Sjekk at linjene ligger i samme plan. Betingelsen for at to rette linjer skal tilhøre samme plan. Avstand fra punkt til linje

Denne artikkelen handler om parallelle linjer og parallelle linjer. Først gis definisjonen av parallelle linjer på et plan og i rommet, notasjoner introduseres, eksempler og grafiske illustrasjoner av parallelle linjer er gitt. Deretter diskuteres tegnene og betingelsene for parallellitet av linjer. Avslutningsvis vises løsninger på typiske problemer med å bevise parallelliteten til linjer, som er gitt av visse ligninger av en linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan og i tredimensjonalt rom.

Sidenavigering.

Parallelle linjer - grunnleggende informasjon.

Definisjon.

To linjer i et plan kalles parallell, hvis de ikke har felles punkter.

Definisjon.

To linjer i tredimensjonalt rom kalles parallell, hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Vær oppmerksom på at klausulen "hvis de ligger i samme plan" i definisjonen av parallelle linjer i rommet er veldig viktig. La oss avklare dette punktet: to linjer i tredimensjonalt rom som ikke har felles punkter og ikke ligger i samme plan er ikke parallelle, men krysser hverandre.

Her er noen eksempler på parallelle linjer. De motsatte kantene av notatbokarket ligger på parallelle linjer. De rette linjene som husets veggplan skjærer planene til taket og gulvet er parallelle. Jernbaneskinner på jevn mark kan også betraktes som parallelle linjer.

For å angi parallelle linjer, bruk symbolet "". Det vil si at hvis linjene a og b er parallelle, kan vi kort skrive a b.

Vær oppmerksom på: hvis linjene a og b er parallelle, kan vi si at linje a er parallell med linje b, og også at linje b er parallell med linje a.

La oss gi uttrykk for en uttalelse som spiller en viktig rolle i studiet av parallelle linjer på et plan: gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, passerer den eneste rette linjen parallelt med den gitte. Dette utsagnet er akseptert som et faktum (det kan ikke bevises på grunnlag av de kjente planimetriaksiomene), og det kalles aksiomet for parallelle linjer.

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet er lett bevist ved å bruke aksiomet ovenfor for parallelle linjer (du kan finne beviset i geometrilæreboken for klasse 10-11, som er oppført på slutten av artikkelen i referanselisten).

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet kan enkelt bevises ved å bruke ovennevnte parallelllinjeaksiom.

Parallellisme av linjer - tegn og betingelser for parallellitet.

Et tegn på parallellitet av linjer er en tilstrekkelig betingelse for at linjene skal være parallelle, det vil si en betingelse hvis oppfyllelse garanterer at linjene er parallelle. Med andre ord er oppfyllelsen av denne betingelsen tilstrekkelig til å fastslå at linjene er parallelle.

Det er også nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelliteten til linjer på et plan og i tredimensjonalt rom.

La oss forklare betydningen av uttrykket "nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallelle linjer."

Vi har allerede behandlet den tilstrekkelige betingelsen for parallelle linjer. Hva er en "nødvendig betingelse for parallelle linjer"? Fra navnet "nødvendig" er det klart at oppfyllelsen av denne betingelsen er nødvendig for parallelle linjer. Med andre ord, hvis den nødvendige betingelsen for at linjene skal være parallelle ikke er oppfylt, så er ikke linjene parallelle. Dermed, nødvendig og tilstrekkelig forutsetning for parallelle linjer er en betingelse hvis oppfyllelse er både nødvendig og tilstrekkelig for parallelle linjer. Det vil si at på den ene siden er dette et tegn på parallellitet av linjer, og på den andre siden er dette en egenskap som parallelle linjer har.

Før du formulerer en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av linjer, er det tilrådelig å huske flere hjelpedefinisjoner.

Sekantlinje er en linje som skjærer hver av to gitte ikke-sammenfallende linjer.

Når to rette linjer krysser en tverrgående, dannes åtte uutviklede. Den såkalte liggende på tvers, tilsvarende Og ensidige vinkler. La oss vise dem på tegningen.

Teorem.

Hvis to rette linjer i et plan skjæres av en tverrgående, så er det nødvendig og tilstrekkelig at de kryssende vinklene er like, eller at de tilsvarende vinklene er like, eller summen av ensidige vinkler er lik 180 for at de skal være parallelle. grader.

