Sin egenskaper og graf. Sinus (sin x) og cosinus (cos x) – egenskaper, grafer, formler. Uttrykk gjennom komplekse variabler
FUNKSJONSGRAFIKK
Sinus funksjon
- en haug med R alle reelle tall.
Flere funksjonsverdier— segment [-1; 1], dvs. sinus funksjon - begrenset.
Odd funksjon: sin(−x)=−sin x for alle x ∈ R.
Funksjonen er periodisk
sin(x+2π k) = sin x, hvor k ∈ Z for alle x ∈ R.
sin x = 0 for x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0(positiv) for alle x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
synd x< 0 (negativ) for alle x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Cosinus funksjon
Funksjon Domene- en haug med R alle reelle tall.
Flere funksjonsverdier— segment [-1; 1], dvs. cosinus funksjon - begrenset.
Jevn funksjon: cos(−x)=cos x for alle x ∈ R.
Funksjonen er periodisk med den minste positive perioden 2π:
cos(x+2π k) = cos x, hvor k ∈ Z for alle x ∈ R.
| cos x = 0 på | |
| cos x > 0 for alle |  |
| fordi x< 0 for alle |  |
| Funksjonen øker fra −1 til 1 i intervaller: | |
| Funksjonen er avtagende fra −1 til 1 i intervaller: | |
| Den største verdien av funksjonen sin x = 1 på punkter: |  |
| Den minste verdien av funksjonen sin x = −1 på punkter: |
Tangent funksjon
Flere funksjonsverdier— hele tallinjen, dvs. tangent - funksjon ubegrenset.
Odd funksjon: tg(−x)=−tg x
Grafen til funksjonen er symmetrisk om OY-aksen.
Funksjonen er periodisk med den minste positive perioden π, dvs. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z for alle x fra definisjonsdomenet.
Kotangens funksjon
Flere funksjonsverdier— hele tallinjen, dvs. cotangens - funksjon ubegrenset.
Odd funksjon: ctg(−x)=−ctg x for alle x fra definisjonsdomenet.Grafen til funksjonen er symmetrisk om OY-aksen.
Funksjonen er periodisk med den minste positive perioden π, dvs. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z for alle x fra definisjonsdomenet.
Arcsine funksjon
Funksjon Domene— segment [-1; 1]
Flere funksjonsverdier- segment -π /2 arcsin x π /2, dvs. arcsine - funksjon begrenset.
Odd funksjon: arcsin(−x)=−arcsin x for alle x ∈ R.
Grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen.
Gjennom hele definisjonsområdet.
Arc cosinus funksjon
Funksjon Domene— segment [-1; 1]
Flere funksjonsverdier— segment 0 arccos x π, dvs. arccosine - funksjon begrenset.
Funksjonen øker over hele definisjonsområdet.
Arctangens funksjon
Funksjon Domene- en haug med R alle reelle tall.
Flere funksjonsverdier— segment 0 π, dvs. arctangens - funksjon begrenset.
Odd funksjon: arctg(−x)=−arctg x for alle x ∈ R.
Grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen.
Funksjonen øker over hele definisjonsområdet.
Arc tangens funksjon
Funksjon Domene- en haug med R alle reelle tall.
Flere funksjonsverdier— segment 0 π, dvs. arccotangens - funksjon begrenset.
Funksjonen er verken partall eller oddetall.
Grafen til funksjonen er asymmetrisk verken med hensyn til opprinnelsen til koordinater, eller med hensyn til Oy-aksen.
Funksjonen er avtagende over hele definisjonsområdet.
I denne leksjonen skal vi ta en detaljert titt på funksjonen y = sin x, dens grunnleggende egenskaper og graf. I begynnelsen av leksjonen vil vi gi definisjonen av den trigonometriske funksjonen y = sin t på koordinatsirkelen og vurdere grafen til funksjonen på sirkelen og linjen. La oss vise periodisiteten til denne funksjonen på grafen og vurdere hovedegenskapene til funksjonen. På slutten av leksjonen skal vi løse flere enkle oppgaver ved å bruke grafen til en funksjon og dens egenskaper.
