Derivater av elementære bevisfunksjoner. Derivert av en funksjon. Detaljert teori med eksempler. Begrepet invers funksjon
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.
Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.
For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.
Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.
Tabell over deriverte av enkle funksjoner
| 1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte | |
| 2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge | |
| 3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser. | |
| 4. Derivert av en variabel i potensen -1 | |
| 5. Avledet av kvadratrot | |
| 6. Derivert av sinus | |
| 7. Derivat av cosinus |  |
| 8. Derivert av tangent |  |
| 9. Derivat av cotangens |  |
| 10. Derivat av arcsine |  |
| 11. Derivat av arc cosinus |  |
| 12. Derivat av arctangens |  |
| 13. Derivat av lysbue cotangens |  |
| 14. Derivert av den naturlige logaritmen | |
| 15. Derivert av en logaritmisk funksjon |  |
| 16. Derivert av eksponenten | |
| 17. Derivert av en eksponentiell funksjon |
Regler for differensiering
| 1. Derivert av en sum eller differanse |  |
| 2. Derivat av produktet |  |
| 2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor | |
| 3. Derivat av kvotienten |  |
| 4. Derivat av en kompleks funksjon |  |
Regel 1.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt
og
de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.
Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.
Regel 2.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt
og
de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.
For eksempel for tre multiplikatorer:
Regel 3.Hvis funksjonene
differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og
de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.
Hvor du kan se etter ting på andre sider
Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".
Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår i den innledende fasen av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en- og todelte eksempler, gjør han ikke lenger denne feilen.
Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).
En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.
Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .
Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som 
, følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."
Hvis du har en oppgave som 
, så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".
Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte
Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:
Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:
Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:
Og du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på.
Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:
Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:
Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. 
, så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .
Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .
Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:
Du kan sjekke løsningen på derivatproblemet på online derivatkalkulator .
Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:
For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .
Bevis formlene 3 og 5 selv.
GRUNNLEGGENDE DIFFERENSIERINGSREGLER
Ved å bruke den generelle metoden for å finne den deriverte ved å bruke grensen, kan man få de enkleste differensieringsformlene. La u=u(x),v=v(x)– to differensierbare funksjoner til en variabel x.
Bevis formlene 1 og 2 selv.
Bevis for formel 3.
La y = u(x) + v(x). For argumentverdi x+Δ x vi har y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.
Derfor,
Bevis på formel 4.
La y=u(x)·v(x). Deretter y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Derfor
Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).
Merk at siden hver av funksjonene u Og v differensierbar på punktet x, så er de kontinuerlige på dette punktet, noe som betyr u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), ved Δ x→0.
Derfor kan vi skrive
Basert på denne egenskapen kan man få en regel for å differensiere produktet av et hvilket som helst antall funksjoner.
La f.eks. y=u·v·w. Deretter,
y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w ".
Bevis på formel 5.
La . Deretter
I beviset brukte vi det faktum at v(x+Δ x)→v(x) ved Δ x→0.
Eksempler.
TEOREM OM DERIVATET AV KOMPLEKS FUNKSJON
La y = f(u), EN u= u(x). Vi får funksjonen y avhengig av argumentasjonen x: y = f(u(x)). Den siste funksjonen kalles en funksjon av en funksjon eller kompleks funksjon.
Funksjonsdefinisjonsdomene y = f(u(x)) er enten hele definisjonsdomenet til funksjonen u=u(x) eller den delen der verdiene er bestemt u, og forlater ikke definisjonsdomenet for funksjonen y= f(u).
Funksjon-fra-funksjon-operasjonen kan utføres ikke bare én gang, men et hvilket som helst antall ganger.
La oss etablere en regel for å differensiere en kompleks funksjon.
Teorem. Hvis funksjonen u= u(x) har på et tidspunkt x 0 derivat og tar verdien på dette tidspunktet u 0 = u(x 0), og funksjonen y=f(u) har på punktet u 0 derivat y"u = f "(u 0), deretter en kompleks funksjon y = f(u(x)) på det angitte punktet x 0 har også en derivat, som er lik y" x = f "(u 0)· u "(x 0), hvor i stedet for u uttrykket må erstattes u= u(x).
