En kule innskrevet i et rett prisme. Polyedre omskrevne rundt en kule kalles omskrevne polyedre. Kombinasjon av en ball med en avkortet pyramide

Polyeder omskrevet om en kule Et polyeder sies å være omskrevet rundt en kule hvis planene til alle dens ansikter berører kulen. Selve kulen sies å være innskrevet i polyederet. Teorem. En kule kan skrives inn i et prisme hvis og bare hvis en sirkel kan skrives inn ved basen, og høyden på prismet er lik diameteren til denne sirkelen. Teorem. Du kan passe en kule i en hvilken som helst trekantet pyramide, og bare én.

Oppgave 1 Slett kvadratet og tegn to parallellogrammer som representerer kubens topp- og underside. Koble hjørnene deres med segmenter. Få et bilde av en kule innskrevet i en kube. Tegn en kule innskrevet i en kube, som på forrige lysbilde. For å gjøre dette, tegn en ellipse innskrevet i et parallellogram oppnådd ved å komprimere en sirkel og en firkant med 4 ganger. Marker polene til kulen og tangentpunktene til ellipsen og parallellogrammet.

Oppgave 4 Er det mulig å skrive inn en kule i et rektangulært parallellepiped annet enn en kube? Svar: Nei.

Oppgave 5 Er det mulig å skrive inn en kule i et skråstilt parallellepiped, hvis ansikter alle er romber? Svar: Nei.

Oppgave 1 Er det mulig å skrive inn en kule i et skråstilt trekantet prisme med en regulær trekant ved bunnen? Svar: Nei.

Oppgave 2 Finn høyden på et regulært trekantet prisme og radiusen til den innskrevne kulen hvis kanten på prismets grunnflate er 1. 3 3 , . 3 6 timer Svar:

Oppgave 3 En kule med radius 1 er skrevet inn i et regulært trekantet prisme Finn siden av basen og høyden på prismet. 2 3, 2. a h Svar:

Oppgave 4 En kule er skrevet inn i et prisme, ved bunnen av det er en rettvinklet trekant med ben lik 1. Finn radiusen til kulen og høyden på prismet. 2 2 , 2 2. 2 r h Arealet av trekanten ABC er, omkrets La oss bruke formelen r = S / p. Vi får 2 2. 1,

Oppgave 5 En kule er skrevet inn i et prisme, ved bunnen av det er en likebenet trekant med sidene 2, 3, 3. Finn radiusen til kulen og høyden på prismet. 2 , 2. 2 r h Arealet til trekanten ABC er lik Omkretsen er 8. La oss bruke formelen r = S / p. Vi får 22.

Oppgave 1 En kule er innskrevet i et rett firkantet prisme, ved bunnen av dette er en rombe med side 1 og en spiss vinkel på 60 grader. Finn radiusen til kulen og høyden på prismet. Løsning. Kulens radius er lik halvparten av høyden til DG-basen, dvs. Prismets høyde er lik diameteren til kulen, dvs. 3, 4 r 3, 2 t.

Oppgave 2 En enhetskule er innskrevet i et rett firkantet prisme, ved bunnen av dette er en rombe med en spiss vinkel på 60 grader. Finn siden av basen a og høyden på prismet h. Svar: 4 3 , 2. 3 a t

Oppgave 3 En kule er innskrevet i et rett firkantet prisme, ved bunnen av dette er en trapes. Høyden på trapesen er 2. Finn høyden på prismet h og radius r til den innskrevne kulen. Svar: 1, 2. r h

Oppgave 4 En kule er innskrevet i et rett firkantet prisme, ved bunnen av dette er en firkant, omkrets 4 og areal 2. Finn radius r til den innskrevne kulen. 1. r Løsning. Legg merke til at sfærens radius er lik radiusen til sirkelen som er innskrevet ved bunnen av prismet. La oss dra nytte av det faktum at radiusen til en sirkel innskrevet i en polygon er lik arealet til denne polygonen delt på halvperimeteren. Vi får,

Oppgave 1 Finn høyden på et regulært sekskantet prisme og radiusen til den innskrevne kulen hvis siden av prismets grunnflate er 1. 3 3,. 2 timer Svar:

Oppgave 2 En kule med radius 1 er skrevet inn i et regulært sekskantet prisme Finn siden av basen og høyden på prismet. 2 3 , 2. 3 a h Svar:

Oppgave 1 Finn radiusen til en kule innskrevet i et enhetstetraeder. 6. 12 r Svar: Løsning. I tetraederet SABC har vi: SD = DE = SE = Fra likheten mellom trekanter SOF og SDE får vi en likning ved å løse som vi finner 3 , 2 3 , 6 6. 3 6 3 3: : , 3 6 2 r r 6 12 r

Oppgave 2 En enhetskule er innskrevet i et vanlig tetraeder. Finn kanten til dette tetraederet. 2 6. et svar:

Oppgave 3 Finn radiusen til en kule innskrevet i en vanlig trekantet pyramide, siden av basen er 2, og de dihedriske vinklene ved basen er 60°. 3 1 30. 3 3 r tg Løsning. La oss dra nytte av det faktum at sentrum av den innskrevne sfæren er skjæringspunktet for halveringslinjene til de dihedriske vinklene ved bunnen av pyramiden. For radiusen til sfæren OE gjelder følgende likhet: Derfor, . OE DE tg O

Oppgave 4 Finn radiusen til en kule innskrevet i en vanlig trekantet pyramide, hvis sidekanter er lik 1, og planvinklene på toppen er lik 90°. 3 3. 6 r Svar: Løsning. I tetraederet SABC har vi: SD = DE = SE = Fra likheten mellom trekanter SOF og SDE får vi en ligning ved å løse som vi finner 2 , 2 6 , 6 3. 3 3 6 2: : , 3 6 2 r r 3 3. 6 r

Oppgave 1 Finn radiusen til en kule innskrevet i en regulær firkantet pyramide, der alle kanter er lik 1. 6 2. 4 r La oss bruke det faktum at for radius r til en sirkel innskrevet i en trekant, gjelder formelen : r = S / p, hvor S er arealet , p – halvomkretsen av trekanten. I vårt tilfelle er S = p = 3, 2 2. 2 Løsning. Radiusen til kulen er lik radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten SEF, der SE = SF = EF= 1, SG = 2, 4 Derfor 1 3.

Oppgave 2 Finn radiusen til en kule innskrevet i en vanlig firkantet pyramide, siden av basen er 1, og sidekanten er 2, 14 (15 1). 28 r La oss dra nytte av det faktum at for radius r til en sirkel innskrevet i en trekant, gjelder formelen: r = S / p, hvor S er arealet, p er halvperimeteren til trekanten. I vårt tilfelle er S = p = 15, 214. 2 Løsning. Radiusen til sfæren er lik radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten SEF, der SE = SF = EF= 1, SG = 14, 4 Derfor 1 15.