La oss vise en grafisk illustrasjon av denne nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan.

Du kan finne bevis på disse forholdene for parallelliteten til linjer i geometri lærebøker for klasse 7-9.

Merk at disse forholdene også kan brukes i tredimensjonalt rom - hovedsaken er at de to rette linjene og sekanten ligger i samme plan.

Her er noen flere teoremer som ofte brukes for å bevise parallelliteten til linjer.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet følger av aksiomet for parallelle linjer.

Det er en lignende tilstand for parallelle linjer i tredimensjonalt rom.

Teorem.

Hvis to linjer i rommet er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet diskuteres i geometritimene på 10. trinn.

La oss illustrere de angitte teoremene.

La oss presentere et annet teorem som lar oss bevise parallelliteten til linjer på et plan.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er vinkelrett på en tredje linje, så er de parallelle.

Det er et lignende teorem for linjer i rommet.

Teorem.

Hvis to linjer i tredimensjonalt rom er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.

La oss tegne bilder som tilsvarer disse teoremene.

Alle teoremene, kriteriene og nødvendige og tilstrekkelige betingelser formulert ovenfor er utmerket for å bevise parallelliteten til linjer ved bruk av geometrimetodene. Det vil si at for å bevise parallelliteten til to gitte linjer, må du vise at de er parallelle med en tredje linje, eller vise likheten mellom liggende vinkler på tvers, etc. Mange lignende problemer løses i geometritimer på videregående. Det skal imidlertid bemerkes at det i mange tilfeller er praktisk å bruke koordinatmetoden for å bevise parallelliteten til linjer på et plan eller i tredimensjonalt rom. La oss formulere de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten til linjer som er spesifisert i et rektangulært koordinatsystem.

Parallellisme av linjer i et rektangulært koordinatsystem.

I dette avsnittet av artikkelen vil vi formulere nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelle linjer i et rektangulært koordinatsystem, avhengig av type ligninger som definerer disse linjene, og vi vil også gi detaljerte løsninger på karakteristiske problemer.

La oss starte med betingelsen om parallellitet til to rette linjer på et plan i det rektangulære koordinatsystemet Oxy. Beviset hans er basert på definisjonen av retningsvektoren til en linje og definisjonen av normalvektoren til en linje på et plan.

Teorem.

For at to ikke-sammenfallende linjer skal være parallelle i et plan, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til disse linjene er kollineære, eller normalvektorene til disse linjene er kollineære, eller retningsvektoren til en linje er vinkelrett på normalen. vektor for den andre linjen.

Åpenbart er tilstanden for parallellitet til to linjer på et plan redusert til (retningsvektorer av linjer eller normale vektorer av linjer) eller til (retningsvektor for en linje og normalvektor til den andre linjen). Således, hvis og er retningsvektorer for linjene a og b, og Og er normalvektorer av henholdsvis linje a og b, vil den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjene a og b skrives som , eller , eller , hvor t er et reelt tall. I sin tur blir koordinatene til guidene og (eller) normalvektorene til linjene a og b funnet ved å bruke de kjente linjelikningene.

Spesielt hvis rett linje a i det rektangulære koordinatsystemet Oxy på planet definerer en generell rettlinjeligning av formen , og rett linje b - , da har normalvektorene til disse linjene koordinater og henholdsvis, og betingelsen for parallellitet til linjene a og b vil bli skrevet som .

Hvis linje a tilsvarer ligningen til en linje med en vinkelkoeffisient av formen, og linje b-, så har normalvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet til disse linjene har formen . Følgelig, hvis linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er parallelle og kan spesifiseres ved likninger av linjer med vinkelkoeffisienter, vil vinkelkoeffisientene til linjene være like. Og omvendt: hvis ikke-sammenfallende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem kan spesifiseres ved likninger av en linje med like vinkelkoeffisienter, så er slike linjer parallelle.

Hvis en linje a og en linje b i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av de kanoniske ligningene til en linje på et plan av formen Og , eller parametriske ligninger av en rett linje på et plan av formen Og følgelig har retningsvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet av linjene a og b er skrevet som .

La oss se på løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Er linjene parallelle? Og ?

Løsning.

La oss omskrive ligningen til en linje i segmenter i form av en generell ligning av en linje: . Nå kan vi se at det er normalvektoren til linjen , a er normalvektoren til linjen. Disse vektorene er ikke kollineære, siden det ikke er noe reelt tall t som likheten ( ). Følgelig er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan ikke oppfylt, derfor er de gitte linjene ikke parallelle.

