Send ditt gode arbeid i kunnskapsbasen er enkelt. Bruk skjemaet nedenfor

Studenter, hovedfagsstudenter, unge forskere som bruker kunnskapsbasen i studiene og arbeidet vil være deg veldig takknemlig.

Lagt ut på http://www.allbest.ru/

LEKSJON 1

Simulering av tilfeldige hendelser med en gitt distribusjonslov

Spille av en diskret tilfeldig variabel

La det være nødvendig å spille av en diskret tilfeldig variabel, dvs. få en sekvens av dens mulige verdier x i (i = 1,2,3,...n), og kjenne fordelingsloven til X:

La oss betegne med R en kontinuerlig tilfeldig variabel. Verdien av R fordeles jevnt i intervallet (0,1). Med r j (j = 1,2,...) betegner vi de mulige verdiene til den tilfeldige variabelen R. La oss dele intervallet 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Da får vi:

Man kan se at lengden på delintervallet med indeks i er lik sannsynligheten P med samme indeks. Lengde

Således, når et tilfeldig tall r i faller inn i intervallet tilfeldig verdi X tar på seg verdien x i med sannsynlighet P i.

Det er følgende teorem:

Hvis hvert tilfeldig tall som faller inn i intervallet er assosiert med en mulig verdi x i, vil verdien som spilles ha en gitt distribusjonslov

Algoritme for å spille av en diskret tilfeldig variabel spesifisert av distribusjonsloven

1. Det er nødvendig å dele intervallet (0,1) til 0r-aksen i n delintervaller:

2. Velg (for eksempel fra en tabell med tilfeldige tall, eller på en datamaskin) et tilfeldig tall r j .

Hvis r j falt inn i intervallet, fikk den diskrete tilfeldige variabelen som spilles en mulig verdi x i.

Spille av en kontinuerlig tilfeldig variabel

La det kreves å spille av en kontinuerlig tilfeldig variabel X, dvs. få en sekvens av dens mulige verdier x i (i = 1,2,...). I dette tilfellet er fordelingsfunksjonen F(X) kjent.

Finnes neste teorem.

Hvis r i er et tilfeldig tall, så er den mulige verdien x i av den spilte kontinuerlige tilfeldige variabelen X med en kjent distribusjonsfunksjon F(X) som tilsvarer r i roten av ligningen

Algoritme for å spille av en kontinuerlig tilfeldig variabel:

1. Du må velge et tilfeldig tall r i .

2. Lik det valgte tilfeldige tallet med den kjente fordelingsfunksjonen F(X) og få en ligning.

3. Løs denne ligningen for x i. Den resulterende verdien x i vil samtidig tilsvare det tilfeldige tallet r i . og den gitte fordelingsloven F(X).

Eksempel. Spill 3 mulige verdier av en kontinuerlig tilfeldig variabel X, fordelt jevnt i intervallet (2; 10).

Fordelingsfunksjonen til X-verdien har følgende form:

Ved betingelse, a = 2, b = 10, derfor,

I samsvar med algoritmen for å spille av en kontinuerlig tilfeldig variabel, likestiller vi F(X) til det valgte tilfeldige tallet r i .. Vi får herfra:

Sett inn disse tallene i ligning (5.3). Vi får de tilsvarende mulige verdiene av x:

Problemer med å modellere tilfeldige hendelser med en gitt distribusjonslov

1. Det kreves å spille 10 verdier av en diskret tilfeldig variabel, dvs. få en sekvens av dens mulige verdier x i (i=1,2,3,...n), og kjenne fordelingsloven til X

La oss velge et tilfeldig tall r j fra tabellen med tilfeldige tall: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Frekvensen for mottak av forespørsler om tjeneste er underlagt den eksponentielle distribusjonsloven (), x, parameteren l er kjent (heretter l = 1/t - intensiteten av mottak av forespørsler)

l=0,5 forespørsler/time. Bestem rekkefølgen av verdier for varigheten av intervaller mellom mottak av søknader. Antall implementeringer er 5. Antall r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

LEKSJON 2

Køsystem

Systemer der det på den ene siden er massive forespørsler om utførelse av enhver type tjeneste, og på den annen side disse forespørslene blir tilfredsstilt, kalles køsystemer. Enhver QS tjener til å oppfylle strømmen av forespørsler.

QS inkluderer: kilde til krav, innkommende flyt, kø, serveringsenhet, utgående flyt av forespørsler.

SMO er delt inn i:

QS med tap (feil)

Kø med venting (ubegrenset kølengde)

QS med begrenset kølengde

QS med begrenset ventetid.

Basert på antall kanaler eller tjenesteenheter, kan QS-systemer være en- eller flerkanals.

Etter plassering av kravkilden: åpen og lukket.

Etter antall serviceelementer per krav: enfase og flerfase.

En av klassifiseringsformene er D. Kendall-klassifiseringen - A/B/X/Y/Z

A - bestemmer fordelingen av tid mellom ankomster;

B - bestemmer fordelingen av tjenestetid;

X - bestemmer antall tjenestekanaler;

Y - bestemmer systemkapasiteten (kølengde);

Z - bestemmer rekkefølgen på tjenesten.

Når systemkapasiteten er uendelig og køen av service følger først-til-mølla-prinsippet, utelates Y/Z-delene. Det første sifferet (A) bruker følgende symboler:

M-fordelingen har en eksponentiell lov,

G-fraværet av noen forutsetninger om tjenesteprosessen, eller den er identifisert med symbolet GI, som betyr en tilbakevendende tjenesteprosess,

D-deterministisk (fast tjenestetid),

E n - Erlang nth order,

NM n - hyper-Erlang n. orden.

Det andre sifferet (B) bruker de samme symbolene.

Det fjerde sifferet (Y) viser bufferkapasiteten, dvs. maksimalt antall plasser i køen.

Det femte sifferet (Z) angir metoden for valg fra køen i et ventesystem: SP-lik sannsynlighet, FF-først inn-først ut, LF-sist inn-først ut, PR-prioritet.

For oppgaver:

l er gjennomsnittlig antall mottatte søknader per tidsenhet

µ - gjennomsnittlig antall søknader servert per tidsenhet

Kanal 1 belastningsfaktor, eller prosentandelen av tiden kanalen er opptatt.

Hovedtrekk:

1) Forkast - sannsynlighet for feil - sannsynligheten for at systemet vil nekte service og kravet går tapt. Dette skjer når kanalen eller alle kanalene er opptatt (TFoP).

For en flerkanals QS P åpen =P n, hvor n er antall tjenestekanaler.

For en QS med begrenset kølengde P åpen =P n + l, hvor l er tillatt kølengde.

2) Relativ q og absolutt A-systemkapasitet

q= 1-P åpen A=ql

3) Totalt antall krav i systemet

L sys = n - for SMO med feil, n er antall kanaler okkupert av service.

For QS med venting og begrenset kølengde

L sys = n+L kult

der L cool er gjennomsnittlig antall forespørsler som venter på at tjenesten skal begynne osv.

Vi vil vurdere de gjenværende egenskapene når vi løser problemene.

Enkanals og flerkanals køsystemer. Systemer med feil.

Den enkleste enkanalsmodellen med en probabilistisk inngangsflyt og serviceprosedyre er en modell preget av en eksponentiell fordeling av både varighetene av intervallene mellom mottak av krav og tjenestevarighetene. I dette tilfellet har distribusjonstettheten for varigheten av intervaller mellom mottak av forespørsler formen

Tetthet av distribusjon av tjenestevarighet:

Strømmen av forespørsler og tjenester er enkle. La systemet jobbe med feil. Denne typen QS kan brukes ved modellering av overføringskanaler i lokale nettverk. Det er nødvendig å bestemme den absolutte og relative gjennomstrømningen til systemet. La oss forestille oss dette køsystemet i form av en graf (figur 2), som har to tilstander:

S 0 - kanal gratis (venter);

S 1 - kanal er opptatt (forespørsel blir behandlet).

Figur 2. Tilstandsgraf for en enkeltkanals QS med feil

La oss betegne tilstandssannsynlighetene: P 0 (t) - sannsynligheten for "kanalfri" tilstand; P 1 (t) - sannsynligheten for "kanalen opptatt" tilstand. Ved å bruke den markerte tilstandsgrafen lager vi et system differensiallikninger Kolmogorov for statlige sannsynligheter:

Systemet med lineære differensialligninger har en løsning som tar hensyn til normaliseringsbetingelsen P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Løsningen til dette systemet kalles ustødig, siden det direkte avhenger av t og ser slik ut:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Det er lett å verifisere at for en enkeltkanals QS med feil, er sannsynligheten P 0 (t) ikke noe mer enn den relative kapasiteten til systemet q. Faktisk er P 0 sannsynligheten for at kanalen på tidspunktet t er ledig og en forespørsel som kommer til tidspunktet t vil bli behandlet, og derfor, for en gitt tid t, er det gjennomsnittlige forholdet mellom antall forespørsler servert og antall mottatte. er også lik P 0 (t), dvs. q = P 0 (t).

