Eksempel på problemløsning

Synodisk revolusjonsperiode(S) til en planet er tidsintervallet mellom dens to påfølgende konfigurasjoner med samme navn.

Siderisk eller siderisk revolusjonsperiode(T) av en planet er tidsperioden hvor planeten gjør en fullstendig revolusjon rundt solen i sin bane.

Den sideriske perioden av jordens revolusjon kalles det sideriske året (T☺). En enkel matematisk sammenheng kan etableres mellom disse tre periodene fra følgende resonnement. Vinkelbevegelsen i bane per dag er lik for planeten og for jorden. Forskjellen mellom de daglige vinkelforskyvningene til planeten og jorden (eller jorden og planeten) er den tilsynelatende forskyvningen av planeten per dag, dvs. derfor for de lavere planetene

for de øvre planetene

Disse likhetene kalles synodisk bevegelseslikninger.

Bare de synodiske revolusjonsperiodene til planetene S og den sideriske revolusjonsperioden til jorden kan bestemmes direkte fra observasjoner, dvs. siderisk år T ☺. De sideriske rotasjonsperiodene til planetene T beregnes ved å bruke den tilsvarende ligningen for synodisk bevegelse.

Varigheten av et siderisk år er 365,26... gjennomsnittlig soldag.

7.4. Keplers lover

Kepler var tilhenger av Copernicus lære og satte seg i oppgave å forbedre systemet sitt basert på observasjoner av Mars, som ble utført av den danske astronomen Tycho Brahe (1546-1601) i tjue år og av Kepler selv i flere år.

Til å begynne med delte Kepler den tradisjonelle troen på at himmellegemer bare kunne bevege seg i sirkler, og derfor brukte han mye tid på å prøve å finne en sirkulær bane for Mars.

Etter mange år med svært arbeidskrevende beregninger, og forlot den generelle misoppfatningen om sirkulæriteten til bevegelser, oppdaget Kepler tre lover for planetbevegelser, som for tiden er formulert som følger:

1. Alle planeter beveger seg i ellipser, i et av fokusene (felles for alle planeter) er Solen.

2. Radiusvektoren til planeten beskriver like områder i like tidsintervaller.

3. Kvadratene til de sideriske omdreiningsperiodene til planetene rundt solen er proporsjonale med kubene til de semi-major-aksene til deres elliptiske baner.

Som kjent, i en ellipse er summen av avstandene fra et hvilket som helst av punktene til to faste punkter f 1 og f 2 som ligger på dens akse AP og kalt foci en konstant verdi lik hovedaksen AP (fig. 27). Avstanden PO (eller OA), der O er sentrum av ellipsen, kalles halvhovedaksen , og forholdet er eksentrisiteten til ellipsen. Sistnevnte karakteriserer ellipsens avvik fra en sirkel der e = 0.

Planetenes baner skiller seg lite fra sirkler, d.v.s. deres eksentrisiteter er små. Venus bane har den minste eksentrisiteten (e = 0,007), den største eksentrisiteten er banen til Pluto (e = 0,247). Eksentrisiteten til jordens bane er e = 0,017.

I følge Keplers første lov befinner solen seg i en av brennpunktene i planetens elliptiske bane. La i fig. 27, og dette vil være fokus f 1 (C - Sol). Da kalles banepunktet P nærmest Solen perihelium, og punktet A som er lengst unna solen er aphelion. Hovedaksen til APs bane kalles apsi linje d, og linjen f 2 P som forbinder solen og planeten P i dens bane er radius vektor for planeten.

Avstanden til planeten fra solen ved perihelium

q = a (1 - e), (2,3)

Q = a (l + e). (2.4)

Den gjennomsnittlige avstanden til planeten fra solen er antatt å være den halve hovedaksen til banen.

