Konstant tall EN kalt grense sekvenser(x n ), hvis for et hvilket som helst vilkårlig lite positivt tallε > 0 det er et tall N som har alle verdiene x n, for hvilke n>N, tilfredsstiller ulikheten

|x n - a|< ε. (6.1)

Skriv det ned som følger: eller x n → en.

Ulikhet (6,1) er ekvivalent dobbel ulikhet

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

som betyr at poengene x n, med utgangspunkt i et tall n>N, ligger innenfor intervallet (a-ε, a+ ε ), dvs. falle i noen småε -nabolaget av et punkt EN.

En sekvens som har en grense kalles konvergent, ellers - avvikende.

Konseptet med en funksjonsgrense er en generalisering av konseptet med en sekvensgrense, siden grensen for en sekvens kan betraktes som grensen for en funksjon x n = f(n) av et heltallsargument n.

La funksjonen f(x) være gitt og la en - grensepunkt definisjonsdomene for denne funksjonen D(f), dvs. et slikt punkt, hvor ethvert nabolag inneholder punkter i settet D(f) annet enn en. Punktum en kan eller kan ikke tilhøre settet D(f).

Definisjon 1.Det konstante tallet A kalles grense funksjoner f(x) på x→a, hvis for en hvilken som helst sekvens (x n ) av argumentverdier som har en tendens til EN, har de tilsvarende sekvensene (f(x n)) samme grense A.

Denne definisjonen kalles ved å definere grensen for en funksjon i henhold til Heine, eller " i sekvensspråk”.

Definisjon 2. Det konstante tallet A kalles grense funksjoner f(x) på x→a, hvis, ved å spesifisere et vilkårlig vilkårlig lite positivt tall ε, kan man finne slike δ>0 (avhengig av ε), som er for alle x, ligger iε-nabolag av nummeret EN, dvs. Til x, som tilfredsstiller ulikheten
0 < x-a< ε , vil verdiene til funksjonen f(x) ligge iε-nabolag til tallet A, dvs.|f(x)-A|< ε.

Denne definisjonen kalles ved å definere grensen for en funksjon i henhold til Cauchy, eller «på språket ε - δ “.

Definisjon 1 og 2 er likeverdige. Hvis funksjonen f(x) som x →a har grense, lik A, skrives dette i formen

. (6.3)

I tilfelle sekvensen (f(x n)) øker (eller reduseres) uten begrensning for noen tilnærmingsmetode x til din grense EN, så vil vi si at funksjonen f(x) har uendelig grense, og skriv det i skjemaet:

En variabel (dvs. en sekvens eller funksjon) hvis grense er null kalles uendelig liten.

En variabel hvis grense er lik uendelig kalles uendelig stor.

For å finne grensen i praksis brukes følgende teoremer.

Teorem 1 . Hvis alle grenser eksisterer

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Uttrykk som 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - er usikre, for eksempel forholdet mellom to uendelig små eller uendelig store mengder, og å finne en grense av denne typen kalles «avdekke usikkerheter».

Teorem 2. (6.7)

de. man kan gå til grensen basert på kraften med en konstant eksponent, spesielt, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

Hvor e » 2,7 - base av naturlig logaritme. Formler (6.10) og (6.11) kalles de første fantastisk grense og den andre bemerkelsesverdige grensen.

Konsekvensene av formel (6.11) brukes også i praksis:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

spesielt grensen,

Hvis x → a og samtidig x > a, skriv deretter x→a + 0. Hvis spesielt a = 0, så skriv +0 i stedet for symbolet 0+0. Tilsvarende hvis x→a og samtidig x a-0. Tall og kalles deretter rett grense Og venstre grense funksjoner f(x) på punktet EN. For at det skal være en grense for funksjonen f(x) som x→a er nødvendig og tilstrekkelig slik at . Funksjonen f(x) kalles kontinuerlige på punktet x 0 hvis grense

. (6.15)

Tilstand (6.15) kan skrives om som:

,

det vil si at overgang til grensen under tegnet til en funksjon er mulig hvis den er kontinuerlig i et gitt punkt.

Hvis likestilling (6.15) brytes, så sier vi det på x = x o funksjon f(x) Det har mellomrom Tenk på funksjonen y = 1/x. Definisjonsdomenet for denne funksjonen er settet R, bortsett fra x = 0. Punktet x = 0 er et grensepunkt for mengden D(f), siden i et hvilket som helst nabolag av det, dvs. i ethvert åpent intervall som inneholder punktet 0, er det punkter fra D(f), men det i seg selv tilhører ikke dette settet. Verdien f(x o)= f(0) er ikke definert, så i punktet x o = 0 har funksjonen en diskontinuitet.

Funksjonen f(x) kalles kontinuerlig til høyre på punktet x o hvis grensen

,

Og kontinuerlig til venstre ved punktet x o, hvis grensen

.

Kontinuitet til en funksjon i et punkt xo tilsvarer dens kontinuitet på dette punktet både til høyre og til venstre.

For at funksjonen skal være kontinuerlig på punktet xo, for eksempel til høyre, er det nødvendig for det første at det er en endelig grense, og for det andre at denne grensen er lik f(x o). Derfor, hvis minst en av disse to betingelsene ikke er oppfylt, vil funksjonen ha en diskontinuitet.