Svar:

Nei, linjene er ikke parallelle.

Eksempel.

Er rette linjer og parallelle?

Løsning.

La oss redusere den kanoniske ligningen til en rett linje til ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient: . Åpenbart er likningene til linjene og ikke de samme (i dette tilfellet vil de gitte linjene være de samme) og vinkelkoeffisientene til linjene er like, derfor er de opprinnelige linjene parallelle.

Rette linjer ligger i samme plan. hvis de 1) krysser hverandre, 2) er parallelle.

For at linjene L 1: og L 2: skal tilhøre samme plan  slik at vektorene M 1 M 2 =(x2-x1;y2-y1;z2-z1), q 1 =(l 1 ; m 1 ; n 1 ) og q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) var koplanære. Det vil si, i henhold til betingelsen for koplanaritet av tre vektorer, det blandede produktet M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Fordi betingelsen for parallellitet av to linjer har formen: deretter for skjæringspunktet mellom linjene L 1 og L 2 , slik at de tilfredsstiller betingelse (8) og slik at minst en av proporsjonene brytes.

Eksempel. Utforsk de relative posisjonene til linjer:

Retningsvektor for rett linje L 1 – q 1 =(1;3;-2). Linje L 2 er definert som skjæringspunktet mellom 2 plan α 1: x-y-z+1=0; a2: x+y+2z-2=0. Fordi linje L 2 ligger i begge plan, så er den, og derfor retningsvektoren, vinkelrett på normalene n 1 Og n 2 . Derfor retningsvektoren s 2 er kryssproduktet av vektorer n 1 Og n 2 , dvs. q 2 =n 1 X n 2 ==-Jeg-3j+2k.

At. s 1 =-s 2 , Dette betyr at linjene enten er parallelle eller sammenfallende.

For å sjekke om de rette linjene er sammenfallende, erstatter vi koordinatene til punktet M 0 (1;2;-1)L 1 inn i de generelle ligningene L 2: 1-2+2+1=0 - ukorrekte likheter, dvs. punkt M 0 L 2,

derfor er linjene parallelle.

Avstand fra et punkt til en linje.

Avstanden fra punkt M 1 (x 1;y 1;z 1) til den rette linjen L, gitt ved den kanoniske ligningen L: kan beregnes ved hjelp av vektorproduktet.

Fra den kanoniske ligningen til den rette linjen følger det at punktet M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L, og retningsvektoren til den rette linjen q=(l;m;n)

La oss bygge et parallellogram ved hjelp av vektorer q Og M 0 M 1 . Da er avstanden fra punkt M 1 til rett linje L lik høyden h på dette parallellogrammet. Fordi S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, da

h= (9)

Avstanden mellom to rette linjer i rommet.

L 1: og L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 og L 2 – kryssing

d=

Den relative posisjonen til en rett linje og et plan i rommet.

For plasseringen av en rett linje og et plan i rommet er 3 tilfeller mulige:

en rett linje og et plan skjærer hverandre på ett punkt;

den rette linjen og planet er parallelle;

den rette linjen ligger i planet.

La den rette linjen gis av dens kanoniske ligning, og planet - av den generelle

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Ligningene til den rette linjen gir punktet M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L og retningsvektoren q=(l;m;n), og planligningen er en normalvektor n=(A;B;C).

1. Skjæringspunktet mellom en linje og et plan.

Hvis en linje og et plan krysser hverandre, så er retningsvektoren til linjen q er ikke parallell med planet α, og derfor ikke ortogonalt med normalvektoren til planet n. De. punktproduktet deres nq≠0 eller, gjennom deres koordinater,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

La oss bestemme koordinatene til punkt M - skjæringspunkter mellom rett linje L og plan α.

La oss gå fra den kanoniske ligningen til linjen til den parametriske: , tR

La oss erstatte disse relasjonene i flyets ligning

A(x 0 +lt)+B(y0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – er kjent, la oss finne parameteren t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

hvis Am+Bn+Cp≠0, så har ligningen en unik løsning som bestemmer koordinatene til punkt M:

t M = -→ (11)

Vinkelen mellom en rett linje og et plan. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet.

