I en viss vinkel a. Fra en viss vinkel. Kloss

Gutter, vi legger sjelen vår i siden. Takk for det
at du oppdager denne skjønnheten. Takk for inspirasjon og gåsehud.
Bli med oss på Facebook Og I kontakt med

Selv de mest forherdede skeptikerne tror det sansene deres forteller dem, men sansene lar seg lett lure.

En optisk illusjon er et inntrykk av et synlig objekt eller fenomen som ikke samsvarer med virkeligheten, dvs. optisk illusjon. Oversatt fra latin betyr ordet "illusjon" "feil, vrangforestilling." Dette tyder på at illusjoner lenge har blitt tolket som en slags funksjonsfeil i det visuelle systemet. Mange forskere har studert årsakene til deres forekomst.

Noen visuelle illusjoner har lenge vært vitenskapelig forklaring, andre er fortsatt et mysterium.

nettsted fortsetter å samle de kuleste optiske illusjonene. Vær forsiktig! Noen illusjoner kan forårsake rift, hodepine og desorientering i verdensrommet.

Uendelig sjokolade

Hvis du kutter en sjokoladeplate 5 ganger 5 og omorganiserer alle bitene i den viste rekkefølgen, vil en ekstra sjokoladebit dukke opp fra ingensteds. Du kan gjøre det samme med en vanlig sjokoladeplate og sørge for at dette ikke er datagrafikk, men en virkelig gåte.

Illusjon av barer

Ta en titt på disse stolpene. Avhengig av hvilken ende du ser på, vil de to trestykkene enten ligge ved siden av hverandre, eller den ene vil ligge oppå den andre.

Kube og to like kopper

Optisk illusjon skapt av Chris Westall. Det står en kopp på bordet, ved siden av er det en kube med en liten kopp. Men ved nærmere undersøkelse kan vi se at kuben faktisk er tegnet, og koppene er nøyaktig like store. En lignende effekt er merkbar bare i en viss vinkel.

Illusion "Cafe Wall"

Ta en nærmere titt på bildet. Ved første øyekast ser alle linjene ut til å være buede, men faktisk er de parallelle. Illusjonen ble oppdaget av R. Gregory på Wall Cafe i Bristol. Det er her navnet kom fra.

Illusjonen av det skjeve tårnet i Pisa

Over ser du to bilder av det skjeve tårnet i Pisa. Ved første øyekast ser tårnet til høyre ut til å lene seg mer enn tårnet til venstre, men faktisk er begge disse bildene like. Årsaken er at det visuelle systemet ser på de to bildene som en del av en enkelt scene. Derfor ser det ut til at begge fotografiene ikke er symmetriske.

Forsvinnende sirkler

Denne illusjonen kalles "Vanishing Circles". Den består av 12 lilla rosa flekker arrangert i en sirkel med et svart kors i midten. Hver flekk forsvinner i en sirkel i omtrent 0,1 sekunder, og hvis du fokuserer på det sentrale krysset, kan du få følgende effekt:
1) til å begynne med vil det se ut til at det er en grønn flekk som løper rundt
2) så vil de lilla flekkene begynne å forsvinne

Svart og hvit illusjon

Se på de fire prikkene i midten av bildet i tretti sekunder, flytt deretter blikket mot taket og blunk. Hva så du?

falmer

Dette er enkle ordoppgaver fra Unified State Exam in Mathematics 2012. Noen av dem er imidlertid ikke så enkle. For variasjon vil noen problemer løses ved å bruke Vietas teorem (se leksjonen "Vietas teorem"), andre - på en standard måte, gjennom en diskriminant.

Selvfølgelig vil ikke B12-problemer alltid reduseres til en annengradsligning. Hvor et enkelt problem oppstår lineær ligning, ingen diskriminanter eller Vietas teoremer kreves.