Dermed er den deriverte av en kompleks funksjon lik produktet av den deriverte av en gitt funksjon med hensyn til mellomargumentet u til den deriverte av mellomargumentet mht x.
Bevis. For en fast verdi X 0 vil vi ha u 0 =u(x 0), på 0 =f(u 0 ). For en ny argumentverdi x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).
Fordi u– differensierbar på et punkt x 0, Det u– er kontinuerlig på dette tidspunktet. Derfor, ved Δ x→0 Δ u→0. Tilsvarende for Δ u→0 Δ y→0.
Etter tilstand 
. Fra denne relasjonen, ved å bruke definisjonen av grensen, får vi (ved Δ u→0)
hvor α→0 ved Δ u→0, og følgelig ved Δ x→0.
La oss omskrive denne likheten som:
Δ y=y"uΔ u+α·Δ u.
Den resulterende likheten er også gyldig for Δ u=0 for vilkårlig α, siden den blir til identiteten 0=0. Ved Δ u=0 vil vi anta α=0. La oss dele alle ledd i den resulterende likheten med Δ x
.
Etter tilstand 
. Derfor passerer til grensen ved Δ x→0, vi får y" x = y"u·u" x. Teoremet er bevist.
Så for å skille en kompleks funksjon y = f(u(x)), du må ta den deriverte av den "eksterne" funksjonen f, behandler argumentet ganske enkelt som en variabel, og multipliser med den deriverte av den "indre" funksjonen med hensyn til den uavhengige variabelen.
Hvis funksjonen y=f(x) kan representeres i skjemaet y=f(u), u=u(v), v=v(x), deretter finne den deriverte y " x utføres ved sekvensiell anvendelse av forrige teorem.
I følge den velprøvde regelen har vi y" x = y"u u"x. Bruker samme teorem for u"x får vi, dvs.
y" x = y" x u"v v" x = f"u( u)· u"v ( v)· v" x ( x).
Eksempler.
KONSEPT OM INVERS FUNKSJON
La oss starte med et eksempel. Vurder funksjonen y= x 3. Vi vil vurdere likestillingen y= x 3 som en likningsrelativ x. Dette er ligningen for hver verdi på definerer en enkelt verdi x: . Geometrisk betyr dette at hver rett linje er parallell med aksen Okse skjærer grafen til en funksjon y= x 3 bare på ett punkt. Derfor kan vi vurdere x som en funksjon av y. En funksjon kalles det inverse av en funksjon y= x 3.
Før vi går videre til den generelle saken, introduserer vi definisjoner.
Funksjon y = f(x) kalt økende på et bestemt segment, hvis den største verdien av argumentet x fra dette segmentet tilsvarer en større verdi av funksjonen, dvs. Hvis x 2 >x 1, da f(x 2 ) > f(x 1 ).
Funksjonen kalles på samme måte minkende, hvis en mindre verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen, dvs. Hvis X 2 < X 1, da f(x 2 ) > f(x 1 ).
Så la oss få en økende eller minkende funksjon y=f(x), definert på et eller annet intervall [ en; b]. For definitivthetens skyld vil vi vurdere en økende funksjon (for en synkende er alt likt).
Tenk på to forskjellige verdier X 1 og X 2. La y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Fra definisjonen av en økende funksjon følger det at hvis x 1 <x 2, da på 1 <på 2. Derfor to forskjellige verdier X 1 og X 2 tilsvarer to forskjellige funksjonsverdier på 1 og på 2. Det motsatte er også sant, dvs. Hvis på 1 <på 2, så følger det av definisjonen av en økende funksjon at x 1 <x 2. De. igjen to forskjellige verdier på 1 og på 2 tilsvarer to forskjellige verdier x 1 og x 2. Altså mellom verdiene x og deres tilsvarende verdier y det opprettes en en-til-en korrespondanse, dvs. ligningen y=f(x) for hver y(hentet fra rekkevidden til funksjonen y=f(x)) definerer en enkelt verdi x, og det kan vi si x det er en argumentfunksjon y: x= g(y).