1. Hvis grensen eksisterer og ikke er lik f(x o), så sier de det funksjon f(x) på punktet x o har brudd av den første typen, eller hoppe.

2. Hvis grensen er+∞ eller -∞ eller eksisterer ikke, så sier de at i punkt xo funksjonen har en diskontinuitet andre typen.

For eksempel funksjon y = barneseng x ved x→ +0 har en grense lik +∞, som betyr at den i punktet x=0 har en diskontinuitet av den andre typen. Funksjon y = E(x) (heltallsdel av x) på punkter med hel abscisse har diskontinuiteter av den første typen, eller hopp.

En funksjon som er kontinuerlig på hvert punkt i intervallet kalles kontinuerlige V . En kontinuerlig funksjon er representert med en solid kurve.

Mange problemer knyttet til den kontinuerlige veksten av en viss mengde fører til den andre bemerkelsesverdige grensen. Slike oppgaver inkluderer for eksempel: vekst av forekomster i henhold til loven om renters rente, vekst av landets befolkning, forfall av radioaktive stoffer, spredning av bakterier, etc.

La oss vurdere eksempel på Ya. I. Perelman, som gir en tolkning av tallet e i renters renteproblematikk. Antall e det er en grense . I sparebanker legges rentepenger til anleggskapitalen årlig. Hvis tiltredelsen gjøres oftere, vokser kapitalen raskere, siden et større beløp er involvert i dannelsen av interesse. La oss ta et rent teoretisk, veldig forenklet eksempel. La 100 deniers settes inn i banken. enheter basert på 100 % per år. Hvis rentepenger legges til den faste kapitalen først etter et år, så innen denne perioden 100 den. enheter vil bli til 200 pengeenheter. La oss nå se hva 100 denize blir til. enheter, dersom rentepenger legges til fast kapital hvert halvår. Etter seks måneder, 100 den. enheter vil vokse til 100× 1,5 = 150, og etter ytterligere seks måneder - 150× 1,5 = 225 (den. enheter). Hvis tiltredelsen gjøres hver 1/3 av året, så etter et år 100 den. enheter blir til 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. enheter). Vi vil øke vilkårene for å legge til rentepenger til 0,1 år, til 0,01 år, til 0,001 år osv. Så ut av 100 den. enheter etter et år vil det være:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. enheter),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. enheter),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. enheter).

Med en ubegrenset reduksjon i rentetilleggsvilkårene vokser ikke den akkumulerte kapitalen i det uendelige, men nærmer seg en viss grense lik ca. 271. Kapitalen innsatt med 100 % per år kan ikke økes med mer enn 2,71 ganger, selv om påløpte renter ble lagt til hovedstaden hvert sekund fordi grensen

Eksempel 3.1.Bruk definisjonen av grensen for en tallsekvens, bevis at sekvensen x n =(n-1)/n har en grense lik 1.

Løsning.Det må vi bevise, uansettε > 0, uansett hva vi tar, for det er det et naturlig tall N slik at for alle n N gjelder ulikheten|xn -1|< ε.

La oss ta hvilken som helst e > 0. Siden ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, så for å finne N er det nok å løse ulikheten 1/n< e. Derfor n>1/ e og derfor kan N tas som en heltallsdel av 1/ e, N = E(1/e ). Vi har dermed bevist at grensen .

Eksempel 3.2 . Finn grensen for en sekvens gitt av et vanlig begrep .

Løsning.La oss bruke grensen for sumteoremet og finne grensen for hvert ledd. Når n→ ∞ telleren og nevneren for hvert ledd har en tendens til uendelig, og vi kan ikke bruke kvotientgrensesetningen direkte. Derfor transformerer vi først x n, dividere telleren og nevneren for det første leddet med n 2, og den andre på n. Deretter, ved å bruke grensen for kvotienten og grensen for sumteoremet, finner vi:

.

Eksempel 3.3. . Finn .

Løsning. .

Her brukte vi grense for grad teoremet: grensen for en grad er lik graden av grensen til basen.

Eksempel 3.4 . Finn ( ).

Løsning.Det er umulig å anvende grense for forskjellsteoremet, siden vi har en usikkerhet på formen ∞-∞ . La oss transformere den generelle termformelen:

.

Eksempel 3.5 . Funksjonen f(x)=2 1/x er gitt. Bevis at det ikke er noen grense.

Løsning.La oss bruke definisjon 1 av grensen for en funksjon gjennom en sekvens. La oss ta en sekvens ( x n ) som konvergerer til 0, dvs. La oss vise at verdien f(x n)= oppfører seg forskjellig for forskjellige sekvenser. La x n = 1/n. Så klart, så grensen La oss nå velge som x n en sekvens med et fellesledd x n = -1/n, som også har en tendens til null. Derfor er det ingen grense.

Eksempel 3.6 . Bevis at det ikke er noen grense.

Løsning.La x 1 , x 2 ,..., x n ,... være en sekvens som
. Hvordan oppfører sekvensen (f(x n)) = (sin x n) seg for forskjellige x n → ∞

Hvis x n = p n, så er sin x n = sin p n = 0 for alle n og grensen If
xn =2 p n+ p /2, så sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 for alle n og dermed grensen. Så det finnes ikke.