Oppgave. For en av de monopolistiske foretakene er avhengigheten av volumet av etterspørselen etter produkter q (enheter per måned) på prisen p (tusen rubler) gitt av formelen: q = 150 − 10p. Bestem det maksimale prisnivået p (i tusen rubler), hvor verdien av foretakets inntekter for måneden r = q · p vil være minst 440 tusen rubler.

Dette er et enkelt ordproblem. La oss erstatte etterspørselsformelen q = 150 − 10p med inntektsformelen r = q · p. Vi får: r = (150 − 10p) · s.

I henhold til betingelsen må selskapets inntekt være minst 440 tusen rubler. La oss lage og løse ligningen:

(150 − 10p) p = 440 er kvadratisk ligning;
150p − 10p 2 = 440 - åpnet parentesene;
150p − 10p 2 − 440 = 0 - samlet alt i én retning;
p 2 − 15p + 44 = 0 - delt alt på koeffisienten a = −10.

Resultatet er følgende andregradsligning. I følge Vietas teorem:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 44.

Åpenbart er røttene: p 1 = 11; p2 = 4.

Så vi har to kandidater til svaret: tallene 11 og 4. La oss gå tilbake til problemformuleringen og se på spørsmålet. Det kreves å finne maksimalt prisnivå, d.v.s. fra tallene 11 og 4, må du velge 11. Selvfølgelig kan dette problemet også løses gjennom en diskriminant - svaret vil være nøyaktig det samme.

Oppgave. For en av de monopolistiske foretakene er avhengigheten av volumet av etterspørselen etter produkter q (enheter per måned) på prisen p (tusen rubler) gitt av formelen: q = 75 − 5p. Bestem det maksimale prisnivået p (i tusen rubler), der verdien av foretakets inntekter for måneden r = q · p vil være minst 270 tusen rubler.

Problemet løses på samme måte som det forrige. Vi er interessert i inntekter lik 270. Siden bedriftens inntekter beregnes ved hjelp av formelen r = q · p, og etterspørselen beregnes ved hjelp av formelen q = 75 − 5p, la oss lage og løse ligningen:

(75 - 5p) p = 270;
75p − 5p 2 = 270;
−5p 2 + 75p − 270 = 0;
p 2 − 15p + 54 = 0.

Problemet er redusert til den reduserte andregradsligningen. I følge Vietas teorem:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 54.

Åpenbart er røttene tallene 6 og 9. Så, til en pris på 6 eller 9 tusen rubler, vil inntektene være de nødvendige 270 tusen rubler. Problemet ber deg angi makspris, dvs. 9 tusen rubler.

Oppgave. En modell av en steinkaster skyter steiner i en viss vinkel mot horisonten med en fast starthastighet. Dens utforming er slik at steinens flyvei er beskrevet av formelen y = ax 2 + bx, hvor a = −1/5000 (1/m), b = 1/10 er konstante parametere. I hvilken største avstand (i meter) fra en festningsmur 8 meter høy bør en maskin plasseres slik at steiner flyr over den?

Så, høyden er gitt av ligningen y = ax 2 + bx. For at steiner skal fly over festningsmuren, må høyden være større eller i ekstreme tilfeller lik høyden på denne muren. Således, i den indikerte ligningen er tallet y = 8 kjent - dette er høyden på veggen. De resterende tallene er angitt direkte i betingelsen, så vi lager ligningen:

8 = (−1/5000) x 2 + (1/10) x - ganske sterke koeffisienter;
40 000 = −x 2 + 500x er allerede en fullstendig fornuftig ligning;
x 2 − 500x + 40 000 = 0 - flyttet alle ledd til én side.

Vi fikk den reduserte andregradsligningen. I følge Vietas teorem:
x 1 + x 2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x 1 x 2 = 40 000 = 100 400.

Røtter: 100 og 400. Vi er interessert i den største avstanden, så vi velger den andre roten.