Denne funksjonen kalles omvendt for funksjon y=f(x). Tydeligvis funksjonen y=f(x) er det motsatte av funksjonen x=g(y).
Merk at den inverse funksjonen x=g(y) funnet ved å løse ligningen y=f(x) relativt X.
Eksempel. La funksjonen være gitt y= e x . Denne funksjonen øker ved –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= logg y. Domene for invers funksjon 0< y < + ∞.
La oss komme med noen kommentarer.
Merknad 1. Hvis en økende (eller minkende) funksjon y=f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en; b], og f(a)=c, f(b)=d, da er den inverse funksjonen definert og kontinuerlig på intervallet [ c; d].
Notat 2. Hvis funksjonen y=f(x) er verken økende eller avtagende på et visst intervall, så kan den ha flere inverse funksjoner.
Eksempel. Funksjon y=x2 definert ved –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funksjon – minker og invers.
Merknad 3. Hvis funksjonene y=f(x) Og x=g(y) er gjensidig inverse, så uttrykker de det samme forholdet mellom variabler x Og y. Derfor er grafen til begge den samme kurven. Men hvis vi betegner argumentet til den inverse funksjonen igjen med x, og funksjonen gjennom y og plotte dem i samme koordinatsystem, vil vi få to forskjellige grafer. Det er lett å legge merke til at grafene vil være symmetriske i forhold til halveringslinjen til 1. koordinatvinkel.
TEOREM OM DEN DERIVATIVE INVERS FUNKSJONEN
La oss bevise et teorem som lar oss finne den deriverte av funksjonen y=f(x), kjenne den deriverte av den inverse funksjonen.
Teorem. Hvis for funksjonen y=f(x) det er en invers funksjon x=g(y), som på et tidspunkt på 0 har en derivert g "(v 0), ikke null, deretter på det tilsvarende punktet x 0=g(x 0) funksjon y=f(x) har et derivat f "(x 0), lik , dvs. formelen er riktig.
Bevis. Fordi x=g(y) differensierbar på punktet y 0, Det x=g(y) er kontinuerlig på dette punktet, så funksjonen y=f(x) kontinuerlig på et punkt x 0=g(y 0). Derfor, ved Δ x→0 Δ y→0.
La oss vise det 
.
La . Deretter etter egenskapen til grensen 
. La oss gå inn i denne likheten til grensen ved Δ y→0. Deretter Δ x→0 og α(Δx)→0, dvs. .
Derfor,
,
Q.E.D.
Denne formelen kan skrives i skjemaet .
La oss se på anvendelsen av denne teoremet ved å bruke eksempler.
Vi presenterer uten bevis formlene for deriverte av de grunnleggende elementære funksjonene:
1. Potensfunksjon: (x n)` =nx n -1 .
2. Eksponentiell funksjon: (a x)` =a x lna(spesielt (e x)` = e x).
3. Logaritmisk funksjon: (spesielt (lnx)` = 1/x).
4. Trigonometriske funksjoner:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. Inverse trigonometriske funksjoner:
Det kan bevises at for å differensiere en potens-eksponentiell funksjon, er det nødvendig å bruke formelen for den deriverte av en kompleks funksjon to ganger, nemlig å differensiere den både som en kompleks potensfunksjon og som en kompleks eksponentiell funksjon, og legge til resultatene : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Høyere ordens derivater
Siden den deriverte av en funksjon i seg selv er en funksjon, kan den også ha en derivert. Konseptet med et derivat, som ble diskutert ovenfor, refererer til et førsteordens derivat.
Derivatn-te orden kalles den deriverte av (n- 1)te ordens deriverte. For eksempel, f``(x) = (f`(x))` - andreordens deriverte (eller andrederiverte), f```(x) = (f``(x))` - tredjeordensderiverte ( eller tredjederiverte), etc. Noen ganger brukes romerske arabertall i parentes for å betegne høyere-ordens derivater, for eksempel f (5) (x) eller f (V) (x) for en femte-ordens derivater.