Emne: Trigonometriske funksjoner
Leksjon: Funksjonen y=sinx, dens grunnleggende egenskaper og graf
Når du vurderer en funksjon, er det viktig å knytte hver argumentverdi til en enkelt funksjonsverdi. Dette korrespondanseloven og kalles en funksjon.
La oss definere korrespondanseloven for .
Ethvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på enhetssirkelen Et punkt har en enkelt ordinat, som kalles tallets sinus (fig. 1).
Hver argumentverdi er knyttet til en enkelt funksjonsverdi.
Åpenbare egenskaper følger av definisjonen av sinus.
Figuren viser det 
fordi er ordinaten til et punkt på enhetssirkelen.
Tenk på grafen til funksjonen. La oss huske den geometriske tolkningen av argumentet. Argumentet er den sentrale vinkelen, målt i radianer. Langs aksen vil vi plotte reelle tall eller vinkler i radianer, langs aksen de tilsvarende verdiene til funksjonen.
For eksempel tilsvarer en vinkel på enhetssirkelen et punkt på grafen (fig. 2)
Vi har fått en graf over funksjonen i området, men når vi kjenner perioden til sinusen, kan vi avbilde grafen til funksjonen over hele definisjonsdomenet (fig. 3).
Funksjonens hovedperiode er Dette betyr at grafen kan hentes på et segment og deretter fortsettes gjennom hele definisjonsdomenet.
Tenk på egenskapene til funksjonen:
1) Definisjonsomfang:
2) Verdiområde: 
3) Odd funksjon:
4) Minste positive periode:
5) Koordinater for skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen: 
6) Koordinater for skjæringspunktet for grafen med ordinataksen:
7) Intervaller der funksjonen tar positive verdier:
8) Intervaller der funksjonen tar negative verdier:
9) Økende intervaller:
10) Reduserende intervaller:
11) Minimum poeng: 
12) Minimumsfunksjoner:
13) Maks poeng: 
14) Maksimal funksjoner:
Vi så på egenskapene til funksjonen og dens graf. Egenskapene vil bli brukt gjentatte ganger ved løsning av problemer.
Bibliografi
1. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra og matematisk analyse for klasse 10 (lærebok for elever i skoler og klasser med fordypning i matematikk). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fordypning i algebra og matematisk analyse.-M.: Education, 1997.
5. Samling av problemer i matematikk for søkere til høyere utdanningsinstitusjoner (redigert av M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemer om algebra og analyseprinsipper (en håndbok for studenter i 10.-11. klasse ved generelle utdanningsinstitusjoner). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Samling av problemer om algebra og analyseprinsipper: lærebok. godtgjørelse for 10-11 klassetrinn. med dybde studert Matematikk.-M.: Utdanning, 2006.
Hjemmelekser
Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Ytterligere nettressurser
3. Utdanningsportal for eksamensforberedelse ().
Tilbake fremover
Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.
Jern ruster uten bruk,
stående vann råtner eller fryser i kulden,
og en persons sinn, som ikke finner noen bruk for seg selv, forsvinner.
Leonardo da Vinci
Teknologier som brukes: problembasert læring, kritisk tenkning, kommunikativ kommunikasjon.
Mål:
- Utvikling av kognitiv interesse for læring.
- Studerer egenskapene til funksjonen y = sin x.
- Dannelse av praktiske ferdigheter i å konstruere en graf av funksjonen y = sin x basert på det studerte teoretiske materialet.
Oppgaver:
1. Bruk det eksisterende kunnskapspotensialet om egenskapene til funksjonen y = sin x i spesifikke situasjoner.
2. Anvende bevisst etablering av sammenhenger mellom analytiske og geometriske modeller av funksjonen y = sin x.
Utvikle initiativ, en viss vilje og interesse for å finne en løsning; evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der, og forsvare ditt synspunkt.
Å fremme kognitiv aktivitet hos elevene, en følelse av ansvar, respekt for hverandre, gjensidig forståelse, gjensidig støtte og selvtillit; kommunikasjonskultur.
I løpet av timene
1. stadie. Oppdatere grunnleggende kunnskap, motivere til å lære nytt stoff
"Gå inn i leksjonen."
