Projisere vektorer på akser. Projeksjon (geometrisk, algebraisk) av en vektor på en akse. Egenskaper til anslag. Typer projeksjoner per definisjon vektorprojeksjon

Projeksjon vektor på en akse er en vektor som oppnås ved å multiplisere skalarprojeksjonen til en vektor på denne aksen og enhetsvektoren til denne aksen. For eksempel, hvis en x – skalarprojeksjon vektor EN til X-aksen, deretter en x Jeg- dens vektorprojeksjon på denne aksen.

La oss betegne vektorprojeksjon det samme som selve vektoren, men med indeksen til aksen som vektoren er projisert på. Så vektorprojeksjonen til vektoren EN på X-aksen betegner vi EN x ( fett en bokstav som angir en vektor og et underskrift av aksenavnet) eller (en ikke-fet skrift som angir en vektor, men med en pil øverst (!) og en underskrift av aksenavnet).

Skalarprojeksjon vektor per akse kalles Antall, hvis absolutte verdi er lik lengden på aksesegmentet (på den valgte skalaen) innelukket mellom projeksjonene av startpunktet og endepunktet til vektoren. Vanligvis i stedet for uttrykket skalarprojeksjon de sier bare - projeksjon. Projeksjonen er merket med samme bokstav som den projiserte vektoren (i normal, ikke-fet skrift), med en lavere indeks (som regel) av navnet på aksen som denne vektoren er projisert på. For eksempel hvis en vektor projiseres på X-aksen EN, da er projeksjonen angitt med en x. Når den samme vektoren projiseres på en annen akse, hvis aksen er Y, vil dens projeksjon bli betegnet som en y.

For å beregne projeksjonen vektor på en akse (for eksempel X-aksen), er det nødvendig å trekke koordinaten til startpunktet fra koordinaten til endepunktet, dvs.
a x = x k − x n.
Projeksjonen av en vektor på en akse er et tall. Dessuten kan projeksjonen være positiv hvis verdien x k er større enn verdien x n,

negativ hvis verdien x k er mindre enn verdien x n

og lik null hvis x k er lik x n.

Projeksjonen av en vektor på en akse kan også bli funnet ved å kjenne modulen til vektoren og vinkelen den lager med denne aksen.

Fra figuren er det klart at a x = a Cos α

det vil si at projeksjonen av vektoren på aksen er lik produktet av modulen til vektoren og cosinus til vinkelen mellom retningen til aksen og vektor retning. Hvis vinkelen er spiss, da
Cos α > 0 og a x > 0, og, hvis stump, så er cosinus til den stumpe vinkelen negativ, og projeksjonen av vektoren på aksen vil også være negativ.

Vinkler målt fra aksen mot klokken anses som positive, og vinkler målt langs aksen er negative. Men siden cosinus er en jevn funksjon, det vil si Cos α = Cos (− α), kan vinkler telles både med klokken og mot klokken ved beregning av projeksjoner.

For å finne projeksjonen av en vektor på en akse, må modulen til denne vektoren multipliseres med cosinus til vinkelen mellom retningen til aksen og retningen til vektoren.

Vektorkoordinater— koeffisienter for den eneste mulige lineære kombinasjonen av basisvektorer i det valgte koordinatsystemet, lik den gitte vektoren.

hvor er koordinatene til vektoren.

Skalært produkt vektorer

Skalært produkt av vektorer[- i endelig dimensjonal vektorrom er definert som summen av produktene av identiske komponenter som multipliseres vektorer.

For eksempel, S.p.v. en = (en 1 , ..., en n) Og b = (b 1 , ..., b n):

(en , b ) = en 1 b 1 + en 2 b 2 + ... + a n b n

EN. Projeksjonen av punkt A på PQ-aksen (fig. 4) er basen a av perpendikulæren som faller fra et gitt punkt til en gitt akse. Aksen vi projiserer på kalles projeksjonsaksen.

b. La to akser og en vektor A B gis, vist i fig. 5.

En vektor hvis begynnelse er projeksjonen av begynnelsen og hvis slutten er projeksjonen av slutten av denne vektoren kalles projeksjonen av vektor A B på PQ-aksen Det skrives slik;

Noen ganger er ikke PQ-indikatoren skrevet nederst; dette gjøres i tilfeller der det i tillegg til PQ ikke er noe annet operativsystem som det kan designes på.

Med. Teorem I. Størrelsen på vektorer som ligger på en akse er relatert til størrelsen på deres projeksjoner på en hvilken som helst akse.