Den fysiske betydningen av derivater av høyere orden bestemmes på samme måte som for den første derivater: hver av dem representerer endringshastigheten til derivatet av forrige orden. For eksempel representerer den andre deriverte endringshastigheten til den første, dvs. hastighet hastighet. For rettlinjet bevegelse betyr det akselerasjonen av et punkt på et tidspunkt.
Elastisitetsfunksjon
Elastisitetsfunksjon E x (y) er grensen for forholdet mellom den relative økningen av funksjonen y til den relative økningen av argumentet x, da sistnevnte har en tendens til null: 
.
Elastisiteten til en funksjon viser omtrent hvor mange prosent funksjonen y = f(x) vil endre seg når den uavhengige variabelen x endres med 1 %.
I økonomisk forstand er forskjellen mellom denne indikatoren og derivatet at derivatet har måleenheter, og derfor avhenger verdien av enhetene som variablene måles i. For eksempel, hvis avhengigheten av produksjonsvolum på tid er uttrykt i henholdsvis tonn og måneder, vil derivatet vise den marginale økningen i volum i tonn per måned; hvis vi måler disse indikatorene, for eksempel i kilogram og dager, vil både funksjonen i seg selv og dens deriverte være annerledes. Elastisitet er i hovedsak en dimensjonsløs størrelse (målt i prosenter eller andeler) og er derfor ikke avhengig av indikatorskalaen.
Grunnleggende teoremer om differensierbare funksjoner og deres anvendelser
Fermats teorem. Hvis en funksjon som kan differensieres på et intervall når sin største eller minste verdi ved et internt punkt i dette intervallet, er den deriverte av funksjonen på dette punktet null.
Ingen bevis.
Den geometriske betydningen av Fermats teorem er at ved punktet med den største eller minste verdien oppnådd innenfor intervallet, er tangenten til grafen til funksjonen parallell med abscisseaksen (Figur 3.3).
Rolles teorem. La funksjonen y =f(x) tilfredsstille følgende betingelser:
2) differensierbar på intervallet (a, b);
3) ved enden av segmentet tar like verdier, dvs. f(a) =f(b).
Da er det minst ett punkt inne i segmentet der den deriverte av funksjonen er lik null.
Ingen bevis.
Den geometriske betydningen av Rolles teorem er at det er minst ett punkt hvor tangenten til grafen til funksjonen vil være parallell med abscisseaksen (for eksempel i figur 3.4 er det to slike punkter).
Hvis f(a) =f(b) = 0, kan Rolles teorem formuleres annerledes: mellom to påfølgende nuller av den differensierbare funksjonen er det minst en null av den deriverte.
Rolles teorem er et spesialtilfelle av Lagranges teorem.
Lagranges teorem. La funksjonen y =f(x) tilfredsstille følgende betingelser:
1) kontinuerlig på intervallet [a, b];
2) differensierbar på intervallet (a, b).
Så inne i segmentet er det minst ett slikt punkt c, hvor den deriverte er lik kvotienten av funksjonen inkrement dividert med argumentet inkrement på dette segmentet: 
.
Ingen bevis.
For å forstå den fysiske betydningen av Lagranges teorem, merker vi det 
er ikke noe mer enn den gjennomsnittlige endringshastigheten til funksjonen over hele intervallet [a, b]. Dermed sier teoremet at inne i segmentet er det minst ett punkt der den "øyeblikkelige" endringshastigheten til funksjonen er lik den gjennomsnittlige endringshastigheten over hele segmentet.
Den geometriske betydningen av Lagranges teorem er illustrert i figur 3.5. Merk at uttrykket 
representerer vinkelkoeffisienten til den rette linjen som korden AB ligger på. Teoremet sier at på grafen til en funksjon vil det være minst ett punkt hvor tangenten til den vil være parallell med denne akkorden (dvs. hellingen til tangenten - den deriverte - vil være den samme).
Konsekvens: hvis den deriverte av en funksjon er lik null på et visst intervall, så er funksjonen identisk konstant på dette intervallet.
Faktisk, la oss ta intervallet . I følge Lagranges teorem er det i dette intervallet et punkt c som 
. Derfor f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = konst.