Oppgave. En modell av en steinkaster skyter steiner i en viss vinkel mot horisonten med en fast starthastighet. Dens utforming er slik at steinens flyvei er beskrevet av formelen y = ax 2 + bx, hvor a = −1/8000 (1/m), b = 1/10 er konstante parametere. I hvilken største avstand (i meter) fra en 15 meter høy festningsmur bør en maskin plasseres slik at steiner flyr over den?

Oppgaven er helt lik den forrige - bare tallene er forskjellige. Vi har:

15 = (−1/8000) x 2 + (1/10) x ;
120 000 = −x 2 + 800x - multipliser begge sider med 8000;
x 2 − 800x + 120 000 = 0 - samlet alle elementene på den ene siden.

Dette er en redusert kvadratisk ligning. I følge Vietas teorem:
x 1 + x 2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x 1 x 2 = 120 000 = 200 600.

Derav røttene: 200 og 600. Den største roten: 600.

Oppgave. En modell av en steinkaster skyter steiner i en viss vinkel mot horisonten med en fast starthastighet. Dens utforming er slik at steinens flyvei er beskrevet av formelen y = ax 2 + bx, hvor a = −1/22 500 (1/m), b = 1/25 er konstante parametere. I hvilken største avstand (i meter) fra en festningsmur 8 meter høy bør en maskin plasseres slik at steiner flyr over den?

Et annet problem med sprø odds. Høyde - 8 meter. Denne gangen skal vi prøve å løse gjennom diskriminanten. Vi har:

8 = (−1/22 500) x 2 + (1/25) x ;
180 000 = −x 2 + 900x - multiplisert alle tall med 22 500;
x 2 − 900x + 180 000 = 0 - samlet alt i én retning.

Diskriminerende: D = 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Roten til diskriminanten: 300. Roten til ligningen:
x 1 = (900 - 300): 2 = 300;
x 2 = (900 + 300): 2 = 600.

Største rot: 600.

Oppgave. En modell av en steinkaster skyter steiner i en viss vinkel mot horisonten med en fast starthastighet. Dens utforming er slik at steinens flyvei er beskrevet av formelen y = ax 2 + bx, der a = −1/20 000 (1/m), b = 1/20 er konstante parametere. I hvilken største avstand (i meter) fra en festningsmur 8 meter høy bør en maskin plasseres slik at steiner flyr over den?

Lignende oppgave. Høyden er igjen 8 meter. La oss lage og løse ligningen:

8 = (−1/20 000) x 2 + (1/20) x ;
160 000 = −x 2 + 1000x - multipliser begge sider med 20 000;
x 2 − 1000x + 160 000 = 0 - samlet alt på den ene siden.

Diskriminant: D = 1000 2 − 4 1 160 000 = 360 000. Roten til diskriminanten: 600. Roten til ligningen:
x 1 = (1000 - 600): 2 = 200;
x 2 = (1000 + 600): 2 = 800.

Største rot: 800.

Oppgave. En modell av en steinkaster skyter steiner i en viss vinkel mot horisonten med en fast starthastighet. Dens utforming er slik at steinens flyvei er beskrevet av formelen y = ax 2 + bx, hvor a = −1/22 500 (1/m), b = 1/15 er konstante parametere. I hvilken største avstand (i meter) fra en 24 meter høy festningsmur bør en maskin plasseres slik at steiner flyr over den?

Den neste kloneoppgaven. Nødvendig høyde: 24 meter. La oss lage en ligning:

24 = (−1/22 500) x 2 + (1/15) x ;
540 000 = −x 2 + 1500x - multiplisert alt med 22 500;
x 2 − 1500x + 540 000 = 0 - samlet alt i én retning.

Vi fikk den reduserte andregradsligningen. Vi løser ved å bruke Vietas teorem:
x 1 + x 2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x 1 x 2 = 540 000 = 600 900.

Fra dekomponeringen er det tydelig at røttene er: 600 og 900. Vi velger den største: 900.

