Funksjonsgrense. Hvordan løser man grenser for dummies? 1 beregne grenser

Den første bemerkelsesverdige grensen er følgende likhet:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Siden vi for $\alpha\to(0)$ har $\sin\alpha\to(0)$, sier de at den første bemerkelsesverdige grensen avslører en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Generelt sett, i formel (1), i stedet for variabelen $\alpha$, kan ethvert uttrykk plasseres under sinustegnet og i nevneren, så lenge to betingelser er oppfylt:

1. Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren tenderer samtidig mot null, dvs. det er usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$.
2. Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren er de samme.

Følger fra den første bemerkelsesverdige grensen brukes også ofte:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)

Elleve eksempler er løst på denne siden. Eksempel nr. 1 er viet beviset for formlene (2)-(4). Eksemplene nr. 2, nr. 3, nr. 4 og nr. 5 inneholder løsninger med detaljerte kommentarer. Eksemplene nr. 6-10 inneholder løsninger med praktisk talt ingen kommentarer, fordi det er gitt detaljerte forklaringer i tidligere eksempler. Løsningen bruker noen trigonometriske formler som kan finnes.

Jeg bemerker at tilstedeværelsen trigonometriske funksjoner kombinert med usikkerheten $\frac (0) (0)$ betyr ennå ikke obligatorisk anvendelse av den første bemerkelsesverdige grensen. Noen ganger er enkle trigonometriske transformasjoner tilstrekkelig - se for eksempel.

Eksempel nr. 1

Bevis at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Siden $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, så:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Siden $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ og $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, At:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) La oss gjøre endringen $\alpha=\sin(y)$. Siden $\sin(0)=0$, har vi fra betingelsen $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. I tillegg er det et nabolag på null der $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, så:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Likheten $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ er bevist.

c) La oss erstatte $\alpha=\tg(y)$. Siden $\tg(0)=0$, så er betingelsene $\alpha\to(0)$ og $y\to(0)$ likeverdige. I tillegg er det et nabolag på null der $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, derfor, basert på resultatene av punkt a), vil vi ha:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Likheten $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ er bevist.

Likheter a), b), c) brukes ofte sammen med den første bemerkelsesverdige grensen.

Eksempel nr. 2

Beregn grensen $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Siden $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ og $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, dvs. og både telleren og nevneren til brøken har en tendens til null samtidig, så har vi her å gjøre med en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$, dvs. ferdig. I tillegg er det klart at uttrykkene under sinustegnet og i nevneren sammenfaller (dvs. og er tilfredsstilt):

Så begge betingelsene som er oppført på begynnelsen av siden er oppfylt. Det følger av dette at formelen er anvendelig, dvs. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\høyre))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Svar: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\høyre))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Eksempel nr. 3

Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Siden $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ og $\lim_(x\to(0))x=0$, så har vi å gjøre med en usikkerhet av formen $\frac (0 )(0)$, dvs. ferdig. Uttrykkene under sinustegnet og i nevneren er imidlertid ikke sammenfallende. Her må du justere uttrykket i nevneren til ønsket form. Vi trenger uttrykket $9x$ for å være i nevneren, så blir det sant. I hovedsak mangler vi en faktor på $9$ i nevneren, noe som ikke er så vanskelig å angi – bare multipliser uttrykket i nevneren med $9$. Naturligvis, for å kompensere for multiplikasjon med $9$, må du umiddelbart dele med $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Nå er uttrykkene i nevneren og under sinustegnet sammenfallende. Begge betingelsene for grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ er oppfylt. Derfor er $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Og dette betyr at:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Eksempel nr. 4

Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Siden $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ og $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, har vi her å gjøre med usikkerhet i formen $\frac(0)(0)$. Imidlertid brytes formen til den første bemerkelsesverdige grensen. En teller som inneholder $\sin(5x)$ krever en nevner på $5x$. I denne situasjonen er den enkleste måten å dele telleren med $5x$, og umiddelbart multiplisere med $5x$. I tillegg vil vi utføre en lignende operasjon med nevneren, multiplisere og dele $\tg(8x)$ med $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Ved å redusere med $x$ og ta konstanten $\frac(5)(8)$ utenfor grensetegnet, får vi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Merk at $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ fullt ut tilfredsstiller kravene til den første bemerkelsesverdige grensen. For å finne $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$, gjelder følgende formel:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Eksempel nr. 5