I følge Keplers andre lov er området CP 1 P 2 beskrevet av planetens radiusvektor over tid t nær perihelium, lik arealet til CP 3 P 4 beskrevet av ham for samme tid t nær aphelion (fig. 27, b). Siden buen P 1 P 2 er større enn buen P 3 P 4, har derfor planeten nær perihelium en hastighet større enn nær aphelion. Med andre ord er bevegelsen rundt solen ujevn.

Planetariske konfigurasjoner refererer til noen karakteristiske gjensidige posisjoner av planetene til jorden og solen.

Først og fremst bemerker vi at betingelsene for synlighet av planeter fra Jorden varierer sterkt for de indre planetene (Venus og Merkur), hvis baner ligger innenfor jordens bane, og for de ytre planetene (alle andre).

Den indre planeten kan være mellom jorden og solen eller bak solen. I slike posisjoner er planeten usynlig, siden den går tapt i solens stråler. Disse posisjonene kalles planet-sol-konjunksjoner. Ved inferior konjunksjon er planeten nærmest jorden, og ved superior konjunksjon er den lengst unna oss (fig. 26).

Det er lett å se at vinkelen mellom retningene fra jorden til solen og til den indre planeten aldri overstiger en viss verdi, forblir akutt. Denne begrensende vinkelen kalles planetens største avstand fra solen. Den største avstanden til Merkur når 28°, Venus - opptil 48°. Derfor er de indre planetene alltid synlige nær Solen, enten om morgenen på østsiden av himmelen, eller om kvelden på den vestlige siden av himmelen.På grunn av Merkurs nærhet til Solen er det sjelden mulig å se Merkur med det blotte øye (fig. 26 og 27).

Venus beveger seg bort fra solen på himmelen i en større vinkel, og den er lysere enn alle stjernene og planetene. Etter solnedgang forblir den lenger på himmelen i morgenstrålene og er tydelig synlig selv mot bakgrunnen. Det er også godt synlig i morgenlyset. Det er lett å forstå at på den sørlige delen av himmelen og midt på natten kan verken Merkur eller Venus sees.

Hvis Merkur eller Venus, passerer mellom Jorden og Solen, projiseres på solskiven, er de synlige på den som små svarte sirkler. Slike passasjer over solskiven under den underordnede konjunksjonen til Merkur og spesielt Venus er relativt sjeldne, ikke oftere enn hvert 7.-8. år.

Halvkulen til den indre planeten opplyst av solen er synlig for oss forskjellig i forskjellige posisjoner i forhold til jorden. Derfor, for jordiske observatører, endrer de indre planetene sine faser, som Månen. I dårligere sammenheng med solen, vender planetene sin ubelyste side mot oss og er usynlige. Litt unna denne posisjonen har de form som en sigd. Når vinkelavstanden til planeten fra solen øker, reduseres vinkeldiameteren til planeten, og bredden på halvmånen blir større. Når vinkelen på planeten mellom retningene til Solen og Jorden er 90°, ser vi nøyaktig halvparten av planetens opplyste halvkule. En slik planet står helt overfor oss med sin halvkule på dagtid under tiden med overlegen konjunksjon. Men så er hun borte i solens stråler og usynlig.

De ytre planetene kan være plassert bak solen i forhold til jorden (i forbindelse med den), som Merkur og Venus, og da

Ris. 26. Planetariske konfigurasjoner.

går også tapt i solens stråler.Men de kan også ligge på fortsettelsen av den rette linjen Sol - Jord, slik at Jorden er mellom planeten og solen. Denne konfigurasjonen kalles opposisjon. Det er mest praktisk å observere planeten, siden planeten på dette tidspunktet for det første er nærmest jorden, for det andre er dens opplyste halvkule vendt mot den, og for det tredje er den på himmelen på et sted motsatt av solen, planeten er i den øvre kulminasjonen er rundt midnatt og er derfor synlig i lang tid både før og etter midnatt.

Øyeblikk av planetariske konfigurasjoner og forholdene for deres synlighet i et gitt år er gitt i "School Astronomical Calendar".

