Løse andregradsligninger, rotformel, eksempler. Kvadratiske ligninger. Løse kvadratiske ligninger Hvordan konvertere en kvadratisk ligning til et produkt
Dette emnet kan virke vanskelig i begynnelsen på grunn av at mange ikke er det enkle formler. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange notasjoner, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Totalt oppnås tre nye formler. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter å ha løst slike ligninger ofte. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.
Generell oversikt over en kvadratisk ligning
Her foreslår vi deres eksplisitte registrering, når den største graden skrives først, og deretter i synkende rekkefølge. Det er ofte situasjoner hvor vilkårene er inkonsekvente. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.
La oss introdusere litt notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.
Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.
Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes som nummer én.
Når en ligning er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter det vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:
- løsningen vil ha to røtter;
- svaret vil være ett tall;
- ligningen vil ikke ha noen røtter i det hele tatt.
Og før avgjørelsen er endelig, er det vanskelig å forstå hvilket alternativ som vil dukke opp i en bestemt sak.
Typer registreringer av kvadratiske ligninger
Det kan være ulike oppføringer i oppgaver. De vil ikke alltid se ut generell formel kvadratisk ligning. Noen ganger vil det mangle noen begreper. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du den andre eller tredje termen i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.
Dessuten kan bare termer med koeffisientene "b" og "c" forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen til en lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligninger vil være som følger:
Så det er bare to typer; i tillegg til komplette, er det også ufullstendige kvadratiske ligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre - tre.
Diskriminerende og avhengig av antall røtter på verdien
Du må vite dette tallet for å beregne røttene til ligningen. Den kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha nummer fire.
Etter å ha erstattet koeffisientverdiene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige tegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. Hvis tallet er negativt, vil det ikke være røtter til kvadratisk ligning. Hvis det er lik null, vil det bare være ett svar.
Hvordan løse en komplett kvadratisk ligning?
Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne en diskriminant. Etter at det er bestemt at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formler for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke følgende formel.
Siden den inneholder et "±"-tegn, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om annerledes.
Formel nummer fem. Fra den samme posten er det klart at hvis diskriminanten er lik null, vil begge røttene ha samme verdier.
Hvis løsning av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.
Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning?
Alt er mye enklere her. Det er ikke engang behov for ytterligere formler. Og de som allerede er skrevet ned for den diskriminerende og det ukjente vil ikke være nødvendig.
La oss først se på ufullstendig ligning nummer to. I denne likheten er det nødvendig å ta den ukjente mengden ut av parentes og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentes. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en multiplikator som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.
Ufullstendig ligning nummer tre løses ved å flytte tallet fra venstre side av likheten til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten som vender mot det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og huske å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.
Nedenfor er noen trinn som vil hjelpe deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene kan føre til dårlige karakterer når du studerer det omfattende emnet "Kvadratiske ligninger (8. klasse)." Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres konstant. Fordi en stabil ferdighet vil dukke opp.
- Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først begrepet med den største graden av variabelen, og deretter - uten grad, og sist - bare et tall.
- Hvis et minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner som studerer kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.
- Det anbefales å kvitte seg med brøker på samme måte. Bare multipliser ligningen med riktig faktor slik at nevnerne opphever seg.
Eksempler
Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Den første ligningen: x 2 − 7x = 0. Den er ufullstendig, derfor løses den som beskrevet for formel nummer to.
Etter å ha tatt den ut av parentes, viser det seg: x (x - 7) = 0.
Den første roten tar verdien: x 1 = 0. Den andre vil bli funnet fra den lineære ligningen: x - 7 = 0. Det er lett å se at x 2 = 7.
Andre ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.
Etter å ha flyttet 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Den tredje ligningen: 15 − 2x − x 2 = 0. Her og videre vil løsning av andregradsligninger begynne med å omskrive dem i standardform: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttige råd og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 = 0. Ved å bruke den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er et positivt tall. Av det som er sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes ved hjelp av den femte formelen. Det viser seg at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Da er x 1 = 3, x 2 = - 5.
Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x = 0 transformeres til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være følgende oppføring: "Det er ingen røtter."
Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha én rot, nemlig: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Den sjette ligningen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) krever transformasjoner, som består i det faktum at du må ta med lignende termer, først åpne parentesene. I stedet for det første vil det være følgende uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likheten vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende ledd er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x = 0. Den har blitt ufullstendig . Noe som ligner på dette er allerede diskutert litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.
Noen problemer i matematikk krever evnen til å beregne verdien av kvadratroten. Slike problemer inkluderer å løse andreordens ligninger. I denne artikkelen presenterer vi en effektiv metode for beregning kvadratrøtter og bruk den når du arbeider med formler for røttene til en andregradsligning.
Hva er en kvadratrot?
I matematikk tilsvarer dette konseptet symbolet √. Historiske data sier at det først ble brukt rundt første halvdel av 1500-tallet i Tyskland (det første tyske verket om algebra av Christoph Rudolf). Forskere mener at symbolet er en forvandlet latinsk bokstav r (radix betyr "rot" på latin).
Roten til et hvilket som helst tall er lik verdien hvis kvadrat tilsvarer det radikale uttrykket. På matematikkspråket vil denne definisjonen se slik ut: √x = y, hvis y 2 = x.
Roten av et positivt tall (x > 0) er også et positivt tall (y > 0), men hvis vi tar roten av negativt tall(x< 0), то его результатом уже будет komplekst tall, inkludert den imaginære enheten i.
Her er to enkle eksempler:
√9 = 3, siden 3 2 = 9; √(-9) = 3i, siden i 2 = -1.
Herons iterative formel for å finne verdiene til kvadratrøtter
Eksemplene ovenfor er veldig enkle, og det er ikke vanskelig å beregne røttene i dem. Vanskeligheter begynner å dukke opp når du finner rotverdier for enhver verdi som ikke kan representeres som en kvadrat naturlig tall, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke å nevne det faktum at det i praksis er nødvendig å finne røtter for ikke-heltall: for eksempel √(12,15), √(8,5) og så videre.
I alle de ovennevnte tilfellene bør en spesiell metode for å beregne kvadratroten brukes. For tiden er flere slike metoder kjent: for eksempel utvidelse av Taylor-serien, kolonnedeling og noen andre. Av alle de kjente metodene er kanskje den enkleste og mest effektive bruken av Herons iterative formel, som også er kjent som den babylonske metoden for å bestemme kvadratrøtter (det er bevis på at de gamle babylonerne brukte den i sine praktiske beregninger).
La det være nødvendig å bestemme verdien av √x. Formelen for å finne kvadratroten er som følger:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), hvor lim n->∞ (a n) => x.
La oss dechiffrere denne matematiske notasjonen. For å beregne √x, bør du ta et visst tall a 0 (det kan være vilkårlig, men for raskt å få resultatet, bør du velge det slik at (a 0) 2 er så nært x som mulig. Deretter erstatter du det i angitt formel for å beregne kvadratroten og få et nytt tall a 1, som allerede vil være nærmere ønsket verdi. Etter dette må du erstatte en 1 i uttrykket og få en 2. Denne prosedyren bør gjentas til den nødvendige nøyaktighet oppnås.
Et eksempel på bruk av Herons iterative formel
Algoritmen beskrevet ovenfor for å få kvadratroten av et gitt tall kan høres ganske komplisert og forvirrende ut for mange, men i virkeligheten viser alt seg å være mye enklere, siden denne formelen konvergerer veldig raskt (spesielt hvis et vellykket tall a 0 er valgt) .
La oss gi et enkelt eksempel: du må regne ut √11. La oss velge en 0 = 3, siden 3 2 = 9, som er nærmere 11 enn 4 2 = 16. Ved å sette inn i formelen får vi:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Det er ingen vits i å fortsette beregningene, siden vi fant at en 2 og en 3 begynner å avvike bare på 5. desimal. Dermed var det nok å bruke formelen bare 2 ganger for å beregne √11 med en nøyaktighet på 0,0001.
