Sideoverflateareal av en vanlig firkantet pyramide: formler og eksempelproblemer. Hvordan finne sideoverflatearealet til en pyramide Sideoverflaten til en pyramide er lik summen

er en mangefasettert figur, hvis basis er en polygon, og de resterende flatene er representert av trekanter med felles toppunkt.

Hvis basen er en firkant, kalles pyramiden firkantet, hvis en trekant – da trekantet. Høyden på pyramiden er trukket fra toppen vinkelrett på basen. Brukes også til å beregne areal apotem– høyden på sideflaten, senket fra toppen.
Formelen for arealet av sideoverflaten til en pyramide er summen av arealene til sideflatene, som er like med hverandre. Denne beregningsmetoden brukes imidlertid svært sjelden. I utgangspunktet beregnes arealet av pyramiden gjennom omkretsen av basen og apotemet:

La oss vurdere et eksempel på å beregne arealet av sideoverflaten til en pyramide.

La en pyramide gis med base ABCDE og topp F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Finn arealet av sideflaten til pyramiden.
La oss finne omkretsen. Siden alle kantene på basen er like, vil omkretsen av femkanten være lik:
Nå kan du finne sideområdet til pyramiden:

Område av en vanlig trekantet pyramide

En vanlig trekantet pyramide består av en base der det ligger en vanlig trekant og tre sideflater som er like i areal.
Formelen for det laterale overflatearealet til en vanlig trekantet pyramide kan beregnes på forskjellige måter. Du kan bruke den vanlige beregningsformelen ved å bruke omkretsen og apotem, eller du kan finne arealet av ett ansikt og multiplisere det med tre. Siden overflaten til en pyramide er en trekant, bruker vi formelen for arealet av en trekant. Det vil kreve en apotem og lengden på basen. La oss vurdere et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en vanlig trekantet pyramide.

Gitt en pyramide med apotem a = 4 cm og grunnflate b = 2 cm. Finn arealet av sideflaten til pyramiden.
Finn først arealet til en av sideflatene. I i dette tilfellet Hun vil være:
Bytt inn verdiene i formelen:
Siden i en vanlig pyramide alle sidene er like, vil arealet av sideflaten til pyramiden være lik summen av arealene til de tre flatene. Henholdsvis:

Område av en avkortet pyramide

Avkortet En pyramide er et polyeder som er dannet av en pyramide og dens tverrsnitt parallelt med basen.
Formelen for det laterale overflatearealet til en avkortet pyramide er veldig enkel. Arealet er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og apotem:

Definisjon av en pyramide

Pyramide er et polyeder, hvis basis er en polygon, og dens flater er trekanter.

Online kalkulator

Det er verdt å dvele ved definisjonen av noen komponenter i pyramiden.

Hun, som andre polyeder, har ribbeina. De konvergerer til ett punkt kalt topp pyramider. Det kan være basert på en vilkårlig polygon. Kant kalt geometrisk figur, dannet av en av sidene av basen og to nærmeste ribber. I vårt tilfelle er det en trekant. Høyde pyramiden er avstanden fra planet der basen ligger til toppen av polyederet. For en vanlig pyramide finnes det også et konsept apotemer- dette er en perpendikulær som går ned fra toppen av pyramiden til basen.

Typer pyramider

Det er 3 typer pyramider:

Rektangulær- en der en hvilken som helst kant danner en rett vinkel med basen.
Riktig- basen er en vanlig geometrisk figur, og toppunktet til selve polygonen er en projeksjon av midten av basen.
Tetraeder- en pyramide som består av trekanter. Dessuten kan hver av dem tas som grunnlag.

Formel for overflateareal av en pyramide

For å finne det totale overflatearealet til pyramiden, må du legge til arealet av sideoverflaten og arealet av basen.

