Løse systemer med lineære ulikheter grafisk. Løse eksponentielle ulikheter Løse doble ulikheter online

Først litt tekster for å få en følelse av problemet som intervallmetoden løser. La oss si at vi må løse følgende ulikhet:

(x − 5)(x + 3) > 0

Hva er mulighetene? Det første som kommer til tankene for de fleste studenter er reglene "pluss på pluss gir pluss" og "minus på minus gir pluss." Derfor er det nok å vurdere tilfellet når begge parentesene er positive: x − 5 > 0 og x + 3 > 0. Da vurderer vi også tilfellet når begge parentesene er negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Mer avanserte studenter vil (kanskje) huske at til venstre er kvadratisk funksjon, hvis graf er en parabel. Dessuten skjærer denne parabelen OX-aksen i punktene x = 5 og x = −3. For videre arbeid må du åpne brakettene. Vi har:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nå er det klart at grenene til parabelen er rettet oppover, fordi koeffisient a = 1 > 0. La oss prøve å tegne et diagram av denne parabelen:

Funksjonen er større enn null der den passerer over OX-aksen. I vårt tilfelle er dette intervallene (−∞ −3) og (5; +∞) - dette er svaret.

Vennligst merk: bildet viser nøyaktig funksjonsdiagram, ikke hennes timeplan. For for en ekte graf må du telle koordinater, beregne forskyvninger og annet dritt som vi absolutt ikke har bruk for nå.

Hvorfor er disse metodene ineffektive?

Så vi har vurdert to løsninger på samme ulikhet. Begge viste seg å være ganske tungvinte. Den første avgjørelsen kommer - bare tenk på det! — et sett med ulikhetssystemer. Den andre løsningen er heller ikke spesielt lett: du må huske grafen til parabelen og en haug med andre små fakta.

Det var en veldig enkel ulikhet. Den har bare 2 multiplikatorer. Tenk deg nå at det ikke vil være 2, men minst 4 multiplikatorer. For eksempel:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Hvordan løse en slik ulikhet? Gå gjennom alle mulige kombinasjoner av fordeler og ulemper? Ja, vi vil sovne raskere enn vi finner en løsning. Å tegne en graf er heller ikke et alternativ, siden det ikke er klart hvordan en slik funksjon oppfører seg på koordinatplanet.

For slike ulikheter trengs en spesiell løsningsalgoritme, som vi vil vurdere i dag.

Hva er intervallmetoden

Intervallmetoden er en spesiell algoritme designet for å løse komplekse ulikheter av formen f (x) > 0 og f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Løs likningen f (x) = 0. I stedet for en ulikhet får vi altså en likning som er mye enklere å løse;
Merk alle oppnådde røtter på koordinatlinjen. Dermed vil den rette linjen deles inn i flere intervaller;
Finn ut tegnet (pluss eller minus) til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre. For å gjøre dette er det nok å erstatte med f (x) et hvilket som helst tall som vil være til høyre for alle markerte røtter;
Merk skiltene med de resterende intervallene. For å gjøre dette, bare husk at når du passerer gjennom hver rot, endres tegnet.

Det er alt! Etter dette gjenstår det bare å skrive ned intervallene som interesserer oss. De er merket med et "+"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x) > 0, eller med et "−"-tegn hvis ulikheten var av formen f (x)< 0.

Ved første øyekast kan det virke som om intervallmetoden er en slags blikksak. Men i praksis vil alt være veldig enkelt. Bare øv litt og alt blir klart. Ta en titt på eksemplene og se selv:

Oppgave. Løs ulikheten:

(x − 2)(x + 7)< 0

Vi jobber etter intervallmetoden. Trinn 1: Erstatt ulikheten med en ligning og løs den:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produktet er null hvis og bare hvis minst én av faktorene er null:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Vi har to røtter. La oss gå videre til trinn 2: marker disse røttene på koordinatlinjen. Vi har:

Nå trinn 3: finn tegnet til funksjonen på intervallet lengst til høyre (til høyre for det markerte punktet x = 2). For å gjøre dette må du ta et hvilket som helst tall som er større enn tallet x = 2. La oss for eksempel ta x = 3 (men ingen forbyr å ta x = 4, x = 10 og til og med x = 10 000). Vi får:

f (x) = (x - 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Vi finner at f (3) = 10 > 0, så vi setter et plusstegn i intervallet lengst til høyre.