Oppgave 3 Finn radiusen til en kule innskrevet i en regulær firkantet pyramide, siden av basen er 2, og de dihedriske vinklene ved basen er 60°. 3 30. 3 r tg Løsning. La oss dra nytte av det faktum at sentrum av den innskrevne sfæren er skjæringspunktet for halveringslinjene til de dihedriske vinklene ved bunnen av pyramiden. For radiusen til sfæren OG gjelder følgende likhet: Derfor, . OG FG tg OFG

Oppgave 4 Enhetskulen er innskrevet i en vanlig firkantet pyramide, siden av basen er 4. Finn høyden på pyramiden. La oss bruke det faktum at for radius r til en sirkel innskrevet i en trekant, gjelder formelen: r = S / p, der S er arealet, p er halvperimeteren til trekanten. I vårt tilfelle S = 2 t, p = 2 4 2. h. Løsning. La oss betegne høyden SG av pyramiden som h. Kulens radius er lik radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten SEF, hvor SE = SF = EF= 4. 2 4, h 8. 3 h Derfor har vi en likhet som vi finner 2 4 2 fra 2, t

Oppgave 1 Finn radiusen til en kule innskrevet i en regulær sekskantet pyramide, hvis grunnkanter er lik 1, og sidekantene er lik 2. 15 3. 4 r La oss bruke det faktum at for radius r til en sirkel innskrevet i en trekant, gjelder formelen: r = S / p, der S er arealet, p er halvomkretsen av trekanten. I vårt tilfelle er S = p = 3, 2 Derfor 15 3. 2 15, 2 Løsning. Radiusen til sfæren er lik radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten SPQ, der SP = SQ = PQ= SH = 3.

Oppgave 2 Finn radiusen til en kule innskrevet i en regulær sekskantet pyramide hvis grunnkanter er lik 1 og de dihedriske vinklene ved bunnen er lik 60°. 3 1 30. 2 2 r tg Løsning. La oss dra nytte av det faktum at sentrum av den innskrevne sfæren er skjæringspunktet for halveringslinjene til de dihedriske vinklene ved bunnen av pyramiden. For radiusen til sfæren OH gjelder følgende likhet: Derfor, . OH HQ tg OQH

Oppgave Finn radiusen til en kule innskrevet i et enhetsoktaeder. 6. 6 r Svar: Løsning. Kulens radius er lik radiusen til sirkelen som er innskrevet i romben SES'F, hvor SE = SF = EF= 1, SO = Da vil høyden på romben, senket fra toppunktet E, være lik med Den nødvendige radiusen er lik halve høyden, og er lik 6. 66. 3 2 .2 3 , 2 O

Oppgave Finn radiusen til en kule innskrevet i et enhets ikosaeder. 1 7 3 5. 2 6 r Løsning. La oss dra nytte av at radius OA til den omskrevne sfæren er lik og radius AQ til den omskrevne sirkelen rundt en likesidet trekant med side 1 er lik. Ved Pythagoras setning brukt på den rettvinklede trekanten OAQ får vi 10 2 5, 4 3.

Oppgave Finn radiusen til en kule innskrevet i et enhetsdodekaeder. 1 25 11 5. 2 10 r Løsning. La oss bruke det faktum at radiusen OF til den omskrevne sfæren er lik og radien FQ til sirkelen omskrevet om en likesidet femkant med side 1 er lik. Ved Pythagoras setning brukt på den rettvinklede trekanten OFQ får vi 18 6 5, 4 5 5.

Oppgave 1 Er det mulig å passe en kule inn i et avkortet tetraeder? Løsning. Merk at sentrum O av en kule innskrevet i et avkortet tetraeder må falle sammen med sentrum av en kule innskrevet i et tetraeder, som sammenfaller med sentrum av en kule som er halvt innskrevet i et avkortet tetraeder. Avstander d 1 , d 2 fra punkt O til sekskantede og trekantede flater beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem: der R er radiusen til en halvinnskrevet kule, r 1 , r 2 er radiene til sirkler innskrevet i en sekskant og trekant, hhv. Siden r 1 > r 2, så d 1< d 2 и, следовательно, сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, не существует. 2 2 1 1 2 2 , d R r

Oppgave 2 Er det mulig å passe en kule inn i en avkortet kube? Svar: Nei. Beviset er likt det forrige.

Oppgave 3 Er det mulig å passe en kule inn i et avkortet oktaeder? Svar: Nei. Beviset er likt det forrige.

Oppgave 4 Er det mulig å passe en kule inn i et cuboctahedron? Svar: Nei. Beviset er likt det forrige.

Emnet «Ulike problemer på polyeder, sylinder, kjegle og kule» er et av de vanskeligste i geometrikurset i 11. klasse. Før de løser geometriske oppgaver, studerer de vanligvis de relevante delene av teorien som det refereres til når de løser oppgaver. I læreboken til S. Atanasyan og andre om dette emnet (s. 138) kan man bare finne definisjoner av et polyeder beskrevet rundt en kule, et polyeder innskrevet i en kule, en kule innskrevet i et polyeder, og en kule beskrevet rundt en kule. polyeder. I metodiske anbefalinger denne læreboken (se boken «Studying geometry in grades 10–11» av S.M. Saakyan og V.F. Butuzov, s. 159) sier hvilke kombinasjoner av kropper som tas i betraktning når man løser problemer nr. 629–646, og retter oppmerksomheten mot det faktum at « når man skal løse et bestemt problem, er det først og fremst nødvendig å sikre at elevene har en god forståelse av gjensidig ordning kropper spesifisert i tilstanden." Følgende er løsningen på problemer nr. 638(a) og nr. 640.

Med tanke på alt det ovennevnte, og det faktum at de vanskeligste problemene for elevene er kombinasjonen av en ball med andre kropper, er det nødvendig å systematisere de relevante teoretiske prinsippene og formidle dem til studentene.

Definisjoner.

1. En kule kalles innskrevet i et polyeder, og et polyeder beskrevet rundt en ball hvis overflaten av ballen berører alle overflater av polyederet.

2. En kule kalles omskrevet om et polyeder, og et polyeder innskrevet i en kule, hvis overflaten på kulen går gjennom alle hjørnene i polyederet.

3. En ball sies å være innskrevet i en sylinder, avkortet kjegle (kjegle), og en sylinder, avkortet kjegle (kjegle) sies å være innskrevet rundt ballen hvis overflaten av ballen berører basene (basen) og alle generatrisene til sylinderen, avkortet kjegle (kjegle).

(Fra denne definisjonen følger det at storsirkelen til en kule kan skrives inn i en hvilken som helst aksial del av disse kroppene).

4. En kule sies å være omskrevet om en sylinder, en avkortet kjegle (kjegle), hvis sirklene til basene (grunnsirkel og apex) tilhører ballens overflate.