Etter et stort tidsintervall (at) oppnås en stasjonær (stabil) modus:

Når du kjenner den relative gjennomstrømningen, er det lett å finne den absolutte. Absolutt gjennomstrømning (A) er det gjennomsnittlige antallet forespørsler som et køsystem kan betjene per tidsenhet:

Sannsynligheten for å nekte å betjene en forespørsel vil være lik sannsynligheten for "kanalen opptatt" tilstand:

Denne verdien av P åpen kan tolkes som gjennomsnittlig andel av ubetjente søknader blant de innsendte.

I de aller fleste tilfeller er køsystemer i praksis flerkanals, og derfor er modeller med n serveringskanaler (der n>1) av utvilsomt interesse. Køprosessen beskrevet av denne modellen er preget av intensiteten til inngangsflyten l, mens ikke mer enn n klienter (applikasjoner) kan betjenes parallelt. Gjennomsnittlig varighet for å betjene én forespørsel er 1/m. Inngangs- og utgangsstrømmene er Poisson. Driftsmodusen til en bestemt servicekanal påvirker ikke driftsmodusen til andre servicekanaler i systemet, og varigheten av serviceprosedyren for hver kanal er en tilfeldig variabel underlagt en eksponentiell distribusjonslov. Det endelige målet med å bruke n parallellkoblede tjenestekanaler er å øke (sammenlignet med et enkeltkanalsystem) hastigheten på serviceforespørsler ved å betjene n klienter samtidig. Tilstandsgrafen til et flerkanalskøsystem med feil har formen vist i figur 4.

Figur 4. Tilstandsgraf for en flerkanals QS med feil

S 0 - alle kanaler er gratis;

S 1 - en kanal er okkupert, resten er gratis;

S k - nøyaktig k kanaler er opptatt, resten er gratis;

S n - alle n kanaler er opptatt, resten er gratis.

Kolmogorovs ligninger for sannsynlighetene for systemtilstander P 0 , ... , P k , ... P n vil ha følgende form:

De første betingelsene for å løse systemet er:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Den stasjonære løsningen av systemet har formen:

Formler for beregning av sannsynligheter P k (3.5.1) kalles Erlang-formler.

La oss bestemme de sannsynlige egenskapene til funksjonen til en flerkanals QS med feil i en stasjonær modus:

1) sannsynlighet for feil:

siden en forespørsel blir avvist hvis den kommer på et tidspunkt da alle n kanalene er opptatt. Verdien P åpen karakteriserer fullstendigheten av å betjene den innkommende flyten;

2) sannsynligheten for at forespørselen vil bli akseptert for service (det er også den relative kapasiteten til systemet q) komplementerer P åpen til en:

3) absolutt gjennomstrømning

4) gjennomsnittlig antall kanaler okkupert av tjenesten () er som følger:

Verdien karakteriserer graden av belastning av QS.

Oppgavertil leksjon 2

1. En kommunikasjonsgren som har én kanal mottar enkleste flyten meldinger med intensitet l=0,08 meldinger per sekund. Sendetiden er fordelt etter exp-loven. Betjening av én melding skjer med intensitet µ=0,1. Meldinger som kommer til tider når den serverende kanalen er opptatt med å sende en tidligere mottatt melding mottar en overføringsfeil.

Coeff. Relativ kanalbelastning (sannsynlighet for kanalbelegg)

P avvis sannsynligheten for unnlatelse av å motta en melding

Q relativ kapasitet til internodegrenen

Og den absolutte gjennomstrømmingen til kommunikasjonsgrenen.

2. Kommunikasjonsgrenen har én kanal og mottar meldinger hvert 10. sekund. Servicetiden for én melding er 5 sekunder. Sendetiden for meldinger fordeles i henhold til en eksponentiell lov. Meldinger som kommer mens kanalen er opptatt nektes tjeneste.

Definere

Rzan - sannsynlighet for bruk av kommunikasjonskanal (relativ belastningsfaktor)

Q - relativ gjennomstrømning

A - absolutt kapasitet til kommunikasjonsgrenen

4. Den internodale grenen til det sekundære kommunikasjonsnettverket har n = 4 kanaler. Strømmen av meldinger som ankommer for overføring gjennom kommunikasjonsgrenkanalene har en intensitet = 8 meldinger per sekund. Gjennomsnittlig overføringstid for en melding er t = 0,1 sekunder En melding som ankommer på et tidspunkt da alle n kanaler er opptatt mottar en overføringsfeil langs kommunikasjonsgrenen. Finn egenskapene til SMO:

LEKSJON 3

Enkeltkanalsystem med standby

La oss nå vurdere en enkeltkanals QS med venting. Køsystemet har én kanal. Den innkommende strømmen av tjenesteforespørsler er den enkleste flyten med intensitet. Intensiteten til tjenesteflyten er lik (dvs. i gjennomsnitt vil en kontinuerlig opptatt kanal utstede betjente forespørsler). Tjenestens varighet er en tilfeldig variabel underlagt den eksponentielle distribusjonsloven. Serviceflyten er den enkleste Poisson-strømmen av hendelser. En forespørsel mottatt når kanalen er opptatt, står i kø og venter på service. Denne QS er den vanligste innen modellering. Med en eller annen grad av tilnærming kan den brukes til å simulere nesten hvilken som helst node i et lokalt datanettverk (LAN).

La oss anta at uansett hvor mange krav som kommer til inngangen til tjenestesystemet, dette systemet(kø + klienter som betjenes) kan ikke imøtekomme mer enn N-krav (applikasjoner), det vil si at kunder som ikke er på vent tvinges til å bli betjent andre steder. System M/M/1/N. Til slutt har kildegenererende tjenesteforespørsler ubegrenset (uendelig stor) kapasitet. Tilstandsgrafen til QS i dette tilfellet har formen vist i figur 3

Figur 3. Tilstandsgraf for en enkeltkanals QS med venting (skjema for død og reproduksjon)

QS-statene har følgende tolkning:

S 0 - "kanalfri";

S 1 - "kanal opptatt" (ingen kø);

S 2 - "kanal opptatt" (en forespørsel er i kø);

S n - "kanal opptatt" (n -1 applikasjoner er i kø);

S N - "kanal opptatt" (N - 1 applikasjoner er i kø).

Den stasjonære prosessen i dette systemet vil bli beskrevet av følgende system med algebraiske ligninger:

hvor p=lastfaktor

n - oppgi nummer.

Løsningen på ligningssystemet ovenfor for vår QS-modell har formen:

Innledende sannsynlighetsverdi for en QS med begrenset kølengde

For en QS med en uendelig kø Н =? :

P 0 = 1- s (3.4.7)

Det skal bemerkes at oppfyllelsen av stasjonaritetsbetingelsen for en gitt QS ikke er nødvendig, siden antall applikasjoner som tas opp i serveringssystemet kontrolleres ved å innføre en begrensning på lengden på køen, som ikke kan overstige (N - 1) , og ikke av forholdet mellom intensitetene til inngangsstrømmen, dvs. ikke forholdet c = l/m.

I motsetning til enkeltkanalsystemet, som ble vurdert ovenfor og med en ubegrenset kø, eksisterer i dette tilfellet en stasjonær fordeling av antall forespørsler for eventuelle endelige verdier av lastfaktoren c.

La oss bestemme egenskapene til en enkanals QS med venting og en begrenset kølengde lik (N - 1) (M/M/1/N), så vel som for en enkanals QS med en buffer med ubegrenset kapasitet (M/M/1/?). For en QS med en uendelig kø, betingelsen med<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) sannsynlighet for å nekte å betjene en søknad:

En av de viktigste egenskapene til systemer der tap av forespørsler er mulig, er sannsynligheten P tap for at en vilkårlig forespørsel vil gå tapt. I dette tilfellet faller sannsynligheten for å miste en vilkårlig forespørsel sammen med sannsynligheten for at alle venteplasser på et vilkårlig tidspunkt er opptatt, dvs. følgende formel er gyldig: Р fra k = Р Н

2) relativ systemkapasitet:

For SMO med ubegrensetkøen q =1, fordi alle forespørsler vil bli behandlet

3) absolutt gjennomstrømning:

4) gjennomsnittlig antall søknader i systemet:

L S med ubegrenset kø

5) gjennomsnittlig tid en applikasjon forblir i systemet:

For ubegrenset kø

6) gjennomsnittlig oppholdstid for en klient (applikasjon) i køen:

Med ubegrenset kø

7) gjennomsnittlig antall søknader (klienter) i køen (kølengde):

med ubegrenset kø

Sammenligning av uttrykkene for gjennomsnittlig ventetid i køen T och og formelen for gjennomsnittlig lengde på køen L och, samt gjennomsnittlig oppholdstid for forespørsler i systemet T S og gjennomsnittlig antall forespørsler i systemet L S, det ser vi

L og =l*T og L s =l* T s

Merk at disse formlene også er gyldige for mange køsystemer som er mer generelle enn M/M/1-systemet under vurdering og kalles Littles formler. Den praktiske betydningen av disse formlene er at de eliminerer behovet for direkte å beregne verdiene til T och og T s med en kjent verdi av verdiene L och og L s og omvendt.