Oppgave. En kran er festet i sideveggen til den sylindriske tanken nær bunnen. Etter å ha åpnet den, begynner vann å strømme ut av tanken, og høyden på vannsøylen i den endres i henhold til loven H (t) = 5 − 1,6t + 0,128t 2, der t er tid i minutter. Hvor lang tid vil det ta før vannet strømmer ut av tanken?

Vann vil strømme ut av tanken så lenge høyden på væskekolonnen er større enn null. Dermed må vi finne ut når H (t) = 0. Vi komponerer og løser ligningen:

5 - 1,6t + 0,128t2 = 0;
625 − 200t + 16t 2 = 0 - multiplisert alt med 125;
16t 2 − 200t + 625 = 0 - ordnet leddene i normal rekkefølge.

Diskriminerende: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Dette betyr at det bare vil være én rot. La oss finne det:

x 1 = (200 + 0): (2 16) = 6,25. Så etter 6,25 minutter vil vannstanden synke til null. Dette vil være øyeblikket til vannet renner ut.

Dagens samtale er til en viss grad en fortsettelse av temaet "Vertikal tekst". I tillegg til tekst skrevet horisontalt og vertikalt, kan det hende vi må skrive tekst, for eksempel i en viss vinkel, eller til og med gjøre den "liggende" eller skråstilt. Vi skal snakke om alt dette i dag.

Verktøyet "Tegn en inskripsjon" vil hjelpe oss. La oss åpne "Sett inn"-fanen i toppmenyen og fokusere vår oppmerksomhet på bare de to funksjonene den inneholder: "Shapes" og "Inscription":

Begge disse funksjonene inneholder det samme verktøyet (alternativ) "Tegn en inskripsjon". La oss utvide innholdet i "Shapes"-funksjonaliteten og se hvor "Draw Label"-verktøyet er plassert:

Så, "Tegne bokstaver"-verktøyet er plassert i "Basic Shapes"-delen av formsettet. Hvis vi en gang brukte dette verktøyet eller en form, reflekteres disse formene i den øverste delen, med navnet "Sist brukte former".

Nå, uten å forlate "Sett inn"-fanen, flytt musepekeren til dens "Tekst"-seksjon og klikk på "Inskripsjon"-ikonet og i vinduet som åpnes, vær oppmerksom på alternativet "Tegn inskripsjon":

Dette er fortsatt det samme instrumentet. Så vi har to alternativer for å aktivere verktøyet, uansett hvilken vei vi går. Bekreftelse av aktiviteten til "Draw Label"-verktøyet vil være en modifikasjon av markøren - den blir til et trådkors av to små linjer:

Ved å klikke og holde venstre museknapp, vil vi lage et felt for tekst - tegne et rektangel. Markøren vil automatisk være inne i rektangelet, og vi kan begynne å skrive inn tekst:

Så, tekstoppføringen er fullført, du kan begynne å rotere den:

Forrige gang, da vi snakket om "vertikal tekst", roterte vi teksten ved å ta tak i den øverste grønne markøren. I dag vil vi handle annerledes. Jeg legger til ytterligere to linjer med tekst i boksen som et eksempel.

I det øyeblikket vi var ferdige med å tegne feltet for den fremtidige teksten og slapp venstre museknapp, skjedde det betydelige endringer i toppmenyen. Helt uavhengig (automatisk modus) ble alternativene for "Sett inn" -fanen erstattet av andre alternativer i den andre "Format" -fanen:

Men la oss bruke et øyeblikk på å rotere teksten og ta hensyn til feltet der vi plasserer teksten. Synligheten til feltet bør ikke plage oss, siden vi kan gjøre det usynlig.

Hvorfor må vi gjøre feltet usynlig? Og slik at hvis tekst er skrevet på en bakgrunn med en annen farge enn hvit, er arbeidsområdet til feltet ikke synlig.

Så la oss gjøre feltet gjennomsiktig ved å bruke noen av alternativene i toppmenyens Format-fane. Vår oppgave er å gjøre feltet virkelig gjennomsiktig (nå er det hvitt) og fjerne omrisset.