Finn $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Siden $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (husk at $\cos(0)=1$) og $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, da har vi å gjøre med usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Men for å bruke den første bemerkelsesverdige grensen, bør du kvitte deg med cosinus i telleren, gå videre til sinus (for deretter å bruke formelen) eller tangenter (for deretter å bruke formelen). Dette kan gjøres med følgende transformasjon:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

La oss gå tilbake til grensen:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\høyre) $$

Brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ er allerede nær formen som kreves for den første bemerkelsesverdige grensen. La oss jobbe litt med brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, og justere den til den første bemerkelsesverdige grensen (merk at uttrykkene i telleren og under sinusen må samsvare):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\venstre(\frac(\sin(5x))(5x)\høyre)^2$$

La oss gå tilbake til den aktuelle grensen:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Eksempel nr. 6

Finn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Siden $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ og $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, så vi har å gjøre med usikkerhet $\frac(0)(0)$. La oss avsløre det ved hjelp av den første bemerkelsesverdige grensen. For å gjøre dette, la oss gå fra cosinus til sinus. Siden $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, så:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Går vi til sinus i den gitte grensen, vil vi ha:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\venstre(\ frac(\sin(3x))(3x)\høyre)^2\cdot(9x^2))(\venstre(\frac(\sin(x))(x)\høyre)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\høyre)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Eksempel nr. 7

Beregn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ underlagt $\alpha\neq \ beta$.

Detaljerte forklaringer ble gitt tidligere, men her merker vi bare at det igjen er usikkerhet $\frac(0)(0)$. La oss gå fra cosinus til sinus ved å bruke formelen

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Ved å bruke denne formelen får vi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\venstre|\frac(0)( 0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\høyre)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\høyre))(x)\høyre)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin\venstre(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Eksempel nr. 8

Finn grensen $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Siden $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (husk at $\sin(0)=\tg(0)=0$) og $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, så her har vi å gjøre med usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. La oss dele det ned som følger:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\venstre(\frac(1)(\cos(x))-1\høyre))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Eksempel nr. 9

Finn grensen $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Siden $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ og $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, så er det usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Før du fortsetter til utvidelsen, er det praktisk å gjøre en endring av variabelen på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (merk at i formlene er variabelen $\alpha \to 0$). Den enkleste måten er å introdusere variabelen $t=x-3$. Men for enkelhets skyld for ytterligere transformasjoner (denne fordelen kan sees i løpet av løsningen nedenfor), er det verdt å gjøre følgende erstatning: $t=\frac(x-3)(2)$. Jeg legger merke til at begge erstatningene gjelder i i dette tilfellet, vil bare den andre erstatningen tillate deg å jobbe mindre med brøker. Siden $x\to(3)$, deretter $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\venstre|\frac (0)(0)\høyre| =\venstre|\begin(justert)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ til(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\venstre(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\høyre) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Svar: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Eksempel nr. 10

Finn grensen $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Nok en gang har vi å gjøre med usikkerhet $\frac(0)(0)$. Før du fortsetter til utvidelsen, er det praktisk å gjøre en endring av variabel på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (merk at i formlene er variabelen $\alpha\to(0)$). Den enkleste måten er å introdusere variabelen $t=\frac(\pi)(2)-x$. Siden $x\to\frac(\pi)(2)$, deretter $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\venstre(\frac(\pi)(2)-x\høyre)^2) =\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\venstre|\begin(justert)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\venstre(\frac(\pi)(2)-t\høyre))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\venstre(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\høyre)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Eksempel nr. 11

Finn grensene $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

I dette tilfellet trenger vi ikke bruke den første fantastiske grensen. Vær oppmerksom på at både den første og andre grensen inneholder kun trigonometriske funksjoner og tall. Ofte i eksempler av denne typen er det mulig å forenkle uttrykket plassert under grensetegnet. Dessuten, etter den nevnte forenklingen og reduksjonen av noen faktorer, forsvinner usikkerheten. Jeg ga dette eksemplet for bare ett formål: å vise at tilstedeværelsen av trigonometriske funksjoner under grensetegnet ikke nødvendigvis betyr bruken av den første bemerkelsesverdige grensen.

