Derivert og differensial av en kompleks funksjon av flere variabler. Partielle deriverte Partielle deriverte av en kompleks funksjon eksempler med løsning

1°. Tilfellet av én uavhengig variabel. Hvis z=f(x,y) er en differensierbar funksjon av argumentene x og y, som igjen er differensierbare funksjoner av den uavhengige variabelen t: , så den deriverte av den komplekse funksjonen kan beregnes ved hjelp av formelen

Eksempel. Finn hvis , hvor .

Løsning. I henhold til formel (1) har vi:

Eksempel. Finn den partielle deriverte og totalderiverte if .

Løsning. .

Basert på formel (2) får vi .

2°. Tilfellet av flere uavhengige variabler.

La z =f (x ;y) - funksjon av to variabler X Og y, som hver er en funksjon av den uavhengige variabelen t : x =x (t ), y =y (t). I dette tilfellet funksjonen z =f (x (t);y (t)) er en kompleks funksjon av en uavhengig variabel t; variabler x og y er mellomvariabler.

Teorem. Hvis z == f(x; y) - differensierbar på et punkt M(x;y)D funksjon og x =x (t) Og på =y (t) - differensierbare funksjoner til den uavhengige variabelen t, deretter den deriverte av en kompleks funksjon z (t) == f(x (t);y (t)) beregnet med formelen

Spesielt tilfelle:z = f (x ; y), hvor y = y(x), de. z = f (x ;y (x )) - kompleks funksjon av en uavhengig variabel X. Dette tilfellet reduserer til det forrige, og rollen til variabelen t spiller X. I henhold til formel (3) har vi:

.

Den siste formelen kalles totale derivatformler.

Generelt tilfelle:z = f (x ;y ), Hvor x =x (u ;v ),y=y (u ;v). Så z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - kompleks funksjon av uavhengige variabler Og Og v. Dens partielle derivater kan finnes ved å bruke formel (3) som følger. Har fikset v, vi erstatter i den , de tilsvarende partielle derivatene

Dermed er den deriverte av en kompleks funksjon (z) med hensyn til hver uavhengig variabel (Og Og v) er lik summen av produktene av partielle deriverte av denne funksjonen (z) med hensyn til dens mellomvariable (x og y) til deres derivater med hensyn til den tilsvarende uavhengige variabelen (u og v).

I alle tilfeller er formelen gyldig

(invariansegenskap for en total differensial).

Eksempel. Finn og hvis z = f(x ,y ), hvor x =uv , .

Løsning. Ved å bruke formlene (4) og (5), får vi:

Eksempel. Vis at funksjonen tilfredsstiller ligningen .

Løsning. Funksjonen avhenger av x og y gjennom et mellomargument, altså

Ved å erstatte partielle deriverte i venstre side av ligningen, har vi:

Det vil si at funksjonen z tilfredsstiller denne ligningen.

Derivert i en gitt retning og gradient av funksjonen

1°. Derivert av en funksjon i en gitt retning. Derivat funksjoner z= f(x,y) i denne retningen kalt , hvor og er verdiene til funksjonen ved punkter og . Hvis funksjonen z er differensierbar, er formelen gyldig

hvor er vinklene mellom retningene l og de tilsvarende koordinataksene. Den deriverte i en gitt retning karakteriserer endringshastigheten til en funksjon i den retningen.

Eksempel. Finn den deriverte av funksjonen z = 2x 2 - 3 2 i punktet P (1; 0) i retningen som lager en vinkel på 120° med OX-aksen.

Løsning. La oss finne de partielle derivatene av denne funksjonen og deres verdier ved punkt P.

Et bevis på formelen for den deriverte av en kompleks funksjon er gitt. Tilfeller der en kompleks funksjon avhenger av en eller to variabler vurderes i detalj. En generalisering gjøres til tilfellet med et vilkårlig antall variabler.

Se også: Eksempler på bruk av formelen for den deriverte av en kompleks funksjon

Grunnleggende formler

Her gir vi utledningen av følgende formler for den deriverte av en kompleks funksjon.
Hvis da
.
Hvis da
.
Hvis da
.

Derivert av en kompleks funksjon fra én variabel

La en funksjon av variabel x representeres som en kompleks funksjon i følgende form:
,
hvor det er noen funksjoner. Funksjonen er differensierbar for en eller annen verdi av variabelen x. Funksjonen er differensierbar ved verdien av variabelen.
Da er den komplekse (sammensatte) funksjonen differensierbar ved punkt x og dens deriverte bestemmes av formelen:
(1) .

Formel (1) kan også skrives som følger:
;
.

Bevis

La oss introdusere følgende notasjon.
;
.
Her er det en funksjon av variablene og , det er en funksjon av variablene og . Men vi vil utelate argumentene til disse funksjonene for ikke å rote ut beregningene.

Siden funksjonene og er differensierbare ved henholdsvis punkt x og , er det på disse punktene deriverte av disse funksjonene, som er følgende grenser:
;
.

Tenk på følgende funksjon:
.
For en fast verdi av variabelen u, er en funksjon av . Det er åpenbart det
.
Deretter
.

Siden funksjonen er en differensierbar funksjon på punktet, er den kontinuerlig på det punktet. Derfor
.
Deretter
.

Nå finner vi den deriverte.

.

Formelen er bevist.

Konsekvens

Hvis en funksjon av en variabel x kan representeres som en kompleks funksjon av en kompleks funksjon
,
da bestemmes dens deriverte av formelen
.
Her , og det er noen differensierbare funksjoner.

For å bevise denne formelen, beregner vi sekvensielt den deriverte ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon.
Tenk på den komplekse funksjonen
.
Dens derivat
.
Tenk på den opprinnelige funksjonen
.
Dens derivat
.

Derivert av en kompleks funksjon fra to variabler

La nå den komplekse funksjonen avhenge av flere variabler. La oss først se på tilfelle av en kompleks funksjon av to variabler.

La en funksjon avhengig av variabelen x representeres som en kompleks funksjon av to variabler i følgende form:
,
Hvor
og det er differensierbare funksjoner for en eller annen verdi av variabelen x;
- en funksjon av to variabler, differensierbare ved punktet , . Da er den komplekse funksjonen definert i et bestemt nabolag av punktet og har en derivert, som bestemmes av formelen:
(2) .

Bevis

Siden funksjonene og er differensierbare på punktet, er de definert i et bestemt nabolag til dette punktet, er kontinuerlige på punktet, og deres deriverte eksisterer på punktet, som er følgende grenser:
;
.
Her
;
.
På grunn av kontinuiteten til disse funksjonene på et tidspunkt, har vi:
;
.

Siden funksjonen er differensierbar på punktet, er den definert i et bestemt nabolag til dette punktet, er kontinuerlig på dette punktet, og dens økning kan skrives i følgende form:
(3) .
Her

- økning av en funksjon når argumentene økes med verdier og ;
;

- partielle deriverte av funksjonen med hensyn til variablene og .
For faste verdier av og , og er funksjoner av variablene og . De har en tendens til null ved og:
;
.
Siden og , da
;
.

Funksjonsøkning:

. :
.
La oss erstatte (3):



.

Formelen er bevist.

Derivert av en kompleks funksjon fra flere variabler

Konklusjonen ovenfor kan lett generaliseres til tilfellet når antallet variabler for en kompleks funksjon er mer enn to.

For eksempel, hvis f er funksjon av tre variabler, Det
,
Hvor
, og det er differensierbare funksjoner for en eller annen verdi av variabelen x;
- differensierbar funksjon av tre variabler ved punkt , , .
Så, fra definisjonen av funksjonens differensierbarhet, har vi:
(4)
.
Fordi, på grunn av kontinuitet,
; ; ,
At
;
;
.

Ved å dele (4) med og gå til grensen får vi:
.

Og til slutt, la oss vurdere det mest generelle tilfellet.
La en funksjon av variabel x representeres som en kompleks funksjon av n variabler i følgende form:
,
Hvor
det er differensierbare funksjoner for en eller annen verdi av variabelen x;
- differensierbar funksjon av n variabler i et punkt
, , ... , .
Deretter
.

§ 5. Partielle deriverte av komplekse funksjoner. differensialer av komplekse funksjoner

1. Partielle deriverte av en kompleks funksjon.

La være en funksjon av to variabler hvis argumenter Og , er i seg selv funksjoner av to eller flere variabler. La for eksempel
,
.

Deretter vil kompleks funksjon uavhengige variabler Og , vil variablene være for henne mellomliggende variabler. I dette tilfellet, hvordan finne de partielle deriverte av en funksjon i forhold til Og ?

Du kan selvfølgelig uttrykke det direkte i form av og:

og se etter partielle deriverte av den resulterende funksjonen. Men uttrykket kan være veldig komplekst, og å finne partielle derivater , da vil det kreve mye innsats.

Hvis funksjonene
,
,
er differensierbare, så finn og det er mulig uten å ty til direkte uttrykk gjennom og . I dette tilfellet vil formlene være gyldige

(5.1)

Faktisk, la oss gi argumentet øke
, – konst. Deretter funksjonene
Og vil motta økninger

og funksjonen vil økes

Hvor , – uendelig kl
,
. La oss dele alle ledd i den siste likheten med . Vi får:

Siden funksjonene og er differensierbare etter betingelse, er de kontinuerlige. Derfor, hvis
, deretter og . Dette betyr at å passere til grensen ved den siste likheten vi oppnår:

(siden , er uendelig for , ).

Den andre likheten fra (5.1) er påvist på lignende måte.