I dag er kalkulatorer og datamaskiner mye brukt til å beregne røtter, men det er nyttig å huske den merkede formelen for å kunne beregne deres nøyaktige verdi manuelt.
Andre ordens ligninger
Å forstå hva en kvadratrot er og evnen til å beregne den brukes til å løse andregradsligninger. Disse ligningene kalles likheter med en ukjent, den generelle formen er vist i figuren nedenfor.
Her representerer c, b og a noen tall, og a må ikke være lik null, og verdiene til c og b kan være helt vilkårlige, inkludert lik null.
Alle verdier av x som tilfredsstiller likheten angitt i figuren kalles røttene (dette konseptet skal ikke forveksles med kvadratroten √). Siden ligningen som vurderes er av 2. orden (x 2), kan det ikke være mer enn to røtter for den. La oss se videre i artikkelen på hvordan du finner disse røttene.
Finne røttene til en andregradsligning (formel)
Denne metoden for å løse typen likheter som vurderes kalles også den universelle metoden, eller diskriminantmetoden. Den kan brukes til alle andregradsligninger. Formelen for diskriminanten og røttene til den kvadratiske ligningen er som følger:
Den viser at røttene avhenger av verdien av hver av de tre koeffisientene i ligningen. Dessuten skiller beregningen av x 1 seg fra beregningen av x 2 bare ved tegnet foran kvadratroten. Det radikale uttrykket, som er lik b 2 - 4ac, er ikke annet enn diskriminanten av den aktuelle likheten. Diskriminanten i formelen for røttene til en kvadratisk ligning spiller en viktig rolle fordi den bestemmer antall og type løsninger. Så hvis den er lik null, vil det bare være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle røtter, og til slutt fører en negativ diskriminant til to komplekse røtter x 1 og x 2.
Vietas teorem eller noen egenskaper til røttene til andreordens ligninger
På slutten av 1500-tallet var en av grunnleggerne av moderne algebra, en franskmann, som studerte annenordens ligninger, i stand til å få egenskapene til røttene. Matematisk kan de skrives slik:
x 1 + x 2 = -b / a og x 1 * x 2 = c / a.
Begge likhetene kan enkelt oppnås av hvem som helst; for å gjøre dette trenger du bare å utføre de riktige matematiske operasjonene med røttene oppnådd gjennom formelen med diskriminanten.
Kombinasjonen av disse to uttrykkene kan med rette kalles den andre formelen for røttene til en kvadratisk ligning, som gjør det mulig å gjette løsningene uten å bruke en diskriminant. Her bør det bemerkes at selv om begge uttrykkene alltid er gyldige, er det praktisk å bruke dem til å løse en ligning bare hvis den kan faktoriseres.
Oppgaven med å konsolidere den ervervede kunnskapen
La oss bestemme matematisk problem, der vi vil demonstrere alle teknikkene som er diskutert i artikkelen. Betingelsene for problemet er som følger: du må finne to tall der produktet er -13 og summen er 4.
Denne tilstanden minner oss umiddelbart om Vietas teorem; ved å bruke formlene for summen av kvadratrøtter og deres produkt, skriver vi:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c/a = -13.
Hvis vi antar at a = 1, så er b = -4 og c = -13. Disse koeffisientene lar oss lage en andreordens ligning:
x 2 - 4x - 13 = 0.
La oss bruke formelen med diskriminanten og få følgende røtter:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Det vil si at problemet ble redusert til å finne tallet √68. Legg merke til at 68 = 4 * 17, så, ved å bruke kvadratrotegenskapen, får vi: √68 = 2√17.
La oss nå bruke den betraktede kvadratrotformelen: a 0 = 4, deretter:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Det er ikke nødvendig å beregne en 3 siden verdiene som ble funnet avviker med bare 0,02. Dermed √68 = 8,246. Ved å erstatte det med formelen for x 1,2 får vi:
x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 og x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.
Som vi kan se, er summen av tallene funnet egentlig lik 4, men hvis vi finner produktet deres, vil det være lik -12,999, som tilfredsstiller betingelsene for problemet med en nøyaktighet på 0,001.