La det gis aksene og vektorene som er angitt i fig. 6. Fra likheten til trekantene er det klart at lengdene til vektorene er relatert som lengdene på deres projeksjoner, dvs.

Siden vektorene på tegningen er rettet i forskjellige retninger, har deres størrelser forskjellige tegn, derfor,

Tydeligvis har størrelsen på anslagene også forskjellige tegn:

erstatte (2) inn i (3) inn i (1), får vi

Snu på skiltene, får vi

Hvis vektorene er likt rettet, vil deres projeksjoner også være i samme retning; det vil ikke være minustegn i formlene (2) og (3). Ved å erstatte (2) og (3) med likhet (1), oppnår vi umiddelbart likhet (4). Så teoremet er bevist for alle tilfeller.

d. Teorem II. Størrelsen på projeksjonen av en vektor på en hvilken som helst akse er lik størrelsen på vektoren multiplisert med cosinus til vinkelen mellom projeksjonens akse og vektorens akse La aksene gis som en vektor som angitt i fig. . 7. La oss konstruere en vektor med samme retning som dens akse og plottet for eksempel fra skjæringspunktet mellom aksene. La lengden være lik én. Så dens størrelse

Definisjon 1. På et plan er en parallell projeksjon av punkt A på l-aksen et punkt - skjæringspunktet for l-aksen med en rett linje trukket gjennom punkt A parallelt med vektoren som spesifiserer designretningen.

Definisjon 2. Den parallelle projeksjonen av en vektor på l-aksen (til vektoren) er koordinaten til vektoren i forhold til basisen akse l, hvor peker og er parallelle projeksjoner av punktene A og B på henholdsvis l-aksen (fig. 1).

Etter den definisjonen vi har

Definisjon 3. if og l-aksebasis Kartesisk, det vil si projeksjonen av vektoren på l-aksen kalt ortogonal (fig. 2).

I rommet forblir definisjon 2 av vektorprojeksjonen på aksen i kraft, bare projeksjonsretningen er spesifisert av to ikke-kollineære vektorer (fig. 3).

Fra definisjonen av projeksjonen av en vektor på en akse følger det at hver koordinat til en vektor er en projeksjon av denne vektoren på aksen definert av den tilsvarende basisvektoren. I dette tilfellet spesifiseres designretningen av to andre basisvektorer hvis designen utføres (betraktes) i rommet, eller av en annen basisvektor hvis designet vurderes på et plan (fig. 4).

Teorem 1. Den ortogonale projeksjonen av en vektor på l-aksen er lik produktet av modulen til vektoren og cosinus til vinkelen mellom den positive retningen til l-aksen og, dvs.

På den andre siden

Fra finner vi

Ved å erstatte AC med likhet (2), får vi

Siden tallene x og samme tegn i begge tilfeller under vurdering ((fig. 5, a); (fig. 5, b), så følger det fra likhet (4)

Kommentar. I det følgende vil vi kun vurdere den ortogonale projeksjonen av vektoren på aksen, og derfor vil ordet "ort" (ortogonal) utelates fra notasjonen.

La oss presentere en rekke formler som brukes senere for å løse problemer.

a) Projeksjon av vektoren på aksen.

Hvis, så har den ortogonale projeksjonen på vektoren i henhold til formel (5) formen

c) Avstand fra et punkt til et plan.

La b være et gitt plan med en normalvektor, M være et gitt punkt,

d er avstanden fra punkt M til plan b (fig. 6).

Hvis N er et vilkårlig punkt i planet b, og og er projeksjoner av punktene M og N på aksen,

• G) Avstanden mellom kryssende linjer.

La a og b være gitt kryssende linjer, være en vektor vinkelrett på dem, A og B være vilkårlige punkter på linjene a og b, henholdsvis (fig. 7), og og være projeksjoner av punktene A og B på, da

e) Avstand fra et punkt til en linje.

La l- en gitt rett linje med en retningsvektor, M - et gitt punkt,

N - dens projeksjon på linjen l, deretter - den nødvendige avstanden (fig. 8).

Hvis A er et vilkårlig punkt på en linje l, så inn høyre trekant MNA, hypotenus MA og ben kan bli funnet. Midler,

f) Vinkelen mellom en rett linje og et plan.

La være retningsvektoren til denne linjen l, - normalvektor for et gitt plan b, - projeksjon av en rett linje l til plan b (fig. 9).

Som kjent er vinkelen μ mellom en rett linje l og dens projeksjon på plan b kalles vinkelen mellom linjen og planet. Vi har

La oss gi eksempler på å løse metriske problemer ved hjelp av vektor-koordinatmetoden.