Vinkel φ mellom rett linje L :

med guidevektor q=(l;m;n) og plan

: Ах+Ву+Сz+D=0 med normalvektor n=(A;B;C) varierer fra 0˚ (i tilfelle av en parallell linje og et plan) til 90˚ (i tilfelle av en vinkelrett linje og et plan). (Vinkelen mellom vektoren q og dens projeksjon på planet α).

– vinkel mellom vektorer q Og n.

Fordi vinkelen  mellom den rette linjen L og planet  er komplementær til vinkelen , da er sin φ=sin(-)=cos =- (absoluttverdien vurderes fordi vinkelen φ er akutt sin φ=sin( -) eller sin φ =sin(+) avhengig av retningen til rett linje L)

Kapittel IV. Rette linjer og plan i rommet. Polyeder

§ 46. Innbyrdes arrangement av linjer i rommet

I verdensrommet kan to forskjellige linjer ligge i samme plan eller ikke. La oss se på relevante eksempler.

La punktene A, B, C ikke ligge på samme rette linje. La oss tegne et fly gjennom dem R og velg et punkt S som ikke tilhører flyet R(Fig. 130).

Da ligger rette linjer AB og BC i samme plan, nemlig i planet R, rette linjer AS og CB ligger ikke i samme plan. Faktisk, hvis de lå i samme plan, ville punktene A, B, C, S også ligge i dette planet, noe som er umulig, siden S ikke ligger i planet som går gjennom punktene A, B, C.

To forskjellige linjer som ligger i samme plan og ikke krysser hverandre kalles parallelle. Sammenfallende linjer kalles også parallelle. Hvis rett 1 1 og 1 2 parallelt, skriv deretter 1 1 || 1 2 .

Dermed, 1 1 || 1 2 hvis det for det første er et fly R slik at
1 1 R Og 1 2 R og for det andre, eller 1 1 1 2 = eller 1 1 = 1 2 .

To rette linjer som ikke ligger i samme plan kalles skjeve linjer. Det er klart at kryssende linjer ikke krysser hverandre og er ikke parallelle.

La oss bevise en viktig egenskap ved parallelle linjer, som kalles transitivitet av parallellisme.

Teorem. Hvis to linjer er parallelle med en tredje, så er de parallelle med hverandre.

La 1 1 || 1 2 og 1 2 || 1 3. Det er nødvendig å bevise det 1 1 || 1 3

Hvis rett 1 1 , 1 2 , 1 3 ligger i samme plan, så er dette utsagnet bevist i planimetri. Vi vil anta at rette linjer 1 1 , 1 2 , 1 3 ikke ligger i samme plan.

Gjennom rette linjer 1 1 og 1 2 tegne et fly R 1, og gjennom 1 2 og 1 3 - fly R 2 (fig. 131).

Merk at den rette linjen 1 3 inneholder minst ett punkt M som ikke tilhører flyet
R 1 .

Tegn et plan gjennom den rette linjen og pek på M R 3, som skjærer planet R 2 langs en rett linje l. La oss bevise det l sammenfaller med 1 3. Vi vil bevise det "ved motsetning".

La oss anta at den rette linjen 1 faller ikke sammen med en rett linje 1 3. Deretter 1 skjærer en linje 1 2 på et tidspunkt A. Det følger at flyet R 3 går gjennom punkt A R 1 og rett 1 1 R 1 og faller derfor sammen med flyet R 1 . Denne konklusjonen motsier det faktum at punkt M R 3 tilhører ikke flyet R 1 .
Derfor er vår antagelse feil, og derfor 1 = 1 3 .

Dermed er det bevist at rette linjer 1 1 og 1 3 ligger i samme plan R 3. La oss bevise at de rette linjene 1 1 og 1 3 ikke krysser hverandre.

Faktisk, hvis 1 1 og 1 3 krysset for eksempel ved punkt B, deretter flyet R 2 ville passere gjennom en rett linje 1 2 og gjennom punkt B 1 1 og vil derfor være sammenfallende med R 1, noe som er umulig.

Oppgave. Bevis at vinkler med codirectional sider har like dimensjoner.

La vinklene MAN og M 1 A 1 N 1 ha medrettede sider: stråle AM ​​er rettet sammen med stråle A 1 M 1, og stråle AN er rettet sammen med stråle A 1 N 1 (fig. 132).