Bare. Etter formler og klare, enkle regler. På det første stadiet
det er nødvendig å bringe den gitte ligningen til en standardform, dvs. til skjemaet:
Hvis ligningen allerede er gitt til deg i dette skjemaet, trenger du ikke gjøre det første trinnet. Det viktigste er å gjøre det riktig
bestemme alle koeffisientene, EN, b Og c.
Formel for å finne røttene til en kvadratisk ligning.
Uttrykket under rottegnet kalles diskriminerende . Som du kan se, for å finne X, vi
vi bruker bare a, b og c. De. koeffisienter fra kvadratisk ligning. Bare legg den forsiktig inn
verdier a, b og c Vi regner inn i denne formelen. Vi erstatter med deres tegn!
For eksempel, i ligningen:
EN =1; b = 3; c = -4.
Vi erstatter verdiene og skriver:
Eksemplet er nesten løst:
Dette er svaret.
De vanligste feilene er forveksling med tegnverdier a, b Og Med. Eller rettere sagt, med substitusjon
negative verdier inn i formelen for å beregne røttene. Et detaljert opptak av formelen kommer til unnsetning her
med spesifikke tall. Hvis du har problemer med beregninger, gjør det!
Anta at vi må løse følgende eksempel:
Her en = -6; b = -5; c = -1
Vi beskriver alt i detalj, nøye, uten å gå glipp av noe med alle skiltene og parentesene:
Kvadratiske ligninger ser ofte litt annerledes ut. For eksempel slik:
Legg nå merke til praktiske teknikker som dramatisk reduserer antall feil.
Første avtale. Ikke vær lat før løse en andregradsligning bringe den til standard form.
Hva betyr dette?
La oss si at etter alle transformasjonene får du følgende ligning:
Ikke skynd deg å skrive rotformelen! Du vil nesten helt sikkert blande oddsene sammen a, b og c.
Konstruer eksemplet riktig. Først X i annen, så uten kvadrat, deretter frileddet. Som dette:
Bli kvitt minuset. Hvordan? Vi må gange hele ligningen med -1. Vi får:
Men nå kan du trygt skrive ned formelen for røttene, beregne diskriminanten og fullføre å løse eksemplet.
Bestem selv. Du bør nå ha røtter 2 og -1.
Mottak nummer to. Sjekk røttene! Av Vietas teorem.
For å løse de gitte kvadratiske ligningene, dvs. hvis koeffisienten
x 2 +bx+c=0,
Deretterx 1 x 2 =c
x 1 + x 2 =−b
For en fullstendig andregradsligning der a≠1:
x 2 +bx+c=0,
dele hele ligningen med EN:
→ 
→
Hvor x 1 Og x 2 - røttene til ligningen.
Mottak tredje. Hvis ligningen din har brøkkoeffisienter, kvitt deg med brøkene! Multiplisere
ligning med en fellesnevner.
Konklusjon. Praktiske tips:
1. Før vi løser, bringer vi andregradsligningen til standardform og bygger den Ikke sant.
2. Hvis det er en negativ koeffisient foran X-en i annen, eliminerer vi den ved å multiplisere alt
ligninger med -1.
3. Hvis koeffisientene er brøker, eliminerer vi brøkene ved å multiplisere hele ligningen med den tilsvarende
faktor.
4. Hvis x i annen er ren, er koeffisienten lik én, kan løsningen enkelt kontrolleres ved
Å løse likninger i matematikk har en spesiell plass. Denne prosessen er innledet av mange timer med å studere teori, der studenten lærer hvordan man løser ligninger, bestemmer deres type og bringer ferdighetene til å fullføre automatisering. Det er imidlertid ikke alltid fornuftig å søke etter røtter, siden de rett og slett ikke eksisterer. Det finnes spesielle teknikker for å finne røtter. I denne artikkelen vil vi analysere hovedfunksjonene, deres definisjonsdomener, samt tilfeller der røttene mangler.
Hvilken ligning har ingen røtter?