Det enkleste tilfellet er tilfellet med en vanlig pyramide, så vi vil håndtere det. La oss beregne det totale overflatearealet til en slik pyramide. Det laterale overflatearealet er:

S side = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\tekst(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS side = 2 1 ⋅ l ⋅s

Ll l- apotem av pyramiden;
p s s- omkretsen av bunnen av pyramiden.

Totalt overflateareal av pyramiden:

S = S side + S hoved S=S_(\tekst(side))+S_(\tekst(hoved))S=S side + S grunnleggende

S side S_(\tekst(side)) S side - området av den laterale overflaten av pyramiden;
S hoved S_(\tekst(grunnleggende)) S grunnleggende - området av bunnen av pyramiden.

Et eksempel på å løse et problem.

Eksempel

Finn det totale arealet av en trekantet pyramide hvis apotem er 8 (cm), og ved bunnen er det en likesidet trekant med side 3 (cm)

Løsning

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

La oss finne omkretsen til basen. Siden basen er en likesidet trekant med side a a en, deretter omkretsen p s s(summen av alle sidene):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =et +et +a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Da er sideområdet til pyramiden:

S-side = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\tekst(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S side = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (se kvm.)

La oss nå finne arealet av bunnen av pyramiden, det vil si arealet av trekanten. I vårt tilfelle er trekanten likesidet og arealet kan beregnes ved hjelp av formelen:

S hoved = 3 ⋅ a 2 4 S_(\tekst(grunnleggende))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S grunnleggende = 4 3 ⋅ en 2

A a en- siden av trekanten.

Vi får:

S hoved = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(grunnleggende))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\ca.3.9S grunnleggende = 4 3 ⋅ en 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (se kvm.)

Totalt areal:

S = S side + S hoved ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\tekst(side))+S_(\tekst(hoved))\approx36+3,9=39,9S=S side + S grunnleggende ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (se kvm.)

Svar: 39,9 cm kvm.

Et annet eksempel, litt mer komplisert.

Eksempel

Basen av pyramiden er en firkant med et areal på 36 (cm2). Apotemet til et polyeder er 3 ganger siden av basen a a en. Finn det totale overflatearealet til denne figuren.

Løsning

S quad = 36 S_(\tekst(quad))=36S quad = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ en

La oss finne siden av basen, det vil si siden av firkanten. Området og sidelengden er relatert:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad = en 2
36 = a 2 36=a^2 3 6 = en 2
a = 6 a = 6 a =6

La oss finne omkretsen til bunnen av pyramiden (det vil si omkretsen av kvadratet):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =et +et +et +a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

La oss finne lengden på apotemet:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

I vårt tilfelle:

S quad = S main S_(\tekst(quad))=S_(\tekst(grunnleggende))S quad = S grunnleggende

Alt som gjenstår er å finne arealet av sideflaten. I henhold til formelen:

S-side = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\tekst(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S side = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (se kvm.)

Totalt areal:

$S=S_(\tekst(side))+S_(\tekst(hoved))=216+36=252$

Svar: 252 cm kvm.

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben AB, S- toppen.
Det er kjent at SR = 6, og sideoverflatearealet er lik 36 .
Finn lengden på segmentet B.C..

La oss lage en tegning. I en vanlig pyramide er sideflatene likebente trekanter.

Linjestykke S.R.- medianen senket til basen, og dermed høyden på sideflaten.

Det laterale overflatearealet til en vanlig trekantet pyramide er lik summen av arealene
tre like sideflater S-siden = 3 S ABS. Herfra S ABS = 36: 3 = 12- område av ansiktet.

Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden
S ABS = 0,5 AB SR. Når vi kjenner området og høyden, finner vi siden av basen AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Svar: 4

Du kan nærme deg problemet fra den andre enden. La bunnen side AB = BC = a.
Deretter området av ansiktet S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Arealet til hver av de tre ansiktene er lik 3a, arealet av de tre flatene er likt 9a.
I henhold til betingelsene for problemet er arealet av sideoverflaten av pyramiden 36.
S-siden = 9a = 36.
Herfra a = 4.

