Leksjoner på COMPASS-programmet.

Leksjon #12. Konstruere sirkler i Compass 3D.
Sirkler som tangerer kurver, en sirkel basert på to punkter.

Compass 3D har flere måter å konstruere tangentsirkler på:

• sirkel tangent til 1. kurve;
• sirkel tangent til 2 kurver;
• sirkel tangent til 3 kurver;

For å konstruere en sirkel som tangerer kurven, trykk på knappen "Sirkel tangent til 1 kurve" i det kompakte panelet, eller i toppmenyen, trykk kommandoene sekvensielt "Verktøy" - "Geometri" - "Sirkler" - "Sirkel tangent til 1 kurve."

Ved hjelp av markøren angir vi først kurven som sirkelen vil passere, og spesifiser deretter 1. og 2. punkt i denne sirkelen (koordinatene til punktene kan legges inn i egenskapspanelet).

Fantomer av alle mulige sirkelalternativer vil vises på skjermen. Bruk markøren til å velge de vi trenger og fikse dem ved å klikke på "Opprett objekt" -knappen. Vi fullfører konstruksjonen ved å klikke på "Avbryt kommando"-knappen.

Før du spesifiserer det andre punktet, kan du angi en radius- eller diameterverdi i det tilsvarende feltet på egenskapspanelet. En slik sirkel vil ikke alltid bli konstruert. Dette avhenger av gitt radius eller diameter. Umuligheten av konstruksjon vil bli indikert ved at fantomet forsvinner etter å ha lagt inn radiusverdien.

Hvis midtpunktet til sirkelen er kjent, kan det også settes i egenskapspanelet.

For å konstruere en sirkel som tangerer to kurver, trykk på knappen "Sirkel tangent til 2 kurver" i et kompakt panel. Eller i toppmenyen, trykk kommandoene sekvensielt "Verktøy" - "Geometri" - "Sirkler" - "Sirkel tangent til 2 kurver".

Ved hjelp av markøren indikerer vi objektene som sirkelen skal berøre. Fantomer av alle mulige konstruksjonsalternativer vil vises på skjermen.

Hvis posisjonen til et punkt som tilhører sirkelen er kjent, må den angis ved hjelp av markøren, eller koordinatene må legges inn i egenskapspanelet. Du kan også angi radius- eller diameterverdier i egenskapspanelet. For å fullføre konstruksjonen, velg ønsket fantom og trykk på knappene etter hverandre "Opprett objekt" Og "Avbryt kommando".

For å konstruere en sirkel som tangerer tre kurver, trykk på knappen "Sirkel tangent til 3 kurver" i et kompakt panel. Eller i toppmenyen, trykk kommandoene sekvensielt "Verktøy" - "Geometri" - "Sirkler" - "Sirkel tangent til 3 kurver."

Konstruksjonene ligner på de forrige, så gjør dem selv, resultatet er vist i figuren nedenfor.

En annen måte å finne sentrum (for eksempel av dreide produkter) - ved hjelp av et spesialverktøy, en "senterfinner" - er basert på egenskapene til den såkalte. tangentlinjer. En tangent til en sirkel er en hvilken som helst rett linje som, ved møtepunktet til sirkelen, er vinkelrett på radiusen trukket til dette punktet. For eksempel til helvete. 174 rett AB, CD Og E.F.– tangenter til en sirkel ESS. Poeng A, C, E kalles "berøringspunkter". Det særegne ved en tangentlinje er at den har en sirkel med bare ett felles punkt. Faktisk, hvis tangenten AB(Fig. 175) var med en sirkel, foruten dette er det et annet felles punkt, f.eks. MED, så, ved å koble den til sentrum, ville vi få en likebenet trekant SOA med to rette vinkler SA, og dette, vi vet, er umulig (hvorfor?).