Siden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (husk at $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) og $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (la meg minne deg på at $\cos\frac(\pi)(2)=0$), så har vi håndtere usikkerhet av formen $\frac(0)(0)$. Dette betyr imidlertid ikke at vi trenger å bruke den første fantastiske grensen. For å avsløre usikkerheten er det nok å ta hensyn til at $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\venstre|\frac(0)(0)\høyre| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Det er en lignende løsning i Demidovichs løsningsbok (nr. 475). Når det gjelder den andre grensen, som i de foregående eksemplene i denne delen, har vi en usikkerhet på formen $\frac(0)(0)$. Hvorfor oppstår det? Det oppstår fordi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ og $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Vi bruker disse verdiene til å transformere uttrykkene i telleren og nevneren. Målet med våre handlinger er å skrive ned summen i telleren og nevneren som et produkt. Forresten, ofte innenfor en lignende type er det praktisk å endre en variabel, laget på en slik måte at den nye variabelen har en tendens til null (se for eksempel eksempel nr. 9 eller nr. 10 på denne siden). I dette eksemplet er det imidlertid ingen vits i å erstatte, men om ønskelig er det ikke vanskelig å erstatte variabelen $t=x-\frac(2\pi)(3)$.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ til\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\venstre(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \venstre(x-\frac(2\pi)(3)\høyre))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\høyre))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\høyre)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Som du kan se, trengte vi ikke å bruke den første fantastiske grensen. Selvfølgelig kan du gjøre dette hvis du vil (se merknad nedenfor), men det er ikke nødvendig.

Hva er løsningen ved å bruke den første bemerkelsesverdige grensen? Vis skjul

Ved å bruke den første bemerkelsesverdige grensen får vi:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\venstre(\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\ høyre))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

For de som ønsker å lære å finne grenser, i denne artikkelen vil vi fortelle deg om det. Vi vil ikke fordype oss i teorien; lærere holder den vanligvis på forelesninger. Så den "kjedelige teorien" bør noteres ned i notatbøkene dine. Hvis dette ikke er tilfelle, kan du lese lærebøker lånt på biblioteket. utdanningsinstitusjon eller på andre Internett-ressurser.

Så konseptet grense er ganske viktig i studiet av høyere matematikk, spesielt når du kommer over integralregning og forstår sammenhengen mellom grense og integral. I det nåværende materialet vil vi vurdere enkle eksempler, samt måter å løse dem på.

Eksempler på løsninger

Hva å gjøre med usikkerheten i formen: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

La oss skyve grensen i de to siste eksemplene til uendelig og vurdere usikkerheten: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algoritme for beregning av grenser

Så la oss kort oppsummere eksemplene og lage en algoritme for å løse grensene:

1. Sett inn punkt x i uttrykket etter grensetegnet. Hvis et visst tall eller uendelighet oppnås, er grensen fullstendig løst. Ellers har vi usikkerhet: "null delt på null" eller "uendelig delt på uendelig" og gå videre til de neste trinnene i instruksjonene.
2. For å eliminere usikkerheten til "null delt på null", må du faktorisere telleren og nevneren. Reduser lignende. Sett inn punkt x i uttrykket under grensetegnet.
3. Hvis usikkerheten er «uendelig delt på uendelig», så tar vi ut både telleren og nevneren x i størst grad. Vi forkorter X-ene. Vi erstatter verdiene til x fra under grensen til det gjenværende uttrykket.

I denne artikkelen lærte du det grunnleggende om å løse grenser som ofte brukes i kurset. Matematisk analyse. Dette er selvfølgelig ikke alle typer problemer som sensorer tilbyr, men bare de enkleste grensene. Vi vil snakke om andre typer oppgaver i fremtidige artikler, men først må du lære denne leksjonen for å komme videre. La oss diskutere hva vi skal gjøre hvis det er røtter, grader, studere infinitesimale ekvivalente funksjoner, bemerkelsesverdige grenser, L'Hopitals regel.

Hvis du ikke kan finne ut grensene selv, ikke få panikk. Vi er alltid glade for å hjelpe!

Funksjonsgrense- Antall en vil være grensen for en eller annen variabel mengde hvis, i prosessen med endringen, denne variable mengden nærmer seg på ubestemt tid en.

Eller med andre ord, tallet EN er grensen for funksjonen y = f(x) på punktet x 0, hvis for noen sekvens av punkter fra domenet for definisjon av funksjonen , ikke lik x 0, og som konvergerer til poenget x 0 (lim x n = x0), sekvensen av tilsvarende funksjonsverdier konvergerer til tallet EN.

Grafen til en funksjon hvis grense, gitt et argument som har en tendens til uendelig, er lik L:

Betydning EN er grense (grenseverdi) for funksjonen f(x) på punktet x 0 i tilfelle for en hvilken som helst sekvens av punkter , som konvergerer til x 0, men som ikke inneholder x 0 som et av dets elementer (dvs. i den punkterte nærhet x 0), sekvens av funksjonsverdier konvergerer til EN.