En ligning har ingen røtter hvis det ikke er noen reelle argumenter x som ligningen er identisk sann for. For en ikke-spesialist ser denne formuleringen, som de fleste matematiske teoremer og formler, veldig vag og abstrakt ut, men dette er i teorien. I praksis blir alt ekstremt enkelt. For eksempel: ligningen 0 * x = -53 har ingen løsning, siden det ikke er noe tall x hvis produkt med null ville gitt noe annet enn null.
Nå skal vi se på de mest grunnleggende ligningstypene.
1. Lineær ligning
En ligning kalles lineær hvis høyre og venstre side er representert som lineære funksjoner: ax + b = cx + d eller i generalisert form kx + b = 0. Der a, b, c, d er kjente tall, og x er et ukjent mengde. Hvilken ligning har ingen røtter? Eksempler lineære ligninger presenteres i illustrasjonen nedenfor.
I utgangspunktet løses lineære ligninger ved ganske enkelt å overføre talldelen til en del og innholdet av x til en annen. Resultatet er en ligning av formen mx = n, hvor m og n er tall, og x er en ukjent. For å finne x, del bare begge sider med m. Da er x = n/m. De fleste lineære ligninger har bare én rot, men det er tilfeller når det enten er uendelig mange røtter eller ingen røtter i det hele tatt. Når m = 0 og n = 0, har ligningen formen 0 * x = 0. Løsningen på en slik ligning vil være absolutt et hvilket som helst tall.
Men hvilken ligning har ingen røtter?
For m = 0 og n = 0, har ligningen ingen røtter i settet med reelle tall. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - disse ligningene har ingen røtter.
2. Andregradsligning
En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0 for a = 0. Den vanligste løsningen er gjennom diskriminanten. Formelen for å finne diskriminanten til en kvadratisk ligning er: D = b 2 - 4 * a * c. Deretter er det to røtter x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.
For D > 0 har ligningen to røtter, for D = 0 har den en rot. Men hvilken annengradsligning har ingen røtter? Den enkleste måten å observere antall røtter til en kvadratisk ligning er ved å tegne grafen for funksjonen, som er en parabel. For a > 0 er grenene rettet oppover, for a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Du kan også visuelt bestemme antall røtter uten å beregne diskriminanten. For å gjøre dette må du finne toppunktet til parabelen og bestemme i hvilken retning grenene er rettet. X-koordinaten til toppunktet kan bestemmes ved hjelp av formelen: x 0 = -b / 2a. I dette tilfellet blir y-koordinaten til toppunktet funnet ved ganske enkelt å erstatte x 0-verdien i den opprinnelige ligningen.
Andregradsligningen x 2 - 8x + 72 = 0 har ingen røtter, siden den har en negativ diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Dette betyr at parablen ikke berører x-aksen og funksjonen tar aldri verdien 0, derfor har ligningen ingen reelle røtter.
3. Trigonometriske ligninger
Trigonometriske funksjoner betraktes på en trigonometrisk sirkel, men kan også representeres i et kartesisk koordinatsystem. I denne artikkelen vil vi se på to hovedpunkter trigonometriske funksjoner og deres ligninger: sinx og cosx. Siden disse funksjonene danner en trigonometrisk sirkel med radius 1, |sinx| og |cosx| kan ikke være større enn 1. Så hvilken sinx-ligning har ingen røtter? Tenk på grafen til sinx-funksjonen vist på bildet nedenfor.
Vi ser at funksjonen er symmetrisk og har en repetisjonsperiode på 2pi. Basert på dette kan vi si at maksimalverdien til denne funksjonen kan være 1, og minimum -1. For eksempel vil ikke uttrykket cosx = 5 ha røtter, siden dens absolutte verdi er større enn én.
Dette er det enkleste eksemplet på trigonometriske ligninger. Faktisk kan det ta mange sider å løse dem, og på slutten innser du at du brukte feil formel og må begynne på nytt. Noen ganger, selv om du finner røttene riktig, kan du glemme å ta hensyn til begrensningene på OD, og det er grunnen til at en ekstra rot eller intervall vises i svaret, og hele svaret blir til en feil. Følg derfor strengt alle begrensningene, fordi ikke alle røtter passer inn i oppgavens omfang.