Vi møter linjer som tangerer en sirkel ganske ofte i praktisk liv. Et tau kastet over en blokk tar i sine spente deler posisjonen til tangentlinjer til sirkelen til blokken. Beltene til taljer (kombinasjoner av flere blokker, fig. 176) er plassert langs linjen med vanlige tangenter til omkretsen av hjulene. Overføringsbeltene til remskivene opptar også posisjonen til vanlige tangenter til sirklene til remskivene til "eksterne" tangenter i den såkalte. åpen overføring og "intern" - i lukket overføring.

Hvordan tegne en tangent til den gjennom et gitt punkt utenfor sirkelen? Med andre ord: som gjennom en prikk EN(tegning 177) tegne en rett linje ABå vinkle ABO var det rett? Dette gjøres som følger. Koble EN med sentrum OM(tegning 178). Den rette linjen er delt i to og rundt midten I, som et sentrum, beskriv en sirkel med en radius I. Med andre ord, på OA bygge en sirkel som på en diameter. Krysspunkter MED Og D begge sirkler er knyttet til EN rette linjer: disse vil være tangenter.

For å bekrefte dette, la oss tegne fra midten til punktene MED Og D hjelpelinjer OS Og OD. Vinkler VEPS Og ODA- rett, siden de er innskrevet i en halvsirkel. Og dette betyr det OS Og O.D.– tangenter til sirkelen.

Med tanke på konstruksjonen vår ser vi blant annet at vi fra hvert punkt utenfor sirkelen kan tegne to tangenter til den. Det er lett å verifisere at begge disse tangentene er av samme lengde, dvs A.C.= AD. Faktisk punktum OM like langt fra sidene av vinkelen EN; Midler OA er en ekvidivisor, og derfor trekanter OAS Og OAD lik ( SUS).

Underveis slo vi fast at den rette linjen som halverer vinkelen mellom begge tangentene går gjennom sentrum av sirkelen. Dette er grunnlaget for utformingen av enheten for å finne sentrum av dreide produkter - midten av finneren (fig. 179). Den består av to linjer AB Og AC, festet i vinkel, og den tredje linjalen BD, hvis kant BD halverer vinkelen mellom kantene

de to første linjene. Enheten påføres det runde produktet slik at kantene på linjalene ved siden av den AB Og Sol kom i kontakt med omkretsen av produktet. I dette tilfellet vil kantene bare ha ett felles punkt med sirkelen, så kanten på linjalen må, i henhold til den nå angitte egenskapen til tangenter, passere gjennom midten av sirkelen. Etter å ha tegnet diameteren til en sirkel på produktet ved hjelp av en linjal, påfør sentersøkeren på produktet i en annen posisjon og tegn en annen diameter. Ønsket senter vil være i skjæringspunktet mellom begge diametrene.

Hvis du trenger å tegne en felles tangent til to sirkler, det vil si tegne en rett linje som berører to sirkler samtidig, fortsett som følger. Nær midten av en sirkel, for eksempel, ca I(Fig. 180), beskriv en hjelpesirkel med en radius lik forskjellen mellom radiene til begge sirklene. Så fra poenget EN tegne tangenter AC Og AD til denne hjelpekretsen. Fra poeng EN Og I tegne rette linjer vinkelrett på AC Og AD, til de krysser de gitte sirklene ved punkter E, F, H Og G. Rette linjer kobles sammen E Med F, G Med H, vil det være felles tangenter til disse sirklene, siden de er vinkelrett på radiene AE, CF, AG Og D.H..

I tillegg til de to tangentene som nettopp er tegnet og som kalles eksterne, er det også mulig å tegne to andre tangenter, plassert som helvete. 181 (indre tangenter). For å utføre denne konstruksjonen, beskriv rundt midten av en av disse sirklene - for eksempel rundt I– en hjelpesirkel med en radius lik summen av radiene til begge sirklene. Fra punkt EN tegne tangenter til denne hjelpesirkelen. Leserne vil selv kunne finne ut det videre byggeforløpet.

Gjenta spørsmål

Hva kalles en tangent? Hvor mange felles punkter har tangenten og sirkelen til felles? – Hvordan tegne en tangent til en sirkel gjennom et punkt som ligger utenfor sirkelen? – Hvor mange slike tangenter kan trekkes? – Hva er en sentrifuge? – Hva er enheten basert på? – Hvordan tegne en felles tangent til to sirkler? – Hvor mange tangenter er det?