Enkeltkanals oppgaver SMOmed forventning, Medventer ogbegrenset kølengde

1. Gitt en enkeltlinje QS med ubegrenset kølagring. Søknader mottas hver t = 14 sekunder. Gjennomsnittlig sendetid for én melding er t=10 sekunder. Meldinger som kommer på tidspunkter når serveringskanalen er opptatt mottas i køen uten å forlate den før servicen starter.

Bestem følgende ytelsesindikatorer:

2. Internodens kommunikasjonsgren, som har én kanal og et kølager for m=3 ventende meldinger (N-1=m), mottar den enkleste meldingsflyten med en intensitet på l=5 meldinger. i sekunder Tiden for meldingsoverføring er fordelt i henhold til en eksponentiell lov. Gjennomsnittlig sendetid for én melding er 0,1 sekunder. Meldinger som kommer på tidspunkter når serveringskanalen er opptatt med å sende en tidligere mottatt melding og det ikke er ledig plass i stasjonen, avvises.

P avvisning - sannsynlighet for å ikke motta en melding

L-system - gjennomsnittlig antall meldinger i køen og sendt langs kommunikasjonsgrenen

T och - den gjennomsnittlige tiden en melding forblir i køen før overføringen begynner

T syst - den gjennomsnittlige totale tiden en melding forblir i systemet, bestående av gjennomsnittlig ventetid i køen og gjennomsnittlig sendetid

Q - relativ gjennomstrømning

A - absolutt gjennomstrømning

3. Internodegrenen til det sekundære kommunikasjonsnettverket, som har én kanal og et kølager for m = 4 (N-1=4) ventende meldinger, mottar den enkleste meldingsstrømmen med en intensitet = 8 meldinger per sekund. Sendetiden for meldinger fordeles i henhold til en eksponentiell lov. Gjennomsnittlig sendetid for én melding er t = 0,1 sekund. Meldinger som kommer på tidspunkter når serveringskanalen er opptatt med å sende en tidligere mottatt melding og det ikke er ledig plass i stasjonen, avvises av køen.

P åpen - sannsynlighet for å ikke motta en melding for overføring over kommunikasjonskanalen til internodegrenen;

L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen til kommunikasjonsgrenen til det sekundære nettverket i køen;

L-system - gjennomsnittlig totale antall meldinger i køen og sendt langs kommunikasjonsgrenen til det sekundære nettverket;

T och - den gjennomsnittlige tiden en melding forblir i køen før overføringen begynner;

R zan - sannsynlighet for at kommunikasjonskanalen er opptatt (relativ kanalbelastningskoeffisient);

Q er den relative kapasiteten til den internodale grenen;

A er den absolutte kapasiteten til den internodale grenen;

4. Internodens kommunikasjonsgren, som har én kanal og et kølager for m=2 ventende meldinger, mottar den enkleste meldingsflyten med en intensitet på l=4 meldinger. i sekunder Tiden for meldingsoverføring er fordelt i henhold til en eksponentiell lov. Gjennomsnittlig sendetid for én melding er 0,1 sekunder. Meldinger som kommer på tidspunkter når serveringskanalen er opptatt med å sende en tidligere mottatt melding og det ikke er ledig plass i stasjonen, avvises.

Bestem følgende ytelsesindikatorer for kommunikasjonsgrenen:

P avvisning - sannsynlighet for å ikke motta en melding

L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen til kommunikasjonsgrenen

L-system - gjennomsnittlig antall meldinger i køen og sendt langs kommunikasjonsgrenen

T och - den gjennomsnittlige tiden en melding forblir i køen før overføringen begynner

T syst - den gjennomsnittlige totale tiden en melding forblir i systemet, bestående av gjennomsnittlig ventetid i køen og gjennomsnittlig sendetid

Rzan - sannsynlighet for bruk av kommunikasjonskanal (relativ kanalbelastningskoeffisient c)

Q - relativ gjennomstrømning

A - absolutt gjennomstrømning

5. Internodegrenen til det sekundære kommunikasjonsnettverket, som har en kanal og en ubegrenset lagringskø av ventende meldinger, mottar den enkleste strømmen av meldinger med en intensitet på l = 0,06 meldinger per sekund. Gjennomsnittlig sendetid for én melding er t = 10 sekunder. Meldinger som kommer når kommunikasjonskanalen er opptatt mottas i køen og forlater den ikke før tjenesten starter.

Bestem følgende ytelsesindikatorer for den sekundære nettverkskommunikasjonsgrenen:

L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen til kommunikasjonsgrenen;

L syst - gjennomsnittlig totale antall meldinger i køen og sendt langs kommunikasjonsgrenen;

T och - den gjennomsnittlige tiden en melding forblir i køen;

T syst er den gjennomsnittlige totale tiden en melding forblir i systemet, som er summen av gjennomsnittlig ventetid i køen og gjennomsnittlig sendetid;

Rzan er sannsynligheten for at kommunikasjonskanalen er opptatt (relativ kanalbelastningsfaktor);

Q - relativ kapasitet til den internodale grenen;

A - absolutt kapasitet til den internodale grenen

6. Gitt en enkeltlinje QS med ubegrenset kølagring. Søknader mottas hvert t = 13. sekund. Gjennomsnittlig tid for å sende én melding

t=10 sekunder. Meldinger som kommer på tidspunkter når serveringskanalen er opptatt mottas i køen uten å forlate den før servicen starter.

Bestem følgende ytelsesindikatorer:

L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen

L-system - gjennomsnittlig antall meldinger i køen og sendt langs kommunikasjonsgrenen

T och - den gjennomsnittlige tiden en melding forblir i køen før overføringen begynner

T syst - den gjennomsnittlige totale tiden en melding forblir i systemet, bestående av gjennomsnittlig ventetid i køen og gjennomsnittlig sendetid

Rzan - sannsynlighet for belegg (relativ kanalbelastningskoeffisient c)

Q - relativ gjennomstrømning

A - absolutt gjennomstrømning

7. Den spesialiserte diagnostiske posten er en enkanals QS. Antall parkeringsplasser for biler som venter på diagnose er begrenset og lik 3 [(N - 1) = 3]. Hvis alle parkeringsplasser er opptatt, det vil si at det allerede er tre biler i køen, vil ikke neste bil som kommer for diagnostikk bli plassert i køen for service. Strømmen av biler som ankommer for diagnostikk er fordelt etter Poissons lov og har en intensitet = 0,85 (biler per time). Kjøretøydiagnosetiden er fordelt i henhold til en eksponentiell lov og er gjennomsnittlig 1,05 timer.