4. Ligningssystemer
Et ligningssystem er et sett med ligninger forbundet med krøllete eller firkantede parenteser. De krøllede parentesene indikerer at alle ligningene kjøres sammen. Det vil si at hvis minst en av ligningene ikke har røtter eller motsier en annen, har hele systemet ingen løsning. Firkantede parenteser indikerer ordet "eller". Dette betyr at hvis minst en av systemets ligninger har en løsning, så har hele systemet en løsning.
Svaret til systemet c er settet av alle røttene til de individuelle ligningene. Og systemer med krøllete seler har bare felles røtter. Ligningssystemer kan inneholde helt forskjellige funksjoner, så en slik kompleksitet lar oss ikke umiddelbart si hvilken ligning som ikke har røtter.
I oppgavebøker og lærebøker er det forskjellige typer ligninger: de som har røtter og de som ikke har det. Først av alt, hvis du ikke finner røttene, ikke tenk at de ikke er der i det hele tatt. Kanskje du har gjort en feil et sted, så må du bare dobbeltsjekke avgjørelsen din nøye.
Vi så på de mest grunnleggende ligningene og typene deres. Nå kan du se hvilken ligning som ikke har røtter. I de fleste tilfeller er dette ikke vanskelig å gjøre. Å oppnå suksess med å løse ligninger krever bare oppmerksomhet og konsentrasjon. Øv mer, det vil hjelpe deg å navigere i materialet mye bedre og raskere.
Så ligningen har ingen røtter hvis:
- i den lineære ligningen mx = n er verdien m = 0 og n = 0;
- i en andregradsligning, hvis diskriminanten er mindre enn null;
- i en trigonometrisk ligning av formen cosx = m / sinx = n, hvis |m| > 0, |n| > 0;
- i et likningssystem med krøllede parenteser hvis minst en likning ikke har røtter, og med firkantede parenteser hvis alle likninger ikke har røtter.
", det vil si ligninger av første grad. I denne leksjonen skal vi se på det som kalles en andregradsligning og hvordan løse det.
Hva er en andregradsligning?
Viktig!
Graden av en ligning bestemmes av den høyeste grad det ukjente står i.
Hvis den maksimale effekten der det ukjente er "2", har du en andregradsligning.
Eksempler på andregradsligninger
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Viktig! Den generelle formen for en kvadratisk ligning ser slik ut:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" og "c" er gitt tall.- "a" er den første eller høyeste koeffisienten;
- "b" er den andre koeffisienten;
- "c" er et gratis medlem.
For å finne "a", "b" og "c" må du sammenligne ligningen din med den generelle formen til kvadratisk ligning "ax 2 + bx + c = 0".
La oss øve på å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" i andregradsligninger.
| Ligningen | Odds | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Hvordan løse kvadratiske ligninger
I motsetning til lineære ligninger, brukes en spesiell metode for å løse andregradsligninger. formel for å finne røtter.
Huske!
For å løse en kvadratisk ligning trenger du:
- bringe andregradsligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0". Det vil si at bare "0" skal forbli på høyre side;
- bruk formel for røtter:
La oss se på et eksempel på hvordan du bruker formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning. La oss løse en andregradsligning.
X 2 − 3x − 4 = 0
Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede redusert til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0" og krever ikke ytterligere forenklinger. For å løse det trenger vi bare å søke formel for å finne røttene til en andregradsligning.
La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Den kan brukes til å løse enhver annengradsligning.
I formelen «x 1;2 =» erstattes ofte det radikale uttrykket
"b 2 − 4ac" for bokstaven "D" og kalles diskriminant. Begrepet en diskriminant diskuteres mer detaljert i leksjonen «Hva er en diskriminant».
La oss se på et annet eksempel på en andregradsligning.
x 2 + 9 + x = 7x
I denne formen er det ganske vanskelig å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c". La oss først redusere ligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Nå kan du bruke formelen for røttene.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Svar: x = 3
Det er tider når andregradsligninger ikke har noen røtter. Denne situasjonen oppstår når formelen inneholder et negativt tall under roten.
Laster inn...