2. Synodiske perioder.

Den synodiske revolusjonsperioden til en planet er tidsperioden som går mellom repetisjoner av dens identiske konfigurasjoner, for eksempel mellom to motsetninger.

Jo nærmere de er solen, jo raskere beveger planetene seg. Derfor, etter motstanden av Mars, vil jorden begynne å overta den. Hver dag vil hun bevege seg lenger bort fra ham. Når hun overtar ham i en hel sving, blir det konfrontasjon igjen. Den synodiske perioden til den ytre planeten er tidsperioden som Jorden overtar planeten med 360° når de beveger seg rundt solen. Jordens vinkelhastighet (vinkelen den beskriver per dag) er vinkelhastigheten til Mars hvor er antall dager i et år, T er planetens sideriske revolusjonsperiode, uttrykt i dager. Hvis er den synodiske perioden til planeten i dager, så vil jorden på en dag overta planeten med 360°, dvs.

Hvis vi erstatter de tilsvarende tallene i denne formelen (se tabell V i vedlegget), kan vi for eksempel finne at den synodiske perioden til Mars er 780 dager osv. For de indre planetene som går raskere i bane enn Jorden, må vi skrive:

For Venus er den synodiske perioden 584 dager.

Ris. 27. Plasseringen av banene til Merkur og Venus i forhold til horisonten for en observatør når solen går ned (fasene og tilsynelatende diametrene til planetene i forskjellige posisjoner i forhold til solen er indikert for samme observatørposisjon).

Astronomer kjente til å begynne med ikke planetenes sideriske perioder, mens de synodiske periodene til planetene ble bestemt ut fra direkte observasjoner. For eksempel bemerket de hvor mye tid som går mellom påfølgende opposisjoner av planeten, det vil si mellom dager når den kulminerer nøyaktig ved midnatt. Etter å ha bestemt de synodiske periodene S fra observasjoner, fant de ved beregning de sideriske revolusjonsperiodene til planetene T. Da Kepler senere oppdaget lovene for planetarisk bevegelse, var han i stand til å fastslå planetenes relative avstander fra den tredje loven. Sun, siden de sideriske periodene til planetene allerede var beregnet basert på synodiske perioder.

1 Den sideriske perioden for Jupiters revolusjon er 12 år. Etter hvilken tidsperiode gjentas konfrontasjonene hans?

2. Det legges merke til at motstand fra en viss planet gjentas etter 2 år. Hva er halvhovedaksen til dens bane?

3. Den synodiske perioden for planeten er 500 dager. Bestem halvhovedaksen til banen. (Les denne oppgaven nøye på nytt.)

Fortjenesten ved å oppdage lovene for planetarisk bevegelse tilhører den fremragende tyske vitenskapsmannen Johannes Kepler(1571-1630). På begynnelsen av 1600-tallet. Kepler, som studerte Mars revolusjon rundt solen, etablerte tre lover for planetarisk bevegelse.

Keplers første lov. Hver planet roterer i en ellipse, med solen i ett fokus(Fig. 30).

Ellipse(se fig. 30) er en flat lukket kurve som har den egenskapen at summen av avstandene til hvert punkt fra to punkter, kalt foci, forblir konstant. Denne summen av avstander er lik lengden på ellipsens hovedakse DA. Punkt O er sentrum av ellipsen, K og S er brennpunktene. Solen er i dette tilfellet i fokus S. DO=OA=a er ellipsens semimajor-akse. Halvhovedaksen er den gjennomsnittlige avstanden til planeten fra solen:

Banepunktet A som er nærmest Solen kalles perihelium, og det fjerneste punktet D fra den er aphelion.

Graden av forlengelse av en ellipse er karakterisert ved dens eksentrisitet e. Eksentrisitet er lik forholdet mellom avstanden til fokuset fra sentrum (OK=OS) til lengden av halvhovedaksen a, dvs. når brennpunktene sammenfaller med sentrum (e=0), blir ellipsen til en sirkel.