Widget for beregning av grenser på nettet

I det øvre vinduet, i stedet for sin(x)/x, skriv inn funksjonen hvis grense du vil finne. I det nedre vinduet, skriv inn tallet som x går til og klikk på Calcular-knappen, få ønsket grense. Og hvis du i resultatvinduet klikker på Vis trinn i øvre høyre hjørne, får du en detaljert løsning.

Regler for å angi funksjoner: sqrt(x) - kvadratrot, cbrt(x) - terningsrot, exp(x) - eksponent, ln(x) - naturlig logaritme, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangens, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tegn: * multiplikasjon, / divisjon, ^ eksponentiering, i stedet evighet Evighet. Eksempel: funksjonen legges inn som sqrt(tan(x/2)).

Funksjon y = f (x) er en lov (regel) ifølge hvilken hvert element x i mengden X er assosiert med ett og bare ett element y i mengden Y.

Element x ∈ X kalt funksjonsargument eller uavhengig variabel.
Element y ∈ Y kalt funksjonsverdi eller avhengig variabel.

Settet X kalles domene til funksjonen.
Sett med elementer y ∈ Y, som har forhåndsbilder i settet X, kalles område eller sett med funksjonsverdier.

Den faktiske funksjonen kalles begrenset ovenfra (nedenfra), hvis det er et tall M slik at ulikheten gjelder for alle:
.
Tallfunksjonen kalles begrenset, hvis det er et tall M slik at for alle:
.

Øverste kant eller eksakt øvre grense En reell funksjon kalles det minste tallet som begrenser dets verdiområde ovenfra. Det vil si at dette er et tall s som, for alle og for alle, er et argument hvis funksjonsverdi overstiger s′: .
Den øvre grensen for en funksjon kan betegnes som følger:
.

Henholdsvis nederste kant eller eksakt nedre grense En reell funksjon kalles det største tallet som begrenser verdiområdet nedenfra. Det vil si at dette er et tall i som det, for alle og for alle, er et argument hvis funksjonsverdi er mindre enn i′: .
Infimumet til en funksjon kan betegnes som følger:
.

Bestemme grensen for en funksjon

Bestemmelse av grensen for en funksjon i henhold til Cauchy

Begrensede grenser for funksjon ved endepunkter

La funksjonen defineres i et eller annet nabolag til sluttpunktet, med mulig unntak av selve punktet. på et tidspunkt hvis for noen er det noe slikt, avhengig av , at for alle x som , gjelder ulikheten
.
Grensen for en funksjon er angitt som følger:
.
Eller på .

Ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet, kan definisjonen av grensen for en funksjon skrives som følger:
.

Ensidige grenser.
Venstre grense ved et punkt (venstresidig grense):
.
Høyre grense på et punkt (høyre grense):
.
Venstre og høyre grenser er ofte betegnet som følger:
; .

Finite grenser for en funksjon ved punkter ved uendelig

Grenser ved punkter ved uendelig bestemmes på lignende måte.
.
.
.
De blir ofte referert til som:
; ; .

Bruke konseptet naboskap til et punkt

Hvis vi introduserer konseptet med et punktert nabolag til et punkt, kan vi gi en enhetlig definisjon av den endelige grensen til en funksjon ved endelige og uendelig fjerne punkter:
.
Her for endepunkter
; ;
.
Ethvert nabolag av punkter ved uendelig punkteres:
; ; .

Uendelige funksjonsgrenser

Definisjon
La funksjonen være definert i et eller annet punktert nabolag til et punkt (endelig eller uendelig). Funksjonsgrense f (x) som x → x 0 er lik uendelig, hvis for et hvilket som helst vilkårlig stort antall M > 0 , det er et tall δ M > 0 , avhengig av M, at for alle x som tilhører det punkterte δ M - nabolaget til punktet: , gjelder følgende ulikhet:
.
Den uendelige grensen er angitt som følger:
.
Eller på .

Ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet, kan definisjonen av den uendelige grensen til en funksjon skrives som følger:
.

Du kan også introdusere definisjoner av uendelige grenser for visse tegn lik og:
.
.

Universell definisjon av grensen for en funksjon

Ved å bruke begrepet et nabolag til et punkt, kan vi gi en universell definisjon av den endelige og uendelige grensen for en funksjon, gjeldende både for endelige (tosidige og ensidige) og uendelig fjerne punkter:
.

Bestemmelse av grensen for en funksjon i henhold til Heine

La funksjonen være definert på et sett X:.
Tallet a kalles funksjonens grense på punktet:
,
hvis for en sekvens som konvergerer til x 0 :
,
hvis elementer tilhører mengden X: ,
.

La oss skrive denne definisjonen ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet:
.

Hvis vi tar det venstresidige nabolaget til punktet x som et sett X 0 , så får vi definisjonen av venstre grense. Hvis det er høyrehendt, så får vi definisjonen av rett grense. Hvis vi tar naboskapet til et punkt ved uendelig som et sett X, får vi definisjonen av grensen for en funksjon ved uendelig.