Begrensning av en Cauchy-funksjon.

Betydning EN vil være grensen for funksjonen f(x) på punktet x 0 hvis for et ikke-negativt tall tatt på forhånd ε det tilsvarende ikke-negative tallet vil bli funnet δ = δ(ε) slik at for hvert argument x, som tilfredsstiller betingelsen 0 < | x - x0 | < δ , vil ulikheten tilfredsstilles | f(x)A |< ε .

Det vil være veldig enkelt hvis du forstår essensen av grensen og de grunnleggende reglene for å finne den. Hva er grensen for funksjonen f (x) på x streber etter en er lik EN, er skrevet slik:

Dessuten verdien som variabelen tenderer til x, kan ikke bare være et tall, men også uendelig (∞), noen ganger +∞ eller -∞, eller det kan ikke være noen grense i det hele tatt.

For å forstå hvordan finne grensene for en funksjon, er det best å se på eksempler på løsninger.

Det er nødvendig å finne grensene for funksjonen f (x) = 1/x på:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

La oss finne en løsning på den første grensen. For å gjøre dette, kan du ganske enkelt erstatte x tallet det har en tendens til, dvs. 2, vi får:

La oss finne den andre grensen for funksjonen. Her erstatte ren 0 i stedet x det er umulig, fordi Du kan ikke dele på 0. Men vi kan ta verdier nær null, for eksempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 og så videre, og verdien av funksjonen f (x) vil øke: 100; 1000; 10 000; 100 000 og så videre. Dermed kan det forstås at når x→ 0 verdien av funksjonen som står under grensetegnet vil øke uten grense, dvs. streve mot det uendelige. Som betyr:

Angående den tredje grensen. Den samme situasjonen som i forrige tilfelle, det er umulig å erstatte ∞ i sin reneste form. Vi må vurdere tilfellet med ubegrenset økning x. Vi erstatter 1000 en etter en; 10 000; 100 000 og så videre, vi har den verdien av funksjonen f (x) = 1/x vil redusere: 0,001; 0,0001; 0,00001; og så videre, med en tendens til null. Derfor:

Det er nødvendig å beregne grensen for funksjonen

Når vi begynner å løse det andre eksemplet, ser vi usikkerhet. Herfra finner vi den høyeste graden av teller og nevner - dette er x 3, tar vi den ut av parentes i telleren og nevneren og reduserer den med:

Svar

Det første steget inn finne denne grensen, bytt inn verdien 1 i stedet x, noe som resulterer i usikkerhet. For å løse det, la oss faktorisere telleren og gjøre dette ved å bruke metoden for å finne røttene til en kvadratisk ligning x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Så telleren blir:

Svar

Dette er definisjonen av dens spesifikke verdi eller et bestemt område hvor funksjonen faller, som er begrenset av grensen.

Følg reglene for å løse grenser:

Etter å ha forstått essensen og hovedsaken regler for løsning av grensen, vil du få en grunnleggende forståelse av hvordan du løser dem.

Vanligvis er den andre bemerkelsesverdige grensen skrevet i denne formen:

\begin(ligning) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(ligning)

Tallet $e$ angitt på høyre side av likhet (1) er irrasjonelt. Den omtrentlige verdien av dette tallet er: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Hvis vi gjør erstatningen $t=\frac(1)(x)$, kan formel (1) skrives om som følger:

\begin(ligning) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(ligning)

Når det gjelder den første bemerkelsesverdige grensen, spiller det ingen rolle hvilket uttrykk som står i stedet for variabelen $x$ i formel (1) eller i stedet for variabelen $t$ i formel (2). Det viktigste er å oppfylle to betingelser:

1. Grunnlaget for graden (dvs. uttrykket i parentes av formlene (1) og (2)) bør ha en tendens til enhet;
2. Eksponenten (dvs. $x$ i formel (1) eller $\frac(1)(t)$ i formel (2)) må ha en tendens til uendelig.

Den andre bemerkelsesverdige grensen sies å avsløre usikkerheten på $1^\infty$. Vær oppmerksom på at i formel (1) spesifiserer vi ikke hvilken uendelighet ($+\infty$ eller $-\infty$) vi snakker om. I alle disse tilfellene er formel (1) riktig. I formel (2) kan variabelen $t$ ha en tendens til null både til venstre og høyre.