Før du studerer spørsmål om denne geometriske figuren og dens egenskaper, bør du forstå noen begreper. Når en person hører om en pyramide, ser han for seg enorme bygninger i Egypt. Slik ser de enkleste ut. Men de skjer forskjellige typer og former, noe som betyr at beregningsformelen for geometriske former vil være annerledes.

Typer figur

Pyramide - geometrisk figur, som betegner og representerer flere ansikter. I hovedsak er dette det samme polyederet, ved bunnen av det ligger en polygon, og på sidene er det trekanter som forbinder på ett punkt - toppunktet. Figuren kommer i to hovedtyper:

riktig;
avkortet.

I det første tilfellet er basen en vanlig polygon. Her er alle sideflater like mellom seg selv og selve figuren vil glede øyet til en perfeksjonist.

I det andre tilfellet er det to baser - en stor helt nederst og en liten mellom toppen, og gjentar formen til den viktigste. Med andre ord er en avkortet pyramide et polyeder med et tverrsnitt dannet parallelt med basen.

Begreper og symboler

Nøkkelord:

Vanlig (likesidet) trekant- en figur med tre like vinkler og like sider. I dette tilfellet er alle vinkler 60 grader. Figuren er den enkleste av vanlige polyedre. Hvis denne figuren ligger ved basen, vil et slikt polyeder bli kalt vanlig trekantet. Hvis basen er en firkant, vil pyramiden bli kalt en vanlig firkantet pyramide.
Vertex– det høyeste punktet der kantene møtes. Høyden på toppen er dannet av en rett linje som strekker seg fra toppen til bunnen av pyramiden.
Kant– et av polygonens plan. Det kan være i form av en trekant i tilfelle av en trekantet pyramide eller i form av en trapes for avkortet pyramide.
Seksjon – flat figur, dannet som et resultat av disseksjon. Det skal ikke forveksles med et avsnitt, siden et avsnitt også viser hva som ligger bak avsnittet.
Apotem- et segment trukket fra toppen av pyramiden til basen. Det er også høyden på ansiktet der det andre høydepunktet er plassert. Denne definisjonen gyldig bare for et vanlig polyeder. For eksempel, hvis dette ikke er en avkortet pyramide, vil ansiktet være en trekant. I dette tilfellet vil høyden på denne trekanten bli apotem.

Områdeformler

Finn det laterale overflatearealet til pyramiden enhver type kan gjøres på flere måter. Hvis figuren ikke er symmetrisk og er en polygon med forskjellige sider, er det i dette tilfellet lettere å beregne det totale overflatearealet gjennom helheten av alle overflater. Med andre ord, du må beregne arealet av hvert ansikt og legge dem sammen.

Avhengig av hvilke parametere som er kjent, kan formler for beregning av kvadrat, trapes, vilkårlig firkant osv. være nødvendig. Selve formlene i forskjellige tilfeller vil også ha forskjeller.

Når det gjelder en vanlig figur, er det mye lettere å finne området. Det er nok å vite bare noen få nøkkelparametere. I de fleste tilfeller kreves det beregninger spesifikt for slike tall. Derfor vil de tilsvarende formlene bli gitt nedenfor. Ellers ville du måtte skrive alt ut over flere sider, noe som bare ville forvirret og forvirret deg.

Grunnleggende formel for beregning Sideoverflatearealet til en vanlig pyramide vil ha følgende form:

S=½ Pa (P er omkretsen av basen, og er apotem)

La oss se på ett eksempel. Polyederet har en base med segmentene A1, A2, A3, A4, A5, og alle er lik 10 cm La apotem være lik 5 cm Først må du finne omkretsen. Siden alle fem flatene på basen er like, kan du finne det slik: P = 5 * 10 = 50 cm. Deretter bruker vi den grunnleggende formelen: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm i kvadrat.