La to vektorer og gis i rommet. La oss utsette fra et vilkårlig punkt O vektorer og . Vinkel mellom vektorer kalles den minste av vinklene. Utpekt .

Tenk på aksen l og plott en enhetsvektor på den (dvs. en vektor hvis lengde er lik én).

I en vinkel mellom vektoren og aksen l forstå vinkelen mellom vektorene og .

Så la l er en eller annen akse og er en vektor.

La oss betegne med A 1 Og B 1 projeksjoner på aksen l henholdsvis poeng EN Og B. La oss late som det A 1 har en koordinat x 1, A B 1– koordinere x 2 på aksen l.

Deretter projeksjon vektor per akse l kalt forskjell x 1 – x 2 mellom koordinatene til projeksjonene av slutten og begynnelsen av vektoren på denne aksen.

Projeksjon av vektoren på aksen l vi vil betegne.

Det er klart at hvis vinkelen mellom vektoren og aksen l krydret da x 2> x 1, og projeksjon x 2 – x 1> 0; hvis denne vinkelen er stump, da x 2< x 1 og projeksjon x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Det x 2= x 1 Og x 2– x 1=0.

Dermed blir projeksjonen av vektoren på aksen l er lengden på segmentet A 1 B 1, tatt med et visst tegn. Derfor er projeksjonen av vektoren på aksen et tall eller en skalar.

Projeksjonen av en vektor på en annen bestemmes på samme måte. I dette tilfellet finnes projeksjonene av endene av denne vektoren på linjen som den andre vektoren ligger på.

La oss se på noen grunnleggende egenskapene til projeksjoner.

LINEÆRT AVHENGIGE OG LINEÆR UAVHENGIGE VEKTORSYSTEMER

La oss vurdere flere vektorer.

Lineær kombinasjon av disse vektorene er en hvilken som helst vektor av formen , hvor er noen tall. Tallene kalles lineære kombinasjonskoeffisienter. De sier også at i dette tilfellet uttrykkes det lineært gjennom disse vektorene, dvs. hentes fra dem ved hjelp av lineære handlinger.

For eksempel, hvis tre vektorer er gitt, kan følgende vektorer betraktes som deres lineære kombinasjon:

Hvis en vektor er representert som en lineær kombinasjon av noen vektorer, sies det å være det lagt frem langs disse vektorene.

Vektorene kalles lineært avhengig, hvis det er tall, ikke alle lik null, slik at . Det er klart at gitte vektorer vil være lineært avhengige hvis noen av disse vektorene er lineært uttrykt i form av de andre.

Ellers, dvs. når forholdet utføres kun når , kalles disse vektorene lineært uavhengig.

Teorem 1. Alle to vektorer er lineært avhengige hvis og bare hvis de er kollineære.

Bevis:

Følgende teorem kan bevises på samme måte.

Teorem 2. Tre vektorer er lineært avhengige hvis og bare hvis de er koplanære.

Bevis.

BASIS

Basis er en samling av lineært uavhengige vektorer som ikke er null. Vi vil betegne elementene i grunnlaget med .

I forrige avsnitt så vi at to ikke-kollineære vektorer på et plan er lineært uavhengige. Derfor, i henhold til teorem 1 fra forrige avsnitt, er et grunnlag på et plan hvilke som helst to ikke-kollineære vektorer på dette planet.

På samme måte er alle tre ikke-koplanare vektorer lineært uavhengige i rommet. Følgelig kaller vi tre ikke-koplanare vektorer en basis i rommet.

Følgende utsagn er sann.

Teorem. La et grunnlag gis i rommet. Da kan enhver vektor representeres som en lineær kombinasjon , Hvor x, y, z- noen tall. Dette er den eneste nedbrytningen.

Bevis.

Dermed lar grunnlaget hver vektor være unikt assosiert med en trippel av tall - koeffisientene for utvidelsen av denne vektoren til basisvektorene: . Det motsatte er også sant, for hvert tredje tall x, y, z ved å bruke grunnlaget kan du sammenligne vektoren hvis du lager en lineær kombinasjon .

Hvis grunnlaget og , deretter tallene x, y, z er kalt koordinater vektor på et gitt grunnlag. Vektorkoordinater er angitt med .

KARTESISK KOORDINATSYSTEM

La et poeng gis i rommet O og tre ikke-koplanare vektorer.

Kartesisk koordinatsystem i rommet (på planet) er samlingen av et punkt og en basis, dvs. et sett med et punkt og tre ikke-koplanare vektorer (2 ikke-kollineære vektorer) som kommer fra dette punktet.