Banene til planetene er ellipser, litt forskjellig fra sirkler; deres eksentrisiteter er små. For eksempel er eksentrisiteten til jordens bane e=0,017.

Keplers andre lov(områdeloven). Radiusvektoren til planeten beskriver like områder i like tidsintervaller, dvs. arealene SAH og SCD er like (se fig. 30), hvis buene og er beskrevet av planeten i like tidsintervaller. Men lengdene på disse buene, som avgrenser like områder, er forskjellige: >. Følgelig er ikke den lineære bevegelseshastigheten til planeten den samme på forskjellige punkter i banen. Jo nærmere en planet er solen, jo raskere beveger den seg i sin bane. Ved perihelium er planetens hastighet størst, og ved aphelium er den minst. Dermed kvantifiserer Keplers andre lov endringen i hastigheten til en planets bevegelse langs en ellipse.

Keplers tredje lov. Kvadratene til planetenes sideriske perioder er relatert som kubene til de semi-major-aksene til deres baner. Hvis halvhovedaksen til banen og den sideriske revolusjonsperioden til en planet er betegnet med en 1, T 1 og den andre planeten med en 2, T 2, vil formelen til den tredje loven være som følger:

Denne Kepler-loven forbinder planetenes gjennomsnittlige avstander fra solen med deres sideriske perioder og lar oss fastslå de relative avstandene til planetene fra solen, siden planetenes sideriske perioder allerede er beregnet basert på synodiske perioder, i med andre ord lar det oss uttrykke halvhovedaksene til alle planetbaner i enheter av halvhovedaksen jordens bane.

Den halve hovedaksen til jordens bane er tatt som den astronomiske enheten for avstand (a = 1 AU).

Verdien i kilometer ble bestemt senere, først på 1700-tallet.

Eksempel på problemløsning

Oppgave. Motstander fra en viss planet gjentas etter 2 år. Hva er halvhovedaksen til dens bane?

Øvelse 8

2. Bestem omløpsperioden til en kunstig jordsatellitt hvis det høyeste punktet i banen over jorden er 5000 km, og det laveste punktet er 300 km. Betrakt jorden som en kule med en radius på 6370 km. Sammenlign bevegelsen til satellitten med månens revolusjon.

3. Den synodiske perioden for planeten er 500 dager. Bestem halvhovedaksen for dens bane og stjerneomløpsperiode.

12. Bestemmelse av avstander og størrelser på kropper i solsystemet

1. Bestemmelse av avstander

Den gjennomsnittlige avstanden til alle planeter fra solen i astronomiske enheter kan beregnes ved å bruke Keplers tredje lov. Etter å ha bestemt jordens gjennomsnittlige avstand fra solen(dvs. verdien av 1 AU) i kilometer, kan avstandene til alle planetene i solsystemet finnes i disse enhetene.

Siden 40-tallet av vårt århundre har radioteknologi gjort det mulig å bestemme avstander til himmellegemer ved hjelp av radar, som du kjenner til fra et fysikkkurs. Sovjetiske og amerikanske forskere brukte radar for å klargjøre avstandene til Merkur, Venus, Mars og Jupiter.

Husk hvordan avstanden til et objekt kan bestemmes av reisetiden til et radarsignal.

Den klassiske måten å bestemme avstander på var og forblir den goniometriske geometriske metoden. De bestemmer også avstander til fjerne stjerner, som radarmetoden ikke er anvendelig for. Den geometriske metoden er basert på fenomenet parallaktisk forskyvning.

Parallakseforskyvning er retningsendringen til et objekt når observatøren beveger seg (fig. 31).