L'Hopitals regel. Grensen for forholdet mellom to infinitesimale eller uendelig store funksjoner er lik grensen for forholdet mellom deres derivater (endelig eller uendelig), hvis sistnevnte eksisterer i den angitte betydningen.
Med andre ord, hvis det er usikkerhet i formen 
, Det 
.
Ingen bevis.
Anvendelsen av L'Hopitals regel for å finne grenser vil bli diskutert i praktiske timer.
Tilstrekkelig betingelse for en økning (reduksjon) av en funksjon. Hvis den deriverte av en differensierbar funksjon er positiv (negativ) innenfor et visst intervall, øker (minker) funksjonen på dette intervallet.
Bevis. Tenk på to verdier x 1 og x 2 fra dette intervallet (la x 2 > x 1). Ved Lagrands teorem om [x 1, x 2] er det et punkt c hvor Teoremet er bevist. Geometrisk tolkning av betingelsen for monotonisiteten til en funksjon: hvis tangentene til kurven i et visst intervall er rettet mot spisse vinkler til abscisseaksen, øker funksjonen, og hvis den er i stumpe vinkler, avtar den (se figur 3.6) ). Merk: den nødvendige betingelsen for monotonisitet er svakere. Hvis en funksjon øker (minker) over et visst intervall, så er den deriverte ikke-negativ (ikke-positiv) på dette intervallet (det vil si at på individuelle punkter kan den deriverte av en monoton funksjon være lik null). Beregning av derivatet finnes ofte i Unified State Examination-oppgaver. Denne siden inneholder en liste over formler for å finne derivater. Vi presenterer en oppsummeringstabell for enkelhets skyld og klarhet når vi studerer emnet. Konstanty = C Effektfunksjon y = x p (x p) " = p x p - 1 Eksponentiell funksjony = øks (a x) " = a x ln a Spesielt nåra = evi har y = e x (e x) " = e x Logaritmisk funksjon (log a x) " = 1 x ln a Spesielt nåra = evi har y = log x (ln x) " = 1 x Trigonometriske funksjoner (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x Inverse trigonometriske funksjoner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Hyperbolske funksjoner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x La oss analysere hvordan formlene til den spesifiserte tabellen ble oppnådd, eller med andre ord, vi vil bevise utledningen av derivatformler for hver type funksjon. For å utlede denne formelen tar vi utgangspunkt i definisjonen av den deriverte av en funksjon i et punkt. Vi bruker x 0 = x, hvor x tar verdien av et hvilket som helst reelt tall, eller med andre ord, x er et hvilket som helst tall fra domenet til funksjonen f (x) = C. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet som ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Vær oppmerksom på at uttrykket 0 ∆ x faller under grensetegnet. Det er ikke usikkerheten "null delt på null", siden telleren ikke inneholder en uendelig liten verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null. Så den deriverte av konstantfunksjonen f (x) = C er lik null gjennom hele definisjonsdomenet. Eksempel 1 Konstantfunksjonene er gitt: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Løsning
La oss beskrive de gitte forholdene. I den første funksjonen ser vi den deriverte av det naturlige tallet 3. I følgende eksempel må du ta den deriverte av EN, Hvor EN- et hvilket som helst reelt tall. Det tredje eksemplet gir oss den deriverte av det irrasjonelle tallet 4. 13 7 22, den fjerde er den deriverte av null (null er et heltall). Til slutt, i det femte tilfellet har vi den deriverte av den rasjonelle brøken - 8 7. Svar: deriverte av gitte funksjoner er null for enhver reell x(over hele definisjonsområdet) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 La oss gå videre til potensfunksjonen og formelen for dens deriverte, som har formen: (x p) " = p x p - 1, hvor eksponenten s er et hvilket som helst reelt tall. Bevis 2 Her er beviset på formelen når eksponenten er et naturlig tall: p = 1, 2, 3, … Vi stoler igjen på definisjonen av et derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x For å forenkle uttrykket i telleren bruker vi Newtons binomiale formel: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Dermed: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Dermed har vi bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon når eksponenten er et naturlig tall. Bevis 3 Å fremlegge bevis for saken når p- et hvilket som helst reelt tall enn null, bruker vi den logaritmiske deriverte (her bør vi forstå forskjellen fra den deriverte av en logaritmisk funksjon). For å få en mer fullstendig forståelse, er det tilrådelig å studere den deriverte av en logaritmisk funksjon og i tillegg forstå den deriverte av en implisitt funksjon og den deriverte av en kompleks funksjon. La oss vurdere to tilfeller: når x positivt og når x negativ. Så x > 0. Deretter: x p > 0 . La oss logaritme likheten y = x p til basen e og bruke egenskapen til