Teorem
Cauchy- og Heine-definisjonene av grensen til en funksjon er ekvivalente.
Bevis

Egenskaper og teoremer for grensen til en funksjon

Videre antar vi at funksjonene som vurderes er definert i det tilsvarende nabolaget til punktet, som er et endelig tall eller et av symbolene: . Det kan også være et ensidig grensepunkt, det vil si ha formen eller . Nabolaget er tosidig for en tosidig grense og ensidig for en ensidig grense.

Grunnleggende egenskaper

Hvis verdiene til funksjonen f (x) endre (eller gjøre udefinert) et begrenset antall punkter x 1, x 2, x 3, ... x n, så vil ikke denne endringen påvirke eksistensen og verdien av grensen for funksjonen på et vilkårlig punkt x 0 .

Hvis det er en begrenset grense, er det et punktert nabolag til punktet x 0 , hvor funksjonen f (x) begrenset:
.

La funksjonen ha punktet x 0 endelig ikke-null grense:
.
Så, for et hvilket som helst tall c fra intervallet , er det et slikt punktert nabolag til punktet x 0 , til hva ,
, Hvis ;
, Hvis .

Hvis, på noen punktert nabolag av punktet, , er en konstant, så .

Hvis det er endelige grenser og og på et eller annet punktert nabolag til punktet x 0
,
Det .

Hvis , og på noen nabolag av punktet
,
Det .
Spesielt hvis du er i et eller annet område av et punkt
,
deretter hvis , da og ;
hvis , da og .

Hvis på et punktert nabolag til et punkt x 0 :
,
og det er endelige (eller uendelige av et visst tegn) like grenser:
, Det
.

Bevis på hovedegenskapene er gitt på siden
"Grunnleggende egenskaper for grensene til en funksjon."

Aritmetiske egenskaper for grensen til en funksjon

La funksjonene og bli definert i noen punktert nabolag av punktet. Og la det være begrensede grenser:
Og .
Og la C være en konstant, det vil si et gitt tall. Deretter
;
;
;
, Hvis .

Hvis da.

Bevis for aritmetiske egenskaper er gitt på siden
"Aritmetiske egenskaper for grensene for en funksjon".

Cauchy-kriterium for eksistensen av en grense for en funksjon

Teorem
For å få en funksjon definert på et eller annet punktert nabolag til en endelig eller ved uendelig punkt x 0 , hadde en endelig grense på dette punktet, er det nødvendig og tilstrekkelig at for enhver ε > 0 det var et så punktert nabolag til punktet x 0 , at for alle punkter og fra dette nabolaget gjelder følgende ulikhet:
.

Begrensning av en kompleks funksjon

Grensesetning kompleks funksjon
La funksjonen ha en grense og kartlegg et punktert nabolag av et punkt til et punktert nabolag til et punkt. La funksjonen være definert på dette nabolaget og ha en begrensning på det.
Her er de siste eller uendelig fjerne poengene: . Nabolag og deres tilsvarende grenser kan være enten tosidige eller ensidige.
Da er det en grense for en kompleks funksjon og den er lik:
.

Grensesetningen til en kompleks funksjon brukes når funksjonen ikke er definert i et punkt eller har en annen verdi enn grensen. For å bruke denne teoremet, må det være et punktert nabolag til punktet der verdien av funksjonen ikke inneholder punktet:
.

Hvis funksjonen er kontinuerlig i punktet , kan grensetegnet brukes på argumentet kontinuerlig funksjon:
.
Følgende er et teorem som tilsvarer dette tilfellet.

Teorem om grensen for en kontinuerlig funksjon av en funksjon
La det være en grense for funksjonen g (t) som t → t 0 , og den er lik x 0 :
.
Her er punkt t 0 kan være begrenset eller uendelig fjern: .
Og la funksjonen f (x) er kontinuerlig i punkt x 0 .
Så er det en grense for den komplekse funksjonen f (g(t)), og det er lik f (x0):
.

Bevis for teoremene er gitt på siden
"Begrensning og kontinuitet for en kompleks funksjon".

Uendelig små og uendelig store funksjoner

Infinitesimale funksjoner

Definisjon
En funksjon sies å være infinitesimal if
.

Sum, forskjell og produkt av et endelig antall infinitesimale funksjoner ved er en infinitesimal funksjon ved .

Produkt av en funksjon avgrenset på noen punktert nabolag av punktet , til en infinitesimal at er en infinitesimal funksjon på .

For at en funksjon skal ha en endelig grense, er det nødvendig og tilstrekkelig at
,
hvor er en infinitesimal funksjon ved .

"Egenskaper til infinitesimale funksjoner".

Uendelig store funksjoner

Definisjon
En funksjon sies å være uendelig stor if
.

Summen eller forskjellen av en avgrenset funksjon, på noen punktert nabolag av punktet , og en uendelig stor funksjon ved er en uendelig stor funksjon ved .

Hvis funksjonen er uendelig stor for , og funksjonen er avgrenset til et punktert nabolag til punktet ,
.

Hvis funksjonen, i et eller annet punktert nabolag av punktet, tilfredsstiller ulikheten:
,
og funksjonen er uendelig ved:
, og (på noen punktert nabolag av punktet), da
.

Bevis på eiendommene er presentert i pkt
"Egenskaper til uendelig store funksjoner".