Jeg bemerker at det også er flere nyttige konsekvenser av den andre bemerkelsesverdige grensen. Eksempler på bruken av den andre bemerkelsesverdige grensen, så vel som dens konsekvenser, er veldig populære blant kompilatorer av standard standardberegninger og tester.

Eksempel nr. 1

Beregn grensen $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

La oss umiddelbart merke oss at basisen til graden (dvs. $\frac(3x+1)(3x-5)$) har en tendens til enhet:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\venstre|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

I dette tilfellet har eksponenten (uttrykket $4x+7$) en tendens til uendelig, dvs. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Gradens basis tenderer mot enhet, eksponenten tenderer mot uendelig, dvs. vi har å gjøre med usikkerhet $1^\infty$. La oss bruke en formel for å avsløre denne usikkerheten. I bunnen av potensen til formelen er uttrykket $1+\frac(1)(x)$, og i eksemplet vi vurderer er bunnen av potensen: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Derfor vil den første handlingen være en formell justering av uttrykket $\frac(3x+1)(3x-5)$ til formen $1+\frac(1)(x)$. Først legger du til og trekker fra en:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Vær oppmerksom på at du ikke bare kan legge til en enhet. Hvis vi blir tvunget til å legge til en, må vi også trekke den fra for ikke å endre verdien av hele uttrykket. For å fortsette løsningen tar vi hensyn til det

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Siden $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, så:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ venstre(1+\frac(6)(3x-5)\høyre)^(4x+7) $$

La oss fortsette justeringen. I uttrykket $1+\frac(1)(x)$ i formelen er telleren for brøken 1, og i vårt uttrykk $1+\frac(6)(3x-5)$ er telleren $6$. For å få $1$ i telleren, slipp $6$ inn i nevneren ved å bruke følgende konvertering:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Dermed,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Så grunnlaget for graden, dvs. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, justert til formen $1+\frac(1)(x)$ som kreves i formelen. La oss nå begynne å jobbe med eksponenten. Merk at i formelen er uttrykkene i eksponentene og i nevneren de samme:

Dette betyr at i vårt eksempel må eksponenten og nevneren reduseres til samme form. For å få uttrykket $\frac(3x-5)(6)$ i eksponenten, multipliserer vi ganske enkelt eksponenten med denne brøken. Naturligvis, for å kompensere for en slik multiplikasjon, må du umiddelbart multiplisere med den gjensidige brøken, dvs. av $\frac(6)(3x-5)$. Så vi har:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\høyre)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

La oss vurdere grensen for brøken $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ som ligger i potensen separat:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\venstre|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Eksempel nr. 4

Finn grensen $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Siden for $x>0$ har vi $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, så:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ venstre(\frac(x+1)(x)\høyre)\høyre) $$

Ved å utvide brøken $\frac(x+1)(x)$ til summen av brøkene $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ får vi:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\venstre (x\cdot\ln\venstre(1+\frac(1)(x)\høyre)\høyre) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\venstre(\frac(x+1) (x)\høyre)^x\høyre) =\ln(e) =1. $$

Svar: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Eksempel nr. 5

Finn grensen $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Siden $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ og $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, da har vi å gjøre med usikkerhet av formen $1^\infty$. Detaljerte forklaringer er gitt i eksempel nr. 2, men her skal vi begrense oss kort løsning. Ved å erstatte $t=x-2$ får vi:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\venstre|\begin(justert)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\venstre(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\høyre)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Du kan løse dette eksemplet på en annen måte ved å bruke erstatningen: $t=\frac(1)(x-2)$. Selvfølgelig vil svaret være det samme:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\venstre|\begin(justert)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(justert)\høyre| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Svar: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Eksempel nr. 6

Finn grensen $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

La oss finne ut hva uttrykket $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ har en tendens til under betingelsen $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\venstre|\frac(\infty)(\infty)\høyre| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2) -0)=1. $$

I en gitt grense har vi altså å gjøre med en usikkerhet på formen $1^\infty$, som vi vil avsløre ved å bruke den andre bemerkelsesverdige grensen:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\høyre)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\høyre)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Svar: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Grenser gir alle matematikkstudenter mye trøbbel. For å løse en grense må du noen ganger bruke mange triks og velge fra en rekke løsningsmetoder akkurat den som passer for et bestemt eksempel.

I denne artikkelen vil vi ikke hjelpe deg med å forstå grensene for dine evner eller forstå grensene for kontroll, men vi vil prøve å svare på spørsmålet: hvordan forstå grensene i høyere matematikk? Forståelse kommer med erfaring, så samtidig vil vi gi noen detaljerte eksempler grenseløsninger med forklaringer.