logaritmen: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x På dette stadiet har vi fått en implisitt spesifisert funksjon. La oss definere dens deriverte: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Nå vurderer vi saken når x – et negativt tall. Hvis indikatoren s er et partall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Så x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Hvis s er et oddetall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 Den siste overgangen er mulig på grunn av at hvis s er et oddetall, da p - 1 enten et partall eller null (for p = 1), derfor for negativ x likheten (- x) p - 1 = x p - 1 er sann. Så vi har bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon for enhver reell p. Eksempel 2 Funksjoner gitt: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Bestem deres derivater. Løsning
Vi transformerer noen av de gitte funksjonene til tabellform y = x p , basert på egenskapene til graden, og bruker deretter formelen: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - 1 = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - stokk 7 7 = - stokk 7 12 x - stokk 7 84 La oss utlede den deriverte formelen ved å bruke definisjonen som grunnlag: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Vi fikk usikkerhet. For å utvide den, la oss skrive en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I dette tilfellet er a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . For den siste overgangen ble formelen for overgang til en ny logaritmebase brukt. La oss bytte inn i den opprinnelige grensen: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z La oss huske den andre bemerkelsesverdige grensen, og så får vi formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Eksempel 3 Eksponentialfunksjonene er gitt: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Det er nødvendig å finne deres derivater. Løsning
Vi bruker formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen og egenskapene til logaritmen: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x La oss gi et bevis på formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for enhver x i definisjonsdomenet og eventuelle tillatte verdier av basen a til logaritmen. Basert på definisjonen av derivat, får vi: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Fra den indikerte likhetskjeden er det klart at transformasjonene var basert på egenskapen til logaritmen. Likhetsgrensen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e er sann i samsvar med den andre bemerkelsesverdige grensen. Eksempel 4 Logaritmiske funksjoner er gitt: f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x Det er nødvendig å beregne deres derivater. Løsning
La oss bruke den avledede formelen: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x Så den deriverte av den naturlige logaritmen er en dividert med x. La oss bruke noen trigonometriske formler og den første fantastiske grensen for å utlede formelen for den deriverte av en trigonometrisk funksjon. I henhold til definisjonen av den deriverte av sinusfunksjonen får vi: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Formelen for forskjellen av sines vil tillate oss å utføre følgende handlinger: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Til slutt bruker vi den første fantastiske grensen: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Altså den deriverte av funksjonen synd x vil fordi x. Vi vil også bevise formelen for derivatet av cosinus: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x De. den deriverte av cos x-funksjonen vil være – synd x. Vi utleder formlene for derivatene av tangent og cotangens basert på reglene for differensiering: t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Avsnittet om derivater av inverse funksjoner gir omfattende informasjon om beviset for formlene for derivatene av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent, så vi vil ikke duplisere materialet her. Vi kan utlede formlene for de deriverte av den hyperbolske sinus, cosinus, tangens og cotangens ved å bruke differensieringsregelen og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
. Derfor f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Så for f`(c) > 0 er venstre side av ulikheten positiv, dvs. f(x 2) >f(x 1), og funksjonen øker. Nårf`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Regler for differensiering
Vi anbefaler deg å lagre lenken, siden denne tabellen kan være nødvendig mange ganger.
Derivert av en konstant
Bevis 1 Derivat av en potensfunksjon
Derivert av en eksponentiell funksjon
Bevis 4 Derivert av en logaritmisk funksjon
Bevis 5 Derivater av trigonometriske funksjoner
Bevis 6 Derivater av inverse trigonometriske funksjoner
Derivater av hyperbolske funksjoner
Bevis 7
Laster inn...