Se på den vertikale blyanten først med det ene øyet, deretter med det andre. Du vil se hvordan han endret posisjon mot bakgrunnen til fjerne objekter, retningen mot ham endret seg. Jo lenger du flytter blyanten, jo mindre parallaktisk forskyvning vil det være. Men jo lenger observasjonspunktene er fra hverandre, det vil si jo flere basis, jo større er den parallaktiske forskyvningen i samme avstand til objektet. I vårt eksempel var grunnlaget avstanden mellom øynene. For å måle avstander til solsystemlegemer er det praktisk å ta jordens radius som grunnlag. Posisjonene til en stjerne, for eksempel Månen, observeres mot bakgrunnen av fjerne stjerner samtidig fra to forskjellige punkter. Avstanden mellom dem skal være så stor som mulig, og segmentet som forbinder dem skal danne en vinkel med retningen mot lyskilden, så nær en rett linje som mulig, slik at den parallaktiske forskyvningen er maksimal. Etter å ha bestemt retningene til det observerte objektet fra to punkter A og B (fig. 32), er det lett å beregne vinkelen p som et segment lik jordens radius ville være synlig fra dette objektet. Derfor, for å bestemme avstandene til himmellegemer, må du vite verdien av grunnlaget - radiusen til planeten vår.

2. Jordens størrelse og form

På fotografier tatt fra verdensrommet fremstår jorden som en kule opplyst av solen og viser de samme fasene som månen (se fig. 42 og 43).

Det nøyaktige svaret om jordas form og størrelse er gitt gradsmålinger, dvs. målinger i kilometer av lengden til en bue på 1° på forskjellige steder på jordoverflaten. Denne metoden dateres tilbake til det 3. århundre f.Kr. e. brukt av en gresk vitenskapsmann som bodde i Egypt Eratosthenes. Denne metoden brukes nå i geodesi- vitenskapen om jordens form og målinger på jorden, tatt i betraktning dens krumning.

På flatt terreng velger du to punkter som ligger på samme meridian og bestemmer lengden på buen mellom dem i grader og kilometer. Regn deretter ut hvor mange kilometer en buelengde på 1° tilsvarer. Det er klart at lengden på meridianbuen mellom de valgte punktene i grader er lik forskjellen i de geografiske breddegradene til disse punktene: Δφ= = φ 1 - φ 2. Hvis lengden på denne buen, målt i kilometer, er lik l, så hvis jorden er sfærisk, vil en grad (1°) av buen tilsvare en lengde i kilometer: Da er omkretsen av jordens meridian L, uttrykt i kilometer, lik L = 360°n. Ved å dele den med 2π får vi jordas radius.

En av de største meridianbuene fra Polhavet til Svartehavet ble målt i Russland og Skandinavia på midten av 1800-tallet. under ledelse av V. Ya. Struve(1793-1864), direktør for Pulkovo-observatoriet. Store geodetiske målinger i vårt land ble utført etter den store sosialistiske oktoberrevolusjonen.

Gradmålinger viste at lengden på 1° meridianbuen i kilometer i polarområdet er størst (111,7 km), og ved ekvator er den minst (110,6 km). Følgelig er krumningen av jordoverflaten ved ekvator større enn ved polene, noe som betyr at jorden ikke er en kule. Jordens ekvatorialradius er 21,4 km større enn polarradiusen. Derfor blir jorden (som andre planeter) komprimert ved polene på grunn av rotasjon.

En ball som er like stor som planeten vår har en radius på 6370 km. Denne verdien anses å være jordens radius.

Øvelse 9

1. Hvis astronomer kan bestemme geografisk breddegrad med en nøyaktighet på 0,1, hvilken maksimal feil i kilometer langs meridianen tilsvarer dette?

2. Regn ut lengden på en nautisk mil i kilometer, som er lik lengden på ekvatorens V-bue.

3. Parallakse. Astronomisk enhetsverdi

Vinkelen der jordens radius er synlig fra lyset, vinkelrett på siktlinjen, kalles horisontal parallakse.

Jo større avstanden til stjernen er, desto mindre er vinkelen ρ. Denne vinkelen er lik den parallaktiske forskyvningen av armaturet for observatører plassert ved punktene A og B (se fig. 32), akkurat som ∠CAB for observatører ved punktene C og B (se fig. 31). Det er praktisk å bestemme ∠CAB ved dens like ∠DCA, og de er like som vinkler på parallelle linjer (DC AB ved konstruksjon).