Lateral overflate av en vanlig trekantet pyramide lettest å beregne. Formelen ser slik ut:

S =½* ab *3, der a er apotemet, b er overflaten til basen. Faktoren på tre betyr her antall flater på basen, og den første delen er arealet av sideflaten. La oss se på et eksempel. Gitt en figur med et apotem på 5 cm og en grunnkant på 8 cm Vi regner ut: S = 1/2*5*8*3=60 cm i annen.

Lateral overflate av en avkortet pyramide Det er litt vanskeligere å beregne. Formelen ser slik ut: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, hvor p_01 og p_02 er omkretsen av basene, og er apotem. La oss se på et eksempel. La oss si at for en firkantet figur er dimensjonene til sidene av basene 3 og 6 cm, og apotem er 4 cm.

Her må du først finne omkretsene til basene: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. Det gjenstår å erstatte verdiene i hovedformelen og vi får: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm i annen.

Dermed kan du finne det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide av enhver kompleksitet. Du bør være forsiktig og ikke forvirre disse beregningene med det totale arealet av hele polyederet. Og hvis du fortsatt trenger å gjøre dette, beregner du bare arealet til den største bunnen av polyederet og legg det til arealet av sideoverflaten til polyederet.

Video

Denne videoen vil hjelpe deg med å konsolidere informasjon om hvordan du finner sideoverflaten til forskjellige pyramider.

Pyramide- en av variantene av et polyeder dannet av polygoner og trekanter som ligger ved basen og er dens ansikter.

Dessuten, på toppen av pyramiden (dvs. på ett punkt) er alle ansiktene forent.

For å beregne arealet til en pyramide, er det verdt å bestemme at dens sideoverflate består av flere trekanter. Og vi kan enkelt finne deres områder ved hjelp av

ulike formler. Avhengig av hvilke data vi vet om trekantene, ser vi etter arealet deres.

Vi viser noen formler som kan brukes til å finne arealet av trekanter:

S = (a*h)/2 . I dette tilfellet vet vi høyden på trekanten h , som senkes til siden en .
S = a*b*sinβ . Her er sidene av trekanten en , b , og vinkelen mellom dem er β .
S = (r*(a + b + c))/2 . Her er sidene av trekanten a, b, c . Radiusen til en sirkel som er innskrevet i en trekant er r .
S = (a*b*c)/4*R . Radien til en omskreven sirkel rundt en trekant er R .
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Denne formelen skal bare brukes når trekanten er rettvinklet.
S = (a²*√3)/4 . Vi bruker denne formelen på en likesidet trekant.

Først etter at vi har beregnet arealene til alle trekantene som er flatene til pyramiden vår, kan vi beregne arealet av sideoverflaten. For å gjøre dette bruker vi formlene ovenfor.

For å beregne arealet av sideoverflaten til en pyramide, oppstår det ingen vanskeligheter: du må finne ut summen av arealene til alle trekanter. La oss uttrykke dette med formelen:

Sp = ΣSi

Her Si er arealet av den første trekanten, og S P - området av sideoverflaten av pyramiden.

La oss se på et eksempel. Gitt en vanlig pyramide, er sideflatene dannet av flere likesidede trekanter,

« Geometri er det kraftigste verktøyet for å skjerpe våre mentale evner».

Galileo Galilei.

og kvadratet er bunnen av pyramiden. Dessuten har kanten av pyramiden en lengde på 17 cm. La oss finne området sideoverflaten til denne pyramiden.

Vi resonnerer slik: vi vet at pyramidens flater er trekanter, de er likesidede. Vi vet også hva kantlengden på denne pyramiden er. Det følger at alle trekanter har like sider og lengden er 17 cm.

For å beregne arealet til hver av disse trekantene kan du bruke følgende formel:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Så siden vi vet at kvadratet ligger ved bunnen av pyramiden, viser det seg at vi har fire likesidede trekanter. Dette betyr at arealet av sideoverflaten til pyramiden enkelt kan beregnes ved hjelp av følgende formel: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

Svaret vårt er som følger: 500.548 cm² - dette er arealet av sideoverflaten til denne pyramiden.