonen når høyden fra toppen av en rett vinkel trekkes til hypotenusen? Helt sikkert. Visste du at alle de resulterende trekantene er like? Det vet du sikkert. Da vet du sannsynligvis ikke at noen tilsvarende elementer i disse trekantene danner en likhet som gjentar Pythagoras teorem, det vil si for eksempel , hvor og er radiene til innskrevne sirkler i små trekanter, og er radiusen til en sirkel innskrevet i en stor trekant.
Hvis du kommer over en vilkårlig firkant med alle kjente sider a, b, c og d, kan arealet enkelt beregnes ved å bruke en formel som minner om Herons formel:
, hvor x er summen av to motsatte vinkler til en firkant. Hvis en gitt firkant er innskrevet i en sirkel, tar formelen formen:
og kalles Brahmaguptas formel
Hvis firkanten din er omskrevet om en sirkel (det vil si at sirkelen er innskrevet i den), beregnes arealet av firkanten ved hjelp av formelen 
I denne delen er formuleringene til teoremene gitt i henhold til læreboken av A. V. Pogorelov "Geometry. 7–9 klassetrinn."Grunnleggende teoremer om planimetri og konsekvenser fra dem
1. Teoremer om linjer (parallelisme og perpendikularitet på planet)
Egenskaper til parallelle linjer.
To linjer parallelle med en tredje er parallelle (fig. 57).
(a||c, b||c) ? a||b.
a||b ? ? = ?
? + ? = 180°. 
Hvis, når to rette linjer skjærer en tredje, de skjærende indre vinklene som dannes er like, så er de rette linjene parallelle (fig. 59):
Er indre vinkler som ligger over hverandre like? a||b. 
a||b. 
a||b. 
Fra ethvert punkt som ikke ligger på en gitt linje, kan du senke en vinkelrett på denne linjen, og bare en (fig. 63). 
To linjer vinkelrett på den tredje er parallelle (fig. 64).
(a? c, b? c) ? a||b. 
(a? b, b||c) ? EN? Med. 
2 Teoremer om vinkler. Vinkler i en trekant. Vinkler innskrevet i en sirkel
Egenskapen til vertikale vinkler.
Vertikale vinkler er like (fig. 66):
? = ?.
AB = BC? A = C. 
Summen av de indre vinklene i en trekant er 180° (fig. 68):
? + ? + ? = 180°. 
Summen av vinklene til en konveks n-gon er 180°?(n – 2) (fig. 69). 
Den ytre vinkelen til en trekant er lik summen av to indre vinkler som ikke er ved siden av den (fig. 70):
? = ? + ?.
En vinkel innskrevet i en sirkel er lik halvparten av den tilsvarende midtvinkelen q (fig. 71): 
3. Grunnsetninger om trekanter
Tegn på likhet av trekanter. Hvis to sider og vinkelen mellom dem i en trekant er lik henholdsvis to sider og vinkelen mellom dem i en annen trekant, så er slike trekanter kongruente (fig. 72). 
Hvis siden og tilstøtende vinkler til en trekant er lik henholdsvis siden og tilstøtende vinkler til en annen trekant, så er slike trekanter kongruente (fig. 73). 
Hvis hypotenusen og benet til en trekant er henholdsvis lik hypotenusen og benet til en annen trekant, så er slike trekanter kongruente (fig. 75). 
Hvis hypotenusen og den spisse vinkelen til en trekant er henholdsvis lik hypotenusen og den spisse vinkelen til en annen trekant, så er slike trekanter kongruente (fig. 76). 
I en likebenet trekant er medianen trukket til basen halveringslinjen og høyden (fig. 77). 
Trekantens midtlinje, som forbinder midtpunktene til disse to sidene, er parallell med den tredje siden og lik dens halvdel (fig. 78). 
Sidene i trekanten er proporsjonale med sinusene til de motsatte vinklene (fig. 79). 
Cosinus teorem.
Kvadraten til en hvilken som helst side av en trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene uten to ganger produktet av disse sidene med cosinus til vinkelen mellom dem (fig. 80). 