(Fra denne definisjonen følger det at rundt en hvilken som helst aksial seksjon av disse legene kan sirkelen til en større sirkel av ballen beskrives).

Generelle merknader om plasseringen av midten av ballen.

1. Sentrum av en kule innskrevet i et polyeder ligger i skjæringspunktet mellom halveringsplanene for alle dihedriske vinkler på polyederet. Den ligger bare inne i polyederet.

2. Sentrum av en kule omskrevet rundt et polyeder ligger i skjæringspunktet mellom plan som er vinkelrett på alle kantene av polyederet og som går gjennom deres midtpunkter. Den kan være plassert innenfor, på overflaten eller utenfor polyederet.

Kombinasjon av en kule og et prisme.

1. En kule innskrevet i et rett prisme.

Teorem 1. En kule kan skrives inn i et rett prisme hvis og bare hvis en sirkel kan skrives inn ved bunnen av prismet, og høyden på prismet er lik diameteren til denne sirkelen.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule innskrevet i et høyre prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet som går gjennom sentrum av sirkelen som er innskrevet i basen.

Konsekvens 2. Spesielt en ball kan skrives inn i rette linjer: trekantet, regelmessig, firkantet (hvor summene av de motsatte sidene av basen er lik hverandre) under betingelsen H = 2r, hvor H er høyden av prisme, r er radiusen til sirkelen innskrevet i basen.

2. En kule omskrevet om et prisme.

Teorem 2. En kule kan beskrives rundt et prisme hvis og bare hvis prismet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule omskrevet om et rett prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet trukket gjennom midten av en sirkel som er omskrevet rundt basen.

Konsekvens 2. Spesielt en ball kan beskrives: nær et rettvinklet trekantet prisme, nær et vanlig prisme, nær et rektangulært parallellepiped, nær et rett firkantet prisme, der summen av de motsatte vinklene til basen er lik 180 grader.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) foreslås for kombinasjonen av en kule og et prisme.

Kombinasjon av en ball med en pyramide.

1. En ball beskrevet nær en pyramide.

Teorem 3. En ball kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt basen.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule omskrevet rundt en pyramide ligger i skjæringspunktet for en rett linje vinkelrett på bunnen av pyramiden som går gjennom midten av en sirkel omskrevet rundt denne bunnen og et plan vinkelrett på en sidekant trukket gjennom midten av denne kanten.

Konsekvens 2. Hvis sidekantene til pyramiden er like hverandre (eller likt skråstilt til basens plan), så kan en ball beskrives rundt en slik pyramide Sentrum av denne ballen ligger i dette tilfellet i skjæringspunktet mellom høyden på pyramiden (eller dens forlengelse) med symmetriaksen til sidekanten liggende i plan sidekant og høyde.

Konsekvens 3. Spesielt en ball kan beskrives: nær en trekantet pyramide, nær en vanlig pyramide, nær en firkantet pyramide der summen av motsatte vinkler er 180 grader.

2. En ball innskrevet i en pyramide.

Teorem 4. Hvis sideflatene til pyramiden er like tilbøyelige til basen, kan en ball skrives inn i en slik pyramide.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule innskrevet i en pyramide hvis sideflater er likt skråstilt til bunnen, ligger i skjæringspunktet mellom pyramidens høyde og halveringslinjen til den lineære vinkelen til en hvilken som helst dihedral vinkel ved bunnen av pyramiden, siden hvorav er høyden på sideflaten trukket fra toppen av pyramiden.

Konsekvens 2. Du kan passe en ball inn i en vanlig pyramide.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 foreslås for kombinasjonen av en ball med en pyramide.

Kombinasjon av en ball med en avkortet pyramide.

1. En ball omskrevet om en vanlig avkortet pyramide.

Teorem 5. En kule kan beskrives rundt en hvilken som helst vanlig avkortet pyramide. (Denne betingelsen er tilstrekkelig, men ikke nødvendig)

2. En ball innskrevet i en vanlig avkortet pyramide.

Teorem 6. En ball kan skrives inn i en vanlig avkortet pyramide hvis og bare hvis apotemet til pyramiden er lik summen av apotemene til basene.

Det er bare ett problem for kombinasjonen av en ball med en avkortet pyramide i L.S. Atanasyans lærebok (nr. 636).

Kombinasjon av ball med runde kropper.

Teorem 7. En kule kan beskrives rundt en sylinder, en avkortet kjegle (rett sirkulær) eller en kjegle.

Teorem 8. En kule kan skrives inn i en (rett sirkulær) sylinder hvis og bare hvis sylinderen er likesidet.

Teorem 9. Du kan passe en ball i hvilken som helst kjegle (rett sirkulær).

Teorem 10. En kule kan skrives inn i en avkortet kjegle (rett sirkulær) hvis og bare hvis generatoren er lik summen av radiene til basene.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 642, 643, 644, 645, 646 foreslås for kombinasjonen av en ball med runde kropper.

For mer vellykket studie materiale om dette emnet, er det nødvendig å inkludere muntlige oppgaver i løpet av leksjonene:

1. Kanten på kuben er lik a. Finn radiene til kulene: innskrevet i kuben og omskrevet rundt den. (r = a/2, R = a3).

2. Er det mulig å beskrive en kule (kule) rundt: a) en kube; b) rektangulært parallellepipedum; c) et skrånende parallellepiped med et rektangel ved bunnen; d) rett parallellepipedum; e) et skrånende parallellepiped? (a) ja; b) ja; c) nei; d) nei; d) nei)

3. Er det sant at en kule kan beskrives rundt en hvilken som helst trekantet pyramide? (Ja)

4. Er det mulig å beskrive en kule rundt en hvilken som helst firkantet pyramide? (Nei, ikke i nærheten av noen firkantet pyramide)

5. Hvilke egenskaper må en pyramide ha for å beskrive en kule rundt seg? (Ved basen skal det være en polygon som en sirkel kan beskrives rundt)

6. En pyramide er innskrevet i en kule, hvis sidekant er vinkelrett på basen. Hvordan finne sentrum av en kule? (Sfærens sentrum er skjæringspunktet mellom to geometriske loki av punkter i rommet. Den første er en vinkelrett trukket til planet til bunnen av pyramiden, gjennom midten av en sirkel som er omskrevet rundt den. Den andre er et plan vinkelrett på en gitt sidekant og trukket gjennom midten)

7. Under hvilke forhold kan du beskrive en kule rundt et prisme, ved bunnen av det er en trapes? (For det første må prismet være rett, og for det andre må trapeset være likebenet slik at en sirkel kan beskrives rundt det)

8. Hvilke betingelser må et prisme tilfredsstille for at en sfære skal beskrives rundt det? (Prismet må være rett, og basen må være en polygon som en sirkel kan beskrives rundt)