Geometriske konstruksjoner

Konstruere tangenter til sirkler

La oss vurdere problemet som ligger til grunn for løsningen av andre problemer som involverer å tegne tangenter til sirkler.

La fra poengetEN(Fig. 1) det er nødvendig å tegne tangenter til sirkelen med sentrum i punktetOM.

For nøyaktig å konstruere tangenter, er det nødvendig å bestemme tangenspunktene til linjene til sirkelen. For dette punktetENskal kobles sammen med en sømOMog del segmentetOAi halvparten. Fra midten av dette segmentet - poengMED, som fra midten, beskriv en sirkel hvis diameter skal være lik segmentetOA. PoengTIL1 OgTIL2 skjæringspunktet mellom sirkler sentrert i et punktMEDog med sentrum i punktetOMer tangenspunktene til linjeneAK1 OgAK2 til en gitt sirkel.

Riktigheten av løsningen på problemet bekreftes av det faktum at radiusen til sirkelen trukket til kontaktpunktet er vinkelrett på tangenten til sirkelen. VinklerOK1 ENOgOK2 ENer rette fordi de hviler på diameterenJSCsirkel med sentrum i punktetMED.

Ris. 1.

Når man konstruerer tangenter til to sirkler, skilles tangenterinnvendigOgutvendig. Hvis sentrene til de gitte sirklene er plassert på den ene siden av tangenten, regnes den som ekstern, og hvis sentrene til sirklene er på motsatte sider av tangenten, regnes den som intern.

OM1 OgOM2 R1 OgR2 . Det er nødvendig å tegne eksterne tangenter til gitte sirkler.

For nøyaktig konstruksjon er det nødvendig å bestemme tangentpunktene til de rette linjene og de gitte sirklene. Hvis radiene til sirkler med sentreOM1 OgOM2 begynn å redusere suksessivt med samme verdi, så kan du få en serie konsentriske sirkler med mindre diametre. Dessuten, i hvert tilfelle av å redusere radius, vil tangentene til de mindre sirklene være parallelle med de ønskede. Etter å ha redusert begge radiene med størrelsen på den mindre radiusenR2 sirkel med sentrumOM2 blir til et punkt, og sirkelen med sentrumOM1 vil forvandles til en konsentrisk sirkel med radiusR3 , lik forskjellen mellom radieneR1 OgR2 .

Ved å bruke den tidligere beskrevne metoden, fra punktetOM2 tegne eksterne tangenter til en sirkel med radiusR3 , prikk-til-prikkOM1 OgOM2 , del med en prikkMEDlinjestykkeOM1 OM2 i to og tegn en radiusCO1 en bue, hvis skjæringspunkt med en gitt sirkel vil bestemme tangenspunktene til linjeneOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 .

PunktumEN1 OgEN2 tangensen til de nødvendige rette linjene med den større sirkelen er plassert på fortsettelsen av de rette linjeneOM1 TIL1 OgOM1 TIL2 . PoengI1 OgI2 tangentlinjene til den mindre sirkelen er vinkelrette på grunnflatenOM2 henholdsvis til hjelpetangenteneOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 . Ved å plassere kontaktpunktene kan du tegne de ønskede rette linjeneEN1 I1 OgEN2 I2 .

Ris. 2.

La to sirkler med sentre ved punkter gisOM1 OgOM2 (fig. 2), med radier hhvR1 OgR2 . Det er nødvendig å tegne interne tangenter til gitte sirkler.

For å bestemme tangenspunktene til rette linjer og sirkler, bruker vi resonnement som ligner på det som ble gitt når vi løser forrige oppgave. Hvis du reduserer radiusenR2 til null, deretter sirkelen med sentrumOM2 gå til poenget. Imidlertid, i dette tilfellet, for å opprettholde parallelliteten til hjelpetangentene med ønsket radiusR1 bør økes med én størrelseR2 og tegn en sirkel med radiusR3 , lik beløpet radierR1 OgR2 .