Pythagoras teorem (et spesialtilfelle av cosinussetningen).
I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena (fig. 81). 
4. Proporsjonalitet og likhet på et fly
Thales sin teorem.
Hvis parallelle linjer som skjærer sidene av en vinkel avskjærer like segmenter på den ene siden, så avskjærer de like segmenter på den andre siden (fig. 82). 
a, b, c – rette linjer som skjærer sidene av vinkelen.
Parallelle rette linjer som skjærer sidene av en vinkel, avskjærer proporsjonale segmenter fra sidene av vinkelen (fig. 83). 
Egenskapen til halveringslinjen til en trekant.
Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler siden overfor den i segmenter proporsjonale med de to andre sidene (fig. 84). 
Tegn på likhet av trekanter.
Hvis to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant, er slike trekanter like (fig. 85). 
Hvis to sider av en trekant er proporsjonale med to sider av en annen trekant, og vinklene som dannes av disse sidene er like, så er trekantene like (fig. 86). 
Hvis sidene til en trekant er proporsjonale med sidene til en annen trekant, så er slike trekanter like (fig. 87). 
5. Grunnleggende geometriske ulikheter
Forholdet mellom lengdene på skrå og vinkelrett.
Hvis en perpendikulær og skrå linje trekkes til en rett linje fra ett punkt, så er enhver skråning større enn den perpendikulære, like skråninger har like projeksjoner, og av to skråninger er den med den største projeksjonen større (fig. 88):
AA"< АВ < АС; если А"С >A"B, deretter AC > AB. 
Uansett de tre punktene, er avstanden mellom to av disse punktene ikke større enn summen av avstandene fra dem til det tredje punktet. Det følger at i enhver trekant er hver side mindre enn summen av de to andre sidene (fig. 89):
AC< АВ + ВС.
I en trekant ligger den større siden motsatt den større vinkelen, og den større vinkelen ligger motsatt den større siden (fig. 90).
(B.C.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).
6. Grunnleggende geometriske plasseringer av punkter på planet
Den geometriske plasseringen av punktene i planet like langt fra sidene av vinkelen vil være halveringslinjen til den gitte vinkelen (fig. 91). 
Det geometriske stedet for punkter like langt fra to gitte punkter vil være en rett linje vinkelrett på segmentet som forbinder disse punktene og går gjennom midten (fig. 92). 
Det geometriske stedet for planpunkter like langt fra et gitt punkt vil være en sirkel med et senter på dette punktet (fig. 93). 
Sentrum av en sirkel omskrevet rundt en trekant er skjæringspunktet for perpendikulærer til sidene av trekanten tegnet gjennom midtpunktene til disse sidene (fig. 94). 
AM = MV og AK = KS.
Punktene M og K er grunnflatene til perpendikulærene til henholdsvis sidene AB og AC.
Sentrum av en sirkel innskrevet i en trekant er skjæringspunktet for halveringslinjene (fig. 95). 
7. Teoremer om firkanter
Egenskaper til et parallellogram.
Et parallellogram har motsatte sider som er like. I et parallellogram er motsatte vinkler like.
Parallellogrammets diagonaler skjærer hverandre og er delt i to i skjæringspunktet (fig. 96). 
Hvis en firkant har to sider parallelle og like, så er det et parallellogram (fig. 97). 
Et rektangel har alle egenskapene til et parallellogram (et rektangel har motsatte sider like; et rektangel har motsatte vinkler like (90°); diagonalene til et rektangel skjærer hverandre og er halvert av skjæringspunktet).
Diagonalene til rektangelet er like (fig. 99):
AC = BD. 
Hvis et parallellogram har alle like vinkler, er det et rektangel.
En rombe er preget av alle egenskapene til et parallellogram (en rombe har motsatte sider like - generelt er alle sider like per definisjon; en rombe har motsatte vinkler like; diagonalene til en rombe skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet punkt).
Diagonalene til en rombe skjærer hverandre i rette vinkler.
Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til vinklene (fig. 100). 
Hvis et parallellogram har vinkelrette diagonaler, er det en rombe.