På strålene AM og A 1 M 1 vil vi legge ut segmentene AB og A 1 B 1 like lange. Deretter

|| og |BB 1 | = |AA 1 |

som motsatte sider av et parallellogram.

På samme måte vil vi på strålene AN og A 1 N 1 plotte segmentene AC og A 1 C 1 like lange. Deretter

|| og |CC 1 | = |AA 1 |

Fra parallellismens transitivitet følger det at || . Og siden |BB 1 | = |CC 1 | , da er BB 1 C 1 C et parallellogram, og derfor |BC| = |B 1 C 1 |.
Derfor, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 og .

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

For to linjer i rommet er fire tilfeller mulig:

De rette linjene faller sammen;

Linjene er parallelle (men faller ikke sammen);

Linjer krysser hverandre;

Rette linjer krysser, dvs. har ingen felles punkter og er ikke parallelle.

La oss vurdere to måter å beskrive rette linjer på: kanoniske ligninger og generelle ligninger. La linjene L 1 og L 2 gis ved kanoniske ligninger:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

For hver linje fra dens kanoniske ligninger bestemmer vi umiddelbart punktet på den M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) ∈ L 2 og koordinatene av retningsvektorene s 1 = (l 1; m 1; n 1) for L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) for L 2.

Hvis linjene faller sammen eller er parallelle, er retningsvektorene deres s 1 og s 2 kollineære, noe som tilsvarer likheten mellom forholdene mellom koordinatene til disse vektorene:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Hvis linjene faller sammen, er vektoren M 1 M 2 kollineær med retningsvektorene:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Denne doble likheten betyr også at punktet M 2 tilhører linjen L 1. Følgelig er betingelsen for at linjene skal sammenfalle å tilfredsstille likheter (6.10) og (6.11) samtidig.

Hvis linjene krysser eller krysser hverandre, er retningsvektorene deres ikke-kollineære, dvs. vilkår (6.10) er brutt. Kryssende linjer ligger i samme plan og derfor vektorer s 1, s 2 og M 1 M 2 er koplanartredje ordens determinant, sammensatt av deres koordinater (se 3.2):

Betingelse (6.12) er oppfylt i tre av fire tilfeller, siden for Δ ≠ 0 linjene ikke tilhører samme plan og derfor krysser hverandre.

La oss sette alle betingelsene sammen:

Den relative plasseringen av linjene er preget av antall løsninger av systemet (6.13). Hvis linjene faller sammen, så har systemet uendelig mange løsninger. Hvis linjene krysser hverandre, har dette systemet en unik løsning. Ved parallell eller kryssing er det ingen direkte løsninger. De to siste tilfellene kan skilles ved å finne retningsvektorene til linjene. For å gjøre dette er det nok å beregne to vektor kunstverk n 1 × n 2 og n 3 × n 4, hvor n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Hvis de resulterende vektorene er kollineære, er de gitte linjene parallelle. Ellers går de sammen.

Eksempel 6.4.

Retningsvektoren s 1 for rett linje L 1 er funnet ved å bruke de kanoniske ligningene til denne rette linjen: s 1 = (1; 3; -2). Retningsvektoren s 2 av den rette linjen L 2 beregnes ved å bruke vektorproduktet til normalvektorene til planene hvis skjæringspunkt det er:

Siden s 1 = -s 2, så er linjene parallelle eller sammenfallende. La oss finne ut hvilke av disse situasjonene som er realisert for disse linjene. For å gjøre dette, erstatter vi koordinatene til punktet M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 i de generelle ligningene til den rette linjen L 2 . For den første av dem får vi 1 = 0. Følgelig hører ikke punktet M 0 til linjen L 2 og linjene som vurderes er parallelle.

Vinkel mellom rette linjer. Vinkelen mellom to rette linjer finner du ved å bruke retningsvektorer rett Den spisse vinkelen mellom rette linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres (fig. 6.5) eller kommer i tillegg hvis vinkelen mellom retningsvektorene er stump. Således, hvis for linjene L 1 og L 2 deres retningsvektorer s x og s 2 er kjent, bestemmes den spisse vinkelen φ mellom disse linjene gjennom skalarproduktet:

cosφ = |S1S2 |/|S1 ||S2 |

La for eksempel s i = (li ; m i ; n i ), i = 1, 2. Bruk formlene (2.9) og (2.14) for å beregne vektorlengde og skalært produkt i koordinater, får vi