Forholdet mellom uendelig store og uendelig små funksjoner

Fra de to foregående egenskapene følger sammenhengen mellom uendelig store og uendelig små funksjoner.

Hvis en funksjon er uendelig stor ved , så er funksjonen uendelig ved .

Hvis en funksjon er uendelig stor for , og , så er funksjonen uendelig stor for .

Forholdet mellom en infinitesimal og en uendelig stor funksjon kan uttrykkes symbolsk:
, .

Hvis en infinitesimal funksjon har et visst tegn ved , det vil si at den er positiv (eller negativ) på et punktert område av punktet , kan dette faktum uttrykkes som følger:
.
På samme måte, hvis en uendelig stor funksjon har et bestemt tegn ved , så skriver de:
.

Deretter kan den symbolske forbindelsen mellom uendelig små og uendelig store funksjoner suppleres med følgende relasjoner:
, ,
, .

Ytterligere formler for uendelighetssymboler finner du på siden
"Peker på uendelighet og deres egenskaper."

Grenser for monotone funksjoner

Definisjon
En funksjon definert på et sett med reelle tall X kalles strengt økende, hvis for alle slik at følgende ulikhet gjelder:
.
Følgelig, for strengt minkende funksjonen har følgende ulikhet:
.
Til ikke synkende:
.
Til ikke økende:
.

Det følger at en strengt økende funksjon også er ikke-minkende. En strengt minkende funksjon er også ikke-økende.

Funksjonen kalles monotont, hvis den er ikke-avtagende eller ikke-økende.

Teorem
La funksjonen ikke avta på intervallet hvor .
Hvis den er avgrenset over av tallet M: så er det en begrenset grense. Hvis ikke begrenset ovenfra, så .
Hvis den begrenses nedenfra av tallet m: så er det en begrenset grense. Hvis ikke begrenset nedenfra, så .

Hvis punktene a og b er på uendelig, så betyr grensetegnet i uttrykkene at .
Denne teoremet kan formuleres mer kompakt.

La funksjonen ikke avta på intervallet hvor . Så er det ensidige grenser ved punktene a og b:
;
.

Et lignende teorem for en ikke-økende funksjon.

La funksjonen ikke øke på intervallet hvor . Da er det ensidige grenser:
;
.

Beviset for teoremet er presentert på siden
"Grenser for monotone funksjoner".

Referanser:
L.D. Kudryavtsev. Kurs i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.

Teorien om grenser er en av grenene til matematisk analyse. Spørsmålet om å løse grenser er ganske omfattende, siden det finnes dusinvis av metoder for å løse grenser forskjellige typer. Det er dusinvis av nyanser og triks som lar deg løse denne eller den grensen. Likevel vil vi fortsatt forsøke å forstå hovedtypene grenser som man oftest møter i praksis.

La oss starte med selve konseptet med en grense. Men først en kort historisk bakgrunn. Det levde på 1800-tallet en franskmann, Augustin Louis Cauchy, som la grunnlaget for matematisk analyse og ga strenge definisjoner, spesielt definisjonen av en grense. Det må sies at denne samme Cauchy var, er og vil være i marerittene til alle studenter i fysikk og matematikk, siden han beviste et stort antall teoremer for matematisk analyse, og hver teorem er mer ekkel enn den andre. I denne forbindelse vil vi ikke vurdere en streng definisjon av grensen, men vil prøve å gjøre to ting:

1. Forstå hva en grense er.
2. Lær å løse hovedtypene grenser.

Jeg beklager noen uvitenskapelige forklaringer, det er viktig at materialet er forståelig selv for en tekanne, som faktisk er prosjektets oppgave.

Så hva er grensen?

Og bare et eksempel på hvorfor å raggete bestemor....

Enhver grense består av tre deler:

1) Det velkjente grenseikonet.
2) Oppføringer under grenseikonet, i i dette tilfellet. Oppføringen lyder "X har en tendens til en." Oftest - nøyaktig, selv om det i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske oppgaver kan plassen til en være absolutt et hvilket som helst tall, så vel som uendelig ().
3) Fungerer under grensetegnet, i dette tilfellet .

Selve oppføringen lyder slik: "grensen for en funksjon som x har en tendens til enhet."

La oss se på det neste viktige spørsmålet - hva betyr uttrykket "x"? streber til en"? Og hva betyr egentlig "streve"?
Konseptet med en grense er et konsept, så å si, dynamisk. La oss bygge en sekvens: først , deretter , , …, , ….
Det vil si uttrykket "x streber til en" skal forstås som følger: "x" tar konsekvent på verdiene som nærmer seg enhet uendelig nært og praktisk talt sammenfaller med den.

Hvordan løser jeg eksemplet ovenfor? Basert på det ovenfor, trenger du bare å erstatte en i funksjonen under grensetegnet:

Så den første regelen: Når det er gitt en grense, prøver vi først å koble nummeret til funksjonen.

Vi har vurdert den enkleste grensen, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjelden!

Eksempel med uendelig:

La oss finne ut hva det er? Dette er tilfellet når det øker uten grenser, det vil si: først, så, så, så, og så videre i det uendelige.