Et kvadrat har egenskapene til et rektangel og en rombe.
Hvis diagonalene til et rektangel skjærer hverandre i rette vinkler, er det et kvadrat.
Midtlinjen til trapesen er parallell med basene og lik deres halvsum (fig. 101). 
Kriterier for innskrevne og omskrevne firkanter.
Hvis en sirkel kan beskrives rundt en firkant, er summen av dens motsatte vinkler lik 180° (fig. 102).
A + AC = AB + AD = 180°. 
AB + CD = AD + BC. 
8. Sirkelteoremer
Egenskapen til akkorder og sekanter.
Hvis akkordene AB og CD i en sirkel skjærer hverandre i punktet S, da AS? BS = CS? DS (fig. 104). 
Forholdet mellom omkretsen til en sirkel og dens diameter avhenger ikke av sirkelens radius, det vil si at den er den samme for alle to sirkler. Er dette tallet likt? (Fig. 106). 
9. Vektorer
Teorem om dekomponering av en vektor med hensyn til en basis.
Hvis to ikke-kollineære vektorer a og b og en hvilken som helst annen vektor c er gitt på planet, så er det unike tall n og m slik at c = na + mb (fig. 107).
Hvor 
Skalarproduktet til vektorer er lik produktet av deres absolutte q-verdier (lengder) med cosinus til vinkelen mellom dem (fig. 108).
OA? OB = OA? O.B.? fordi?. 
Grunnleggende planimetriformler
For en trekant (fig. 109): 
?, ?, ? – motstående vinkler;
r og R er radiene til de innskrevne og omskrevne sirklene;
ha, ma, la – høyde, median og halveringslinje trukket til side a;
S - området av trekanten; 
Medianene i en trekant er delt med skjæringspunktet i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet (fig. 110). 
h – høyden på trapesen.
For en vilkårlig konveks firkant (fig. 111): 
For en sirkel og en sirkel (fig. 112): 
Ssegment = Ssector – Triangel.Analytiske planimetriformler
Hvis punktene A(x1; y1) og B(x2; y2) er gitt, da 
Avstanden fra punkt A(x1; y1) til den rette linjen ax + by + c = 0 er 
3.2. Selvtest spørsmål
2. a) Formuler et kriterium for likestilling av trekanter langs to sider og vinkelen mellom dem. (1)
3. a) Formuler et kriterium for likestilling av trekanter langs en side og to vinkler. (1)
b) Bevis dette tegnet. (1)
4. a) List opp hovedegenskapene til en likebenet trekant. (1)
c) Bevis testen for en likebenet trekant. (1)
5. a) Formuler et kriterium for likestilling av trekanter på tre sider. (1)
b) Bevis dette tegnet. (1)
6. Bevis at to linjer parallelle med en tredje er parallelle. (2)
7. a) Formuler tegnene på parallellitet til linjer. (1)
c) Bevis de omvendte teoremene. (1)
8. Bevis teoremet om summen av vinklene til en trekant. (1)
9. Bevis at en ytre vinkel i en trekant er lik summen av to indre vinkler som ikke er ved siden av den. (1)
10. a) Formuler kriteriene for likestilling av rette trekanter. (1)
b) Bevis kriteriene for likheten mellom rettvinklede trekanter langs hypotenusen og benet; langs hypotenusen og spiss vinkel. (1)
11. a) Bevis at fra et punkt som ikke ligger på en gitt linje, kan en enkelt perpendikulær slippes på denne linjen. (1)
b) Bevis at gjennom et punkt som ligger på en gitt linje er det mulig å tegne en unik linje vinkelrett på den gitte. (1)
12. a) Hvor er midten av trekantens omskrevne sirkel? (1)
13. a) Hvor er sentrum av den innskrevne sirkelen i trekanten? (1)
b) Bevis tilsvarende teorem. (1)
14. Bevis egenskapen til en tangent til en sirkel. (1)
15. a) Hvilke egenskaper ved et parallellogram kjenner du til? (1)
b) Bevis disse egenskapene. (1)
16. a) Hvilke tegn på et parallellogram kjenner du? (1)