9. En kule er beskrevet rundt et trekantet prisme, hvis sentrum ligger utenfor prismet. Hvilken trekant er bunnen av prismet? (stump trekant)

10. Er det mulig å beskrive en kule rundt et skrånende prisme? (Nei du kan ikke)

11. Under hvilke forhold vil sentrum av en kule omskrevet om et rettvinklet trekantet prisme være plassert på en av sideflatene til prismet? (grunnlaget er en rettvinklet trekant)

12. Basen av pyramiden er en likebenet trapes. Den ortogonale projeksjonen av toppen av pyramiden på planet til basen er et punkt plassert utenfor trapesen. Er det mulig å beskrive en kule rundt en slik trapes? (Ja, det kan du. Det faktum at den ortogonale projeksjonen av toppen av pyramiden er plassert utenfor basen spiller ingen rolle. Det er viktig at ved bunnen av pyramiden ligger en likebenet trapes - en polygon som en sirkel kan være rundt. beskrevet)

13. En kule er beskrevet nær en vanlig pyramide. Hvordan er sentrum plassert i forhold til elementene i pyramiden? (Sfærens sentrum er på en vinkelrett trukket til planet til basen gjennom midten)

14. Under hvilke forhold ligger sentrum av en kule beskrevet rundt et rettvinklet trekantet prisme: a) inne i prismet; b) utenfor prismet? (Ved bunnen av prismet: a) en spiss trekant; b) stump trekant)

15. En kule er beskrevet rundt et rektangulært parallellepiped hvis kanter er 1 dm, 2 dm og 2 dm. Regn ut radiusen til kulen. (1,5 dm)

16. Hvilken avkuttet kjegle kan en kule passe inn i? (I en avkortet kjegle, inn i den aksiale seksjonen som en sirkel kan skrives inn. Den aksiale seksjonen av kjeglen er en likebenet trapes, må summen av dens base være lik summen av dens laterale sider. Med andre ord, summen av radiene til kjeglens base må være lik generatoren)

17. En kule er innskrevet i en avkortet kjegle. I hvilken vinkel er generatrisen til kjeglen synlig fra midten av kulen? (90 grader)

18. Hvilken egenskap må et rett prisme ha for at en kule skal skrives inn i det? (For det første, ved bunnen av et rett prisme må det være en polygon som en sirkel kan skrives inn i, og for det andre må høyden på prismet være lik diameteren til sirkelen som er skrevet inn i bunnen)

19. Gi et eksempel på en pyramide som ikke passer til en kule? (For eksempel, firkantet pyramide, hvis basis er et rektangel eller parallellogram)

20. Ved bunnen av et rett prisme er en rombe. Er det mulig å passe en kule inn i dette prismet? (Nei, det er umulig, siden det generelt er umulig å beskrive en sirkel rundt en rombe)

21. Under hvilke forhold kan en kule skrives inn i et rettvinklet trekantet prisme? (Hvis høyden på prismet er to ganger radiusen til sirkelen innskrevet i basen)

22. Under hvilke betingelser kan en kule skrives inn i en vanlig firkantet avkortet pyramide? (Hvis tverrsnittet til en gitt pyramide er et plan som går gjennom midten av siden av basen vinkelrett på den, er det en likebenet trapes som en sirkel kan skrives inn i)

23. En kule er innskrevet i en trekantet avkortet pyramide. Hvilket punkt i pyramiden er sfærens sentrum? (Senteren av sfæren som er innskrevet i denne pyramiden er i skjæringspunktet mellom tre bisektralplan med vinkler dannet av sideflatene til pyramiden med basen)

24. Er det mulig å beskrive en kule rundt en sylinder (høyre sirkulær)? (Ja det kan du)

25. Er det mulig å beskrive en kule rundt en kjegle, en avkortet kjegle (rett sirkulær)? (Ja, du kan i begge tilfeller)

26. Kan en kule skrives inn i hvilken som helst sylinder? Hvilke egenskaper må en sylinder ha for å passe en kule inn i den? (Nei, ikke hver gang: den aksiale delen av sylinderen må være firkantet)

27. Kan en kule skrives inn i hvilken som helst kjegle? Hvordan bestemme posisjonen til midten av en kule innskrevet i en kjegle? (Ja, absolutt. Sentrum av den innskrevne sfæren er i skjæringspunktet mellom høyden til kjeglen og halveringslinjen for helningsvinkelen til generatrisen til grunnplanet)

Forfatteren mener at av de tre planleggingsleksjonene om emnet "Ulike problemer på polyeder, sylinder, kjegle og ball", er det tilrådelig å vie to leksjoner til å løse problemer med å kombinere en ball med andre kropper. Det anbefales ikke å bevise teoremene gitt ovenfor på grunn av utilstrekkelig tid i klassen. Du kan invitere elever som har tilstrekkelige ferdigheter til å bevise dem ved å angi (etter lærerens skjønn) kurset eller planen for beviset.