Begrepet grense i matematikk

Det første spørsmålet er: hva er denne grensen og grensen for hva? Vi kan snakke om grensene for numeriske sekvenser og funksjoner. Vi er interessert i konseptet med grensen til en funksjon, siden det er dette elevene oftest møter. Men først - mest generell definisjon grense:

La oss si at det er en variabel verdi. Hvis denne verdien i endringsprosessen ubegrenset nærmer seg et visst antall en , Det en – grensen for denne verdien.

For en funksjon definert i et bestemt intervall f(x)=y et slikt tall kalles en grense EN , som funksjonen har en tendens til når X , tendens til et visst punkt EN . Punktum EN tilhører intervallet som funksjonen er definert på.

Det høres tungvint ut, men det er skrevet veldig enkelt:

Lim- fra engelsk grense- grense.

Det er også en geometrisk forklaring for å bestemme grensen, men her skal vi ikke fordype oss i teorien, siden vi er mer interessert i den praktiske enn den teoretiske siden av problemstillingen. Når vi sier det X har en tendens til en eller annen verdi, betyr dette at variabelen ikke tar på seg verdien av et tall, men nærmer seg det uendelig nært.

La oss gi spesifikt eksempel. Oppgaven er å finne grensen.

For å løse dette eksemplet erstatter vi verdien x=3 inn i en funksjon. Vi får:

Forresten, hvis du er interessert i grunnleggende operasjoner på matriser, les egen artikkel om dette temaet.

I eksemplene X kan ha en hvilken som helst verdi. Det kan være et hvilket som helst tall eller uendelig. Her er et eksempel når X har en tendens til det uendelige:

Intuitivt, jo større tall i nevneren, jo mindre verdi vil funksjonen ha. Så, med ubegrenset vekst X betydning 1/x vil avta og nærme seg null.

Som du kan se, for å løse grensen, trenger du bare å erstatte verdien du skal strebe etter i funksjonen X . Dette er imidlertid det enkleste tilfellet. Ofte er det ikke så åpenbart å finne grensen. Innenfor rammene er det usikkerheter av typen 0/0 eller uendelig/uendelig . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ty til triks!

Usikkerhet innenfor

Usikkerhet av formen uendelig/uendelig

La det være en grense:

Hvis vi prøver å erstatte uendelig i funksjonen, vil vi få uendelig i både teller og nevner. Generelt er det verdt å si at det er et visst element av kunst i å løse slike usikkerheter: du må legge merke til hvordan du kan transformere funksjonen på en slik måte at usikkerheten forsvinner. I vårt tilfelle deler vi teller og nevner med X i seniorgraden. Hva vil skje?

Fra eksemplet som allerede er diskutert ovenfor, vet vi at ledd som inneholder x i nevneren vil ha en tendens til null. Da er løsningen til grensen:

For å løse typeusikkerheter uendelig/uendelig del teller og nevner med X i høyeste grad.

Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på alle typer arbeid

En annen type usikkerhet: 0/0

Som alltid, erstatte verdier i funksjonen x=-1 gir 0 i teller og nevner. Se litt nærmere, og du vil legge merke til det i telleren vår kvadratisk ligning. La oss finne røttene og skrive:

La oss redusere og få:

Så hvis du står overfor type usikkerhet 0/0 – faktor telleren og nevneren.

For å gjøre det lettere for deg å løse eksempler, presenterer vi en tabell med grensene for noen funksjoner:

L'Hopitals styre innenfor

En annen kraftig måte å eliminere begge typer usikkerhet. Hva er essensen i metoden?

Hvis det er usikkerhet i grensen, ta den deriverte av telleren og nevneren til usikkerheten forsvinner.

L'Hopitals regel ser slik ut:

Viktig poeng : grensen der de deriverte av telleren og nevneren står i stedet for telleren og nevneren må eksistere.

Og nå - et ekte eksempel:

Det er typisk usikkerhet 0/0 . La oss ta de deriverte av telleren og nevneren:

Voila, usikkerhet løses raskt og elegant.

Vi håper at du vil være i stand til å bruke denne informasjonen nyttig i praksis og finne svaret på spørsmålet "hvordan løse grenser i høyere matematikk." Hvis du trenger å beregne grensen for en sekvens eller grensen for en funksjon på et punkt, og det er absolutt ikke tid til dette arbeidet, kontakt en profesjonell studenttjeneste for en rask og detaljert løsning.