b) Bevis disse tegnene. (1)
17. a) Hvilke egenskaper og egenskaper ved et rektangel kjenner du til? (1)
18. a) Hvilke egenskaper og tegn på en rombe kjenner du til? (1)
b) Bevis disse egenskapene og tegnene. (1)
19. a) Hvilke egenskaper og tegn ved en firkant kjenner du til? (1)
b) Bevis disse egenskapene og tegnene. (1)
20. a) Angi Thales’ teorem. (1)
b) Bevis dette teoremet. (1)
21. a) Formuler den generaliserte Thales-setningen (setning om proporsjonale segmenter). (1)
b) Bevis dette teoremet. (2)
22. a) Hvilke egenskaper ved midtlinjen i en trekant kjenner du til? (1)
b) Bevis disse egenskapene. (1)
23. a) Hvilke egenskaper kjenner du til midtlinjen til en trapes? (1)
b) Bevis disse egenskapene. (1)
24. a) Angi Pythagoras teorem. (1)
b) Bevis Pythagoras teorem. (1)
c) Formuler og bevis det omvendte teoremet. (2)
25. Bevis at enhver skrå er større enn perpendikulæren, og at av to skråninger er den med større projeksjon større. (1)
26. a) Formuler trekantens ulikhet. (1)
b) Bevis trekantens ulikhet. (2)
27. Koordinatene til punktene A(x1; y1) og B(x2; y2) er gitt.
a) Hvilken formel brukes for å beregne lengden på segment AB? (1)
b) Utled denne formelen. (1)
28. Utled ligningen til en sirkel med sentrum i punktet A(x0; y0) og radius R. (1)
29. Bevis at enhver linje i kartesiske koordinater x, y har en ligning på formen ax + by + c = 0. (2)
30. Skriv ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(x1; y1) og B(x2; y2). Svar: begrunn det. (2)
31. Bevis at i ligningen til en rett linje y = kx + b, er tallet k tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til x-aksen. (2)
32. a) Hvilke grunnleggende egenskaper ved bevegelser kjenner du til? (2)
b) Bevis disse egenskapene. (3)
33. Bevis at:
a) transformasjon av symmetri om et punkt er en bevegelse; (3)
b) transformasjon av symmetri om en rett linje er en bevegelse; (3)
c) parallell translasjon er bevegelse. (3)
34. Bevis teoremet om eksistensen og det unike ved parallell overføring. (3)
35. Bevis at den absolutte verdien av vektoren ka er lik |k| ? |a|, mens retningen til vektoren ka ved a? O faller sammen med retningen til vektor a hvis k > 0, og motsatt retningen til vektor a hvis k< 0. (1)
36. Bevis at enhver vektor a kan utvides til vektorene b og c (alle tre vektorene ligger på samme plan). (1)
37. Gitt vektorene a = (a1; a2) og b = (BL; b2). Bevis det 
38. a) Hvilke egenskaper kjenner du til skalarproduktet til vektorer? (1)
b) Bevis disse egenskapene. (2)
39. Bevis at homoteti er en likhetstransformasjon. (1)
40. a) Hvilke egenskaper ved likhetstransformasjon kjenner du til? (1)
b) Bevis at likhetstransformasjonen bevarer vinklene mellom strålene. (2)
41. a) Formuler en test for likheten mellom trekanter i to vinkler. (1)
42. a) Formuler et kriterium for likheten til trekanter basert på to sider og vinkelen mellom dem. (1)
b) Bevis dette tegnet. (1)
43. a) Formuler et kriterium for likheten mellom trekanter på tre sider. (1)
b) Bevis dette tegnet. (2)
44. a) Oppgi egenskapen til halveringslinjen til en trekant. (1)
b) Bevis at halveringslinjen til en trekant deler den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de to andre sidene. (1)
45. a) Oppgi egenskapen til en vinkel innskrevet i en sirkel. (1)
b) Bevis denne egenskapen. (1)
46. a) Bevis at hvis akkordene AB og CD i en sirkel krysser hverandre i punktet S, så AS? BS = CS? D.S. (1)