La oss gå videre til det siste punktet - vi må merke skiltene på de gjenværende intervallene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, må tegnet endres. For eksempel, til høyre for roten x = 2 er det et pluss (vi sørget for dette i forrige trinn), så det må være et minus til venstre.

Denne minus strekker seg til hele intervallet (−7; 2), så det er en minus til høyre for roten x = −7. Derfor er det et pluss til venstre for roten x = −7. Det gjenstår å merke disse skiltene på koordinataksen. Vi har:

La oss gå tilbake til den opprinnelige ulikheten, som hadde formen:

(x − 2)(x + 7)< 0

Så funksjonen må være mindre enn null. Dette betyr at vi er interessert i minustegnet, som kun vises på ett intervall: (−7; 2). Dette vil være svaret.

Oppgave. Løs ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Trinn 1: sett venstre side til null:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Husk: produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Derfor har vi rett til å likestille hver enkelt parentes til null.

Trinn 2: merk alle røttene på koordinatlinjen:

Trinn 3: Finn ut tegnet på gapet lengst til høyre. Vi tar et hvilket som helst tall som er større enn x = 1. For eksempel kan vi ta x = 10. Vi har:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Trinn 4: Plassering av de resterende skiltene. Vi husker at når vi passerer gjennom hver rot, endres tegnet. Som et resultat vil bildet vårt se slik ut:

Det er alt. Det gjenstår bare å skrive ned svaret. Ta en ny titt på den opprinnelige ulikheten:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Dette er en ulikhet på formen f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Dette er svaret.

En merknad om funksjonstegn

Praksis viser at de største vanskelighetene i intervallmetoden oppstår i de to siste trinnene, dvs. ved plassering av skilt. Mange elever begynner å bli forvirret: hvilke tall de skal ta og hvor de skal sette skiltene.

For å endelig forstå intervallmetoden, vurder to observasjoner som den er basert på:

En kontinuerlig funksjon endrer fortegn bare på disse punktene hvor den er lik null. Slike punkter deler koordinataksen i biter, innenfor hvilke fortegnet til funksjonen aldri endres. Det er derfor vi løser ligningen f (x) = 0 og merker de funne røttene på den rette linjen. Tallene som er funnet er "borderline"-punkter som skiller fordeler og ulemper.
For å finne ut tegnet til en funksjon på et hvilket som helst intervall, er det nok å erstatte et hvilket som helst tall fra dette intervallet i funksjonen. For eksempel, for intervallet (−5; 6) har vi rett til å ta x = −4, x = 0, x = 4 og til og med x = 1,29374 hvis vi vil. Hvorfor er det viktig? Ja, for tvilen begynner å gnage i mange elever. Hva om for x = −4 får vi et pluss, og for x = 0 får vi et minus? Men noe slikt vil aldri skje. Alle punkter på samme intervall gir samme fortegn. Husk dette.

Det er alt du trenger å vite om intervallmetoden. Selvfølgelig har vi analysert det i sin enkleste form. Det er mer komplekse ulikheter - ikke-strenge, brøkdeler og med gjentatte røtter. Du kan også bruke intervallmetoden for dem, men dette er et tema for en egen stor leksjon.

Nå vil jeg gjerne se på en avansert teknikk som dramatisk forenkler intervallmetoden. Mer presist påvirker forenklingen bare det tredje trinnet - beregning av tegnet på linjen lengst til høyre. Av en eller annen grunn blir ikke denne teknikken undervist på skolene (ingen har i hvert fall forklart meg dette). Men forgjeves - for faktisk er denne algoritmen veldig enkel.

Så tegnet til funksjonen er på høyre del av talllinjen. Dette stykket har formen (a ; +∞), der a er den største roten av ligningen f (x) = 0. La oss se på et spesifikt eksempel for ikke å forvirre deg:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Vi har 3 røtter. La oss liste dem opp i stigende rekkefølge: x = −2, x = 1 og x = 7. Den største roten er åpenbart x = 7.

For de som synes det er lettere å resonnere grafisk vil jeg markere disse røttene på koordinatlinjen. La oss se hva som skjer:

Det kreves å finne tegnet til funksjonen f (x) på intervallet lengst til høyre, dvs. til (7; +∞). Men som vi allerede har bemerket, for å bestemme tegnet kan du ta et hvilket som helst tall fra dette intervallet. For eksempel kan du ta x = 8, x = 150 osv. Og nå - den samme teknikken som ikke læres på skolene: la oss ta uendelighet som et tall. Mer presist, pluss uendelig, dvs. +∞.