La oss starte med å fjerne omrisset. For å gjøre dette, utvide innholdet i "Shape Outline"-alternativet og velg alternativet "No Outline" fra listen:

La oss nå gjøre feltet gjennomsiktig, det vil si redusere den hvite fyllingen til null. For å gjøre dette, velg alternativet "Shape Fill" og i listen over alternativer som åpnes, velg alternativet "No fill":

Dette alternativet passer kanskje ikke alltid for oss, av den grunn at "ingen fylling" betyr fravær av en fylling med en annen farge enn hvit, samt en gradientfylling og en teksturfyll. Det vil si at feltet forble hvitt som det var. I dette spesielle tilfellet er dette en unødvendig handling. Nå skal jeg plassere en trekant under teksten, og vi skal sørge for dette:

For at feltet skal bli virkelig gjennomsiktig, må vi gjøre andre innstillinger, og vi vil nå gjøre de samme innstillingene.

Hvis tekstfeltet ikke er valgt, klikker du i tekstområdet for å velge det (feltet fanges opp av markører). Ved å venstreklikke på pilen i nedre høyre hjørne av "Shape Styles"-delen av "Format"-fanen, utvider vi det ekstra innstillingsvinduet kalt "Shape Format":

Dette vinduet viser innstillingene som feltet har for øyeblikket. Feltet er fylt med en hel hvit fylling på 100 % fordi gjennomsiktighetsnivået er 0 %:

For at feltet skal bli helt gjennomsiktig, må vi flytte glidebryteren for gjennomsiktighet til høyre til en verdi lik 100 % vises i vinduslinjen. Hvis vi beveger glidebryteren jevnt, kan vi observere hvordan tekstfeltet blir mer og mer gjennomsiktig:

Etter å ha satt gjennomsiktighetsnivået til 100 %, klikk på "Lukk"-knappen:

Og her er resultatet av våre handlinger:

La oss nå gå videre til tekstrotasjon, så vel som tilt.

For å rotere teksten slik vi vil, må vi, uten å forlate eller skjule "Format"-fanen i toppmenyen, gå til "Shape Effects"-alternativet:

Og i listen over handlinger som åpnes, velg elementet "Roter en volumetrisk figur":

Et nytt detaljeringsvindu åpnes for oss, der vi vil velge elementet "Rotasjonsparametere for en volumetrisk figur":

Og nå, endelig, kommer vi til innstillingsvinduet:

På linjene der vi for øyeblikket ser nullverdier for tekstrotasjonsvinklene langs X-, Y-, Z-aksene, setter vi de ønskede verdiene ved å observere hvordan teksten roterer eller vipper. Vi kan sette vinkler langs alle tre koordinataksene, to eller en. Eller vi kan bruke ikonene med blå piler plassert i to kolonner til høyre for linjene for å legge inn tall (tilt- og rotasjonsverdier). Alt vi trenger å gjøre er å venstreklikke på disse ikonene og se på hva som skjer med teksten:

For å komme inn i dette vinduet enda raskere, må vi venstreklikke inne i teksten for å velge den, og deretter klikke på den lille pilen i nedre høyre hjørne av "Shape Styles"-delen:

Du bør alltid først velge tekst som er opprettet med Tegnetekst-verktøyet slik at den nødvendige fanen Tegneverktøy Format vises i toppmenyen. Og etter at det vises i toppmenyen, venstreklikk på navnet og utvide innholdet.