Det er skrevet 3 uttalelser på tavlen:
- Den trigonometriske ligningen sin t = a har alltid løsninger.
- Grafen til en oddetallsfunksjon kan konstrueres ved hjelp av en symmetritransformasjon om Oy-aksen.
- En trigonometrisk funksjon kan tegnes grafisk ved å bruke én hovedhalvbølge.
Elevene diskuterer i par: er påstandene sanne? (1 minutt). Resultatene av den innledende diskusjonen (ja, nei) legges deretter inn i tabellen i "Før"-kolonnen.
Læreren setter mål og mål for leksjonen.
2. Oppdatering av kunnskap (frontalt på en modell av en trigonometrisk sirkel).
Vi har allerede blitt kjent med funksjonen s = sin t.
1) Hvilke verdier kan variabelen ta. Hva er omfanget av denne funksjonen?
2) I hvilket intervall finnes verdiene til uttrykket sin t? Finn de største og minste verdiene av funksjonen s = sin t.
3) Løs ligningen sin t = 0.
4) Hva skjer med ordinaten til et punkt når det beveger seg langs det første kvartalet? (ordinaten øker). Hva skjer med ordinaten til et punkt når det beveger seg langs andre kvartal? (ordinaten avtar gradvis). Hvordan henger dette sammen med monotoniteten til funksjonen? (funksjonen s = sin t øker på segmentet og avtar på segmentet ).
5) La oss skrive funksjonen s = sin t i formen y = sin x som er kjent for oss (vi vil konstruere den i det vanlige xOy-koordinatsystemet) og kompilere en tabell over verdiene til denne funksjonen.
| X | 0 | ||||||
| på | 0 | 1 | 0 |
Trinn 2. Persepsjon, forståelse, primær konsolidering, ufrivillig memorering
Trinn 4. Primær systematisering av kunnskap og aktivitetsmetoder, deres overføring og anvendelse i nye situasjoner
6. Nr. 10.18 (b,c)
Trinn 5. Sluttkontroll, retting, vurdering og egenvurdering
7. Vi går tilbake til påstandene (begynnelsen av leksjonen), diskuterer å bruke egenskapene til den trigonometriske funksjonen y = sin x, og fyller ut «Etter»-kolonnen i tabellen.
8. D/z: klausul 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Geometrisk definisjon av sinus og cosinus
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - vinkel uttrykt i radianer.
Sinus (sin α) er en trigonometrisk funksjon av vinkelen α mellom hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det motsatte benet |BC| til lengden av hypotenusen |AB|.
Cosinus (cos α) er en trigonometrisk funksjon av vinkelen α mellom hypotenusen og benet i en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AC| til lengden av hypotenusen |AB|.
Trigonometrisk definisjon
Ved å bruke formlene ovenfor kan du finne sinus og cosinus til en spiss vinkel. Men du må lære å beregne sinus og cosinus til en vinkel av vilkårlig størrelse. En rettvinklet trekant gir ikke en slik mulighet (den kan for eksempel ikke ha en stump vinkel); Derfor trenger vi en mer generell definisjon av sinus og cosinus, som inneholder disse formlene som et spesialtilfelle.
Den trigonometriske sirkelen kommer til unnsetning. La noen vinkel gis; det tilsvarer punktet med samme navn på den trigonometriske sirkelen.
Ris. 2. Trigonometrisk definisjon av sinus og cosinus
Cosinus til en vinkel er abscissen til et punkt. Sinusen til en vinkel er ordinaten til et punkt.
I fig. 2 antas vinkelen å være spiss, og det er lett å forstå at denne definisjonen sammenfaller med den generelle geometriske definisjonen. Faktisk ser vi en rettvinklet trekant med en enhet hypotenus O og en spiss vinkel. Det tilstøtende benet til denne trekanten er cos (sammenlign med fig. 1) og samtidig abscissen til punktet; motsatt side er sin (som i fig. 1) og samtidig ordinaten til punktet.
Men nå er vi ikke lenger begrenset av første kvartal og har muligheten til å utvide denne definisjonen til alle vinkler. I fig. Figur 3 viser hva sinus og cosinus til en vinkel er i andre, tredje og fjerde kvartal.