Hva skjer med funksjonen på dette tidspunktet?
, , , …

Så: hvis , så har funksjonen en tendens til minus uendelig:

Grovt sett, i henhold til vår første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelig i funksjonen og får svaret.

Et annet eksempel med uendelighet:

Igjen begynner vi å øke til det uendelige, og ser på funksjonen til funksjonen:

Konklusjon: når funksjonen øker ubegrenset:

Og en annen rekke eksempler:

Prøv å mentalt analysere følgende selv og husk de enkleste typene grenser:

, , , , , , , , ,
Hvis du er i tvil noe sted, kan du ta en kalkulator og øve deg litt.
I tilfelle det , prøv å konstruere sekvensen , , . Hvis da , , .

Merk: strengt tatt er denne tilnærmingen til å konstruere sekvenser med flere tall feil, men for å forstå de enkleste eksemplene er den ganske egnet.

Vær også oppmerksom på følgende ting. Selv om en grense er gitt med et stort tall øverst, eller til og med med en million: , så er det det samme , siden "X" før eller senere vil ta på seg så gigantiske verdier at en million sammenlignet med dem vil være en ekte mikrobe.

Hva trenger du å huske og forstå fra ovenstående?

1) Når det er gitt en grense, prøver vi først å erstatte tallet i funksjonen.

2) Du må forstå og umiddelbart løse de enkleste grensene, som , , etc.

Nå skal vi vurdere gruppen av grenser når , og funksjonen er en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer

Eksempel:

Beregn grense

I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i funksjonen. Hva får vi på toppen? Evighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi det som kalles artsusikkerhet. Man kan tro det, og svaret er klart, men i det generelle tilfellet er dette ikke i det hele tatt tilfelle, og det er nødvendig å bruke en eller annen løsningsteknikk, som vi nå vil vurdere.

Hvordan løser man grenser av denne typen?

Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen:

Den ledende potensen i telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner den også i høyeste makt:

Den høyeste graden av nevneren er to.

Deretter velger vi den høyeste potensen av telleren og nevneren: i dette eksemplet er de like og lik to.

Så løsningsmetoden er som følger: for å avsløre usikkerheten, er det nødvendig å dele telleren og nevneren med høyeste potens.

Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.

Hva er grunnleggende viktig i utformingen av en beslutning?

Først angir vi usikkerhet, hvis noen.

For det andre er det tilrådelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ikke noen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomforklaring.

For det tredje, i grensen er det tilrådelig å merke hva som skal hvor. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det på denne måten:

Det er bedre å bruke en enkel blyant for notater.

Selvfølgelig trenger du ikke å gjøre noe av dette, men da vil kanskje læreren påpeke mangler i løsningen eller begynne å stille flere spørsmål om oppgaven. Trenger du det?

Eksempel 2

Finn grensen
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad:

Maksimal grad i teller: 3
Maksimal grad i nevner: 4
Velge størst verdi, i dette tilfellet fire.
I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerhet, deler vi telleren og nevneren med .
Hele oppgaven kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Eksempel 3

Finn grensen
Maksimal grad av "X" i telleren: 2
Maksimal grad av "X" i nevneren: 1 (kan skrives som)
For å avdekke usikkerheten er det nødvendig å dele teller og nevner med . Den endelige løsningen kan se slik ut:

Del teller og nevner med

Notasjon betyr ikke divisjon med null (du kan ikke dele med null), men divisjon med et uendelig tall.

Dermed kan vi, ved å avdekke artsusikkerhet, være i stand til det endelig nummer, null eller uendelig.

Grenser med usikkerhet om type og metode for å løse dem

Den neste gruppen av grenser er noe lik grensene som nettopp er vurdert: telleren og nevneren inneholder polynomer, men "x" har ikke lenger en tendens til uendelig, men til endelig antall.

Eksempel 4

Løs grensen
La oss først prøve å erstatte -1 i brøken:

I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.

Generell regel : hvis telleren og nevneren inneholder polynomer, og det er usikkerhet i formen, så for å avsløre det du må faktorisere telleren og nevneren.

For å gjøre dette må du oftest løse en andregradsligning og/eller bruke forkortede multiplikasjonsformler. Hvis disse tingene har blitt glemt, besøk siden Matematiske formler og tabeller og sjekke ut metodisk materiale Hete formler skolekurs matematikere. Forresten, det er best å skrive det ut, det kreves veldig ofte, og informasjon absorberes bedre fra papir.

Så la oss løse grensen vår

Faktorer telleren og nevneren

For å faktorisere telleren må du løse andregradsligningen:

Først finner vi diskriminanten:

Og kvadratroten av det: .

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruker vi en kalkulator, uttrekksfunksjonen kvadratrot tilgjengelig på den enkleste kalkulatoren.

! Hvis roten ikke trekkes ut i sin helhet (det oppnås et brøktall med komma), er det svært sannsynlig at diskriminanten ble beregnet feil eller at det var en skrivefeil i oppgaven.

Deretter finner vi røttene:

Dermed:

Alle. Telleren er faktorisert.

Nevner. Nevneren er allerede den enkleste faktoren, og det er ingen måte å forenkle den på.