Det er nødvendig å bestemme de sannsynlige egenskapene til en diagnosestasjon som opererer i stasjonær modus: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P open, q,A, L och, L sys, T och, T sys

LEKSJON 4

Flerkanals QS med venting, med venting og begrenset kølengde

La oss vurdere et flerkanalskøsystem med venting. Denne typen QS brukes ofte ved modellering av grupper av LAN-abonnentterminaler som opererer i interaktiv modus. Køprosessen er preget av følgende: inngangs- og utgangsstrømmene er Poisson med intensiteter og hhv; ikke mer enn n klienter kan betjenes parallelt. Systemet har n tjenestekanaler. Gjennomsnittlig varighet av tjenesten for én klient er 1/m for hver kanal. Dette systemet refererer også til prosessen med død og reproduksjon.

c=l/nm - forholdet mellom intensiteten av den innkommende strømmen og den totale intensiteten av tjenesten, er systemets belastningsfaktor

(Med<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

der P 0 er sannsynligheten for at alle kanaler er ledige med en ubegrenset kø, k er antall forespørsler.

hvis vi tar c = l / m, kan P 0 bestemmes for en ubegrenset kø:

For en begrenset kø:

hvor m er kølengden

Med ubegrenset kø:

Relativ kapasitet q=1,

Absolutt kapasitet A=l,

Gjennomsnittlig antall okkuperte kanaler Z=A/m

Med begrenset kø

1 Internodegrenen til det sekundære kommunikasjonsnettverket har n = 4 kanaler. Strømmen av meldinger som ankommer for overføring gjennom kommunikasjonsgrenkanalene har en intensitet = 8 meldinger per sekund. Gjennomsnittlig tid t = 0,1 for å sende en melding av hver kommunikasjonskanal er t/n = 0,025 sekunder. Ventetiden for meldinger i køen er ubegrenset. Finn egenskapene til SMO:

P åpen - sannsynlighet for meldingsoverføringsfeil;

Q er den relative kapasiteten til kommunikasjonsgrenen;

A er den absolutte gjennomstrømningen til kommunikasjonsgrenen;

Z - gjennomsnittlig antall okkuperte kanaler;

L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen;

T = gjennomsnittlig ventetid;

T syst - den gjennomsnittlige totale tiden for meldinger som blir værende i køen og overføring langs kommunikasjonsgrenen.

2. Et mekanisk verksted av anlegget med tre stolper (kanaler) utfører reparasjoner av småmekanisering. Strømmen av defekte mekanismer som ankommer verkstedet er Poisson og har en intensitet = 2,5 mekanismer per dag, den gjennomsnittlige reparasjonstiden for en mekanisme er fordelt i henhold til den eksponentielle loven og er lik = 0,5 dager. La oss anta at det ikke er noe annet verksted på anlegget, og derfor kan køen av mekanismer foran verkstedet vokse nesten ubegrenset. Det er nødvendig å beregne følgende grenseverdier for de sannsynlige egenskapene til systemet:

Sannsynligheter for systemtilstander;

Gjennomsnittlig antall søknader i køen for tjeneste;

Gjennomsnittlig antall søknader i systemet;

Gjennomsnittlig hvor lang tid en applikasjon står i kø;

Gjennomsnittlig varighet av en applikasjons opphold i systemet.

3. Den internodale grenen til det sekundære kommunikasjonsnettverket har n=3 kanaler. Strømmen av meldinger som ankommer for overføring gjennom kommunikasjonsgrenkanalene har en intensitet på l = 5 meldinger per sekund. Gjennomsnittlig sendetid for en melding er t=0,1, t/n=0,033 sek. Kølagringen av meldinger som venter på sending kan inneholde opptil m= 2 meldinger. En melding som kommer på et tidspunkt da alle plasser i køen er opptatt mottar en overføringsfeil langs kommunikasjonsgrenen. Finn egenskapene til QS: P åpen - sannsynlighet for meldingsoverføringsfeil, Q - relativ gjennomstrømning, A - absolutt gjennomstrømning, Z - gjennomsnittlig antall okkuperte kanaler, L och - gjennomsnittlig antall meldinger i køen, T so - gjennomsnittlig venting tid, T-system - den gjennomsnittlige totale tiden en melding forblir i køen og sendes langs kommunikasjonsgrenen.

LEKSJON 5

Lukket QS

La oss vurdere en maskinparkservicemodell, som er en modell av et lukket køsystem. Til nå har vi kun vurdert køsystemer der intensiteten av den innkommende strømmen av forespørsler ikke er avhengig av systemets tilstand. I dette tilfellet er kilden til forespørsler ekstern i forhold til QS og genererer en ubegrenset flyt av forespørsler. La oss vurdere køsystemer som det avhenger av systemets tilstand, og kilden til krav er intern og genererer en begrenset flyt av forespørsler. For eksempel blir en maskinpark bestående av N maskiner betjent av et team med R-mekanikere (N > R), og hver maskin kan betjenes av kun én mekaniker. Her er maskiner kilder til krav (forespørsler om service), og mekanikere er servicekanaler. En defekt maskin, etter service, brukes til det tiltenkte formålet og blir en potensiell kilde til servicekrav. Naturligvis avhenger intensiteten av hvor mange maskiner som for øyeblikket er i drift (N - k) og hvor mange maskiner som betjenes eller står i kø og venter på service (k). I den aktuelle modellen bør kapasiteten til kravkilden anses som begrenset. Den innkommende strømmen av krav kommer fra et begrenset antall driftsmaskiner (N - k), som på tilfeldige tidspunkter går i stykker og krever vedlikehold. Dessuten er hver maskin fra (N - k) i drift. Genererer en Poisson-strøm av krav med intensitet X uavhengig av andre objekter, den totale (totale) innkommende strømmen har intensitet. En forespørsel som kommer inn i systemet når minst én kanal er ledig behandles umiddelbart. Hvis en forespørsel finner alle kanaler opptatt med å betjene andre forespørsler, forlater den ikke systemet, men kommer i en kø og venter til en av kanalene blir ledig. I et lukket køsystem dannes således den innkommende strømmen av krav fra den utgående. Systemtilstanden Sk er karakterisert ved at det totale antallet forespørsler som betjenes og i kø er lik k. For det lukkede systemet som vurderes, er åpenbart k = 0, 1, 2, ... , N. Videre, hvis systemet er i tilstanden S k, er antallet objekter i drift lik (N - k) . Hvis er intensiteten av strømmen av krav per maskin, så:

Systemet med algebraiske ligninger som beskriver driften av en lukket sløyfe QS i stasjonær modus er som følger:

Ved å løse dette systemet finner vi sannsynligheten for den kth tilstanden:

Verdien av P 0 bestemmes fra betingelsen om å normalisere resultatene oppnådd ved å bruke formlene for P k , k = 0, 1, 2, ... , N. La oss bestemme følgende sannsynlige egenskaper for systemet:

Gjennomsnittlig antall forespørsler i kø for tjenesten:

Gjennomsnittlig antall forespørsler i systemet (servering og kø)

gjennomsnittlig antall mekanikere (kanaler) "tomgang" på grunn av mangel på arbeid

Tomgangsforhold for det betjente objektet (maskinen) i køen

Utnyttelsesgrad av anlegg (maskiner)

Nedetidsforhold for servicekanaler (mekanikk)

Gjennomsnittlig ventetid på service (ventetid på service i kø)

Lukket QS-problem

1. La to ingeniører med lik produktivitet bli allokert til å betjene ti personlige datamaskiner (PCer). Strømmen av feil (feil) til én datamaskin er Poisson med intensitet = 0,2. PC-vedlikeholdstiden følger den eksponentielle loven. Gjennomsnittlig tid for service av én PC av én ingeniør er: = 1,25 timer. Følgende alternativer for serviceorganisasjon er mulige:

Begge ingeniørene betjener alle ti datamaskinene, så hvis en PC feiler, blir den betjent av en av de ledige ingeniørene, i dette tilfellet R = 2, N = 10;

Hver av de to ingeniørene har fem PC-er tildelt ham. I dette tilfellet er R = 1, N = 5.

Det er nødvendig å velge det beste alternativet for å organisere PC-vedlikehold.

Det er nødvendig å bestemme alle sannsynlighetene for tilstander P k: P 1 - P 10, med tanke på at ved å bruke resultatene av å beregne P k, beregner vi P 0

LEKSJON 6

Trafikkberegning.

Teletrafikk teori er en del av køteori. Grunnlaget for teorien om teletrafikk ble lagt av den danske vitenskapsmannen A.K. Erlang. Hans verk ble utgitt i 1909-1928. La oss gi viktige definisjoner brukt i teorien om teletrafikk (TT). Begrepet "trafikk" tilsvarer begrepet "telefonlast". Dette refererer til belastningen som skapes av strømmen av samtaler, krav og meldinger som kommer til inngangene til QS. Trafikkvolumet er mengden av det totale, integrerte tidsintervallet som passeres av en eller annen ressurs der denne ressursen var okkupert i løpet av den analyserte tidsperioden. En arbeidsenhet kan betraktes som en annen beskjeftigelse av en ressurs. Noen ganger kan du lese om en times arbeid, og noen ganger bare sekunder eller timer. Imidlertid gir ITU-anbefalingene trafikkvolumdimensjonen i erlango-timer. For å forstå betydningen av en slik måleenhet, må vi vurdere en annen trafikkparameter - trafikkintensitet. I dette tilfellet snakker de ofte om den gjennomsnittlige trafikkintensiteten (belastningen) på en viss gitt pool (sett) av ressurser. Hvis på hvert tidspunkt t fra et gitt intervall (t 1,t 2) antall ressurser fra et gitt sett opptatt med å betjene trafikk er lik A(t), vil den gjennomsnittlige trafikkintensiteten være

Verdien av trafikkintensitet karakteriseres som gjennomsnittlig antall ressurser som er opptatt av å betjene trafikk ved et gitt tidsintervall. Enheten for måling av belastningsintensitet er én Erlang (1 Erl, 1 E), dvs. 1 Erlang er en slik trafikkintensitet som krever full sysselsetting av én ressurs, eller, med andre ord, hvor ressursen utfører arbeid verdt ett sekundært arbeid på ett sekund. I amerikansk litteratur kan du noen ganger finne en annen måleenhet kalt CCS-Centrum (eller hundre) Calls Second. CCS-nummeret gjenspeiler serverens okkupasjonstid i 100 sekunders intervaller per time. Intensiteten målt i CCS kan konverteres til Erlang ved å bruke formelen 36CCS=1 Erl.