Ris. 3. Sinus og cosinus i II, III og IV kvartalene
Tabellverdier for sinus og cosinus
Nullvinkel \(\LARGE 0^(\circ ) \)
Abscissen til punkt 0 er lik 1, ordinaten til punkt 0 er lik 0. Derfor,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Fig 4. Nullvinkel
Vinkel \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Vi ser en rettvinklet trekant med en hypotenusenhet og en spiss vinkel på 30°. Som du vet, er benet som ligger motsatt vinkelen 30° lik halve hypotenusen 1; med andre ord, det vertikale benet er lik 1/2 og derfor,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Vi finner det horisontale benet ved å bruke Pythagoras teorem (eller, som er det samme, vi finner cosinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \venstre(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2) ) \]
1 Hvorfor skjer dette? Klipp en likesidet trekant med side 2 langs høyden! Den vil dele seg i to rette trekanter med en hypotenusa på 2, en spiss vinkel på 30° og et kortere ben på 1.
Fig 5. Vinkel π/6
Vinkel \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
I dette tilfellet er den rette trekanten likebenet; Sinus og cosinus i en vinkel på 45° er lik hverandre. La oss angi dem med x for nå. Vi har:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
hvorfra \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Derfor,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Fig 5. Vinkel π/4
Egenskaper for sinus og cosinus
Godkjente notasjoner
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Periodisitet
Funksjonene y = sin x og y = cos x er periodiske med en periode på 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Paritet
Sinusfunksjonen er merkelig. Cosinusfunksjonen er jevn.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Definisjonsområder og verdier, ekstrema, økning, avgang
De grunnleggende egenskapene til sinus og cosinus er presentert i tabellen ( n- hel).
| \(\liten< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Synkende | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\liten< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maxima, \(\small x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\liten x = 2\pi n\) | |
| Minima, \(\small x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \) | |
| Null, \(\small x = \pi n\) | \(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y-aksens skjæringspunkter, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Grunnformler som inneholder sinus og cosinus
Summen av kvadrater
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Sinus- og cosinusformler for sum og differanse
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Formler for produktet av sinus og cosinus
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Sum- og differanseformler
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Uttrykker sinus gjennom cosinus
\(\sin x = \cos\venstre(\dfrac(\pi)2 - x \høyre) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Uttrykker cosinus gjennom sinus
\(\cos x = \sin\venstre(\dfrac(\pi)2 - x \høyre) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Uttrykk gjennom tangent
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
På \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
På \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Tabell over sinus og cosinus, tangenter og cotangenter
Denne tabellen viser verdiene av sinus og cosinus for visse verdier av argumentet.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabell over sinus og cosinus" title="Tabell over sinus og cosinus" ]!}
Uttrykk gjennom komplekse variabler
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Eulers formel
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Derivater
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Utlede formler > > >
Derivater av n-te orden:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).
Integraler
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Se også avsnitt Tabell over ubestemte integraler >>>
Serieutvidelser
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, cosecant
\(\sek x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)
Inverse funksjoner
De inverse funksjonene til sinus og cosinus er henholdsvis arcsinus og arccosinus.
Arcsine, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\venstre\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\venstre\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!
>>Matematikk: Funksjoner y = sin x, y = cos x, deres egenskaper og grafer
Funksjoner y = sin x, y = cos x, deres egenskaper og grafer
I denne delen skal vi diskutere noen egenskaper til funksjonene y = sin x, y = cos x og konstruere grafene deres.
1. Funksjon y = sin X.
Ovenfor, i § 20, formulerte vi en regel som lar hvert tall t assosieres med et cos t-nummer, dvs. karakterisert funksjonen y = sin t. La oss merke seg noen av egenskapene.
Egenskaper til funksjonen u = sin t.
Definisjonsdomenet er settet K av reelle tall.
Dette følger av at et hvilket som helst tall 2 tilsvarer et punkt M(1) på tallsirkelen, som har en veldefinert ordinat; denne ordinaten er cos t.
u = sin t er en oddetallsfunksjon.
Dette følger av at, som det ble bevist i § 19, for enhver t likestillingen
Dette betyr at grafen til funksjonen u = sin t, som grafen til enhver oddetallsfunksjon, er symmetrisk med hensyn til origo i det rektangulære koordinatsystemet tOi.