Punktum O kalt opprinnelsen; rette linjer som går gjennom opprinnelsen til koordinatene i retning av basisvektorene kalles koordinatakser - abscissen, ordinaten og applikataksen. Planer som går gjennom koordinataksene kalles koordinatplan.

Betrakt et vilkårlig punkt i det valgte koordinatsystemet M. La oss introdusere begrepet punktkoordinater M. Vektor som kobler origo til et punkt M. kalt radius vektor poeng M.

En vektor i det valgte grunnlaget kan assosieres med en trippel av tall – dens koordinater: .

Koordinatene til punktets radiusvektor M. er kalt koordinater til punkt M. i koordinatsystemet som vurderes. M(x,y,z). Den første koordinaten kalles abscissen, den andre er ordinaten, og den tredje er applikatet.

Kartesiske koordinater på flyet bestemmes på samme måte. Her har punktet bare to koordinater - abscisse og ordinat.

Det er lett å se at for et gitt koordinatsystem har hvert punkt bestemte koordinater. På den annen side, for hver trippel av tall er det et unikt punkt som har disse tallene som koordinater.

Hvis vektorene tatt som grunnlag i det valgte koordinatsystemet har enhetslengde og er parvis vinkelrette, så kalles koordinatsystemet Kartesisk rektangulær.

Det er lett å vise det.

Retningskosinusene til en vektor bestemmer helt retningen, men sier ingenting om lengden.

En vektorbeskrivelse av bevegelse er nyttig, siden du i en tegning alltid kan skildre mange forskjellige vektorer og få et visuelt "bilde" av bevegelse foran øynene dine. Det er imidlertid svært arbeidskrevende å bruke en linjal og en gradskive hver gang for å utføre operasjoner med vektorer. Derfor reduseres disse handlingene til handlinger med positive og negative tall– projeksjoner av vektorer.

Projeksjon av vektoren på aksen kalt en skalar størrelse lik produktet av modulen til den projiserte vektoren og cosinus til vinkelen mellom retningene til vektoren og den valgte koordinataksen.

Den venstre tegningen viser en forskyvningsvektor, hvis modul er 50 km, og dens retningsformer stump vinkel 150° med retningen til X-aksen. Ved hjelp av definisjonen finner vi projeksjonen av forskyvningen på X-aksen:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Siden vinkelen mellom aksene er 90°, er det lett å regne ut at bevegelsesretningen danner en spiss vinkel på 60° med Y-aksens retning. Ved å bruke definisjonen finner vi projeksjonen av forskyvning på Y-aksen:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Som du kan se, hvis retningen til vektoren danner en spiss vinkel med retningen til aksen, er projeksjonen positiv; hvis retningen til vektoren danner en stump vinkel med retningen til aksen, er projeksjonen negativ.

Den høyre tegningen viser en hastighetsvektor, hvis modul er 5 m/s, og retningen danner en vinkel på 30° med retningen til X-aksen La oss finne projeksjonene:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Det er mye lettere å finne projeksjoner av vektorer på akser hvis de projiserte vektorene er parallelle eller vinkelrette på de valgte aksene. Vær oppmerksom på at for parallellisme er to alternativer mulige: vektoren er co-directional til aksen og vektoren er motsatt av aksen, og for tilfellet med perpendikularitet er det bare ett alternativ.

Projeksjonen av en vektor vinkelrett på aksen er alltid null (se sy og ay på venstre tegning, og sx og υx på høyre tegning). Faktisk, for en vektor vinkelrett på aksen, er vinkelen mellom den og aksen 90°, så cosinus er null, noe som betyr at projeksjonen er null.

Projeksjonen av en vektor codirectional med aksen er positiv og lik dens absolutte verdi, for eksempel sx = +s (se venstre tegning). Faktisk, for en vektor kodireksjonell med aksen, er vinkelen mellom den og aksen null, og dens cosinus er "+1", det vil si at projeksjonen er lik lengden på vektoren: sx = x – xo = + s .

Projeksjonen av vektoren motsatt aksen er negativ og lik modulen tatt med et minustegn, for eksempel sy = –s (se den høyre tegningen). Faktisk, for en vektor motsatt aksen, er vinkelen mellom den og aksen 180°, og dens cosinus er "–1", det vil si at projeksjonen er lik lengden på vektoren tatt med et negativt fortegn: sy = y – yo = –s .

Høyre side av begge tegningene viser andre tilfeller hvor vektorene er parallelle med en av koordinatakser og vinkelrett på den andre. Vi inviterer deg til selv å sørge for at også i disse tilfellene følges reglene formulert i de foregående avsnittene.