Trafikk generert av én kilde og uttrykt i timebeskjeftigelser er lik produktet av antall anropsforsøk c for et visst tidsintervall T og gjennomsnittsvarigheten av ett forsøk t: y = c t (h-z). Trafikk kan beregnes på tre forskjellige måter:

1) la antall samtaler c per time være 1800, og gjennomsnittlig varighet av økten t = 3 minutter, deretter Y = 1800 samtaler. /t. 0,05 t = 90 Earl;

2) la varighetene t i av alle n okkupasjoner av utgangene til en viss bunt være faste i løpet av tiden T, så bestemmes trafikken som følger:

3) la antall samtidig okkuperte utganger av en viss stråle overvåkes med like intervaller i løpet av tiden T; basert på observasjonsresultatene konstrueres en trinnfunksjon av tiden x(t) (figur 8).

Figur 8. Prøver av samtidig okkuperte stråleutganger

Trafikk i løpet av tid T kan estimeres som gjennomsnittsverdien av x(t) over den tiden:

hvor n er antall sampler av samtidig okkuperte utganger. Verdien Y er gjennomsnittlig antall samtidig okkuperte stråleutganger i løpet av tiden T.

Trafikksvingninger. Trafikken på sekundære telefonnett svinger betydelig over tid. I løpet av arbeidsdagen har trafikkkurven to eller til og med tre topper (Figur 9).

Figur 9. Trafikksvingninger i løpet av dagen

Den timen på døgnet hvor trafikken observert over lang tid er mest signifikant kalles den travleste timen (BHH). Kunnskap om trafikk i CNN er grunnleggende viktig, siden den bestemmer antall kanaler (linjer), volumet på utstyret til stasjoner og noder. Trafikken samme ukedag har sesongvariasjoner. Hvis ukedagen er en førferie, er NNN for denne dagen høyere enn dagen etter helligdagen. Ettersom antallet tjenester som støttes av nettverket øker, øker også trafikken. Derfor er det problematisk å forutsi forekomsten av trafikktopper med tilstrekkelig sikkerhet. Trafikken overvåkes nøye av nettverksadministrasjon og designorganisasjoner. Trafikkmålingsregler ble utviklet av ITU-T og brukes av nasjonale nettverksadministrasjoner for å oppfylle tjenestekvalitetskravene for både abonnenter av deres nettverk og abonnenter av andre nettverk koblet til det. Teletrafikkteori kan kun brukes til praktiske beregninger av tap eller volumet av stasjons(node)utstyr hvis trafikken er stasjonær (statistisk jevn). Denne betingelsen er tilnærmet oppfylt av trafikken i CHNN. Mengden belastning som kommer inn i den automatiske telefonsentralen per dag påvirker forebygging og reparasjon av utstyr. Ujevnheten til lasten som kommer inn i stasjonen i løpet av dagen bestemmes av konsentrasjonskoeffisienten

En strengere definisjon av NNN er laget som følger. ITU-anbefaling E.500 krever å analysere 12 måneders intensitetsdata, velge de 30 travleste dagene, finne de travleste timene på disse dagene, og gjennomsnittlig intensitetsmålingene over disse intervallene. Denne beregningen av trafikkintensitet (belastning) kalles et normalt estimat av trafikkintensitet i CHN eller nivå A. Et strengere estimat kan beregnes i gjennomsnitt over de 5 travleste dagene i den valgte 30-dagers perioden. Denne karakteren kalles økt karakter eller karakter på nivå B.

Prosessen med å skape trafikk. Som alle brukere av telefonnettverket vet, er ikke alle forsøk på å etablere en forbindelse med den oppringte abonnenten vellykket. Noen ganger må du gjøre flere mislykkede forsøk før ønsket tilkobling opprettes.

Figur 10. Diagram over hendelser ved etablering av forbindelse mellom abonnenter

La oss vurdere mulige hendelser når vi simulerer etableringen av en forbindelse mellom abonnenter A og B (Figur 10). Statistikk over samtaler i telefonnett er som følger: andelen fullførte samtaler er 70-50%, andelen mislykkede samtaler er 30-50%. Ethvert forsøk fra abonnenten tar QS-inngangen. Ved vellykkede forsøk (når samtalen har funnet sted) er okkupasjonstiden til koblingsenhetene som etablerer forbindelser mellom innganger og utganger lengre enn ved mislykkede forsøk. Abonnenten kan avbryte forsøk på å opprette en forbindelse når som helst. Forsøk på nytt kan være forårsaket av følgende årsaker:

Nummeret ble slått feil;

Antakelse om feil i nettverket;

Graden av at samtalen haster;

Mislykkede tidligere forsøk;

Å kjenne vanene til abonnent B;

Tviler på å slå nummeret riktig.

Et nytt forsøk kan gjøres avhengig av følgende omstendigheter:

Grader av haster;

Vurdering av årsakene til feilen;

Vurdere muligheten for gjentatte forsøk,

Estimater av akseptabelt intervall mellom forsøk.

Unnlatelse av å prøve på nytt kan skyldes at det haster lite. Det er flere typer trafikk generert av anrop: innkommende (foreslått) Y n og tapt Y n. Trafikk Y n inkluderer alle vellykkede og mislykkede forsøk, trafikk Y n, som er en del av Y n, inkluderer vellykkede og noen mislykkede forsøk:

Y pr = Y r + Y np,

der Y p er samtale (nyttig) trafikk, og Y np er trafikk generert av mislykkede forsøk. Likheten Yp = Yp er bare mulig i det ideelle tilfellet hvis det ikke er noen tap, feil ved oppringing av abonnenter og ingen svar fra oppringte abonnenter.

Forskjellen mellom innkommende og overførte laster over en viss tidsperiode vil være den tapte lasten.

Trafikkvarsling. Begrensede ressurser fører til behov for en gradvis utvidelse av stasjon og nett. Nettverksadministrasjonen spår en økning i trafikken i utviklingsfasen, med tanke på at:

Inntekt bestemmes av delen av den overførte trafikken Y p, - kostnadene bestemmes av kvaliteten på tjenesten med høyest trafikk;

En stor andel av tap (lav kvalitet) forekommer i sjeldne tilfeller og er typisk for slutten av utviklingsperioden;

Det største volumet av tapt trafikk oppstår i perioder hvor det praktisk talt ikke er noen tap - hvis tapene er mindre enn 10 %, svarer ikke abonnentene på dem. Ved planlegging av utbygging av stasjoner og nett skal prosjekterende svare på spørsmålet om hvilke krav som stilles til kvaliteten på tjenestetilbudet (tap). For å gjøre dette er det nødvendig å måle trafikktap i henhold til reglene som er vedtatt i landet.

Eksempel på trafikkmåling.

La oss først se på hvordan du kan vise driften til en QS som har flere ressurser som samtidig betjener noe trafikk. Vi vil videre snakke om slike ressurser som servere som betjener strømmen av applikasjoner eller krav. En av de mest visuelle og ofte brukte måtene å skildre prosessen med å betjene forespørsler fra en pool av servere på, er et Gantt-diagram. Dette diagrammet er et rektangulært koordinatsystem med x-aksen som viser tid og y-aksen som markerer diskrete punkter som tilsvarer bassengserverne. Figur 11 viser et Gantt-diagram for et tre-serversystem.

I de tre første tidsintervallene (vi teller dem som et sekund) er den første og tredje serveren opptatt, de neste to sekundene - bare den tredje, deretter den andre fungerer i ett sekund, deretter den andre og den første i to sekunder , og de to siste sekundene - bare de første.

Det konstruerte diagrammet lar deg beregne trafikkvolumet og intensiteten. Diagrammet reflekterer kun servert eller tapt trafikk, siden det ikke sier noe om hvorvidt det kom inn forespørsler i systemet som ikke kunne betjenes av serverne.