Fra punktOM2 tegne tangenter til en sirkel med radiusR3 , hvorfor koble sammen prikkeneOM1 OgOM2 , del med en prikkMEDlinjestykkeOM1 OM2 i to og tegn en sirkelbue med sentrum i punktetMEDog radiusCO1 . Skjæringspunktet mellom en bue med en sirkel med radiusR3 vil bestemme plasseringen av punkteneTIL1 OgTIL2 tangenter til hjelpelinjerOM2 TIL1 OgOM2 TIL2 .

PunktumEN1 OgEN2 R1 er i skjæringspunktet mellom denne sirkelen og segmentetOM1 TIL1 OgOM1 TIL2 . For å definere poengI 1OgAT 2tangens av de nødvendige rette linjene med en sirkel med radiusR2 følger av poengetO2gjenopprette perpendikulære linjer til hjelpelinjerO2K1OgO2K2til den skjærer en gitt sirkel. Etter å ha tangenspunktene mellom de ønskede linjene og de gitte sirklene, tegner vi rette linjerA1B1OgA2B2.

Ris. 3.

I dette kapittelet kommer vi tilbake til en av de viktigste geometriske former- til sirkelen. Ulike teoremer relatert til sirkler vil bli bevist, inkludert teoremer om sirkler innskrevet i en trekant, firkant og omskrevne sirkler rundt disse figurene. I tillegg vil tre utsagn bli bevist om de bemerkelsesverdige punktene i en trekant - skjæringspunktet mellom trekantens halveringslinjer, skjæringspunktet for høydene og skjæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjene til sidene av trekanten. De to første påstandene ble formulert i 7. klasse, og nå kan vi bevise dem.

La oss finne ut hvor mange felles punkter en rett linje og en sirkel kan ha, avhengig av deres relative plassering. Det er klart at hvis en linje går gjennom midten av en sirkel, så skjærer den sirkelen på to punkter - endene av diameteren som ligger på denne linjen.

La den rette linjen p ikke gå gjennom sentrum O i en sirkel med radius r. La oss tegne en vinkelrett OH på den rette linjen p og angi med bokstaven d lengden av denne vinkelrett, dvs. avstanden fra sentrum av denne sirkel til den rette linjen (fig. 211).

Ris. 211

La oss utforske gjensidig ordning linje og sirkel avhengig av forholdet mellom d og r. Det er tre mulige tilfeller.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Følgelig ligger punktene A og B på sirkelen og er derfor vanlige punkter på den rette linjen p og den gitte sirkelen.

La oss bevise at den rette linjen p og den gitte sirkelen ikke har andre felles punkter. La oss anta at de har ett mer felles punkt C. Da er medianen OD til den likebenede trekanten O AC trukket til grunnflaten AC høyden til denne trekanten, derfor er OD ⊥ p. Segmentene OD og OH faller ikke sammen, siden midtpunktet D i segmentet AC ikke sammenfaller med punktet H - midtpunktet til segmentet AB. Vi fant at fra punkt O ble to perpendikulære (segmenter OH og OD) trukket til rett linje p, noe som er umulig.

Så, hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen til sirkelen (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . I dette tilfellet kalles den rette linjen en sekant i forhold til sirkelen.

2) d = r. I dette tilfellet ligger OH = r, dvs. punktet H ligger på sirkelen og er derfor fellespunktet for linjen og sirkelen (fig. 211.6). Den rette linjen p og sirkelen har ingen andre felles punkter, siden for noe punkt M på den rette linjen p, forskjellig fra punktet H, OM > OH = r (den skråstilte OM er større enn den vinkelrette OH), og derfor , punktet M ligger ikke på sirkelen.

Så hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen til sirkelen, har den rette linjen og sirkelen bare ett felles punkt.

3) d > r. I dette tilfellet er OH > r derfor for et hvilket som helst punkt M på linjen r OM ≥ OH > r (fig. 211, c). Derfor ligger ikke punktet M på sirkelen.