Og dette er det rette vinduet til vår tjeneste:

Og slik at vi kan begynne å stille inn parametere, må vi velge det allerede kjente alternativet "Roter volumetrisk figur":

Vi trenger ikke nødvendigvis å legge inn vinkelverdiene i noen linjer på koordinataksene eller klikke på ikonene med blå piler til høyre for verdiinnføringslinjene. Vi kan bruke malene, et sett av dem er plassert øverst i parameterinnstillingsvinduet:

La oss venstreklikke på pilknappen for å utvide listen over tomme felter og velge den ene eller den andre blanken, samtidig som vi observerer hvordan teksten oppfører seg. Jeg endrer sideretningen til liggende og øker skriftstørrelsen for å gjøre endringene lettere å se:

Ved å klikke på opp- og nedpilene kan vi få teksten i perspektiv:

Hvis vi for eksempel setter X-aksen til 180 grader, vil teksten vår være "back to front":

For ytterligere innflytelse på teksten, i samme vindu kan vi bruke alternativet "Inskripsjon":

Vel, som avslutning på dagens samtale om hvordan du roterer tekst i en vinkel, samt hvordan du vipper tekst, vil jeg trekke oppmerksomhet til viktig poeng. For at vi skal vri teksten som en pizzaiolo med deig, det skal ikke være noen hake i boksen merket "Keep text flat":

I geometri er en vinkel en figur som er dannet av to stråler som kommer ut fra ett punkt (kalt vinkelens toppunkt). I de fleste tilfeller er måleenheten for vinkel grader (°) – husk at en full vinkel, eller én omdreining, er 360°. Du kan finne vinkelverdien til en polygon etter dens type og verdiene til andre vinkler, og hvis gitt en rettvinklet trekant, kan vinkelen beregnes fra to sider. Dessuten kan vinkelen måles ved hjelp av en gradskive eller beregnes ved hjelp av en grafisk kalkulator.

Trinn

Hvordan finne indre vinkler til en polygon

Tell antall sider av polygonet. For å beregne de indre vinklene til en polygon, må du først finne ut hvor mange sider polygonet har. Legg merke til at antall sider i en polygon er lik antallet vinkler.

For eksempel har en trekant 3 sider og 3 indre vinkler, og en firkant har 4 sider og 4 indre vinkler.

Regn ut summen av alle indre vinkler av polygonet. For å gjøre dette, bruk følgende formel: (n - 2) x 180. I denne formelen er n antall sider av polygonet. Følgende er summen av vinklene til vanlige polygoner:
- Summen av vinklene til en trekant (en polygon med 3 sider) er 180°.
- Summen av vinklene til en firkant (en polygon med 4 sider) er 360°.
- Summen av vinklene til en femkant (en polygon med 5 sider) er 540°.
- Summen av vinklene til en sekskant (en polygon med 6 sider) er 720°.
- Summen av vinklene til en åttekant (en polygon med 8 sider) er 1080°.
Del summen av alle vinklene til en vanlig polygon med antall vinkler. En vanlig polygon er en polygon med like sider og like vinkler. For eksempel beregnes hver vinkel i en likesidet trekant som følger: 180 ÷ 3 = 60°, og hver vinkel i en firkant beregnes som følger: 360 ÷ 4 = 90°.
- En likesidet trekant og en firkant er vanlige polygoner. Og ved Pentagon-bygningen (Washington, USA) og veiskilt"Stopp" form av en vanlig åttekant.
Trekk summen av alle kjente vinkler fra den totale summen av vinklene til den uregelmessige polygonen. Hvis sidene til en polygon ikke er like hverandre, og vinklene heller ikke er like med hverandre, legger du først sammen de kjente vinklene til polygonet. Trekk nå den resulterende verdien fra summen av alle vinklene til polygonen - på denne måten finner du den ukjente vinkelen.
- For eksempel, hvis gitt at de 4 vinklene til en femkant er 80°, 100°, 120° og 140°, legg sammen disse tallene: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Trekk nå denne verdien fra summen av alle vinkler av femkanten; denne summen er lik 540°: 540 - 440 = 100°. Dermed er den ukjente vinkelen 100°.
Råd: den ukjente vinkelen til noen polygoner kan beregnes hvis du kjenner egenskapene til figuren. For eksempel, i en likebenet trekant er to sider like og to vinkler like; I et parallellogram (som er en firkant) er motsatte sider like og motsatte vinkler er like.