Ball og kule

Kroppen oppnådd ved å rotere en halvsirkel rundt en diameter kalles en ball. Overflaten dannet i dette tilfellet kalles en kule.En ball er en kropp som består av alle punkter i rommet plassert i en avstand som ikke er større enn en gitt en fra et gitt punkt. Dette punktet kalles midten av ballen, og denne avstanden kalles ballens radius.Grensen til en ball kalles en sfærisk overflateeller en kule. Ethvert segment som forbinder midten av en kule med et punkt på den sfæriske overflaten kalles en radius.Et segment som forbinder to punkter på en sfærisk overflate og passerer gjennom midten av ballen kalles en diameterEndene av en hvilken som helst diameter kalles diametralt motsatte punkter på ballen. Enhver del av ballenet fly er en sirkel. Sentrum av denne sirkelen er bunnen av perpendikulæren som faller fra sentrum og ned på sekantplanet. Planet som går gjennom midten av ballen kalles diametralplanet. Seksjonen av en ball ved diametralplanet kalles en storsirkel, og tverrsnittet av sfæren er en stor sirkelEthvert diametralt plan til en ball er dens symmetriplan. Sentrum av ballen er dens senter for symmetri.Planet som går gjennom et punkt på den sfæriske overflaten og vinkelrett på radiusen trukket til dette punktet kalles tangentplanet. Dette punktet kalt kontaktpunktetTangentplanet har bare ett felles punkt med ballen - kontaktpunktet En rett linje som går gjennom gitt poeng sfærisk overflate vinkelrett på radiusen trukket til dette punktet kalles tangenten.Et uendelig antall tangenter passerer gjennom et hvilket som helst punkt på den sfæriske overflaten, og alle ligger i ballens tangentplan. Et sfærisk segmentden delen av kulen som er avskåret fra den av et plan kalles det sfæriske lagetkalt den delen av ballen som ligger mellom to parallelle plan som skjærer ballen. Sfærisk sektorer hentet fra et sfærisk segment og en kjegle. Hvis det sfæriske segmentet er mindre enn en halvkule, er det sfæriske segmentet supplert med en kjegle, hvis toppunkt er i midten av ballen, og bunnen er bunnen av kulen. segment. Hvis segmentet er større enn halvkulen, fjernes den angitte kjeglen fra den. Grunnleggende formlerBall (R = OB - radius): S b = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Kulesegment (R = OB - radius av ballen, h = SK - høyde på segmentet, r = KV - radius av bunnen av segmentet): V segm = πh 2 (R - h/3) eller V segm = πh(h 2 + 3r 2 ) / 6;S segm = 2πRh. Kulesektor (R = OB - ballens radius, h = SC - segmenthøyde): V = V segm ±V lure , "+" - hvis segmentet er mindre, "-" - hvis segmentet er større enn halvkulen.eller V = V segm + V lure = πh 2 (R - h/3) + πr 2 (R - h) / 3. Sfærisk lag (R 1 og R 2 - radier av basene til det sfæriske laget; h = SC - høyden på det sfæriske laget eller avstanden mellom baser):V m/sl = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;S m/sl = 2πRh Eksempel 1. Ballens volum er 288π cm 3 . Finn diameteren til kulen LøsningV = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728πd 3 = 1728d = 12 cm Svar: 12. Eksempel 2. Tre like kuler med radius r berører hverandre og et eller annet plan. Bestem radiusen til den fjerde sfæren som tangerer de tre dataene og det gitte planet LøsningLa O 1 , OM 2 , OM 3 - sentrene til disse sfærene og O - sentrum av den fjerde sfæren som berører de tre dataene og det gitte planet. La A, B, C, T være kontaktpunktene til kulene med et gitt plan. Kontaktpunktene til to kuler ligger på linjen til sentrene til disse kulene, derfor O 1 OM 2 = O 2 OM 3 = O 3 OM 1 = 2r. Punktene er like langt fra planet ABC, altså ABO 2 OM 1 , AVO 2 OM 3 , AVO 3 OM 1 - like rektangler, derfor er ∆ABC likesidet med side 2r. La x være ønsket radius til den fjerde sfæren. Da er OT = x. Derfor, like måte Dette betyr at T er sentrum av en likesidet trekant. Derfor HerfraSvar: r / 3. En kule innskrevet i en pyramide En kule kan skrives inn i hver vanlig pyramide. Sentrum av sfæren ligger i høyden av pyramiden ved skjæringspunktet med halveringslinjen til den lineære vinkelen ved kanten av bunnen av pyramiden. Hvis en sfære kan skrives inn i en pyramide, ikke nødvendigvis regelmessig, kan radius r til denne sfæren beregnes ved å bruke formelen r = 3V / S s , der V er volumet til pyramiden, S s - dens totale overflate Eksempel 3. En konisk trakt, radiusen til basen R og høyden H, fylles med vann. En tung ball senkes ned i trakten. Hva skal radiusen til ballen være slik at volumet av vann som fortrenges fra trakten av den nedsenkede delen av ballen er maksimal Løsning La oss tegne et snitt gjennom midten av kjeglen. Denne delen danner en likebenet trekant.Hvis det er en kule i trakten, vil den maksimale størrelsen på dens radius være lik radiusen til sirkelen innskrevet i den resulterende likebenede trekanten. Radiusen til sirkelen innskrevet i trekanten er lik: r = S / p , der S er arealet av trekanten, p er halvperimeteren. Arealet av den likebente trekanten er lik halv høyde (H = SO) multiplisert med grunnflaten. Men siden basen er to ganger radiusen til kjeglen, så er S = RH. Halvperimeteren er lik p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m er lengden på hver av de like sidene av de likebenede sidene trekant; R er radiusen til sirkelen som utgjør basen til kjeglen. Finn m ved Pythagoras teorem: , hvorI korte trekk ser det slik ut:Svar:Eksempel 4. I en vanlig trekantet pyramide med en dihedral vinkel ved bunnen lik α, er det to kuler. Den første ballen berører alle flatene til pyramiden, og den andre ballen berører alle sideflatene til pyramiden og den første ballen. Finn forholdet mellom radiusen til den første kulen og radiusen til den andre kulen hvis tgα = 24/7. Løsning
La RABC være en regulær pyramide og punktet H være sentrum av basen ABC. La M være midtpunktet på kant BC. Deretter - lineær dihedral vinkel , som etter betingelse er lik α, og α< 90°. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой .La NN 1 - diameteren til den første kulen og planet som går gjennom punkt H 1 vinkelrett på den rette linjen RN, skjærer sidekantene RA, PB, RS, henholdsvis i punktene A 1 , IN 1 , MED 1 . Så N 1 vil være sentrum av riktig ∆A 1 I 1 MED 1 , og pyramiden RA 1 I 1 MED 1 vil være lik RABC-pyramiden med likhetskoeffisient k = RN 1 / RN. Legg merke til at den andre ballen, med sentrum ved punkt O 1 , er innskrevet i RA-pyramiden 1 I 1 MED 1 og derfor er forholdet mellom radiene til de påskrevne kulene lik likhetskoeffisienten: OH / OH 1 = RN / RN 1 . Fra likheten tgα = 24/7 finner vi:La AB = x. Deretter Derav det ønskede OH/O-forholdet 1 N 1 = 16/9 Svar: 16/9 Kule innskrevet i et prisme Diameteren D til en kule innskrevet i et prisme er lik høyden H til prismet: D = 2R = H. Radius R til en kule innskrevet i et prisme er lik radiusen til en sirkel innskrevet i et prisme med vinkelrett snitt. Hvis en kule er innskrevet i et rett prisme, kan en sirkel skrives inn ved bunnen av dette prismet. Radius R til en kule innskrevet i en rett linje prisme er lik radiusen til sirkelen som er innskrevet i prismets basis Teorem 1 La en sirkel skrives inn ved bunnen av et rett prisme, og høyden H til prismet er lik diameteren D til denne sirkelen. Deretter kan en kule med diameter D skrives inn i dette prismet. Sentrum av denne innskrevne kulen faller sammen med midten av segmentet som forbinder sentrene til sirklene som er innskrevet ved prismets basis.La ABC...A 1 I 1 MED 1 ... er et rett prisme og O er sentrum av en sirkel innskrevet ved basen ABC. Da er punktet O like langt fra alle sider av basen ABC. La O 1 - ortogonal projeksjon av punkt O på base A 1 I 1 MED 1 . Så Oh 1 like langt fra alle sider av base A 1 I 1 MED 1 , og OO 1 || AA 1 . Det følger at direkte OO 1 parallelt med hvert plan av sideflaten til prismet, og lengden på segmentet OO 1 lik høyden på prismet og, etter konvensjon, diameteren til sirkelen som er innskrevet ved bunnen av prismet. Dette betyr at punktene til segmentet OO 1 er like langt fra sideflatene til prismet, og den midterste F av segmentet OO 1 , like langt fra planene til prismets basis, vil være like langt fra alle flater av prismet. Det vil si at F er sentrum av en kule innskrevet i et prisme, og diameteren til denne kulen er lik diameteren til en sirkel som er innskrevet i bunnen av prismet. Teoremet er bevist Teorem 2 La en sirkel skrives inn i vinkelrett snitt av et skrånende prisme, og høyden på prismet er lik diameteren til denne sirkelen. Deretter kan en kule skrives inn i dette skrånende prismet. Sentrum av denne kulen deler høyden som går gjennom midten av en sirkel innskrevet i et vinkelrett snitt i to.
La ABC...A 1 I 1 MED 1 ... er et skråstilt prisme og F er sentrum av en sirkel med radius FK innskrevet i sin vinkelrette seksjon. Siden den vinkelrette seksjonen av et prisme er vinkelrett på hvert plan av sideflaten, er radiene til sirkelen som er innskrevet i den vinkelrette seksjonen trukket til sidene av denne seksjonen, vinkelrett på sideflatene til prismet. Følgelig er punkt F like langt fra alle sideflater La oss tegne en rett linje OO gjennom punkt F 1 , vinkelrett på planet til prismebasene, og skjærer disse basene i punktene O og O 1 . Så OO 1 - prismehøyde. Siden i henhold til OO-tilstanden 1 = 2FK, så er F midten av segmentet OO 1 :FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1 , dvs. punkt F er like langt fra planene til alle flater av prismet uten unntak. Dette betyr at en kule kan skrives inn i et gitt prisme, hvis sentrum sammenfaller med punktet F - sentrum av en sirkel innskrevet i den vinkelrette delen av prismet som deler høyden på prismet som går gjennom punktet F i to. Teoremet er bevist Eksempel 5. En kule med radius 1 er innskrevet i et rektangulært parallellepiped Finn volumet av parallellepipedet LøsningTegn toppvisningen. Eller fra siden. Eller forfra. Du vil se det samme - en sirkel innskrevet i et rektangel. Selvfølgelig vil dette rektangelet være en firkant, og parallellepipedet vil være en terning. Lengden, bredden og høyden til denne kuben er to ganger radiusen til sfæren AB = 2, og derfor er volumet av kuben 8. Svar: 8. Eksempel 6. I et regulært trekantet prisme med en side av grunnflaten lik til , det er to baller. Den første ballen er innskrevet i prismet, og den andre ballen berører en base av prismet, dets to sideflater og den første ballen. Finn radiusen til den andre kulen Løsning
La ABCA 1 I 1 MED 1 - korrekt prisme og punkter P og P 1 - sentrene til sine baser. Da er midten av kulen O innskrevet i dette prismet midtpunktet til segmentet PP 1 . Tenk på flyet RVV 1 . Siden prismet er regulært, ligger PB på segmentet BN, som er halveringslinjen og høyden ΔABC. Derfor flyet og er halveringslinjen til den dihedrale vinkelen ved sidekanten av eksplosivet 1 . Derfor er ethvert punkt på dette planet like langt fra sideflatene til AA 1 BB 1 og SS 1 I 1 B. Spesielt den perpendikulære OK, senket fra punkt O til ansiktet ACC 1 EN 1 , ligger i RVV-planet 1 og er lik segmentet OP. Merk at KNPO er et kvadrat, hvis side er lik radiusen til ballen som er innskrevet i et gitt prisme. La O 1 - midten av ballen berører den påskrevne ballen med senter O og sideflatene AA 1 BB 1 og SS 1 I 1 Inn i prismer. Deretter peker du på O 1 ligger på RVV-flyet 1 , og dens projeksjon P 2 på planet ABC ligger på segmentet PB. I henhold til betingelsen er siden av basen lik , derfor er PN = 2 og derfor er radiusen til kulen OR innskrevet i prismet også lik 2. Siden kulene med senter i punktene O og O 1 berøre hverandre, deretter segmentet OO 1 = ELLER + O 1 R 2 . La oss betegne OP = r, O 1 R 2 = x. Tenk på ΔOO 1 T, hvor I denne trekanten OO 1 = r + x, OT = r - x. Derfor Siden figuren er O 1 R 2 RT er altså et rektangel Videre, ved egenskapen til medianene til en trekant РВ = 2r, og Р 2 B = 2x, fordi i høyre trekant og P 2 L = x. Siden PB = PP 2 + R 2 B, da får vi ligningen , hvorfra, tatt i betraktning ulikheten x< r, находим Ved å erstatte verdien r = 2 finner vi til slutt Svar:Kule omskrevet om et polyeder
Kulen sies å være omskrevet rundt polyederet, hvis alle toppene ligger på denne sfæren. I dette tilfellet sies polyederet å være innskrevet i sfæren.Av definisjonen følger det at hvis et polyeder har en omskreven kule, så er alle flatene påskrevne polygoner, og derfor har ikke alle polyeder en omskrevet kule rundt seg. For eksempel har et skrånende parallellepiped ikke en omskrevet kule, fordi Det er umulig å beskrive en sirkel rundt et parallellogram Sentrum av en kule omskrevet om et høyre prisme er midten av segmentet som forbinder sirkelsentrene beskrevet om basisen til et rett prisme Eksempel 7. Finn radiusen til en kule omskrevet om en terning hvis volumet på terningen er 27. Skriv svaret i skjemaet Løsning Volum av terning kanten av kuben a = 3. I følge Pythagoras teorem, diagonalen til kuben Så finner vi radiusen som halve diagonalen til kuben: La oss skrive svaret i skjemaet Svar: 1.5 Eksempel 8. En av basene til et regulært trekantet prisme tilhører storsirkelen til en kule med radius R, og toppunktene til den andre basen tilhører overflaten til denne kulen. Bestem høyden på prismet som volumet vil være størst i. Løsning
Vinkelrett på plan A 1 I 1 MED 1 trukket fra midten av sirkelen omskrevet om denne trekanten går gjennom midten av ballen. La oss betegne OB 1 = R, OB = R 1 , BB 1 = h = x. Deretter La oss finne den deriverte og likestille den til null. Vi får:Svar:

XV BY ÅPEN STUDENTKONFERANSE

"INTELLECTUALS OF THE XXI CENTURY"

Seksjon: MATEMATIKK

Det beskrevne området ved Olympiadene og Unified State Examination

Kiyaeva Anna Anatolevna

Orenburg – 2008

1.2 Omfang beskrevet

1.2.1 Grunnleggende egenskaper og definisjoner

1.2.2 Pyramidekombinasjon

1.2.3 Kombinasjon med prisme

1.2.4 Kombinasjon med sylinder

1.2.5 Kombinasjon med kjegle

2 Eksempler på Olympiadeoppgaver

2.1 Eksempler på olympiadeoppgaver med pyramide

2.2 Eksempler på Olympiadeoppgaver med prisme

2.3 Eksempler på Olympiadeoppgaver med sylinder

2.4 Eksempler på Olympiadeoppgaver med kjegle

3.3 Eksempler på Unified State Exam-oppgaver med en sylinder

3.4 Eksempler på Unified State Exam-oppgaver med en kjegle

Introduksjon

Dette arbeidet utføres som en del av et prosjekt for å lage en matematisk side for skoleelever på nettsiden til internatlyceumet og vil bli lagt ut i delen "Matematiske metoder".

Mål arbeid - lage en oppslagsbok dedikert til løsningsmetoden geometriske problemer med den beskrevne sfæren ved Olympiadene og Unified State Examination.

For å nå dette målet måtte vi løse følgende oppgaver :

1) bli kjent med begrepet den beskrevne sfæren;

2) studere funksjonene til kombinasjoner av den beskrevne sfæren med en pyramide, prisme, sylinder og kjegle;

3) blant geometriske problemer, velg de som inneholder betingelsen for tilstedeværelsen av en beskrevet sfære;

4) analysere, systematisere og klassifisere det innsamlede materialet;

5) lage et utvalg av problemer for uavhengig løsning;

6) presentere forskningsresultatet i form av et sammendrag.

Under forskningen fant vi ut at problemer med det beskrevne området ganske ofte tilbys skolebarn på Unified State Exam, så evnen til å løse problemer av denne typen spiller en svært viktig rolle i vellykket gjennomføring eksamener. Også problemer med det beskrevne området finnes ofte ved matematikk-olympiader på ulike nivåer. Relevante eksempler er gitt i vårt arbeid. Dette emnet er aktuell, siden oppgaver av denne typen vanligvis forårsaker vanskeligheter for skolebarn.

Praktisk betydning– materialet vi har utarbeidet kan brukes til å forberede skoleelever til olympiader, Unified State Exam og påfølgende studier ved et universitet.

1 Kule og ball

1.1 Kule og ball: grunnleggende begreper og definisjoner

Kule er en overflate som består av alle punkter i rommet som ligger i en gitt avstand fra et gitt punkt.

Dette punktet kalles sentrum av sfæren(punktum OM i fig. 1), og denne avstanden radius av kulen. Ethvert segment som forbinder senteret og et hvilket som helst punkt på sfæren kalles også sfærens radius. Et linjestykke som forbinder to punkter på en kule og går gjennom midten kalles kule diameter(linjestykke DC i fig. 1). Merk at en kule kan oppnås ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren.

Ball kalles en kropp avgrenset av en kule. Sentrum, radius og diameter av en kule kalles også senter , radius Og ball diameter. Tydeligvis en ball med radius R sentrert ved OM inneholder alle punkter i rommet som er plassert fra punktet OM på en avstand som ikke overstiger R(inkludert punkt OM), og inneholder ikke andre punkter. Ball også kalt rotasjonsfiguren til en halvsirkel rundt diameteren. Ballsegment- en del av ballen avskåret fra den av et fly. Hver seksjon av en ball ved et fly er en sirkel. Sentrum av denne sirkelen er bunnen av perpendikulæren trukket fra midten av ballen til skjæreplanet. Flyet som går gjennom midten av ballen kalles diametralt plan. Seksjonen av en kule ved diametralplanet kalles stor sirkel, og delen av sfæren er stor sirkel. Ballsektor – et geometrisk legeme som oppnås ved å rotere en sirkulær sektor med en vinkel mindre enn 90° rundt en rett linje som inneholder en av radiene som begrenser den sirkulære sektoren. Den sfæriske sektoren består av et sfærisk segment og en kjegle med felles base.

Overflateareal av en kule:

S = 4π R 2 ,

Hvor R- radius av ballen, S- området av sfæren.

Kulevolum

Hvor V– volum på ballen

Ballsektorvolum

V – volum av det sfæriske segmentet.

Segmentelt overflateareal

- segmenthøyde, segmentoverflate

Segmentbasisradius

, - segmentbasisradius, - segmenthøyde, 0<H < 2R .

Sfærisk overflateareal av et kulesegment

- området av den sfæriske overflaten til det sfæriske segmentet.

I verdensrommet, for en ball og et fly, er tre tilfeller mulige:

1) Hvis avstanden fra midten av ballen til planet er større enn ballens radius, har ikke ballen og planet felles punkter.

2) Hvis avstanden fra midten av ballen til planet er lik ballens radius, så har flyet bare ett felles punkt med ballen og kulen som avgrenser den.

3) Hvis avstanden fra midten av ballen til planet er mindre enn ballens radius, er skjæringspunktet mellom ballen og planet en sirkel. Sentrum av denne sirkelen er projeksjonen av midten av ballen på et gitt plan. Skjæringspunktet mellom planet og sfæren er omkretsen til den angitte sirkelen.

1.2 Beskrevet sfære

1.2.1 Definisjoner og egenskaper

Kulen kalles beskrevet rundt polyederet(og polyederet er inkludert i sfæren), hvis alle toppunktene til polyederet ligger på kulen.

To fakta følger av definisjonen av den beskrevne sfæren:

1) alle toppunktene til et polyeder innskrevet i en sfære er like langt fra et bestemt punkt (fra midten av den omskrevne sfæren);

2) hver flate av et polyeder innskrevet i en kule er en polygon innskrevet i en viss sirkel, nøyaktig i sirkelen som oppnås i sfærens seksjon av ansiktets plan; i dette tilfellet er bunnen av perpendikulærene senket fra midten av den omskrevne sfæren på flatenes plan sentrum av sirkler som er omskrevet rundt ansiktene.

Teorem 1 . En kule kan beskrives rundt et polyeder hvis og bare hvis noen av følgende betingelser er oppfylt:

a) en sirkel kan beskrives rundt en hvilken som helst flate av et polyeder, og aksene til sirklene som er beskrevet rundt overflatene til polyederet skjærer hverandre i ett punkt;

b) plan vinkelrett på kantene av polyederet og som går gjennom midtpunktene deres, skjærer hverandre i ett punkt;

c) det er et enkelt punkt like langt fra alle toppunktene i polyederet.

Bevis.

Nødvendighet. La en kule beskrives rundt polyederet. La oss bevise at betingelse a) er oppfylt. Faktisk, siden planet til et gitt ansikt av et polyeder skjærer en kule langs en sirkel, så tilhører toppene av ansiktet som tilhører kulen og ansiktsplanet linjen i skjæringspunktet deres - sirkelen. Siden sfærens sentrum er like langt fra alle toppunktene til et gitt ansikt, ligger det på en vinkelrett på dette ansiktet trukket gjennom midten av sirkelen som er omskrevet rundt ansiktet.