Så hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen til sirkelen, har den rette linjen og sirkelen ingen felles punkter.

Tangent til en sirkel

Vi har bevist at en linje og en sirkel kan ha ett eller to felles punkter og kanskje ikke ha noen felles punkter.

En rett linje som bare har ett felles punkt med en sirkel kalles en tangent til sirkelen, og deres felles punkt kalles tangentpunktet til linjen og sirkelen. I figur 212 er rett linje p tangent til en sirkel med sentrum O, A er tangenspunktet.

La oss bevise et teorem om egenskapen til en tangent til en sirkel.

Teorem

Bevis

La p være tangenten til sirkelen med sentrum O, A tangenspunktet (se fig. 212). La oss bevise at tangenten p er vinkelrett på radius OA.

Ris. 212

La oss anta at dette ikke er tilfelle. Da skråner radien OA til den rette linjen r. Siden perpendikulæren trukket fra punkt O til rett linje p er mindre enn skrå OA, er avstanden fra sentrum O av sirkelen til rett linje p mindre enn radiusen. Følgelig har den rette linjen p og sirkelen to felles punkter. Men dette motsier betingelsen: rett linje p er tangent.

Dermed er rett linje p vinkelrett på radius OA. Teoremet er bevist.

Tenk på to tangenter til en sirkel med sentrum O, som går gjennom punkt A og berører sirkelen ved punktene B og C (fig. 213). La oss kalle segmentene AB og AC tangentsegmenter trukket fra et punkt A. De har følgende egenskap:

Ris. 213

For å bevise denne påstanden, la oss gå til figur 213. I følge teoremet om tangentegenskapen er vinkel 1 og 2 rette vinkler, derfor er trekantene ABO og ACO rettvinklede. De er like fordi de har en felles hypotenus OA og like ben OB og OS. Derfor er AB = AC og ∠3 = ∠4, som er det som måtte bevises.

La oss nå bevise teoremet omvendt til teoremet om tangentegenskapen (tangensegenskapen).

Teorem

Bevis

Av teoremets betingelser følger det at denne radien er en perpendikulær trukket fra sentrum av sirkelen til den gitte linjen. Derfor er avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen lik radiusen, og derfor har den rette linjen og sirkelen bare ett felles punkt. Men dette betyr at denne linjen er tangent til sirkelen. Teoremet er bevist.

Løsningen på problemer som involverer å konstruere en tangentlinje er basert på denne teoremet. La oss løse ett av disse problemene.

Oppgave

Tegn en tangent til denne sirkelen gjennom et gitt punkt A i en sirkel med sentrum O.

Løsning

La oss tegne en rett linje O A, og så konstruere en rett linje p som går gjennom punkt A vinkelrett på den rette linjen OA. I følge tangentkriteriet er den rette linjen p ønsket tangent.

Oppgaver

631. La d være avstanden fra sentrum av en sirkel med radius r til en rett linje r. Hva er den relative posisjonen til den rette linjen r og sirkelen hvis: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Avstanden fra punkt A til sentrum av sirkelen er mindre enn radiusen til sirkelen. Bevis at enhver linje som går gjennom punkt A er en sekant i forhold til den gitte sirkelen.

633. Gitt en firkant O ABC, hvis side er 6 cm, og en sirkel med senter i punktet O med radius 5 cm Hvilken av linjene OA, AB, BC og AC er sekant i forhold til denne sirkelen?

634. Radius OM til en sirkel med sentrum O deler akkorden AB i to. Bevis at tangenten trukket gjennom punktet M er parallell med akkorden AB.

635. En tangent og en korde lik sirkelens radius trekkes gjennom punktet A i sirkelen. Finn vinkelen mellom dem.

636. To tangenter trekkes gjennom endene av akkorden AB, lik radiusen til sirkelen, som skjærer hverandre i punktet C. Finn vinkelen AC B.