Avstand (se fig. 32)

hvor R er jordens radius. Ved å ta R som én, kan vi uttrykke avstanden til stjernen i jordradier.

Månens horisontale parallakse er 57". Alle planeter og solen er mye lenger unna, og deres parallakser er buesekunder. Solens parallakse er for eksempel ρ = 8,8". Tilsvarer parallaksen til solen Jordens gjennomsnittlige avstand fra solen er omtrent 150 000 000 km. Dette er avstanden er tatt som én astronomisk enhet (1 AU). Avstander mellom solsystemlegemer måles ofte i astronomiske enheter.

Ved små vinkler sinρ≈ρ, hvis vinkelen ρ er uttrykt i radianer. Hvis ρ er uttrykt i buesekunder, introduseres multiplikatoren der 206265 er antall sekunder i en radian.

Deretter

Å kjenne disse forholdene forenkler beregningen av avstand fra en kjent parallakse:

Eksempel på problemløsning

Oppgave. Hvor langt er Saturn fra jorden når dens horisontale parallakse er 0,9"?

Øvelse 10

1. Hva er den horisontale parallaksen til Jupiter observert fra Jorden i motsetning, hvis Jupiter er 5 ganger lenger fra Solen enn Jorden?

2. Månens avstand fra jorden ved banepunktet nærmest jorden (perigeum) er 363 000 km, og ved det fjerneste punktet (apogeum) 405 000 km. Bestem månens horisontale parallakse i disse posisjonene.

4. Bestemmelse av lysstørrelser

I figur 33 er T sentrum av jorden, M er sentrum av armaturet med lineær radius r. Per definisjon av horisontal parallakse er jordens radius R synlig fra lyset i en vinkel ρ. Radien til stjernen r er synlig fra jorden i en vinkel.

Fordi det

Hvis vinklene og ρ er små, er sinus proporsjonale med vinklene, og vi kan skrive:

Denne metoden for å bestemme størrelsen på armaturer kan bare brukes når armaturets skive er synlig.

Når du kjenner avstanden D til stjernen og måler dens vinkelradius, kan du beregne dens lineære radius r: r=Dsin eller r=D, hvis vinkelen er uttrykt i radianer.

Eksempel på problemløsning

Oppgave. Hva er månens lineære diameter hvis den er synlig fra en avstand på 400 000 km i en vinkel på omtrent 0,5°?

Øvelse 11

1. Hvor mange ganger er solen større enn månen hvis vinkeldiameteren deres er den samme og deres horisontale parallakser er henholdsvis 8,8" og 57"?

2. Hva er vinkeldiameteren til solen sett fra Pluto?

3. Hvor mange ganger mer energi mottar hver kvadratmeter av overflaten til Merkur fra Solen enn Mars? Ta de nødvendige dataene fra applikasjonene.

4. På hvilke punkter på himmelen ser den jordiske observatøren lyset, som befinner seg i punktene B og A (fig. 32)?

5. I hvilket forhold endres vinkeldiameteren til Solen, synlig fra Jorden og fra Mars, numerisk fra perihelium til aphelium hvis eksentrisitetene til banene deres er lik henholdsvis 0,017 og 0,093?

Oppgave 5

1. Mål ∠DCA (fig. 31) og ∠ASC (fig. 32) med en vinkelmåler og lengden på basene med en linjal. Beregn avstandene henholdsvis CA og SC fra dem, og kontroller resultatet ved direkte måling ved hjelp av tegningene.

2. Mål vinklene p og I i figur 33 med en gradskive, og ut fra de oppnådde dataene, bestem forholdet mellom diametrene til de avbildede kroppene.

3. Bestem omløpsperiodene til kunstige satellitter som beveger seg i elliptiske baner vist i figur 34 ved å måle hovedaksene deres med en linjal og ta jordas radius til 6370 km.