Tilstrekkelighet. La betingelse a) være oppfylt. La oss bevise at en kule kan beskrives rundt et polyeder. Faktisk, siden det vanlige punktet for perpendikulære til flatene trukket gjennom sentrene til sirklene som er omskrevet rundt flatene er like langt fra alle hjørnene til polyederet, beskrives en kule med sentrum på dette punktet rundt polyederet.

Betingelse a) i dette tilfellet tilsvarer vilkår b) og c).

Hvis en kule er omskrevet rundt et polyeder, da: a) bunnen av en perpendikulær som faller fra midten av sfæren til en hvilken som helst flate, er sentrum av en sirkel som er omskrevet rundt denne flaten (som bunnen av høyden til en pyramide med lik laterale kanter - radiene til sfæren trukket fra midten til toppunktene til et gitt ansikt ); b) sentrum av en kule omskrevet rundt et polyeder kan være plassert inne i polyederet, på overflaten (i midten av en sirkel omskrevet rundt en flate, spesielt i midten av en kant), utenfor polyederet.

1.2.2 Omskrevet sfære og pyramide

Teorem 2 . En kule kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt basen.

Bevis. La en sirkel beskrives rundt bunnen av pyramiden. Så definerer denne sirkelen og et punkt utenfor planet til denne sirkelen - toppen av pyramiden - en enkelt kule, som vil bli omskrevet rundt pyramiden. Og tilbake. Hvis en kule er omskrevet rundt en pyramide, er seksjonen av kulen ved planet til bunnen av pyramiden en sirkel som er omskrevet rundt basen.

Konsekvens 1. En kule kan beskrives rundt et hvilket som helst tetraeder.

Emnet «Ulike problemer på polyeder, sylinder, kjegle og kule» er et av de vanskeligste i geometrikurset i 11. klasse. Før de løser geometriske oppgaver, studerer de vanligvis de relevante delene av teorien som det refereres til når de løser oppgaver. I læreboken til S. Atanasyan og andre om dette emnet (s. 138) kan man bare finne definisjoner av et polyeder beskrevet rundt en kule, et polyeder innskrevet i en kule, en kule innskrevet i et polyeder, og en kule beskrevet rundt en kule. polyeder. De metodiske anbefalingene for denne læreboken (se boken «Studying Geometry in Grades 10–11» av S.M. Sahakyan og V.F. Butuzov, s. 159) sier hvilke kombinasjoner av kropper som vurderes når man løser problemer nr. 629–646, og oppmerksomheten trekkes til det faktum at "når man løser et bestemt problem, først og fremst er det nødvendig å sikre at studentene har en god forståelse av de relative posisjonene til kroppene som er angitt i tilstanden." Følgende er løsningen på problemer nr. 638(a) og nr. 640.

Definisjoner.

1. En kule kalles innskrevet i et polyeder, og et polyeder beskrevet rundt en ball hvis overflaten av ballen berører alle overflater av polyederet.

2. En kule kalles omskrevet om et polyeder, og et polyeder innskrevet i en kule, hvis overflaten på kulen går gjennom alle hjørnene i polyederet.

(Fra denne definisjonen følger det at storsirkelen til en kule kan skrives inn i en hvilken som helst aksial del av disse kroppene).

4. En kule sies å være omskrevet om en sylinder, en avkortet kjegle (kjegle), hvis sirklene til basene (grunnsirkel og apex) tilhører ballens overflate.

(Fra denne definisjonen følger det at rundt en hvilken som helst aksial seksjon av disse legene kan sirkelen til en større sirkel av ballen beskrives).

Generelle merknader om plasseringen av midten av ballen.

1. Sentrum av en kule innskrevet i et polyeder ligger i skjæringspunktet mellom halveringsplanene for alle dihedriske vinkler på polyederet. Den ligger bare inne i polyederet.

Kombinasjon av en kule og et prisme.

1. En kule innskrevet i et rett prisme.

Teorem 1. En kule kan skrives inn i et rett prisme hvis og bare hvis en sirkel kan skrives inn ved bunnen av prismet, og høyden på prismet er lik diameteren til denne sirkelen.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule innskrevet i et høyre prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet som går gjennom sentrum av sirkelen som er innskrevet i basen.

2. En kule omskrevet om et prisme.

Teorem 2. En kule kan beskrives rundt et prisme hvis og bare hvis prismet er rett og en sirkel kan beskrives rundt bunnen.

Konsekvens 1. Sentrum av en kule omskrevet om et rett prisme ligger i midtpunktet av høyden til prismet trukket gjennom midten av en sirkel som er omskrevet rundt basen.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) foreslås for kombinasjonen av en kule og et prisme.

Kombinasjon av en ball med en pyramide.

1. En ball beskrevet nær en pyramide.

Teorem 3. En ball kan beskrives rundt en pyramide hvis og bare hvis en sirkel kan beskrives rundt basen.

Konsekvens 3. Spesielt en ball kan beskrives: nær en trekantet pyramide, nær en vanlig pyramide, nær en firkantet pyramide der summen av motsatte vinkler er 180 grader.

2. En ball innskrevet i en pyramide.

Teorem 4. Hvis sideflatene til pyramiden er like tilbøyelige til basen, kan en ball skrives inn i en slik pyramide.

Konsekvens 2. Du kan passe en ball inn i en vanlig pyramide.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 foreslås for kombinasjonen av en ball med en pyramide.

Kombinasjon av en ball med en avkortet pyramide.

1. En ball omskrevet om en vanlig avkortet pyramide.

Teorem 5. En kule kan beskrives rundt en hvilken som helst vanlig avkortet pyramide. (Denne betingelsen er tilstrekkelig, men ikke nødvendig)

2. En ball innskrevet i en vanlig avkortet pyramide.

Teorem 6. En ball kan skrives inn i en vanlig avkortet pyramide hvis og bare hvis apotemet til pyramiden er lik summen av apotemene til basene.

Det er bare ett problem for kombinasjonen av en ball med en avkortet pyramide i L.S. Atanasyans lærebok (nr. 636).

Kombinasjon av ball med runde kropper.

Teorem 7. En kule kan beskrives rundt en sylinder, en avkortet kjegle (rett sirkulær) eller en kjegle.

Teorem 8. En kule kan skrives inn i en (rett sirkulær) sylinder hvis og bare hvis sylinderen er likesidet.

Teorem 9. Du kan passe en ball i hvilken som helst kjegle (rett sirkulær).

Teorem 10. En kule kan skrives inn i en avkortet kjegle (rett sirkulær) hvis og bare hvis generatoren er lik summen av radiene til basene.

Fra læreboken til L.S. Atanasyan kan oppgave nr. 642, 643, 644, 645, 646 foreslås for kombinasjonen av en ball med runde kropper.

For mer vellykket å studere materialet om dette emnet, er det nødvendig å inkludere muntlige oppgaver i leksjonene: