Når vi utleder den aller første formelen i tabellen, vil vi gå ut fra definisjonen av den deriverte funksjonen ved et punkt. La oss ta hvor x– et hvilket som helst reelt tall, det vil si x– et hvilket som helst tall fra definisjonsdomenet til funksjonen. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved:

Det skal bemerkes at under grensetegnet oppnås uttrykket, som ikke er usikkerheten til null delt på null, siden telleren ikke inneholder en uendelig verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.

Dermed, derivert av en konstant funksjoner lik null i hele definisjonsdomenet.

Derivert av en potensfunksjon.

Formelen for den deriverte av en potensfunksjon har formen , hvor eksponenten s– et hvilket som helst reelt tall.

La oss først bevise formelen for den naturlige eksponenten, det vil si for p = 1, 2, 3, …

Vi vil bruke definisjonen av derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet:

For å forenkle uttrykket i telleren, går vi til Newtons binomialformel:

Derfor,

Dette beviser formelen for den deriverte av en potensfunksjon for en naturlig eksponent.

Derivert av en eksponentiell funksjon.

Vi presenterer avledningen av derivatformelen basert på definisjonen:

Vi har kommet til usikkerhet. For å utvide den introduserer vi en ny variabel, og på . Deretter . I den siste overgangen brukte vi formelen for overgang til en ny logaritmisk base.

La oss bytte inn i den opprinnelige grensen:

Hvis vi husker den andre bemerkelsesverdige grensen, kommer vi til formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

Derivert av en logaritmisk funksjon.

La oss bevise formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for alle x fra definisjonsdomenet og alle gyldige verdier for basen en logaritme Per definisjon av derivat har vi:

Som du la merke til, under beviset ble transformasjonene utført ved å bruke egenskapene til logaritmen. Likestilling er sant på grunn av den andre bemerkelsesverdige grensen.

Derivater av trigonometriske funksjoner.

For å utlede formler for derivater av trigonometriske funksjoner, må vi huske noen trigonometriformler, så vel som den første bemerkelsesverdige grensen.

Per definisjon av den deriverte for sinusfunksjonen vi har .

La oss bruke forskjellen på sines-formelen:

Det gjenstår å vende seg til den første bemerkelsesverdige grensen:

Altså den deriverte av funksjonen synd x Det er fordi x.

Formelen for derivatet av cosinus er bevist på nøyaktig samme måte.

Derfor er den deriverte av funksjonen fordi x Det er –sin x.

Vi vil utlede formler for tabellen med deriverte for tangent og cotangens ved å bruke påviste differensieringsregler (deriverte av en brøk).

Derivater av hyperbolske funksjoner.

Reglene for differensiering og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen fra tabellen med deriverte tillater oss å utlede formler for de deriverte av hyperbolsk sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Derivert av den inverse funksjonen.

For å unngå forvirring under presentasjonen, la oss betegne argumentet til funksjonen som differensiering utføres med, det vil si at det er den deriverte av funksjonen f(x) Av x.

La oss nå formulere regel for å finne den deriverte av en invers funksjon.

La funksjonene y = f(x) Og x = g(y) gjensidig invers, definert på intervallene og hhv. Hvis det på et punkt er en endelig ikke-null derivert av funksjonen f(x), så er det på punktet en endelig derivert av den inverse funksjonen g(y), og . I et annet innlegg .

Denne regelen kan omformuleres for alle x fra intervallet , så får vi .

La oss sjekke gyldigheten til disse formlene.

La oss finne den inverse funksjonen for den naturlige logaritmen (Her y er en funksjon, og x- argument). Etter å ha løst denne ligningen for x, får vi (her x er en funksjon, og y– hennes argument). Det er, og gjensidig inverse funksjoner.

Fra tabellen over derivater ser vi det Og .

La oss sørge for at formlene for å finne de deriverte av den inverse funksjonen fører oss til de samme resultatene:

Å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk er helt umulig uten kunnskap om den deriverte og metoder for å regne den ut. Den deriverte er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?

Geometrisk og fysisk betydning av derivat

La det være en funksjon f(x) , spesifisert i et visst intervall (a, b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Endring av argumentet - forskjellen i verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Definisjon av derivat:

Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.

Ellers kan det skrives slik:

Hva er vitsen med å finne en slik grense? Og her er hva det er:

den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.

Fysisk betydning av derivatet: den deriverte av banen med hensyn til tid er lik hastigheten på rettlinjet bevegelse.

Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en spesiell vei x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:

For å finne ut bevegelseshastigheten på et øyeblikk t0 du må beregne grensen:

Regel én: sett en konstant

Konstanten kan tas ut av det deriverte tegnet. Dessuten må dette gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta det som en regel - Hvis du kan forenkle et uttrykk, sørg for å forenkle det .

Eksempel. La oss beregne den deriverte:

Regel to: derivert av summen av funksjoner

Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.

Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.

Finn den deriverte av funksjonen:

Regel tre: derivert av produktet av funksjoner

Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:

Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:

Løsning:

Det er viktig å snakke om beregning av deriverte av komplekse funksjoner her. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

I eksemplet ovenfor kommer vi over uttrykket:

I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, beregner vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og deretter multiplisere med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.

Regel fire: derivert av kvotienten til to funksjoner

Formel for å bestemme den deriverte av kvotienten til to funksjoner:

Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.

Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste testen og forstå oppgavene, selv om du aldri har gjort derivatberegninger før.

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Avledet av kvadratrot
6. Derivert av sinus
7. Derivat av cosinus
8. Derivert av tangent
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av arccosine
12. Derivat av arctangens
13. Derivat av lysbue cotangens
14. Derivert av den naturlige logaritmen
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av en eksponentiell funksjon

Regler for differensiering

1. Derivert av en sum eller differanse
2. Derivat av produktet
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Derivat av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt

og

de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.

Regel 2.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt

og

de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funksjonene

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og

de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.

Hvor du kan se etter ting på andre sider

Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår i den innledende fasen av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en- og todelte eksempler, gjør han ikke lenger denne feilen.

Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).

En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .

Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."

Hvis du har en oppgave som , så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".

Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. , så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .

Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:

Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:

For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .

Hva er et derivat?

Tabell over derivater.

Derivativ er et av hovedbegrepene i høyere matematikk. I denne leksjonen vil vi introdusere dette konseptet. La oss bli kjent med hverandre, uten strenge matematiske formuleringer og bevis.

Dette bekjentskapet vil tillate deg å:

Forstå essensen av enkle oppgaver med derivater;

Løs disse enkleste oppgavene på en vellykket måte;

Forbered deg på mer seriøse leksjoner om derivater.

Først - en hyggelig overraskelse.)

Den strenge definisjonen av derivatet er basert på teorien om grenser, og saken er ganske komplisert. Dette er opprørende. Men den praktiske anvendelsen av derivater krever som regel ikke så omfattende og dyp kunnskap!

For å lykkes med de fleste oppgaver på skole og universitet, er det nok å vite bare noen få termer- å forstå oppgaven, og bare noen få regler- for å løse det. Det er alt. Dette gjør meg glad.

La oss begynne å bli kjent?)

Vilkår og betegnelser.

Det er mange forskjellige matematiske operasjoner i elementær matematikk. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering, logaritme, etc. Hvis du legger til én operasjon til disse operasjonene, blir elementær matematikk høyere. Denne nye operasjonen kalles differensiering. Definisjonen og betydningen av denne operasjonen vil bli diskutert i separate leksjoner.

Det er viktig å forstå her at differensiering ganske enkelt er en matematisk operasjon på en funksjon. Vi tar hvilken som helst funksjon og transformerer den i henhold til visse regler. Resultatet blir en ny funksjon. Denne nye funksjonen heter: derivat.

Differensiering- handling på en funksjon.

Derivat- resultatet av denne handlingen.

Akkurat som f.eks. sum- resultatet av tillegg. Eller privat- resultatet av deling.

Når du kjenner begrepene, kan du i det minste forstå oppgavene.) Formuleringene er som følger: finne den deriverte av en funksjon; ta den deriverte; differensiere funksjonen; beregne derivater og så videre. Dette er alt samme. Selvfølgelig er det også mer komplekse oppgaver, hvor det å finne den deriverte (differensiering) bare vil være ett av trinnene for å løse problemet.

Den deriverte er indikert med en strek øverst til høyre i funksjonen. Som dette: y" eller f"(x) eller S"(t) og så videre.

Lesning igrek slag, ef slag fra x, es slag fra te, vel, du forstår...)

Et primtall kan også indikere den deriverte av en bestemt funksjon, for eksempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofte er derivater betegnet ved hjelp av differensialer, men vi vil ikke vurdere slik notasjon i denne leksjonen.

La oss anta at vi har lært å forstå oppgavene. Alt som gjenstår er å lære hvordan du løser dem.) La meg minne deg på igjen: Å finne den deriverte er transformasjon av en funksjon i henhold til visse regler. Overraskende nok er det svært få av disse reglene.

For å finne den deriverte av en funksjon trenger du bare å vite tre ting. Tre søyler som all differensiering står på. Her er disse tre pilarene:

1. Tabell over derivater (differensieringsformler).

3. Derivert av en kompleks funksjon.

La oss starte i rekkefølge. I denne leksjonen skal vi se på tabellen over derivater.

Tabell over derivater.

Det er et uendelig antall funksjoner i verden. Blant dette settet er det funksjoner som er viktigst for praktisk bruk. Disse funksjonene finnes i alle naturlover. Fra disse funksjonene, som fra murstein, kan du konstruere alle de andre. Denne klassen av funksjoner kalles elementære funksjoner. Det er disse funksjonene som studeres på skolen - lineær, kvadratisk, hyperbel, etc.

Differensiering av funksjoner "fra bunnen av", dvs. Basert på definisjonen av derivat og teorien om grenser, er dette en ganske arbeidskrevende ting. Og matematikere er mennesker også, ja, ja!) Så de forenklet livet deres (og oss). De beregnet de deriverte av elementære funksjoner før oss. Resultatet er en tabell med derivater, hvor alt er klart.)

Her er den, denne platen for de mest populære funksjonene. Til venstre er en elementær funksjon, til høyre er dens deriverte.

	Funksjon y	Avledet av funksjon y y"
1	C (konstant verdi)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - et hvilket som helst tall)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synd x	(sin x)" = cosx
	fordi x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	en x
	e x
5	Logg en x
	ln x ( a = e)

Jeg anbefaler å ta hensyn til den tredje gruppen av funksjoner i denne tabellen over derivater. Den deriverte av en potensfunksjon er en av de vanligste formlene, om ikke den vanligste! Får du hintet?) Ja, det er lurt å kunne tabellen over derivater utenat. Forresten, dette er ikke så vanskelig som det kan virke. Prøv å løse flere eksempler, selve tabellen vil bli husket!)

Å finne tabellverdien til derivatet, som du forstår, er ikke den vanskeligste oppgaven. Derfor er det veldig ofte i slike oppgaver ekstra sjetonger. Enten i ordlyden av oppgaven, eller i den opprinnelige funksjonen, som ikke ser ut til å være i tabellen...

La oss se på noen eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen y = x 3

Det er ingen slik funksjon i tabellen. Men det er en derivert av en potensfunksjon i generell form (tredje gruppe). I vårt tilfelle er n=3. Så vi erstatter tre i stedet for n og skriver nøye ned resultatet:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det er det.

Svar: y" = 3x 2

2. Finn verdien av den deriverte av funksjonen y = sinx i punktet x = 0.

Denne oppgaven betyr at du først må finne den deriverte av sinusen, og deretter erstatte verdien x = 0 inn i denne avledet. Akkurat i den rekkefølgen! Ellers hender det at de umiddelbart erstatter null i den opprinnelige funksjonen... Vi blir bedt om å finne ikke verdien til den opprinnelige funksjonen, men verdien dens derivat. Den deriverte, la meg minne deg på, er en ny funksjon.