b) Bevis at hvis to sekanter trekkes fra punkt S til en sirkel, som krysser sirkelen ved henholdsvis punktene A, B og C, D, så AS ? BS = CS? D.S. (1)
47. a) Angi cosinussetningen for en trekant. (1)
b) Bevis dette teoremet. (1)
48. a) Angi sinussetningen. (1)
b) Bevis dette teoremet. (1)
c) Bevis at i sinussetningen hver av de tre relasjonene: 
49. Bevis at i en trekant ligger den største vinkelen motsatt den større siden, og den større siden ligger motsatt den større vinkelen. (2)
50. a) Hva er summen av vinklene til en konveks n-gon? (1)
b) Utled formelen for summen av vinklene til en konveks n-gon. (1)
51. a) Bevis at en sirkel kan skrives inn i en vanlig polygon. (1)
b) Bevis at en sirkel kan omskrives rundt en vanlig polygon. (1)
52. Gitt en vanlig n-gon med side a. Utled formlene:
a) radier av innskrevne og omskrevne sirkler; (1)
b) område av n-gon; (1)
c) topvinkel. (1)
53. Bevis at forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren ikke avhenger av størrelsen på sirkelen. (3)
54. Hvordan konvertere vinkler fra grader til radianer og omvendt? (1)
55. Bevis at arealet til et rektangel er lik produktet av lengden på rektangelet og dets bredde. (3)
56. a) Hvilken formel brukes for å beregne arealet til et parallellogram? (1)
b) Utled denne formelen. (1)
57. a) Hvilken formel brukes for å beregne arealet av en trekant? (gjennom base og høyde). (1)
b) Utled denne formelen. (1)
c) Utled Herons formel. (1)
58. a) Hvilken formel brukes for å beregne arealet til en trapes? (1)
b) Utled denne formelen. (1)
59. Utled formlene: 
S - området;
R og r er radiene til de omskrevne og innskrevne sirklene. (1)
60. La F1 og F2 være to like figurer med likhetskoeffisient k. Hvordan henger områdene til disse figurene sammen? Svar: begrunn det. (1)
61. a) Hvilken formel brukes for å beregne arealet av en sirkel? (1)
b) Utled denne formelen. (3)
62. Utled formelen for arealet til en sirkulær sektor. (2)
63. Utled formelen for arealet av et sirkulært segment. (2)
64. a) Bevis at halveringslinjene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt. (2)
b) Bevis at medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt. (2)
c) Bevis at høydene til trekanten (eller deres forlengelser) skjærer hverandre i ett punkt. (2)
d) Bevis at de vinkelrette halveringslinjene til sidene av trekanten skjærer hverandre i ett punkt. (1)
65. Bevis at arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av de to sidene og sinusen til vinkelen mellom dem. (1)
66. a) Angi Cevas teorem. (3)
b) Bevis dette teoremet. (3)
67. a) Angi Menlays teorem. (3)
b) Bevis dette teoremet. (3)
c) Formuler og bevis det omvendte teoremet. (3)
68. a) Bevis at hvis sidene til en vinkel er parallelle med sidene til en annen vinkel, så er slike vinkler enten like eller 180°. (2) 
, hvor er radiusen til sirkelen omskrevet rundt denne trekanten.
.
.
.
,
.
Løsning. La oss gjennomføre BD (se fig. 1.); trekanter ABD og BDC ha felles høyde B.F. ; derfor er deres arealer relatert til lengdene på basene, dvs.:
18 cm 2.På den andre siden
, eller , hvorfra BC =4 cm Svar: BC =4 cm.
Løsning. I ABC vi har AB=
B.C.,
BD^
A.C.,
A.E.^
DC,
BD=10 cm og A.E.=12 cm (se fig. 2). La rettvinklede trekanterA.E.C.
Og BDC lignende (vinkel Cgenerell); derfor, eller 10:12=5:6. Anvender Pythagoras teorem på BDC, vi har, dvs. .
Trapes
Parallelogram
Torget
Diamant og rektangel
Frie former
Sirkel
Fant du en feil?
Laster inn...