EKSEMPEL. La
, Hvor
,
. Deretter er en kompleks funksjon av de uavhengige variablene og . For å finne dens partielle derivater bruker vi formel (5.1). Vi har

Ved å erstatte med (5.1), får vi

,

Formler (5.1) er naturlig generalisert til tilfellet med en funksjon med et større antall uavhengige og mellomliggende argumenter. Nemlig hvis

………………………

og alle funksjonene som vurderes er differensierbare, da for alle
det er likhet

Det er også mulig at funksjonsargumentene er funksjoner av kun én variabel, dvs.

,
.

Da vil det være en kompleks funksjon av kun én variabel og vi kan reise spørsmålet om å finne den deriverte . Hvis funksjonene
,
er differensierbare, så kan den bli funnet ved formelen
(5.2)

EKSEMPEL. La
, Hvor
,
. Her er en kompleks funksjon av én uavhengig variabel. Ved å bruke formel (5.2) får vi

.

Og til slutt er det mulig at rollen til den uavhengige variabelen spilles av , dvs. ,

Hvor
.

Fra formel (5.2) får vi da

(5.3)

(fordi
). Derivat , stående i formel (5.3) til høyre er den partielle deriverte av funksjonen med hensyn til . Det beregnes med en fast verdi. Derivat på venstre side av formel (5.3) kalles fullstendig avledet av funksjonen . Ved beregningen ble det tatt hensyn til at det avhenger av på to måter: direkte og gjennom det andre argumentet.

EKSEMPEL. Finn og for funksjon
, Hvor
.

Vi har
.

For å finne bruker vi formel (5.3). Vi får

.

Og avslutningsvis av dette avsnittet merker vi at formlene (5.2) og (5.3) er enkle å generalisere til funksjoner med et stort antall mellomargumenter.

2. Differensial av en kompleks funksjon.

La oss huske at hvis

er en differensierbar funksjon av to uavhengige variabler, da per definisjon

, (5.4)

eller i annen form
. (5.5)

Fordelen med formel (5.5) er at den forblir sann selv når det er en kompleks funksjon.

Faktisk, la , hvor , . La oss anta at funksjonene , , er differensierbare. Da vil også den komplekse funksjonen være differensierbar og dens totale differensial i henhold til formel (5.5) vil være lik

.

Ved å bruke formel (5.1) for å beregne partielle deriverte av en kompleks funksjon, får vi

Siden de fullstendige differensialene til funksjonene og er i parentes, har vi endelig

Så vi er overbevist om at både i tilfelle når og er uavhengige variabler, og i tilfelle når og er avhengige variabler, kan differensialen til funksjonen skrives i formen (5.5). I denne forbindelse kalles denne formen for registrering av den totale differensialen invariant . Formen for å skrive differensialen foreslått i (5.4) vil ikke være invariant; den kan bare brukes i tilfelle når og er uavhengige variabler. Formen for å skrive differensialen vil heller ikke være invariant -te orden. Husk at vi viste tidligere at en forskjell i orden funksjonen til to variabler kan finnes ved formelen

. (4.12)

Men hvis de ikke er uavhengige variabler, så formel (4.12) med
slutter å være sann.

Åpenbart kan alle resonnementene utført i denne delen for en funksjon av to variabler gjentas i tilfellet med en funksjon med et større antall argumenter. Derfor, for en funksjon kan differensialen også skrives i to former:

og den andre notasjonsformen vil være invariant, dvs. rettferdig selv i tilfelle når
er ikke uavhengige variabler, men mellomargumenter.

§ 6. Differensiering av implisitte funksjoner

Når vi snakker om måter å definere en funksjon av en eller flere variabler på, bemerket vi at den analytiske definisjonen av en funksjon kan være eksplisitt eller implisitt. I det første tilfellet er verdien av funksjonen funnet fra de kjente verdiene til argumentene; i den andre er verdien av funksjonen og dens argumenter knyttet til en eller annen ligning. Vi spesifiserte imidlertid ikke når likningene

Og

definere implisitt spesifiserte funksjoner og hhv. Enkel å bruke tilstrekkelige betingelser for eksistensen av en implisitt funksjon variabler (
) er inneholdt i følgende teorem.

TEOREM6.1 . (eksistensen av en implisitt funksjon) La funksjonen
og dets partielle derivater
er definerte og kontinuerlige i et eller annet område av punktet. Hvis
Og
, så er det et slikt nabolag punkt der ligningen

definerer en kontinuerlig funksjon og

1) Tenk på ligningen
. Betingelsene for teoremet er oppfylt, for eksempel i et hvilket som helst nabolag til punktet
. Derfor, i noen nabolag av punktet
denne ligningen definerer som en implisitt funksjon av to variabler og . Et eksplisitt uttrykk for denne funksjonen kan enkelt oppnås ved å løse ligningen for:

2) Tenk på ligningen
. Den definerer to funksjoner av to variabler og . Faktisk er betingelsene for teoremet oppfylt, for eksempel i et hvilket som helst nabolag av punktet

, der den gitte ligningen definerer en kontinuerlig funksjon som tar på seg verdien
.