Funksjonen u = sin t øker på intervallet 
Dette følger av at når et punkt beveger seg langs den første fjerdedelen av tallsirkelen, øker ordinaten gradvis (fra 0 til 1 - se fig. 115), og når punktet beveger seg langs den andre fjerdedelen av tallsirkelen, ordinaten minker gradvis (fra 1 til 0 - se fig. 116).
Funksjonen u = sint er avgrenset både under og over. Dette følger av det faktum at, som vi så i § 19, for enhver t gjelder ulikheten
(funksjonen når denne verdien når som helst i skjemaet 
(funksjonen når denne verdien når som helst i skjemaet
Ved å bruke de oppnådde egenskapene vil vi konstruere en graf over funksjonen som er av interesse for oss. Men (oppmerksomhet!) i stedet for u - sin t vil vi skrive y = sin x (vi er tross alt mer vant til å skrive y = f(x), og ikke u = f(t)). Dette betyr at vi skal bygge en graf i det vanlige xOy-koordinatsystemet (og ikke tOy).
La oss lage en tabell over verdiene til funksjonen y - sin x:
Kommentar.
La oss gi en av versjonene av opprinnelsen til begrepet "sinus". På latin betyr sinus bøy (buestreng).
Den konstruerte grafen rettferdiggjør til en viss grad denne terminologien. 
Linjen som fungerer som en graf for funksjonen y = sin x kalles en sinusbølge. Den delen av sinusoiden som er vist i fig. 118 eller 119 kalles en sinusbølge, og den delen av sinusbølgen som er vist i fig. 117, kalles en halvbølge eller bue av en sinusbølge.
2. Funksjon y = cos x.
Studiet av funksjonen y = cos x kunne utføres omtrent etter samme skjema som ble brukt ovenfor for funksjonen y = sin x. Men vi vil velge veien som fører til målet raskere. Først vil vi bevise to formler som er viktige i seg selv (du vil se dette på videregående), men som foreløpig bare har en hjelpebetydning for våre formål.
For enhver verdi av t er følgende likheter gyldige:
Bevis. La tallet t tilsvare punktet M i den numeriske sirkelen n, og tallet * + - punktet P (Fig. 124; for enkelhets skyld tok vi punktet M i første kvartal). Buene AM og BP er like, og de rette trekantene OKM og OLBP er tilsvarende like. Dette betyr O K = Ob, MK = Pb. Fra disse likhetene og fra plasseringen av trekantene OCM og OBP i koordinatsystemet trekker vi to konklusjoner:
1) ordinaten til punktet P både i størrelse og fortegn faller sammen med abscissen til punktet M; det betyr at
2) abscissen til punktet P er lik i absolutt verdi med ordinaten til punktet M, men skiller seg i fortegn fra den; det betyr at
Omtrent samme resonnement føres i tilfeller hvor punkt M ikke hører til første kvartal.
La oss bruke formelen 
(dette er formelen bevist ovenfor, bare i stedet for variabelen t bruker vi variabelen x). Hva gir denne formelen oss? Det lar oss hevde at funksjonene
er identiske, noe som betyr at grafene deres sammenfaller.
La oss plotte funksjonen 
For å gjøre dette, la oss gå videre til et hjelpekoordinatsystem med origo i et punkt (den stiplede linjen er tegnet i fig. 125). La oss binde funksjonen y = sin x til det nye koordinatsystemet - dette vil være grafen til funksjonen 
(fig. 125), dvs. graf for funksjonen y - cos x. Den, som grafen til funksjonen y = sin x, kalles en sinusbølge (som er ganske naturlig).
Egenskaper til funksjonen y = cos x.
y = cos x er en jevn funksjon.
Byggetrinnene er vist i fig. 126:
1) bygg en graf av funksjonen y = cos x (mer presist, en halvbølge);
2) ved å strekke den konstruerte grafen fra x-aksen med en faktor på 0,5, får vi en halvbølge av den nødvendige grafen;
3) ved å bruke den resulterende halvbølgen konstruerer vi hele grafen til funksjonen y = 0,5 cos x.
Laster inn...