Volumet av passert trafikk beregnes som den totale lengden av alle segmentene i Gantt-diagrammet. Volum på 10 sekunder:

Vi assosierer med hvert tidsintervall, plottet på abscissen, et heltall lik antall servere som er okkupert i dette enhetsintervallet. Denne verdien A(t) er den øyeblikkelige intensiteten. For vårt eksempel

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

La oss nå finne den gjennomsnittlige trafikkintensiteten over en periode på 10 sekunder

Dermed er den gjennomsnittlige trafikkintensiteten som sendes av systemet med tre servere som vurderes, 1,5 Erl.

Grunnleggende belastningsparametere

Telefonkommunikasjon brukes av ulike kategorier av abonnenter, som er preget av:

antall belastningskilder - N,

gjennomsnittlig antall anrop fra én kilde over en viss tid (vanligvis NNN) - c,

den gjennomsnittlige varigheten av én sesjon av svitsjesystemet når du betjener ett anrop er t.

Belastningsintensiteten vil være

La oss identifisere forskjellige anropskilder. For eksempel,

Gjennomsnittlig antall anrop til CHN fra én kontortelefon;

Gjennomsnittlig antall anrop fra en individuell leilighetstelefon; tilfeldig hendelse massetjeneste teletrafikk

med telling - det samme fra apparatet for kollektiv bruk;

med ma - det samme fra en myntmaskin;

med sl - det samme fra en forbindelseslinje.

Deretter er gjennomsnittlig antall anrop fra én kilde:

Det er omtrentlige data for gjennomsnittlig antall anrop fra én kilde i den tilsvarende kategorien:

3,5 - 5, =0,5 - 1, med telling = 1,5 - 2, med ma =15 - 30, med sl =10 - 30.

Det er følgende typer tilkoblinger, som, avhengig av utfallet av tilkoblingen, skaper forskjellige telefonbelastninger på stasjonen:

k р - koeffisient som viser andelen forbindelser som endte i samtale;

k з - forbindelser som ikke endte i samtale på grunn av travelheten til den oppringte abonnenten;

k men - koeffisient som uttrykker andelen forbindelser som ikke endte i samtale på grunn av manglende respons fra den oppringte abonnenten;

k osh - forbindelser som ikke endte i samtale på grunn av feil fra den som ringer;

k de - samtaler som ikke endte i samtale på grunn av tekniske årsaker.

Under normal nettverksdrift er verdiene til disse koeffisientene lik:

kp = 0,60-0,75; kz = 0,12-0,15; k men = 0,08-0,12; k osh = 0,02-0,05; k de =0,005-0,01.

Den gjennomsnittlige varigheten av en økt avhenger av typene tilkoblinger. For eksempel, hvis forbindelsen ble avsluttet med en samtale, vil den gjennomsnittlige varigheten av enhetens okkupasjonstilstand være lik

hvor er varigheten av forbindelsesetablering;

t komp. - en samtale som fant sted;

t i - varigheten av å sende en samtale til telefonen til den oppringte abonnenten;

t r - samtalens varighet

hvor t co er stasjonens svarsignal;

1.5n - tid for å slå nummeret til den oppringte abonnenten (n - antall tegn i nummeret);

t s er tiden det tar å etablere en forbindelse ved å bytte mekanismer og koble fra forbindelsen etter slutten av samtalen. Omtrentlig verdi av de vurderte mengder:

t co = 3 sek., t c = 1-2,5 sek., t b = 8-10 sek., t p = 90-130 sek.

Samtaler som ikke ender i samtale skaper også telefonbelastning.

Gjennomsnittlig tid for å okkupere enheter når den oppringte abonnenten er opptatt er

hvor t installasjonstilkobling bestemt av (4.2.3)

t зз - tidspunkt for å høre den opptatte summeren, t зз =6 sek.

Den gjennomsnittlige varigheten av enhetens okkupasjon når den oppringte abonnenten ikke svarer er

hvor t pv - tid for å lytte til tilbakeringingssignalet, t pv = 20 sek.

Hvis det ikke var noen samtale på grunn av abonnentfeil, så i gjennomsnitt t osh = 30 sek.

Varigheten av klasser som ikke ble avsluttet i samtale på grunn av tekniske årsaker, er ikke fastsatt, siden andelen av slike timer er liten.

Av alt det ovennevnte følger det at den totale belastningen som er opprettet av en gruppe kilder bak CNN er lik summen av belastningene av individuelle typer aktiviteter.

hvor er en koeffisient som tar hensyn til vilkårene som aksjer

På et telefonnett med syvsifret nummerering er det designet en automatisk telefonsentral, hvis strukturelle sammensetning er som følger:

N-konto = 4000, N ind = 1000, N-telling = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Gjennomsnittlig antall anrop mottatt fra én kilde i CHNN er lik

Ved hjelp av formlene (4.2.3) og (4.2.6) finner vi belastningen

1.10.62826767 sek. = 785,2 Hz.

Gjennomsnittlig leksjonsvarighet t fra formelen Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 sek.

Last opp oppgave

1. På et telefonnett med syvsifret nummerering er det utformet en automatisk telefonsentral, hvis strukturelle sammensetning av abonnenter er som følger:

N uchr =5000, Nind=1500, N-tall =3000, N ma =500, N sl =500.

Bestem lasten som ankommer stasjonen - Y, gjennomsnittlig varighet av okkupasjon t, hvis det er kjent at

med ind =4, med ind =1, med antall =2, med ma =10, med sl =12, t r =120 sek., t in =10 sek., k r =0,6, t s =1 sek., =1,1 .

Skrevet på Allbest.ru

Lignende dokumenter

Konseptet med en jevnt fordelt tilfeldig variabel. Multiplikativ kongruent metode. Modellering av kontinuerlige tilfeldige variabler og diskrete fordelinger. Algoritme for simulering av økonomiske relasjoner mellom långiver og låntaker.

kursarbeid, lagt til 01.03.2011


Generelle begreper om køteori. Funksjoner ved modellering av køsystemer. Angi grafer for QS-systemer, ligninger som beskriver dem. Generelle kjennetegn ved typer modeller. Analyse av et supermarkeds køsystem.

kursarbeid, lagt til 17.11.2009


Elementer i køteori. Matematisk modellering av køsystemer, deres klassifisering. Simuleringsmodellering av køsystemer. Praktisk anvendelse av teori, løse problemer ved hjelp av matematiske metoder.

kursarbeid, lagt til 05.04.2011


Konseptet med en tilfeldig prosess. Problemer med køteori. Klassifisering av køsystemer (QS). Probabilistisk matematisk modell. Påvirkningen av tilfeldige faktorer på oppførselen til et objekt. Enkanals og flerkanals QS med venting.

kursarbeid, lagt til 25.09.2014


Studie av de teoretiske aspektene ved effektiv konstruksjon og drift av et køsystem, dets hovedelementer, klassifisering, egenskaper og operasjonell effektivitet. Modellering av et køsystem ved hjelp av GPSS-språket.

kursarbeid, lagt til 24.09.2010


Utvikling av teorien om dynamisk programmering, nettverksplanlegging og produktproduksjonsledelse. Komponenter av spillteori i problemer med modellering av økonomiske prosesser. Elementer av praktisk anvendelse av køteori.

praktisk arbeid, lagt til 01.08.2011


Elementære begreper om tilfeldige hendelser, mengder og funksjoner. Numeriske kjennetegn ved tilfeldige variabler. Typer distribusjonsasymmetri. Statistisk vurdering av fordelingen av tilfeldige variabler. Løse problemer med strukturell-parametrisk identifikasjon.

kursarbeid, lagt til 03.06.2012


Modellering av køprosessen. Ulike typer køkanaler. Løsning av en enkanals kømodell med feil. Tetthet av fordeling av tjenestevarigheter. Bestemmelse av absolutt gjennomstrømning.

test, lagt til 15.03.2016


Funksjonelle egenskaper ved køsystemet innen veitransport, dets struktur og hovedelementer. Kvantitative indikatorer på kvaliteten på funksjonen til køsystemet, rekkefølgen og hovedstadiene i deres bestemmelse.

laboratoriearbeid, lagt til 03/11/2011


Sette målet med modellering. Identifikasjon av virkelige objekter. Velge type modeller og matematisk skjema. Konstruksjon av en kontinuerlig-stokastisk modell. Grunnleggende begreper i køteori. Definisjon av flyten av hendelser. Sette opp algoritmer.