På den annen side er betingelsene for teoremet oppfylt i et hvilket som helst nabolag av punktet
. Følgelig, i et bestemt nabolag av punktet definerer ligningen en kontinuerlig funksjon som tar verdien ved punktet
.

Siden en funksjon ikke kan ta på to verdier på ett punkt, betyr dette at vi snakker om to forskjellige funksjoner
og tilsvarende. La oss finne deres eksplisitte uttrykk. For å gjøre dette, la oss løse den opprinnelige ligningen for . Vi får

3) Tenk på ligningen
. Det er åpenbart at betingelsene for teoremet er oppfylt i et hvilket som helst område av punktet
. Følgelig er det et slikt nabolag av punktet
, der ligningen definerer som en implisitt funksjon av variabelen. Det er umulig å få et eksplisitt uttrykk for denne funksjonen, siden ligningen ikke kan løses med hensyn til .

4) Ligning
definerer ikke noen implisitt funksjon, siden det ikke er noen par med reelle tall og som tilfredsstiller den.

Funksjon
, gitt av ligningen
, ifølge teorem 6.1, har kontinuerlige partielle deriverte med hensyn til alle argumenter i nærheten av punktet. La oss finne ut hvordan du finner dem uten å spesifisere funksjonen eksplisitt.

La funksjonen
tilfredsstiller betingelsene i teorem 6.1. Så ligningen
kontinuerlig funksjon
. Tenk på den komplekse funksjonen
, Hvor . Funksjonen er en kompleks funksjon av én variabel, og hvis
, Det

(6.1)

På den annen side, i henhold til formel (5.3) for å beregne den totale deriverte
(6.2)

Fra (6.1) og (6.2) får vi at hvis , da

(6.3)

Kommentar. Delt på er mulig, siden i henhold til teorem 6.1
hvor som helst i nærheten.

EKSEMPEL. Finn den deriverte av den implisitte funksjonen gitt av ligningen og beregn verdien ved
.

,
.

Ved å erstatte partielle derivater i formel (6.3), får vi

.

Deretter, ved å erstatte den opprinnelige ligningen, finner vi to verdier:
Og
.

Følgelig, i nærheten av punktet definerer ligningen to funksjoner:
Og
, Hvor
,
. Deres derivater vil være like

Og
.

La nå ligningen
definerer i et eller annet område av et punkt
funksjon La oss finne den. La oss huske at dette faktisk er den ordinære deriverte av en funksjon betraktet som en funksjon av en variabel ved en konstant verdi. Derfor kan vi bruke formel (6.3) for å finne den, betrakter den som en funksjon, et argument, en konstant. Vi får

. (6.4)

På samme måte finner vi en funksjon, et argument, en konstant, ved å bruke formel (6.3).

. (6.5)

EKSEMPEL. Finn de partielle deriverte av funksjonen gitt av ligningen
.

,
,
.

Ved å bruke formlene (6.4) og (6.5) får vi

,
.

Til slutt, vurder det generelle tilfellet når ligningen

definerer en funksjon av variabler i et bestemt nabolag til et punkt. Ved å gjenta argumentene utført for en implisitt gitt funksjon av to variabler, får vi

,
, …,
.

§ 7. Retningsderiverte

1. Retningsbestemt derivat.

La en funksjon av to variabler defineres i et eller annet domene
flyet
, – punkt i regionen, -vektor i alle retninger. La oss gå fra poenget
til et punkt i vektorens retning. Funksjonen vil motta en økning

La oss dele funksjonsveksten
etter lengden på offsetsegmentet
. Resultatforhold
gir gjennomsnittlig endringshastighet for funksjonen i området
. Deretter grensen for dette forholdet ved
(hvis den eksisterer og er endelig) vil være endringshastigheten til funksjonen ved punktet
i vektorens retning. Han blir kalt deriverte av en funksjon i et punkt i vektorens retning og betegne
eller
.

I tillegg til endringshastigheten til funksjonen, lar den deg også bestemme arten av endringen i funksjonen ved et punkt i vektorens retning (økende eller minkende):

Disse utsagnene er bevist på samme måte som lignende for en funksjon av en variabel.

Merk at partielle deriverte av en funksjon er et spesialtilfelle av retningsderiverte. Nemlig
dette er den deriverte av funksjonen i retning av vektoren (akseretning
), er den deriverte av funksjonen i retning av vektoren (akseretning
).

La oss anta at funksjonen er differensierbar på punktet. Deretter

Hvor – uendelig kl
.