Selvfølgelig kan det forkortes til:

Nå erstatter vi -1 i uttrykket som forblir under grensetegnet:

Naturligvis i prøvearbeid, under en prøve eller eksamen, blir løsningen aldri skrevet ut så detaljert. I den endelige versjonen skal designet se omtrent slik ut:

La oss faktorisere telleren.

Eksempel 5

Beregn grense

Først "finish"-versjonen av løsningen

La oss faktorisere telleren og nevneren.

Teller:
Nevner:



,

Hva er viktig i dette eksemplet?
For det første må du ha en god forståelse av hvordan telleren avsløres, først tok vi 2 ut av parentes, og brukte deretter formelen for forskjellen på kvadrater. Dette er formelen du trenger å vite og se.

Metoder for å løse grenser. Usikkerhetsfaktorer.
Rekkefølgen for vekst av funksjonen. Erstatningsmetode

Eksempel 4

Finn grensen

Dette er et enklere eksempel for uavhengig avgjørelse. I det foreslåtte eksemplet, igjen usikkerhet (mer høy orden høyde enn roten).

Hvis "x" har en tendens til "minus uendelig"

Spekteret av "minus uendelighet" har svevet i denne artikkelen i lang tid. La oss vurdere grenser med polynomer der . Prinsippene og løsningsmetodene vil være nøyaktig de samme som i første del av leksjonen, med unntak av en rekke nyanser.

La oss se på 4 triks som kreves for å løse praktiske oppgaver:

1) Beregn grensen

Verdien av grensen avhenger bare av begrepet siden den har den høyeste vekstorden. Hvis da uendelig stor i modul et negativt tall til JENn grad, i dette tilfellet – i det fjerde, er lik "pluss uendelig": . Konstant ("to") positivt, Derfor:

2) Beregn grensen

Her er seniorgraden igjen til og med, Derfor: . Men foran den er det et "minus" ( negativ konstant –1), derfor:

3) Beregn grensen

Grenseverdien avhenger kun av . Som du husker fra skolen, "hopper minus" ut fra under odde grad, så uendelig stor i modul negativt tall til en ODD-potens er lik "minus uendelig", i dette tilfellet: .
Konstant ("fire") positivt, Midler:

4) Beregn grensen

Den første karen i bygda har igjen merkelig grad i tillegg i barmen negativ konstant, som betyr: Dermed:
.

Eksempel 5

Finn grensen

Ved å bruke punktene ovenfor kommer vi til at det er usikkerhet her. Telleren og nevneren er av samme vekstrekkefølge, noe som betyr at i grensen vil resultatet være et endelig tall. La oss finne ut svaret ved å kaste all yngelen:

Løsningen er triviell:

Eksempel 6

Finn grensen

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Og nå, kanskje de mest subtile tilfellene:

Eksempel 7

Finn grensen

Tatt i betraktning de ledende begrepene kommer vi til at det er usikkerhet her. Telleren er av en høyere vekstorden enn nevneren, så vi kan umiddelbart si at grensen er lik uendelig. Men hva slags uendelighet, "pluss" eller "minus"? Teknikken er den samme - la oss bli kvitt de små tingene i telleren og nevneren:

Vi bestemmer:

Del teller og nevner med

Eksempel 15

Finn grensen

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et omtrentlig utvalg av det endelige designet på slutten av leksjonen.

Et par flere interessante eksempler om emnet variabel erstatning:

Eksempel 16

Finn grensen

Når man erstatter enhet i grensen, oppnås usikkerhet. Å endre variabelen foreslår allerede seg selv, men først transformerer vi tangenten ved hjelp av formelen. Ja, hvorfor trenger vi en tangent?

Merk at derfor. Hvis det ikke er helt klart, se på sinusverdiene i trigonometrisk tabell. Dermed blir vi umiddelbart kvitt multiplikatoren, i tillegg får vi den mer kjente usikkerheten på 0:0. Det ville vært fint om grensen vår hadde en tendens til null.

La oss erstatte:

Hvis da

Under cosinus har vi "x", som også må uttrykkes gjennom "te".
Fra erstatningen uttrykker vi: .

Vi fullfører løsningen:

(1) Vi utfører erstatningen

(2) Åpne parentesen under cosinus.

(4) Å organisere første fantastiske grensen, gange kunstig telleren med og det gjensidige tallet.

Oppgave for selvstendig løsning:

Eksempel 17

Finn grensen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Dette var enkle oppgaver i klassen deres, i praksis kan alt bli verre, og i tillegg reduksjonsformler, må du bruke en rekke trigonometriske formler, samt andre triks. I artikkelen Complex Limits så jeg på et par virkelige eksempler =)

På tampen av ferien vil vi endelig avklare situasjonen med en annen vanlig usikkerhet:

Eliminering av usikkerhet "en til uendelighetens makt"

Denne usikkerheten er "servert" andre fantastiske grensen, og i den andre delen av den leksjonen så vi i stor detalj på standardeksempler på løsninger som finnes i praksis i de fleste tilfeller. Nå vil bildet med eksponentene være fullført, i tillegg vil de siste oppgavene i leksjonen bli viet til "falske" grenser, der det SYNES som om det er nødvendig å bruke den andre fantastiske grensen, selv om dette ikke i det hele tatt er sak.

Ulempen med de to arbeidsformlene for den andre bemerkelsesverdige grensen er at argumentet må ha en tendens til "pluss uendelig" eller til null. Men hva om argumentet har en tendens til et annet tall?

En universell formel kommer til unnsetning (som faktisk er en konsekvens av den andre bemerkelsesverdige grensen):

Usikkerhet kan elimineres ved å bruke formelen:

Et sted tror jeg at jeg allerede har forklart hva de firkantede parentesene betyr. Ikke noe spesielt, braketter er bare parentes. De brukes vanligvis til å fremheve matematisk notasjon tydeligere.

La oss fremheve de viktigste punktene i formelen:

1) Det handler om bare om usikkerhet og ingenting annet.

2) "x"-argumentet kan ha en tendens til vilkårlig verdi(og ikke bare til null eller), spesielt til "minus uendelig" eller til hvem som helst endelig antall.

Ved å bruke denne formelen kan du løse alle eksemplene i leksjonen. Fantastiske grenser, som hører til den 2. bemerkelsesverdige grensen. La oss for eksempel beregne grensen:

I dette tilfellet , og i henhold til formelen :

Riktignok anbefaler jeg ikke å gjøre dette; tradisjonen er å fortsatt bruke den "vanlige" utformingen av løsningen, hvis den kan brukes. derimot ved å bruke formelen er det veldig praktisk å sjekke"klassiske" eksempler til den andre bemerkelsesverdige grensen.

For de som ønsker å lære å finne grenser, i denne artikkelen vil vi fortelle deg om det. Vi vil ikke fordype oss i teorien; lærere holder den vanligvis på forelesninger. Så den "kjedelige teorien" bør noteres ned i notatbøkene dine. Hvis dette ikke er tilfelle, kan du lese lærebøker lånt på biblioteket. utdanningsinstitusjon eller på andre Internett-ressurser.

Så konseptet med grense er ganske viktig for å studere kurset høyere matematikk, spesielt når du møter integralregning og forstår forholdet mellom grense og integral. I det nåværende materialet vil vi vurdere enkle eksempler, samt måter å løse dem på.

Eksempler på løsninger

Eksempel 1

Regn ut a) $ \lim_(x \til 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \til \infty) \frac(1)(x) $

Løsning

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Folk sender oss ofte disse grensene med en forespørsel om å hjelpe til med å løse dem. Vi bestemte oss for å fremheve dem som et eget eksempel og forklare at disse grensene som regel bare må huskes. Hvis du ikke kan løse problemet, send det til oss. Vi vil gi en detaljert løsning. Du vil kunne se fremdriften til beregningen og få informasjon. Dette vil hjelpe deg med å få karakteren din fra læreren din i tide!

Svar

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Hva å gjøre med usikkerheten i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Eksempel 3

Løs $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

Som alltid starter vi med å erstatte verdien $ x $ i uttrykket under grensetegnet. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Hva skjer nå? Hva bør skje til slutt? Siden dette er usikkerhet, er dette ikke et svar ennå og vi fortsetter beregningen. Siden vi har et polynom i tellerne, vil vi faktorisere det ved å bruke formelen som er kjent for alle fra skolen $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Husker du? Flott! Gå nå og bruk den med sangen :) Vi finner at telleren $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Vi fortsetter å løse under hensyntagen til transformasjonen ovenfor: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

La oss skyve grensen i de to siste eksemplene til uendelig og vurdere usikkerheten: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Eksempel 5

Beregn $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Løsning

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Hva å gjøre? Hva burde jeg gjøre? Ikke få panikk, for det umulige er mulig. Det er nødvendig å ta ut x-en i både telleren og nevneren, og deretter redusere den. Etter dette, prøv å beregne grensen. La oss prøve... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Ved å bruke definisjonen fra eksempel 2 og erstatte uendelig med x, får vi: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Svar

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritme for beregning av grenser

Så la oss kort oppsummere eksemplene og lage en algoritme for å løse grensene:

1. Sett inn punkt x i uttrykket etter grensetegnet. Hvis et visst tall eller uendelighet oppnås, er grensen fullstendig løst. Ellers har vi usikkerhet: "null delt på null" eller "uendelig delt på uendelig" og gå videre til de neste trinnene i instruksjonene.
2. For å eliminere usikkerheten til "null delt på null", må du faktorisere telleren og nevneren. Reduser lignende. Sett inn punkt x i uttrykket under grensetegnet.
3. Hvis usikkerheten er «uendelig delt på uendelig», så tar vi ut både telleren og nevneren x i størst grad. Vi forkorter X-ene. Vi erstatter verdiene til x fra under grensen til det gjenværende uttrykket.

I denne artikkelen lærte du det grunnleggende om å løse grenser som ofte brukes i kurset. Matematisk analyse. Dette er selvfølgelig ikke alle typer problemer som sensorer tilbyr, men bare de enkleste grensene. Vi vil snakke om andre typer oppgaver i fremtidige artikler, men først må du lære denne leksjonen for å komme videre. La oss diskutere hva vi skal gjøre hvis det er røtter, grader, studere infinitesimale ekvivalente funksjoner, bemerkelsesverdige grenser, L'Hopitals regel.

Hvis du ikke kan finne ut grensene selv, ikke få panikk. Vi er alltid glade for å hjelpe!