LABORATORIEARBEID MM-03

SPILLER DISKRETTE OG KONTINUERLIGE SV-er

Formål med arbeidet: studie og programvareimplementering av metoder for å spille diskrete og kontinuerlige SV-er

SPØRSMÅL Å STUDERE FRA FORelesningsnotatene:

1. Diskrete tilfeldige variabler og deres egenskaper.

2. Spille ut en komplett gruppe med tilfeldige hendelser.

3. Spille av en kontinuerlig tilfeldig variabel ved å bruke den inverse funksjonsmetoden.

4. Velge en tilfeldig retning i rommet.

5. Standard normalfordeling og dens omberegning for gitte parametere.

6. Polar koordinatmetode for å spille normalfordelingen.

OPPGAVE 1. Formuler (skriftlig) regelen for å spille verdiene til en diskret SV, hvis distribusjonslov er gitt i form av en tabell. Lag en subrutine-funksjon for å spille av verdiene til SV ved å bruke BSV mottatt fra RNG-subrutinen. Spill 50 CB-verdier og vis dem på skjermen.

Hvor N er opsjonsnummeret.

OPPGAVE 2. Fordelingstetthetsfunksjonen f(x) til en kontinuerlig tilfeldig variabel X er gitt.

Skriv ned formlene og beregningene for følgende størrelser i rapporten:

A) normaliseringskonstant;

B) fordelingsfunksjon F(x);

B) matematisk forventning M(X);

D) varians D(X);

D) en formel for å spille verdiene til SV ved å bruke den inverse funksjonsmetoden.

Lag en subrutine-funksjon for å spille en gitt SV og få 1000 verdier av denne SV.

Konstruer et histogram over fordelingen av de oppnådde tallene over 20 segmenter.

OPPGAVE 3. Lag en prosedyre som lar deg spille parametrene til en tilfeldig retning i rommet. Spill 100 tilfeldige retninger i verdensrommet.

Bruk den innebygde sensoren for pseudo-tilfeldig tall.

Den skriftlige laboratorierapporten skal inneholde:

1) Navnet og formålet med arbeidet, gruppen, etternavnet og nummeret til studentens alternativ;

2) For hver oppgave: -tilstand, -nødvendige formler og matematiske transformasjoner, -navn på programfilen som implementerer algoritmen som brukes, -beregningsresultater.

Feilsøkte programfiler sendes inn sammen med en skriftlig rapport.

APPLIKASJON

Varianter av distribusjonstetthet av kontinuerlig SW

Var-t	SW distribusjonstetthet	Var-t	SW distribusjonstetthet

Invers funksjonsmetode

Anta at vi ønsker å spille en kontinuerlig tilfeldig variabel X, dvs. få en sekvens av dens mulige verdier x Jeg (Jeg= 1,2, ...), vite distribusjonsfunksjonen F(X).

Teorem. Hvis r Jeg ,-tilfeldig tall, deretter mulig verdix Jeg spilt kontinuerlig tilfeldig variabel X med en gitt fordelingsfunksjonF(X), tilsvarender Jeg , er roten til ligningen

F(X Jeg)= r Jeg . (»)

Bevis. La et tilfeldig tall velges r Jeg (0≤r Jeg <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений X distribusjonsfunksjon F(X) øker monotont fra 0 til 1, så i dette intervallet er det, og bare én, slik verdi av argumentet X Jeg , hvor fordelingsfunksjonen tar verdien r Jeg. Med andre ord har ligning (*) en unik løsning

X Jeg = F - 1 (r Jeg),

Hvor F - 1 - invers funksjon y=F(X).

La oss nå bevise at roten X Jeg ligning (*) er den mulige verdien av en slik kontinuerlig tilfeldig variabel (vi vil midlertidig betegne den med ξ , og så skal vi sørge for det ξ=Х). For dette formål beviser vi at sannsynligheten for å treffe ξ inn i et intervall, for eksempel ( Med,d), som tilhører intervallet av alle mulige verdier X, lik økningen til fordelingsfunksjonen F(X) på dette intervallet:

R(Med< ξ < d)= F(d)- F(Med).

Faktisk siden F(X)- monotont økende funksjon i intervallet av alle mulige verdier X, så i dette intervallet tilsvarer store verdier av argumentet store verdier av funksjonen, og omvendt. Derfor, hvis Med <X Jeg < d, Det F(c)< r Jeg < F(d), og omvendt [det tas i betraktning at på grunn av (*) F(X Jeg)=r Jeg ].

Av disse ulikhetene følger det at hvis en tilfeldig variabel ξ inneholdt i intervallet

Med< ξ < d, ξ (**)

deretter den tilfeldige variabelen R inneholdt i intervallet

F(Med)< R< F(d), (***)

og tilbake. Dermed er ulikheter (**) og (***) likeverdige og derfor like sannsynlige:

R(Med< ξ< d)=P[F(Med)< R< F(d)]. (****)

Siden verdien R fordeles jevnt i intervallet (0,1), deretter sannsynligheten for å treffe R inn i et eller annet intervall som hører til intervallet (0,1) er lik lengden (se kap. XI, § 6, merknad). Spesielt,

R[F(Med)< R< F(d) ] = F(d) - F(Med).

Derfor kan relasjonen (****) skrives i formen

R(Med< ξ< d)= F(d) - F(Med).

Så, sannsynligheten for å treffe ξ i intervallet ( Med,d) er lik økningen til fordelingsfunksjonen F(X) på dette intervallet, som betyr at ξ=X. Med andre ord tallene X Jeg, definert av formelen (*), er de mulige verdiene for mengden X s gitt distribusjonsfunksjon F(X), Q.E.D.

Regel 1.X Jeg , kontinuerlig tilfeldig variabel X, kjenne dens distribusjonsfunksjon F(X), du må velge et tilfeldig tall r Jeg likestille dens distribusjonsfunksjoner og løse for X Jeg , den resulterende ligningen

F(X Jeg)= r Jeg .

Merknad 1. Hvis det ikke er mulig å løse denne ligningen eksplisitt, ty til grafiske eller numeriske metoder.

Eksempel I Spill 3 mulige verdier av en kontinuerlig tilfeldig variabel X, fordelt jevnt i intervallet (2, 10).

Løsning. La oss skrive fordelingsfunksjonen til mengden X, fordelt jevnt i intervallet ( EN,b) (se kapittel XI, § 3, eksempel):

F(X)= (Ha)/ (b-EN).

Etter betingelse, a = 2, b=10, derfor,

F(X)= (X- 2)/ 8.

Ved å bruke regelen i dette avsnittet vil vi skrive en ligning for å finne mulige verdier X Jeg , der vi likestiller fordelingsfunksjonen til et tilfeldig tall:

(X Jeg -2 )/8= r Jeg .

Herfra X Jeg =8 r Jeg + 2.

La oss velge 3 tilfeldige tall, for eksempel, r Jeg =0,11, r Jeg =0,17, r Jeg=0,66. La oss erstatte disse tallene i ligningen, løst med hensyn til X Jeg , Som et resultat får vi de tilsvarende mulige verdiene X: X 1 =8·0,11+2==2,88; X 2 =1.36; X 3 = 7,28.

Eksempel 2. Kontinuerlig tilfeldig variabel X fordelt i henhold til den eksponentielle loven spesifisert av fordelingsfunksjonen (parameteren λ > 0 er kjent)

F(X)= 1 - e - λ X (x>0).

Vi må finne en eksplisitt formel for å spille ut de mulige verdiene X.

Løsning. Ved å bruke regelen i dette avsnittet skriver vi ligningen

1 - e - λ X Jeg

La oss løse denne ligningen for X Jeg :

e - λ X Jeg = 1 - r Jeg, eller - λ X Jeg = ln(1 - r Jeg).

X Jeg =1 s(1– r Jeg)/λ .

Tilfeldig tall r Jeg innelukket i intervallet (0,1); derfor er tallet 1 r Jeg, er også tilfeldig og tilhører intervallet (0,1). Med andre ord mengdene R og 1 - R likt fordelt. Derfor å finne X Jeg Du kan bruke en enklere formel:

x Jeg =- ln r Jeg /λ.

Merknad 2. Det er kjent at (se kap. XI, §3)

Spesielt,

Det følger at hvis sannsynlighetstettheten er kjent f(x), deretter for å spille X det er mulig i stedet for ligninger F(x Jeg)=r Jeg bestemme vedr x Jeg ligningen

Regel 2. For å finne mulig verdi X Jeg (kontinuerlig tilfeldig variabel X,å kjenne dens sannsynlighetstetthet f(x) må du velge et tilfeldig tall r Jeg og bestemmer vedr X Jeg , ligningen

eller ligning

Hvor EN- minste mulige endelige verdi X.