«Er du steinet? Hvordan kan du erstatte uendelighet med en funksjon?" - spør du kanskje. Men tenk på det: vi trenger ikke verdien av selve funksjonen, vi trenger bare tegnet. Derfor betyr for eksempel verdiene f (x) = −1 og f (x) = −938 740 576 215 det samme: funksjonen på dette intervallet er negativ. Derfor er alt som kreves av deg å finne tegnet som vises på uendelig, og ikke verdien av funksjonen.

Faktisk er det veldig enkelt å erstatte uendelig. La oss gå tilbake til funksjonen vår:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Tenk deg at x er veldig stort antall. Milliarder eller til og med billioner. La oss nå se hva som skjer i hver parentes.

Første parentes: (x − 1). Hva skjer hvis du trekker en fra en milliard? Resultatet vil være et tall som ikke er mye forskjellig fra en milliard, og dette tallet vil være positivt. Tilsvarende med den andre parentesen: (2 + x). Hvis vi legger til en milliard til to, får vi en milliard og kopek - dette er positivt tall. Til slutt, den tredje parentesen: (7 − x). Her vil det være en minusmilliard, hvorfra et patetisk stykke i form av en sjuer ble "gnaget av". De. det resulterende tallet vil ikke avvike mye fra minus milliarder - det vil være negativt.

Det gjenstår bare å finne tegnet til hele verket. Siden vi hadde pluss i første parentes og minus i siste, får vi følgende konstruksjon:

(+) · (+) · (−) = (−)

Det siste tegnet er minus! Og det spiller ingen rolle hva verdien av selve funksjonen er. Hovedsaken er at denne verdien er negativ, dvs. intervallet lengst til høyre har et minustegn. Alt som gjenstår er å fullføre det fjerde trinnet i intervallmetoden: ordne alle skiltene. Vi har:

Den opprinnelige ulikheten var:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Derfor er vi interessert i intervallene merket med et minustegn. Vi skriver ut svaret:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Det er hele trikset jeg ville fortelle deg. Avslutningsvis, her er en annen ulikhet som kan løses ved intervallmetoden ved å bruke uendelig. For å forkorte løsningen visuelt, vil jeg ikke skrive trinntall og detaljerte kommentarer. Jeg vil bare skrive det du egentlig trenger å skrive når du løser reelle problemer:

Oppgave. Løs ulikheten:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Vi erstatter ulikheten med en ligning og løser den:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Vi markerer alle tre røttene på koordinatlinjen (med tegn samtidig):

Det er et pluss på høyre side av koordinataksen, fordi funksjonen ser slik ut:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Og hvis vi erstatter uendelig (for eksempel en milliard), får vi tre positive parenteser. Siden det opprinnelige uttrykket må være større enn null, er vi kun interessert i de positive. Alt som gjenstår er å skrive ut svaret:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

I artikkelen vil vi vurdere løse ulikheter. Vi vil fortelle deg tydelig om hvordan konstruere en løsning på ulikheter, med klare eksempler!

Før vi ser på å løse ulikheter ved hjelp av eksempler, la oss forstå de grunnleggende konseptene.

Generell informasjon om ulikheter

Ulikhet er et uttrykk der funksjoner er forbundet med relasjonstegn >, . Ulikheter kan være både numeriske og bokstavelige.
Ulikheter med to tegn på forholdet kalles dobbel, med tre - trippel, etc. For eksempel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ulikheter som inneholder tegnet > eller eller - er ikke strenge.
Løse ulikheten er en hvilken som helst verdi av variabelen som denne ulikheten vil være sann for.
"Løs ulikhet betyr at vi må finne et sett med alle løsningene. Det er forskjellige metoder for å løse ulikheter. Til ulikhetsløsninger De bruker tallinjen, som er uendelig. For eksempel, løsning på ulikhet x > 3 er intervallet fra 3 til +, og tallet 3 er ikke inkludert i dette intervallet, derfor er punktet på linjen angitt med en tom sirkel, fordi ulikhet er streng.
+
Svaret vil være: x (3; +).
Verdien x=3 er ikke inkludert i løsningssettet, så parentesen er rund. Uendelighetstegnet er alltid uthevet med en parentes. Tegnet betyr "tilhørighet".
La oss se på hvordan du løser ulikheter ved å bruke et annet eksempel med et tegn:
x 2
-+
Verdien x=2 er inkludert i løsningssettet, så parentesen er firkantet og punktet på linjen er angitt med en fylt sirkel.
Svaret blir: x)