Mål lengden på de to sidene av trekanten. Lengste side høyre trekant kalt hypotenusen. Den tilstøtende siden er siden som er nær den ukjente vinkelen. Den motsatte siden er den siden som er motsatt den ukjente vinkelen. Mål de to sidene for å beregne de ukjente vinklene til trekanten.

Råd: bruk en grafisk kalkulator for å løse ligningene, eller finn en netttabell med verdiene av sinus, cosinus og tangenter.

Regn ut sinusen til en vinkel hvis du kjenner den motsatte siden og hypotenusen. For å gjøre dette, plugg verdiene inn i ligningen: sin(x) = motsatt side ÷ hypotenusa. For eksempel er motsatt side 5 cm og hypotenusen er 10 cm Del 5/10 = 0,5. Dermed er sin(x) = 0,5, det vil si x = sin -1 (0,5).

La AB være et segment som ligger på en linje, punktet M er et vilkårlig punkt som ikke hører til linjen (fig. 284). Vinkelen a ved toppunktet M av trekanten AMB kalles vinkelen der segmentet AB er synlig fra punktet M. La oss finne lokuset til punktene som dette segmentet er synlig fra i samme konstante vinkel a. For å gjøre dette beskriver vi en sirkel rundt trekanten AMB og vurderer dens bue AMB, som inneholder punktet M. I henhold til den forrige, fra et hvilket som helst punkt i den konstruerte buen, vil segmentet AB være synlig i samme vinkel, målt med halvparten av buen ASB (i fig. 284 er det vist med en stiplet linje). I tillegg vil segmentet fra samme vinkel være synlig. punkter av buen plassert symmetrisk med AMB i forhold til rett AB. Fra intet annet punkt i planet, som ikke ligger på en av de funnet buene, kan segmentet være synlig i samme vinkel a.

Faktisk, fra punktet P som ligger inne i figuren avgrenset av buene AMB, vil segmentet være synlig i en vinkel ARB større enn a, siden vinkelen ARB vil bli målt av halvsummen av buen ASB og en annen bue, dvs. den vil sikkert være større enn vinkelen a. Det er også klart at for en vinkel med toppunktet Q utenfor denne figuren vil vi ha . Derfor har punktene til buene AMB og AMB og bare de den nødvendige egenskapen: Det geometriske stedet til punktene som et gitt segment er synlig fra i en konstant vinkel består av to sirkelbuer symmetrisk plassert i forhold til et gitt segment.

Oppgave 1. Gitt et segment AB og en vinkel a. Konstruer et segment som inneholder den gitte vinkelen a og hviler på segmentet AB. Her forstås et segment som inneholder en gitt vinkel som et segment avgrenset av et gitt segment og en hvilken som helst av to sirkelbuer fra punktene hvor segmentet er synlig i en vinkel a.

Løsning. La oss tegne en vinkelrett på segmentet AB i midten (fig. 285). Sentrum av sirkelen hvis segment må konstrueres vil bli plassert på denne perpendikulæren. Fra enden B av segment AB tegner vi en stråle som danner en vinkel med den; den vil skjære vinkelrett i midten av den ønskede buen O (bevis!).

Oppgave 2. Konstruer en trekant ved å bruke vinkel A, side og median.

Løsning. På en vilkårlig rett linje plotter vi et segment BC lik side a i trekanten (fig. 286). Toppunktet til trekanten må plasseres på buen til segmentet, fra punktene som dette segmentet er synlig i vinkel a (konstruksjonsprosessen er ikke vist i fig. 286). Så fra midten M på siden BC, som fra midten, tegner vi en sirkel med en radius lik m. Punktene for dets skjæringspunkt med buen til segmentet vil gi de mulige posisjonene til toppunktet A i den ønskede trekanten. Utforsk antall løsninger!

Oppgave 3. Tangenter til en sirkel er tegnet fra et ytre punkt. Tangentpunktene deler sirkelen i deler med forholdet lik

Finn vinkelen mellom tangentene.