637. Vinkelen mellom diameteren AB og korden AC er 30°. En tangent trekkes gjennom punktet C og skjærer linjen AB i punktet D. Bevis at trekanten ACD er likebenet.

638. Linje AB berører en sirkel med sentrum O med radius r ved punkt B. Finn AB hvis OA = 2 cm og r = 1,5 cm.

639. Linje AB berører en sirkel med sentrum O med radius r ved punkt B. Finn AB hvis ∠AOB = 60° og r = 12 cm.

640. Gitt en sirkel med sentrum O med radius 4,5 cm og punkt A. To tangenter til sirkelen er tegnet gjennom punkt A. Finn vinkelen mellom dem hvis OA = 9 cm.

641. Segmentene AB og AC er tangentsegmenter til en sirkel med sentrum O, trukket fra punkt A. Finn vinkel BAC hvis midtpunktet til segment AO ligger på sirkelen.

642. I figur 213 OB = 3cm, CM. = 6 cm Finn AB, AC, ∠3 og ∠4.

643. Linjene AB og AC berører en sirkel med sentrum O ved punktene B og C. Finn BC hvis ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Rette linjer MA og MB berører en sirkel med sentrum O i punktene A og B. Punkt C er symmetrisk til punkt O i forhold til punkt B. Bevis at ∠AMC = 3∠BMC.

645. Fra endene av diameteren AB til en gitt sirkel, trekkes perpendikulære AA 1 og BB 1 til tangenten, som ikke er vinkelrett på diameteren AB. Bevis at tangenspunktet er midtpunktet til segmentet A 1 B 1 .

646. I trekant ABC er vinkel B rett. Bevis at: a) rett linje BC er tangent til en sirkel med sentrum A med radius AB; b) rett linje AB er tangent til en sirkel med sentrum C med radius CB; c) rett linje AC er ikke tangent til sirkler med sentrum B og radier BA og BC.

647. Segment AN er en perpendikulær trukket fra punkt A til en rett linje som går gjennom sentrum O av en sirkel med radius 3 cm Er rett linje AN tangerende til sirkelen hvis: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, OA = 6 cm?

648. Konstruer en tangent til en sirkel med sentrum O: a) parallelt med den gitte linjen; b) vinkelrett på en gitt linje.

Svar på problemer

direkte ( MN), har bare ett felles punkt med sirkelen ( EN), kalt tangent til sirkelen.

Fellespunktet kalles i dette tilfellet kontaktpunkt.

Mulighet for eksistens tangent, og dessuten trukket gjennom ethvert punkt sirkel, som et punkt av tangency, er bevist som følger teorem.

La det bli pålagt å utføre sirkel med sentrum O tangent gjennom punktet EN. For å gjøre dette fra punktet EN, som fra sentrum, beskriver vi bue radius A.O., og fra poenget O, som sentrum, skjærer vi denne buen ved punktene B Og MED en kompassløsning lik diameteren til den gitte sirkelen.

Etter å ha brukt da akkorder O.B. Og OS, koble til prikken EN med prikker D Og E, hvor disse akkordene krysser en gitt sirkel. Direkte AD Og A.E. - tangenter til en sirkel O. Faktisk, fra konstruksjonen er det klart at trekanter AOB Og AOC likebent(AO = AB = AC) med baser O.B. Og OS, lik diameteren til sirkelen O.

Fordi O.D. Og O.E.- radier altså D - midten O.B., A E- midten OS, Midler AD Og A.E. - medianer, trukket til basene til likebenede trekanter, og derfor vinkelrett på disse basene. Hvis rett D.A. Og E.A. vinkelrett på radiene O.D. Og O.E., så de - tangenter.

Konsekvens.

To tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel er like og danner like vinkler med den rette linjen som forbinder dette punktet med sentrum.

Så AD=AE og ∠ OAD = ∠OAE fordi rette trekanter AOD Og AOE, har en felles hypotenusen A.O. og likeverdig bena O.D. Og O.E.(som radier), er like. Merk at her betyr ordet "tangens" faktisk " tangentsegment” fra et gitt punkt til kontaktpunktet.