Eksempel 3. Sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig tilfeldig variabel er gitt Xf(X)=λ (1-λx/2) i intervallet (0; 2/λ); utenfor dette intervallet f(X)= 0. Vi må finne en eksplisitt formel for å spille ut de mulige verdiene X.

Løsning. I samsvar med regel 2, la oss skrive ligningen

Etter å ha utført integrasjonen og løst den resulterende kvadratiske ligningen for X Jeg, får vi endelig

INTRODUKSJON

Et system kalles vanligvis et sett med elementer som det er forbindelser av enhver art mellom, og det har en funksjon (formål) som dets bestanddeler ikke har. Informasjonssystemer er som regel komplekse geografisk distribuerte systemer med et stort antall bestanddeler, med en omfattende nettverksstruktur.

Utviklingen av matematiske modeller som gjør det mulig å vurdere ytelsen til informasjonssystemer er en kompleks og tidkrevende oppgave. For å bestemme egenskapene til slike systemer kan simuleringsmetoden brukes med etterfølgende bearbeiding av forsøksresultatene.

Simuleringsmodellering er et av de sentrale temaene i studiet av disiplinene «Systemmodellering» og «Matematisk modellering». Emnet for simuleringsmodellering er studiet av komplekse prosesser og systemer, vanligvis underlagt påvirkning av tilfeldige faktorer, ved å utføre eksperimenter med deres simuleringsmodeller.

Essensen av metoden er enkel - systemets "levetid" simuleres ved å gjenta testene mange ganger. I dette tilfellet modelleres og registreres tilfeldig skiftende ytre påvirkninger på systemet. For hver situasjon beregnes systemindikatorer ved hjelp av modellligningene. Eksisterende moderne metoder for matematisk statistikk gjør det mulig å svare på spørsmålet - er det mulig og med hvilken tillit å bruke modelleringsdata. Hvis disse tillitsindikatorene er tilstrekkelige for oss, kan vi bruke modellen til å studere systemet.

Vi kan snakke om universaliteten til simuleringsmodellering, siden den brukes til å løse teoretiske og praktiske problemer i analysen av store systemer, inkludert problemene med å vurdere systemstrukturalternativer, vurdere effektiviteten til ulike systemkontrollalgoritmer og vurdere effekten av endringer i ulike systemparametere på dets oppførsel. Simuleringsmodellering kan også brukes som grunnlag for syntese av store systemer, når det er nødvendig å lage et system med gitte egenskaper under visse begrensninger, og som ville være optimalt i henhold til de valgte kriteriene.

Simuleringsmodellering er en av de mest effektive metodene for forskning og design av komplekse systemer, og ofte den eneste praktisk gjennomførbare metoden for å studere prosessen med deres funksjon.

Formålet med emnearbeidet er at studentene skal studere metoder for simuleringsmodellering og metoder for å behandle statistiske data på en datamaskin ved bruk av anvendt programvare. Vi presenterer mulige emner for kurs som lar deg studere komplekse systemer basert på simuleringsmodeller.

· Simuleringsmodellering i endimensjonale eller flate skjæreproblemer. Sammenligning av skjæreplanen med den optimale planen oppnådd ved lineære heltallsprogrammeringsmetoder.

· Transportmodeller og deres varianter. Sammenligning av transportplanen oppnådd ved simuleringsmetoden med den optimale planen oppnådd ved potensiell metode.

· Anvendelse av simuleringsmetoden for å løse optimaliseringsproblemer på grafer.

· Bestemmelse av produksjonsvolumer som et multikriteria-optimeringsproblem. Bruke simuleringsmetoden for å finne tilgjengelighetssettet og Pareto-settet.

· Simuleringsmodelleringsmetode i planleggingsproblemer. Motta anbefalinger for å lage en rasjonell tidsplan.

· Studie av kjennetegn ved informasjonssystemer og kommunikasjonskanaler som køsystemer ved bruk av simuleringsmetoden.

· Konstruksjon av simuleringsmodeller ved organisering av spørringer i databaser.

· Anvendelse av simuleringsmetoden for å løse problemet med lagerstyring med konstant, variabel og tilfeldig etterspørsel.

· Studie av arbeidet til flismaskinverkstedet ved bruk av simuleringsmodellering.

OPPDRAG TIL KURSARBEID

Det tekniske systemet S består av tre elementer, hvis koblingsskjema er vist i fig. 1. Feilfrie driftstider X 1 , X 2 , X 3 av systemelementer er kontinuerlige tilfeldige variabler med kjente sannsynlighetsfordelingslover. Det ytre miljøet E påvirker driften av systemet i form av en tilfeldig variabel V med en kjent diskret sannsynlighetsfordeling.

Det kreves å evaluere påliteligheten til systemet S ved datasimulering med påfølgende behandling av de eksperimentelle resultatene. Nedenfor er arbeidsrekkefølgen.

1. Utvikling av algoritmer for å spille av tilfeldige variabler X 1, X 2, X 3 og V ved bruk av tilfeldige tallgeneratorer inneholdt i matematiske pakker, for eksempel i Microsoft Excel eller StatGraphics.

2. Bestemmelse av feilfri driftstid for system Y avhengig av feilfri driftstid for X 1, X 2, X 3 elementer basert på blokkskjemaet for pålitelighetsberegninger.

3. Bestemmelse av systemets oppetid, tatt i betraktning påvirkning av det ytre miljø i henhold til formelen Z=Y/(1+0,1V).

4. Konstruksjon av en modelleringsalgoritme som simulerer driften av systemet S og tar hensyn til muligheten for svikt i elementer og tilfeldige påvirkninger av det ytre miljøet E. Implementering av den resulterende algoritmen på en datamaskin og oppretting av en fil med verdiene av tilfeldige variabler X 1, X 2, X 3, V, Y og Z. Antall eksperimenter for et maskineksperiment bør tas lik 100.

5. Statistisk bearbeiding av oppnådde resultater. For dette formålet er det nødvendig

Del dataene for den tilfeldige variabelen Z i 10 grupper og lag en statistisk serie som inneholder grensene og midtpunktene til delintervaller, tilsvarende frekvenser, relative frekvenser, akkumulerte frekvenser og akkumulerte relative frekvenser;

For verdien Z, konstruer en polygon og et kumulat av frekvenser, konstruer et histogram basert på tetthetene til relative frekvenser;

For verdiene X 1 , X 2 , X 3 , V , fastslå at de er i samsvar med de gitte distribusjonslovene ved å bruke kriteriet c 2 ;

For en tilfeldig variabel Z, vurdere tre kontinuerlige distribusjoner (uniform, normal, gamma), og plott tetthetene til disse distribusjonene på et histogram for Z;

Ved å bruke kriterium c 2, sjekk gyldigheten av hypotesen om samsvaret mellom statistiske data og de valgte distribusjonene; signifikansnivået når du velger en passende distribusjon tas lik 0,05.

6. Skriv ned fordelingstetthetsfunksjonen til systemets feilfrie driftstid Z, bestem den matematiske forventningen, spredningen og standardavviket til den tilfeldige variabelen Z. Bestem hovedkarakteristikkene for systemets pålitelighet: gjennomsnittlig tid til feil T 1 og sannsynligheten for feilfri drift P(t) i løpet av tiden t. Finn sannsynligheten for at systemet ikke vil svikte innen tid T 1 .

Valgmuligheter for oppgaver gis fra tabell 1 individuelt til hver elev. Betegnelser på tilfeldige variabler er inneholdt i teksten i avsnitt 2 og 3. Blokkdiagrammer for beregning av pålitelighet i samsvar med tallene deres er vist i fig. 1.

Tabell 1

Oppgavealternativer

Alternativ	X 1	X 2	X 3	V	Ordningsnummer
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0;1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	P(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp(0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	P(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp(0,03)	Exp(0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	P(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp(0,04)	G(0,9)
	E(2;0;1)	E(2;0;1)	LN(1;2)	P (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp(0,08)	Exp(0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	P(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp(0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	P(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp(0,02)	Exp(0,02)	LN(3;2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	P(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp(0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	P(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp(0,06)	Exp(0,06)	LN(2;1;6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	P(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp(0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	P(2,9)

I fig. 1 er det tre typer tilkobling av elementer: seriell, parallell (alltid på reserve) og erstatningsredundans.

Tiden før svikt i et system bestående av elementer koblet i serie er lik den minste av tidene før svikt i elementene. Tiden før svikt i et system med permanent påslått reserve er lik den største av tidene før svikt i elementene. Tiden før svikt i et system med erstatningsreserve er lik summen av tidene før svikt i elementene.

Opplegg 1. Opplegg 2.

Opplegg 3. Opplegg 4.

Opplegg 5. Opplegg 6.
Opplegg 7. Opplegg 8.