Ved hjelp av nettbrettet finner vi sinus og den tilsvarende deriverte:

y" = (sin x)" = cosx

Vi erstatter null i den deriverte:

y"(0) = cos 0 = 1

Dette vil være svaret.

3. Differensieer funksjonen:

Hva, inspirerer det?) Det er ingen slik funksjon i tabellen over derivater.

La meg minne deg på at å differensiere en funksjon er ganske enkelt å finne den deriverte av denne funksjonen. Hvis du glemmer elementær trigonometri, er det ganske plagsomt å lete etter den deriverte av funksjonen vår. Bordet hjelper ikke...

Men hvis vi ser at vår funksjon er dobbel vinkel cosinus, da blir alt bedre med en gang!

Ja Ja! Husk å transformere den opprinnelige funksjonen før differensiering ganske akseptabelt! Og det skjer for å gjøre livet mye enklere. Bruk av dobbel vinkel cosinusformelen:

De. vår vanskelige funksjon er ikke annet enn y = cosx. Og dette er en tabellfunksjon. Vi får umiddelbart:

Svar: y" = - sin x.

Eksempel for videregående kandidater og studenter:

4. Finn den deriverte av funksjonen:

Det er ingen slik funksjon i derivattabellen, selvfølgelig. Men hvis du husker elementær matematikk, operasjoner med potenser... Da er det fullt mulig å forenkle denne funksjonen. Som dette:

Og x i potens av en tiendedel er allerede en tabellfunksjon! Tredje gruppe, n=1/10. Vi skriver direkte i henhold til formelen:

Det er alt. Dette vil være svaret.

Jeg håper at alt er klart med den første søylen for differensiering - tabellen over derivater. Det gjenstår å håndtere de to gjenværende hvalene. I neste leksjon skal vi lære reglene for differensiering.

Den deriverte av en eksponent er lik eksponenten selv (den deriverte av e til x-potensen er lik e til x-potensen):
(1) (e x )′ = e x.

Den deriverte av en eksponentiell funksjon med en base a er lik funksjonen i seg selv multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av eksponentialen, e til x potens

En eksponentiell er en eksponentiell funksjon hvis grunntall er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig tall eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.

Avledning av eksponentiell derivatformel

Tenk på eksponentialen, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle. La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x. Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3) .

La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette trenger vi følgende fakta:
EN) Eksponentegenskap:
(4) ;
B) Egenskapen til logaritmen:
(5) ;
I) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(6) .
Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
G) Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
(7) .

La oss bruke disse fakta til vår grense (3). Vi bruker eiendom (4):
;
.

La oss gjøre en erstatning. Deretter ; .
På grunn av kontinuiteten til eksponentialen,
.
Derfor, når , . Som et resultat får vi:
.

La oss gjøre en erstatning. Deretter . På , . Og vi har:
.

La oss bruke logaritme-egenskapen (5):
. Deretter
.

La oss bruke eiendom (6). Siden det er en positiv grense og logaritmen er kontinuerlig, så:
.
Her brukte vi også den andre bemerkelsesverdige grensen (7). Deretter
.

Dermed fikk vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.

Derivasjon av formelen for den deriverte av en eksponentiell funksjon

Nå utleder vi formel (2) for den deriverte av eksponentialfunksjonen med en base av grad a. Vi tror det og . Deretter eksponentiell funksjon
(8)
Definert for alle.

La oss transformere formel (8). For å gjøre dette vil vi bruke egenskapene til eksponentialfunksjonen og logaritmen.
;
.
Så vi transformerte formel (8) til følgende form:
.

Høyere ordens deriverte av e i x-potensen

La oss nå finne derivater av høyere ordener. La oss først se på eksponenten:
(14) .
(1) .

Vi ser at den deriverte av funksjon (14) er lik funksjon (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
.

Høyere ordens deriverte av eksponentialfunksjonen

Tenk nå på en eksponentiell funksjon med basis av grad a:
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(15) .

Ved å differensiere (15), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Vi ser at hver differensiering fører til multiplikasjon av den opprinnelige funksjonen med . Derfor har den n-te ordens deriverte følgende form:
.